Trouver l'aire d'un trapèze courbe par exemple. L'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie

Passons maintenant aux applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous examinerons le problème typique et le plus courant du calcul de l'aire d'une figure plane à l'aide d'une intégrale définie. Enfin, que tous ceux qui cherchent un sens aux mathématiques supérieures le trouvent. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un terrain de datcha à l'aide de fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls devraient d’abord se familiariser avec la leçon de He.

2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer l'intégrale définie. Vous pouvez établir des relations amicales chaleureuses avec des intégrales définies sur la page Intégrale définie. Exemples de solutions. La tâche « calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie » implique toujours la construction d'un dessin, donc vos connaissances et vos compétences en dessin seront également une question importante. Au minimum, vous devez être capable de construire une ligne, une parabole et une hyperbole.

Commençons par un trapèze courbe. Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par le graphique d'une fonction oui = F(X), axe BŒUF et des lignes X = un; X = b.

L'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie

Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. Dans la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions, nous avons dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d’énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA. C'est-à-dire qu'une certaine intégrale (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Considérons l'intégrale définie

Intégrande

définit une courbe sur le plan (elle peut être dessinée si vous le souhaitez), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

, , , .

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le point le plus important dans la décision est la construction du dessin. De plus, le dessin doit être construit CORRECTEMENT.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord, il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et ensuite seulement – les paraboles, les hyperboles et les graphiques d'autres fonctions. La technique de construction ponctuelle peut être trouvée dans le matériel de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.

Faisons le dessin (notez que l'équation oui= 0 spécifie l'axe BŒUF):

Nous n'ombragerons pas le trapèze incurvé ; ici, il est évident de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :

Sur le segment [-2; 1] graphique de fonction oui = X 2 + 2 situés au dessus de l'axe BŒUF, C'est pourquoi:

Répondre: .

Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz

Reportez-vous à la conférence Definite Integral. Exemples de solutions. Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, nous comptons le nombre de cellules dans le dessin "à l'œil nu" - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes xy = 4, X = 2, X= 4 et axe BŒUF.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si un trapèze courbe est situé sous l'axe BŒUF?

Exemple 3

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes oui = ex, X= 1 et coordonnées des axes.

Solution : Faisons un dessin :

Si un trapèze courbe est entièrement situé sous l'axe BŒUF, alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.

Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes oui = 2X – X 2 , oui = -X.

Solution : Vous devez d’abord faire un dessin. Lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole oui = 2X – X 2 et droit oui = -X. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration un= 0, limite supérieure d'intégration b= 3. Il est souvent plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l’intégration apparaissent « d’elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Répétons que dans la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent déterminées « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail :

Si sur le segment [ un; b] une fonction continue F(X) est supérieur ou égal à une fonction continue g(X), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, mais ce qui est important est quel graphique est PLUS HAUT (par rapport à un autre graphique) et lequel est EN DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et donc à partir de 2 X – X 2 doit être soustrait – X.

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

Le chiffre souhaité est limité par une parabole oui = 2X – X 2 en haut et droit oui = -X ci-dessous.

Sur le segment 2 X – X 2 ≥ -X. D'après la formule correspondante :

Répondre: .

En fait, la formule scolaire de l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple n°3) est un cas particulier de la formule

Parce que l'axe BŒUF donné par l'équation oui= 0, et le graphique de la fonction g(X) situé en dessous de l'axe BŒUF, Que

Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Lors de la résolution de problèmes impliquant le calcul d’une aire à l’aide d’une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été réalisé correctement, les calculs étaient corrects, mais par négligence... la zone de la mauvaise figure a été trouvée.

Exemple 7

Faisons d'abord un dessin :

La figure dont nous devons trouver l'aire est ombrée en bleu (regardez attentivement la condition - comme la figure est limitée !). Mais dans la pratique, par inattention, les gens décident souvent qu'ils doivent trouver la zone de la figure qui est ombrée en vert !

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment [-1; 1] au dessus de l'axe BŒUF le graphique est situé droit oui = X+1;

2) Sur un segment au dessus de l'axe BŒUF le graphique d'une hyperbole est localisé oui = (2/X).

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Répondre:

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Présentons les équations sous forme « scolaire »

et faites un dessin point par point :

D’après le dessin, il est clair que notre limite supérieure est « bonne » : b = 1.

Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ?

Peut être, un=(-1/3) ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que un=(-1/4). Et si nous avions mal construit le graphique ?

Dans de tels cas, vous devez consacrer plus de temps et clarifier analytiquement les limites de l'intégration.

Trouvons les points d'intersection des graphiques

Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

Ainsi, un=(-1/3).

L’autre solution est triviale. L'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes. Les calculs ici ne sont pas les plus simples. Sur le segment

, ,

selon la formule correspondante :

Répondre:

Pour conclure la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Solution : Représentons cette figure dans le dessin.

Pour construire un dessin point par point, il faut connaître l'apparence d'une sinusoïde. De manière générale, il est utile de connaître les graphiques de toutes les fonctions élémentaires, ainsi que certaines valeurs sinusoïdales. On les retrouve dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques. Dans certains cas (par exemple, dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.

Il n’y a ici aucun problème avec les limites de l’intégration ; elles découlent directement de la condition :

– « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :

Sur un segment, le graphique d'une fonction oui= péché 3 X situé au dessus de l'axe BŒUF, C'est pourquoi:

(1) Vous pouvez voir comment les sinus et les cosinus sont intégrés dans les puissances impaires dans la leçon Intégrales des fonctions trigonométriques. Nous pinçons un sinus.

(2) Nous utilisons l'identité trigonométrique principale sous la forme

(3) Changeons la variable t=cos X, alors : est situé au dessus de l'axe, donc :

Remarque : notez comment l'intégrale de la tangente au cube est prise ici ; un corollaire de l'identité trigonométrique de base est utilisé ;

UN)

Solution.

Le premier et le plus important point de la décision est le dessin.

Faisons le dessin :

L'équation y=0 définit l'axe « x » ;

- x=-2 Et x=1- droit, parallèle à l'axe UO ;

- y=x 2 +2 - une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, avec le sommet au point (0;2).

Commentaire. Pour construire une parabole, il suffit de trouver les points de son intersection avec les axes de coordonnées, c'est-à-dire en mettant x=0 trouver l'intersection avec l'axe UO et en résolvant l'équation quadratique correspondante, trouver l'intersection avec l'axe Oh .

Le sommet d'une parabole peut être trouvé à l'aide des formules :

Vous pouvez également construire des lignes point par point.

Sur l'intervalle [-2;1] le graphique de la fonction y=x 2 +2 situé au dessus de l'axe Bœuf, C'est pourquoi:

Répondre: S=9 unités carrées

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Que faire si un trapèze courbe est situé sous l'axe Oh?

b) Calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes y=-ex , x=1 et coordonner les axes.

Solution.

Faisons un dessin.

Si un trapèze courbe est entièrement situé sous l'axe Oh , alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Répondre: S=(e-1) unités carrées" 1,72 unités carrées

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

En pratique, la figure est le plus souvent située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur.

c) Trouver l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes y=2x-x 2, y=-x.

Solution.

Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et droit Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique.

On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration une=0, limite supérieure d'intégration b=3 .

Nous construisons les lignes données : 1. Parabole - sommet au point (1;1) ; intersection d'axes Oh - points (0;0) et (0;2). 2. Ligne droite - bissectrice des 2e et 4e angles de coordonnées. Et maintenant Attention ! Si sur le segment [ un B] une fonction continue f(x) supérieur ou égal à une fonction continue g(x), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée à l'aide de la formule : .

Et peu importe où se trouve la figure - au-dessus ou en dessous de l'axe, mais ce qui compte, c'est quel graphique est PLUS HAUT (par rapport à un autre graphique) et lequel est EN DESSOUS. Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

On peut construire des lignes point par point, et les limites de l’intégration deviennent claires « d’elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles).

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre: S=4,5 unités carrées

Soit la fonction non négative et continue sur l'intervalle. Alors, selon le sens géométrique d'une intégrale définie, l'aire d'un trapèze curviligne délimité en haut par le graphique de cette fonction, en bas par l'axe, à gauche et à droite par des droites et (voir Fig. 2) est calculé par la formule

Exemple 9. Trouver l'aire d'une figure délimitée par une ligne et l'axe.

Solution. Graphique de fonction est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas. Construisons-le (Fig. 3). Pour déterminer les limites de l'intégration, on trouve les points d'intersection de la droite (parabole) avec l'axe (droite). Pour ce faire, nous résolvons le système d'équations

On a: , où , ; ainsi, , .

Riz. 3

On trouve l'aire de la figure à l'aide de la formule (5) :

Si la fonction est non positive et continue sur le segment , alors l'aire du trapèze curviligne délimitée en bas par le graphique de cette fonction, en haut par l'axe, à gauche et à droite par des droites et , est calculée par le formule

. (6)

Si la fonction est continue sur un segment et change de signe en un nombre fini de points, alors l'aire de la figure ombrée (Fig. 4) est égale à la somme algébrique des intégrales définies correspondantes :

Riz. 4

Exemple 10. Calculez l'aire de la figure délimitée par l'axe et le graphique de la fonction en .

Riz. 5

Solution. Faisons un dessin (Fig. 5). L'aire requise est la somme des aires et . Trouvons chacun de ces domaines. Premièrement, nous déterminons les limites de l’intégration en résolvant le système On a , . Ainsi:

;

Ainsi, l'aire de la figure ombrée est

(unités carrées).

Riz. 6

Enfin, que le trapèze curviligne soit délimité en haut et en bas par les graphiques des fonctions continues sur le segment et ,
et à gauche et à droite - des lignes droites et (Fig. 6). Ensuite, son aire est calculée par la formule

. (8)

Exemple 11. Trouvez l'aire de la figure délimitée par les lignes et.

Solution. Ce chiffre est présenté sur la Fig. 7. Calculons son aire à l'aide de la formule (8). En résolvant le système d'équations que nous trouvons, ; ainsi, , . Sur le segment nous avons : . Cela signifie que dans la formule (8) on prend comme X, et en qualité – . On a:

(unités carrées).

Des problèmes plus complexes de calcul des aires sont résolus en divisant la figure en parties qui ne se chevauchent pas et en calculant l'aire de la figure entière comme la somme des aires de ces parties.

Riz. 7

Exemple 12. Trouvez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , .

Solution. Faisons un dessin (Fig. 8). Cette figure peut être considérée comme un trapèze curviligne, délimité d'en bas par l'axe, à gauche et à droite - par des lignes droites et, d'en haut - par des graphiques de fonctions et. La figure étant limitée d'en haut par les graphiques de deux fonctions, pour calculer son aire, on divise cette figure en droite en deux parties (1 est l'abscisse du point d'intersection des droites et ). L'aire de chacune de ces parties se trouve à l'aide de la formule (4) :

(unités carrées); (unités carrées). Ainsi:

(unités carrées).

Riz. 8

X= j ( à)

Riz. 9

En conclusion, on note que si un trapèze curviligne est limité par des droites et , axe et continu sur la courbe (Fig. 9), alors son aire se trouve par la formule

Volume d'un corps de rotation

Soit un trapèze curviligne, délimité par le graphique d'une fonction continue sur un segment, l'axe, les droites et , tourne autour de l'axe (Fig. 10). Ensuite, le volume du corps de rotation résultant est calculé par la formule

. (9)

Exemple 13. Calculer le volume d'un corps obtenu en tournant autour de l'axe d'un trapèze curviligne délimité par une hyperbole, des lignes droites et un axe.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 11).

Des conditions du problème, il résulte que , . De la formule (9) on obtient

Riz. dix

Riz. onze

Volume d'un corps obtenu par rotation autour d'un axe UO trapèze curviligne délimité par des lignes droites y = c Et y = ré, axe UO et un graphique d'une fonction continue sur un segment (Fig. 12), déterminé par la formule

. (10)

X= j ( à)

Riz. 12

Exemple 14. Calculer le volume d'un corps obtenu en tournant autour d'un axe UO trapèze curviligne délimité par des lignes X 2 = 4à, y = 4, X = 0 (Fig. 13).

Solution. Conformément aux conditions du problème, on retrouve les limites de l'intégration : , . En utilisant la formule (10) on obtient :

Riz. 13

Longueur de l'arc d'une courbe plane

Soit la courbe donnée par l'équation , où , se situe dans le plan (Fig. 14).

Riz. 14

Définition. La longueur d'un arc s'entend comme la limite vers laquelle tend la longueur d'une ligne brisée inscrite dans cet arc, lorsque le nombre de maillons de la ligne brisée tend vers l'infini, et la longueur du plus grand maillon tend vers zéro.

Si une fonction et sa dérivée sont continues sur le segment, alors la longueur de l'arc de la courbe est calculée par la formule

. (11)

Exemple 15. Calculer la longueur de l'arc de la courbe comprise entre les points pour lesquels .

Solution. Des conditions problématiques que nous avons . En utilisant la formule (11) on obtient :

4. Intégrales incorrectes
avec des limites infinies d'intégration

Lors de l'introduction du concept d'intégrale définie, il a été supposé que les deux conditions suivantes étaient remplies :

a) limites de l'intégration UN et sont finis ;

b) l'intégrande est bornée sur l'intervalle.

Si au moins une de ces conditions n’est pas satisfaite, alors l’intégrale est appelée pas le vôtre.

Considérons d'abord les intégrales impropres avec des limites d'intégration infinies.

Définition. Soit la fonction définie et continue sur l'intervalle, alors et illimité à droite (Fig. 15).

Si l'intégrale impropre converge, alors cette zone est finie ; si l'intégrale impropre diverge, alors cette zone est infinie.

Riz. 15

Une intégrale impropre avec une limite inférieure d'intégration infinie est définie de la même manière :

. (13)

Cette intégrale converge si la limite du côté droit de l'égalité (13) existe et est finie ; sinon l'intégrale est dite divergente.

Une intégrale impropre avec deux limites d’intégration infinies est définie comme suit :

, (14)

où c est n’importe quel point de l’intervalle. L'intégrale ne converge que si les deux intégrales du côté droit de l'égalité (14) convergent.

;

G) = [sélectionner un carré complet au dénominateur : ] = [remplacement:

] =

Cela signifie que l'intégrale impropre converge et que sa valeur est égale à .

En fait, pour trouver l’aire d’une figure, vous n’avez pas besoin de beaucoup de connaissances sur l’intégrale indéfinie et définie. La tâche « calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie » implique toujours la construction d'un dessin, donc vos connaissances et compétences dans la construction de dessins seront une question beaucoup plus urgente. À cet égard, il est utile de se rafraîchir la mémoire des graphiques des fonctions élémentaires de base, et, au minimum, d'être capable de construire une droite et une hyperbole.

Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par un axe, des droites et le graphique d'une fonction continue sur un segment qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que ce chiffre soit situé pas moins Axe des x :

Alors l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à l'intégrale définie. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique.

D'un point de vue géométrique, l'intégrale définie est AREA.

C'est-à-dire qu'une certaine intégrale (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le premier et le plus important point de la décision est le dessin. De plus, le dessin doit être construit CORRECTEMENT.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord, il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et ensuite seulement - les paraboles, les hyperboles et les graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphiques de fonctions point par point.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons le dessin (notez que l'équation définit l'axe) :

Sur le segment, le graphique de la fonction est situé au dessus de l'axe, donc :

Répondre:

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Solution : Faisons un dessin :

Si le trapèze courbe est situé sous l'axe (ou du moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par les lignes , .

Solution : Vous devez d’abord faire un dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration est , la limite supérieure d'intégration est .

Il vaut mieux, si possible, ne pas utiliser cette méthode.

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Et maintenant la formule de travail : Si sur un segment une fonction continue est supérieure ou égale à une fonction continue, alors l'aire de la figure limitée par les graphiques de ces fonctions et lignes droites peut être trouvée à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, et, grosso modo, il est important quel graphique est PLUS HAUT (par rapport à un autre graphique) et lequel est EN DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon la formule correspondante :

Répondre:

Exemple 4

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Solution : Commençons par faire un dessin :

La figure dont nous devons trouver l'aire est ombrée en bleu (regardez attentivement la condition - comme la figure est limitée !). Mais dans la pratique, par inattention, un « problème » se produit souvent : il faut trouver l'aire d'une figure ombrée en vert !

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies.

Vraiment :

1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'hyperbole.

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Comment insérer des formules mathématiques sur un site internet ?

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Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliquée systématiquement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.

L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.