Exemple 3. Résoudre l'inégalité tg(t)< = 1.
La période tangente est égale à pi. Trouvons des solutions qui appartiennent au demi-cercle droit de l'intervalle (-pi/2;pi/2). Ensuite, en utilisant la périodicité de la tangente, nous notons toutes les solutions de cette inégalité. Traçons un cercle unité et marquons dessus une ligne de tangentes.
Si t est une solution de l'inégalité, alors l'ordonnée du point T = tg(t) doit être inférieure ou égale à 1. L'ensemble de ces points constituera le rayon AT. L'ensemble des points Pt qui correspondront aux points de ce rayon est l'arc l. De plus, le point P(-pi/2) n'appartient pas à cet arc.
Résoudre des inégalités trigonométriques à l'aide du cercle unité
Lors de la résolution d'inégalités trigonométriques de la forme où --- une des fonctions trigonométriques, il est pratique d'utiliser le cercle trigonométrique afin de représenter le plus clairement possible les solutions à l'inégalité et d'écrire la réponse. La principale méthode pour résoudre les inégalités trigonométriques est de les réduire aux inégalités de type les plus simples. Regardons un exemple de la façon de résoudre de telles inégalités.
Exemple Résoudre l'inégalité.
Solution. Traçons un cercle trigonométrique et marquons dessus les points pour lesquels l'ordonnée est supérieure.
La solution à cette inégalité sera. Il est également clair que si un certain nombre diffère de n'importe quel nombre de l'intervalle spécifié, il ne sera pas non plus inférieur. Par conséquent, il vous suffit d'ajouter des solutions aux extrémités du segment trouvé. Finalement, nous constatons que chacun sera une solution à l’inégalité originelle.
Pour résoudre les inégalités avec tangente et cotangente, le concept de ligne de tangentes et de cotangentes est utile. Ce sont les droites et, respectivement (sur les figures (1) et (2)), les tangentes au cercle trigonométrique.
Il est facile de voir que si l'on construit un rayon dont l'origine est à l'origine des coordonnées, faisant un angle avec la direction positive de l'axe des abscisses, alors la longueur du segment du point au point d'intersection de ce rayon avec la tangente est exactement égale à la tangente de l'angle que fait ce rayon avec l'axe des abscisses. Une observation similaire se produit pour la cotangente.
Exemple Résoudre l'inégalité.
Solution. Notons, alors l'inégalité prendra la forme la plus simple : . Considérons un intervalle de longueur égale à la plus petite période positive (LPP) de la tangente. Sur ce segment, à l'aide de la ligne des tangentes, on établit cela. Rappelons maintenant ce qu'il faut ajouter depuis que la centrale nucléaire fonctionne. Donc, . En revenant à la variable, on obtient ça
Il est pratique de résoudre les inégalités avec des fonctions trigonométriques inverses à l'aide de graphiques de fonctions trigonométriques inverses. Montrons comment cela se fait avec un exemple.
Résoudre graphiquement les inégalités trigonométriques
Notez que si --- est une fonction périodique, alors pour résoudre l'inégalité il faut trouver sa solution sur un segment dont la longueur est égale à la période de la fonction. Toutes les solutions à l'inégalité d'origine seront constituées des valeurs trouvées, ainsi que de toutes celles qui diffèrent de celles trouvées par un nombre entier de périodes de la fonction
Considérons la solution à l'inégalité ().
Depuis lors, l’inégalité n’a pas de solution. Si, alors l’ensemble des solutions à l’inégalité est l’ensemble de tous les nombres réels.
Qu'il en soit ainsi. La fonction sinusoïdale a la plus petite période positive, donc l'inégalité peut être résolue d'abord sur un segment de longueur, par ex. Nous construisons des graphiques de fonctions et ().
Sur le segment, la fonction sinus augmente et l'équation où a une racine. Sur le segment, la fonction sinusoïdale diminue et l'équation a une racine. Sur un intervalle numérique, le graphique d'une fonction est situé au dessus du graphique de la fonction. Par conséquent, pour tout l’intervalle), l’inégalité est vraie si. En raison de la périodicité de la fonction sinus, toutes les solutions de l'inégalité sont données par des inégalités de la forme : .
Les inégalités sont des relations de la forme a › b, où a et b sont des expressions contenant au moins une variable. Les inégalités peuvent être strictes - ‹, › et non strictes - ≥, ≤.
Les inégalités trigonométriques sont des expressions de la forme : F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, dans laquelle F(x) est représenté par une ou plusieurs fonctions trigonométriques .
Un exemple de l'inégalité trigonométrique la plus simple est : sin x ‹ 1/2. Il est d'usage de résoudre ces problèmes graphiquement ; deux méthodes ont été développées à cet effet.
Méthode 1 - Résoudre les inégalités en traçant graphiquement une fonction
Pour trouver un intervalle qui satisfait aux conditions d'inégalité sin x ‹ 1/2, vous devez effectuer les étapes suivantes :
- Sur l'axe des coordonnées, construisez une sinusoïde y = sin x.
- Sur le même axe, tracez un graphique de l'argument numérique de l'inégalité, c'est-à-dire une droite passant par le point ½ de l'ordonnée OY.
- Marquez les points d'intersection des deux graphiques.
- Ombrez le segment qui est la solution de l’exemple.
Lorsque des signes stricts sont présents dans une expression, les points d’intersection ne sont pas des solutions. Puisque la plus petite période positive d’une sinusoïde est 2π, nous écrivons la réponse comme suit :
Si les signes de l'expression ne sont pas stricts, alors l'intervalle de solution doit être mis entre crochets - . La réponse au problème peut également s’écrire sous la forme de l’inégalité suivante : 
Méthode 2 - Résolution d'inégalités trigonométriques à l'aide du cercle unité
Des problèmes similaires peuvent être facilement résolus à l’aide d’un cercle trigonométrique. L'algorithme pour trouver des réponses est très simple :
- Vous devez d’abord dessiner un cercle unité.
- Ensuite, vous devez noter la valeur de la fonction arc de l'argument du côté droit de l'inégalité sur l'arc de cercle.
- Il faut tracer une droite passant par la valeur de la fonction arc parallèle à l'axe des abscisses (OX).
- Après cela, il ne reste plus qu'à sélectionner l'arc de cercle, qui est l'ensemble des solutions de l'inégalité trigonométrique.
- Notez la réponse dans le formulaire requis.
Analysons les étapes de la solution en utilisant l'exemple de l'inégalité sin x › 1/2. Les points α et β sont marqués sur le cercle - valeurs
Les points de l'arc situés au-dessus de α et β sont l'intervalle permettant de résoudre l'inégalité donnée.
Si vous devez résoudre un exemple pour cos, alors l'arc de réponse sera situé symétriquement par rapport à l'axe OX, et non OY. Vous pouvez considérer la différence entre les intervalles de solution pour sin et cos dans les diagrammes ci-dessous dans le texte.
Les solutions graphiques pour les inégalités tangentes et cotangentes différeront à la fois du sinus et du cosinus. Cela est dû aux propriétés des fonctions.
L'arctangente et l'arccotangente sont tangentes à un cercle trigonométrique et la période positive minimale pour les deux fonctions est π. Pour utiliser rapidement et correctement la deuxième méthode, vous devez vous rappeler sur quel axe sont tracées les valeurs de sin, cos, tg et ctg.
La tangente est parallèle à l'axe OY. Si nous traçons la valeur de arctan a sur le cercle unité, alors le deuxième point requis sera situé dans le quart diagonal. Angles
Ce sont des points d'arrêt pour la fonction, puisque le graphique tend vers eux, mais ne les atteint jamais.
Dans le cas d'une cotangente, la tangente est parallèle à l'axe OX et la fonction est interrompue aux points π et 2π.
Inégalités trigonométriques complexes
Si l'argument de la fonction d'inégalité est représenté non seulement par une variable, mais par une expression entière contenant une inconnue, alors nous parlons d'une inégalité complexe. Le processus et la procédure pour le résoudre sont quelque peu différents des méthodes décrites ci-dessus. Supposons que nous devions trouver une solution à l’inégalité suivante :
La solution graphique consiste à construire une sinusoïde ordinaire y = sin x en utilisant des valeurs de x arbitrairement sélectionnées. Calculons un tableau avec les coordonnées des points de contrôle du graphique :
Le résultat devrait être une belle courbe.
Pour faciliter la recherche d'une solution, remplaçons l'argument de la fonction complexe
