Dans la technologie et dans le monde qui nous entoure, nous devons souvent faire face à périodique(ou presque périodique) processus qui se répètent à intervalles réguliers. De tels processus sont appelés oscillatoire.
Les oscillations sont l’un des processus les plus courants dans la nature et dans la technologie. Les ailes d'insectes et d'oiseaux en vol, les immeubles de grande hauteur et les fils à haute tension sous l'influence du vent, le pendule d'une horloge à remontage et d'une voiture sur ressorts en roulant, le niveau de la rivière tout au long de l'année et la température de l'eau. corps humain pendant la maladie, le son est constitué de fluctuations de la densité et de la pression de l'air, les ondes radio sont des changements périodiques dans l'intensité des champs électriques et magnétiques, la lumière visible est également des vibrations électromagnétiques, mais avec des longueurs d'onde et des fréquences légèrement différentes, les tremblements de terre sont des vibrations du sol, le pouls ce sont des contractions périodiques du muscle cardiaque humain, etc.
Les oscillations peuvent être mécaniques, électromagnétiques, chimiques, thermodynamiques et diverses autres. Malgré une telle diversité, ils ont tous beaucoup de points communs.
Les phénomènes oscillatoires de diverses natures physiques sont soumis à des lois générales. Par exemple, les oscillations du courant dans un circuit électrique et les oscillations d'un pendule mathématique peuvent être décrites par les mêmes équations. La communauté des modèles oscillatoires nous permet d'envisager des processus oscillatoires de diverses natures d'un seul point de vue. Un signe de mouvement oscillatoire est son périodicité.
Vibrations mécaniques –Cemouvements répétés exactement ou approximativement à intervalles réguliers.
Des exemples de systèmes oscillatoires simples sont une charge sur un ressort (pendule à ressort) ou une bille sur une corde (pendule mathématique).
Lors des vibrations mécaniques, les énergies cinétiques et potentielles changent périodiquement.
À écart maximal corps à partir de sa position d'équilibre, de sa vitesse, et donc l'énergie cinétique tend vers zéro. Dans cette position énergie potentielle corps oscillant atteint la valeur maximale. Pour une charge sur un ressort, l’énergie potentielle est l’énergie de déformation élastique du ressort. Pour un pendule mathématique, il s’agit de l’énergie présente dans le champ gravitationnel de la Terre.
Lorsqu'un corps, dans son mouvement, traverse Position d'équilibre, sa vitesse est maximale. Le corps dépasse la position d'équilibre selon la loi de l'inertie. En ce moment, il a énergie cinétique maximale et énergie potentielle minimale. Une augmentation de l'énergie cinétique se produit en raison d'une diminution de l'énergie potentielle.
Avec un mouvement ultérieur, l'énergie potentielle commence à augmenter en raison d'une diminution de l'énergie cinétique, etc.
Ainsi, lors des oscillations harmoniques, une transformation périodique de l'énergie cinétique en énergie potentielle et vice versa se produit.
S'il n'y a pas de frottement dans le système oscillatoire, alors l'énergie mécanique totale lors des vibrations mécaniques reste inchangée.
Pour charge à ressort:
A la position de déviation maximale, l'énergie totale du pendule est égale à l'énergie potentielle du ressort déformé :
Lors du passage par la position d'équilibre, l'énergie totale est égale à l'énergie cinétique de la charge :
Pour les petites oscillations d'un pendule mathématique:
A la position de déviation maximale, l'énergie totale du pendule est égale à l'énergie potentielle du corps élevé à une hauteur h :
Lors du passage par la position d'équilibre, l'énergie totale est égale à l'énergie cinétique du corps :
Ici h m– la hauteur maximale du pendule dans le champ gravitationnel terrestre, xm et υ m = ω 0 xm– les valeurs maximales de l’écart du pendule par rapport à la position d’équilibre et de sa vitesse.
Oscillations harmoniques et leurs caractéristiques. Équation de vibration harmonique.
Le type de processus oscillatoire le plus simple est simple vibrations harmoniques, qui sont décrits par l'équation
X = xm cos(ω t + φ 0).
Ici X– déplacement du corps depuis la position d'équilibre,
xm– l'amplitude des oscillations, c'est-à-dire le déplacement maximal par rapport à la position d'équilibre,
ω – fréquence cyclique ou circulaire hésitation,
t- temps.
Caractéristiques du mouvement oscillatoire.
Décalage x –écart d'un point oscillant par rapport à sa position d'équilibre. L'unité de mesure est 1 mètre.
Amplitude d'oscillation A –écart maximal d'un point oscillant par rapport à sa position d'équilibre. L'unité de mesure est 1 mètre.
Période d'oscillationT– l'intervalle de temps minimum pendant lequel une oscillation complète se produit est appelé. L'unité de mesure est 1 seconde.
T=t/N
où t est le temps des oscillations, N est le nombre d'oscillations effectuées pendant ce temps.
A partir du graphique des oscillations harmoniques, vous pouvez déterminer la période et l'amplitude des oscillations :
Fréquence d'oscillation ν – une grandeur physique égale au nombre d'oscillations par unité de temps.
ν=N/t
La fréquence est l’inverse de la période d’oscillation :
Fréquence oscillations ν indique le nombre d'oscillations qui se produisent en 1 s. L'unité de fréquence est. hertz(Hz).
Fréquence cyclique ω– nombre d'oscillations en 2π secondes.
La fréquence d'oscillation ν est liée à fréquence cyclique ω et période d'oscillation T ratios :
Phase processus harmonique - une quantité sous le signe sinus ou cosinus dans l'équation des oscillations harmoniques φ = ω t + φ 0 . À t= 0 φ = φ 0 , donc φ 0 appelé phase initiale.
Graphique harmonique représente une onde sinusoïdale ou cosinusoïdale.
Dans les trois cas pour les courbes bleues φ 0 = 0 :
seulement plus grand amplitude(x" m > x m);
la courbe rouge est différente de la bleue seulement signification période(T" = T/2);
la courbe rouge est différente de la bleue seulement signification phase initiale(content).
Lorsqu'un corps oscille le long d'une ligne droite (axe BŒUF) le vecteur vitesse est toujours dirigé le long de cette droite. La vitesse de mouvement du corps est déterminée par l'expression
En mathématiques, la procédure pour trouver la limite du rapport Δх/Δt à Δ t→ 0 s'appelle calculer la dérivée de la fonction X(t) par heure t et est noté X"(t).La vitesse est égale à la dérivée de la fonction x( t) par heure t.
Pour la loi harmonique du mouvement X = xm cos(ω t+ φ 0) le calcul de la dérivée conduit au résultat suivant :
υ X =X"(t)= ω xm péché (ω t + φ 0)
L'accélération est déterminée de la même manière un x corps lors de vibrations harmoniques. Accélération un est égal à la dérivée de la fonction υ( t) par heure t, ou la dérivée seconde de la fonction X(t). Les calculs donnent :
et x = υ x "(t) =X""(t)= -ω 2 xm cos(ω t+ φ 0)=-ω 2 X
Le signe moins dans cette expression signifie que l'accélération un(t) a toujours le signe opposé du déplacement X(t), et donc, selon la deuxième loi de Newton, la force qui amène le corps à effectuer des oscillations harmoniques est toujours dirigée vers la position d’équilibre ( X = 0).
La figure montre des graphiques des coordonnées, de la vitesse et de l'accélération d'un corps effectuant des oscillations harmoniques.
Graphiques des coordonnées x(t), de la vitesse υ(t) et de l'accélération a(t) d'un corps effectuant des oscillations harmoniques.
Pendule à ressort.
Pendule à ressortest une charge d'une certaine masse m attachée à un ressort de raideur k, dont la deuxième extrémité est fixée fixement.
Fréquence naturelleω 0 les oscillations libres de la charge sur le ressort se trouvent par la formule :
Période T les vibrations harmoniques de la charge sur le ressort sont égales à
Cela signifie que la période d'oscillation d'un pendule à ressort dépend de la masse de la charge et de la raideur du ressort.
Propriétés physiques d'un système oscillatoire déterminer uniquement la fréquence propre des oscillations ω 0 et la période T . Paramètres du processus d'oscillation tels que l'amplitude xm et la phase initiale φ 0 sont déterminées par la manière dont le système a été déséquilibré au moment initial.
Pendule mathématique.
Pendule mathématiqueappelé petit corps suspendu à un fil fin et inextensible dont la masse est négligeable par rapport à la masse du corps.
En position d'équilibre, lorsque le pendule est suspendu à l'aplomb, la force de gravité est équilibrée par la force de tension du fil N. Lorsque le pendule est dévié de la position d'équilibre d'un certain angle φ, une composante tangentielle de la force de gravité apparaît F τ = – mg péché φ. Le signe moins dans cette formule signifie que la composante tangentielle est dirigée dans la direction opposée à la déviation du pendule.
Pendule mathématique.φ – déviation angulaire du pendule par rapport à la position d'équilibre,
X= lφ – déplacement du pendule le long de l'arc
La fréquence naturelle des petites oscillations d'un pendule mathématique est exprimée par la formule :
Période d'oscillation d'un pendule mathématique :
Cela signifie que la période d'oscillation d'un pendule mathématique dépend de la longueur du fil et de l'accélération de la chute libre de la zone où est installé le pendule.
Vibrations libres et forcées.
Les vibrations mécaniques, comme les processus oscillatoires de toute autre nature physique, peuvent être gratuit Et forcé.
Vibrations gratuites –ce sont des oscillations qui se produisent dans un système sous l'influence de forces internes, une fois que le système a été éloigné d'une position d'équilibre stable.
Les oscillations d'un poids sur un ressort ou les oscillations d'un pendule sont des oscillations libres.
Pour que des vibrations libres se produisent selon la loi harmonique, il faut que la force tendant à ramener le corps à la position d'équilibre soit proportionnelle au déplacement du corps depuis la position d'équilibre et dirigée dans le sens opposé au déplacement.
En conditions réelles, tout système oscillatoire est sous l'influence de forces de frottement (résistance). Dans ce cas, une partie de l'énergie mécanique est convertie en énergie interne du mouvement thermique des atomes et des molécules, et les vibrations deviennent décoloration.
Décoloration appelées oscillations dont l'amplitude diminue avec le temps.
Pour éviter que les oscillations ne s'atténuent, il est nécessaire de fournir au système une énergie supplémentaire, c'est-à-dire influencer le système oscillatoire avec une force périodique (par exemple, pour faire bouger une balançoire).
Les oscillations se produisant sous l'influence d'une force externe changeant périodiquement sont appeléesforcé.
Une force externe effectue un travail positif et fournit un flux d'énergie au système oscillatoire. Il ne permet pas aux vibrations de s'éteindre, malgré l'action des forces de friction.
Une force externe périodique peut évoluer dans le temps selon diverses lois. Le cas est particulièrement intéressant lorsqu'une force externe, variant selon une loi harmonique avec une fréquence ω, agit sur un système oscillatoire capable d'effectuer ses propres oscillations à une certaine fréquence ω 0.
Si des oscillations libres se produisent à une fréquence ω 0, qui est déterminée par les paramètres du système, alors des oscillations forcées constantes se produisent toujours à fréquence ω force externe .
Le phénomène d'une forte augmentation de l'amplitude des oscillations forcées lorsque la fréquence des oscillations naturelles coïncide avec la fréquence de la force motrice externe est appelérésonance.
Dépendance à l'amplitude xm les oscillations forcées à partir de la fréquence ω de la force motrice sont appelées caractéristique de résonance ou courbe de résonance.
Courbes de résonance à différents niveaux d'atténuation :
1 – système oscillatoire sans frottement ; à la résonance, l'amplitude x m des oscillations forcées augmente indéfiniment ;
2, 3, 4 – courbes de résonance réelles pour systèmes oscillatoires avec différents frottements.
En l'absence de frottement, l'amplitude des oscillations forcées lors de la résonance devrait augmenter sans limite. Dans des conditions réelles, l'amplitude des oscillations forcées en régime permanent est déterminée par la condition : le travail d'une force externe pendant la période d'oscillation doit être égal à la perte d'énergie mécanique pendant le même temps due au frottement. Moins il y a de frottement, plus l'amplitude des oscillations forcées lors de la résonance est grande.
Le phénomène de résonance peut provoquer la destruction de ponts, de bâtiments et d'autres structures si les fréquences naturelles de leurs oscillations coïncident avec la fréquence d'une force agissant périodiquement, qui apparaît, par exemple, en raison de la rotation d'un moteur déséquilibré.
La période d'oscillation d'un pendule physique dépend de nombreuses circonstances : de la taille et de la forme du corps, de la distance entre le centre de gravité et le point de suspension et de la répartition de la masse corporelle par rapport à ce point ; Par conséquent, calculer la durée d'un corps suspendu est une tâche assez difficile. La situation est plus simple pour un pendule mathématique. À partir des observations de tels pendules, les lois simples suivantes peuvent être établies.
1. Si, tout en conservant la même longueur du pendule (la distance entre le point de suspension et le centre de gravité de la charge), vous suspendez des charges différentes, alors la période d'oscillation sera la même, bien que les masses du les charges sont très différentes. La période d'un pendule mathématique ne dépend pas de la masse de la charge.
2. Si, lors du démarrage d'un pendule, nous le dévions selon des angles différents (mais pas trop grands), alors il oscillera avec la même période, bien qu'avec des amplitudes différentes. Tant que les amplitudes ne sont pas trop grandes, les oscillations sont assez proches dans leur forme de l'harmonique (§ 5) et la période d'un pendule mathématique ne dépend pas de l'amplitude des oscillations. Cette propriété est appelée isochronisme (du grec « isos » - égal, « chronos » - temps).
Ce fait a été établi pour la première fois en 1655 par Galilée, prétendument dans les circonstances suivantes. Galilée a observé dans la cathédrale de Pise le balancement d'un lustre sur une longue chaîne, qui était poussé lorsqu'il était allumé. Au cours du service, les oscillations s'estompent progressivement (§ 11), c'est-à-dire que l'amplitude des vibrations diminue, mais la période reste la même. Galilée utilisait son propre pouls comme indicateur de temps.
Dérivons maintenant une formule pour la période d'oscillation d'un pendule mathématique.
Riz. 16. Oscillations d'un pendule dans un plan (a) et mouvement le long d'un cône (b)
Lorsque le pendule oscille, la charge se déplace accélérée le long d'un arc (Fig. 16, a) sous l'influence d'une force de rappel, qui change au cours du mouvement. Calculer le mouvement d’un corps sous l’action d’une force variable est assez compliqué. Par conséquent, par souci de simplicité, nous procéderons comme suit.
Faisons en sorte que le pendule n'oscille pas dans un plan, mais décrivons un cône pour que la charge se déplace en cercle (Fig. 16, b). Ce mouvement peut être obtenu grâce à l'addition de deux vibrations indépendantes : l'une - toujours dans le plan du dessin et l'autre - dans un plan perpendiculaire. Évidemment, les périodes de ces deux oscillations planes sont les mêmes, puisqu’un plan d’oscillation n’est pas différent des autres. Par conséquent, la période de mouvement complexe - la rotation du pendule le long du cône - sera la même que la période de balancement du plan d'eau. Cette conclusion peut être facilement illustrée par l'expérience directe en prenant deux pendules identiques et en donnant à l'un une oscillation dans un plan et à l'autre une rotation le long d'un cône.
Mais la période de révolution du pendule « conique » est égale à la longueur du cercle décrit par la charge, divisée par la vitesse :
Si l'angle de déviation par rapport à la verticale est faible (faibles amplitudes), alors on peut supposer que la force de rappel est dirigée le long du rayon du cercle, c'est-à-dire égale à la force centripète :
D’un autre côté, de la similitude des triangles, il résulte que . Depuis, d'ici
En assimilant les deux expressions, on obtient pour le taux de circulation
Finalement, en substituant ceci dans l'expression du point, nous trouvons
Ainsi, la période d'un pendule mathématique dépend uniquement de l'accélération de la gravité et de la longueur du pendule, c'est-à-dire de la distance entre le point de suspension et le centre de gravité de la charge. De la formule résultante, il s'ensuit que la période du pendule ne dépend pas de sa masse et de son amplitude (à condition qu'elle soit suffisamment petite). En d’autres termes, nous avons obtenu par calcul les lois fondamentales préalablement établies à partir d’observations.
Mais notre conclusion théorique nous apporte plus : elle permet d'établir une relation quantitative entre la période du pendule, sa longueur et l'accélération de la pesanteur. La période d'un pendule mathématique est proportionnelle à la racine carrée du rapport entre la longueur du pendule et l'accélération de la gravité. Le coefficient de proportionnalité est .
Une méthode très précise pour déterminer cette accélération repose sur la dépendance de la période du pendule à l'accélération de la gravité. Après avoir mesuré la longueur du pendule et déterminé la période à partir d'un grand nombre d'oscillations, nous pouvons calculer à l'aide de la formule résultante. Cette méthode est largement utilisée dans la pratique.
On sait (voir Tome I, §53) que l'accélération de la pesanteur dépend de la latitude géographique du lieu (au pôle et à l'équateur). Les observations de la période d'oscillation d'un certain pendule standard permettent d'étudier la répartition de l'accélération gravitationnelle sur la latitude. Cette méthode est si précise qu'elle peut être utilisée pour détecter des différences de valeur plus subtiles à la surface de la Terre. Il s’avère que même sur le même parallèle, les valeurs en différents points de la surface terrestre sont différentes. Ces anomalies dans la répartition de l'accélération gravitationnelle sont associées à la densité inégale de la croûte terrestre. Ils sont utilisés pour étudier la répartition de la densité, notamment pour détecter la présence d'éventuels minéraux dans la croûte terrestre. De vastes modifications gravimétriques, qui ont permis de juger de l'apparition de masses denses, ont été réalisées en URSS dans la zone de ce qu'on appelle l'anomalie magnétique de Koursk (voir tome II, § 130) sous la direction du Physicien soviétique Piotr Petrovitch Lazarev. En combinaison avec des données sur l'anomalie du champ magnétique terrestre, ces données gravimétriques ont permis d'établir la répartition de l'occurrence des masses de fer qui déterminent les anomalies magnétiques et gravitationnelles de Koursk.
Qu'est-ce qu'un pendule mathématique ?
Grâce aux leçons précédentes, vous devez déjà savoir qu'un pendule désigne généralement un corps qui oscille sous l'influence d'une interaction gravitationnelle. Autrement dit, on peut dire qu'en physique, ce concept est généralement considéré comme un corps solide qui, sous l'influence de la gravité, effectue des mouvements oscillatoires qui se produisent autour d'un point ou d'un axe fixe.
Principe de fonctionnement d'un pendule mathématique
Examinons maintenant le principe de fonctionnement d'un pendule mathématique et découvrons de quoi il s'agit.
Le principe de fonctionnement d'un pendule mathématique est que lorsqu'un point matériel s'écarte de la position d'équilibre d'un petit angle a, c'est-à-dire un angle auquel la condition sina=a serait satisfaite, alors une force F = -mgsina = - mga va agir sur le corps.
On voit que la force F a un exposant négatif, et il s'ensuit que le signe moins nous indique que cette force est dirigée dans la direction opposée au déplacement. Et puisque la force F est proportionnelle au déplacement S, il s'ensuit que sous l'influence d'une telle force le point matériel effectuera des oscillations harmoniques.
Propriétés d'un pendule
Si nous prenons un autre pendule, sa période d’oscillation dépend de nombreux facteurs. Ces facteurs comprennent :
Premièrement, la taille et la forme du corps ;
Deuxièmement, la distance qui existe entre le point de suspension et le centre de gravité ;
Troisièmement, également la répartition du poids corporel par rapport à un point donné.
En relation avec ces diverses circonstances des pendules, il est assez difficile de déterminer la période d'un corps suspendu.
Et si nous prenons un pendule mathématique, alors il possède toutes ces propriétés qui peuvent être prouvées à l'aide de lois physiques connues et sa période peut être facilement calculée à l'aide d'une formule.
Après avoir effectué de nombreuses observations différentes sur de tels systèmes mécaniques, les physiciens ont pu déterminer des modèles tels que :
Premièrement, la période du pendule ne dépend pas de la masse de la charge. Autrement dit, si, avec la même longueur du pendule, nous suspendons des poids qui ont des masses différentes, alors la période de leurs oscillations sera toujours la même, même si leurs masses présentent des différences assez frappantes.
Deuxièmement, si nous dévions le pendule selon des angles petits mais différents lors du démarrage du système, alors ses oscillations auront la même période, mais les amplitudes seront différentes. Avec de petits écarts par rapport au centre d’équilibre, les vibrations dans leur forme auront un caractère presque harmonique. Autrement dit, on peut dire que la période d'un tel pendule ne dépend pas de l'amplitude des oscillations. Traduite du grec, cette propriété de ce système mécanique est appelée isochronisme, où « isos » signifie égal et « chronos » signifie temps.
Utilisation pratique des oscillations du pendule
Un pendule mathématique est utilisé pour diverses études par des physiciens, des astronomes, des géomètres et d'autres scientifiques. A l'aide d'un tel pendule, ils recherchent des minéraux. En observant l'accélération d'un pendule mathématique et en comptant le nombre de ses oscillations, on peut trouver des gisements de charbon et de minerai dans les entrailles de notre Terre.
K. Flammarion, célèbre astronome et naturaliste français, a affirmé qu'avec l'aide d'un pendule mathématique, il avait pu faire de nombreuses découvertes importantes, notamment l'apparition de la météorite Toungouska et la découverte d'une nouvelle planète.
De nos jours, de nombreux médiums et occultistes utilisent un tel système mécanique pour rechercher des personnes disparues et faire des prédictions prophétiques.
Pendule mathématique
Introduction
Période d'oscillation
conclusions
Littérature
Introduction
Il n'est plus possible de vérifier la légende selon laquelle Galilée, debout en prière dans la cathédrale, surveillait attentivement le balancement des lustres en bronze. J'ai observé et déterminé le temps passé par le lustre à aller et venir. Cette période fut plus tard appelée période d’oscillation. Galilée n'avait pas de montre, et pour comparer la période d'oscillation de lustres suspendus à des chaînes de différentes longueurs, il utilisait la fréquence de son pouls.
Les pendules sont utilisés pour régler la vitesse des horloges, puisque tout pendule a une période d’oscillation très spécifique. Le pendule trouve également des applications importantes dans l'exploration géologique. On sait que dans différents endroits du monde, les valeurs g sont différents. Ils sont différents car la Terre n’est pas une sphère complètement régulière. De plus, dans les zones où se trouvent des roches denses, comme certains minerais métalliques, la valeur g anormalement élevé. Mesures précises gà l'aide d'un pendule mathématique, il est parfois possible de détecter de tels dépôts.
Équation du mouvement d'un pendule mathématique
Un pendule mathématique est un point matériel lourd qui se déplace soit le long d'un cercle vertical (pendule mathématique plat), soit le long d'une sphère (pendule sphérique). En première approximation, un pendule mathématique peut être considéré comme une petite charge suspendue à un fil flexible et inextensible.
Considérons le mouvement d'un pendule mathématique plat le long d'un cercle de rayon je centré en un point À PROPOS(Fig. 1). Nous déterminerons la position du point M.(pendule) angle de déviation j rayon OM de la verticale. Diriger une tangente M. t vers l'angle positif j, on composera une équation naturelle du mouvement. Cette équation est formée de l'équation du mouvement
mW=F+N, (1)
Où F est la force active agissant sur le point, et N- réaction de communication.
Image 1
Nous avons obtenu l’équation (1) selon la deuxième loi de Newton, qui est la loi fondamentale de la dynamique et stipule que la dérivée temporelle de l’impulsion d’un point matériel est égale à la force agissant sur lui, c’est-à-dire
En supposant que la masse est constante, on peut représenter l’équation précédente sous la forme
Où W est l'accélération du point.
Ainsi, l'équation (1) en projection sur l'axe t nous donnera l'une des équations naturelles pour le mouvement d'un point le long d'une courbe lisse fixe donnée :
Dans notre cas, on obtient en projection sur l'axe t
,
Où m il y a une masse du pendule.
Depuis ou , d'ici on trouve
.
Réduire de m et croire
, (3)
on aura finalement :
,
,
,
. (4)
Considérons d'abord le cas des petites oscillations. Supposons qu'au moment initial le pendule soit dévié de la verticale d'un angle j et abaissé sans vitesse initiale. Alors les conditions initiales seront :
à t= 0, 
. (5)
De l'intégrale énergétique :
, (6)
Où V- l'énergie potentielle, et h est la constante d'intégration, il s'ensuit que dans ces conditions à tout instant l'angle jЈj 0 . Valeur constante h déterminé à partir des données initiales. Supposons que l'angle j 0 soit petit (j 0 Ј1) ; alors l'angle j sera également petit et nous pourrons fixer approximativement sinj»j. Dans ce cas, l'équation (4) prendra la forme
. (7)
L'équation (7) est l'équation différentielle d'une simple oscillation harmonique. La solution générale de cette équation est
, (8)
Où UN Et B ou un et e sont des constantes d'intégration.
De là, nous trouvons immédiatement le point ( T) petites oscillations d'un pendule mathématique (période - la période de temps pendant laquelle le point revient à sa position précédente à la même vitesse)
Et 
,
parce que sin a une période égale à 2p, alors w T=2p Yu
(9)
Pour trouver la loi du mouvement dans les conditions initiales (5), on calcule :
. (10)
En substituant les valeurs (5) dans les équations (8) et (10), on obtient :
j 0 = UN, 0 = w B,
ceux. B=0. Par conséquent, la loi du mouvement pour les petites oscillations dans les conditions (5) sera :
j = j 0 cos poids. (onze)
Trouvons maintenant la solution exacte au problème d’un pendule mathématique plat. Déterminons d'abord la première intégrale de l'équation du mouvement (4). Parce que
,
alors (4) peut être représenté par
.
Par conséquent, en multipliant les deux côtés de l’équation par d j et en intégrant, on obtient :
. (12)
Notons ici j 0 l'angle de déviation maximale du pendule ; alors pour j = j 0 nous aurons, d'où C= w 2 cosj 0 . Il en résulte que l’intégrale (12) donne :
, (13)
où w est déterminé par l’égalité (3).
Cette intégrale est l'intégrale d'énergie et peut être directement obtenue à partir de l'équation
, (14)
où sont les travaux de déménagement M. 0 M. force active F, si l'on prend en compte cela dans notre cas v 0 =0, et (voir figure).
D'après l'équation (13), il est clair que lorsque le pendule se déplace, l'angle j changera entre les valeurs +j 0 et -j 0 (|j|Јj 0, puisque), c'est-à-dire le pendule effectuera un mouvement oscillant. Mettons-nous d'accord pour compter le temps tà partir du moment où le pendule passe par la verticale O.A. lorsqu'il se déplace vers la droite (voir figure). On aura alors la condition initiale :
à t=0, j=0. (15)
De plus, lors du déplacement d'un point UN volonté ; en prenant la racine carrée des deux côtés de l'égalité (13), on obtient :
.
En séparant les variables ici, nous avons :
. (16)
, 
,
Que
.
En substituant ce résultat dans l'équation (16), nous obtenons.
La période d'oscillation d'un pendule mathématique dépend de la longueur du fil : à mesure que la longueur du fil diminue, la période d'oscillation diminue
Pour un pendule mathématique, certaines lois sont satisfaites :
1 loi. Si, tout en conservant la même longueur du pendule, nous suspendons des charges différentes (par exemple 5 kg et 100 kg), alors la période d'oscillation sera la même, bien que les masses des charges soient très différentes. La période d'un pendule mathématique ne dépend pas de la masse de la charge.
2ème loi. Si le pendule est dévié selon des angles différents mais petits, il oscillera alors avec la même période, mais avec des amplitudes différentes. Tant que l'amplitude du pendule est petite, les oscillations dans leur forme seront similaires aux harmoniques, et alors la période du pendule mathématique ne dépend pas de l'amplitude des oscillations. Cette propriété est appelée isochronisme.
Dérivons la formule de la période d'un pendule mathématique.
La charge m d'un pendule mathématique est soumise à l'action de la force de gravité mg et de la force élastique du fil Fynp. Dirigons l'axe 0X le long de la tangente à la trajectoire du mouvement ascendant. Écrivons la deuxième loi de Newton pour ce cas :
On projette le tout sur l'axe OX :
Aux petits angles
Après avoir effectué des substitutions et de petites transformations, nous obtenons que l'équation ressemble à :
En comparant l'expression résultante avec l'équation des vibrations harmoniques, on obtient :
De l'équation, on peut voir que la fréquence cyclique du pendule à ressort aura la forme :
Alors la période du pendule mathématique sera égale à :
La période d'un pendule mathématique dépend uniquement de l'accélération de la gravité g et de la longueur du pendule l. De la formule résultante, il s'ensuit que la période du pendule ne dépend pas de sa masse et de son amplitude (à condition qu'elle soit suffisamment petite). Nous avons également établi une relation quantitative entre la période du pendule, sa longueur et l'accélération de la gravité. La période d'un pendule mathématique est proportionnelle à la racine carrée du rapport entre la longueur du pendule et l'accélération de la gravité. Le facteur de proportionnalité est de 2p
Il y a aussi:
Période d'un pendule à ressort
Période d'un pendule physique 
Période d'un pendule de torsion
