Intégrale définie utilisant la formule de Newton-Leibniz. Calcul de l'intégrale définie

Soit une fonction continue f sur un certain segment de l'axe Ox. Supposons que cette fonction ne change pas de signe sur tout le segment.

Si f est une fonction continue et non négative sur un certain segment, et F en est une primitive sur ce segment, alors l'aire du trapèze curviligne S est égale à l'incrément de la primitive sur ce segment.

Ce théorème peut s'écrire ainsi :

S = F(b) - F(a)

L'intégrale de la fonction f(x) de a à b sera égale à S. Ici et plus loin, pour désigner l'intégrale définie d'une fonction f(x), avec les limites d'intégration de a à b, nous utiliserons l'intégrale notation suivante (a;b)∫f(x). Vous trouverez ci-dessous un exemple de ce à quoi cela ressemblera.

Formule de Newton-Leibniz

Cela signifie que nous pouvons assimiler ces deux résultats. On obtient : (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), à condition que F soit une primitive de la fonction f sur . Cette formule s'appelle Formules de Newton-Leibniz. Ce sera vrai pour toute fonction continue f sur un intervalle.

La formule de Newton-Leibniz est utilisée pour calculer les intégrales. Regardons quelques exemples :

Exemple 1: calculer l'intégrale. Trouvez la primitive de la fonction intégrale x 2 . L'une des primitives sera la fonction (x 3)/3.

Nous utilisons maintenant la formule de Newton-Leibniz :

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Réponse : (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Exemple 2: calculer l'intégrale (0;pi)∫sin(x)dx.

Trouvez la primitive de la fonction intégrale sin(x). L'une des primitives sera la fonction -cos(x). Utilisons la formule de Newton-Leibniz :

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Réponse : (0;pi)∫sin(x)dx=2

Parfois, pour simplifier et faciliter l'enregistrement, l'incrément de la fonction F sur le segment (F(b)-F(a)) s'écrit comme suit :

En utilisant cette notation pour l'incrément, la formule de Newton-Leibniz peut être réécrite comme suit :

Comme indiqué ci-dessus, il s'agit simplement d'une abréviation désignant la facilité d'enregistrement ; cet enregistrement n'affecte rien d'autre. Cette notation et la formule (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) seront équivalentes.

Par une intégrale définie à partir d'une fonction continue F(X) sur le segment final [ un, b] (où ) est l'incrément de certaines de ses primitives sur ce segment. (En général, la compréhension sera sensiblement plus facile si vous répétez le sujet de l'intégrale indéfinie) Dans ce cas, la notation est utilisée

Comme on peut le voir dans les graphiques ci-dessous (l'incrément de la fonction primitive est indiqué par ), une intégrale définie peut être un nombre positif ou négatif(Il est calculé comme la différence entre la valeur de la primitive dans la limite supérieure et sa valeur dans la limite inférieure, c'est-à-dire comme F(b) - F(un)).

Nombres un Et b sont appelés respectivement limites inférieure et supérieure d'intégration et le segment [ un, b] – segment d’intégration.

Ainsi, si F(X) – une fonction primitive pour F(X), alors, selon la définition,

(38)

L'égalité (38) s'appelle Formule de Newton-Leibniz . Différence F(b) – F(un) s'écrit brièvement comme suit :

Nous écrirons donc la formule de Newton-Leibniz comme ceci :

(39)

Montrons que l'intégrale définie ne dépend pas de la primitive de l'intégrande prise lors de son calcul. Laisser F(X) et F( X) sont des primitives arbitraires de l'intégrande. Puisqu’il s’agit de primitives de même fonction, elles diffèrent par un terme constant : Ф( X) = F(X) + C. C'est pourquoi

Cela établit que sur le segment [ un, b] incréments de toutes les primitives de la fonction F(X) correspondre.

Ainsi, pour calculer une intégrale définie, il est nécessaire de trouver n'importe quelle primitive de l'intégrande, c'est-à-dire Vous devez d’abord trouver l’intégrale indéfinie. Constante AVEC exclus des calculs ultérieurs. Ensuite, la formule de Newton-Leibniz est appliquée : la valeur de la limite supérieure est substituée dans la fonction primitive b , plus loin - la valeur de la limite inférieure un et la différence est calculée F(b) - F(a) . Le nombre résultant sera une intégrale définie..

À un = b par définition accepté

Exemple 1.

Solution. Tout d'abord, trouvons l'intégrale indéfinie :

Application de la formule de Newton-Leibniz à la primitive

(à AVEC= 0), on obtient

Cependant, lors du calcul d'une intégrale définie, il est préférable de ne pas trouver la primitive séparément, mais d'écrire immédiatement l'intégrale sous la forme (39).

Exemple 2. Calculer l'intégrale définie

Solution. Utiliser la formule

Propriétés d'une intégrale définie

Théorème 2.La valeur de l'intégrale définie ne dépend pas de la désignation de la variable d'intégration, c'est à dire.

(40)

Laisser F(X) – primitive pour F(X). Pour F(t) la primitive est la même fonction F(t), dans lequel la variable indépendante est uniquement désignée différemment. Ainsi,

Basé sur la formule (39), la dernière égalité signifie l'égalité des intégrales

Théorème 3.Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'intégrale définie, c'est à dire.

(41)

Théorème 4.L'intégrale définie d'une somme algébrique d'un nombre fini de fonctions est égale à la somme algébrique des intégrales définies de ces fonctions, c'est à dire.

(42)

Théorème 5.Si un segment d'intégration est divisé en parties, alors l'intégrale définie sur tout le segment est égale à la somme des intégrales définies sur ses parties, c'est à dire. Si

(43)

Théorème 6.Lors du réaménagement des limites d'intégration, la valeur absolue de l'intégrale définie ne change pas, mais seul son signe change, c'est à dire.

(44)

Théorème 7(théorème de la valeur moyenne). Une intégrale définie est égale au produit de la longueur du segment d'intégration et de la valeur de l'intégrande à un moment donné à l'intérieur de celui-ci., c'est à dire.

(45)

Théorème 8.Si la limite supérieure de l'intégration est supérieure à la limite inférieure et que l'intégrande est non négative (positive), alors l'intégrale définie est également non négative (positive), c'est-à-dire Si

Théorème 9.Si la limite supérieure de l'intégration est supérieure à la limite inférieure et que les fonctions sont continues, alors l'inégalité

peut être intégré terme par terme, c'est à dire.

(46)

Les propriétés de l'intégrale définie permettent de simplifier le calcul direct des intégrales.

Exemple 5. Calculer l'intégrale définie

En utilisant les théorèmes 4 et 3, et en trouvant les primitives - intégrales de table (7) et (6), on obtient

Intégrale définie avec limite supérieure variable

Laisser F(X) – continu sur le segment [ un, b] fonction, et F(X) est sa primitive. Considérons l'intégrale définie

(47)

et à travers t la variable d'intégration est désignée pour ne pas la confondre avec la borne supérieure. Quand ça change X l'intégrale définie (47) change également, c'est-à-dire c'est fonction de la limite supérieure d'intégration X, que nous désignons par F(X), c'est à dire.

(48)

Montrons que la fonction F(X) est une primitive de F(X) = F(t). En effet, différencier F(X), on a

parce que F(X) – primitive pour F(X), UN F(un) est une valeur constante.

Fonction F(X) – l’une des primitives infinies de F(X), à savoir celui qui X = un va à zéro. Cet énoncé est obtenu si dans l'égalité (48) on met X = un et utilisez le théorème 1 du paragraphe précédent.

Calcul d'intégrales définies par la méthode d'intégration par parties et la méthode de changement de variable

où, par définition, F(X) – primitive pour F(X). Si on change la variable dans l'intégrande

alors, d'après la formule (16), on peut écrire

Dans cette expression

fonction primitive pour

En fait, son dérivé, selon règle de différenciation des fonctions complexes, est égal

Soient α et β les valeurs de la variable t, pour lequel la fonction

prend les valeurs en conséquence un Et b, c'est à dire.

Mais, selon la formule de Newton-Leibniz, la différence F(b) – F(un) Il y a

Formule de Newton-Leibniz

Théorème principal de l'analyse ou Formule de Newton-Leibniz donne une relation entre deux opérations : prendre une intégrale définie et calculer la primitive

Formulation

Considérons l'intégrale de la fonction oui = F(X) dans un nombre constant un jusqu'au numéro X, que nous considérerons comme variable. Écrivons l'intégrale sous la forme suivante :

Ce type d’intégrale est appelé intégrale à limite supérieure variable. En utilisant le théorème de la valeur moyenne dans une intégrale définie, il est facile de montrer que cette fonction est continue et différentiable. Et aussi la dérivée d'une fonction donnée au point x est égale à la fonction intégrable elle-même. Il s'ensuit que toute fonction continue a une primitive sous forme de quadrature : . Et puisque la classe des fonctions primitives de la fonction f diffère par une constante, il est facile de montrer que : l'intégrale définie de la fonction f est égale à la différence des valeurs des primitives aux points b et a

Fondation Wikimédia.

• 2010.
• Formule de probabilité totale

Formule Rayleigh-Jeans

Voyez ce qu'est la « formule de Newton-Leibniz » dans d'autres dictionnaires : Formule de Newton-Leibniz

- Le théorème principal de l'analyse ou formule de Leibniz de Newton donne la relation entre deux opérations : prendre une intégrale définie et calculer la primitive Formulation Considérons l'intégrale de la fonction y = f(x) dans l'intervalle d'un nombre constant a à. .. ... Wikipédia Formule d'incrément fini

- Ce terme a d’autres significations, voir le théorème de Lagrange. La formule d'incrément fini ou théorème de la valeur moyenne de Lagrange stipule que si une fonction est continue sur un intervalle et... Wikipédia Formule de Stokes

- Le théorème de Stokes est l'un des principaux théorèmes de géométrie différentielle et d'analyse mathématique sur l'intégration des formes différentielles, qui généralise plusieurs théorèmes d'analyse. Nommé d'après JG Stokes. Table des matières 1 Formulation générale 2… … Wikipédia NEWTON - FORMULE LEIBNITZ - une formule exprimant la valeur d'une intégrale définie d'une fonction donnée f sur un segment sous la forme de la différence entre les valeurs aux extrémités du segment de toute primitive F de cette fonction du nom de I. Newton et G. . Leibniz, parce que la règle … …

Encyclopédie mathématique FORMULE NEWTON-LEIBNITZ - la formule de base du calcul intégral. Exprime le lien entre une intégrale définie d'une fonction f(x) et l'une de ses primitives F(x) ...

Grand dictionnaire encyclopédique- Ce terme a d'autres significations, voir Liste des objets portant le nom de Leibniz. Ce terme a d'autres significations, voir Formule de Leibniz (significations). La formule de Leibniz en calcul intégral est la règle... ... Wikipédia

Formule de Newton-Leibniz- Formule de Newton Leibniz, formule de base du calcul intégral. Exprime le lien entre l'intégrale définie de la fonction f(x) et l'une de ses primitives F(x). . * * * FORMULE NEWTON LEIBNITZ FORMULE NEWTON LEIBNITZ, formule de base... ... Dictionnaire encyclopédique

Formule rectangulaire

Formule trapézoïdale- Intégrale définie comme l'aire d'une figure Intégration numérique (nom historique : quadrature) calcul de la valeur d'une intégrale définie (généralement approximative), basé sur le fait que la valeur de l'intégrale est numériquement égale à l'aire. . ... Wikipédia

Théorème de Newton- La formule de Leibniz de Newton ou théorème fondamental de l'analyse donne la relation entre deux opérations : prendre une intégrale définie et calculer la primitive. S'il est continu sur un segment et que toute primitive de celui-ci sur ce segment a... Wikipédia

Problème 1(à propos du calcul de l'aire d'un trapèze courbe).

Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy, on donne une figure (voir figure) délimitée par l'axe des x, des droites x = a, x = b (a par un trapèze curviligne. Il faut calculer l'aire d'un curviligne trapèze.
Solution. La géométrie nous donne des recettes pour calculer les aires de polygones et de certaines parties d'un cercle (secteur, segment). En utilisant des considérations géométriques, nous ne pouvons trouver qu'une valeur approximative de la surface recherchée, en raisonnant comme suit.

Divisons le segment [a; b] (base d'un trapèze courbe) en n parties égales ; cette partition est réalisée à l'aide des points x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Traçons des lignes droites passant par ces points parallèlement à l’axe y. Ensuite, le trapèze curviligne donné sera divisé en n parties, en n colonnes étroites. L'aire de l'ensemble du trapèze est égale à la somme des aires des colonnes.

Considérons la k-ième colonne séparément, c'est-à-dire un trapèze courbe dont la base est un segment. Remplaçons-le par un rectangle de même base et de même hauteur égale à f(x k) (voir figure). L'aire du rectangle est égale à \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), où \(\Delta x_k \) est la longueur du segment ; Il est naturel de considérer le produit résultant comme une valeur approximative de l'aire de la kème colonne.

Si l'on fait maintenant de même avec toutes les autres colonnes, on arrivera au résultat suivant : l'aire S d'un trapèze curviligne donné est approximativement égale à l'aire S n d'une figure en escalier composée de n rectangles (voir figure) :
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ici, par souci d'uniformité de notation, nous supposons que a = x 0, b = x n ; \(\Delta x_0 \) - longueur du segment, \(\Delta x_1 \) - longueur du segment, etc.; dans ce cas, comme nous l'avons convenu ci-dessus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Donc, \(S \approx S_n \), et cette égalité approximative est d’autant plus précise que plus n est grand.
Par définition, on pense que l'aire requise d'un trapèze curviligne est égale à la limite de la séquence (S n) :
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problème 2(à propos de déplacer un point)
Un point matériel se déplace en ligne droite. La dépendance de la vitesse au temps est exprimée par la formule v = v(t). Trouver le mouvement d'un point sur une période de temps [a; b].
Solution. Si le mouvement était uniforme, alors le problème serait résolu très simplement : s = vt, c'est-à-dire s = v(ba). Pour les mouvements inégaux, vous devez utiliser les mêmes idées sur lesquelles était basée la solution du problème précédent.
1) Divisez l'intervalle de temps [a; b] en n parties égales.
2) Considérons une période de temps et supposons que pendant cette période la vitesse était constante, la même qu'au temps t k. Nous supposons donc que v = v(t k).
3) Trouvons la valeur approximative du mouvement du point sur une période de temps, nous noterons cette valeur approximative par sk ;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Trouver la valeur approximative du déplacement s :
\(s \approx S_n \) où
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Le déplacement recherché est égal à la limite de la séquence (S n) :
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Résumons. Les solutions à divers problèmes ont été réduites au même modèle mathématique. De nombreux problèmes issus de divers domaines scientifiques et technologiques conduisent au même modèle en cours de résolution. Cela signifie que ce modèle mathématique doit être spécialement étudié.

Le concept d'intégrale définie

Donnons une description mathématique du modèle qui a été construit dans les trois problèmes considérés pour la fonction y = f(x), continue (mais pas nécessairement non négative, comme cela était supposé dans les problèmes considérés) sur l'intervalle [a; b] :
1) diviser le segment [a; b] en n parties égales ;
2) faites la somme $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculer $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Au cours d'une analyse mathématique, il a été prouvé que cette limite existe dans le cas d'une fonction continue (ou continue par morceaux). Il est appelé une certaine intégrale de la fonction y = f(x) sur le segment [a; b] et noté comme suit :
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Les nombres a et b sont appelés limites d'intégration (respectivement inférieure et supérieure).

Revenons aux tâches évoquées ci-dessus. La définition de la zone donnée dans le problème 1 peut maintenant être réécrite comme suit :
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ici S est l'aire du trapèze curviligne représenté dans la figure ci-dessus. C'est signification géométrique d’une intégrale définie.

La définition du déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b, donnée dans le problème 2, peut être réécrite comme suit :

Formule de Newton-Leibniz

Tout d'abord, répondons à la question : quel est le lien entre l'intégrale définie et la primitive ?

La réponse peut être trouvée dans le problème 2. D'une part, le déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b est calculé par la formule
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

D'un autre côté, la coordonnée d'un point en mouvement est une primitive de la vitesse - notons-la s(t) ; cela signifie que le déplacement s est exprimé par la formule s = s(b) - s(a). En conséquence nous obtenons :
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
où s(t) est la primitive de v(t).

Le théorème suivant a été prouvé au cours d’une analyse mathématique.
Théorème. Si la fonction y = f(x) est continue sur l'intervalle [a; b], alors la formule est valide
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
où F(x) est la primitive de f(x).

La formule donnée est généralement appelée Formule de Newton-Leibniz en l'honneur du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716), qui l'ont reçu indépendamment l'un de l'autre et presque simultanément.

En pratique, au lieu d'écrire F(b) - F(a), ils utilisent la notation \(\left. F(x)\right|_a^b \) (on l'appelle parfois double remplacement) et, en conséquence, réécrivez la formule de Newton-Leibniz sous cette forme :
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Lors du calcul d'une intégrale définie, recherchez d'abord la primitive, puis effectuez une double substitution.

Sur la base de la formule de Newton-Leibniz, nous pouvons obtenir deux propriétés de l'intégrale définie.

Propriété 1. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales :
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Propriété 2. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calculer les aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

En utilisant l'intégrale, vous pouvez calculer les aires non seulement de trapèzes curvilignes, mais également de figures planes d'un type plus complexe, par exemple celle représentée sur la figure. La figure P est limitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions continues y = f(x), y = g(x), et sur le segment [a; b] l'inégalité \(g(x) \leq f(x) \) est vraie. Pour calculer l’aire S d’une telle figure, nous procéderons de la manière suivante :
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Ainsi, l'aire S d'une figure délimitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions y = f(x), y = g(x), continues sur le segment et telles que pour tout x du segment [un; b] l'inégalité \(g(x) \leq f(x) \) est satisfaite, calculée par la formule
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions

Aperçu:

Pour utiliser les aperçus de présentation, créez un compte Google et connectez-vous : https://accounts.google.com

Légendes des diapositives :

Intégral. Formule de Newton-Leibniz. Compilé par : Professeur de mathématiques de l'établissement d'enseignement public de l'établissement d'enseignement PU n° 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

Objectif de la leçon : Présenter la notion d'intégrale et son calcul à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, en utilisant les connaissances sur la primitive et les règles de son calcul ; Illustrer l'application pratique de l'intégrale à l'aide d'exemples de recherche de l'aire d'un trapèze curviligne ; Renforcez ce que vous avez appris pendant les exercices.

Définition : Soit donnée une fonction positive f(x), définie sur un segment fini [a;b]. L'intégrale d'une fonction f(x) sur [ a;b ] est l'aire de son trapèze curviligne. y=f(x) b une 0 x y

Désignation :  « intégrale de a à b eff de x de x »

Note historique : Leibniz a dérivé la notation de l'intégrale de la première lettre du mot « Summa ». Newton n'a pas proposé de symbolisme alternatif pour l'intégrale dans ses œuvres, bien qu'il ait essayé diverses options. Le terme intégral lui-même a été inventé par Jacob Bernoulli. Summa Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli

Euler a introduit la notation de l'intégrale indéfinie. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonard Euler La conception de l'intégrale définie sous la forme que nous connaissons a été inventée par Fourier.

Formule de Newton-Leibniz

Exemple 1. Calculer l'intégrale définie : = Solution :

Exemple 2. Calculer des intégrales définies : 5 9 1

Exemple 3. S y x Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes et l'axe des x. Tout d’abord, trouvons les points d’intersection de l’axe des x avec le graphique de la fonction. Pour ce faire, résolvons l'équation. = Solution : S =

y x S A B D C Exemple 4. Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes et trouvez les points d'intersection (abscisses) de ces lignes en résolvant l'équation S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4,5 = 4,5 voir exemple 1 Solution :

SINCWAIN RULES 1 ligne - le thème du syncwine 1 mot 2 lignes - 2 adjectifs décrivant les signes et les propriétés du sujet 3 lignes - 3 verbes décrivant la nature de l'action 4 lignes - une courte phrase de 4 mots montrant votre attitude personnelle envers le sujet 5 lignes - 1 mot, synonyme ou votre association thème du sujet .

Intégrale 2. Défini, positif Compter, additionner, multiplier 4. Calculer en utilisant la formule de Newton-Leibniz 5. Aire

Liste de la littérature utilisée : manuel d'A.N. Kolmagorov. et autres Algèbre et débuts d'analyse 10e - 11e année.

Merci pour votre attention! « LE TALENT représente 99 % du travail et 1 % de la capacité » sagesse populaire

Exemple 1. Calculer l'intégrale définie : = Solution : exemple 4

Aperçu:

Matière : mathématiques (algèbre et débuts de l'analyse), année : 11e année.

Sujet de la leçon : "Intégral. Formule de Newton-Leibniz."

Type de cours : Apprendre du nouveau matériel.

Durée du cours : 45 minutes.

Objectifs de la leçon: introduire la notion d'intégrale et son calcul à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, en utilisant les connaissances sur la primitive et les règles de son calcul ; illustrer l'application pratique de l'intégrale à l'aide d'exemples de recherche de l'aire d'un trapèze curviligne ; consolider ce que vous avez appris au cours des exercices.

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

1. former le concept d'intégrale;
2. développer des compétences dans le calcul d'une intégrale définie ;
3. développer des compétences dans l'application pratique de l'intégrale pour trouver l'aire d'un trapèze curviligne.

Éducatif:

1. développer l’intérêt cognitif des élèves, développer le discours mathématique, la capacité d’observer, de comparer et de tirer des conclusions ;
2. développer l'intérêt pour le sujet en utilisant les TIC.

Éducatif:

1. intensifier l'intérêt pour l'acquisition de nouvelles connaissances, développer l'exactitude et l'exactitude lors du calcul de l'intégrale et de la réalisation de dessins.

Équipement: PC, système d'exploitation Microsoft Windows 2000/XP, programme MS Office 2007 : Power Point, Microsoft Word ; projecteur multimédia, écran.

Littérature: manuel de Kolmagorov A.N. et autres. Algèbre et débuts d'analyse 10-11 années.

Technologies : TIC, formation individuelle.

PENDANT LES COURS

Aperçu:

Résumé de base sur le thème « Intégral. Formule de Newton-Leibniz."