Considérons définir une ligne sur un plan dans laquelle les variables x, y sont des fonctions d'une troisième variable t (appelée paramètre) :
Pour chaque valeur t certaines valeurs correspondent à certaines valeurs d'un certain intervalle x Et oui, un, donc un certain point M (x, y) du plan. Quand t parcourt toutes les valeurs d'un intervalle donné, puis le point M (x, y) décrit une ligne L. Les équations (2.2) sont appelées équations linéaires paramétriques L.
Si la fonction x = φ(t) a un inverse t = Ф(x), alors en substituant cette expression dans l'équation y = g(t), nous obtenons y = g(Ф(x)), qui spécifie oui en fonction de x. Dans ce cas, on dit que les équations (2.2) définissent la fonction oui paramétriquement.
Exemple 1. Laisser M(x,y)– point arbitraire sur un cercle de rayon R. et centré à l'origine. Laisser t– angle entre les axes Bœuf et rayon OM(voir Fig. 2.3). Alors x, y s'expriment à travers t :
Les équations (2.3) sont des équations paramétriques d'un cercle. Excluons le paramètre t des équations (2.3). Pour ce faire, on met chaque équation au carré et on l'ajoute, on obtient : x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ou x 2 + y 2 = R 2 – l'équation d'un cercle dans le cartésien système de coordonnées. Il définit deux fonctions : Chacune de ces fonctions est donnée par les équations paramétriques (2.3), mais pour la première fonction , et pour la seconde .
Exemple 2. Équations paramétriques
définir une ellipse avec des demi-axes une, b(Fig. 2.4). Exclure le paramètre des équations t, on obtient l'équation canonique de l'ellipse :
Exemple 3. Une cycloïde est une ligne décrite par un point situé sur un cercle si ce cercle roule sans glisser selon une droite (Fig. 2.5). Introduisons les équations paramétriques de la cycloïde. Soit le rayon du cercle roulant un, indiquer M, décrivant la cycloïde, au début du mouvement coïncidait avec l'origine des coordonnées. 
Déterminons les coordonnées x, y points M après que le cercle a tourné d'un angle t
(Fig.2.5), t = ÐMCB. Longueur de l'arc M.B.égale à la longueur du segment O.B. puisque le cercle roule sans glisser, donc
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – coût).
Ainsi, les équations paramétriques de la cycloïde sont obtenues :
Lors de la modification d'un paramètre t de 0 à 2π le cercle fait un tour et le point M décrit un arc de cycloïde. Les équations (2.5) donnent oui en fonction de x. Bien que la fonction x = a(t – sint) a une fonction inverse, mais elle n'est pas exprimée en termes de fonctions élémentaires, donc la fonction y = f(x) ne s’exprime pas à travers des fonctions élémentaires.
Considérons la différenciation d'une fonction définie paramétriquement par les équations (2.2). La fonction x = φ(t) sur un certain intervalle de changement t a une fonction inverse t = Ф(x), Alors y = g(Ф(x)). Laisser x = φ(t), y = g(t) avoir des dérivés, et x"t≠0. Selon la règle de différenciation des fonctions complexes y"x=y"t×t"x. D'après la règle de différenciation de la fonction inverse, donc :
La formule résultante (2.6) permet de trouver la dérivée d'une fonction spécifiée paramétriquement.
Exemple 4. Laissez la fonction oui, selon x, est spécifié paramétriquement :
Solution. 
.
Exemple 5. Trouver la pente k tangente à la cycloïde au point M 0 correspondant à la valeur du paramètre.
Solution.À partir des équations cycloïdes : y" t = asint, x" t = a(1 – coût), C'est pourquoi 
Pente tangente en un point M0égale à la valeur à t 0 = π/4 :
FONCTION DIFFÉRENTIELLE
Laissez la fonction au point x0 a un dérivé. Par définition : 
donc, selon les propriétés de la limite (Section 1.8), où un– infinitésimal à Δx → 0. D'ici
Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)
Comme Δx → 0, le deuxième terme de l’égalité (2.7) est un infinitésimal d’ordre supérieur, comparé à 
, donc Δy et f " (x 0)×Δx sont équivalents, infinitésimaux (pour f " (x 0) ≠ 0).
Ainsi, l'incrément de la fonction Δy est constitué de deux termes, dont le premier f" (x 0)×Δx est partie principale incrément Δy, linéaire par rapport à Δx (pour f "(x 0)≠ 0).
Différentiel la fonction f(x) au point x 0 est appelée la partie principale de l'incrément de la fonction et est notée : mourir ou df(x0). Ainsi,
df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)
Exemple 1. Trouver la différentielle d'une fonction mourir et l'incrément de la fonction Δy pour la fonction y = x 2 à :
1) arbitraire x et Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.
Solution
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) Si x 0 = 20, Δx = 0,1, alors Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01 ; dy = 40×0,1= 4.
Écrivons l'égalité (2.7) sous la forme :
Δy = dy + a×Δx. (2.9)
L'incrément Δy est différent du différentiel mourirà un infinitésimal d'ordre supérieur, par rapport à Δx, donc, dans les calculs approximatifs, l'égalité approximative Δy ≈ dy est utilisée si Δx est suffisamment petit.
En considérant que Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), on obtient une formule approchée :
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)
Exemple 2. Calculez approximativement.
Solution. Considérer:
En utilisant la formule (2.10), on obtient :
Donc ≈ 2,025.
Considérons la signification géométrique du différentiel df(x 0)(Fig. 2.6). 
Traçons une tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point M 0 (x0, f(x 0)), soit φ l'angle entre la tangente KM0 et l'axe Ox, alors f"( x 0) = tanφ. De ΔM0NP :
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Mais PN est l'incrément de l'ordonnée tangente lorsque x passe de x 0 à x 0 + Δx.
Par conséquent, la différentielle de la fonction f(x) au point x 0 est égale à l'incrément de l'ordonnée de la tangente.
Trouvons la différentielle de la fonction
y = x. Puisque (x)" = 1, alors dx = 1×Δx = Δx. Nous supposerons que le différentiel de la variable indépendante x est égal à son incrément, c'est-à-dire dx = Δx.
Si x est un nombre arbitraire, alors à partir de l'égalité (2.8) on obtient df(x) = f "(x)dx, d'où 
.
Ainsi, la dérivée d'une fonction y = f(x) est égale au rapport de sa différentielle à la différentielle de l'argument.
Considérons les propriétés du différentiel d'une fonction.
Si u(x), v(x) sont des fonctions différentiables, alors les formules suivantes sont valides :
Pour prouver ces formules, des formules dérivées pour la somme, le produit et le quotient d'une fonction sont utilisées. Démontrons, par exemple, la formule (2.12) :
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.
Considérons la différentielle d'une fonction complexe : y = f(x), x = φ(t), c'est-à-dire y = f(φ(t)).
Alors dy = y" t dt, mais y" t = y" x ×x" t, donc dy = y" x x" t dt. Considérant,
que x" t = dx, nous obtenons dy = y" x dx = f "(x)dx.
Ainsi, la différentielle d'une fonction complexe y = f(x), où x =φ(t), a la forme dy = f "(x)dx, la même que dans le cas où x est une variable indépendante. Cette propriété s'appelle invariance de la forme du différentiel UN.
Différenciation logarithmique
Dérivées de fonctions élémentaires
Règles de base de différenciation
Fonction différentielle
Partie linéaire principale de l'incrément de fonction UN D x pour déterminer la différentiabilité d'une fonction
D f=f(x)-f(x 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0
appelé différentiel de la fonction f(x) au point x 0 et est noté
df(x 0)=f¢(x 0)D x=UNE D X.
Le différentiel dépend du point x 0 et à partir de l'incrément D X. En D x en même temps, ils le considèrent comme une variable indépendante, donc en chaque point le différentiel est une fonction linéaire de l'incrément D X.
Si l'on considère comme fonction f(x)=x, alors on obtient dx= D x,dy=Adx. Ceci est cohérent avec la notation de Leibniz
Interprétation géométrique du différentiel comme incrément de l'ordonnée d'une tangente.
Riz. 4.3
1) f= const , f¢= 0,df= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Conséquence. (cf(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢=c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)
4) f = u/v, v(x 0)¹0 et la dérivée existe, alors f¢=(u¢v-v¢ toi)/v 2 .
Par souci de brièveté, nous désignerons tu = toi(x), toi 0 =tu(x 0), alors
Passage à la limite en D x® 0 on obtient l'égalité requise.
5) Dérivée d'une fonction complexe.
Théorème. S'il y a f¢(x 0), g¢(x 0)et x 0 =g(t 0), puis dans un quartier t 0 la fonction complexe f est définie(g(t)), il est différentiable au point t 0 Et
Preuve.
f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(xx 0)+ un( x)(xx 0),xÎ U(x 0).
f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-g(t 0))+ un( g(t))(g(t)-g(t 0)).
Divisons les deux côtés de cette égalité par ( t - t 0) et allons à la limite à t®t 0 .
6) Calcul de la dérivée de la fonction inverse.
Théorème. Soit f continue et strictement monotone sur[un,b]. Soit au point x 0 Î( un,b)il y a f¢(x 0)¹ 0 , alors la fonction inverse x=f -1 (oui)a au point y 0 dérivée égale à
Preuve. Nous comptons f augmentant de manière strictement monotone, alors f -1 (oui) est continu, augmente de façon monotone de [ f(un),f(b)]. Mettons oui 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,
o - o 0 =D oui. En raison de la continuité de la fonction inverse D oui®0 Þ D x®0, nous avons
En passant à la limite, on obtient l'égalité requise.
7) La dérivée d'une fonction paire est impaire, la dérivée d'une fonction impaire est paire.
En effet, si x® - x 0 , Que - x®x 0 , C'est pourquoi
Pour fonction paire pour fonction impaire
1) f= const, f¢(x)=0.
2) f(x)=x, f¢(x)=1.
3) f(x)=ex, f¢(x)= ex ,
4) f(x)=un x ,(un x)¢ = hache dans un.
5) dans un.
6) f(x)=ln x,
Conséquence. (la dérivée d'une fonction paire est impaire)
7) (x m )¢= m x m-1 ,x>0,x m =e m dans x .
8) (péché x)¢= parce que x,
9) (car x)¢=- péché x,(parce que x)¢= (péché( x+ p/2)) ¢= parce que( x+ p/2)=-péché X.
10) (tg x)¢= 1/cos 2 X.
11) (suite x)¢= -1/péché 2 X.
16)ch x, ch x.
f(x),, d'où il résulte que f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .
La même formule peut être obtenue différemment f(x)=e dans f(x) , f¢=e dans f(x) (ln f(x))¢.
Exemple. Calculer la dérivée d'une fonction f=xx .
= x x = x x = x x = x x(dans x+ 1).
Localisation géométrique de points sur un plan
nous l'appellerons un graphique d'une fonction, donné paramétriquement. Ils parlent également de spécification paramétrique d'une fonction.
Remarque 1. Si x, y continu pendant [un,b] Et x(t) strictement monotone sur le segment (par exemple, augmente de manière strictement monotone), puis sur [ un,b], a=x(un) , b = x(b) fonction définie f(x)=oui(t(x)), où t(x) – fonction inverse de x(t). Le graphique de cette fonction coïncide avec le graphique de la fonction
Si le domaine de définition une fonction donnée paramétriquement peut être divisée en un nombre fini de segments ,k= 1,2,...,n, sur chacun desquels se trouve une fonction x(t) est strictement monotone, alors la fonction définie paramétriquement se décompose en un nombre fini de fonctions ordinaires fk(x)=oui(t -1 (x)) avec des domaines [ x(un k),x(b k)] pour augmenter les sections x(t) et avec les domaines [ x(b k),x(un k)] pour les zones de fonction décroissante x(t). Les fonctions ainsi obtenues sont appelées branches à valeur unique d'une fonction définie paramétriquement.
La figure montre un graphique d'une fonction définie paramétriquement
Avec le paramétrage sélectionné, la zone de définition est divisé en cinq sections de stricte monotonie de la fonction sin(2 t), exactement: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , et, en conséquence, le graphique sera divisé en cinq branches sans ambiguïté correspondant à ces sections.
Riz. 4.4
Riz. 4.5
Vous pouvez choisir un paramétrage différent d'un même emplacement géométrique des points
Dans ce cas, il n'y aura que quatre succursales de ce type. Ils correspondront à des zones de stricte monotonie tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ fonctions péché (2 t).
Riz. 4.6
Quatre sections de monotonie de la fonction sin(2 t) sur un long segment.
Riz. 4.7
La représentation des deux graphiques sur une seule figure vous permet de représenter approximativement le graphique d'une fonction spécifiée paramétriquement, en utilisant les zones de monotonie des deux fonctions.
A titre d'exemple, considérons la première branche correspondant au segment tÎ . A la fin de cette section, la fonction x= péché (2 t) prend les valeurs -1 et 1 , donc cette branche sera définie à [-1,1] . Après cela, il faut regarder les zones de monotonie de la deuxième fonction y= parce que( t), elle porte deux sections de monotonie . Ceci permet de dire que la première branche présente deux sections de monotonie. Après avoir trouvé les extrémités du graphique, vous pouvez les relier par des lignes droites afin d'indiquer la nature de la monotonie du graphique. En faisant cela avec chaque branche, on obtient des zones de monotonie de branches non ambiguës du graphe (elles sont surlignées en rouge sur la figure)
Riz. 4.8
Première branche à valeur unique f 1 (x)=oui(t(x)) , correspondant au site sera déterminé pour xО[-1,1] . Première branche à valeur unique tÎ ,xО[-1,1].
Les trois autres branches auront également un domaine de définition [-1,1] .
Riz. 4.9
Deuxième branche tÎ xО[-1,1].
Riz. 4.10
Troisième branche tÎ xО[-1,1]
Riz. 4.11
Quatrième branche tÎ xО[-1,1]
Riz. 4.12
Commentaire 2. La même fonction peut avoir des paramètres paramétriques différents. Les différences peuvent concerner à la fois les fonctions elles-mêmes x(t), oui(t) , et le domaine de définition ces fonctions.
Exemple de différentes affectations paramétriques pour une même fonction
Et tО[-1, 1] .
Remarque 3. Si x,y sont continus sur ,x(t)- strictement monotone sur le segment et il y a des dérivés y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, alors il y a f¢(x 0)= .
Vraiment, .
La dernière instruction s'applique également aux branches à valeur unique d'une fonction définie paramétriquement.
4.2 Dérivés et différentiels d'ordres supérieurs
Dérivés et différentiels plus élevés. Différenciation des fonctions spécifiées paramétriquement. La formule de Leibniz.
Soit la fonction être spécifiée de manière paramétrique :
(1)
où est une variable appelée paramètre. Et laissez les fonctions avoir des dérivées à une certaine valeur de la variable.
(2)
De plus, la fonction a également une fonction inverse dans un certain voisinage du point.
;
.
Alors le système (2) peut s’écrire comme suit :
Preuve
Par condition, la fonction a une fonction inverse. Notons-le comme
.
La fonction originale peut alors être représentée comme une fonction complexe :
.
Trouvons sa dérivée en utilisant les règles de différenciation des fonctions complexes et inverses :
.
La règle a été prouvée.
Preuve de la deuxième manière
Trouvons la dérivée de la deuxième manière, en nous basant sur la définition de la dérivée de la fonction au point :
.
Introduisons la notation :
.
Alors la formule précédente prend la forme :
.
Profitons du fait que la fonction a une fonction inverse au voisinage du point.
Introduisons la notation suivante :
;
;
;
.
Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par :
.
À , . Alors
.
La règle a été prouvée.
Dérivés d'ordre supérieur
Pour trouver des dérivées d’ordres supérieurs, il est nécessaire d’effectuer plusieurs fois la différenciation. Disons que nous devons trouver la dérivée du second ordre d'une fonction définie paramétriquement, de la forme suivante :
(1)
En utilisant la formule (2), nous trouvons la dérivée première, qui est également déterminée paramétriquement :
(2)
Notons la dérivée première par la variable :
.
Ensuite, pour trouver la dérivée seconde d’une fonction par rapport à la variable, vous devez trouver la dérivée première de la fonction par rapport à la variable.
(3)
La dépendance d'une variable à une variable se précise également de manière paramétrique :
En comparant (3) avec les formules (1) et (2), on trouve : Exprimons maintenant le résultat à travers les fonctions et . :
.
Pour ce faire, substituons et appliquons
.
formule de dérivée de fraction
Alors
.
De là, nous obtenons la dérivée seconde de la fonction par rapport à la variable :
Il est également donné sous forme paramétrique. Notez que la première ligne peut également s’écrire comme suit :
;
.
En poursuivant le processus, vous pouvez obtenir des dérivées de fonctions à partir d'une variable de troisième ordre et supérieur.
Notez que nous n’avons pas besoin d’introduire de notation pour la dérivée.
Vous pouvez l'écrire comme ceci :
Exemple 1
Trouver la dérivée d'une fonction définie paramétriquement : Solution On trouve des dérivées par rapport à .
;
.
Depuis
.
tables dérivées
.
tables dérivées
on retrouve :
.
Nous appliquons :
Ici .
La dérivée recherchée :
Vous pouvez l'écrire comme ceci :
Répondre Exemple 2 :
.
Trouver la dérivée de la fonction exprimée via le paramètre :
.
Ouvrons les parenthèses en utilisant les formules pour fonctions de puissance et racines.
.
Trouver la dérivée :
.
Nous appliquons :
Trouver la dérivée.
Pour ce faire, nous introduisons une variable et appliquons
Vous pouvez l'écrire comme ceci :
formule pour la dérivée d'une fonction complexe
On trouve la dérivée recherchée :
Pour trouver la dérivée seconde par rapport à , nous devons trouver la dérivée première par rapport à .
Différencions par .
.
Nous avons trouvé la dérivée de dans l'exemple 1 :
.
La dérivée du second ordre par rapport à est égale à la dérivée du premier ordre par rapport à :
.
Ainsi, nous avons trouvé la dérivée du second ordre par rapport à la forme paramétrique :
Nous trouvons maintenant la dérivée du troisième ordre. Introduisons la désignation .
Ensuite, nous devons trouver la dérivée du premier ordre de la fonction, qui est spécifiée de manière paramétrique :
.
Trouver la dérivée d'une fonction définie paramétriquement :
.
Trouver la dérivée par rapport à .
.
Pour ce faire, on le réécrit sous forme équivalente :
La dérivée du troisième ordre par rapport à est égale à la dérivée du premier ordre par rapport à :
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Nous appliquons :
Commentaire
Vous n’avez pas besoin de saisir les variables et , qui sont respectivement des dérivées de et . Ensuite, vous pouvez l'écrire comme ceci :
En représentation paramétrique, la dérivée du second ordre a la forme suivante :
Dérivée du troisième ordre. 
N’insistons pas, tout dans ce paragraphe est également assez simple. Vous pouvez écrire la formule générale d'une fonction définie paramétriquement, mais pour que ce soit clair, j'écrirai immédiatement un exemple spécifique. Sous forme paramétrique, la fonction est donnée par deux équations : . Souvent, les équations ne sont pas écrites entre accolades, mais séquentiellement : , . La variable s'appelle un paramètre et peut prendre des valeurs allant de « moins l'infini » à « plus l'infini ». Considérez, par exemple, la valeur et remplacez-la dans les deux équations :.
. Ou en termes humains : « si x est égal à quatre, alors y est égal à un ». Vous pouvez marquer un point sur le plan de coordonnées, et ce point correspondra à la valeur du paramètre. De même, vous pouvez trouver un point pour n'importe quelle valeur du paramètre « te ». Comme pour une fonction « régulière », pour les Amérindiens d'une fonction définie paramétriquement, tous les droits sont également respectés : on peut construire un graphe, trouver des dérivées, etc. À propos, si vous avez besoin de tracer un graphique d'une fonction spécifiée paramétriquement, téléchargez mon programme géométrique sur la page 
Formules et tableaux mathématiques 
Dans les cas les plus simples, il est possible de représenter explicitement la fonction. Exprimons le paramètre de la première équation :
– et remplacez-le dans la deuxième équation :
. Le résultat est une fonction cubique ordinaire.
Dans les cas plus « graves », cette astuce ne fonctionne pas. Mais cela n’a pas d’importance, car il existe une formule pour trouver la dérivée d’une fonction paramétrique : On retrouve la dérivée du « jeu par rapport à la variable te » :. Remplacez simplement mentalement tous les « X » du tableau par la lettre « Te ».
On retrouve la dérivée de « x par rapport à la variable te » : 
Il ne reste plus qu'à substituer les dérivées trouvées dans notre formule : 
Prêt. La dérivée, comme la fonction elle-même, dépend également du paramètre.
Quant à la notation, au lieu de l'écrire dans la formule, on pourrait simplement l'écrire sans indice, puisqu'il s'agit d'une dérivée « régulière » « par rapport à X ». Mais dans la littérature, il y a toujours une option, je ne m'écarterai donc pas de la norme.
Exemple 6
Nous utilisons la formule
Dans ce cas:
Ainsi: 
Une particularité de la recherche de la dérivée d'une fonction paramétrique est le fait que à chaque étape il est avantageux de simplifier au maximum le résultat. Ainsi, dans l'exemple considéré, lorsque je l'ai trouvé, j'ai ouvert les parenthèses sous la racine (même si je ne l'aurais peut-être pas fait). Il y a de fortes chances qu'en les remplaçant dans la formule, beaucoup de choses soient bien réduites. Bien sûr, il existe des exemples avec des réponses maladroites.
Exemple 7
Trouver la dérivée d'une fonction spécifiée paramétriquement 
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.
Dans l'article Les problèmes typiques les plus simples avec les dérivés nous avons examiné des exemples dans lesquels nous devions trouver la dérivée seconde d'une fonction. Pour une fonction définie paramétriquement, vous pouvez également trouver la dérivée seconde, et elle se trouve à l'aide de la formule suivante : . Il est bien évident que pour trouver la dérivée seconde, il faut d’abord trouver la dérivée première.
Exemple 8
Trouver les dérivées première et seconde d'une fonction donnée paramétriquement
Tout d’abord, trouvons la dérivée première.
Nous utilisons la formule
Dans ce cas: 
Remplace les dérivées trouvées dans la formule. Par souci de simplification, nous utilisons la formule trigonométrique : 
J'ai remarqué que dans le problème de trouver la dérivée d'une fonction paramétrique, bien souvent, dans un but de simplification, il faut utiliser formules trigonométriques . Mémorisez-les ou gardez-les à portée de main, et ne manquez pas l'occasion de simplifier chaque résultat intermédiaire et chaque réponse. Pour quoi? Nous devons maintenant prendre la dérivée de , et c'est clairement mieux que de trouver la dérivée de .
Trouvons la dérivée seconde.
Nous utilisons la formule : .
Regardons notre formule. Le dénominateur a déjà été trouvé à l’étape précédente. Il reste à trouver le numérateur - la dérivée de la dérivée première par rapport à la variable « te » :
Il reste à utiliser la formule : 
Pour renforcer le matériel, je vous propose quelques exemples supplémentaires à résoudre par vous-même.
Exemple 9
Exemple 10
Rechercher et pour une fonction spécifiée paramétriquement 
Je vous souhaite du succès !
J'espère que cette leçon vous a été utile et que vous pouvez désormais facilement trouver des dérivées de fonctions spécifiées implicitement et à partir de fonctions paramétriques
Solutions et réponses :
Exemple 3 : Solution :
Ainsi:
