Tableau de résolution des inégalités logarithmiques. Résoudre les inégalités logarithmiques

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Pensez-vous qu'il est encore temps avant l'examen d'État unifié et que vous aurez le temps de vous préparer ? C'est peut-être le cas. Mais dans tous les cas, plus un étudiant commence sa préparation tôt, plus il réussit les examens. Aujourd'hui, nous avons décidé de consacrer un article aux inégalités logarithmiques. C'est l'une des tâches qui signifie la possibilité d'obtenir un crédit supplémentaire.

Savez-vous déjà ce qu'est un logarithme ? Nous l’espérons vraiment. Mais même si vous n’avez pas de réponse à cette question, ce n’est pas un problème. Comprendre ce qu'est un logarithme est très simple.

Pourquoi 4 ? Il faut élever le nombre 3 à cette puissance pour obtenir 81. Une fois que vous aurez compris le principe, vous pourrez procéder à des calculs plus complexes.

Vous avez traversé les inégalités il y a quelques années. Et depuis, vous les rencontrez constamment en mathématiques. Si vous rencontrez des difficultés pour résoudre les inégalités, consultez la section appropriée.
Maintenant que nous nous sommes familiarisés avec les concepts individuellement, passons à leur examen général.

L'inégalité logarithmique la plus simple.

Les inégalités logarithmiques les plus simples ne se limitent pas à cet exemple ; il y en a trois autres, uniquement avec des signes différents. Pourquoi est-ce nécessaire ? Mieux comprendre comment résoudre des inégalités avec des logarithmes. Donnons maintenant un exemple plus applicable, encore assez simple ; nous laisserons les inégalités logarithmiques complexes pour plus tard.

Comment résoudre cela ? Tout commence avec ODZ. Cela vaut la peine d’en savoir plus si vous souhaitez toujours résoudre facilement toute inégalité.

Qu’est-ce qu’ODZ ? ODZ pour les inégalités logarithmiques

L'abréviation représente la plage de valeurs acceptables. Cette formulation apparaît souvent dans les tâches de l'examen d'État unifié. ODZ vous sera utile non seulement dans le cas d'inégalités logarithmiques.

Regardez à nouveau l'exemple ci-dessus. Nous considérerons l'ODZ sur cette base, afin que vous compreniez le principe, et que la résolution des inégalités logarithmiques ne pose pas de questions. De la définition d'un logarithme, il s'ensuit que 2x+4 doit être supérieur à zéro. Dans notre cas, cela signifie ce qui suit.

Ce nombre, par définition, doit être positif. Résolvez l’inégalité présentée ci-dessus. Cela peut même se faire oralement ; ici il est clair que X ne peut pas être inférieur à 2. La solution à l'inégalité sera la définition de la plage de valeurs acceptables.
Passons maintenant à la résolution de l'inégalité logarithmique la plus simple.

Nous écartons les logarithmes eux-mêmes des deux côtés de l'inégalité. Que nous reste-t-il en conséquence ? Inégalité simple.

Ce n'est pas difficile à résoudre. X doit être supérieur à -0,5. Nous combinons maintenant les deux valeurs obtenues dans un système. Ainsi,

Ce sera la plage de valeurs acceptables pour l'inégalité logarithmique considérée.

Pourquoi avons-nous besoin d’ODZ ? C’est l’occasion d’éliminer les réponses incorrectes et impossibles. Si la réponse ne se situe pas dans la plage des valeurs acceptables, alors elle n’a tout simplement aucun sens. Cela mérite d'être rappelé pendant longtemps, car lors de l'examen d'État unifié, il est souvent nécessaire de rechercher l'ODZ, et cela ne concerne pas seulement les inégalités logarithmiques.

Algorithme de résolution d'inégalité logarithmique

La solution comprend plusieurs étapes. Tout d’abord, vous devez trouver la plage de valeurs acceptables. Il y aura deux valeurs dans l'ODZ, nous en avons discuté ci-dessus. Nous devons ensuite résoudre l’inégalité elle-même. Les méthodes de résolution sont les suivantes :

• méthode de remplacement du multiplicateur ;
• décomposition;
• méthode de rationalisation.

Selon la situation, il vaut la peine d'utiliser l'une des méthodes ci-dessus. Passons directement à la solution. Révélons la méthode la plus populaire, qui convient pour résoudre les tâches de l'examen d'État unifié dans presque tous les cas. Nous examinerons ensuite la méthode de décomposition. Cela peut être utile si vous rencontrez une inégalité particulièrement délicate. Donc, un algorithme pour résoudre l'inégalité logarithmique.

Exemples de solutions :

Ce n’est pas pour rien que nous avons pris exactement cette inégalité ! Faites attention à la base. N'oubliez pas : s'il est supérieur à un, le signe reste le même lors de la recherche de la plage de valeurs acceptables ; sinon, vous devez changer le signe d'inégalité.

On obtient alors l’inégalité :

Maintenant, nous réduisons le côté gauche à la forme de l’équation égale à zéro. Au lieu du signe « inférieur à », nous mettons « égal » et résolvons l’équation. Ainsi, nous retrouverons l'ODZ. Nous espérons que vous n’aurez pas de problèmes pour résoudre une équation aussi simple. Les réponses sont -4 et -2. Ce n'est pas tout. Vous devez afficher ces points sur le graphique en plaçant « + » et « - ». Que faut-il faire pour cela ? Remplacez les nombres des intervalles dans l’expression. Là où les valeurs sont positives, on y met « + ».

Répondre: x ne peut pas être supérieur à -4 et inférieur à -2.

Nous avons trouvé la plage de valeurs acceptables uniquement pour le côté gauche, nous devons maintenant trouver la plage de valeurs acceptables pour le côté droit. C'est beaucoup plus facile. Réponse : -2. Nous croisons les deux zones résultantes.

Et c’est seulement maintenant que nous commençons à nous attaquer aux inégalités elles-mêmes.

Simplifions-le autant que possible pour le rendre plus facile à résoudre.

Nous utilisons à nouveau la méthode des intervalles dans la solution. Passons les calculs ; tout est déjà clair avec l’exemple précédent. Répondre.

Mais cette méthode convient si l'inégalité logarithmique a les mêmes bases.

La résolution d’équations logarithmiques et d’inégalités avec des bases différentes nécessite une réduction initiale à la même base. Ensuite, utilisez la méthode décrite ci-dessus. Mais il existe un cas plus compliqué. Considérons l'un des types d'inégalités logarithmiques les plus complexes.

Inégalités logarithmiques à base variable

Comment résoudre des inégalités présentant de telles caractéristiques ? Oui, et ces personnes peuvent être trouvées lors de l'examen d'État unifié. Résoudre les inégalités de la manière suivante aura également un effet bénéfique sur votre processus éducatif. Examinons le problème en détail. Laissons de côté la théorie et passons directement à la pratique. Pour résoudre les inégalités logarithmiques, il suffit de se familiariser une fois avec l'exemple.

Pour résoudre une inégalité logarithmique de la forme présentée, il est nécessaire de réduire le membre de droite à un logarithme de même base. Le principe ressemble à des transitions équivalentes. En conséquence, l’inégalité ressemblera à ceci.

En fait, il ne reste plus qu'à créer un système d'inégalités sans logarithmes. Par la méthode de rationalisation, on passe à un système d'inégalités équivalent. Vous comprendrez la règle elle-même lorsque vous remplacerez les valeurs appropriées et suivrez leurs modifications. Le système aura les inégalités suivantes.

Lorsque vous utilisez la méthode de rationalisation pour résoudre des inégalités, vous devez vous rappeler ce qui suit : un doit être soustrait de la base, x, par définition du logarithme, est soustrait des deux côtés de l'inégalité (de droite à gauche), deux expressions sont multipliées et placé sous le signe original par rapport à zéro.

La solution ultérieure est réalisée en utilisant la méthode des intervalles, tout est simple ici. Il est important que vous compreniez les différences dans les méthodes de résolution, afin que tout commence à se dérouler facilement.

Il existe de nombreuses nuances dans les inégalités logarithmiques. Les plus simples d’entre eux sont assez faciles à résoudre. Comment pouvez-vous résoudre chacun d’eux sans problème ? Vous avez déjà reçu toutes les réponses dans cet article. Vous avez maintenant une longue pratique devant vous. Entraînez-vous constamment à résoudre une variété de problèmes lors de l'examen et vous pourrez obtenir le score le plus élevé. Bonne chance à vous dans votre tâche difficile !

Parmi toute la variété des inégalités logarithmiques, les inégalités à base variable sont étudiées séparément. Ils sont résolus à l'aide d'une formule spéciale qui, pour une raison quelconque, est rarement enseignée à l'école :

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Au lieu de la case à cocher « ∨ », vous pouvez mettre n'importe quel signe d'inégalité : plus ou moins. L'essentiel est que dans les deux inégalités, les signes sont les mêmes.

De cette façon, nous nous débarrassons des logarithmes et réduisons le problème à une inégalité rationnelle. Ce dernier est beaucoup plus facile à résoudre, mais lorsque l'on supprime les logarithmes, des racines supplémentaires peuvent apparaître. Pour les découper, il suffit de trouver la plage de valeurs acceptables. Si vous avez oublié l'ODZ du logarithme, je vous recommande fortement de le répéter - voir " Qu'est-ce qu'un logarithme ».

Tout ce qui concerne la plage de valeurs acceptables doit être écrit et résolu séparément :

f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; k(x) > 0 ; k(x) ≠ 1.

Ces quatre inégalités constituent un système et doivent être satisfaites simultanément. Lorsque la plage de valeurs acceptables a été trouvée, il ne reste plus qu'à la recouper avec la solution de l'inégalité rationnelle - et la réponse est prête.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

Tout d’abord, écrivons l’ODZ du logarithme :

Les deux premières inégalités sont automatiquement satisfaites, mais la dernière devra être écrite. Puisque le carré d’un nombre est nul si et seulement si le nombre lui-même est nul, on a :

x 2 + 1 ≠ 1 ;
x2 ≠ 0 ;
x ≠ 0.

Il s'avère que l'ODZ du logarithme est composé uniquement de nombres sauf zéro : x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nous résolvons maintenant l'inégalité principale :

Nous passons d’une inégalité logarithmique à une inégalité rationnelle. L'inégalité d'origine a un signe « inférieur à », ce qui signifie que l'inégalité résultante doit également avoir un signe « inférieur à ». Nous avons:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Les zéros de cette expression sont : x = 3 ; x = −3 ; x = 0. De plus, x = 0 est une racine de la deuxième multiplicité, ce qui signifie qu'en la traversant, le signe de la fonction ne change pas. Nous avons:

On obtient x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Cet ensemble est entièrement contenu dans l'ODZ du logarithme, ce qui signifie que c'est la réponse.

Conversion des inégalités logarithmiques

Souvent, l’inégalité initiale est différente de celle ci-dessus. Cela peut être facilement corrigé en utilisant les règles standard pour travailler avec des logarithmes - voir " Propriétés de base des logarithmes" À savoir:

1. N'importe quel nombre peut être représenté sous forme de logarithme avec une base donnée ;
2. La somme et la différence des logarithmes de mêmes bases peuvent être remplacées par un logarithme.

Par ailleurs, je voudrais vous rappeler la plage de valeurs acceptables. Puisqu’il peut y avoir plusieurs logarithmes dans l’inégalité originale, il faut trouver la VA de chacun d’eux. Ainsi, le schéma général de résolution des inégalités logarithmiques est le suivant :

1. Trouver la VA de chaque logarithme inclus dans l'inégalité ;
2. Réduisez l'inégalité à une inégalité standard en utilisant les formules d'addition et de soustraction de logarithmes ;
3. Résolvez l'inégalité résultante selon le schéma donné ci-dessus.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

Trouvons le domaine de définition (DO) du premier logarithme :

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles. Trouver les zéros du numérateur :

3x − 2 = 0 ;
x = 2/3.

Puis - les zéros du dénominateur :

x − 1 = 0 ;
x = 1.

Nous marquons des zéros et des signes sur la flèche de coordonnées :

On obtient x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Le deuxième logarithme aura le même VA. Si vous ne me croyez pas, vous pouvez le vérifier. Transformons maintenant le deuxième logarithme pour que la base soit deux :

Comme vous pouvez le constater, les trois à la base et devant le logarithme ont été réduits. Nous avons deux logarithmes de même base. Additionnons-les :

journal 2 (x − 1) 2< 2;
journal 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Nous avons obtenu l'inégalité logarithmique standard. On se débarrasse des logarithmes en utilisant la formule. Puisque l’inégalité originale contient un signe « inférieur à », l’expression rationnelle résultante doit également être inférieure à zéro. Nous avons:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1 ; 3).

Nous avons deux sets :

1. ODZ : x ∈ (−∞ 2/3)∪(1 ; +∞);
2. Réponse du candidat : ​​x ∈ (−1 ; 3).

Il reste à recouper ces ensembles - nous obtenons la vraie réponse :

Nous nous intéressons à l'intersection des ensembles, nous sélectionnons donc des intervalles ombrés sur les deux flèches. Nous obtenons x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tous les points sont perforés.

Inégalités logarithmiques

Dans les leçons précédentes, nous nous sommes familiarisés avec les équations logarithmiques et maintenant nous savons ce qu'elles sont et comment les résoudre. La leçon d'aujourd'hui sera consacrée à l'étude des inégalités logarithmiques. Quelles sont ces inégalités et quelle est la différence entre résoudre une équation logarithmique et une inégalité ?

Les inégalités logarithmiques sont des inégalités dont une variable apparaît sous le signe du logarithme ou à sa base.

Ou bien, on peut aussi dire qu'une inégalité logarithmique est une inégalité dans laquelle sa valeur inconnue, comme dans une équation logarithmique, apparaîtra sous le signe du logarithme.

Les inégalités logarithmiques les plus simples ont la forme suivante :

où f(x) et g(x) sont des expressions qui dépendent de x.

Regardons cela en utilisant cet exemple : f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Résoudre les inégalités logarithmiques

Avant de résoudre les inégalités logarithmiques, il convient de noter que lorsqu'elles sont résolues, elles sont similaires aux inégalités exponentielles, à savoir :

Premièrement, lorsque nous passons des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, nous devons également comparer la base du logarithme avec une seule ;

Deuxièmement, lors de la résolution d’une inégalité logarithmique à l’aide d’un changement de variables, nous devons résoudre les inégalités par rapport au changement jusqu’à obtenir l’inégalité la plus simple.

Mais vous et moi avons examiné des aspects similaires de la résolution des inégalités logarithmiques. Faisons maintenant attention à une différence assez significative. Vous et moi savons que la fonction logarithmique a un domaine de définition limité, par conséquent, lorsque nous passons des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, nous devons prendre en compte la plage de valeurs admissibles (ADV).

Autrement dit, il convient de garder à l'esprit que lors de la résolution d'une équation logarithmique, vous et moi pouvons d'abord trouver les racines de l'équation, puis vérifier cette solution. Mais résoudre une inégalité logarithmique ne fonctionnera pas de cette façon, puisque en passant des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, il faudra écrire l'ODZ de l'inégalité.

De plus, il convient de rappeler que la théorie des inégalités se compose de nombres réels, qui sont des nombres positifs et négatifs, ainsi que du nombre 0.

Par exemple, lorsque le nombre « a » est positif, alors vous devez utiliser la notation suivante : a >0. Dans ce cas, la somme et le produit de ces nombres seront également positifs.

Le principe principal pour résoudre une inégalité est de la remplacer par une inégalité plus simple, mais l’essentiel est qu’elle soit équivalente à celle donnée. De plus, nous avons également obtenu une inégalité et l'avons à nouveau remplacée par une autre qui a une forme plus simple, etc.

Lorsque vous résolvez des inégalités avec une variable, vous devez trouver toutes ses solutions. Si deux inégalités ont la même variable x, alors ces inégalités sont équivalentes, à condition que leurs solutions coïncident.

Lorsque vous effectuez des tâches de résolution d'inégalités logarithmiques, vous devez vous rappeler que lorsque a > 1, alors la fonction logarithmique augmente et lorsque 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Méthodes de résolution des inégalités logarithmiques

Examinons maintenant certaines des méthodes utilisées pour résoudre les inégalités logarithmiques. Pour une meilleure compréhension et assimilation, nous tenterons de les comprendre à l’aide d’exemples précis.

Nous savons tous que l’inégalité logarithmique la plus simple a la forme suivante :

Dans cette inégalité, V – est l’un des signes d’inégalité suivants :<,>, ≤ ou ≥.

Lorsque la base d'un logarithme donné est supérieure à un (a>1), faisant le passage des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, alors dans cette version le signe de l'inégalité est conservé, et l'inégalité aura la forme suivante :

ce qui est équivalent à ce système :

Dans le cas où la base du logarithme est supérieure à zéro et inférieure à un (0

C'est équivalent à ce système :

Examinons d'autres exemples de résolution des inégalités logarithmiques les plus simples présentées dans l'image ci-dessous :

Exemples de résolution

Exercice. Essayons de résoudre cette inégalité :

Résoudre la plage de valeurs acceptables.

Essayons maintenant de multiplier son côté droit par :

Voyons ce que nous pouvons proposer :

Passons maintenant à la conversion d'expressions sublogarithmiques. Étant donné que la base du logarithme est 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x-8 > 16 ;
3x > 24 ;
x > 8.

Et il s'ensuit que l'intervalle que nous avons obtenu appartient entièrement à l'ODZ et est une solution à une telle inégalité.

Voici la réponse que nous avons obtenue :

Que faut-il pour résoudre les inégalités logarithmiques ?

Essayons maintenant d'analyser ce dont nous avons besoin pour réussir à résoudre les inégalités logarithmiques ?

Tout d’abord, concentrez toute votre attention et essayez de ne pas commettre d’erreurs lorsque vous effectuez les transformations données dans cette inégalité. Il convient également de rappeler que lors de la résolution de telles inégalités, il est nécessaire d’éviter les expansions et les contractions des inégalités, qui peuvent conduire à la perte ou à l’acquisition de solutions superflues.

Deuxièmement, lors de la résolution d'inégalités logarithmiques, vous devez apprendre à penser logiquement et à comprendre la différence entre des concepts tels qu'un système d'inégalités et un ensemble d'inégalités, afin de pouvoir facilement sélectionner des solutions à l'inégalité, tout en étant guidé par son DL.

Troisièmement, pour réussir à résoudre de telles inégalités, chacun de vous doit parfaitement connaître toutes les propriétés des fonctions élémentaires et comprendre clairement leur signification. De telles fonctions incluent non seulement les fonctions logarithmiques, mais aussi rationnelles, de puissance, trigonométriques, etc., en un mot, toutes celles que vous avez étudiées à l'école d'algèbre.

Comme vous pouvez le constater, après avoir étudié le sujet des inégalités logarithmiques, il n'y a rien de difficile à résoudre ces inégalités, à condition que vous soyez prudent et persévérant dans la réalisation de vos objectifs. Pour éviter tout problème lors de la résolution des inégalités, vous devez vous entraîner autant que possible, résoudre diverses tâches et en même temps vous rappeler les méthodes de base pour résoudre ces inégalités et leurs systèmes. Si vous ne parvenez pas à résoudre les inégalités logarithmiques, vous devez analyser soigneusement vos erreurs afin de ne plus y revenir à l'avenir.

Devoirs

Pour mieux comprendre le sujet et consolider la matière abordée, résolvez les inégalités suivantes :