Limite d'une solution détaillée de fonction. Mathématiques supérieures pour les nuls

Nombre constant UN appelé limite séquences(x n ), si pour tout nombre positif arbitrairement petitε > 0 il existe un nombre N qui a toutes les valeurs xn, pour lequel n>N, satisfait l'inégalité

|x n - une|< ε. (6.1)

Écrivez-le comme suit : ou x n → un.

L'inégalité (6.1) équivaut à la double inégalité

une- ε< x n < a + ε, (6.2)

ce qui veut dire que les points xn, à partir d'un certain nombre n>N, se situe à l'intérieur de l'intervalle (a-ε, une+ ε ), c'est à dire. tomber dans n'importe quel petitε -quartier d'un point UN.

Une suite ayant une limite est appelée convergent, sinon - divergent.

Le concept de limite de fonction est une généralisation du concept de limite de séquence, puisque la limite d'une séquence peut être considérée comme la limite d'une fonction x n = f(n) d'un argument entier n.

Soit la fonction f(x) et soit un - point limite domaine de définition de cette fonction D(f), c'est-à-dire un tel point, dont tout voisinage contient des points de l'ensemble D(f) autres que un. Point un peut ou non appartenir à l’ensemble D(f).

Définition 1.Le nombre constant A s’appelle limite les fonctions f(x) à x →a, si pour toute séquence (x n ) de valeurs d'argument tendant à UN, les séquences correspondantes (f(x n)) ont la même limite A.

Cette définition s'appelle en définissant la limite d'une fonction selon Heine, ou " en langage séquentiel”.

Définition 2. Le nombre constant A s’appelle limite les fonctions f(x) à x →a, si, en spécifiant un petit nombre positif arbitraire ε, on peut trouver un tel δ>0 (en fonction de ε), qui s'adresse à tout le monde X, couché dansε-quartiers du nombre UN, c'est à dire. Pour X, satisfaisant l'inégalité
0 < x-a< ε , les valeurs de la fonction f(x) se situeront dansε-voisinage du nombre A, c'est-à-dire|f(x)-UNE|< ε.

Cette définition s'appelle en définissant la limite d'une fonction selon Cauchy, ou « dans la langue ε - δ “.

Les définitions 1 et 2 sont équivalentes. Si la fonction f(x) comme x →un a limite, égal à A, cela s'écrit sous la forme

. (6.3)

Dans le cas où la séquence (f(x n)) augmente (ou diminue) sans limite pour toute méthode d'approximation Xà ta limite UN, alors nous dirons que la fonction f(x) a limite infinie, et écris-le sous la forme :

Une variable (c'est-à-dire une séquence ou une fonction) dont la limite est zéro est appelée infiniment petit.

Une variable dont la limite est l'infini s'appelle infiniment grand.

Pour trouver la limite en pratique, les théorèmes suivants sont utilisés.

Théorème 1 . Si toutes les limites existent

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Commentaire. Des expressions comme 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sont incertains, par exemple le rapport de deux quantités infiniment petites ou infiniment grandes, et trouver une limite de ce type est appelé « découvrir des incertitudes ».

Théorème 2. (6.7)

ceux. on peut aller à la limite basée sur la puissance à exposant constant, notamment, ;

(6.8)

(6.9)

Théorème 3.

(6.10)

(6.11)

Où e » 2.7 - base du logarithme népérien. Les formules (6.10) et (6.11) sont appelées les premières merveilleuse limite et la deuxième limite remarquable.

Les conséquences de la formule (6.11) sont également utilisées en pratique :

(6.12)

(6.13)

(6.14)

en particulier la limite,

Si x → a et en même temps x > a, alors écrivez x→a + 0. Si, en particulier, a = 0, alors au lieu du symbole 0+0, écrivez +0. De même si x→a et en même temps x a-0. Nombres et sont appelés en conséquence limite droite Et limite gauche les fonctions f(x) à ce point UN. Pour qu'il y ait une limite de la fonction f(x) comme x→a est nécessaire et suffisant pour que . La fonction f(x) est appelée continu à ce point x 0 si limite

. (6.15)

La condition (6.15) peut être réécrite comme suit :

,

c'est-à-dire que le passage à la limite sous le signe d'une fonction est possible si elle est continue en un point donné.

Si l’égalité (6.15) est violée, alors on dit que à x = xo fonction f(x) Il a écart Considérons la fonction y = 1/x. Le domaine de définition de cette fonction est l'ensemble R., sauf pour x = 0. Le point x = 0 est un point limite de l'ensemble D(f), puisque dans n'importe quel voisinage de celui-ci, c'est-à-dire dans tout intervalle ouvert contenant le point 0, il y a des points de D(f), mais lui-même n'appartient pas à cet ensemble. La valeur f(x o)= f(0) n'est pas définie, donc au point x o = 0 la fonction a une discontinuité.

La fonction f(x) est appelée continu à droite au point x o si la limite

,

Et continu à gauche au point x o, si la limite

.

Continuité d'une fonction en un point xoéquivaut à sa continuité en ce point tant à droite qu'à gauche.

Pour que la fonction soit continue en un point xo, par exemple, à droite, il faut, d'une part, qu'il y ait une limite finie, et d'autre part, que cette limite soit égale à f(x o). Ainsi, si au moins une de ces deux conditions n’est pas remplie, alors la fonction présentera une discontinuité.

1. Si la limite existe et n'est pas égale à f(x o), alors on dit que fonction f(x) à ce point x o a rupture du premier type, ou saut.

2. Si la limite est+∞ ou -∞ ou n'existe pas, alors ils disent que dans indiquer xo la fonction a une discontinuité deuxième espèce.

Par exemple, fonction y = lit bébé x à x→ +0 a une limite égale à +∞, ce qui signifie qu'au point x=0 il présente une discontinuité du deuxième type. Fonction y = E(x) (partie entière de X) en des points à abscisses entières présente des discontinuités du premier type, ou sauts.

Une fonction continue en tout point de l’intervalle est appelée continu V. Une fonction continue est représentée par une courbe pleine.

De nombreux problèmes associés à la croissance continue d’une certaine quantité conduisent à la deuxième limite remarquable. Ces tâches comprennent, par exemple : la croissance des gisements selon la loi des intérêts composés, la croissance de la population du pays, la désintégration des substances radioactives, la prolifération des bactéries, etc.

Considérons exemple de Ya. I. Perelman, donnant une interprétation du nombre e dans le problème des intérêts composés. Nombre e il existe une limite . Dans les caisses d’épargne, les intérêts sont ajoutés chaque année au capital fixe. Si l'adhésion est effectuée plus souvent, le capital croît plus rapidement, puisqu'un montant plus important est impliqué dans la formation des intérêts. Prenons un exemple purement théorique et très simplifié. Que 100 deniers soient déposés à la banque. unités sur la base de 100 % par an. Si les intérêts ne sont ajoutés au capital fixe qu'après un an, alors à cette période, 100 deniers. unités se transformera en 200 unités monétaires. Voyons maintenant ce que deviendront 100 denize. unités, si les intérêts sont ajoutés au capital fixe tous les six mois. Après six mois, 100 deniers. unités passera à 100× 1,5 = 150, et après encore six mois - à 150× 1,5 = 225 (den. unités). Si l'adhésion se fait tous les 1/3 de l'année, alors après un an 100 den. unités deviendra 100× (1 +1/3) 3 " 237 (unités den.). Nous augmenterons les conditions d'ajout d'intérêts à 0,1 an, jusqu'à 0,01 an, jusqu'à 0,001 an, etc. Puis sur 100 deniers. unités au bout d'un an ce sera :

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unités den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unités den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unités den.).

Avec une réduction illimitée des modalités d'ajout des intérêts, le capital accumulé ne croît pas indéfiniment, mais se rapproche d'une certaine limite égale à environ 271. Le capital déposé à 100 % par an ne peut augmenter de plus de 2,71 fois, même si les intérêts courus ont été ajoutés au capital chaque seconde car la limite

Exemple 3.1.À l’aide de la définition de la limite d’une suite de nombres, prouver que la suite x n =(n-1)/n a une limite égale à 1.

Solution.Nous devons prouver que, quoi qu'il arriveε > 0, peu importe ce que l'on prend, pour cela il existe un nombre naturel N tel que pour tout n N l'inégalité est vraie|xn-1|< ε.

Prenons n'importe quel e > 0. Puisque ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, alors pour trouver N il suffit de résoudre l'inégalité 1/n< e. Donc n>1/ e et, par conséquent, N peut être considéré comme une partie entière de 1/ e , N = E(1/ e ). Nous avons ainsi prouvé que la limite .

Exemple 3.2 . Trouver la limite d'une suite donnée par un terme commun .

Solution.Appliquons la limite du théorème de la somme et trouvons la limite de chaque terme. Quand n→ ∞ le numérateur et le dénominateur de chaque terme tendent vers l'infini, et on ne peut pas appliquer directement le théorème limite du quotient. Par conséquent, nous transformons d’abord xn, en divisant le numérateur et le dénominateur du premier terme par n°2, et le deuxième sur n. Ensuite, en appliquant la limite du quotient et la limite du théorème de la somme, on trouve :

.

Exemple 3.3. . Trouver .

Solution. .

Ici, nous avons utilisé le théorème de la limite du degré : la limite d'un degré est égale au degré de la limite de la base.

Exemple 3.4 . Trouver ( ).

Solution.Il est impossible d'appliquer le théorème de la limite des différences, puisque nous avons une incertitude de la forme ∞-∞ . Transformons la formule du terme général :

.

Exemple 3.5 . La fonction f(x)=2 1/x est donnée. Prouvez qu’il n’y a pas de limite.

Solution.Utilisons la définition 1 de la limite d'une fonction à travers une séquence. Prenons une suite ( x n ) convergeant vers 0, c'est-à-dire Montrons que la valeur f(x n)= se comporte différemment pour différentes séquences. Soit x n = 1/n. Évidemment, alors la limite Choisissons maintenant comme xn une séquence avec un terme commun x n = -1/n, tendant également vers zéro. Il n’y a donc aucune limite.

Exemple 3.6 . Prouvez qu’il n’y a pas de limite.

Solution.Soit x 1 , x 2 ,..., x n ,... une suite pour laquelle
. Comment se comporte la séquence (f(x n)) = (sin x n) pour différents x n → ∞

Si x n = p n, alors sin x n = sin p n = 0 pour tout n et la limite Si
xn =2 p n+ p /2, alors péché x n = péché(2 p n+ p /2) = péché p /2 = 1 pour tout n et donc la limite. Donc ça n'existe pas.

Widget pour calculer les limites en ligne

Dans la fenêtre supérieure, au lieu de sin(x)/x, saisissez la fonction dont vous souhaitez rechercher la limite. Dans la fenêtre inférieure, entrez le nombre vers lequel x tend et cliquez sur le bouton Calculer, obtenez la limite souhaitée. Et si dans la fenêtre de résultats vous cliquez sur Afficher les étapes dans le coin supérieur droit, vous obtiendrez une solution détaillée.

Règles de saisie des fonctions : sqrt(x) - racine carrée, cbrt(x) - racine cubique, exp(x) - exposant, ln(x) - logarithme naturel, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangente, cot(x) - cotangente, arcsin(x) - arc sinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangente. Signes : * multiplication, / division, ^ exponentiation, à la place infini Infini. Exemple : la fonction est saisie sous la forme sqrt(tan(x/2)).

La théorie des limites est l'une des branches de l'analyse mathématique. La question de la résolution des limites est assez vaste, puisqu'il existe des dizaines de méthodes pour résoudre des limites de différents types. Il existe des dizaines de nuances et d'astuces qui permettent de résoudre telle ou telle limite. Néanmoins, nous tenterons tout de même de comprendre les principaux types de limites les plus souvent rencontrées en pratique.

Commençons par la notion même de limite. Mais d’abord, un bref rappel historique. Au XIXe siècle vivait un Français, Augustin Louis Cauchy, qui a donné des définitions strictes à de nombreux concepts de matan et en a posé les bases. Il faut dire que ce mathématicien respecté était, est et sera dans les cauchemars de tous les étudiants des départements de physique et de mathématiques, puisqu'il a prouvé un grand nombre de théorèmes d'analyse mathématique, et un théorème est plus mortel que l'autre. À cet égard, nous n'envisagerons pas encore détermination de la limite de Cauchy, mais essayons de faire deux choses :

1. Comprenez ce qu’est une limite.
2. Apprenez à résoudre les principaux types de limites.

Je m'excuse pour certaines explications non scientifiques, il est important que le matériel soit compréhensible même pour une théière, ce qui, en fait, est la tâche du projet.

Alors quelle est la limite ?

Et juste un exemple de pourquoi faire une grand-mère poilue...

Toute limite se compose de trois parties:

1) L’icône de limite bien connue.
2) Entrées sous l'icône de limite, dans ce cas . L’entrée indique « X tend vers un ». Le plus souvent - exactement, bien qu'au lieu de « X » dans la pratique, il existe d'autres variables. Dans les tâches pratiques, la place d'un peut être absolument n'importe quel nombre, ainsi que l'infini ().
3) Fonctionne sous le signe limite, dans ce cas .

L'enregistrement lui-même se lit comme ceci : « la limite d’une fonction lorsque x tend vers l’unité ».

Regardons la prochaine question importante : que signifie l'expression « x » ? s'efforceà une"? Et que signifie « s’efforcer » ?
Le concept de limite est, pour ainsi dire, un concept dynamique. Construisons une séquence : d'abord , puis , , …, , ….
C'est-à-dire l'expression « x s'efforceà un » doit être compris comme suit : « x » prend systématiquement les valeurs qui se rapprochent infiniment de l'unité et coïncident pratiquement avec elle.

Comment résoudre l’exemple ci-dessus ? Sur la base de ce qui précède, il vous suffit d'en substituer un dans la fonction sous le signe limite :

Alors, la première règle : Lorsqu'on nous donne une limite, nous essayons d'abord simplement de brancher le numéro dans la fonction.

Nous avons considéré les limites les plus simples, mais celles-ci se retrouvent aussi dans la pratique, et pas si rarement !

Exemple avec l'infini :

Voyons ce que c'est ? C’est le cas lorsqu’il augmente sans limite, c’est-à-dire : d’abord, puis, ensuite, ensuite, et ainsi de suite à l’infini.

Qu'arrive-t-il à la fonction à ce moment-là ?
, , , …

Donc : si , alors la fonction tend vers moins l'infini:

En gros, selon notre première règle, au lieu de « X », nous substituons l'infini dans la fonction et obtenons la réponse.

Autre exemple avec l'infini :

Encore une fois, nous commençons à augmenter jusqu'à l'infini et regardons le comportement de la fonction :

Conclusion : quand la fonction augmente sans limite:

Et une autre série d'exemples :

Veuillez essayer d'analyser mentalement les éléments suivants par vous-même et rappelez-vous les types de limites les plus simples :

, , , , , , , , ,
Si vous avez des doutes quelque part, vous pouvez vous procurer une calculatrice et vous entraîner un peu.
Dans le cas où , essayez de construire la séquence , , . Si donc , , .

! Note: À proprement parler, cette approche de construction de séquences de plusieurs nombres est incorrecte, mais pour comprendre les exemples les plus simples, elle est tout à fait adaptée.

Faites également attention à la chose suivante. Même si une limite est donnée avec un grand nombre en haut, voire un million : , alors c'est pareil , puisque tôt ou tard « X » commencera à prendre des valeurs si gigantesques qu'un million en comparaison sera un véritable microbe.

Que devez-vous retenir et comprendre de ce qui précède ?

1) Lorsqu’une limite nous est donnée, nous essayons d’abord simplement de substituer le nombre dans la fonction.

2) Vous devez comprendre et résoudre immédiatement les limites les plus simples, telles que , , etc.

De plus, la limite a une très bonne signification géométrique. Pour une meilleure compréhension du sujet, je vous recommande de lire le matériel pédagogique Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Après avoir lu cet article, vous comprendrez non seulement enfin ce qu'est une limite, mais vous vous familiariserez également avec des cas intéressants où la limite d'une fonction en général n'existe pas!

Dans la pratique, malheureusement, les cadeaux sont rares. Nous passons donc à des limites plus complexes. D'ailleurs, sur ce sujet il y a cours intensif au format pdf, ce qui est particulièrement utile si vous disposez de TRÈS peu de temps pour vous préparer. Mais les matériaux du site, bien sûr, ne sont pas pires :

Nous allons maintenant considérer le groupe de limites quand , et la fonction est une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes

Exemple:

Calculer la limite

Selon notre règle, nous essaierons de substituer l'infini dans la fonction. Qu'obtient-on au sommet ? Infini. Et que se passe-t-il ci-dessous ? L'infini aussi. Nous avons donc ce qu’on appelle l’incertitude des espèces. On pourrait penser que , et la réponse est prête, mais dans le cas général ce n'est pas du tout le cas, et il est nécessaire d'appliquer une technique de solution, que nous allons maintenant considérer.

Comment résoudre des limites de ce type ?

Nous regardons d’abord le numérateur et trouvons la puissance la plus élevée :

La puissance principale au numérateur est deux.

Maintenant, regardons le dénominateur et trouvons-le également à la puissance la plus élevée :

Le plus haut degré du dénominateur est deux.

Ensuite, on choisit la puissance la plus élevée du numérateur et du dénominateur : dans cet exemple, elles sont identiques et égales à deux.

Ainsi, la méthode de résolution est la suivante : pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée.

La voici, la réponse, et pas du tout l'infini.

Qu’est-ce qui est fondamentalement important dans la conception d’une décision ?

Premièrement, nous indiquons l’incertitude, le cas échéant.

Deuxièmement, il est conseillé d'interrompre la solution pour des explications intermédiaires. J'utilise habituellement le signe, il n'a aucune signification mathématique, mais signifie que la solution est interrompue pour une explication intermédiaire.

Troisièmement, dans la limite, il est conseillé de marquer ce qui va où. Lorsque l'ouvrage est rédigé à la main, il est plus pratique de procéder ainsi :

Il est préférable d'utiliser un simple crayon pour les notes.

Bien sûr, vous n’êtes pas obligé de faire quoi que ce soit de tout cela, mais peut-être que l’enseignant signalera les lacunes de la solution ou commencera à poser des questions supplémentaires sur le devoir. En as-tu besoin?

Exemple 2

Trouver la limite
Toujours au numérateur et au dénominateur on retrouve au plus haut degré :

Degré maximum au numérateur : 3
Degré maximum au dénominateur : 4
Choisir le plus grand valeur, dans ce cas quatre.
Selon notre algorithme, pour révéler l'incertitude, nous divisons le numérateur et le dénominateur par .
Le devoir complet pourrait ressembler à ceci :

Divisez le numérateur et le dénominateur par

Exemple 3

Trouver la limite
Degré maximum de « X » au numérateur : 2
Degré maximum de « X » au dénominateur : 1 (peut s’écrire)
Pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par . La solution finale pourrait ressembler à ceci :

Divisez le numérateur et le dénominateur par

La notation ne signifie pas division par zéro (on ne peut pas diviser par zéro), mais division par un nombre infinitésimal.

Ainsi, en découvrant l'incertitude relative aux espèces, nous pourrons peut-être numéro final, zéro ou l'infini.

Limites avec incertitude de type et méthode pour les résoudre

Le groupe de limites suivant est quelque peu similaire aux limites que nous venons de considérer : le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes, mais « x » ne tend plus vers l'infini, mais vers nombre fini.

Exemple 4

Résoudre la limite
Tout d'abord, essayons de remplacer -1 dans la fraction :

Dans ce cas, ce qu'on appelle l'incertitude est obtenu.

Règle générale: si le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes et qu'il y a une incertitude sur la forme, alors divulguer il faut prendre en compte le numérateur et le dénominateur.

Pour ce faire, vous devez le plus souvent résoudre une équation quadratique et/ou utiliser des formules de multiplication abrégées. Si ces choses ont été oubliées, alors visitez la page Formules et tableaux mathématiques et lire le matériel pédagogique Formules chaudes pour le cours de mathématiques à l'école. À propos, il est préférable de l'imprimer ; cela est nécessaire très souvent et les informations sont mieux absorbées sur papier.

Alors, résolvons notre limite

Factoriser le numérateur et le dénominateur

Afin de factoriser le numérateur, vous devez résoudre l'équation quadratique :

On trouve d’abord le discriminant :

Et sa racine carrée : .

Si le discriminant est grand, par exemple 361, on utilise une calculatrice ; la fonction d'extraction de la racine carrée est sur la calculatrice la plus simple.

! Si la racine n'est pas extraite dans son intégralité (un nombre fractionnaire avec une virgule est obtenu), il est très probable que le discriminant ait été mal calculé ou qu'il y ait eu une faute de frappe dans la tâche.

Ensuite, nous trouvons les racines :

Ainsi:

Tous. Le numérateur est factorisé.

Dénominateur. Le dénominateur est déjà le facteur le plus simple et il n’existe aucun moyen de le simplifier.

On peut évidemment le raccourcir en :

Remplaçons maintenant -1 dans l'expression qui reste sous le signe limite :

Naturellement, dans un test, un test ou un examen, la solution n'est jamais décrite avec autant de détails. Dans la version finale, le design devrait ressembler à ceci :

Factorisons le numérateur.

Exemple 5

Calculer la limite

Tout d’abord, la version « finie » de la solution

Factorisons le numérateur et le dénominateur.

Numérateur:
Dénominateur:



,

Qu'est-ce qui est important dans cet exemple ?
Tout d'abord, vous devez bien comprendre comment le numérateur est révélé, nous avons d'abord pris 2 entre parenthèses, puis utilisé la formule de la différence des carrés. C'est la formule que vous devez connaître et voir.

Recommandation: Si dans une limite (de presque n'importe quel type) il est possible de retirer un nombre entre parenthèses, alors nous le faisons toujours.
De plus, il est conseillé de déplacer ces nombres au-delà de l'icône de limite. Pour quoi? Oui, juste pour qu’ils ne gênent pas. L'essentiel est de ne pas perdre ces numéros plus tard lors de la résolution.

Veuillez noter qu'à l'étape finale de la solution, j'ai supprimé les deux icônes hors limite, puis le moins.

! Important
Lors de la solution, un fragment de type apparaît très souvent. Réduisez cette fractionc'est interdit . Vous devez d'abord changer le signe du numérateur ou du dénominateur (mettre -1 entre parenthèses).
, c'est-à-dire qu'un signe moins apparaît, qui est pris en compte lors du calcul de la limite et il n'est pas du tout nécessaire de le perdre.

En général, j'ai remarqué que le plus souvent, pour trouver des limites de ce type, il faut résoudre deux équations quadratiques, c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur contiennent tous deux des trinômes quadratiques.

Méthode de multiplication du numérateur et du dénominateur par l'expression conjuguée

Nous continuons à considérer l'incertitude de la forme

Le type de limites suivant est similaire au type précédent. La seule chose, en plus des polynômes, nous ajouterons des racines.

Exemple 6

Trouver la limite

Commençons par décider.

Nous essayons d'abord de substituer 3 dans l'expression sous le signe limite
Je le répète encore une fois : c'est la première chose que vous devez faire pour TOUTE limite. Cette action est généralement réalisée mentalement ou sous forme de brouillon.

Une incertitude de forme a été obtenue et doit être éliminée.

Comme vous l’avez probablement remarqué, notre numérateur contient la différence des racines. Et en mathématiques, il est d'usage de se débarrasser des racines si possible. Pour quoi? Et la vie est plus facile sans eux.

L'incertitude sur le type et l'espèce est l'incertitude la plus courante qui doit être divulguée lors de la détermination des limites.

La plupart des problèmes limites rencontrés par les étudiants contiennent précisément de telles incertitudes. Pour les révéler ou, plus précisément, pour éviter les incertitudes, il existe plusieurs techniques artificielles pour transformer le type d'expression sous le signe limite. Ces techniques sont les suivantes : division par terme du numérateur et du dénominateur par la puissance la plus élevée de la variable, multiplication par l'expression conjuguée et factorisation pour une réduction ultérieure à l'aide de solutions d'équations quadratiques et de formules de multiplication abrégées.

Incertitude relative aux espèces

Exemple 1.

n est égal à 2. On divise donc le numérateur et le dénominateur terme par terme par :

.

Commentez le côté droit de l’expression. Les flèches et les chiffres indiquent à quoi tendent les fractions après substitution n signifiant l'infini. Ici, comme dans l'exemple 2, le degré n Il y a plus dans le dénominateur que dans le numérateur, de sorte que la fraction entière a tendance à être infinitésimale ou « super petite ».

On obtient la réponse : la limite de cette fonction avec une variable tendant vers l'infini est égale à .

Exemple 2. .

Solution. Ici la puissance la plus élevée de la variable X est égal à 1. On divise donc le numérateur et le dénominateur terme par terme par X:

Commentaire sur l'avancement de la décision. Au numérateur on place « x » sous la racine du troisième degré, et pour que son degré d'origine (1) reste inchangé, on lui attribue le même degré que la racine, c'est-à-dire 3. Il n'y a pas de flèches ni de nombres supplémentaires dans cette entrée, alors essayez-le mentalement, mais par analogie avec l'exemple précédent, déterminez à quoi tendent les expressions du numérateur et du dénominateur après avoir substitué l'infini au lieu de « x ».

Nous avons reçu la réponse : la limite de cette fonction avec une variable tendant vers l'infini est égale à zéro.

Incertitude relative aux espèces

Exemple 3. Découvrez l’incertitude et trouvez la limite.

Solution. Le numérateur est la différence des cubes. Factorisons-le à l'aide de la formule de multiplication abrégée du cours de mathématiques à l'école :

Le dénominateur contient un trinôme quadratique, que nous factoriserons en résolvant une équation quadratique (encore une fois un lien vers la résolution d'équations quadratiques) :

Écrivons l'expression obtenue à la suite des transformations et trouvons la limite de la fonction :

Exemple 4. Libérez l’incertitude et trouvez la limite

Solution. Le théorème du quotient limite ne s'applique pas ici, puisque

On transforme donc la fraction à l'identique : en multipliant le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué au dénominateur, et on réduit par X+1. D'après le corollaire du théorème 1, on obtient une expression, en résolvant laquelle on trouve la limite souhaitée :

Exemple 5. Libérez l’incertitude et trouvez la limite

Solution. Substitution directe de valeur X= 0 dans une fonction donnée conduit à une incertitude de la forme 0/0. Pour le révéler, on effectue des transformations identiques et on obtient finalement la limite souhaitée :

Exemple 6. Calculer

Solution: Utilisons les théorèmes sur les limites

Répondre: 11

Exemple 7. Calculer

Solution: dans cet exemple les limites du numérateur et du dénominateur à sont égales à 0 :

; . Nous avons donc reçu le théorème sur la limite du quotient qui ne peut pas être appliqué.

Factorisons le numérateur et le dénominateur afin de réduire la fraction d'un facteur commun tendant vers zéro, et permettons donc d'appliquer le théorème 3.

Développons le trinôme carré au numérateur en utilisant la formule , où x 1 et x 2 sont les racines du trinôme. Après avoir factorisé et dénominateur, réduisez la fraction de (x-2), puis appliquez le théorème 3.

Répondre:

Exemple 8. Calculer

Solution: Ainsi, lorsque le numérateur et le dénominateur tendent vers l’infini, en appliquant directement le théorème 3, nous obtenons l’expression , qui représente l’incertitude. Pour vous débarrasser de ce type d’incertitude, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de l’argument. Dans cet exemple, vous devez diviser par X:

Répondre:

Exemple 9. Calculer

Solution: x3:

Répondre: 2

Exemple 10. Calculer

Solution: Quand le numérateur et le dénominateur tendent vers l’infini. Divisons le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de l'argument, c'est-à-dire x5:

=

Le numérateur de la fraction tend vers 1, le dénominateur tend vers 0, donc la fraction tend vers l'infini.

Répondre:

Exemple 11. Calculer

Solution: Quand le numérateur et le dénominateur tendent vers l’infini. Divisons le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de l'argument, c'est-à-dire x7:

Répondre: 0

Dérivé.

Dérivée de la fonction y = f(x) par rapport à l'argument x est appelée la limite du rapport de son incrément y à l'incrément x de l'argument x, lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro : . Si cette limite est finie, alors la fonction y = f(x) est dit dérivable au point x. Si cette limite existe, alors on dit que la fonction y = f(x) a une dérivée infinie au point x.

Dérivées des fonctions élémentaires de base :

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Règles de différenciation :

un)

V)

Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution: Si la dérivée du deuxième terme est trouvée en utilisant la règle de différenciation des fractions, alors le premier terme est une fonction complexe dont la dérivée est trouvée par la formule :

Où alors

Lors de la résolution, les formules suivantes ont été utilisées : 1,2,10,a,c,d.

Répondre:

Exemple 21. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution: les deux termes sont des fonctions complexes, où pour le premier , , et pour le second , , alors

Répondre:

Applications dérivées.

1. Vitesse et accélération

Laissez la fonction s(t) décrire position objet dans un système de coordonnées au temps t. Alors la dérivée première de la fonction s(t) est instantanée vitesse objet:
v=s′=f′(t)
La dérivée seconde de la fonction s(t) représente l'instantané accélération objet:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Équation tangente
y−y0=f′(x0)(x−x0),
où (x0,y0) sont les coordonnées du point tangent, f′(x0) est la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point tangent.

3. Équation normale
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

où (x0,y0) sont les coordonnées du point où la normale est tracée, f′(x0) est la valeur de la dérivée de la fonction f(x) en ce point.

4. Fonction croissante et décroissante
Si f′(x0)>0, alors la fonction augmente au point x0. Dans la figure ci-dessous, la fonction augmente à mesure que x x2.
Si f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Si f′(x0)=0 ou que la dérivée n'existe pas, alors ce critère ne permet pas de déterminer la nature de la monotonie de la fonction au point x0.

5. Extrémas locaux d'une fonction
La fonction f(x) a maximum local au point x1, s'il existe un voisinage du point x1 tel que pour tout x de ce voisinage l'inégalité f(x1)≥f(x) est vraie.
De même, la fonction f(x) a minimum local au point x2, s'il existe un voisinage du point x2 tel que pour tout x de ce voisinage l'inégalité f(x2)≤f(x) est vraie.

6. Points critiques
Le point x0 est point critique fonction f(x), si la dérivée f′(x0) qu’elle contient est égale à zéro ou n’existe pas.

7. Le premier signe suffisant de l'existence d'un extremum
Si la fonction f(x) augmente (f′(x)>0) pour tout x dans un intervalle (a,x1] et diminue (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) pour tout x de l'intervalle )