Un ensemble AÌE est dit convexe si, avec deux points x 1 et x 2 quelconques, il contient un segment les reliant, c'est-à-dire ensembles de formulaires
[x 1 x 2 ]={xОE n | x=l x 1 +(1-l) x 2 , 0 £l £1).
Les demi-espaces considérés ci-dessus sont des ensembles convexes. Vérifions par exemple si le demi-espace H + ab ( xОE n |
Additionnons ces deux inégalités, après avoir multiplié la première par un nombre arbitraire lÎ, et la seconde par 1-l. On obtient alors l’inégalité
je
Puisque l est arbitraire, tout le segment reliant les points sélectionnés appartient à ce demi-espace. Le demi-espace est donc bien un ensemble convexe.
Fig. 2.10. Ensembles convexes (a), non convexes (b).
Chapitre 3 : Bases des fonctionnalités.
3.1 Notion de fonctions.
Soit X et Y deux ensembles. Si une règle est spécifiée selon laquelle chaque élément de l'ensemble X est associé à un certain élément de l'ensemble Y, alors on dit qu'une fonction est donnée f, mappant X à Y. Ce fait s'écrit f : X®Y ou y=f(x), où x ОX, yОY. L'ensemble X est appelé le domaine de données ou le domaine de la fonction, et l'ensemble Y est l'ensemble des valeurs. Fonction f(x) est une règle qui permet à chaque valeur x d'être associée à une seule valeur y=f(x). Dans ce cas, x est la variable indépendante, y est la variable dépendante. Fonctions y=f(x)=f(x 1 +x 2 ,..,x n), c'est-à-dire les fonctions avec un domaine de spécification X Ì E n et un ensemble de valeurs Y Ì E sont appelées fonctions numériques par opposition aux fonctions vectorielles pour lesquelles YÌ E m , m>1.
De nombreux types
((x,y)ОE n +1 ½ y=f(x) pour certains xОX)
appelé le graphique d'une fonction y=f(x).
Un certain nombre de processus physiques peuvent être décrits à l'aide de fonctions continues, c'est-à-dire fonctions qui ont la propriété de continuité en chaque point x appartenant aux domaines de leur définition.
Une fonction f est dite continue en un point x 0 ОX si pour tout nombre e>0 il est possible de spécifier un nombre d e >0 tel que pour tout xОX О Ède ½x 0 ½ l'inégalité ½f(x)-f(x 0 )½ tient Comme exemples de fonctions continues sur E n , nous donnons la fonction linéaire f 1 (x)= où Q est une matrice numérique symétrique de taille n*m, c est un vecteur de E n et b est un nombre, et Qx signifie le produit d'une matrice par un vecteur selon les règles de multiplication matricielle adoptées en algèbre linéaire. 3.2 Classement des fonctions. 3.2.1 Fonctions discontinues et discrètes. fonctions discontinues. Par exemple, le coût de communication à un système de la quantité En chauffant à différentes températures du système, nous obtenons une courbe continue par morceaux (Figure 3.1). Il peut y avoir des cas où la variable prend des valeurs discrètes (Figure 3.2). Selon que la fonction étudiée est continue ou discontinue, différentes méthodes de recherche doivent être utilisées. Il convient de noter que la méthode est efficace lors de l'analyse de fonctions continues, mais peut s'avérer inefficace lors de l'étude de fonctions discontinues, même si le contraire n'est pas exclu. Les fonctions peuvent également être classées selon leur forme, qui détermine les propriétés topologiques des fonctions dans l'intervalle considéré. 3.2.2 Fonctions monotones. La fonction f(x) est monotone (Figure 3.3) à la fois croissante et décroissante) si pour deux points arbitraires x 1 et x 2 tels que x 1 Figure 3.3. Sur la notion de fonction monotone. La figure 3.4 montre un graphique d'une fonction qui diminue de manière monotone lorsque x £ 0 et augmente de manière monotone lorsque x³0. La fonction atteint son minimum au point x=x * (origine 0) et est monotone de part et d'autre du point minimum. De telles fonctions sont appelées unimodales. Notez qu'une fonction unimodale ne doit pas du tout être lisse (Fig. 3.4, a) et même continue (Fig. 3.4, b), elle peut être brisée (non différentiable), discontinue (Fig. 3.4, c), discret (Fig. 3.4 d) et peut même ne pas être défini dans certains intervalles (Fig. 3.4, d.). Ainsi une fonction f(x) est dite unimodale sur l'intervalle si elle est continue sur et qu'il existe des nombres a et b a£a£b£b tels que : 1) si un 2) si b
3) pour xО f(x)=f * =min f(x); Fig. 3.4. Fonctions unimodales : a) lisse, b) continue, c) discontinue, d) discrète, e) arbitraire. un ou deux des segments , , peuvent dégénérer jusqu'à un certain point (Figure 3.5). Figure 3.5. Variantes de localisation et dégénérescence jusqu'à un point de segments de monotonie et de constance d'une fonction unimodale. l'ensemble des fonctions unimodales sur un intervalle sera noté Q. L'unimodalité des fonctions est une propriété extrêmement importante et largement utilisée dans les études d'optimisation. 3.2.3 Fonctions convexes, pseudoconvexes et quasi-convexes. Les fonctions convexes et leurs généralisations (fonctions pseudoconvexes et quasiconvexes) jouent un rôle important dans la théorie de l'optimisation. En utilisant ces fonctions, des conditions d’optimalité suffisantes seront formulées. Une fonction numérique f, définie sur un ensemble convexe X, XОE n, est dite convexe si pour deux points quelconques x 1 ,x 2 ОX et un nombre arbitraire lо l'inégalité suivante est vraie : f(lx 1 +(1-l)x 2) £ lf(x 1)+(1-l)f(x 2). (3.1) Une inégalité de sens opposé définit une fonction concave, et les termes « convexe vers le bas (1) » et « convexe vers le haut (2) » sont souvent utilisés (Fig. 3.6). Figure 3.6. 1) fonction convexe (convexe vers le bas), 2) fonction concave (concave vers le haut). Géométriquement, la convexité d'une fonction f signifie que tout point sur une corde arbitraire du graphe f n'est pas situé plus bas que le point correspondant du graphe lui-même (se trouve en dessous de la corde reliant deux points de son graphe), (Figure 3.6., courbe 1). Les exemples les plus simples de fonctions convexes d'une variable sont la parabole y=x 2 et l'exponentielle y=e x . Les fonctions y=-x 2 et y=-e x sont concaves. Si pour tout x 1, x 2 ОX x 1 ¹x 2 et lо l'inégalité (3.1) est satisfaite comme stricte (<), то f называется strictement convexe
sur X (Figure 3.7,a). La fonction s'appelle (strictement) courbé
, si - f est (strictement) convexe (Fig. 3.7, b). Figure 3.7. Fonctions strictement convexes (a) et strictement concaves, leurs dérivées (ligne pointillée) et une fonction à section linéaire Fonction f(x), défini sur un ensemble convexe X, est dit fortement convexe avec une constante je> 0 si Donnons une interprétation géométrique de la définition (3.2) en considérant la fonction y=f(x) une variable. Ayant réparé x 1 et x 2 du domaine de définition de la fonction et notant , on changera l de 0 à 1. Il est clair qu'alors la valeur x(l), variera de x1à x2, et pointez ( X, f(x)) ira selon le graphique de la fonction y=f(x) du point B= ( x 2 , f(x 2)) au point UN= (x 1 , f(x 1))(Fig. 3.8). Figure 3.8. Graphique d'une fonction hautement convexe. Équations dans le plan xOy décrire une droite L points de connexion (sécants) UN Et DANS, et les équations définir une parabole R. gentil · Théorème 3.1
Une fonction continûment différentiable sur un ensemble convexe X f est convexe sur cet ensemble si et seulement si pour tout x 1 ,x 2 О X inégalité vraie f(x 2) ³ f(x 1) +<Ñf(x 1 ,x 2 -x 1)>, (3.3) obtenu à partir de l’expansion de la fonction f(x) dans une série de Taylor à un moment donné x1 en éliminant les termes du deuxième ordre d'expansion et supérieur F(x 1 +h) = f(x 1) + hf ¢(x 1) + h 2 /2*f¢¢(x 1) +..., (3.3) où h est un nombre suffisamment petit, |h| Ñf(x 1) = (¶f/¶x 1 , ¶f/¶x 2 ,.., ¶f/¶x n) t, ceux. est un vecteur de dérivées partielles du premier ordre calculé au point x 1 et est appelé le gradient de la fonction f au point x 1 . · Théorème 3.2
Soit une fonction f deux fois continûment différentiable sur un ensemble convexe X contenant au moins un point intérieur, et soit Ñ 2 f(x) son Hessien. Alors pour que f soit convexe sur un ensemble X, il faut et suffisant que la matrice Ñ 2 f(x) soit définie non négativement pour tout xÎX, c'est-à-dire pour que l'inégalité <Ñ 2 f(x)h, h>³0 (3.4) a été remplie pour tous les points xÎX, hÎE n . Ici, la matrice numérique Ñ 2 f(x) est appelée la matrice hessienne (ou matrice hessienne). Si une fonction f a des dérivées partielles continues du second ordre (deux fois continûment différentiables) en un point x 1 , alors elle est deux fois différentiable en x 1 et a une matrice hessienne de la forme De plus, cette matrice est symétrique, c'est-à-dire Des déclarations similaires s'appliquent aux fonctions concaves. Dans ce cas, dans les formules (3.2) et (3.4), le signe d'inégalité ³ doit être remplacé par £. Vérification de la convexité d'une fonction. Une fonction f est convexe si sa matrice hessienne est définie positive (>0) ou semi-définie positive pour toutes les valeurs x 1 , x 2 ,.., x n. Vérification du fonctionnement pour le renflement. Une fonction f est convexe si sa matrice hessienne est semi-définie négative (£0) pour toutes les valeurs x 1 , x 2 ,.., x n . Une fonction strictement convexe ou concave a un seul extremum, qui est respectivement un minimum ou un maximum global. Une fonction qui a une section linéaire (Figure 3.7, c) a un nombre infini d'extrema d'égale grandeur. Pour juger d'une extrémité en présence de restrictions, on peut utiliser la notion de convexité d'un ensemble admissible. Un ensemble est convexe si un segment de ligne reliant deux points des limites de l'ensemble se trouve entièrement à l'intérieur de l'ensemble. La convexité ou la concavité de la fonction objectif peut également être jugée par la nature du changement de ses dérivées partielles ¶f/¶x. Dans le cas d'une fonction strictement convexe, cette dérivée augmente à mesure que l'argument augmente (Figure 3.7 a), et pour une fonction strictement convexe elle diminue (Figure 3.7 b). S'il existe une section linéaire de la fonction objectif, la dérivée indiquée dans cette section est constante. Ensemble convexe de la forme X=(xÎE n ) | Axe£b)=(xÎE n | £b i , i=1,..,m) où A est une matrice de taille m*n avec des lignes a 1 ,..,a m , b=(b 1 ,..,b m) О E n (m=1,2,..). Ils sont généralement appelés polyèdres ou simplement polyèdres. Ainsi, un polyèdre est l'ensemble des solutions d'un système d'un nombre fini d'inégalités linéaires ou, ce qui revient au même, l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces (Figure 3.9). Figure 3.9. Ensemble polyédrique (polyèdre). Un problème de programmation linéaire consiste à trouver le minimum d'une fonction linéaire f: n > 1, défini sur un ensemble convexe fermé, caractérisé par des inégalités linéaires. Problème général de programmation linéaire a la forme : Étant donné un système de m équations linéaires et inégalités avec n variables et fonction linéaire F = c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n min (max) Le système (1) est appelé système de contraintes et la fonction F est appelée fonction linéaire, forme linéaire, fonction objectif ou fonction but. Plus brièvement, le problème général de programmation linéaire peut être représenté comme suit : x=(x|Axb, A=, b=( T )}
Le problème de programmation linéaire est écrit sous d'autres formes - canonique et normale. Appelons le problème canonique - désignation de Zk : x=(x|Axb, ?0, j=)) Une tâche normale est la désignation Zn, appelons-la x=(x|Axb, ?0, j=)) Définition d'un ensemble convexe : un ensemble est convexe si, avec deux points quelconques, l'ensemble contient tous les points du segment reliant point à point dans l'espace. La figure suivante montre deux ensembles sur un plan : l’un est convexe et l’autre ne l’est pas. Riz. 1
Par exemple, les ensembles suivants sont convexes dans l'espace : l'espace entier, son octant positif et son octant non négatif, toute boule, ouverte et fermée, tout hyperplan (donné par une équation de la forme, ainsi que la moitié ouverte et fermée -espaces, spécifiés respectivement par les conditions Et. Parmi les points d'un ensemble convexe, on peut distinguer les points internes, limites et d'angle. Un point d'un ensemble est dit interne, si une partie de son voisinage contient uniquement des points de cet ensemble. Un point d'un ensemble est appelé point limite, si l'un de ses quartiers contient à la fois des points appartenant à l'ensemble donné et des points qui n'y appartiennent pas. Les points d'intersection sont particulièrement intéressants dans les problèmes de programmation linéaire. Le point de l’ensemble s’appelle angulaire(ou extrême), s'il n'est interne à aucun segment appartenant entièrement à l'ensemble donné. Sur la fig. des exemples de différents points du polygone sont donnés : interne (point M), limite (point N) et coin (points A, B, C, D, E). Le point A est un point d'angle, puisque pour tout segment appartenant entièrement au polygone, par exemple le segment AP, il n'est pas interne ; le point A est interne au segment KL, mais ce segment n'appartient pas entièrement au polygone. Pour un ensemble convexe, les points d'angle coïncident toujours avec les sommets du polygone (polyèdre), alors que pour un ensemble non convexe, cela n'est pas nécessaire. Un ensemble de points est dit fermé s’il comprend tous ses points limites. L'ensemble des points est appelé limité, s'il existe une boule (cercle) de rayon de longueur finie avec un centre en tout point de l'ensemble, qui contient complètement l'ensemble donné ; sinon l’ensemble est dit illimité. Un ensemble fermé convexe de points dans un plan ayant un nombre fini de points d'angle est appelé polygone convexe s'il est délimité, et région polygonale convexe s'il n'est pas limité. Une fonction f: est dite convexe si son épigraphe epi f= est un ensemble convexe. La figure montre une fonction convexe, son graphique est surligné en bleu et l'épigraphe est colorée en vert. Une fonction f : est dite fermée si son épigraphe est un ensemble fermé. Signification géométrique des solutions aux inégalités, aux équations et à leurs systèmes Examinons les solutions aux inégalités. Énoncé 1. L'ensemble des solutions à l'inégalité à deux variables a11x1+a12x2<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства a11x1+a12x2>=b1. Pour déterminer le demi-plan souhaité (supérieur ou inférieur), il est recommandé de définir un point de contrôle arbitraire qui ne se trouve pas sur sa frontière - la ligne droite construite. Si une inégalité est vraie en un point de contrôle, alors elle est vraie en tous les points du demi-plan contenant le point de contrôle et n'est pas vraie en tous les points de l'autre demi-plan. A l’inverse, si une inégalité n’est pas satisfaite en un point de contrôle, elle ne l’est pas en tous points du demi-plan contenant le point de contrôle, et l’est en tous points de l’autre demi-plan. Comme point de contrôle, il convient de prendre l'origine des coordonnées O (0 ; 0), qui ne se trouve pas sur la ligne construite. Considérons un ensemble de solutions aux systèmes d'inégalités. Énoncé 2. L'ensemble des solutions d'un système conjoint d'inégalités linéaires à deux variables est un polygone convexe (ou une région polygonale convexe). Chacune des inégalités, conformément à l'énoncé 1, définit l'un des demi-plans, qui est un ensemble convexe de points. L'ensemble des solutions d'un système joint d'inégalités linéaires sont des points qui appartiennent aux demi-plans de solutions de toutes les inégalités, c'est-à-dire appartiennent à leur intersection. D’après l’énoncé sur l’intersection d’ensembles convexes, cet ensemble est convexe et contient un nombre fini de points d’angle, c’est-à-dire est un polygone convexe (une zone polygonale convexe). Les coordonnées des points d'angle - les sommets du polygone - se retrouvent comme coordonnées des points d'intersection des lignes correspondantes. Lors de la construction de zones de solutions pour des systèmes d'inégalités, d'autres cas peuvent se produire : l'ensemble des solutions est une zone polygonale convexe (Fig. a) ; un point (Fig. b) ; un ensemble vide lorsque le système d’inégalités est incohérent (Fig. c). Soit f :. La fonction f* : définie par l'égalité f*(x*)==(x*) est appelée fonction conjuguée de f, et la fonction f** : définie par la règle f**(x*)==( x*) est appelée la deuxième fonction conjuguée de f. Affichage f* (x*) =< x*, x>? f(x) est appelée la transformée de Legendre. La technique habituelle pour construire un problème dual est la suivante. Problème de minimisation où X est un espace linéaire, est inclus dans la classe de problèmes qui lui sont similaires, selon le paramètre : où Y est un autre espace linéaire, F (x, 0)=f(x) (la fonction F est appelée une perturbation de f). Habituellement, F est supposé convexe. Le dual du problème relatif à une perturbation donnée est appelé. tâche où F* est une fonction duale (conjuguée) de F au sens Legendre-Jeune-Fenouil. Cette dualité permet d'associer à chaque fonction convexe f : X-> R un objet dual - une fonction conjuguée définie sur l'espace conjugué X* et définie par la formule Pour les problèmes de programmation convexe les plus simples comme où X est un espace linéaire, des fonctions convexes sur X, B-convexes définies dans X (les cas particuliers (3) sont des problèmes de programmation linéaire), les perturbations standards suivantes sont généralement utilisées, en fonction des paramètres y=(y 1 ,…, y m), m ,Les théorèmes de dualité pour les classes générales de programmation convexe ,problèmes stipulent que, sous certaines hypothèses sur la ,perturbation F, les valeurs des problèmes (2) et (2*) ,coïncident, et, de plus, la solution à l'un des problèmes est un multiplicateur de Lagrange pour l'autre. Un ensemble X est dit convexe si pour deux de ses points A,B ∈ X tous les points du segment appartiennent également à l'ensemble X, c'est-à-dire si pour deux de ses points A,B ∈ X et pour toute valeur α au point M = αA + (1 − α)B appartient également à l'ensemble X : M ∈ X. Soit X1, ...Xn - ensembles convexes. Notons Y = Xi - l'intersection des ensembles convexes. Montrons que Y est un ensemble convexe. Pour ce faire, nous montrons que pour tout point A,B ∈ Y et pour toute valeur de α in, le point M = αA + (1 − α)B appartient également à l'ensemble Y : M ∈ Y . Puisque Y est l'intersection d'ensembles convexes X1, ...Xn, alors les points A, B choisis arbitrairement appartiennent à chacun de ces ensembles Xi, i = 1..n. En raison de la convexité de chacun des ensembles Xi, il s'ensuit par définition que pour une valeur arbitrairement choisie α ∈ le point M = αA+(1−α)B appartient à chacun des ensembles (tous sont convexes et contiennent A, B). Puisque tous les ensembles Xi contiennent le point M, alors l'intersection de ces ensembles contient également un point M : M ∈ Y. De la dernière inclusion, en raison du caractère arbitraire de A,B ∈ Y et du caractère arbitraire du paramètre α ∈, il s’ensuit que l’ensemble Y est convexe, comme il convient de le montrer. 95. L'ensemble des points satisfaisant la condition est-il convexe ? Justifiez votre réponse. Oui, il est évident que cette égalité définit un demi-plan linéaire dans R4. Justifions cela par définition : A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X, satisfaisant l’inégalité ci-dessus. Considérons un point arbitraire M = αA + (1 − α)B, où α ∈ est une valeur arbitraire du paramètre. Alors M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B m1 = αa1 + (1 − αb1) m2 = αa2 + (1 − αb2) m3 = αa3 + (1 − αb3) m4 = αa4 + (1 − αb4) satisfiabilité de l’inégalité donnée : 5 + 2m1 + 3m2 − m3 + 5m4 ≥ 0 5 + 2(αa1 + (1 − αb1)) + 3(αa2 + (1 − αb2)) − (αa3 + (1 − αb3)) + 5(αa4 + (1 − αb4)) ≥ 0 Imaginons 5 = α5+(1−α)5, développons et regroupons les termes pour ai et bi. On obtient : α(5 + 2a1 + 3a2 − a3 + 5a4) + (1 − α)(5 + 2b1 + 3b2 − b3 + 5b4) ≥ 0 Puisque les points A, B se trouvent dans l'ensemble X, leurs coordonnées satisfont à l'inégalité, à celui qui dresse le décor. Cela signifie que les deux termes sont non négatifs en raison de la non-négativité α et 1 − α. Par conséquent, la dernière inégalité est valable pour tout A, B et toute valeur paramètre α ∈ . Par définition, nous avons montré qu’un ensemble X donné est convexe. 96. L'ensemble des points satisfaisant la condition est-il convexe ? Justifiez votre réponse. Oui, il est évident que cette égalité définit un hyperplan linéaire dans R4. Justifions cela par définition : Considérons deux points quelconques de cet espace A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X satisfaisant l’égalité ci-dessus. Considérons un point arbitraire M = αA + (1 − α)B, où α ∈ est une valeur arbitraire du paramètre. Alors M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B m1 = αa1 + (1 − αb1) m2 = αa2 + (1 − αb2) m3 = αa3 + (1 − αb3) m4 = αa4 + (1 − αb4) Vérifions l'appartenance d'un point M(m1,m2,m3,m4) à l'ensemble X en utilisant faisabilité de l’égalité donnée : m1 + 2m2 − 3m3 + 4m4 = 55 (αa1 + (1 − αb1)) + 2(αa2 + (1 − αb2)) − 3(αa3 + (1 − αb3)) + 4(αa4 + (1 − αb4)) = 55 Ouvrons les parenthèses et regroupons les termes pour ai et bi. On obtient : α(a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) + (1 − α)(b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55 Puisque les points A, B se trouvent dans l'ensemble X, leurs coordonnées satisfont à l'égalité définissant l'ensemble, c'est-à-dire (a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) = 55 et (b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55. En substituant ces égalités dans la dernière expression, nous obtenons : α55 + (1 − α)55 = 55 La dernière égalité est valable pour tout A,B et toute valeur du paramètre α ∈ . Par définition, nous avons montré que cet ensemble X est convexe. 97. Donnez des exemples d'un ensemble convexe : a) ayant un coin ; b) sans point de coin. Un ensemble convexe non limité peut-il avoir un point d'angle ? Donnez un exemple. a) un carré a 4 coins b) un cercle n'a pas de coins c) un ensemble illimité peut avoir des points d'angle : il a un point d'angle (0;0) 98. Définir l'enveloppe convexe d'un système de points. Soit l'enveloppe convexe des points , , , . Faites les points : , ? Justifiez votre réponse. Dans lequel tous les points segment, formé de deux quelconques points d'un ensemble donné appartiennent également à cet ensemble. De retour de l'armée à Moscou, Nikolai Rostov a été accepté par sa famille comme le meilleur fils, héros et bien-aimé Nikolushka ; parents - en tant que jeune homme doux, agréable et respectueux ; connaissances - comme un beau lieutenant de hussard, un danseur habile et l'un des meilleurs palefreniers de Moscou. 
Dans les applications d'ingénierie, il arrive souvent qu'il soit nécessaire d'utiliser
f(x 1)³ (x 2) (fonction décroissante monotone)
, qui passe par les points UN Et DANS. L'inégalité (3.2) dans ce cas signifie que le graphique de la fonction y = f(x) sur le plan xOy se situe en dessous non seulement de la sécante reliant les points UN Et DANS, mais aussi la parabole P dont la déviation est déterminée par le paramètre je et il peut être choisi aussi petit que souhaité. Autrement dit, dans la zone limitée par la sécante et le graphe de la fonction, on peut construire une parabole reliant les points UN Et DANS.
Ensembles et fonctions convexes
Définir le concept de dualité à l'aide de la transformée de Legendre
c'est-à-dire que la condition est remplie qu'il s'agit d'une combinaison linéaire convexe, ce qui signifie que X fait partie de l'enveloppe convexe. Supposons que Y soit également inclus dans la combinaison convexe, alors tous les points du segment doivent être inclus dans la combinaison linéaire, mais à partir des points initiaux, cela est clair (ils sont tous situés à droite de la droite x = -1) que toute la combinaison convexe est située à droite de la droite x = -1, et le point Y est à gauche, ce qui confirme que ni le segment entier ni le point Y n'appartiennent à l'enveloppe convexe.Définitions
Exemples
Propriétés
appartient .
Variations et généralisations
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Un extrait caractérisant un ensemble convexe
Et Natasha s'est mise sur la pointe des pieds et est sortie de la pièce comme le font les danseurs, mais en souriant comme seules les filles heureuses de 15 ans sourient. Ayant rencontré Sonya dans le salon, Rostov rougit. Il ne savait pas comment s'y prendre avec elle. Hier, ils se sont embrassés dès la première minute de joie de leur rendez-vous, mais aujourd'hui ils ont senti que c'était impossible de faire cela ; il sentait que tout le monde, sa mère et ses sœurs, le regardait d'un air interrogateur et attendait de lui comment il se comporterait avec elle. Il lui a embrassé la main et l'a appelée toi - Sonya. Mais leurs regards, s'étant croisés, se dirent « tu » et s'embrassèrent tendrement. Avec son regard, elle lui a demandé pardon d’avoir osé lui rappeler sa promesse à l’ambassade de Natasha et l’a remercié pour son amour. Avec son regard, il la remercia pour l'offre de liberté et lui dit que d'une manière ou d'une autre, il ne cesserait jamais de l'aimer, car il était impossible de ne pas l'aimer.
"Comme c'est étrange", a déclaré Vera, choisissant un moment de silence général, "que Sonya et Nikolenka se soient maintenant rencontrées comme des étrangères." – La remarque de Vera était juste, comme tous ses commentaires ; mais comme la plupart de ses remarques, tout le monde se sentait mal à l'aise, et non seulement Sonya, Nikolai et Natasha, mais aussi la vieille comtesse, qui avait peur de l'amour de ce fils pour Sonya, qui pourrait le priver d'une fête brillante, rougit aussi comme une fille . Denisov, à la surprise de Rostov, dans un nouvel uniforme pommade et parfumé, apparut dans le salon aussi élégant qu'au combat et aussi aimable avec les dames et les messieurs que Rostov ne s'était jamais attendu à le voir.
Les Rostov connaissaient tout Moscou ; cette année, le vieux comte avait assez d'argent, car tous ses domaines avaient été réhypothéqués, et donc Nikolushka, ayant son propre trotteur et les leggings les plus à la mode, spéciaux que personne d'autre à Moscou n'avait, et les bottes les plus à la mode, avec les chaussettes les plus pointues et les petits éperons argentés, se sont bien amusés. Rostov, de retour chez lui, a éprouvé un sentiment agréable après un certain temps d'adaptation aux anciennes conditions de vie. Il lui semblait qu'il avait beaucoup mûri et grandi. Désespéré d'avoir échoué à un examen selon la loi de Dieu, d'avoir emprunté de l'argent à Gavrila pour un chauffeur de taxi, de baisers secrets avec Sonya, il se souvenait de tout cela comme d'une enfantillage dont il était désormais incommensurablement loin. Il est maintenant lieutenant de hussard dans un mentic d'argent, avec un soldat George, préparant son trotteur à courir, en compagnie de chasseurs célèbres, âgés et respectables. Il connaît une dame sur le boulevard qu'il va voir le soir. Il dirigea une mazurka au bal des Arkharov, parla de la guerre avec le maréchal Kamenski, visita un club anglais et entretenait des relations amicales avec un colonel de quarante ans que Denisov lui présenta.
Sa passion pour le souverain s'affaiblit quelque peu à Moscou, puisqu'il ne le vit pas pendant cette période. Mais il parlait souvent du souverain, de son amour pour lui, faisant sentir qu'il ne disait pas encore tout, qu'il y avait autre chose dans ses sentiments pour le souverain qui ne pouvait être compris de tous ; et il partageait de tout mon cœur le sentiment général d'adoration à Moscou à cette époque pour l'empereur Alexandre Pavlovitch, qui à cette époque recevait à Moscou le nom d'un ange en chair et en os.
Lors de ce court séjour de Rostov à Moscou, avant de partir pour l'armée, il ne se rapproche pas, mais au contraire, rompt avec Sonya. Elle était très jolie, douce et visiblement passionnément amoureuse de lui ; mais il était à cette époque de jeunesse où il semble y avoir tellement de choses à faire qu'il n'y a pas de temps pour le faire, et le jeune homme a peur de s'impliquer - il valorise sa liberté, dont il a besoin pour beaucoup d'autres choses. Lorsqu'il pensait à Sonya lors de ce nouveau séjour à Moscou, il se disait : Eh ! il y en aura bien d’autres, bien d’autres encore, quelque part, encore inconnus de moi. J’aurai encore le temps de faire l’amour quand je veux, mais maintenant je n’ai plus le temps. De plus, il lui semblait qu'il y avait quelque chose d'humiliant pour son courage dans la société féminine. Il allait aux bals et aux sororités, prétendant qu'il le faisait contre son gré. Courir, aller au club anglais, faire la fête avec Denissov, y aller, c'était une autre affaire : c'était digne d'un bon hussard.
Début mars, le vieux comte Ilya Andreich Rostov s'occupait d'organiser un dîner dans un club anglais pour recevoir le prince Bagration.
Le comte en robe de chambre se promenait dans la salle, donnant des ordres à la gouvernante du club et au célèbre Theoktistus, le cuisinier principal du club anglais, concernant les asperges, les concombres frais, les fraises, le veau et le poisson pour le dîner du prince Bagration. Le Comte, dès la fondation du club, en était membre et contremaître. Le club lui a confié l'organisation d'une célébration pour Bagration, car rarement quelqu'un savait comment organiser une fête de manière aussi grandiose et hospitalière, d'autant plus que rarement quelqu'un savait comment et voulait contribuer avec son argent si nécessaire pour l'organiser. la fête. Le cuisinier et la gouvernante du club écoutaient les ordres du comte avec des visages joyeux, car ils savaient que sous personne d'autre ils ne pourraient mieux profiter d'un dîner qui coûtait plusieurs milliers de dollars.
