Les droites parallèles sont-elles égales ou non ? Lignes parallèles

Instructions

Avant de commencer la preuve, assurez-vous que les lignes se trouvent dans le même plan et peuvent être tracées dessus. Le moyen le plus simple de le prouver est de mesurer avec une règle. Pour ce faire, utilisez une règle pour mesurer la distance entre les lignes droites à plusieurs endroits les plus éloignés possible. Si la distance reste inchangée, les lignes données sont parallèles. Mais cette méthode n’est pas assez précise, il est donc préférable d’utiliser d’autres méthodes.

Tracez une troisième ligne de manière à ce qu'elle coupe les deux lignes parallèles. Il forme avec eux quatre coins extérieurs et quatre coins intérieurs. Considérez les coins intérieurs. Ceux qui passent par la ligne sécante sont appelés couchés croisés. Ceux qui se trouvent d'un côté sont appelés unilatéraux. À l’aide d’un rapporteur, mesurez les deux angles d’intersection internes. Si elles sont égales entre elles, alors les droites seront parallèles. En cas de doute, mesurez les angles internes unilatéraux et additionnez les valeurs résultantes. Les lignes seront parallèles si la somme des angles intérieurs unilatéraux est égale à 180º.

Si vous n'avez pas de rapporteur, utilisez une équerre à 90º. Utilisez-le pour construire une perpendiculaire à l’une des lignes. Après cela, continuez cette perpendiculaire pour qu'elle coupe une autre ligne. À l’aide du même carré, vérifiez sous quel angle cette perpendiculaire le coupe. Si cet angle est également de 90º, alors les lignes sont parallèles entre elles.

Si les lignes sont données dans le système de coordonnées cartésiennes, trouvez leur direction ou leurs vecteurs normaux. Si ces vecteurs sont respectivement colinéaires les uns aux autres, alors les droites sont parallèles. Réduisez l'équation des droites à une forme générale et trouvez les coordonnées du vecteur normal de chaque droite. Ses coordonnées sont égales aux coefficients A et B. Si le rapport des coordonnées correspondantes des vecteurs normaux est le même, ils sont colinéaires et les droites sont parallèles.

Par exemple, les droites sont données par les équations 4x-2y+1=0 et x/1=(y-4)/2. La première équation est de forme générale, la seconde est canonique. Ramenez la deuxième équation à sa forme générale. Utilisez la règle de conversion de proportion pour cela, le résultat est 2x=y-4. Après réduction à la forme générale, vous obtenez 2x-y+4=0. Puisque l’équation générale pour toute ligne s’écrit Ax+By+C=0, alors pour la première ligne : A=4, B=2, et pour la deuxième ligne A=2, B=1. Pour la première coordonnée directe du vecteur normal (4;2), et pour la seconde – (2;1). Trouvez le rapport des coordonnées correspondantes des vecteurs normaux 4/2=2 et 2/1=2. Ces nombres sont égaux, ce qui signifie que les vecteurs sont colinéaires. Puisque les vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles.

Définition 1

La droite $c$ s'appelle sécante pour les lignes $a$ et $b$, si elle les coupe en deux points.

Considérons deux droites $a$ et $b$ et une droite sécante $c$.

Lorsqu'ils se croisent, des angles apparaissent, que nous désignons par des nombres allant de 1$ à 8$.

Chacun de ces angles porte un nom souvent utilisé en mathématiques :

les paires d'angles $3$ et $5$, $4$ et $6$ sont appelées couché en travers;
les paires d'angles $1$ et $5$, $4$ et $8$, $2$ et $6$, $3$ et $7$ sont appelées approprié;
les paires d'angles $4$ et $5$, $5$ et $6$ sont appelées unilatéral.

Signes de lignes parallèles

Théorème 1

L'égalité d'une paire d'angles transversaux pour les droites $a$ et $b$ et la sécante $c$ indique que les droites $a$ et $b$ sont parallèles :

Preuve.

Soit les angles transversaux des droites $a$ et $b$ et la transversale $c$ : $∠1=∠2$.

Montrons que $a \parallel b$.

Pourvu que les angles $1$ et $2$ soient des angles droits, on obtient que les droites $a$ et $b$ seront perpendiculaires à la droite $AB$, et donc parallèles.

Pourvu que les angles $1$ et $2$ ne soient pas bons, on trace du point $O$, milieu du segment $AB$, une perpendiculaire $OH$ à la droite $a$.

Sur la droite $b$ nous traçons le segment $BH_1=AH$ et dessinons le segment $OH_1$. On obtient deux triangles égaux $ОНА$ et $ОH_1В$ le long de deux côtés et l'angle entre eux ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), donc $∠3=∠4$ et $ ∠5=∠6$. Parce que $∠3=∠4$, alors le point $H_1$ se trouve sur le rayon $ON$, donc les points $H$, $O$ et $H_1$ appartiennent à la même droite. Parce que $∠5=∠6$, puis $∠6=90^(\circ)$. Ainsi, les droites $a$ et $b$ sont perpendiculaires à la droite $HH_1$ sont parallèles. Le théorème a été prouvé.

Théorème 2

L'égalité d'une paire d'angles correspondants pour les droites $a$ et $b$ et la sécante $c$ indique que les droites $a$ et $b$ sont parallèles :

si $∠1=∠2$, alors $a \parallel b$.

Preuve.

Soit les angles correspondants des droites $а$ et $b$ et de la sécante $с$ : $∠1=∠2$. Les angles $2$ et $3$ sont verticaux, donc $∠2=∠3$. Donc $∠1=∠3$. Parce que les angles $1$ et $3$ sont transversaux, alors les droites $a$ et $b$ sont parallèles. Le théorème a été prouvé.

Théorème 3

Si la somme de deux angles unilatéraux pour les droites $a$ et $b$ et transversale $c$ est égale à $180^(\circ)C$, alors les droites $a$ et $b$ sont parallèles :

si $∠1+∠4=180^(\circ)$, alors $a \parallel b$.

Preuve.

Laissez les angles unilatéraux des lignes droites $a$ et $b$ et transversaux $c$ totaliser 180^(\circ)$, par exemple

$∠1+∠4=180^(\circ)$.

Les angles $3$ et $4$ sont adjacents, donc

$∠3+∠4=180^(\circ)$.

D'après les égalités obtenues, il est clair que les angles transversaux $∠1=∠3$, d'où il résulte que les droites $a$ et $b$ sont parallèles.

Le théorème a été prouvé.

Des caractéristiques considérées, il s'ensuit que les lignes sont parallèles.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1

Le point d'intersection divise les segments $AB$ et $CD$ en deux. Prouver que $AC \parallel BD$.

Donné: $AO=OB$, $CO=OD$.

Prouver: $AC \parallèle BD$.

Preuve.

Des conditions du problème $AO=OB$, $CO=OD$ et l'égalité des angles verticaux $∠1=∠2$ selon le premier critère d'égalité des triangles, il s'ensuit que $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$ . Ainsi, $∠3=∠4$.

Les angles $3$ et $4$ sont transversaux avec deux droites $AC$ et $BD$ et une transversale $AB$. Alors, d'après le premier critère du parallélisme des droites, $AC \parallel BD$. La déclaration a été prouvée.

Exemple 2

Étant donné un angle $∠2=45^(\circ)$, et $∠7$ est $3$ fois plus grand que l'angle donné. Prouver que $a \parallel b$.

Donné: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.

Prouver: $a \parallèle b$.

Preuve:

Trouvons la valeur de l'angle $7$ :

$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.

Angles verticaux $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
Trouvons la somme des angles intérieurs $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$.

D'après le troisième critère de parallélisme des droites $a \parallel b$. La déclaration a été prouvée.

Exemple 3

Donné: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.

Prouver: $AC \parallel BD$, $AD \parallel BC$.

Preuve:

Pour les dessins considérés, le côté $AB$ est commun.

Parce que les triangles $ABC$ et $ADB$ sont égaux, alors $AD=CB$, $AC=BD$, ainsi que les angles correspondants sont égaux $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠ 5=∠6 $.

La paire d'angles $3$ et $4$ sont transversaux pour les droites $AC$ et $BD$ et la sécante correspondante $AB$, donc selon le premier critère de parallélisme des droites $AC \parallel BD$.

La paire d'angles $5$ et $6$ sont transversaux pour les droites $AD$ et $BC$ et la sécante correspondante $AB$, donc selon le premier critère de parallélisme des droites $AD \parallel BC$.

Classe: 2

Objectif de la leçon :

former le concept de parallélisme de 2 droites, considérer le premier signe de parallélisme de droites ;
développer la capacité d'appliquer un signe lors de la résolution de problèmes.

Tâches :

Pédagogique : répétition et consolidation de la matière étudiée, formation de la notion de parallélisme de 2 droites, preuve du 1er signe de parallélisme de 2 droites.
Pédagogique : développer la capacité de prendre des notes avec précision dans un cahier et de suivre les règles de construction des dessins.
Tâches de développement : développement de la pensée logique, de la mémoire, de l'attention.

Matériel de cours :

projecteur multimédia;
écran, présentations;
outils de dessin.

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel.

Salutation, vérification de l'état de préparation pour la leçon.

II. Préparation à l'UPD actif.

Étape 1.

Dans la première leçon de géométrie, nous avons examiné la position relative de 2 droites sur un plan.

Question. Combien de points communs deux lignes peuvent-elles avoir en commun ?
Répondre. Deux lignes peuvent avoir un point commun ou ne pas avoir de point commun.

Question. Comment les 2 droites seront-elles situées l’une par rapport à l’autre si elles ont un point commun ?
Répondre. Si les lignes ont un point commun, alors elles se coupent

Question. Comment se situent 2 droites l’une par rapport à l’autre si elles n’ont pas de points communs ?
Répondre. Alors dans ce cas, ces lignes ne se coupent pas.

Étape 2.

Dans la dernière leçon, vous avez reçu la tâche de faire une présentation où nous rencontrons des lignes qui ne se croisent pas dans notre vie et dans la nature. Nous allons maintenant examiner ces présentations et sélectionner les meilleures d'entre elles. (Le jury comprenait des étudiants qui, en raison de leur faible intelligence, ont du mal à créer leurs présentations.)

Visionnez les présentations réalisées par les étudiants : « Lignes parallèles dans la nature et la vie » et sélectionnez les meilleures d'entre elles.

III. UPD actif (explication du nouveau matériel).

Étape 1.

Figure 1

Définition. Deux droites dans un plan qui ne se coupent pas sont dites parallèles.

Ce tableau présente différents cas de disposition de 2 droites parallèles sur un plan.

Considérons quels segments seront parallèles.

Figure 2

1) Si la droite a est parallèle à b, alors les segments AB et CD sont parallèles.

2) Un segment peut être parallèle à une droite. Le segment MN est donc parallèle à la droite a.

Figure 3

3) Le segment AB est parallèle au rayon h. Le rayon h est parallèle au rayon k.

4) Si la ligne a est perpendiculaire à la ligne c et que la ligne b est perpendiculaire à la ligne c, alors les lignes a et b sont parallèles.

Étape 2.

Angles formés par deux lignes parallèles et une transversale.

Figure 4

Deux lignes parallèles coupent une troisième ligne en deux points. Dans ce cas, huit angles sont formés, indiqués par des chiffres sur la figure.

Certaines paires de ces angles portent des noms spéciaux (voir Figure 4).

Existe trois signes de parallélisme de deux droites associés à ces angles. Dans cette leçon, nous examinerons premier signe.

Étape 3.

Répétons le matériel nécessaire pour prouver cette fonctionnalité.

Figure 5

Question. Quels sont les noms des angles représentés sur la figure 5 ?
Répondre. Les angles AOC et COB sont dits adjacents.

Question. Quels angles sont dits adjacents ? Donnez une définition.
Répondre. Deux angles sont dits adjacents s’ils ont un côté en commun et que les deux autres sont des extensions l’un de l’autre.

Question. Quelles propriétés ont les angles adjacents ?
Répondre. Les angles adjacents totalisent 180 degrés.
AOC + COB = 180°

Question. Comment appelle-t-on les angles 1 et 2 ?
Répondre. Les angles 1 et 2 sont dits verticaux.

Question. Quelles propriétés ont les angles verticaux ?
Répondre. Les angles verticaux sont égaux les uns aux autres.

Étape 4.

Preuve du premier signe de parallélisme.

Théorème. Si, lorsque deux droites se coupent transversalement, les angles impliqués sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Figure 6

Donné: a et b sont des lignes droites
AB – sécant
1 = 2
Prouver: un//b.

1er cas.

Figure 7

Si 1 et 2 sont des droites, alors a est perpendiculaire à AB et b est perpendiculaire à AB, alors a//b.

2ème cas.

Figure 8

Considérons le cas où 1 et 2 ne sont pas des lignes droites. Divisons le segment AB en deux par le point O.

Question. Quelles sont les longueurs des segments AO et OB ?
Répondre. Les segments AO et OB sont de même longueur.

1) A partir du point O on trace une perpendiculaire à la droite a, OH est perpendiculaire à a.

Question. Quel sera l'angle 3 ?
Répondre. L'angle 3 sera correct.

2) A partir du point A sur la droite b on trace au compas le segment AH 1 = ВН.

3) Dessinons le segment OH 1.

Question. Quels triangles ont été formés à la suite de la preuve ?
Répondre. Triangle ONB et triangle OH 1 A.

Montrons qu'ils sont égaux.

Question. Quels angles sont égaux selon le théorème ?
Répondre. L'angle 1 est égal à l'angle 2.

Question. Quels côtés sont égaux dans la construction.
Répondre. AO = OV et AN 1 = VN

Question. Sur quelle base les triangles sont-ils congruents ?
Répondre. Les triangles sont égaux sur deux côtés et sur l'angle qui les sépare (le premier signe d'égalité des triangles).

Question. Quelle propriété ont les triangles congrus ?
Répondre. Dans les triangles égaux, les angles égaux sont opposés aux côtés égaux.

Question. Quels angles seront égaux ?
Répondre. 5 = 6, 3 = 4.

Question. Comment s'appellent 5 et 6 ?
Répondre. Ces angles sont appelés verticaux.

Il s'ensuit que les points : H 1, O, H se trouvent sur la même droite.
Parce que 3 est droit, et 3 = 4, alors 4 est droit.

Question. Comment se situent les droites a et b par rapport à la droite НН 1, si les angles 3 et 4 sont droits ?
Répondre. Les lignes a et b sont perpendiculaires à HH 1.

Question. Que pouvons-nous dire de deux perpendiculaires à une droite ?
Répondre. Deux perpendiculaires à une droite sont parallèles.

Donc a//b. Le théorème a été prouvé.

Maintenant, je vais répéter toute la preuve depuis le début, et vous m'écouterez attentivement et essaierez de tout comprendre et de vous souvenir de tout.

IV. Consolidation du nouveau matériel.

Travaillez en groupes avec différents niveaux de développement de l'intelligence, suivi de tests à l'écran et au tableau. 3 élèves travaillent au tableau (un de chaque groupe).

№1 (pour les étudiants ayant un niveau de développement intellectuel réduit).

Donné: a et b sont droits
c – sécant
1 = 37°
7 = 143°
Prouver: un//b.

Solution.

7 = 6 (vertical) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (adjacent) 4 =180° – 37° = 143°
4 = 6 = 143°, et ils se trouvent transversalement a//b 5 = 48°, 3 et 5 sont des angles transversaux, ils sont égaux à a//b.

Figure 11

V. Résumé de la leçon.

La leçon est résumée à l’aide des figures 1 à 8.

Les activités des élèves pendant le cours sont évaluées (chaque élève reçoit une émoticône correspondante).

Devoirs: enseigner – pp. 52-53 ; résoudre le n° 186 (b, c).

Cet article concerne les lignes parallèles et les lignes parallèles. Tout d'abord, la définition des lignes parallèles dans un plan et dans l'espace est donnée, des notations sont introduites, des exemples et des illustrations graphiques de lignes parallèles sont donnés. Ensuite, les signes et les conditions du parallélisme des lignes sont discutés. En conclusion, des solutions aux problèmes typiques de preuve du parallélisme des droites sont présentées, qui sont données par certaines équations d'une droite dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan et dans un espace tridimensionnel.

Navigation dans les pages.

Lignes parallèles - informations de base.

Définition.

Deux droites dans un plan s'appellent parallèle, s'ils n'ont pas de points communs.

Définition.

Deux lignes dans un espace tridimensionnel sont appelées parallèle, s'ils se trouvent dans le même plan et n'ont pas de points communs.

Veuillez noter que la clause « si elles se trouvent dans le même plan » dans la définition des lignes parallèles dans l'espace est très importante. Précisons ce point : deux droites dans l'espace tridimensionnel qui n'ont pas de points communs et ne se situent pas dans le même plan ne sont pas parallèles, mais se coupent.

Voici quelques exemples de lignes parallèles. Les bords opposés de la feuille du cahier se trouvent sur des lignes parallèles. Les lignes droites le long desquelles le plan du mur de la maison coupe les plans du plafond et du sol sont parallèles. Les rails de chemin de fer sur terrain plat peuvent également être considérés comme des lignes parallèles.

Pour désigner des lignes parallèles, utilisez le symbole « ». Autrement dit, si les droites a et b sont parallèles, alors nous pouvons écrire brièvement a b.

Attention : si les lignes a et b sont parallèles, alors on peut dire que la ligne a est parallèle à la ligne b, et aussi que la ligne b est parallèle à la ligne a.

Exprimons une affirmation qui joue un rôle important dans l'étude des droites parallèles sur un plan : par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, passe la seule droite parallèle à celle donnée. Cette affirmation est acceptée comme un fait (elle ne peut être prouvée sur la base des axiomes connus de la planimétrie), et elle est appelée l'axiome des lignes parallèles.

Pour le cas de l'espace, le théorème est valable : par tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur une ligne donnée, passe une seule droite parallèle à celle donnée. Ce théorème est facilement prouvé en utilisant l'axiome ci-dessus des lignes parallèles (vous pouvez trouver sa preuve dans le manuel de géométrie pour les classes 10-11, qui est répertorié à la fin de l'article dans la liste des références).

Pour le cas de l'espace, le théorème est valable : par tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur une ligne donnée, passe une seule droite parallèle à celle donnée. Ce théorème peut être facilement prouvé en utilisant l’axiome des lignes parallèles ci-dessus.

Parallélisme des lignes - signes et conditions du parallélisme.

Un signe de parallélisme des lignes est une condition suffisante pour que les lignes soient parallèles, c'est-à-dire une condition dont la réalisation garantit que les lignes sont parallèles. En d’autres termes, la réalisation de cette condition suffit à établir le fait que les droites sont parallèles.

Il existe également des conditions nécessaires et suffisantes pour le parallélisme des droites dans un plan et dans un espace tridimensionnel.

Expliquons le sens de l'expression « condition nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles ».

Nous avons déjà traité de la condition suffisante pour les droites parallèles. Quelle est la « condition nécessaire pour les lignes parallèles » ? Du nom « nécessaire », il ressort clairement que le respect de cette condition est nécessaire pour les lignes parallèles. En d’autres termes, si la condition nécessaire pour que les droites soient parallèles n’est pas remplie, alors les droites ne sont pas parallèles. Ainsi, condition nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles est une condition dont la réalisation est à la fois nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles. Autrement dit, d'une part, c'est un signe de parallélisme des lignes et, d'autre part, c'est une propriété que possèdent les lignes parallèles.

Avant de formuler une condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites, il convient de rappeler plusieurs définitions auxiliaires.

Ligne sécante est une ligne qui coupe chacune de deux lignes données non coïncidentes.

Lorsque deux lignes droites coupent une transversale, huit lignes non développées se forment. Dans la formulation de la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites, la soi-disant couché en travers, correspondant Et angles unilatéraux. Montrons-les dans le dessin.

Théorème.

Si deux droites dans un plan sont coupées par une transversale, alors pour qu'elles soient parallèles, il faut et suffisant que les angles qui se croisent soient égaux, ou que les angles correspondants soient égaux, ou que la somme des angles unilatéraux soit égale à 180. degrés.

Montrons une illustration graphique de cette condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites sur un plan.

Vous pouvez trouver des preuves de ces conditions pour le parallélisme des droites dans les manuels de géométrie de la 7e à la 9e année.

Notez que ces conditions peuvent également être utilisées dans un espace tridimensionnel - l'essentiel est que les deux droites et la sécante se trouvent dans le même plan.

Voici quelques autres théorèmes souvent utilisés pour prouver le parallélisme des droites.

Théorème.

Si deux droites d’un plan sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles. La preuve de ce critère découle de l'axiome des droites parallèles.

Il existe une condition similaire pour les lignes parallèles dans l’espace tridimensionnel.

Théorème.

Si deux droites dans l’espace sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles. La preuve de ce critère est discutée dans les cours de géométrie en 10e année.

Illustrons les théorèmes énoncés.

Présentons un autre théorème qui permet de prouver le parallélisme des droites sur un plan.

Théorème.

Si deux droites d’un plan sont perpendiculaires à une troisième droite, alors elles sont parallèles.

Il existe un théorème similaire pour les lignes dans l’espace.

Théorème.

Si deux droites dans un espace tridimensionnel sont perpendiculaires au même plan, alors elles sont parallèles.

Dessinons des images correspondant à ces théorèmes.

Tous les théorèmes, critères et conditions nécessaires et suffisantes formulés ci-dessus sont excellents pour prouver le parallélisme des droites à l'aide des méthodes géométriques. Autrement dit, pour prouver le parallélisme de deux droites données, vous devez montrer qu'elles sont parallèles à une troisième droite, ou montrer l'égalité des angles transversaux, etc. De nombreux problèmes similaires sont résolus dans les cours de géométrie au lycée. Cependant, il convient de noter que dans de nombreux cas, il est pratique d'utiliser la méthode des coordonnées pour prouver le parallélisme de droites sur un plan ou dans un espace tridimensionnel. Formulons les conditions nécessaires et suffisantes pour le parallélisme des droites spécifiées dans un système de coordonnées rectangulaires.

Parallélisme des lignes dans un système de coordonnées rectangulaires.

Dans ce paragraphe de l'article nous formulerons conditions nécessaires et suffisantes pour les lignes parallèles dans un système de coordonnées rectangulaires, en fonction du type d'équations définissant ces lignes, et nous fournissons également des solutions détaillées aux problèmes caractéristiques.

Commençons par la condition de parallélisme de deux droites sur un plan dans le système de coordonnées rectangulaires Oxy. Sa preuve repose sur la définition du vecteur directeur d'une droite et sur la définition du vecteur normal d'une droite sur un plan.

Théorème.

Pour que deux droites non coïncidentes soient parallèles dans un plan, il faut et suffisant que les vecteurs directeurs de ces droites soient colinéaires, ou que les vecteurs normaux de ces droites soient colinéaires, ou que le vecteur directeur d'une droite soit perpendiculaire à la normale. vecteur de la deuxième ligne.

Évidemment, la condition de parallélisme de deux droites sur un plan se réduit à (vecteurs directeurs des droites ou vecteurs normaux des droites) ou à (vecteur directeur d'une droite et vecteur normal de la deuxième droite). Ainsi, si et sont des vecteurs directeurs des droites a et b, et Et sont des vecteurs normaux des droites a et b, respectivement, alors la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites a et b s'écrira sous la forme , ou , ou , où t est un nombre réel. À leur tour, les coordonnées des guides et (ou) des vecteurs normaux des lignes a et b sont trouvées à l'aide des équations de lignes connues.

En particulier, si la droite a dans le système de coordonnées rectangulaires Oxy sur le plan définit une équation générale de droite de la forme , et la droite b - , alors les vecteurs normaux de ces lignes ont des coordonnées et, respectivement, et la condition de parallélisme des lignes a et b s'écrira .

Si la droite a correspond à l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire de la forme , et la droite b - , alors les vecteurs normaux de ces droites ont des coordonnées et , et la condition de parallélisme de ces droites prend la forme . Par conséquent, si les lignes sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaires sont parallèles et peuvent être spécifiées par des équations de lignes avec des coefficients angulaires, alors les coefficients angulaires des lignes seront égaux. Et vice versa : si des lignes non coïncidentes sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaires peuvent être spécifiées par des équations d'une ligne avec des coefficients angulaires égaux, alors ces lignes sont parallèles.

Si une droite a et une droite b dans un système de coordonnées rectangulaires sont déterminées par les équations canoniques d'une droite sur un plan de la forme Et , ou équations paramétriques d'une droite sur un plan de la forme Et par conséquent, les vecteurs directeurs de ces lignes ont des coordonnées et , et la condition de parallélisme des lignes a et b s'écrit .

Examinons les solutions de plusieurs exemples.

Exemple.

Les lignes sont-elles parallèles ? Et ?

Solution.

Réécrivons l'équation d'une droite en segments sous la forme d'une équation générale d'une droite : . Nous pouvons maintenant voir que c'est le vecteur normal de la droite , a est le vecteur normal de la droite. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, puisqu'il n'existe pas de nombre réel t pour lequel l'égalité ( ). Par conséquent, la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites sur un plan n’est pas remplie, donc les droites données ne sont pas parallèles.

Répondre:

Non, les lignes ne sont pas parallèles.

Exemple.

Les lignes droites et parallèles sont-elles ?

Solution.

Réduisons l'équation canonique d'une droite à l'équation d'une droite à coefficient angulaire : . Évidemment, les équations des lignes et ne sont pas les mêmes (dans ce cas, les lignes données seraient les mêmes) et les coefficients angulaires des lignes sont égaux, donc les lignes originales sont parallèles.

Deuxième solution.

Tout d'abord, nous montrons que les droites originales ne coïncident pas : prenons n'importe quel point de la droite, par exemple (0, 1), les coordonnées de ce point ne satisfont pas à l'équation de la droite, donc les droites ne coïncident pas. Vérifions maintenant la réalisation de la condition de parallélisme de ces droites. Le vecteur normal d'une ligne est le vecteur , et le vecteur directeur de la ligne est le vecteur . Calculons et : . Par conséquent, les vecteurs et sont perpendiculaires, ce qui signifie que la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites données est satisfaite. Les droites sont donc parallèles.

Répondre:

Les droites données sont parallèles.

Pour prouver le parallélisme des lignes dans un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel, utilisez la condition nécessaire et suffisante suivante.

Théorème.

Pour le parallélisme des droites divergentes dans l'espace tridimensionnel, il est nécessaire et suffisant que leurs vecteurs directeurs soient colinéaires.

Ainsi, si les équations des droites dans un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel sont connues et que vous devez répondre à la question de savoir si ces droites sont parallèles ou non, alors vous devez trouver les coordonnées des vecteurs directeurs de ces droites et vérifier le respect de la condition de colinéarité des vecteurs directeurs. Autrement dit, si Et - vecteurs directeurs des droites une droite donnée a pour coordonnées et . Parce que , Que . Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme de deux droites dans l’espace est satisfaite. Cela prouve le parallélisme des droites Et .

Références.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Géométrie. 7e à 9e années : manuel pour les établissements d'enseignement général.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Géométrie. Manuel pour les 10e et 11e années du secondaire.
Pogorelov A.V., Géométrie. Manuel pour les classes 7 à 11 dans les établissements d'enseignement général.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mathématiques supérieures. Tome un : éléments d'algèbre linéaire et de géométrie analytique.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Géométrie analytique.

Voyons d'abord la différence entre les notions de signe, de propriété et d'axiome.

Définition 1

Signe Ils appellent un certain fait par lequel la vérité d'un jugement sur un objet d'intérêt peut être déterminée.

Exemple 1

Les droites sont parallèles si leurs transversales forment des angles transversaux égaux.

Définition 2

Propriété est formulé dans le cas où il y a confiance dans l'équité du jugement.

Exemple 2

Lorsque les lignes parallèles sont parallèles, leurs transversales forment des angles transversaux égaux.

Définition 3

Axiome ils appellent une déclaration qui ne nécessite pas de preuve et qui est acceptée comme vérité sans elle.

Chaque science possède des axiomes sur lesquels se fondent les jugements ultérieurs et leurs preuves.

Axiome des droites parallèles

Parfois, l'axiome des lignes parallèles est accepté comme l'une des propriétés des lignes parallèles, mais en même temps, d'autres preuves géométriques reposent sur sa validité.

Théorème 1

Par un point qui ne se trouve pas sur une droite donnée, une seule droite peut être tracée sur le plan, qui sera parallèle à celle donnée.

L'axiome ne nécessite pas de preuve.

Propriétés des lignes parallèles

Théorème 2

Propriété1. La propriété de transitivité des droites parallèles :

Lorsqu’une des deux droites parallèles est parallèle à la troisième, alors la deuxième droite lui sera parallèle.

Les propriétés nécessitent une preuve.

Preuve:

Soit deux droites parallèles $a$ et $b$. La ligne $c$ est parallèle à la ligne $a$. Vérifions si dans ce cas la droite $c$ sera également parallèle à la droite $b$.

Pour le prouver, nous utiliserons la proposition inverse :

Imaginons qu'il soit possible que la ligne $c$ soit parallèle à l'une des lignes, par exemple la ligne $a$, et coupe l'autre ligne, la ligne $b$, à un moment donné $K$.

On obtient une contradiction selon l'axiome des droites parallèles. Il en résulte une situation dans laquelle deux droites se coupent en un point, de plus parallèlement à la même droite $a$. Cette situation est impossible ; donc les droites $b$ et $c$ ne peuvent pas se croiser.

Ainsi, il a été prouvé que si l'une des deux droites parallèles est parallèle à la troisième droite, alors la deuxième droite est parallèle à la troisième droite.

Théorème 3

Propriété 2.

Si l'une des deux lignes parallèles est coupée par une troisième, alors la deuxième ligne sera également coupée par elle.

Preuve:

Soit deux droites parallèles $a$ et $b$. Supposons également qu'il y ait une ligne $c$ qui coupe l'une des lignes parallèles, par exemple la ligne $a$. Il faut montrer que la droite $c$ coupe également la deuxième droite, la droite $b$.

Construisons une preuve par contradiction.

Imaginons que la ligne $c$ ne coupe pas la ligne $b$. Alors deux droites $a$ et $c$ passent par le point $K$, qui ne coupent pas la droite $b$, c'est-à-dire qu'elles lui sont parallèles. Mais cette situation contredit l’axiome des droites parallèles. Cela signifie que l'hypothèse était incorrecte et que la ligne $c$ coupera la ligne $b$.

Le théorème a été prouvé.

Propriétés des coins, qui forment deux droites parallèles et une sécante : les angles opposés sont égaux, les angles correspondants sont égaux, * la somme des angles unilatéraux est de 180 $^(\circ)$.

Exemple 3

Étant donné deux droites parallèles et une troisième droite perpendiculaire à l’une d’elles. Montrer que cette droite est perpendiculaire à une autre des droites parallèles.

Preuve.

Ayons des droites $a \parallel b$ et $c \perp a$.

Puisque la ligne $c$ coupe la ligne $a$, alors, selon la propriété des lignes parallèles, elle coupera également la ligne $b$.

La sécante $c$, coupant les droites parallèles $a$ et $b$, forme avec elles des angles internes égaux.

Parce que $c \perp a$, alors les angles seront $90^(\circ)$.

Par conséquent, $c \perp b$.

La preuve est complète.