Aire d'un triangle. Théorèmes, corollaires et problèmes utiles

Théorème. L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de son côté et de sa hauteur :

La preuve est très simple. Ce triangle abc(Fig. 1.15) construisons-le en un parallélogramme ABDC. Triangles abc Et DCB sont égaux sur trois côtés, donc leurs aires sont égales. Donc l'aire du triangle abcégal à la moitié de l'aire du parallélogramme ABDC, c'est-à-dire

Mais ici la question suivante se pose : pourquoi les trois demi-produits possibles de la base et de la hauteur pour n'importe quel triangle sont-ils les mêmes ? Ceci, cependant, est facile à prouver par la similitude des rectangles ayant un angle aigu commun. Considérons un triangle abc(Fig. 1.16) :

Et donc

Toutefois, cela n’est pas prévu dans les manuels scolaires. Au contraire, l'égalité des trois demi-produits s'établit sur la base que tous ces demi-produits expriment l'aire du triangle. Ainsi, l’existence d’une fonction unique est implicitement exploitée. Mais voici une occasion pratique et instructive de démontrer un exemple de modélisation mathématique. En effet, il y a une réalité physique derrière la notion d'aire, mais la vérification directe de l'égalité de trois demi-produits montre la qualité de la traduction de cette notion dans le langage mathématique.

En utilisant le théorème de l’aire du triangle ci-dessus, il est souvent pratique de comparer les aires de deux triangles. Nous présentons ci-dessous quelques conséquences évidentes mais importantes du théorème.

Corollaire 1. Si le sommet d’un triangle est déplacé le long d’une ligne droite parallèle à sa base, alors son aire ne change pas.

Sur la fig. 1,17 triangles abc Et ABD avoir un terrain d'entente AB et des hauteurs égales abaissées sur cette base, puisqu'une ligne droite UN, qui contient les sommets AVEC Et D parallèle à la base AB, et donc les aires de ces triangles sont égales.

Le corollaire 1 peut être reformulé comme suit.

Corollaire 1 ?. Qu'un segment soit donné AB. De nombreux points M tel que l'aire du triangle AMVégal à la valeur spécifiée S, il y a deux droites parallèles au segment AB et ceux situés à distance de celui-ci (Fig. 1. 18)

Corollaire 2. Si l'un des côtés d'un triangle adjacent à un angle donné est augmenté de k fois, sa superficie augmentera également de k une fois.

Sur la fig. 1,19 triangles abc Et ABD avoir une hauteur commune BH, donc le rapport de leurs aires est égal au rapport des bases

Des cas particuliers importants découlent du corollaire 2 :

1. La médiane divise le triangle en deux petites parties.

2. Bissectrice d'un angle d'un triangle, enfermé entre ses côtés UN Et b, le divise en deux triangles dont les aires sont liées comme un : b.

Corollaire 3. Si deux triangles ont un angle commun, alors leurs aires sont proportionnelles au produit des côtés entourant cet angle.

Cela découle du fait que (Fig. 1.19)

En particulier, la déclaration suivante est vraie :

Si deux triangles sont semblables et que le côté de l’un d’eux est k fois plus grand que les côtés correspondants de l’autre, alors son aire est k 2 fois la superficie de la seconde.

Nous dérivons la formule de Heron pour l'aire d'un triangle des deux manières suivantes. Dans la première, nous utilisons le théorème du cosinus :

où a, b, c sont les longueurs des côtés du triangle, r est l'angle opposé au côté c.

De (1.3) on trouve.

Remarquant que

où est le demi-périmètre du triangle, on obtient.

Cette leçon vidéo de géométrie de 8e année aidera les élèves à apprendre le sujet de la recherche de l'aire d'un triangle. Le sujet explique quelle méthode existe pour calculer l'aire d'un triangle, donne deux corollaires et un théorème sur le rapport des aires des triangles.

Au début de la leçon, nous présenterons quelques dispositions pour simplifier la discussion du sujet. Prenons comme exemple le triangle ABC. Souvent, pour plus de commodité, l'un des côtés d'un triangle est pris comme base. Alors la hauteur en question sera la hauteur tirée jusqu'à la base.

Regardons le théorème : l'aire d'un triangle peut être calculée comme le produit de sa base et de sa hauteur, divisé par deux. La déclaration nécessite une preuve. Supposons que l’on nous donne un triangle ACB, dont l’aire est exprimée par la valeur S. Nous supposerons que le côté AB est la base du triangle. Traçons une perpendiculaire à CH. Nous devons prouver que S = 0,5 x AB x CH.

Nous utiliserons la méthode suivante : à partir du triangle ACB, tracez un parallélogramme ABCD comme indiqué sur la figure. Considérons les triangles ACB et CBD. CB est leur côté commun, le côté BA est égal à DC, le côté CA est égal à DB, puisque ce sont des côtés opposés du parallélogramme. Les triangles ACB et CBD sont congrus car leurs trois côtés sont égaux. De l’égalité des triangles il résulte que leurs aires sont égales. Par conséquent, l'aire du triangle ACB est égale à l'aire du parallélogramme ABCD divisée en deux. On sait que l'aire d'un parallélogramme peut être calculée en multipliant la base par la hauteur : S ABCD = AB x CH. Cela signifie que l'aire du triangle est S = 0,5 x AB x CH, ce qui devait être prouvé.

Plusieurs affirmations découlent du théorème.

Première conséquence. L'aire d'un triangle rectangle correspond au produit des jambes divisé par 2.

Deuxième conséquence. Si deux triangles ont des hauteurs égales, alors le rapport des aires des triangles est égal au rapport de leurs bases.

Le deuxième corollaire peut être appliqué lors de la démonstration du théorème sur le rapport des aires des triangles dans le cas où l'un de leurs angles est égal.

Ce théorème dit que si l'un des angles est égal dans deux triangles, alors le rapport des aires de ces triangles sera égal à la valeur du rapport du produit des côtés qui renferment des angles égaux.

Regardons la preuve. Soit deux triangles ABC et A 1 B 1 C 1 dont les aires sont respectivement égales à S et S 1. On sait que l'angle A est égal à l'angle A 1. Montrons que l'expression S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 est vraie, c'est-à-dire Les aires de ces triangles sont liées les unes aux autres comme le produit des côtés qui délimitent des angles égaux.

Ensuite, combinez deux triangles de manière à ce que le sommet A coïncide avec le sommet A 1 et que les côtés A 1 B 1 et A 1 C 1 coïncident avec les rayons AB et AC. Les triangles ABC et AB 1 C (surlignés en couleur sur la figure) ont un point commun. hauteur CH . Notons les aires de ces triangles. L'aire du triangle ABC est de 0,5 x AB x CH. L'aire du triangle AB 1 C est de 0,5 x AB 1 x CH. Ensuite, les zones sont liées les unes aux autres comme (0,5 x AB x CH) / (0,5 x AB 1 x CH) ou AB / AB 1. Par analogie, les triangles AB 1 C et AB 1 C 1 ont également une hauteur commune B 1 H 1 (marquée sur la figure). L'aire du triangle AB 1 C 1 est de 0,5 x A 1 C 1 x BH 1 , et l'aire du triangle AB 1 C peut s'écrire différemment comme 0,5 x AC x BH 1 .

Ensuite, les aires des triangles AB 1 C et AB 1 C 1 sont liées les unes aux autres comme (0,5 x AC x BH 1) / (0,5 x A 1 C 1 x BH 1) ou AC / AC 1. En multipliant les égalités résultantes, nous constatons que les aires des triangles ABC et AB 1 C 1 sont liées les unes aux autres comme (AB x AC) / (AB 1 x AC 1). Ceux. S / S 1 = (AB x AC) / UNE 1 B 1 x UNE 1 C 1 . Nous avons prouvé le théorème.

Rappelons-nous les réponses aux questions 1. Formuler le concept d'aire d'une figure géométrique 2. Formuler les propriétés de base des aires des figures géométriques 3. Comment calculer l'aire d'un rectangle et d'un parallélogramme ?

Aire d'une figure géométrique L'aire d'une figure géométrique est une grandeur qui caractérise la taille d'une figure donnée.

Propriétés de base des aires des figures géométriques 1. Toute figure géométrique plate a une aire. 2. Cette zone est la seule. 3. L'aire de toute figure géométrique est exprimée sous la forme d'un nombre positif. 4. L'aire d'un carré de côté égal à un est égale à un. 5. L'aire d'une figure est égale à la somme des aires des parties dans lesquelles elle est divisée.

Aire d'un rectangle L'aire d'un rectangle est égale au produit de ses deux côtés adjacents a dans S = a · in

Aire d'un parallélogramme 1. L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de son côté et de la hauteur abaissée de ce côté a S = a · h h

Aire d'un parallélogramme 2. L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de ses deux côtés adjacents et du sinus de l'angle qui les sépare a dans A B C D S= a · b · sin A

Aire d'un triangle Théorème L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de son côté et de la hauteur abaissée de ce côté A B C D S= ½ AC · VD

Preuve du théorème A B D C K S(ABC)= ½ S(ABDS)=1/2 AD · VC

Corollaires du théorème Essayez de prouver vous-même les corollaires suivants du théorème :

Corollaire 1 L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit de ses jambes A B C S= ½ BC AC

Corollaire 2 L'aire d'un triangle obtus est égale au produit de l'un de ses côtés et de la hauteur tombée de ce côté A B CD

Corollaire 3 L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de deux de ses côtés et du sinus de l'angle qui les sépare A B C S= ½ AB · AC · sin A

Corollaire 4 L'aire d'un triangle équilatéral est calculée par la formule : où a est le côté du triangle

Tout d'abord, résolvez les problèmes faciles : 1. Trouvez l'aire d'un triangle dont la base est de 16 cm et dont la hauteur est de 20 cm 2. Trouvez l'aire d'un triangle équilatéral de côté 6 cm. d'un triangle rectangle dont les côtés mesurent 9 cm et 12 cm.

Dessins explicatifs pour ces énigmes faciles

Résolvez maintenant des problèmes plus difficiles 1. Dans un triangle isocèle, le côté mesure 13 cm et la base mesure 10 cm. Trouvez l'aire du triangle. 2. Étant donné un triangle équilatéral de côté a. Trouvez l'aire d'un triangle composé des lignes médianes d'un triangle donné 3. L'hypoténuse d'un triangle rectangle mesure 10 cm et l'une de ses branches mesure 8 cm. Trouvez l'aire de ce triangle rectangle.

Résolvez maintenant les problèmes les plus difficiles 1. Le côté latéral d’un triangle isocèle est égal à a et l’angle à la base est égal. Trouvez l'aire du triangle. 2. La hauteur d'un triangle équilatéral est h. Calculez sa superficie. 3. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est égale à c et l'un des angles aigus est égal à. Trouvez l'aire du triangle.

Réponses à des problèmes faciles cm cm cm 2

Réponses à des problèmes plus difficiles cm cm 2

Réponses aux problèmes les plus difficiles Réponses aux problèmes : 1. ½ a 2 sin

C'est intéressant ! La détermination des aires des figures géométriques est l'un des problèmes pratiques les plus anciens. La bonne approche pour les résoudre n’a pas été trouvée immédiatement. L'un des moyens les plus simples et les plus accessibles de calculer des superficies a été découvert par Euclide. Lors du calcul des superficies, il a utilisé une technique simple appelée méthode de partition.

Par exemple, nous savons déjà comment calculer l'aire d'un carré, d'un rectangle et d'un parallélogramme, mais nous devons calculer l'aire d'un triangle arbitraire. Appliquons l'algorithme suivant :

Marquons un point sur l'un des côtés du triangle, qui est le milieu de ce côté. 2.Traçons une ligne droite passant par ce point parallèle à l'un des côtés de ce triangle. 3. Une ligne droite divise ce triangle en un petit triangle et un trapèze. 4. Réorganisez le plus petit triangle en trapèze pour obtenir un parallélogramme.

Le triangle d'origine et le parallélogramme résultant sont des figures de composition égale, et donc d'aire égale. Nous savons que les figures d'aire égale sont des figures qui ont des aires égales. Cela signifie que l'aire du triangle d'origine est égale à l'aire du parallélogramme résultant.

L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de sa base et de sa hauteur, et la hauteur du triangle d'origine, selon la construction, est 2 fois la hauteur du parallélogramme. Cela signifie que l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base et de sa hauteur !

Et en conclusion... J'espère que ces informations vous aideront à bien comprendre ce sujet, et donc à obtenir seulement un « A » au test ! Merci de votre attention !

- Toute figure géométrique plate a une aire. - Toute figure géométrique plate a une aire. - Cette place est la seule. - L'aire de toute figure géométrique est exprimée sous la forme d'un nombre positif. - L'aire d'un carré de côté égal à un est égale à un. - L'aire d'une figure est égale à la somme des aires des parties dans lesquelles elle est divisée.

1. Trouvez l'aire d'un triangle dont la base est de 16 cm, 1. Trouvez l'aire d'un triangle dont la base est de 16 cm et la hauteur de cette base est de 20 cm 2. Trouvez l'aire de un triangle équilatéral de 6 cm de côté. 3. Trouvez l'aire d'un triangle rectangle dont les pattes mesurent 9 cm et 12 cm.

1. Dans un triangle isocèle, le côté mesure 13 cm et la base mesure 10 cm. Trouvez l'aire du triangle. 1. Dans un triangle isocèle, le côté mesure 13 cm et la base mesure 10 cm. Trouvez l'aire du triangle. 2. Étant donné un triangle équilatéral de côté a. Trouvez l'aire d'un triangle constitué des lignes médianes d'un triangle donné. 3. L'hypoténuse d'un triangle rectangle mesure 10 cm et l'une de ses pattes mesure 8 cm. Trouvez l'aire de ce triangle rectangle.

1. Le côté latéral d’un triangle isocèle est égal à a et l’angle à la base est égal à . Trouvez l'aire du triangle. 1. Le côté latéral d’un triangle isocèle est égal à a et l’angle à la base est égal à . Trouvez l'aire du triangle. 2. La hauteur d'un triangle équilatéral est h. Calculez sa superficie. 3. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est égale à c et l'un des angles aigus est égal à . Trouvez l'aire du triangle.

La détermination des aires des figures géométriques est l’un des problèmes pratiques les plus anciens.

-Marquons un point sur l'un des côtés du triangle, qui est le milieu de ce côté. -Marquons un point sur l'un des côtés du triangle, qui est le milieu de ce côté. -Tracer une ligne passant par ce point parallèle à l'un des côtés de ce triangle. -Une ligne droite divise ce triangle en un petit triangle et un trapèze. -Réorganiser le petit triangle en trapèze pour obtenir un parallélogramme.

J'espère que ces informations vous aideront à bien comprendre ce sujet, et donc à obtenir seulement un « 5 » au test ! J'espère que ces informations vous aideront à bien comprendre ce sujet, et donc à obtenir seulement un « 5 » au test ! Merci de votre attention !

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