Dérivé d'une fonction spécifiée implicitement.
Dérivée d'une fonction définie paramétriquement

Dans cet article, nous examinerons deux autres tâches typiques que l'on retrouve souvent dans les tests de mathématiques supérieures. Pour réussir à maîtriser la matière, il faut être capable de trouver des dérivés au moins à un niveau intermédiaire. Vous pouvez apprendre à trouver des dérivées pratiquement à partir de zéro dans deux leçons de base et Dérivée d'une fonction complexe. Si vos capacités de différenciation sont bonnes, alors allons-y.

Dérivé d'une fonction spécifiée implicitement

Ou, en bref, la dérivée d'une fonction implicite. Qu'est-ce qu'une fonction implicite ? Rappelons d'abord la définition même d'une fonction d'une variable :

Fonction variable unique est une règle selon laquelle chaque valeur de la variable indépendante correspond à une et une seule valeur de la fonction.

La variable s'appelle variable indépendante ou argument.
La variable s'appelle variable dépendante ou fonction .

Jusqu'à présent, nous avons examiné les fonctions définies dans explicite formulaire. Qu'est-ce que ça veut dire? Faisons un débriefing à l'aide d'exemples précis.

Considérez la fonction

Nous voyons qu'à gauche nous avons un "joueur" solitaire, et à droite - seulement des "X". C'est-à-dire la fonction explicitement exprimé par la variable indépendante.

Regardons une autre fonction :

C'est là que les variables se mélangent. De plus impossible par tous les moyens exprimer « Y » uniquement par « X ». Quelles sont ces méthodes ? Transférer des termes de partie en partie en changeant de signe, en les sortant des parenthèses, en lançant des facteurs selon la règle de proportion, etc. Réécrivez l'égalité et essayez d'exprimer le « y » explicitement : . Vous pouvez tordre et retourner l’équation pendant des heures, mais vous n’y arriverez pas.

Laissez-moi vous présenter : – exemple fonction implicite.

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que la fonction implicite existe(mais pas toujours), il possède un graphique (tout comme une fonction « normale »). La fonction implicite est exactement la même existe dérivée première, dérivée seconde, etc. Comme on dit, tous les droits des minorités sexuelles sont respectés.

Et dans cette leçon, nous apprendrons comment trouver la dérivée d'une fonction définie implicitement. Ce n'est pas si difficile ! Toutes les règles de différenciation et la table des dérivées des fonctions élémentaires restent en vigueur. La différence réside dans un moment particulier, que nous allons examiner maintenant.

Oui, et je vais vous annoncer la bonne nouvelle : les tâches décrites ci-dessous sont effectuées selon un algorithme assez strict et clair sans une pierre devant trois pistes.

Exemple 1

1) Dans un premier temps, nous attachons des traits aux deux parties :

2) On utilise les règles de linéarité de la dérivée (les deux premières règles de la leçon Comment trouver la dérivée ? Exemples de solutions):

3) Différenciation directe.
Comment différencier est tout à fait clair. Que faire là où il y a des « jeux » sous les traits ?

- jusqu'à la honte, la dérivée d'une fonction est égale à sa dérivée: .

Comment se différencier
Ici nous avons fonction complexe. Pourquoi? Il semble que sous le sinus il n'y ait qu'une seule lettre « Y ». Mais le fait est qu'il n'y a qu'une seule lettre "y" - EST-IL MÊME UNE FONCTION(voir définition au début de la leçon). Ainsi, le sinus est une fonction externe et une fonction interne. Nous utilisons la règle pour différencier une fonction complexe :

Nous différencions le produit selon la règle habituelle :

Veuillez noter que – est également une fonction complexe, tout « jeu avec des cloches et des sifflets » est une fonction complexe:

La solution elle-même devrait ressembler à ceci :

S'il y a des parenthèses, développez-les :

4) Sur le côté gauche, nous rassemblons les termes qui contiennent un « Y » avec un nombre premier. Déplacez tout le reste vers la droite :

5) Sur le côté gauche on sort la dérivée entre parenthèses :

6) Et selon la règle de proportion, on dépose ces parenthèses dans le dénominateur du côté droit :

Le dérivé a été trouvé. Prêt.

Il est intéressant de noter que toute fonction peut être réécrite implicitement. Par exemple, la fonction peut être réécrit ainsi : . Et différenciez-le en utilisant l’algorithme que nous venons de discuter. En fait, les expressions « fonction implicite » et « fonction implicite » diffèrent par une nuance sémantique. L’expression « fonction implicitement spécifiée » est plus générale et correcte, – cette fonction est spécifiée implicitement, mais ici vous pouvez exprimer le « jeu » et présenter la fonction explicitement. L’expression « fonction implicite » fait référence à la fonction implicite « classique » lorsque le « y » ne peut pas être exprimé.

Deuxième solution

Attention! Vous ne pouvez vous familiariser avec la deuxième méthode que si vous savez trouver en toute confiance dérivées partielles. Débutants en calcul et nuls, s'il vous plaît ne lis pas et saute ce point, sinon votre tête sera complètement en désordre.

Trouvons la dérivée de la fonction implicite en utilisant la deuxième méthode.

Nous déplaçons tous les termes vers la gauche :

Et considérons une fonction de deux variables :

Alors notre dérivée peut être trouvée en utilisant la formule
Trouvons les dérivées partielles :

Ainsi:

La deuxième solution permet d'effectuer une vérification. Mais il n'est pas conseillé pour eux de rédiger la version finale du devoir, car les dérivées partielles sont maîtrisées plus tard et un étudiant étudiant le thème « Dérivée d'une fonction d'une variable » ne devrait pas encore connaître les dérivées partielles.

Regardons quelques exemples supplémentaires.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Ajoutez des traits aux deux parties :

Nous utilisons des règles de linéarité :

Trouver des dérivées :

Ouverture de toutes les parenthèses :

On déplace tous les termes avec vers la gauche, le reste vers la droite :

Réponse finale:

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Solution complète et plan d’échantillonnage à la fin de la leçon.

Il n'est pas rare que des fractions apparaissent après différenciation. Dans de tels cas, vous devez vous débarrasser des fractions. Regardons deux autres exemples.

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Nous encadrons les deux parties sous des traits et utilisons la règle de linéarité :

Différencier à l'aide de la règle de différenciation d'une fonction complexe et la règle de différenciation des quotients :

Extension des parenthèses :

Maintenant, nous devons nous débarrasser de la fraction. Cela peut être fait plus tard, mais il est plus rationnel de le faire tout de suite. Le dénominateur de la fraction contient . Multiplier sur . En détail, cela ressemblera à ceci :

Parfois, après différenciation, 2 à 3 fractions apparaissent. Si nous avions une autre fraction, par exemple, alors l'opération devrait être répétée - multiplier chaque terme de chaque partie sur

Sur le côté gauche, nous le mettons entre parenthèses :

Réponse finale:

Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La seule chose est qu'avant de vous débarrasser de la fraction, vous devrez d'abord vous débarrasser de la structure à trois étages de la fraction elle-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Dérivée d'une fonction définie paramétriquement

N’insistons pas, tout dans ce paragraphe est également assez simple. Vous pouvez écrire la formule générale d'une fonction définie paramétriquement, mais pour que ce soit clair, j'écrirai immédiatement un exemple spécifique. Sous forme paramétrique, la fonction est donnée par deux équations : . Souvent, les équations ne sont pas écrites entre accolades, mais séquentiellement : , .

La variable s'appelle un paramètre et peut prendre des valeurs allant de « moins l'infini » à « plus l'infini ». Considérez, par exemple, la valeur et remplacez-la dans les deux équations : . Ou en termes humains : « si x est égal à quatre, alors y est égal à un ». Vous pouvez marquer un point sur le plan de coordonnées, et ce point correspondra à la valeur du paramètre. De même, vous pouvez trouver un point pour n'importe quelle valeur du paramètre « te ». Comme pour une fonction « régulière », pour les Amérindiens d'une fonction définie paramétriquement, tous les droits sont également respectés : on peut construire un graphe, trouver des dérivées, etc. À propos, si vous avez besoin de tracer un graphique d'une fonction définie paramétriquement, vous pouvez utiliser mon programme.

Dans les cas les plus simples, il est possible de représenter explicitement la fonction. Exprimons le paramètre de la première équation : – et remplacez-le dans la deuxième équation : . Le résultat est une fonction cubique ordinaire.

Dans les cas plus « graves », cette astuce ne fonctionne pas. Mais cela n’a pas d’importance, car il existe une formule pour trouver la dérivée d’une fonction paramétrique :

On retrouve la dérivée du « jeu par rapport à la variable te » :

Toutes les règles de différenciation et la table des dérivées sont valables, bien entendu, pour la lettre , donc, il n'y a pas de nouveauté dans le processus de recherche de dérivés. Remplacez simplement mentalement tous les « X » du tableau par la lettre « Te ».

On retrouve la dérivée de « x par rapport à la variable te » :

Il ne reste plus qu'à substituer les dérivées trouvées dans notre formule :

Prêt. La dérivée, comme la fonction elle-même, dépend également du paramètre.

Quant à la notation, au lieu de l'écrire dans la formule, on pourrait simplement l'écrire sans indice, puisqu'il s'agit d'une dérivée « régulière » « par rapport à X ». Mais dans la littérature, il y a toujours une option, je ne m'écarterai donc pas de la norme.

Exemple 6

Nous utilisons la formule

Dans ce cas:

Ainsi:

Une particularité de la recherche de la dérivée d'une fonction paramétrique est le fait que à chaque étape il est avantageux de simplifier au maximum le résultat. Ainsi, dans l'exemple considéré, lorsque je l'ai trouvé, j'ai ouvert les parenthèses sous la racine (même si je ne l'aurais peut-être pas fait). Il y a de fortes chances qu'en les remplaçant dans la formule, beaucoup de choses soient bien réduites. Bien sûr, il existe des exemples avec des réponses maladroites.

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction spécifiée paramétriquement

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

Dans l'article Les problèmes typiques les plus simples avec les dérivés nous avons examiné des exemples dans lesquels nous devions trouver la dérivée seconde d'une fonction. Pour une fonction définie paramétriquement, vous pouvez également trouver la dérivée seconde, et elle se trouve à l'aide de la formule suivante : . Il est bien évident que pour trouver la dérivée seconde, il faut d’abord trouver la dérivée première.

Exemple 8

Trouver les dérivées première et seconde d'une fonction donnée paramétriquement

Tout d’abord, trouvons la dérivée première.
Nous utilisons la formule

Dans ce cas:

Nous substituons les dérivées trouvées dans la formule. Par souci de simplification, nous utilisons la formule trigonométrique :

La variable s'appelle un paramètre et peut prendre des valeurs allant de « moins l'infini » à « plus l'infini ». Considérez, par exemple, la valeur et remplacez-la dans les deux équations : . Ou en termes humains : « si x est égal à quatre, alors y est égal à un ». Vous pouvez marquer un point sur le plan de coordonnées, et ce point correspondra à la valeur du paramètre. De même, vous pouvez trouver un point pour n'importe quelle valeur du paramètre « te ». Comme pour une fonction « régulière », pour les Amérindiens d'une fonction définie paramétriquement, tous les droits sont également respectés : on peut construire un graphe, trouver des dérivées, etc. À propos, si vous avez besoin de tracer un graphique d'une fonction spécifiée paramétriquement, téléchargez mon programme géométrique sur la page Formules et tableaux mathématiques.

Dans les cas plus « graves », cette astuce ne fonctionne pas. Mais cela n’a pas d’importance, car il existe une formule pour trouver la dérivée d’une fonction paramétrique :

On retrouve la dérivée du « jeu par rapport à la variable te » :

On retrouve la dérivée de « x par rapport à la variable te » :

Il ne reste plus qu'à substituer les dérivées trouvées dans notre formule :

Prêt. La dérivée, comme la fonction elle-même, dépend également du paramètre.

Exemple 6

Nous utilisons la formule

Dans ce cas:

Ainsi:

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction spécifiée paramétriquement

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

Exemple 8

Trouver les dérivées première et seconde d'une fonction donnée paramétriquement

Tout d’abord, trouvons la dérivée première.
Nous utilisons la formule

Dans ce cas:

Remplace les dérivées trouvées dans la formule. Par souci de simplification, nous utilisons la formule trigonométrique :

J'ai remarqué que dans le problème de trouver la dérivée d'une fonction paramétrique, bien souvent, dans un but de simplification, il faut utiliser formules trigonométriques . Mémorisez-les ou gardez-les à portée de main, et ne manquez pas l'occasion de simplifier chaque résultat intermédiaire et chaque réponse. Pour quoi? Nous devons maintenant prendre la dérivée de , et c'est clairement mieux que de trouver la dérivée de .

Trouvons la dérivée seconde.
Nous utilisons la formule : .

Regardons notre formule. Le dénominateur a déjà été trouvé à l’étape précédente. Il reste à trouver le numérateur - la dérivée de la dérivée première par rapport à la variable « te » :

Il reste à utiliser la formule :

Pour renforcer le matériel, je vous propose quelques exemples supplémentaires à résoudre par vous-même.

Exemple 9

Exemple 10

Rechercher et pour une fonction spécifiée paramétriquement

Je te souhaite du succès!

J'espère que cette leçon vous a été utile et que vous pouvez désormais facilement trouver des dérivées de fonctions spécifiées implicitement et à partir de fonctions paramétriques

Solutions et réponses :

Exemple 3 : Solution :

Ainsi:

La fonction peut être spécifiée de plusieurs manières. Cela dépend de la règle utilisée pour le spécifier. La forme explicite de spécification de la fonction est y = f (x). Il y a des moments où sa description est impossible ou peu pratique. S'il y a plusieurs paires (x; y) qui doivent être calculées pour le paramètre t sur l'intervalle (a; b). Pour résoudre le système x = 3 cos t y = 3 sin t avec 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Définition d'une fonction paramétrique

De là, nous avons que x = φ (t), y = ψ (t) sont définis pour une valeur t ∈ (a; b) et ont une fonction inverse t = Θ (x) pour x = φ (t), alors nous parlons de spécifier une équation paramétrique d'une fonction de la forme y = ψ (Θ (x)) .

Il y a des cas où, pour étudier une fonction, il faut rechercher la dérivée par rapport à x. Considérons la formule de la dérivée d'une fonction définie paramétriquement de la forme y x " = ψ " (t) φ " (t), parlons de la dérivée du 2e et du nième ordre.

Dérivation de la formule pour la dérivée d'une fonction définie paramétriquement

Nous avons que x = φ (t), y = ψ (t), défini et différentiable pour t ∈ a ; b, où x t " = φ " (t) ≠ 0 et x = φ (t), alors il existe une fonction inverse de la forme t = Θ (x).

Pour commencer, vous devez passer d'une tâche paramétrique à une tâche explicite. Pour ce faire, vous devez obtenir une fonction complexe de la forme y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), où il y a un argument x.

Sur la base de la règle pour trouver la dérivée d'une fonction complexe, nous obtenons que y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Cela montre que t = Θ (x) et x = φ (t) sont des fonctions inverses de la formule de fonction inverse Θ " (x) = 1 φ " (t), alors y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Passons maintenant à la résolution de plusieurs exemples à l'aide d'une table de dérivées selon la règle de différenciation.

Exemple 1

Trouvez la dérivée de la fonction x = t 2 + 1 y = t.

Solution

Par condition nous avons que φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, d'ici nous obtenons que φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Vous devez utiliser la formule dérivée et écrire la réponse sous la forme :

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Répondre: oui x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Lorsque vous travaillez avec la dérivée d'une fonction h, le paramètre t spécifie l'expression de l'argument x via le même paramètre t, afin de ne pas perdre le lien entre les valeurs de la dérivée et la fonction spécifiée paramétriquement avec l'argument à à laquelle correspondent ces valeurs.

Pour déterminer la dérivée du second ordre d'une fonction paramétriquement donnée, vous devez utiliser la formule de la dérivée du premier ordre sur la fonction résultante, nous obtenons alors cela

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Exemple 2

Trouver les dérivées du 2e et du 2e ordre de la fonction donnée x = cos (2 t) y = t 2 .

Solution

Par condition on obtient que φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Puis après la transformation

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Il s'ensuit que y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

On obtient que la forme de la dérivée du 1er ordre est x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Pour résoudre, vous devez appliquer la formule de dérivée du second ordre. On obtient une expression de la forme

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 péché 3 (2 t) = péché (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 péché 3 (2 t)

Puis en spécifiant la dérivée du 2ème ordre à l'aide d'une fonction paramétrique

x = cos (2 t) y x "" = péché (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 péché 3 (2 t)

Une solution similaire peut être résolue en utilisant une autre méthode. Alors

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ " " t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

De là, nous obtenons cela

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 péché 2 t 3 = = péché (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 péché je n 3 (2 t)

Répondre: y "" x = péché (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 péché je n 3 (2 t)

Les dérivées d'ordre supérieur avec des fonctions définies paramétriquement se trouvent de la même manière.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Soit la fonction être spécifiée de manière paramétrique :
(1)
où est une variable appelée paramètre. Et laissez les fonctions avoir des dérivées à une certaine valeur de la variable.
(2)

De plus, la fonction a également une fonction inverse dans un certain voisinage du point.
;
.

Alors la fonction (1) a une dérivée au point qui, sous forme paramétrique, est déterminée par les formules :

Voici et sont les dérivées des fonctions et par rapport à la variable (paramètre).

Ils s'écrivent souvent ainsi :
.
Alors le système (2) peut s’écrire comme suit :
.
Preuve
.

Par condition, la fonction a une fonction inverse. Notons-le comme

La fonction originale peut alors être représentée comme une fonction complexe :

Trouvons sa dérivée en utilisant les règles de différenciation des fonctions complexes et inverses :
.
La règle a été prouvée.
.
Preuve de la deuxième manière
.

Trouvons la dérivée de la deuxième manière, en nous basant sur la définition de la dérivée de la fonction au point :
Introduisons la notation :
; ;
; .
Alors la formule précédente prend la forme :
.
Profitons du fait que la fonction a une fonction inverse au voisinage du point.
.

Par condition, la fonction a une fonction inverse. Notons-le comme

Introduisons la notation suivante :

Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par :
(1)

En utilisant la formule (2), nous trouvons la dérivée première, qui est également déterminée paramétriquement :
(2)

Notons la dérivée première par la variable :
.
Ensuite, pour trouver la dérivée seconde d’une fonction par rapport à la variable, vous devez trouver la dérivée première de la fonction par rapport à la variable.
(3)
La dépendance d'une variable à une variable se précise également de manière paramétrique :

En comparant (3) avec les formules (1) et (2), on trouve :
.
Exprimons maintenant le résultat à travers les fonctions et .
.

Pour ce faire, substituons et appliquons la formule de fraction dérivée :

Alors
.

De là, nous obtenons la dérivée seconde de la fonction par rapport à la variable :

Il est également donné sous forme paramétrique. Notez que la première ligne peut également s’écrire comme suit :
;
.

En poursuivant le processus, vous pouvez obtenir des dérivées de fonctions à partir d'une variable de troisième ordre et supérieur.

Notez que nous n’avons pas besoin d’introduire de notation pour la dérivée.

Vous pouvez l'écrire comme ceci :

Exemple 1
Trouver la dérivée d'une fonction définie paramétriquement :
;
.
Solution

.
On trouve des dérivées par rapport à .

.
On trouve des dérivées par rapport à .

Du tableau des dérivées on trouve :
.

Nous appliquons :

Ici .

La dérivée recherchée :

Vous pouvez l'écrire comme ceci :

Répondre
.

Exemple 2

.

Trouver la dérivée de la fonction exprimée via le paramètre :

.

Ouvrons les parenthèses en utilisant des formules pour les fonctions puissances et les racines :
.

Nous appliquons :

Trouver la dérivée :

Trouver la dérivée.

Vous pouvez l'écrire comme ceci :

Pour ce faire, nous introduisons une variable et appliquons la formule de la dérivée d'une fonction complexe.

On trouve la dérivée recherchée :

Exemple 3

Trouvez les dérivées du deuxième et du troisième ordre de la fonction définie paramétriquement dans l'exemple 1 :
.
Dans l'exemple 1, nous avons trouvé la dérivée du premier ordre :
.
Introduisons la désignation .
.

Alors la fonction est dérivée par rapport à .

On précise paramétriquement :

Pour trouver la dérivée seconde par rapport à , nous devons trouver la dérivée première par rapport à .
.
Différencions par .
.

Nous avons trouvé la dérivée de dans l'exemple 1 :
.

La dérivée du second ordre par rapport à est égale à la dérivée du premier ordre par rapport à :

Ainsi, nous avons trouvé la dérivée du second ordre par rapport à la forme paramétrique :
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Nous appliquons :

Nous trouvons maintenant la dérivée du troisième ordre. Introduisons la désignation .

Ensuite, nous devons trouver la dérivée du premier ordre de la fonction, qui est spécifiée de manière paramétrique :

Considérons définir une ligne sur un plan dans laquelle les variables x, y sont des fonctions d'une troisième variable t (appelée paramètre) :

Pour chaque valeur tà partir d'un certain intervalle certaines valeurs correspondent X Et oui, un, donc un certain point M (x, y) du plan. Quand t parcourt toutes les valeurs d'un intervalle donné, puis le point M. (x, y) décrit une ligne L. Les équations (2.2) sont appelées équations linéaires paramétriques L.

Si la fonction x = φ(t) a un inverse t = Ф(x), alors en substituant cette expression dans l'équation y = g(t), nous obtenons y = g(Ф(x)), qui spécifie oui en tant que fonction de X. Dans ce cas, on dit que les équations (2.2) définissent la fonction oui paramétriquement.

Exemple 1. Laisser M(x,y)– point arbitraire sur un cercle de rayon R. et centré à l'origine. Laisser t– angle entre les axes Bœuf et rayon OM(voir Fig. 2.3). Alors x, y s'expriment à travers t :

Les équations (2.3) sont des équations paramétriques d'un cercle. Excluons le paramètre t des équations (2.3). Pour ce faire, on met chaque équation au carré et on l'ajoute, on obtient : x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ou x 2 + y 2 = R 2 – l'équation d'un cercle dans le cartésien système de coordonnées. Il définit deux fonctions : Chacune de ces fonctions est donnée par les équations paramétriques (2.3), mais pour la première fonction , et pour la seconde .

Exemple 2. Équations paramétriques

définir une ellipse avec des demi-axes un B(Fig. 2.4). Exclure le paramètre des équations t, on obtient l'équation canonique de l'ellipse :

Exemple 3. Une cycloïde est une ligne décrite par un point situé sur un cercle si ce cercle roule sans glisser selon une droite (Fig. 2.5). Introduisons les équations paramétriques de la cycloïde. Soit le rayon du cercle roulant un, point M., décrivant la cycloïde, au début du mouvement coïncidait avec l'origine des coordonnées.

Déterminons les coordonnées X, y points M. après que le cercle a tourné d'un angle t
(Fig.2.5), t = ÐMCB. Longueur de l'arc M.B.égale à la longueur du segment O.B. puisque le cercle roule sans glisser, donc

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – coût).

Ainsi, les équations paramétriques de la cycloïde sont obtenues :

Lors de la modification d'un paramètre t de 0 à 2π le cercle fait un tour et le point M. décrit un arc de cycloïde. Les équations (2.5) donnent oui en tant que fonction de X. Bien que la fonction x = a(t – sint) a une fonction inverse, mais elle n'est pas exprimée en termes de fonctions élémentaires, donc la fonction y = f(x) ne s’exprime pas à travers des fonctions élémentaires.

Considérons la différenciation d'une fonction définie paramétriquement par les équations (2.2). La fonction x = φ(t) sur un certain intervalle de changement t a une fonction inverse t = Ф(x), Alors y = g(Ф(x)). Laisser x = φ(t), y = g(t) avoir des dérivés, et x"t≠0. Selon la règle de différenciation des fonctions complexes y"x=y"t×t"x. D'après la règle de différenciation de la fonction inverse, donc :

La formule résultante (2.6) permet de trouver la dérivée d'une fonction spécifiée paramétriquement.

Exemple 4. Laissez la fonction oui, selon X, est spécifié paramétriquement :

Solution. .
Exemple 5. Trouver la pente k tangente à la cycloïde au point M 0 correspondant à la valeur du paramètre.
Solution.À partir des équations cycloïdes : y" t = asint, x" t = a(1 – coût), C'est pourquoi

Pente tangente en un point M0égale à la valeur à t 0 = π/4 :

FONCTION DIFFÉRENTIELLE

Laissez la fonction au point x0 a un dérivé. Prieuré A :
donc, selon les propriétés de la limite (Section 1.8), où un– infinitésimal à Δx → 0. D'ici

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Comme Δx → 0, le deuxième terme de l’égalité (2.7) est un infinitésimal d’ordre supérieur, comparé à , donc Δy et f " (x 0)×Δx sont équivalents, infinitésimaux (pour f " (x 0) ≠ 0).

Ainsi, l'incrément de la fonction Δy est constitué de deux termes, dont le premier f" (x 0)×Δx est partie principale incrément Δy, linéaire par rapport à Δx (pour f "(x 0)≠ 0).

Différentiel la fonction f(x) au point x 0 est appelée la partie principale de l'incrément de la fonction et est notée : mourir ou df(x0). Ainsi,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Exemple 1. Trouver la différentielle d'une fonction mourir et l'incrément de la fonction Δy pour la fonction y = x 2 à :
1) arbitraire X et Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Solution

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Si x 0 = 20, Δx = 0,1, alors Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01 ; dy = 40×0,1= 4.

Écrivons l'égalité (2.7) sous la forme :

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

L'incrément Δy est différent du différentiel mourirà un infinitésimal d'ordre supérieur, par rapport à Δx, donc, dans les calculs approximatifs, l'égalité approximative Δy ≈ dy est utilisée si Δx est suffisamment petit.

En considérant que Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), on obtient une formule approchée :

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Exemple 2. Calculez approximativement.

Solution. Considérer:

En utilisant la formule (2.10), on obtient :

Donc ≈ 2,025.

Considérons la signification géométrique du différentiel df(x 0)(Fig. 2.6).

Traçons une tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point M 0 (x0, f(x 0)), soit φ l'angle entre la tangente KM0 et l'axe Ox, alors f"( x 0) = tanφ. De ΔM0NP :
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Mais PN est l'incrément de l'ordonnée tangente lorsque x passe de x 0 à x 0 + Δx.

Par conséquent, la différentielle de la fonction f(x) au point x 0 est égale à l'incrément de l'ordonnée de la tangente.

Trouvons la différentielle de la fonction
y = x. Puisque (x)" = 1, alors dx = 1×Δx = Δx. Nous supposerons que le différentiel de la variable indépendante x est égal à son incrément, c'est-à-dire dx = Δx.

Si x est un nombre arbitraire, alors à partir de l'égalité (2.8) on obtient df(x) = f "(x)dx, d'où .
Ainsi, la dérivée d'une fonction y = f(x) est égale au rapport de sa différentielle à la différentielle de l'argument.

Considérons les propriétés du différentiel d'une fonction.

Si u(x), v(x) sont des fonctions différentiables, alors les formules suivantes sont valides :

Pour prouver ces formules, des formules dérivées pour la somme, le produit et le quotient d'une fonction sont utilisées. Démontrons, par exemple, la formule (2.12) :

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Considérons la différentielle d'une fonction complexe : y = f(x), x = φ(t), c'est-à-dire y = f(φ(t)).

Alors dy = y" t dt, mais y" t = y" x ×x" t, donc dy = y" x x" t dt. Considérant,

que x" t = dx, nous obtenons dy = y" x dx = f "(x)dx.

Ainsi, la différentielle d'une fonction complexe y = f(x), où x =φ(t), a la forme dy = f "(x)dx, la même que dans le cas où x est une variable indépendante. Cette propriété est appelé invariance de la forme du différentiel UN.

Dérivée du second ordre d'une fonction donnée paramétriquement. Fonctions définies paramétriquement

Dérivé d'une fonction spécifiée implicitement. Dérivée d'une fonction définie paramétriquement