Calcul des attentes en matière de tapis. L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'espérance mathématique (valeur moyenne) d'une variable aléatoire X donnée sur un espace de probabilité discret est le nombre m =M[X]=∑x i p i si la série converge absolument.

Objet de la prestation. Utiliser le service en ligne l'espérance mathématique, la variance et l'écart type sont calculés(voir exemple). De plus, un graphique de la fonction de distribution F(X) est tracé.

Propriétés de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire

1. L'espérance mathématique d'une valeur constante est égale à elle-même : M[C]=C, C – constante ;
2. M=CM[X]
3. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : M=M[X]+M[Y]
4. L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : M=M[X] M[Y] , si X et Y sont indépendants.

Propriétés de dispersion

1. La variance d'une valeur constante est nulle : D(c)=0.
2. Le facteur constant peut être retiré sous le signe de dispersion en le mettant au carré : D(k*X)= k 2 D(X).
3. Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors la variance de la somme est égale à la somme des variances : D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Si les variables aléatoires X et Y sont dépendantes : D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. La formule de calcul suivante est valable pour la dispersion :
   D(X)=M(X2)-(M(X))2

Exemple. Les attentes mathématiques et les variances de deux variables aléatoires indépendantes X et Y sont connues : M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Trouvez l'espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire Z=9X-8Y+7.
Solution. Basé sur les propriétés de l'espérance mathématique : M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Basé sur les propriétés de dispersion : D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algorithme de calcul de l'espérance mathématique

1. On multiplie les paires une à une : x i par p i .
2. Ajoutez le produit de chaque paire x i p i .
   Par exemple, pour n = 4 : m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Exemple n°1.

Exemple n°2. Une variable aléatoire discrète a la série de distribution suivante :

Solution. La valeur de a se trouve à partir de la relation : Σp i = 1
Σp je = une + 0,32 + 2 une + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 une = 1
0,76 + 3 a = 1 ou 0,24=3 a , d'où a = 0,08

Exemple n°3. Déterminer la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète si sa variance est connue, et x 1 x1 =6 ; x2 =9 ; x3 =x ; x4 =15
p1 = 0,3 ; p2 = 0,3 ; p3 = 0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96

Solution.
Ici, vous devez créer une formule pour trouver la variance d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
où attente m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pour nos données
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ou -9/100 (x 2 -20x+96)=0
En conséquence, nous devons trouver les racines de l’équation, et il y en aura deux.
x3 =8, x3 =12
Choisissez celui qui satisfait à la condition x 1 x3 =12

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète
x1 =6 ; x2 =9 ; x3 =12 ; x4 =15
p1 = 0,3 ; p2 = 0,3 ; p3 = 0,1; p4 =0,3

Variable aléatoire Une variable est appelée une variable qui, à la suite de chaque test, prend une valeur jusqu'alors inconnue, en fonction de raisons aléatoires. Les variables aléatoires sont désignées par des lettres majuscules latines : $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Selon leur type, les variables aléatoires peuvent être discret Et continu.

Variable aléatoire discrète- il s'agit d'une variable aléatoire dont les valeurs ne peuvent être que dénombrables, c'est-à-dire finies ou dénombrables. Par dénombrabilité, nous entendons que les valeurs d'une variable aléatoire peuvent être numérotées.

Exemple 1 . Voici des exemples de variables aléatoires discrètes :

a) le nombre de coups sur la cible avec $n$ tirs, ici les valeurs possibles sont $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) le nombre d'emblèmes abandonnés lors du lancer d'une pièce, ici les valeurs possibles sont $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) le nombre de navires arrivant à bord (un ensemble dénombrable de valeurs).

d) le nombre d'appels arrivant au PBX (ensemble dénombrable de valeurs).

1. Loi de distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

Une variable aléatoire discrète $X$ peut prendre des valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$ avec des probabilités $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondance entre ces valeurs et leurs probabilités s'appelle loi de distribution d'une variable aléatoire discrète. En règle générale, cette correspondance est précisée à l'aide d'un tableau dont la première ligne indique les valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$, et la deuxième ligne contient les probabilités $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondant à ces valeurs.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(tableau)$

Exemple 2 . Soit la variable aléatoire $X$ le nombre de points obtenu en lançant un dé. Une telle variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs suivantes : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Les probabilités de toutes ces valeurs sont égales à 1/6$. Puis la loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire $X$ :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(tableau)$

Commentaire. Puisque dans la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète $X$ les événements $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forment un groupe complet d'événements, alors la somme des probabilités doit être égale à un, c'est-à-dire $ \somme(p_i)=1$.

2. Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète.

Espérance mathématique d'une variable aléatoire fixe sa signification « centrale ». Pour une variable aléatoire discrète, l'espérance mathématique est calculée comme la somme des produits des valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$ et des probabilités $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondant à ces valeurs, soit : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Dans la littérature de langue anglaise, une autre notation $E\left(X\right)$ est utilisée.

Propriétés de l'espérance mathématique$M\gauche(X\droite)$ :

1. $M\left(X\right)$ se situe entre les valeurs les plus petites et les plus grandes de la variable aléatoire $X$.
2. L'espérance mathématique d'une constante est égale à la constante elle-même, c'est-à-dire $M\gauche(C\droite)=C$.
3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'espérance mathématique : $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemple 3 . Trouvons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ de l'exemple $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\sur (6))+4\cdot ((1)\sur (6))+5\cdot ((1)\sur (6))+6\cdot ((1 )\plus de (6))=3,5.$$

On peut remarquer que $M\left(X\right)$ se situe entre la plus petite ($1$) et la plus grande ($6$) valeurs de la variable aléatoire $X$.

Exemple 4 . On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est égale à $M\left(X\right)=2$. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $3X+5$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Exemple 5 . On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est égale à $M\left(X\right)=4$. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $2X-9$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersion d'une variable aléatoire discrète.

Les valeurs possibles de variables aléatoires avec des attentes mathématiques égales peuvent se disperser différemment autour de leurs valeurs moyennes. Par exemple, dans deux groupes d'étudiants, la note moyenne à l'examen de théorie des probabilités s'est avérée être de 4, mais dans un groupe, tout le monde s'est avéré être de bons étudiants, et dans l'autre groupe, il n'y avait que des étudiants C et d'excellents étudiants. Par conséquent, il existe un besoin pour une caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui montrerait la répartition des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance mathématique. Cette caractéristique est la dispersion.

Variance d'une variable aléatoire discrète$X$ est égal à :

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Dans la littérature anglaise, la notation $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ est utilisée. Très souvent, la variance $D\left(X\right)$ est calculée à l'aide de la formule $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ gauche(X \droite)\droite))^2$.

Propriétés de dispersion$D\gauche(X\droite)$ :

1. La variance est toujours supérieure ou égale à zéro, c'est-à-dire $D\gauche(X\droite)\ge 0$.
2. La variance de la constante est nulle, c'est-à-dire $D\gauche(C\droite)=0$.
3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de dispersion à condition qu'il soit au carré, c'est-à-dire $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. La variance de la somme des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. La variance de la différence entre variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Exemple 6 . Calculons la variance de la variable aléatoire $X$ à partir de l'exemple $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\environ 2,92.$$

Exemple 7 . On sait que la variance de la variable aléatoire $X$ est égale à $D\left(X\right)=2$. Trouvez la variance de la variable aléatoire $4X+1$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ gauche(X\droite)=16\cdot 2=32$.

Exemple 8 . On sait que la variance de la variable aléatoire $X$ est égale à $D\left(X\right)=3$. Trouvez la variance de la variable aléatoire $3-2X$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ gauche(X\droite)=4\cdot 3=12$.

4. Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète.

La méthode de représentation d'une variable aléatoire discrète sous la forme d'une série de distribution n'est pas la seule, et surtout, elle n'est pas universelle, puisqu'une variable aléatoire continue ne peut pas être spécifiée à l'aide d'une série de distribution. Il existe une autre façon de représenter une variable aléatoire : la fonction de distribution.

Fonction de distribution La variable aléatoire $X$ est appelée une fonction $F\left(x\right)$, qui détermine la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur inférieure à une valeur fixe $x$, c'est-à-dire $F\ gauche(x\droite)=P\gauche(X< x\right)$

Propriétés de la fonction de distribution:

1. $0\le F\gauche(x\droite)\le 1$.
2. La probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne des valeurs de l'intervalle $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ est égale à la différence entre les valeurs de la fonction de distribution aux extrémités de cet intervalle : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - non décroissant.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Exemple 9 . Trouvons la fonction de distribution $F\left(x\right)$ pour la loi de distribution de la variable aléatoire discrète $X$ de l'exemple $2$.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(tableau)$

Si $x\le 1$, alors, évidemment, $F\left(x\right)=0$ (y compris pour $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Si 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Si 2 $< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Si 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Si 4$< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Si 5$< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $x > 6$, alors $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\gauche(X=4\droite)+P\gauche(X=5\droite)+P\gauche(X=6\droite)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Donc $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ à\ x\le 1,\\
1/6,à\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ à\ 2< x\le 3,\\
1/2,à\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ à\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ à\ 4< x\le 5,\\
1,\ pour\ x > 6.
\fin(matrice)\droite.$

Comme on le sait déjà, la loi de distribution caractérise complètement une variable aléatoire. Cependant, la loi de distribution est souvent inconnue et il faut se limiter à moins d'informations. Parfois, il est encore plus rentable d'utiliser des nombres qui décrivent la variable aléatoire dans son ensemble ; ces numéros sont appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire. L’espérance mathématique est l’une des caractéristiques numériques importantes.

L'espérance mathématique, comme cela sera montré ci-dessous, est approximativement égale à la valeur moyenne de la variable aléatoire. Pour résoudre de nombreux problèmes, il suffit de connaître l’espérance mathématique. Par exemple, si l'on sait que l'espérance mathématique du nombre de points marqués par le premier tireur est supérieure à celle du second, alors le premier tireur marque en moyenne plus de points que le second et, par conséquent, tire mieux. que la seconde. Bien que l’espérance mathématique fournisse beaucoup moins d’informations sur une variable aléatoire que la loi de sa distribution, la connaissance de l’espérance mathématique est suffisante pour résoudre des problèmes comme celui ci-dessus et bien d’autres.

§ 2. Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète

Attente mathématique Une variable aléatoire discrète est la somme des produits de toutes ses valeurs possibles et de leurs probabilités.

Laissez la variable aléatoire X ne peut prendre que des valeurs X 1 , X 2 , ..., X P. , dont les probabilités sont respectivement égales R. 1 , R. 2 , . . ., R. P. . Alors l'espérance mathématique M.(X) Variable aléatoire X est déterminé par l'égalité

M.(X) = X 1 R. 1 + X 2 R. 2 + … + X n p n .

Si une variable aléatoire discrète X prend un ensemble dénombrable de valeurs possibles, alors

M.(X)=

De plus, l’espérance mathématique existe si la série du côté droit de l’égalité converge absolument.

Commentaire. De la définition, il s'ensuit que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est une quantité non aléatoire (constante). Nous vous recommandons de vous souvenir de cette déclaration, car elle sera utilisée plusieurs fois par la suite. Nous montrerons plus loin que l’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue est également une valeur constante.

Exemple 1. Trouver l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X, connaître la loi de sa distribution :

Solution. L'espérance mathématique requise est égale à la somme des produits de toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire et de leurs probabilités :

M.(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Exemple 2. Trouver l'espérance mathématique du nombre d'occurrences d'un événement UN dans un essai, si la probabilité de l'événement UNégal à R.

Solution. Valeur aléatoire X - nombre d'occurrences de l'événement UN dans un test - ne peut prendre que deux valeurs : X 1 = 1 (événement UN s'est produit) avec probabilité R. Et X 2 = 0 (événement UN ne s'est pas produit) avec probabilité q= 1 -R. L'espérance mathématique requise

M.(X)= 1* p+ 0* q= p

Donc, l'espérance mathématique du nombre d'occurrences d'un événement dans un essai est égale à la probabilité de cet événement. Ce résultat sera utilisé ci-dessous.

§ 3. Signification probabiliste de l'espérance mathématique

Qu'il soit produit P. tests dans lesquels la variable aléatoire X accepté T 1 valeur multipliée X 1 , T. 2 valeur multipliée X 2 ,...,m k valeur multipliée X k , et T 1 + T 2 + …+t À =p. Puis la somme de toutes les valeurs prises X, égal à

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X À T À .

Trouvons la moyenne arithmétique toutes les valeurs acceptées par une variable aléatoire, pour lesquelles on divise la somme trouvée par le nombre total de tests :

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X À T À)/P,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X À (T À /P). (*)

Constatant que l'attitude m 1 / n- fréquence relative W 1 valeurs X 1 , m 2 / n - fréquence relative W 2 valeurs X 2 etc., on écrit la relation (*) comme ceci :

=X 1 W 1 + X 2 W 2 + .. . + X À W k . (**)

Supposons que le nombre de tests soit suffisamment important. Alors la fréquence relative est approximativement égale à la probabilité que l'événement se produise (cela sera prouvé au chapitre IX, § 6) :

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W k p k .

En remplaçant les fréquences relatives en relation (**) par les probabilités correspondantes, on obtient

X 1 p 1 + X 2 R. 2 + … + X À R. À .

Le côté droit de cette égalité approximative est M.(X). Donc,

M.(X).

La signification probabiliste du résultat obtenu est la suivante : l'espérance mathématique est à peu près égale(plus c'est précis, plus le nombre de tests est grand) la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire.

Remarque 1. Il est facile de comprendre que l'espérance mathématique est supérieure à la plus petite et inférieure à la plus grande valeur possible. En d'autres termes, sur la droite numérique, les valeurs possibles sont situées à gauche et à droite de l'espérance mathématique. En ce sens, l'espérance mathématique caractérise la localisation de la distribution et est donc souvent appelée Centre de distribution.

Ce terme est emprunté à la mécanique : si les masses R. 1 , R 2 , ..., R P. situés aux points d'abscisse X 1 , X 2 , ..., X n, et
puis l'abscisse du centre de gravité

X c =
.

Étant donné que
= M. (X) Et
on a M.(X)=x Avec .

Ainsi, l'espérance mathématique est l'abscisse du centre de gravité d'un système de points matériels, dont les abscisses sont égales aux valeurs possibles de la variable aléatoire, et les masses sont égales à leurs probabilités.

Remarque 2. L'origine du terme « espérance mathématique » est associée à la période initiale d'émergence de la théorie des probabilités (XVIe - XVIIe siècles), lorsque le champ de son application était limité aux jeux de hasard. Le joueur s'intéressait à la valeur moyenne du gain attendu, ou, en d'autres termes, à l'espérance mathématique de gagner.

Tache 1. La probabilité de germination des graines de blé est de 0,9. Quelle est la probabilité que sur quatre graines semées, au moins trois germent ?

Solution. Laissez l'événement UN– à partir de 4 graines, au moins 3 graines germeront ; événement DANS– à partir de 4 graines, 3 graines germeront ; événement AVEC– à partir de 4 graines, 4 graines germeront. Par le théorème d'addition des probabilités

Probabilités
Et
on détermine par la formule de Bernoulli, appliquée dans le cas suivant. Que la série ait lieu P. tests indépendants, au cours de chacun desquels la probabilité que l'événement se produise est constante et égale à R., et la probabilité que cet événement ne se produise pas est égale à
. Alors la probabilité que l'événement UN V P. les tests apparaîtront exactement fois, calculé à l'aide de la formule de Bernoulli

,

Où
– nombre de combinaisons de P.éléments par . Alors

Probabilité requise

Tâche 2. La probabilité de germination des graines de blé est de 0,9. Trouvez la probabilité que sur 400 graines semées, 350 graines germent.

Solution. Calculer la probabilité requise
l'utilisation de la formule de Bernoulli est difficile en raison de la lourdeur des calculs. Nous appliquons donc une formule approchée exprimant le théorème local de Laplace :

,

Où
Et
.

Des conditions problématiques. Alors

.

Du tableau 1 des annexes, nous trouvons. La probabilité requise est égale à

Tâche 3. Les graines de blé contiennent 0,02 % de mauvaises herbes. Quelle est la probabilité que si 10 000 graines sont sélectionnées au hasard, 6 graines de mauvaises herbes soient trouvées ?

Solution. Application du théorème local de Laplace en raison d'une faible probabilité
conduit à un écart significatif de la probabilité par rapport à la valeur exacte
. Par conséquent, aux petites valeurs R. calculer
appliquer la formule asymptotique de Poisson

, Où .

Cette formule est utilisée lorsque
, et le moins R. et plus P., plus le résultat est précis.

Selon les conditions du problème
;
. Alors

Tâche 4. Le taux de germination des graines de blé est de 90 %. Trouvez la probabilité que sur 500 graines semées, de 400 à 440 graines germent.

Solution. Si la probabilité qu'un événement se produise UN dans chaque P. les tests sont constants et égaux R., alors la probabilité
que l'événement UN dans de tels tests, il n'y en aura pas moins une fois et pas plus temps déterminés par le théorème intégral de Laplace par la formule suivante :

, Où

,
.

Fonction
appelée fonction de Laplace. Les annexes (tableau 2) donnent les valeurs de cette fonction pour
. À
fonction
. Pour les valeurs négatives X en raison de l'étrangeté de la fonction de Laplace
. En utilisant la fonction de Laplace, on a :

Selon les conditions de la tâche. En utilisant les formules ci-dessus, nous trouvons
Et :

Tâche 5. La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est donnée X:

2. Trouver : 1) l'espérance mathématique ; 2) dispersion ; 3) écart type.

Solution. 1) Si la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est donnée par le tableau

2. Où la première ligne contient les valeurs de la variable aléatoire x et la deuxième ligne contient les probabilités de ces valeurs, alors l'espérance mathématique est calculée à l'aide de la formule

2) Écart
variable aléatoire discrète X est appelée l'espérance mathématique de l'écart carré d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique, c'est-à-dire

Cette valeur caractérise la valeur attendue moyenne de l'écart quadratique X depuis
. De la dernière formule que nous avons

Variance
peut être trouvé d'une autre manière, en fonction de sa propriété suivante : dispersion
égal à la différence entre l'espérance mathématique du carré de la variable aléatoire X et le carré de son espérance mathématique
, c'est

Calculer
établissons la loi suivante de distribution de la quantité
:

3) Pour caractériser la diffusion des valeurs possibles d'une variable aléatoire autour de sa valeur moyenne, l'écart type est introduit
Variable aléatoire X, égal à la racine carrée de la variance
, c'est

.

De cette formule nous avons :

Tâche 6. Variable aléatoire continue X donné par la fonction de distribution cumulative

Trouver : 1) fonction de distribution différentielle
; 2) espérance mathématique
; 3) écart
.

Solution. 1) Fonction de distribution différentielle
variable aléatoire continue X est appelée la dérivée de la fonction de distribution cumulative
, c'est

.

La fonction différentielle recherchée a la forme suivante :

2) Si une variable aléatoire continue X donné par la fonction
, alors son espérance mathématique est déterminée par la formule

Puisque la fonction
à
et à
est égal à zéro, alors d'après la dernière formule que nous avons

.

3) Écart
nous déterminerons par la formule

Tâche 7. La longueur de la pièce est une variable aléatoire normalement distribuée avec une espérance mathématique de 40 mm et un écart type de 3 mm. Trouver : 1) la probabilité que la longueur d'une pièce arbitrairement prise soit supérieure à 34 mm et inférieure à 43 mm ; 2) la probabilité que la longueur de la pièce ne s'écarte pas de son attente mathématique de plus de 1,5 mm.

Solution. 1) Laissez X– longueur de la pièce. Si la variable aléatoire X donné par une fonction différentielle
, alors la probabilité que X prendra les valeurs appartenant au segment
, est déterminé par la formule

.

Probabilité d'inégalités strictes
est déterminé par la même formule. Si la variable aléatoire X est distribué selon la loi normale, alors

, (1)

Où
– Fonction de Laplace,
.

Dans le problème. Alors

2) Selon les conditions du problème, où
. En remplaçant dans (1), nous avons

. (2)

De la formule (2) nous avons.

L'attente est la distribution de probabilité d'une variable aléatoire

Espérance mathématique, définition, espérance mathématique de variables aléatoires discrètes et continues, échantillon, espérance conditionnelle, calcul, propriétés, problèmes, estimation de l'espérance, dispersion, fonction de distribution, formules, exemples de calcul

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L'espérance mathématique est la définition

L'un des concepts les plus importants des statistiques mathématiques et de la théorie des probabilités, caractérisant la distribution des valeurs ou des probabilités d'une variable aléatoire. Généralement exprimé sous la forme d'une moyenne pondérée de tous les paramètres possibles d'une variable aléatoire. Largement utilisé dans l'analyse technique, l'étude des séries de nombres et l'étude des processus continus et chronophages. Il est important pour évaluer les risques, prédire les indicateurs de prix lors des transactions sur les marchés financiers et est utilisé dans le développement de stratégies et de méthodes de tactiques de jeu dans la théorie du jeu.

L'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire, la distribution de probabilité d'une variable aléatoire est prise en compte dans la théorie des probabilités.

L'espérance mathématique est une mesure de la valeur moyenne d'une variable aléatoire dans la théorie des probabilités. Espérance mathématique d'une variable aléatoire X désigné par M(x).

L'espérance mathématique est

L'espérance mathématique est en théorie des probabilités, moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles que peut prendre une variable aléatoire.

L'espérance mathématique est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités de ces valeurs.

L'espérance mathématique est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et des longues distances.

L'espérance mathématique est Dans la théorie du jeu, montant des gains qu'un joueur peut gagner ou perdre, en moyenne, pour chaque pari. Dans le langage des jeux de hasard, cela est parfois appelé « avantage du joueur » (s'il est positif pour le joueur) ou « avantage de la maison » (s'il est négatif pour le joueur).

L'espérance mathématique est le pourcentage de profit par gain multiplié par le profit moyen, moins la probabilité de perte multipliée par la perte moyenne.

Attente mathématique d'une variable aléatoire en théorie mathématique

L'une des caractéristiques numériques importantes d'une variable aléatoire est son espérance mathématique. Introduisons le concept de système de variables aléatoires. Considérons un ensemble de variables aléatoires qui sont les résultats de la même expérience aléatoire. Si est l’une des valeurs possibles du système, alors l’événement correspond à une certaine probabilité qui satisfait les axiomes de Kolmogorov. Une fonction définie pour toutes les valeurs possibles de variables aléatoires est appelée loi de distribution conjointe. Cette fonction vous permet de calculer les probabilités de tout événement à partir de. En particulier, la loi de distribution conjointe des variables aléatoires et, qui prennent des valeurs de l'ensemble et, est donnée par des probabilités.

Le terme « espérance mathématique » a été introduit par Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) et vient du concept de « valeur espérée des gains », apparu pour la première fois au XVIIe siècle dans la théorie du jeu dans les travaux de Blaise Pascal et Christiaan. Huygens. Cependant, la première compréhension théorique et évaluation complète de ce concept a été donnée par Pafnuty Lvovich Chebyshev (milieu du XIXe siècle).

La loi de distribution des variables numériques aléatoires (fonction de distribution et série de distribution ou densité de probabilité) décrit complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines caractéristiques numériques de la grandeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son éventuel écart par rapport à celle-ci) pour répondre à la question posée. Les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires sont l'espérance mathématique, la variance, le mode et la médiane.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de ses valeurs possibles et de leurs probabilités correspondantes. Parfois, l'espérance mathématique est appelée moyenne pondérée, car elle est approximativement égale à la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire sur un grand nombre d'expériences. De la définition de l'espérance mathématique, il s'ensuit que sa valeur n'est pas inférieure à la plus petite valeur possible d'une variable aléatoire et pas supérieure à la plus grande. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est une variable non aléatoire (constante).

L'espérance mathématique a une signification physique simple : si vous placez une unité de masse sur une ligne droite, en plaçant une certaine masse en certains points (pour une distribution discrète), ou si vous la « badigeonnez » d'une certaine densité (pour une distribution absolument continue) , alors le point correspondant à l'espérance mathématique sera la coordonnée "centre de gravité" droite.

La valeur moyenne d'une variable aléatoire est un certain nombre qui est en quelque sorte son « représentant » et le remplace dans des calculs à peu près approximatifs. Lorsque nous disons : « la durée moyenne de fonctionnement de la lampe est de 100 heures » ou « le point d'impact moyen est décalé par rapport à la cible de 2 m vers la droite », nous indiquons une certaine caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui décrit son emplacement. sur l'axe numérique, c'est-à-dire "caractéristiques du poste".

Parmi les caractéristiques d'une position dans la théorie des probabilités, le rôle le plus important est joué par l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, qui est parfois appelée simplement la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Considérons la variable aléatoire X, ayant des valeurs possibles x1, x2, …, xn avec probabilités p1, p2, …, pn. Nous devons caractériser avec un certain nombre la position des valeurs d'une variable aléatoire sur l'axe des x, en tenant compte du fait que ces valeurs ont des probabilités différentes. A cet effet, il est naturel d’utiliser ce que l’on appelle la « moyenne pondérée » des valeurs xi, et chaque valeur xi lors de la moyenne doit être prise en compte avec un « poids » proportionnel à la probabilité de cette valeur. Ainsi, nous calculerons la moyenne de la variable aléatoire X, que nous désignons M |X|:

Cette moyenne pondérée est appelée l’espérance mathématique de la variable aléatoire. Ainsi, nous avons introduit en considération l’un des concepts les plus importants de la théorie des probabilités : le concept d’espérance mathématique. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et des probabilités de ces valeurs.

Qu'il soit produit N expériences indépendantes, dans chacune desquelles la valeur X prend une certaine valeur. Supposons que la valeur x1 apparu m1 fois, valeur x2 apparu m2 fois, sens général xi est apparu plusieurs fois. Calculons la moyenne arithmétique des valeurs observées de la valeur X, qui, contrairement à l'attente mathématique M|X| nous désignons M*|X| :

Avec un nombre croissant d'expériences N fréquences pi se rapprochera (convergera en probabilité) des probabilités correspondantes. Par conséquent, la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire M|X| avec une augmentation du nombre d'expériences, il se rapprochera (convergera en probabilité) de son espérance mathématique. Le lien entre la moyenne arithmétique et l'espérance mathématique formulé ci-dessus constitue le contenu d'une des formes de la loi des grands nombres.

Nous savons déjà que toutes les formes de loi des grands nombres stipulent que certaines moyennes sont stables sur un grand nombre d’expériences. Nous parlons ici de la stabilité de la moyenne arithmétique à partir d’une série d’observations de même quantité. Avec un petit nombre d'expériences, la moyenne arithmétique de leurs résultats est aléatoire ; avec une augmentation suffisante du nombre d'expériences, elle devient « presque non aléatoire » et, en se stabilisant, se rapproche d'une valeur constante - l'espérance mathématique.

La stabilité des moyennes sur un grand nombre d’expériences peut être facilement vérifiée expérimentalement. Par exemple, lors de la pesée d'un corps dans un laboratoire sur des balances précises, à la suite de la pesée, nous obtenons à chaque fois une nouvelle valeur ; Pour réduire les erreurs d'observation, nous pesons le corps plusieurs fois et utilisons la moyenne arithmétique des valeurs obtenues. Il est facile de voir qu'avec une nouvelle augmentation du nombre d'expériences (pesées), la moyenne arithmétique réagit de moins en moins à cette augmentation et, avec un nombre d'expériences suffisamment grand, cesse pratiquement de changer.

Il convient de noter que la caractéristique la plus importante de la position d'une variable aléatoire - l'espérance mathématique - n'existe pas pour toutes les variables aléatoires. Il est possible de composer des exemples de telles variables aléatoires pour lesquelles l'espérance mathématique n'existe pas, puisque la somme ou l'intégrale correspondante diverge. Cependant, de tels cas ne présentent pas un intérêt significatif pour la pratique. En règle générale, les variables aléatoires que nous traitons ont une plage limitée de valeurs possibles et, bien sûr, ont une espérance mathématique.

En plus des caractéristiques les plus importantes de la position d'une variable aléatoire - l'espérance mathématique - en pratique, d'autres caractéristiques de la position sont parfois utilisées, notamment le mode et la médiane de la variable aléatoire.

Le mode d'une variable aléatoire est sa valeur la plus probable. Le terme « valeur la plus probable » ne s'applique à proprement parler qu'à des quantités discontinues ; pour une quantité continue, le mode est la valeur à laquelle la densité de probabilité est maximale. Les figures montrent respectivement le mode pour les variables aléatoires discontinues et continues.

Si le polygone de répartition (courbe de répartition) comporte plus d'un maximum, la répartition est dite « multimodale ».

Parfois, certaines distributions ont un minimum au milieu plutôt qu'un maximum. De telles distributions sont dites « antimodales ».

Dans le cas général, le mode et l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ne coïncident pas. Dans le cas particulier, lorsque la distribution est symétrique et modale (c'est-à-dire qu'elle a un mode) et qu'il existe une espérance mathématique, alors elle coïncide avec le mode et le centre de symétrie de la distribution.

Une autre caractéristique de position est souvent utilisée : la médiane d'une variable aléatoire. Cette caractéristique n'est généralement utilisée que pour les variables aléatoires continues, bien qu'elle puisse être formellement définie pour une variable discontinue. Géométriquement, la médiane est l'abscisse du point auquel l'aire délimitée par la courbe de distribution est divisée en deux.

Dans le cas d'une distribution modale symétrique, la médiane coïncide avec l'espérance mathématique et le mode.

L'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire - une caractéristique numérique de la distribution de probabilité d'une variable aléatoire. De la manière la plus générale, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X(w) est défini comme l'intégrale de Lebesgue par rapport à la mesure de probabilité R. dans l'espace de probabilité d'origine :

L'espérance mathématique peut également être calculée comme l'intégrale de Lebesgue de X par distribution de probabilité px quantités X:

Le concept de variable aléatoire avec une espérance mathématique infinie peut être défini de manière naturelle. Un exemple typique est celui des temps de retour de certaines marches aléatoires.

À l'aide de l'espérance mathématique, de nombreuses caractéristiques numériques et fonctionnelles d'une distribution sont déterminées (comme l'espérance mathématique des fonctions correspondantes d'une variable aléatoire), par exemple la fonction génératrice, la fonction caractéristique, les moments de tout ordre, notamment la dispersion, la covariance. .

L'espérance mathématique est une caractéristique de la localisation des valeurs d'une variable aléatoire (la valeur moyenne de sa distribution). À ce titre, l'espérance mathématique sert de paramètre de distribution « typique » et son rôle est similaire à celui du moment statique - la coordonnée du centre de gravité de la distribution de masse - en mécanique. D'autres caractéristiques de l'emplacement à l'aide desquelles la distribution est décrite en termes généraux - médianes, modes, espérance mathématique diffèrent par la plus grande valeur qu'elle et la caractéristique de diffusion correspondante - dispersion - ont dans les théorèmes limites de la théorie des probabilités. Le sens de l'espérance mathématique est révélé plus pleinement par la loi des grands nombres (inégalité de Chebyshev) et la loi renforcée des grands nombres.

Attente d'une variable aléatoire discrète

Supposons qu'il y ait une variable aléatoire qui peut prendre l'une des nombreuses valeurs numériques (par exemple, le nombre de points lors du lancement d'un dé peut être 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Souvent en pratique, pour une telle valeur, la question se pose : quelle valeur prend-on « en moyenne » avec un grand nombre de tests ? Quel sera notre revenu (ou perte) moyen pour chacune des transactions risquées ?

Disons qu'il y a une sorte de loterie. Nous voulons comprendre s’il est rentable ou non d’y participer (voire d’y participer de manière répétée, régulière). Disons qu'un billet sur quatre est gagnant, le prix sera de 300 roubles et le prix de n'importe quel billet sera de 100 roubles. Avec un nombre infini de participations, c'est ce qui se passe. Dans les trois quarts des cas, nous perdrons, toutes les trois pertes coûteront 300 roubles. Dans un cas sur quatre, nous gagnerons 200 roubles. (prix moins coût), c'est-à-dire que pour quatre participations, nous perdons en moyenne 100 roubles, pour une - en moyenne 25 roubles. Au total, le tarif moyen de notre ruine sera de 25 roubles par ticket.

Nous jetons les dés. S’il ne s’agit pas de tricher (sans déplacer le centre de gravité, etc.), alors combien de points aurons-nous en moyenne à la fois ? Puisque chaque option est également probable, nous prenons simplement la moyenne arithmétique et obtenons 3,5. Puisque c'est MOYEN, il n'y a pas lieu de s'indigner qu'aucun lancer spécifique ne donnera 3,5 points - eh bien, ce cube n'a pas de face avec un tel chiffre !

Résumons maintenant nos exemples :

Regardons l'image qui vient d'être donnée. A gauche se trouve un tableau de la distribution d'une variable aléatoire. La valeur X peut prendre l'une des n valeurs possibles (affichées sur la ligne du haut). Il ne peut y avoir d’autres significations. Sous chaque valeur possible, sa probabilité est écrite ci-dessous. À droite se trouve la formule, où M(X) est appelé l’espérance mathématique. La signification de cette valeur est qu’avec un grand nombre de tests (avec un grand échantillon), la valeur moyenne tendra vers cette même espérance mathématique.

Revenons encore au même cube de jeu. L'espérance mathématique du nombre de points lors du lancer est de 3,5 (calculez-la vous-même en utilisant la formule si vous ne me croyez pas). Disons que vous l'avez lancé plusieurs fois. Les résultats étaient de 4 et 6. La moyenne était de 5, ce qui est loin de 3,5. Ils l'ont lancé une fois de plus, ils ont obtenu 3, c'est-à-dire en moyenne (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... En quelque sorte loin de l'attente mathématique. Maintenant, faites une expérience folle : lancez le cube 1000 fois ! Et même si la moyenne n’est pas exactement de 3,5, elle s’en rapprochera.

Calculons l'espérance mathématique pour la loterie décrite ci-dessus. La plaque ressemblera à ceci :

Alors l’espérance mathématique sera, comme nous l’avons établi ci-dessus :

Une autre chose est qu'il serait difficile de le faire « sur les doigts » sans formule s'il y avait plus d'options. Bon, disons qu'il y aurait 75% de tickets perdants, 20% de tickets gagnants et 5% de tickets surtout gagnants.

Maintenant quelques propriétés de l'espérance mathématique.

C'est facile à prouver :

Le facteur constant peut être retiré comme signe de l’espérance mathématique, c’est-à-dire :

Il s’agit d’un cas particulier de la propriété de linéarité de l’espérance mathématique.

Autre conséquence de la linéarité de l’espérance mathématique :

c'est-à-dire que l'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme des espérances mathématiques des variables aléatoires.

Soit X, Y des variables aléatoires indépendantes, Alors:

C'est aussi facile à prouver) Travail XY elle-même est une variable aléatoire, et si les valeurs initiales pouvaient prendre n Et m valeurs en conséquence, alors XY peut prendre des valeurs nm. La probabilité de chaque valeur est calculée sur la base du fait que les probabilités d'événements indépendants sont multipliées. En conséquence, nous obtenons ceci :

Attente d'une variable aléatoire continue

Les variables aléatoires continues ont une caractéristique telle que la densité de distribution (densité de probabilité). Cela caractérise essentiellement la situation dans laquelle une variable aléatoire prend plus souvent certaines valeurs de l'ensemble des nombres réels, et d'autres moins souvent. Par exemple, considérons ce graphique :

Ici X- variable aléatoire réelle, f(x)- densité de distribution. A en juger par ce graphique, lors des expériences, la valeur X sera souvent un nombre proche de zéro. Les chances sont dépassées 3 ou être plus petit -3 plutôt purement théorique.

Supposons par exemple une distribution uniforme :

Ceci est tout à fait cohérent avec une compréhension intuitive. Disons que si nous recevons de nombreux nombres réels aléatoires avec une distribution uniforme, chacun des segments |0; 1| , alors la moyenne arithmétique devrait être d'environ 0,5.

Les propriétés de l'espérance mathématique - linéarité, etc., applicables aux variables aléatoires discrètes, sont également applicables ici.

Relation entre l'espérance mathématique et d'autres indicateurs statistiques

Dans l'analyse statistique, outre l'espérance mathématique, il existe un système d'indicateurs interdépendants qui reflètent l'homogénéité des phénomènes et la stabilité des processus. Les indicateurs de variation n’ont souvent aucune signification indépendante et sont utilisés pour une analyse plus approfondie des données. L'exception est le coefficient de variation, qui caractérise l'homogénéité des données, qui constitue une caractéristique statistique précieuse.

Le degré de variabilité ou de stabilité des processus en science statistique peut être mesuré à l'aide de plusieurs indicateurs.

L'indicateur le plus important caractérisant la variabilité d'une variable aléatoire est Dispersion, qui est le plus étroitement et directement lié à l’espérance mathématique. Ce paramètre est activement utilisé dans d'autres types d'analyses statistiques (tests d'hypothèses, analyse des relations de cause à effet, etc.). Comme l’écart linéaire moyen, la variance reflète également l’étendue de la dispersion des données autour de la valeur moyenne.

Il est utile de traduire le langage des signes dans le langage des mots. Il s’avère que la dispersion est le carré moyen des écarts. Autrement dit, la valeur moyenne est d'abord calculée, puis la différence entre chaque valeur originale et moyenne est prise, mise au carré, ajoutée, puis divisée par le nombre de valeurs dans la population. La différence entre une valeur individuelle et la moyenne reflète la mesure de l'écart. Il est mis au carré pour que tous les écarts deviennent des nombres exclusivement positifs et pour éviter la destruction mutuelle des écarts positifs et négatifs lors de leur addition. Ensuite, étant donné les carrés des écarts, on calcule simplement la moyenne arithmétique. Moyenne - carré - écarts. Les écarts sont mis au carré et la moyenne est calculée. La réponse au mot magique « dispersion » tient en seulement trois mots.

Cependant, sous sa forme pure, comme la moyenne arithmétique ou l'indice, la dispersion n'est pas utilisée. Il s’agit plutôt d’un indicateur auxiliaire et intermédiaire utilisé pour d’autres types d’analyses statistiques. Il n’a même pas d’unité de mesure normale. À en juger par la formule, il s'agit du carré de l'unité de mesure des données originales.

Mesurons une variable aléatoire N Plusieurs fois, par exemple, nous mesurons la vitesse du vent dix fois et souhaitons trouver la valeur moyenne. Comment la valeur moyenne est-elle liée à la fonction de distribution ?

Ou bien nous lancerons les dés un grand nombre de fois. Le nombre de points qui apparaîtront sur les dés à chaque lancer est une variable aléatoire et peut prendre n'importe quelle valeur naturelle de 1 à 6. La moyenne arithmétique des points perdus calculée pour tous les lancers de dés est également une variable aléatoire, mais pour les grands N il tend vers un nombre très spécifique - espérance mathématique MX. Dans ce cas Mx = 3,5.

Comment as-tu obtenu cette valeur ? Laisser entrer N essais n1 une fois que vous obtenez 1 point, n2 une fois - 2 points et ainsi de suite. Ensuite, le nombre de résultats dans lesquels un point est tombé :

De même pour les résultats lorsque 2, 3, 4, 5 et 6 points sont obtenus.

Supposons maintenant que nous connaissions la loi de distribution de la variable aléatoire x, c'est-à-dire que nous savons que la variable aléatoire x peut prendre des valeurs x1, x2, ..., xk avec des probabilités p1, p2, ..., pk.

L'espérance mathématique Mx d'une variable aléatoire x est égale à :

L'espérance mathématique n'est pas toujours une estimation raisonnable d'une variable aléatoire. Ainsi, pour estimer le salaire moyen, il est plus raisonnable d'utiliser la notion de médiane, c'est-à-dire une valeur telle que le nombre de personnes percevant un salaire inférieur à la médiane et supérieur coïncide.

La probabilité p1 que la variable aléatoire x soit inférieure à x1/2 et la probabilité p2 que la variable aléatoire x soit supérieure à x1/2 sont identiques et égales à 1/2. La médiane n'est pas déterminée de manière unique pour toutes les distributions.

Standard ou écart type en statistique, le degré d'écart des données ou des ensembles d'observation par rapport à la valeur MOYENNE est appelé. Désigné par les lettres s ou s. Un petit écart type indique que les données se regroupent autour de la moyenne, tandis qu'un grand écart type indique que les données initiales sont situées loin de celle-ci. L'écart type est égal à la racine carrée d'une quantité appelée variance. C'est la moyenne de la somme des carrés des différences des données initiales qui s'écartent de la valeur moyenne. L'écart type d'une variable aléatoire est la racine carrée de la variance :

Exemple. Dans des conditions de test lors du tir sur une cible, calculez la dispersion et l'écart type de la variable aléatoire :

Variation- fluctuation, variabilité de la valeur d'une caractéristique parmi les unités de la population. Les valeurs numériques individuelles d'une caractéristique trouvée dans la population étudiée sont appelées variantes de valeurs. L'insuffisance de la valeur moyenne pour caractériser pleinement la population nous oblige à compléter les valeurs moyennes par des indicateurs permettant d'évaluer la typicité de ces moyennes en mesurant la variabilité (variation) de la caractéristique étudiée. Le coefficient de variation est calculé à l'aide de la formule :

Plage de variation(R) représente la différence entre les valeurs maximales et minimales de l'attribut dans la population étudiée. Cet indicateur donne l'idée la plus générale de la variabilité de la caractéristique étudiée, puisqu'il montre la différence uniquement entre les valeurs maximales des options. La dépendance aux valeurs extrêmes d'une caractéristique confère à l'étendue de la variation un caractère instable et aléatoire.

Déviation linéaire moyenne représente la moyenne arithmétique des écarts absolus (modulo) de toutes les valeurs de la population analysée par rapport à leur valeur moyenne :

Espérance mathématique dans la théorie du jeu

L'espérance mathématique est Le montant moyen qu’un joueur peut gagner ou perdre sur un pari donné. Il s’agit d’une notion très importante pour le joueur car elle est fondamentale pour l’évaluation de la plupart des situations de jeu. L’espérance mathématique est également l’outil optimal pour analyser les dispositions de base des cartes et les situations de jeu.

Disons que vous jouez à un jeu de pièces avec un ami, en faisant une mise égale de 1 $ à chaque fois, peu importe ce qui se passe. Face signifie que vous gagnez, face signifie que vous perdez. Les chances sont de une contre une que cela tombe face, vous pariez donc 1 $ contre 1 $. Ainsi, votre espérance mathématique est nulle, car D'un point de vue mathématique, vous ne pouvez pas savoir si vous allez mener ou perdre après deux lancers ou après 200.

Votre gain horaire est nul. Les gains horaires correspondent au montant d’argent que vous espérez gagner en une heure. Vous pouvez lancer une pièce 500 fois en une heure, mais vous ne gagnerez ni ne perdrez parce que... vos chances ne sont ni positives ni négatives. Si vous y regardez, du point de vue d’un joueur sérieux, ce système de paris n’est pas mauvais. Mais c'est tout simplement une perte de temps.

Mais disons que quelqu'un veut parier 2 $ contre 1 $ sur le même jeu. Vous avez alors immédiatement une attente positive de 50 centimes pour chaque pari. Pourquoi 50 centimes ? En moyenne, vous gagnez un pari et perdez le second. Pariez le premier dollar et perdez 1 $ ; pariez le deuxième et gagnez 2 $. Vous pariez 1 $ deux fois et vous avancez de 1 $. Ainsi, chacun de vos paris d’un dollar vous rapportait 50 cents.

Si une pièce apparaît 500 fois en une heure, vos gains horaires seront déjà de 250 $, car... En moyenne, vous avez perdu un dollar 250 fois et gagné deux dollars 250 fois. 500 $ moins 250 $ équivaut à 250 $, soit le total des gains. Veuillez noter que la valeur attendue, qui correspond au montant moyen que vous gagnez par pari, est de 50 centimes. Vous avez gagné 250 $ en pariant un dollar 500 fois, ce qui équivaut à 50 cents par pari.

Les attentes mathématiques n'ont rien à voir avec les résultats à court terme. Votre adversaire, qui a décidé de parier 2 $ contre vous, pourrait vous battre sur les dix premiers lancers consécutifs, mais vous, bénéficiant d'un avantage de mise de 2 contre 1, toutes choses étant égales par ailleurs, gagnerez 50 cents sur chaque pari de 1 $ dans n'importe quelle situation. circonstances. Que vous gagniez ou perdiez un pari ou plusieurs paris ne fait aucune différence, à condition que vous disposiez de suffisamment d’argent pour couvrir confortablement les frais. Si vous continuez à parier de la même manière, vos gains atteindront sur une longue période la somme des attentes lors des lancers individuels.

Chaque fois que vous faites un meilleur pari (un pari qui peut s'avérer rentable à long terme), lorsque les chances sont en votre faveur, vous êtes assuré de gagner quelque chose, que vous le perdiez ou non dans le futur. donné la main. À l’inverse, si vous faites un pari outsider (un pari qui n’est pas rentable à long terme) alors que les chances sont contre vous, vous perdez quelque chose, que vous gagniez ou perdiez la main.

Vous placez un pari avec le meilleur résultat si vos attentes sont positives, et il est positif si les chances sont de votre côté. Lorsque vous placez un pari avec le pire résultat, vous avez une attente négative, ce qui se produit lorsque les chances sont contre vous. Les joueurs sérieux ne parient que sur le meilleur résultat ; si le pire se produit, ils se couchent. Que signifient les chances en votre faveur ? Vous pourriez finir par gagner plus que ce que les probabilités réelles vous apportent. Les chances réelles que des têtes atterrissent sont de 1 contre 1, mais vous obtenez 2 contre 1 en raison du rapport de cotes. Dans ce cas, les chances sont en votre faveur. Vous obtenez certainement le meilleur résultat avec une attente positive de 50 centimes par pari.

Voici un exemple plus complexe d’espérance mathématique. Un ami écrit les nombres de un à cinq et parie 5 $ contre 1 $ pour que vous ne deviniez pas le nombre. Faut-il accepter un tel pari ? Quelle est l’attente ici ?

En moyenne, vous vous tromperez quatre fois. Sur cette base, les chances que vous deviniez le nombre sont de 4 contre 1. Les chances que vous perdiez un dollar en une seule tentative. Cependant, vous gagnez 5 contre 1, avec la possibilité de perdre 4 contre 1. Les chances sont donc en votre faveur, vous pouvez prendre le pari et espérer le meilleur résultat. Si vous faites ce pari cinq fois, en moyenne vous perdrez 1 $ quatre fois et gagnerez 5 $ une fois. Sur cette base, pour les cinq tentatives, vous gagnerez 1 $ avec une espérance mathématique positive de 20 cents par pari.

Un joueur qui s’attend à gagner plus que ce qu’il mise, comme dans l’exemple ci-dessus, prend des risques. Au contraire, il ruine ses chances lorsqu’il espère gagner moins que ce qu’il a parié. Un parieur peut avoir une attente positive ou négative, selon qu'il gagne ou qu'il gâche les cotes.

Si vous pariez 50 $ pour gagner 10 $ avec une chance de gagner de 4 contre 1, vous obtiendrez une attente négative de 2 $ car En moyenne, vous gagnerez 10 $ quatre fois et perdrez 50 $ une fois, ce qui signifie que la perte par pari sera de 10 $. Mais si vous pariez 30 $ pour gagner 10 $, avec les mêmes chances de gagner 4 contre 1, alors dans ce cas vous avez une attente positive de 2 $, car vous gagnez à nouveau 10 $ quatre fois et perdez 30 $ une fois, pour un bénéfice de 10 $. Ces exemples montrent que le premier pari est mauvais et le second est bon.

L'espérance mathématique est au centre de toute situation de jeu. Lorsqu'un bookmaker encourage les fans de football à parier 11 $ pour gagner 10 $, il s'attend à gagner 50 cents pour chaque 10 $. Si le casino verse l'argent de la ligne de passe au craps, alors l'attente positive du casino sera d'environ 1,40 $ pour chaque tranche de 100 $, car Ce jeu est structuré de telle sorte que quiconque parie sur cette ligne perd en moyenne 50,7 % et gagne 49,3 % du temps total. Sans aucun doute, c’est cette attente positive apparemment minime qui rapporte d’énormes profits aux propriétaires de casino du monde entier. Comme l’a noté Bob Stupak, propriétaire du casino Vegas World, « une probabilité négative d’un millième de pour cent sur une distance suffisamment longue ruinera l’homme le plus riche du monde ».

Attente en jouant au poker

Le jeu de poker est l'exemple le plus illustratif et le plus illustratif du point de vue de l'utilisation de la théorie et des propriétés de l'espérance mathématique.

La valeur attendue au poker est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et de la longue distance. Un jeu de poker réussi consiste à toujours accepter des mouvements avec une valeur attendue positive.

La signification mathématique de l'espérance mathématique lorsque l'on joue au poker est que nous rencontrons souvent des variables aléatoires lors de la prise de décisions (nous ne savons pas quelles cartes l'adversaire a en main, quelles cartes viendront lors des tours d'enchères suivants). Nous devons considérer chacune des solutions du point de vue de la théorie des grands nombres, qui stipule qu'avec un échantillon suffisamment grand, la valeur moyenne d'une variable aléatoire tendra vers son espérance mathématique.

Parmi les formules particulières pour calculer l'espérance mathématique, les suivantes sont les plus applicables au poker :

Lorsque vous jouez au poker, la valeur attendue peut être calculée à la fois pour les mises et pour les call. Dans le premier cas, le Fold Equity doit être pris en compte, dans le second, les propres cotes de la banque. Lorsque vous évaluez l'espérance mathématique d'un mouvement particulier, vous devez vous rappeler qu'un pli a toujours une espérance nulle. Ainsi, défausser des cartes sera toujours une décision plus rentable que n’importe quel mouvement négatif.

Les attentes vous indiquent à quoi vous pouvez vous attendre (bénéfice ou perte) pour chaque dollar que vous risquez. Les casinos gagnent de l’argent parce que les attentes mathématiques de tous les jeux qui y sont joués sont en faveur du casino. Avec une série de jeux suffisamment longue, on peut s'attendre à ce que le client perde son argent, puisque les « chances » sont en faveur du casino. Cependant, les joueurs de casino professionnels limitent leurs jeux à de courtes périodes, mettant ainsi toutes les chances de leur côté. Il en va de même pour l’investissement. Si vos attentes sont positives, vous pouvez gagner plus d’argent en effectuant de nombreuses transactions sur une courte période. L'attente est votre pourcentage de profit par victoire multiplié par votre profit moyen, moins votre probabilité de perte multipliée par votre perte moyenne.

Le poker peut également être considéré du point de vue des attentes mathématiques. Vous pouvez supposer qu’un certain mouvement est rentable, mais dans certains cas, ce n’est peut-être pas le meilleur car un autre mouvement est plus rentable. Disons que vous obtenez un full au poker à cinq cartes. Votre adversaire fait un pari. Vous savez que si vous relancez la mise, il répondra. Par conséquent, relancer semble être la meilleure tactique. Mais si vous relancez la mise, les deux joueurs restants se coucheront définitivement. Mais si vous suivez, vous avez la certitude que les deux autres joueurs derrière vous feront de même. Lorsque vous relancez votre mise, vous recevez une unité, et lorsque vous suivez, vous en recevez deux. Ainsi, suivre vous donne une valeur attendue positive plus élevée et constituera la meilleure tactique.

L'espérance mathématique peut également donner une idée des tactiques de poker les moins rentables et lesquelles sont les plus rentables. Par exemple, si vous jouez une certaine main et que vous pensez que votre perte sera en moyenne de 75 cents, mise comprise, alors vous devriez jouer cette main car c'est mieux que de se coucher lorsque l'ante est de 1 $.

Une autre raison importante pour comprendre le concept de valeur attendue est qu'il vous procure un sentiment de tranquillité d'esprit, que vous gagniez ou non le pari : si vous avez fait un bon pari ou vous êtes couché au bon moment, vous saurez que vous avez gagné ou non. a économisé une certaine somme d'argent que le joueur le plus faible ne pouvait pas économiser. Il est beaucoup plus difficile de se coucher si vous êtes contrarié parce que votre adversaire a tiré une main plus forte. Avec tout cela, l’argent que vous économisez en ne jouant pas au lieu de parier est ajouté à vos gains de la nuit ou du mois.

N'oubliez pas que si vous aviez changé de main, votre adversaire vous aurait suivi, et comme vous le verrez dans l'article sur le Théorème fondamental du poker, ce n'est qu'un de vos avantages. Vous devriez être heureux quand cela arrive. Vous pouvez même apprendre à aimer perdre une main car vous savez que d’autres joueurs dans votre position auraient perdu beaucoup plus.

Comme mentionné dans l'exemple du jeu de pièces au début, le taux de profit horaire est lié à l'espérance mathématique, et ce concept est particulièrement important pour les joueurs professionnels. Lorsque vous allez jouer au poker, vous devez estimer mentalement combien vous pouvez gagner en une heure de jeu. Dans la plupart des cas, vous devrez vous fier à votre intuition et à votre expérience, mais vous pouvez également recourir à quelques mathématiques. Par exemple, vous jouez au draw lowball et vous voyez trois joueurs miser 10 $ puis échanger deux cartes, ce qui est une très mauvaise tactique, vous pouvez comprendre que chaque fois qu'ils parient 10 $, ils perdent environ 2 $. Chacun d’eux fait cela huit fois par heure, ce qui signifie qu’ils perdent tous les trois environ 48 dollars de l’heure. Vous êtes l'un des quatre joueurs restants qui sont à peu près égaux, donc ces quatre joueurs (et vous parmi eux) doivent se partager 48 $, chacun réalisant un bénéfice de 12 $ de l'heure. Dans ce cas, vos cotes horaires sont simplement égales à votre part de la somme d’argent perdue par trois mauvais joueurs en une heure.

Sur une longue période, les gains totaux du joueur sont la somme de ses attentes mathématiques dans les mains individuelles. Plus vous jouez de mains avec une attente positive, plus vous gagnez, et inversement, plus vous jouez de mains avec une attente négative, plus vous perdez. Par conséquent, vous devez choisir un jeu qui peut maximiser votre anticipation positive ou annuler votre anticipation négative afin que vous puissiez maximiser vos gains horaires.

Attente mathématique positive dans la stratégie de jeu

Si vous savez compter les cartes, vous pouvez avoir un avantage sur le casino, à condition qu'ils ne le remarquent pas et ne vous jettent pas. Les casinos aiment les joueurs ivres et ne tolèrent pas les joueurs qui comptent les cartes. Un avantage vous permettra de gagner plus de fois que vous n’en perdrez au fil du temps. Une bonne gestion financière utilisant des calculs de valeur attendue peut vous aider à tirer davantage de profit de votre avantage et à réduire vos pertes. Sans avantage, il vaut mieux donner l’argent à une œuvre caritative. Dans le jeu boursier, l'avantage est donné par le système de jeu, qui crée des profits supérieurs aux pertes, aux différences de prix et aux commissions. Aucune gestion financière ne peut sauver un mauvais système de jeu.

Une attente positive est définie comme une valeur supérieure à zéro. Plus ce nombre est élevé, plus l’espérance statistique est forte. Si la valeur est inférieure à zéro, alors l’espérance mathématique sera également négative. Plus le module de la valeur négative est grand, plus la situation est mauvaise. Si le résultat est nul, alors l’attente est à l’équilibre. Vous ne pouvez gagner que lorsque vous avez des attentes mathématiques positives et un système de jeu raisonnable. Jouer par intuition mène au désastre.

Espérance mathématique et négociation d'actions

L'espérance mathématique est un indicateur statistique assez largement utilisé et populaire lors des transactions boursières sur les marchés financiers. Tout d’abord, ce paramètre est utilisé pour analyser le succès du trading. Il n'est pas difficile de deviner que plus cette valeur est élevée, plus il y a de raisons de considérer le métier étudié comme réussi. Bien entendu, l’analyse du travail d’un trader ne peut être réalisée à partir de ce seul paramètre. Cependant, la valeur calculée, en combinaison avec d'autres méthodes d'évaluation de la qualité du travail, peut augmenter considérablement la précision de l'analyse.

L'espérance mathématique est souvent calculée dans les services de surveillance des comptes de trading, ce qui vous permet d'évaluer rapidement le travail effectué sur le dépôt. Les exceptions incluent les stratégies qui utilisent des transactions non rentables « s’absentant ». Un commerçant peut avoir de la chance pendant un certain temps et il se peut donc qu'il n'y ait aucune perte dans son travail. Dans ce cas, il ne sera pas possible de se laisser guider uniquement par l'attente mathématique, car les risques utilisés dans le travail ne seront pas pris en compte.

Dans le trading sur le marché, l'espérance mathématique est le plus souvent utilisée pour prédire la rentabilité de toute stratégie de trading ou pour prédire les revenus d'un trader sur la base des données statistiques de ses transactions précédentes.

En ce qui concerne la gestion de l’argent, il est très important de comprendre que lors de transactions avec des attentes négatives, il n’existe aucun système de gestion de l’argent qui puisse certainement générer des profits élevés. Si vous continuez à jouer en bourse dans ces conditions, quelle que soit la manière dont vous gérez votre argent, vous perdrez la totalité de votre compte, quelle que soit sa taille au départ.

Cet axiome est vrai non seulement pour les jeux ou les échanges avec des attentes négatives, mais également pour les jeux avec des chances égales. Par conséquent, le seul moment où vous avez une chance de réaliser des bénéfices à long terme est si vous effectuez des transactions avec une valeur attendue positive.

La différence entre une attente négative et une attente positive est la différence entre la vie et la mort. Peu importe à quel point les attentes sont positives ou négatives ; Tout ce qui compte c'est si c'est positif ou négatif. Par conséquent, avant d’envisager la gestion de l’argent, vous devez trouver un jeu avec des attentes positives.

Si vous n'avez pas ce jeu, toute la gestion financière du monde ne vous sauvera pas. D’un autre côté, si vous avez une attente positive, vous pouvez, grâce à une bonne gestion financière, la transformer en une fonction de croissance exponentielle. Peu importe que les attentes positives soient minimes ! En d’autres termes, peu importe la rentabilité d’un système commercial basé sur un seul contrat. Si vous disposez d'un système qui gagne 10 $ par contrat et par transaction (après commissions et dérapages), vous pouvez utiliser des techniques de gestion financière pour le rendre plus rentable qu'un système qui gagne en moyenne 1 000 $ par transaction (après déduction des commissions et des dérapages).

Ce qui compte n’est pas la rentabilité du système, mais la certitude qu’il générera au moins un bénéfice minimal à l’avenir. Par conséquent, la préparation la plus importante qu'un trader puisse faire est de s'assurer que le système affichera une valeur attendue positive à l'avenir.

Afin d’avoir une valeur attendue positive dans le futur, il est très important de ne pas limiter les degrés de liberté de votre système. Ceci est réalisé non seulement en éliminant ou en réduisant le nombre de paramètres à optimiser, mais également en réduisant autant de règles système que possible. Chaque paramètre que vous ajoutez, chaque règle que vous établissez, chaque petite modification que vous apportez au système réduit le nombre de degrés de liberté. Idéalement, vous devez construire un système assez primitif et simple qui générera systématiquement de petits bénéfices sur presque tous les marchés. Encore une fois, il est important que vous compreniez que la rentabilité du système n’a pas d’importance, du moment qu’il est rentable. L’argent que vous gagnez en trading sera gagné grâce à une gestion efficace de l’argent.

Un système commercial est simplement un outil qui vous donne une valeur attendue positive afin que vous puissiez utiliser la gestion de l'argent. Les systèmes qui fonctionnent (montrent au moins des bénéfices minimes) sur un ou quelques marchés seulement, ou qui ont des règles ou des paramètres différents pour différents marchés, ne fonctionneront probablement pas en temps réel pendant longtemps. Le problème avec la plupart des traders orientés vers la technique est qu'ils consacrent trop de temps et d'efforts à optimiser les différentes règles et valeurs des paramètres du système commercial. Cela donne des résultats complètement opposés. Au lieu de gaspiller de l'énergie et du temps informatique pour augmenter les bénéfices du système commercial, consacrez votre énergie à augmenter le niveau de fiabilité pour obtenir un profit minimum.

Sachant que la gestion financière n'est qu'un jeu de chiffres qui nécessite l'utilisation d'attentes positives, un trader peut arrêter de chercher le « Saint Graal » du trading d'actions. Au lieu de cela, il peut commencer à tester sa méthode de trading, découvrir à quel point cette méthode est logique et si elle donne des attentes positives. Des méthodes appropriées de gestion financière, appliquées à toutes les méthodes de trading, même très médiocres, feront elles-mêmes le reste du travail.

Pour que tout commerçant réussisse dans son travail, il doit résoudre trois tâches les plus importantes : . S'assurer que le nombre de transactions réussies dépasse les inévitables erreurs et erreurs de calcul ; Configurez votre système de trading pour avoir la possibilité de gagner de l'argent le plus souvent possible ; Obtenez des résultats positifs et stables de vos opérations.

Et ici, pour nous, commerçants, les attentes mathématiques peuvent être d’une grande aide. Ce terme est l’un des termes clés de la théorie des probabilités. Avec son aide, vous pouvez donner une estimation moyenne d'une valeur aléatoire. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est similaire au centre de gravité, si vous imaginez toutes les probabilités possibles comme des points avec des masses différentes.

En ce qui concerne une stratégie de trading, l'espérance mathématique de profit (ou de perte) est le plus souvent utilisée pour évaluer son efficacité. Ce paramètre est défini comme la somme des produits de niveaux de profits et de pertes donnés et de la probabilité de leur apparition. Par exemple, la stratégie de trading développée suppose que 37 % de toutes les transactions généreront des bénéfices et que la partie restante - 63 % - ne sera pas rentable. Dans le même temps, le revenu moyen d'une transaction réussie sera de 7 $ et la perte moyenne sera de 1,4 $. Calculons l'espérance mathématique du trading en utilisant ce système :

Que signifie ce numéro ? Il dit que, selon les règles de ce système, nous recevrons en moyenne 1 708 $ pour chaque transaction clôturée. Étant donné que l’indice d’efficacité qui en résulte est supérieur à zéro, un tel système peut être utilisé pour un travail réel. Si, à la suite du calcul, l'espérance mathématique s'avère négative, cela indique déjà une perte moyenne et un tel trading conduira à la ruine.

Le montant du bénéfice par transaction peut également être exprimé en valeur relative sous forme de %. Par exemple:

– pourcentage de revenu pour 1 transaction - 5% ;

– pourcentage d'opérations commerciales réussies - 62% ;

– pourcentage de perte pour 1 transaction - 3% ;

– pourcentage de transactions infructueuses - 38% ;

Autrement dit, le commerce moyen rapportera 1,96%.

Il est possible de développer un système qui, malgré la prédominance des métiers non rentables, produira un résultat positif, puisque son MO>0.

Cependant, attendre seul ne suffit pas. Il est difficile de gagner de l'argent si le système donne très peu de signaux de trading. Dans ce cas, sa rentabilité sera comparable aux intérêts bancaires. Supposons que chaque opération produise en moyenne seulement 0,5 dollar, mais que se passe-t-il si le système implique 1 000 opérations par an ? Cela représentera une somme très importante dans un délai relativement court. Il s'ensuit logiquement qu'une autre caractéristique distinctive d'un bon système commercial peut être considérée comme une courte période de détention des positions.

Sources et liens

dic.academic.ru – dictionnaire académique en ligne

maths.ru – site Web éducatif en mathématiques

nsu.ru – site Web éducatif de l'Université d'État de Novossibirsk

webmath.ru est un portail éducatif destiné aux étudiants, aux candidats et aux écoliers.

Site Web éducatif mathématique exponenta.ru

ru.tradimo.com – école de commerce en ligne gratuite

crypto.hut2.ru – ressource d'information multidisciplinaire

poker-wiki.ru – encyclopédie gratuite du poker

sernam.ru – Bibliothèque scientifique de publications sélectionnées en sciences naturelles

reshim.su – site Web NOUS RÉSOUDRONS les problèmes de cours de test

unfx.ru – Forex sur UNFX : formation, signaux de trading, gestion de la confiance

slovopedia.com – Grand dictionnaire encyclopédique Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Votre guide dans le monde du poker

statanaliz.info – blog d'information « Analyse des données statistiques »

forex-trader.rf – Portail Forex-Trader

megafx.ru – analyses Forex actuelles

fx-by.com – tout pour un trader