Construction matricielle inverse d'une matrice inverse. Trouver la matrice inverse par la méthode des transformations élémentaires

Continuons la conversation sur les actions avec des matrices. À savoir, au cours de l'étude de cette conférence, vous apprendrez comment trouver la matrice inverse. Apprendre. Même si les mathématiques sont difficiles.

Qu'est-ce qu'une matrice inverse ? Ici, nous pouvons faire une analogie avec les nombres inverses : considérons, par exemple, le nombre optimiste 5 et son nombre inverse. Le produit de ces nombres est égal à un : . Tout est pareil avec les matrices ! Le produit d'une matrice et de sa matrice inverse est égal à – matrice d'identité, qui est l'analogue matriciel de l'unité numérique. Cependant, tout d’abord, résolvons d’abord un problème pratique important, à savoir, apprenons à trouver cette matrice très inverse.

Que faut-il savoir et pouvoir faire pour trouver la matrice inverse ? Vous devez pouvoir décider qualificatifs. Vous devez comprendre ce que c'est matrice et pouvoir effectuer certaines actions avec eux.

Il existe deux méthodes principales pour trouver la matrice inverse :
en utilisant ajouts algébriques Et utiliser des transformations élémentaires.

Aujourd'hui, nous allons étudier la première méthode, la plus simple.

Commençons par le plus terrible et le plus incompréhensible. Considérons carré matrice. La matrice inverse peut être trouvée en utilisant la formule suivante:

Où est le déterminant de la matrice, est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Le concept de matrice inverse n'existe que pour les matrices carrées, matrices « deux par deux », « trois par trois », etc.

Désignations: Comme vous l'avez peut-être déjà remarqué, la matrice inverse est désignée par un exposant

Commençons par le cas le plus simple : une matrice deux par deux. Le plus souvent, bien sûr, « trois par trois » est requis, mais je recommande néanmoins fortement d'étudier une tâche plus simple afin de comprendre le principe général de la solution.

Exemple:

Trouver l'inverse d'une matrice

Décidons. Il est pratique de décomposer la séquence d’actions point par point.

1) On trouve d’abord le déterminant de la matrice.

Si votre compréhension de cette action n'est pas bonne, lisez le matériel Comment calculer le déterminant ?

Important! Si le déterminant de la matrice est égal à ZÉRO– matrice inverse N'EXISTE PAS.

Dans l'exemple considéré, il s'est avéré que tout est en ordre.

2) Trouver la matrice des mineurs.

Pour résoudre notre problème, il n'est pas nécessaire de savoir ce qu'est un mineur, cependant, il convient de lire l'article Comment calculer le déterminant.

La matrice des mineurs a les mêmes dimensions que la matrice, c'est-à-dire dans ce cas.
Il ne reste plus qu'à trouver quatre nombres et à les mettre à la place des astérisques.

Revenons à notre matrice
Regardons d'abord l'élément en haut à gauche :

Comment le trouver mineure?
Et cela se fait ainsi : rayez MENTALEMENT la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve cet élément :

Le nombre restant est mineur de cet élément, que nous écrivons dans notre matrice des mineurs :

Considérons l'élément de matrice suivant :

Rayez mentalement la ligne et la colonne dans lesquelles cet élément apparaît :

Il ne reste que le mineur de cet élément, que nous écrivons dans notre matrice :

De même, on considère les éléments de la deuxième rangée et on retrouve leurs mineurs :


Prêt.

C'est simple. Dans la matrice des mineurs dont vous avez besoin CHANGER LES SIGNES deux chiffres :

Ce sont les chiffres que j'ai encerclés !

– matrice d'additions algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Et juste...

4) Trouver la matrice transposée des additions algébriques.

– matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

5) Réponse.

Rappelons notre formule
Tout a été trouvé !

La matrice inverse est donc :

Il vaut mieux laisser la réponse telle quelle. PAS BESOIN divisez chaque élément de la matrice par 2, puisque le résultat est des nombres fractionnaires. Cette nuance est abordée plus en détail dans le même article. Actions avec des matrices.

Comment vérifier la solution ?

Vous devez effectuer une multiplication matricielle ou

Examen:

Reçu déjà mentionné matrice d'identité est une matrice avec des uns par diagonale principale et des zéros à d'autres endroits.

Ainsi, la matrice inverse est trouvée correctement.

Si vous réalisez l’action, le résultat sera également une matrice d’identité. C'est l'un des rares cas où la multiplication matricielle est commutative, plus de détails peuvent être trouvés dans l'article Propriétés des opérations sur les matrices. Expressions matricielles. Notez également que lors du contrôle, la constante (fraction) est avancée et traitée à la toute fin - après la multiplication matricielle. Il s'agit d'une technique standard.

Passons à un cas plus courant en pratique : la matrice trois par trois :

Exemple:

Trouver l'inverse d'une matrice

L’algorithme est exactement le même que pour le cas « deux par deux ».

On retrouve la matrice inverse à l'aide de la formule : , où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

1) Trouver le déterminant de la matrice.

Ici le déterminant est révélé sur la première ligne.

N'oubliez pas non plus que, ce qui signifie que tout va bien - la matrice inverse existe.

2) Trouver la matrice des mineurs.

La matrice des mineurs a une dimension de « trois par trois » , et nous devons trouver neuf nombres.

Je vais examiner de plus près quelques mineurs :

Considérons l'élément de matrice suivant :

Rayez MENTALEMENT la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve cet élément :

Nous écrivons les quatre nombres restants dans le déterminant « deux par deux ».

Ce déterminant deux par deux et est le mineur de cet élément. Il faut calculer :


Ça y est, le mineur a été retrouvé, on l'écrit dans notre matrice des mineurs :

Comme vous l’avez probablement deviné, vous devez calculer neuf déterminants deux par deux. Le processus, bien sûr, est fastidieux, mais le cas n'est pas le plus grave, il peut être pire.

Eh bien, pour consolider – trouver un autre mineur dans les images :

Essayez de calculer vous-même les mineurs restants.

Résultat final :
– matrice des mineurs des éléments correspondants de la matrice.

Le fait que tous les mineurs se soient révélés négatifs est purement un accident.

3) Trouver la matrice des additions algébriques.

Dans la matrice des mineurs il faut CHANGER LES SIGNES strictement pour les éléments suivants :

Dans ce cas:

Nous n'envisageons pas de trouver la matrice inverse d'une matrice « quatre par quatre », puisque seul un enseignant sadique peut confier une telle tâche (pour que l'élève calcule un déterminant « quatre par quatre » et 16 déterminants « trois par trois »). Dans ma pratique, il n'y a eu qu'un seul cas de ce type, et le client du test a payé assez cher mon tourment =).

Dans un certain nombre de manuels et de manuels, vous pouvez trouver une approche légèrement différente pour trouver la matrice inverse, mais je recommande d'utiliser l'algorithme de solution décrit ci-dessus. Pourquoi? Parce que le risque de confusion dans les calculs et les signes est bien moindre.

La matrice inverse d'une matrice donnée est une telle matrice, multipliant celle d'origine par laquelle donne la matrice identité : Une condition obligatoire et suffisante pour la présence d'une matrice inverse est que le déterminant de la matrice d'origine soit n'est pas égal à zéro (ce qui implique que la matrice doit être carrée). Si le déterminant d'une matrice est égal à zéro, alors il est dit singulier et une telle matrice n'a pas d'inverse. En mathématiques supérieures, les matrices inverses sont importantes et sont utilisées pour résoudre un certain nombre de problèmes. Par exemple, sur trouver la matrice inverse une méthode matricielle pour résoudre des systèmes d'équations a été construite. Notre site de service permet calculer la matrice inverse en ligne deux méthodes : la méthode de Gauss-Jordan et l'utilisation de la matrice d'additions algébriques. La première implique un grand nombre de transformations élémentaires à l'intérieur de la matrice, la seconde implique le calcul des additions déterminantes et algébriques à tous les éléments. Pour calculer le déterminant d'une matrice en ligne, vous pouvez utiliser notre autre service - Calcul du déterminant d'une matrice en ligne

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Considérons le problème de la définition de l'opération inverse de multiplication matricielle.

Soit A une matrice carrée d’ordre n. Matrice A^(-1) satisfaisant, avec la matrice A donnée, les égalités :

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

De la définition, il s'ensuit que si la matrice inverse A^(-1) existe, alors elle est carrée du même ordre que A. Cependant, toutes les matrices carrées n’ont pas d’inverse. Si le déterminant d'une matrice A est égal à zéro (\det(A)=0), alors il n'y a pas d'inverse pour celui-ci. En fait, en appliquant le théorème sur le déterminant du produit de matrices pour la matrice identité E=A^(-1)A on obtient une contradiction

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

Théorème 4.1 sur l'existence et l'unicité de la matrice inverse. Matrice carrée A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), dont le déterminant est non nul, a une matrice inverse et, de plus, une seule :

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

où A^(+) est la matrice transposée pour une matrice composée de compléments algébriques d'éléments de la matrice A.

La matrice A^(+) est appelée matrice adjointe par rapport à la matrice A.

En fait, la matrice \frac(1)(\det(A))\,A^(+) existe sous la condition \det(A)\ne0 . Il faut montrer qu'il est inverse de A, c'est-à-dire remplit deux conditions :

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

Démontrons la première égalité. D'après le paragraphe 4 des remarques 2.3, des propriétés du déterminant il résulte que AA^(+)=\det(A)\cdot E. C'est pourquoi

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

c’est ce qu’il fallait montrer. La deuxième égalité se prouve de la même manière. Par conséquent, sous la condition \det(A)\ne0, la matrice A a un inverse

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Nous prouverons l'unicité de la matrice inverse par contradiction. Supposons qu'en plus de la matrice A^(-1), il existe une autre matrice inverse B\,(B\ne A^(-1)) telle que AB=E. En multipliant les deux côtés de cette égalité en partant de la gauche par la matrice A^(-1) , on obtient \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. D'où B=A^(-1) , ce qui contredit l'hypothèse B\ne A^(-1) . La matrice inverse est donc unique.

Remarques 4.1

1. De la définition il résulte que les matrices A et A^(-1) commutent.

2. L'inverse d'une matrice diagonale non singulière est également diagonale :

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. L'inverse d'une matrice triangulaire inférieure (supérieure) non singulière est triangulaire inférieure (supérieure).

4. Les matrices élémentaires ont des inverses, qui sont également élémentaires (voir paragraphe 1 des remarques 1.11).

Propriétés d'une matrice inverse

L'opération d'inversion matricielle a les propriétés suivantes :

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(aligné)

Démontrons la propriété 2 : si le produit AB de matrices carrées non singulières du même ordre a une matrice inverse, alors (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

En effet, le déterminant du produit des matrices AB n'est pas égal à zéro, puisque

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Où \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Par conséquent, la matrice inverse (AB)^(-1) existe et est unique. Montrons par définition que la matrice B^(-1)A^(-1) est l'inverse de la matrice AB. Vraiment.

Afin de trouver la matrice inverse en ligne, vous devrez indiquer la taille de la matrice elle-même. Pour ce faire, cliquez sur les icônes « + » ou « - » jusqu'à ce que vous soyez satisfait du nombre de colonnes et de lignes. Ensuite, saisissez les éléments requis dans les champs. Ci-dessous se trouve le bouton « Calculer » - en cliquant dessus, vous recevrez une réponse à l'écran avec une solution détaillée.

En algèbre linéaire, il faut souvent faire face au processus de calcul de la matrice inverse. Il n'existe que pour les matrices non exprimées et pour les matrices carrées à condition que le déterminant soit non nul. En principe, son calcul n'est pas particulièrement difficile, surtout s'il s'agit d'une petite matrice. Mais si vous avez besoin de calculs plus complexes ou d’une revérification approfondie de votre décision, il est préférable d’utiliser ce calculateur en ligne. Avec son aide, vous pouvez résoudre rapidement et avec précision une matrice inverse.

Grâce à cette calculatrice en ligne, vous pouvez rendre vos calculs beaucoup plus faciles. De plus, cela permet de consolider le matériel obtenu en théorie - c'est une sorte de simulateur pour le cerveau. Il ne doit pas être considéré comme un remplacement des calculs manuels ; il peut vous apporter bien plus, facilitant la compréhension de l’algorithme lui-même. De plus, cela ne fait jamais de mal de se vérifier soi-même.

Méthodes pour trouver la matrice inverse, . Considérons une matrice carrée

Notons Δ =det A.

La matrice carrée A est appelée non dégénéré, ou pas spécial, si son déterminant est non nul, et dégénérer, ou spécial, SiΔ = 0.

Une matrice carrée B est une matrice carrée A du même ordre si leur produit est A B = B A = E, où E est la matrice identité du même ordre que les matrices A et B.

Théorème . Pour que la matrice A ait une matrice inverse, il faut et il suffit que son déterminant soit différent de zéro.

La matrice inverse de la matrice A, notée A- 1, donc B = A - 1 et est calculé par la formule

, (1)

où A i j sont des compléments algébriques des éléments a i j de la matrice A..

Le calcul de A -1 à l'aide de la formule (1) pour les matrices d'ordre élevé demande beaucoup de travail, donc en pratique, il est pratique de trouver A -1 en utilisant la méthode des transformations élémentaires (ET). Toute matrice non singulière A peut être réduite à la matrice identité E au moyen d'ED de colonnes uniquement (ou de lignes uniquement). Si les ED perfectionnés sur la matrice A sont appliqués dans le même ordre à la matrice identité E, alors le résultat est. une matrice inverse. Il est pratique d’effectuer simultanément EP sur les matrices A et E, en écrivant les deux matrices côte à côte sur une ligne. Notons encore une fois que lors de la recherche de la forme canonique d'une matrice, pour la retrouver, on peut utiliser des transformations de lignes et de colonnes. Si vous avez besoin de trouver l'inverse d'une matrice, vous devez utiliser uniquement des lignes ou uniquement des colonnes pendant le processus de transformation.

Exemple 2.10. Pour matrice trouver A -1 .

Solution.On trouve d’abord le déterminant de la matrice A
Cela signifie que la matrice inverse existe et on peut la trouver en utilisant la formule : , où A i j (i,j=1,2,3) sont des additions algébriques d'éléments a i j de la matrice d'origine.

Où .

Exemple 2.11. En utilisant la méthode des transformations élémentaires, trouvez A -1 pour la matrice : A = .

Solution.On affecte à la matrice originale de droite une matrice identité du même ordre : . A l'aide de transformations élémentaires des colonnes, nous réduirons la « moitié » gauche à celle identité, en effectuant simultanément exactement les mêmes transformations sur la matrice droite.
Pour ce faire, échangez la première et la deuxième colonne : ~ . À la troisième colonne, nous ajoutons la première, et à la seconde - la première, multipliée par -2 : . De la première colonne, nous soustrayons la deuxième doublée et de la troisième - la deuxième multipliée par 6 ; . Ajoutons la troisième colonne à la première et à la deuxième : . Multipliez la dernière colonne par -1 : . La matrice carrée obtenue à droite de la barre verticale est la matrice inverse de la matrice donnée A. Ainsi,
.