Surface de révolution- une surface formée par rotation autour d'une droite (axe de la surface) d'une ligne arbitraire (droite, plate ou courbe spatiale). Par exemple, si une ligne droite coupe l'axe de rotation, alors lorsqu'elle tourne, on obtiendra une surface conique si elle est parallèle à l'axe, elle sera cylindrique si elle coupe l'axe, un hyperboloïde à feuille unique ; la révolution sera obtenue. La même surface peut être obtenue en faisant tourner une grande variété de courbes. L'aire de la surface de révolution formée par la rotation d'une courbe plane de longueur finie autour d'un axe situé dans le plan de la courbe mais ne coupant pas la courbe est égale au produit de la longueur de la courbe et de la longueur de un cercle de rayon égal à la distance de l'axe au centre de masse de la courbe. Cette affirmation est appelée deuxième théorème de Gylden, ou théorème du centroïde de Pappus.

L'aire de la surface de révolution formée par la rotation d'une courbe autour d'un axe peut être calculée à l'aide de la formule

Pour le cas où la courbe est spécifiée dans le système de coordonnées polaires, la formule est valable

Applications mécaniques de l'intégrale définie (travail des forces, moments statiques, centre de gravité).

Calcul du travail des forces

Un point matériel se déplace le long d’une courbe continuellement différentiable, tandis qu’il est soumis à une force dirigée tangentiellement à la trajectoire dans la direction du mouvement. Travail total effectué par la force F(s) :

Si la position d'un point sur la trajectoire du mouvement est décrite par un autre paramètre, alors la formule prend la forme :

Calcul des moments statiques et du centre de gravité
Supposons que sur le plan de coordonnées Oxy une masse M soit distribuée avec une densité p = p(y) sur un certain ensemble de points S (cela peut être un arc de courbe ou une figure plate délimitée). Notons s(y) - la mesure de l'ensemble spécifié (longueur ou surface de l'arc).

Définition 2. Nombre est appelé le kième moment de masse M par rapport à l'axe Ox.
À k = 0 M 0 = M - masse,
k = 1 M 1 - moment statique,
k = 2 M 2 - moment d'inertie.

Les moments autour de l’axe Oy sont introduits de la même manière. Dans l'espace, les notions de moments de masse par rapport aux plans de coordonnées sont introduites de la même manière.
Si p = 1, alors les moments correspondants sont dits géométriques. Les coordonnées du centre de gravité d'une figure plate homogène (p - const) sont déterminées par les formules :

où M 1 y, M 1 x sont les moments géométriques statiques de la figure par rapport aux axes Oy et Ox ; S est l'aire de la figure.

Cette formule est appelée formule du volume d'un corps par l'aire des sections parallèles.

Exemple. Trouver le volume de l'ellipsoïde x 2 + y 2 + z 2 = 1. une 2b 2c 2

En coupant l'ellipsoïde avec un plan parallèle au plan Oyz et à des distances de celui-ci (-а ≤х ≤а), on obtient une ellipse (voir Fig. 15) :

L'aire de cette ellipse est

Par conséquent, d’après la formule (16), nous avons

Calculer la surface de révolution

Soit la courbe AB un graphique de la fonction y = f (x) ≥ 0, où x [a,b], une fonction y = f (x) et sa dérivée y" = f" (x) sont continues sur cette segment.

Alors l'aire S de la surface formée par la rotation de la courbe AB autour de l'axe Ox est calculée par la formule

Si la courbe AB est donnée par les équations paramétriques х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2, alors la formule de la surface de rotation prend la forme

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Exemple Trouver la surface d'une boule de rayon R. Solution :

On peut supposer que la surface de la balle est formée par la rotation du demi-cercle y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R, autour de l'axe Ox. En utilisant la formule (19) on trouve

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Exemple. Étant donné une cycloïde x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1− coût) ,

Trouvez la surface formée en la faisant pivoter autour de l’axe Ox. Solution:

Lorsque la moitié de l'arc cycloïde tourne autour de l'axe Ox, la surface de rotation est égale à

Calcul de la longueur de l'arc d'une courbe plane

Coordonnées rectangulaires

Soit un arc, lorsque le nombre de maillons de la ligne brisée augmente indéfiniment et que la longueur des plus grandes coordonnées rectangulaires reçoit une courbe plate AB, dont l'équation est y = f(x), où a ≤ x≤ b .

La longueur de l'arc AB s'entend comme la limite vers laquelle tend vers zéro la longueur de la ligne brisée inscrite dans ce lien. Montrons que si la fonction y = f(x) et sa dérivée y′ = f′ (x) sont continues sur le segment [a ,b ], alors la courbe AB a une longueur égale à

Si l'équation de la courbe AB est donnée sous forme paramétrique

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

où x (t) et y (t) sont des fonctions continues à dérivées continues et x (α) = a, x (β) = b, alors la longueur l de la courbe AB est trouvée par la formule

Cela signifie l = 2π R. Si l'équation d'un cercle s'écrit sous la forme paramétrique = R coût, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), alors

Coordonnées polaires

Soit la courbe AB donnée par l'équation en coordonnées polaires r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β. Supposons que r (ϕ ) et r" (ϕ ) soient continus sur l'intervalle [α , β ].

Si dans les égalités x = r cosϕ, y = r sinϕ, reliant les coordonnées polaires et cartésiennes,

l'angle ϕ est considéré comme un paramètre, alors la courbe AB peut être paramétrée x = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

En appliquant la formule (15), nous obtenons l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Exemple Trouvez la longueur de la cardioïde r =a (1 + cosϕ ). Solution:

La cardioïde r = a (1 + cosϕ) a la forme représentée sur la figure 14. Elle est symétrique par rapport à l'axe polaire. Trouvons la moitié de la longueur du cardioïde :

Ainsi, 1 2 l = 4 a. Cela signifie l = 8a.

5. Trouver la surface des corps de révolution

Soit la courbe AB le graphique de la fonction y = f(x) ≥ 0, où x [a; b], et la fonction y = f(x) et sa dérivée y" = f"(x) sont continues sur ce segment.

Trouvons l'aire S de la surface formée par la rotation de la courbe AB autour de l'axe Ox (Fig. 8).

Appliquons le schéma II (méthode différentielle).

Par un point arbitraire x [a; b] tracer un plan P perpendiculaire à l’axe Ox. Le plan П coupe la surface de rotation dans un cercle de rayon y – f(x). La taille S de la surface de la partie de la figure de révolution située à gauche du plan est fonction de x, c'est-à-dire s = s(x) (s(a) = 0 et s(b) = S).

Donnons à l'argument x un incrément Δx = dx. Par le point x + dx [a; b] on trace également un plan perpendiculaire à l'axe Ox. La fonction s = s(x) recevra un incrément de Δs, représenté sur la figure par une « ceinture ».

Trouvons l'aire différentielle ds en remplaçant la figure formée entre les sections par un tronc de cône dont la génératrice est égale à dl, et les rayons des bases sont égaux à y et y + dу. L'aire de sa surface latérale est égale à : = 2ydl + dydl.

En rejetant le produit dу d1 comme un infinitésimal d'ordre supérieur à ds, nous obtenons ds = 2уdl, ou, puisque d1 = dx.

En intégrant l'égalité résultante dans la plage de x = a à x = b, nous obtenons

Si la courbe AB est donnée par les équations paramétriques x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, alors la formule de la surface de révolution prend la forme

S=2 dt.

Exemple : Trouver l'aire de la surface d'une boule de rayon R.

S=2 =

6. Trouver le travail d'une force variable

Travail à force variable

Soit le point matériel M se déplacer le long de l'axe Ox sous l'action d'une force variable F = F(x) dirigée parallèlement à cet axe. Le travail effectué par une force lors du déplacement du point M de la position x = a à la position x = b (a

Quelle quantité de travail faut-il faire pour étirer le ressort de 0,05 m si une force de 100 N étire le ressort de 0,01 m ?

D'après la loi de Hooke, la force élastique étirant le ressort est proportionnelle à cet étirement x, c'est-à-dire F = kх, où k est le coefficient de proportionnalité. Selon les conditions du problème, une force F = 100 N étire le ressort de x = 0,01 m ; donc, 100 = k 0,01, d'où k = 10 000 ; par conséquent, F = 10 000x.

Le travail requis selon la formule

UNE=

Trouvez le travail qui doit être dépensé pour pomper du liquide sur le bord d'un réservoir cylindrique vertical de hauteur N m et de rayon de base R m (Fig. 13).

Le travail nécessaire pour soulever un corps de poids p jusqu'à une hauteur h est égal à p N. Mais les différentes couches de liquide dans le réservoir se trouvent à des profondeurs différentes et la hauteur de montée (jusqu'au bord du réservoir) des différentes les couches ne sont pas les mêmes.

Pour résoudre le problème, nous appliquons le schéma II (méthode différentielle). Introduisons un système de coordonnées.

1) Le travail consacré au pompage d'une couche de liquide d'épaisseur x (0 ≤ x ≤ H) d'un réservoir est fonction de x, c'est-à-dire A = A(x), où (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Trouvez la partie principale de l'incrément ΔA lorsque x change du montant Δx = dx, c'est-à-dire on retrouve le différentiel dA de la fonction A(x).

En raison de la petitesse de dx, nous supposons que la couche « élémentaire » de liquide est située à la même profondeur x (à partir du bord du réservoir). Alors dA = dрх, où dр est le poids de cette couche ; il est égal à g АV, où g est l'accélération de la gravité, est la densité du liquide, dv est le volume de la couche « élémentaire » de liquide (elle est mise en évidence sur la figure), c'est-à-dire dр = g. Le volume de la couche liquide indiquée est évidemment égal à , où dx est la hauteur du cylindre (couche), est l'aire de sa base, c'est-à-dire dv = .

Ainsi, dр = . Et

3) En intégrant l'égalité résultante dans la plage de x = 0 à x = H, nous trouvons

UN

8. Calcul des intégrales à l'aide du package MathCAD

Lors de la résolution de certains problèmes appliqués, il est nécessaire d'utiliser l'opération d'intégration symbolique. Dans ce cas, le programme MathCad peut être utile aussi bien au stade initial (il est bon de connaître la réponse à l'avance ou de savoir qu'elle existe) qu'au stade final (il est bon de vérifier le résultat à l'aide d'une réponse provenant d'une autre source ou solution d'une autre personne).

Lors de la résolution d'un grand nombre de problèmes, vous pouvez remarquer certaines fonctionnalités de résolution de problèmes à l'aide du programme MathCad. Essayons de comprendre avec plusieurs exemples comment fonctionne ce programme, analysons les solutions obtenues avec son aide et comparons ces solutions avec des solutions obtenues par d'autres méthodes.

Les principaux problèmes lors de l'utilisation du programme MathCad sont les suivants :

a) le programme donne la réponse non pas sous la forme de fonctions élémentaires familières, mais sous la forme de fonctions spéciales qui ne sont pas connues de tout le monde ;

b) dans certains cas « refuse » de donner une réponse, bien qu'il existe une solution au problème ;

c) il est parfois impossible d'utiliser le résultat obtenu en raison de sa lourdeur ;

d) ne résout pas complètement le problème et n’analyse pas la solution.

Afin de résoudre ces problèmes, il est nécessaire d’exploiter les forces et les faiblesses du programme.

Avec son aide, il est facile et simple de calculer les intégrales de fonctions rationnelles fractionnaires. Par conséquent, il est recommandé d'utiliser la méthode de remplacement des variables, c'est-à-dire Préparez à l’avance l’intégrale de la solution. À ces fins, les substitutions évoquées ci-dessus peuvent être utilisées. Il convient également de garder à l'esprit que les résultats obtenus doivent être examinés pour la coïncidence des domaines de définition de la fonction d'origine et du résultat obtenu. De plus, certaines des solutions obtenues nécessitent des recherches supplémentaires.

Le programme MathCad libère l'étudiant ou le chercheur du travail de routine, mais ne peut le libérer d'analyses supplémentaires tant lors de la pose d'un problème que lors de l'obtention de résultats.

Cet article examine les principales dispositions liées à l'étude des applications d'une intégrale définie dans un cours de mathématiques.

– une analyse des bases théoriques de la résolution des intégrales a été réalisée ;

– le matériel a été systématisé et généralisé.

Au cours du cours, des exemples de problèmes pratiques dans le domaine de la physique, de la géométrie et de la mécanique ont été examinés.

Conclusion

Les exemples de problèmes pratiques évoqués ci-dessus nous donnent une idée claire de l'importance de l'intégrale définie pour leur résolvabilité.

Il est difficile de nommer un domaine scientifique dans lequel les méthodes de calcul intégral, en général, et les propriétés de l'intégrale définie, en particulier, ne seraient pas utilisées. Ainsi, au cours de la réalisation des cours, nous avons examiné des exemples de problèmes pratiques dans le domaine de la physique, de la géométrie, de la mécanique, de la biologie et de l'économie. Bien entendu, il s'agit loin d'une liste exhaustive des sciences qui utilisent la méthode intégrale pour rechercher une valeur établie lors de la résolution d'un problème spécifique et de l'établissement de faits théoriques.

L'intégrale définie est également utilisée pour étudier les mathématiques elles-mêmes. Par exemple, lors de la résolution d’équations différentielles, qui à leur tour apportent une contribution irremplaçable à la résolution de problèmes pratiques. On peut dire qu'une intégrale définie est une certaine base pour l'étude des mathématiques. D’où l’importance de savoir les résoudre.

De tout ce qui précède, il ressort clairement pourquoi la connaissance de l'intégrale définie se fait dans le cadre de l'école secondaire, où les élèves étudient non seulement le concept d'intégrale et ses propriétés, mais également certaines de ses applications.

Littérature

1. Volkov E.A. Méthodes numériques. M., Nauka, 1988.

2. Piskounov N.S. Calcul différentiel et intégral. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev contre. Mathématiques supérieures. M., Ecole Supérieure, 1990.

Salutations, chers étudiants de l'Université d'Argemona !

Aujourd'hui, nous allons continuer à apprendre à matérialiser des objets. La dernière fois, nous avons fait pivoter des figures plates et obtenu des corps volumétriques. Certains d’entre eux sont très tentants et utiles. Je pense qu’une grande partie de ce qu’invente un magicien pourra être utilisée à l’avenir.

Aujourd'hui, nous allons faire pivoter les courbes. Il est clair que de cette façon nous pouvons obtenir un objet avec des bords très fins (un cône ou une bouteille pour les potions, un vase à fleurs, un verre pour les boissons, etc.), car une courbe tournante peut créer exactement ce genre d'objets. En d’autres termes, en faisant tourner la courbe, nous pouvons obtenir une sorte de surface – fermée de tous les côtés ou non. Pourquoi en ce moment je me souvenais de la tasse qui fuyait dans laquelle Sir Shurf Lonley-Lokley buvait toujours.

Nous allons donc créer un bol avec des trous et un bol sans trous, et calculer l'aire de​​la surface créée. Je pense que (la surface en général) sera nécessaire pour quelque chose - enfin, au moins pour appliquer une peinture magique spéciale. D'un autre côté, les zones d'artefacts magiques peuvent être nécessaires pour calculer les forces magiques qui leur sont appliquées ou autre chose. Nous apprendrons à le trouver et nous trouverons où l’appliquer.

Ainsi, un morceau de parabole peut nous donner la forme d’un bol. Prenons le y=x 2 le plus simple sur l'intervalle. On peut voir que lorsque vous le faites pivoter autour de l’axe OY, vous obtenez juste un bol. Pas de fond.

Le sort pour calculer la surface de rotation est le suivant :

Ici |y| est la distance entre l'axe de rotation et n'importe quel point de la courbe qui tourne. Comme vous le savez, la distance est une perpendiculaire.
Un peu plus difficile avec le deuxième élément du sort : ds est l'arc différentiel. Ces mots ne nous donnent rien, alors ne nous embêtons pas, mais passons au langage des formules, où cette différentielle se présente clairement pour tous les cas que nous connaissons :
- Système de coordonnées cartésiennes;
- enregistrer la courbe sous forme paramétrique ;
- système de coordonnées polaires.

Pour notre cas, la distance entre l’axe de rotation et n’importe quel point de la courbe est x. Nous calculons la surface du bol troué obtenu :

Pour réaliser un bol avec un fond, il faut prendre un autre morceau, mais avec une courbe différente : sur l'intervalle c'est la droite y=1.

Il est clair que lorsqu'il tourne autour de l'axe OY, le fond du bol aura la forme d'un cercle de rayon unité. Et nous savons comment l'aire d'un cercle est calculée (en utilisant la formule pi*r^2. Pour notre cas, l'aire du cercle sera égale à pi), mais calculons-la en utilisant une nouvelle formule - vérifier.
La distance de l'axe de rotation à n'importe quel point de cette partie de la courbe est également égale à x.

Eh bien, nos calculs sont corrects, ce qui est une bonne nouvelle.

Et maintenant devoirs.

1. Trouvez la surface obtenue en faisant tourner la ligne brisée ABC, où A=(1 ; 5), B=(1 ; 2), C=(6; 2), autour de l’axe OX.
Conseil. Notez tous les segments sous forme paramétrique.
AB : x=1, y=t, 2≤t≤5
BC : x=t, y=2, 1≤t≤6
Au fait, à quoi ressemble l’élément obtenu ?

2. Eh bien, trouvez maintenant quelque chose vous-même. Je pense que trois éléments suffiront.