Polyèdres circonscrits à une sphère Un polyèdre est dit circonscrit à une sphère si les plans de toutes ses faces touchent la sphère. On dit que la sphère elle-même est inscrite dans le polyèdre. Théorème. Une sphère peut s'inscrire dans un prisme si et seulement si un cercle peut être inscrit à sa base, et que la hauteur du prisme est égale au diamètre de ce cercle. Théorème. Vous pouvez insérer une sphère dans n’importe quelle pyramide triangulaire, et dans une seule.
Exercice 1 Effacez le carré et dessinez deux parallélogrammes représentant les faces supérieure et inférieure du cube. Connectez leurs sommets avec des segments. Obtenez l'image d'une sphère inscrite dans un cube. Dessinez une sphère inscrite dans un cube, comme sur la diapositive précédente. Pour cela, dessinez une ellipse inscrite dans un parallélogramme obtenu en comprimant 4 fois un cercle et un carré. Marquez les pôles de la sphère et les points tangents de l'ellipse et du parallélogramme.
Exercice 1 Une sphère est inscrite dans un prisme quadrangulaire droit, à la base duquel se trouve un losange de côté 1 et d'angle aigu de 60 degrés. Trouvez le rayon de la sphère et la hauteur du prisme. Solution. Le rayon de la sphère est égal à la moitié de la hauteur de la base du DG, soit La hauteur du prisme est égale au diamètre de la sphère, c'est-à-dire
Exercice 4 Une sphère est inscrite dans un prisme quadrangulaire droit, à la base duquel se trouve un quadrilatère, de périmètre 4 et d'aire 2. Trouver le rayon r de la sphère inscrite. Solution. Notez que le rayon de la sphère est égal au rayon du cercle inscrit à la base du prisme. Profitons du fait que le rayon d'un cercle inscrit dans un polygone est égal à l'aire de ce polygone divisée par son demi-périmètre. On a,
Exercice 3 Trouvez le rayon d'une sphère inscrite dans une pyramide triangulaire régulière, le côté de la base est 2 et les angles dièdres à la base sont 60°. Solution. Profitons du fait que le centre de la sphère inscrite est le point d'intersection des plans bissecteurs des angles dièdres à la base de la pyramide. Pour le rayon de la sphère OE l’égalité suivante est vraie : Par conséquent,
Exercice 4 Trouvez le rayon d'une sphère inscrite dans une pyramide triangulaire régulière dont les bords latéraux sont égaux à 1 et dont les angles plans au sommet sont égaux à 90°. Réponse : Solution. Dans le tétraèdre SABC on a : SD = DE = SE = De la similarité des triangles SOF et SDE on obtient en résolvant une équation que l'on trouve
Exercice 1 Trouver le rayon d'une sphère inscrite dans une pyramide quadrangulaire régulière dont toutes les arêtes sont égales à 1. Utilisons que pour le rayon r d'un cercle inscrit dans un triangle, la formule est vraie : r = S/ p, où S est l'aire, p est le demi-périmètre du triangle . Dans notre cas, S = p = Solution. Le rayon de la sphère est égal au rayon du cercle inscrit dans le triangle SEF, dans lequel SE = SF = EF=1, SG = Donc,
Exercice 2 Trouver le rayon d'une sphère inscrite dans une pyramide quadrangulaire régulière dont le côté de base est 1 et le bord latéral est 2. Utilisons le fait que pour le rayon r d'un cercle inscrit dans un triangle, la formule tient : r = S/p, où S – aire, p – demi-périmètre du triangle. Dans notre cas, S = p = Solution. Le rayon de la sphère est égal au rayon du cercle inscrit dans le triangle SEF, dans lequel SE = SF = EF=1, SG = Donc,
Exercice 3 Trouvez le rayon d'une sphère inscrite dans une pyramide quadrangulaire régulière, le côté de la base est 2 et les angles dièdres à la base sont 60°. Solution. Profitons du fait que le centre de la sphère inscrite est le point d'intersection des plans bissecteurs des angles dièdres à la base de la pyramide. Pour le rayon de la sphère OG, l'égalité suivante est vraie :
Exercice 4 La sphère unité est inscrite dans une pyramide quadrangulaire régulière, le côté de la base est 4. Trouvez la hauteur de la pyramide. Utilisons le fait que pour le rayon r d'un cercle inscrit dans un triangle, la formule est vraie : r = S/p, où S est l'aire, p est le demi-périmètre du triangle. Dans notre cas, S = 2h, p = Solution. Notons h la hauteur SG de la pyramide. Le rayon de la sphère est égal au rayon du cercle inscrit dans le triangle SEF, dans lequel SE = SF = EF=4. Par conséquent, nous avons une égalité à partir de laquelle nous trouvons
Exercice 1 Trouver le rayon d'une sphère inscrite dans une pyramide hexagonale régulière, dont les arêtes de base sont égales à 1, et les arêtes latérales sont égales à 2. Utilisons le fait que pour le rayon r d'un cercle inscrit dans un triangle, la formule est valable : r = S/p, où S – aire, p – demi-périmètre du triangle. Dans notre cas, S = p = Donc, Solution. Le rayon de la sphère est égal au rayon du cercle inscrit dans le triangle SPQ, dans lequel SP = SQ = PQ= SH =
Exercice 2 Trouver le rayon d'une sphère inscrite dans une pyramide hexagonale régulière dont les arêtes de la base sont égales à 1 et les angles dièdres à la base sont égaux à 60°. Solution. Profitons du fait que le centre de la sphère inscrite est le point d'intersection des plans bissecteurs des angles dièdres à la base de la pyramide. Pour le rayon de la sphère OH, l’égalité est vraie : Donc,
Exercice Trouver le rayon d'une sphère inscrite dans un octaèdre unité. Réponse : Solution. Le rayon de la sphère est égal au rayon du cercle inscrit dans le losange SESF, dans lequel SE = SF = EF=1, SO = Alors la hauteur du losange, abaissé du sommet E, sera égale à La hauteur requise le rayon est égal à la moitié de la hauteur et est égal à O
Exercice Trouver le rayon d'une sphère inscrite dans un icosaèdre unité. Solution. Utilisons le fait que le rayon OA de la sphère circonscrite est égal à et le rayon AQ du cercle circonscrit autour d'un triangle équilatéral de côté 1 est égal à. En utilisant le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle OAQ, nous obtenons l'exercice Find. le rayon de la sphère inscrit dans l'unité dodécaèdre. Solution. Profitons du fait que le rayon OF de la sphère circonscrite est égal à et le rayon FQ du cercle circonscrit à un pentagone équilatéral de côté 1 est égal à. Par le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle OFQ, on obtient.
Exercice 1 Est-il possible d'insérer une sphère dans un tétraèdre tronqué ? Solution. A noter que le centre O d'une sphère inscrite dans un tétraèdre tronqué doit coïncider avec le centre d'une sphère inscrite dans un tétraèdre, qui coïncide avec le centre d'une sphère à moitié inscrite dans un tétraèdre tronqué. Les distances d 1, d 2 du point O aux faces hexagonales et triangulaires sont calculées à l'aide du théorème de Pythagore : où R est le rayon d'une sphère à moitié inscrite, r 1, r 2 sont les rayons des cercles inscrits dans un hexagone et un triangle, respectivement. Puisque r 1 > r 2, alors d 1 r 2, puis d 1 
« Sphère de la politique » - Relations des acteurs sociaux face au pouvoir de l'État. Scientifique et théorique. Le processus d'interaction entre la politique et l'économie. En collaboration avec l'État. La régulation des relations sociales est conditionnée par les intérêts sociaux. Le processus d'interaction entre la politique et la morale. Le pouvoir de l’État, la persuasion, la stimulation.
« Géométrie du prisme » - Étant donné un prisme quadrangulaire droit ABCDA1B1C1D1. Euclide y voyait probablement une question de conseils pratiques en matière de géométrie. Un prisme droit est un prisme dont le bord latéral est perpendiculaire à la base. Prisme en géométrie. D'après la propriété de 2 volumes, V=V1+V2, soit V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Les triangles A1B1C1 et ABC sont donc égaux sur trois côtés.
« Volume d'un prisme » - Comment trouver le volume d'un prisme droit ? Le volume du prisme d'origine est égal au produit S · h. Étapes de base pour prouver le théorème du prisme direct ? Zone S de la base du prisme d'origine. Dessiner l'altitude du triangle ABC. Tâche. Prisme droit. Objectifs de la leçon. Le concept de prisme. Volume d'un prisme droit. La solution du problème. Le prisme peut être divisé en prismes triangulaires droits de hauteur h.
"Surface de la sphère" - Mars. Le ballon est-il un ballon ? Boule et sphère. Terre. Encyclopédie. Nous soutenons l'équipe de baseball de notre école. Vénus. Uranus. Y a-t-il une balle sur la photo ? Un peu d'histoire. Atmosphère. J'ai décidé de faire une petite recherche……. Saturne. Êtes-vous prêt à répondre aux questions ?
Le sujet « Différents problèmes sur les polyèdres, le cylindre, le cône et la boule » est l'un des plus difficiles du cours de géométrie de 11e année. Avant de résoudre des problèmes géométriques, ils étudient généralement les sections pertinentes de la théorie auxquelles ils font référence lors de la résolution de problèmes. Dans le manuel de S. Atanasyan et d'autres sur ce sujet (p. 138), on ne trouve que les définitions d'un polyèdre décrit autour d'une sphère, d'un polyèdre inscrit dans une sphère, d'une sphère inscrite dans un polyèdre et d'une sphère décrite autour d'un polyèdre. Les recommandations méthodologiques de ce manuel (voir le livre « Étudier la géométrie dans les classes 10-11 » de S.M. Sahakyan et V.F. Butuzov, p. 159) indiquent quelles combinaisons de corps sont prises en compte lors de la résolution des problèmes n° 629-646, et l'attention est attirée au fait que «lors de la résolution d'un problème particulier, il faut tout d'abord s'assurer que les étudiants ont une bonne compréhension des positions relatives des corps indiquées dans la condition». Voici la solution aux problèmes n° 638(a) et n° 640.
Compte tenu de tout ce qui précède et du fait que les problèmes les plus difficiles pour les étudiants sont la combinaison d'un ballon avec d'autres corps, il est nécessaire de systématiser les principes théoriques pertinents et de les communiquer aux étudiants.
Définitions.
1. Une boule est dite inscrite dans un polyèdre, et un polyèdre est dit circonscrit à la boule si la surface de la boule touche toutes les faces du polyèdre.
2. Une boule est dite circonscrite à un polyèdre, et un polyèdre inscrit dans une boule, si la surface de la boule passe par tous les sommets du polyèdre.
3. Une balle est dite inscrite dans un cylindre, tronc de cône (cône), et un cylindre, tronc de cône (cône) est dit inscrit autour de la balle si la surface de la balle touche les buts (base) et tout les génératrices du cylindre, tronc de cône (cône).
(De cette définition il résulte que le grand cercle d'une boule peut s'inscrire dans n'importe quelle section axiale de ces corps).
4. Une balle est dite circonscrite à un cylindre, un cône tronqué (cône), si les cercles des bases (cercle de base et sommet) appartiennent à la surface de la balle.
(De cette définition, il s'ensuit qu'autour de toute section axiale de ces corps, le cercle d'un cercle plus grand de la balle peut être décrit).
Notes générales sur la position du centre du ballon.
1. Le centre d'une boule inscrite dans un polyèdre se situe au point d'intersection des plans bissecteurs de tous les angles dièdres du polyèdre. Il est situé uniquement à l'intérieur du polyèdre.
2. Le centre d'une boule circonscrite à un polyèdre se trouve au point d'intersection de plans perpendiculaires à toutes les arêtes du polyèdre et passant par leurs milieux. Il peut être situé à l’intérieur, en surface ou à l’extérieur du polyèdre.
Combinaison d'une sphère et d'un prisme.
1. Une boule inscrite dans un prisme droit.
Théorème 1. Une sphère peut s'inscrire dans un prisme droit si et seulement si un cercle peut être inscrit à la base du prisme, et que la hauteur du prisme est égale au diamètre de ce cercle.
Corollaire 1. Le centre d'une sphère inscrite dans un prisme droit se situe au milieu de la hauteur du prisme passant par le centre du cercle inscrit dans la base.
Corollaire 2. Une boule, en particulier, peut s'inscrire dans des lignes droites : triangulaires, régulières, quadrangulaires (dans lesquelles les sommes des côtés opposés de la base sont égales entre elles) sous la condition H = 2r, où H est la hauteur de la prisme, r est le rayon du cercle inscrit dans la base.
2. Une sphère circonscrite à un prisme.
Théorème 2. Une sphère peut être décrite autour d'un prisme si et seulement si le prisme est droit et un cercle peut être décrit autour de sa base.
Corollaire 1. Le centre d’une sphère circonscrite à un prisme droit se trouve au milieu de la hauteur du prisme passant par le centre d’un cercle circonscrit à la base.
Corollaire 2. Une boule, en particulier, peut être décrite : près d'un prisme triangulaire droit, près d'un prisme régulier, près d'un parallélépipède rectangle, près d'un prisme quadrangulaire droit, dans lequel la somme des angles opposés de la base est égale à 180 degrés.
À partir du manuel de L.S. Atanasyan, les problèmes n° 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) peuvent être suggérés pour la combinaison d'une boule et d'un prisme.
Combinaison d'une boule avec une pyramide.
1. Une boule décrite près d'une pyramide.
Théorème 3. Une boule peut être décrite autour d’une pyramide si et seulement si un cercle peut être décrit autour de sa base.
Corollaire 1. Le centre d'une sphère circonscrite à une pyramide se trouve au point d'intersection d'une droite perpendiculaire à la base de la pyramide passant par le centre d'un cercle circonscrit à cette base et d'un plan perpendiculaire à toute arête latérale passant par le milieu de ce bord.
Corollaire 2. Si les bords latéraux de la pyramide sont égaux les uns aux autres (ou également inclinés par rapport au plan de la base), alors une boule peut être décrite autour d'une telle pyramide. Le centre de cette boule se trouve dans ce cas au point d'intersection de. la hauteur de la pyramide (ou de son prolongement) avec l'axe de symétrie du bord latéral se trouvant dans le plan du bord latéral et de la hauteur.
Corollaire 3. Une boule, en particulier, peut être décrite : près d'une pyramide triangulaire, près d'une pyramide régulière, près d'une pyramide quadrangulaire dans laquelle la somme des angles opposés est de 180 degrés.
2. Une boule inscrite dans une pyramide.
Théorème 4. Si les faces latérales de la pyramide sont également inclinées par rapport à la base, alors une boule peut être inscrite dans une telle pyramide.
Corollaire 1. Le centre d'une boule inscrite dans une pyramide dont les faces latérales sont également inclinées par rapport à la base se trouve au point d'intersection de la hauteur de la pyramide avec la bissectrice de l'angle linéaire de tout angle dièdre à la base de la pyramide, le côté dont est la hauteur de la face latérale tirée du sommet de la pyramide.
Corollaire 2. Vous pouvez insérer une balle dans une pyramide régulière.
D'après le manuel de L.S. Atanasyan, les problèmes n° 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 peuvent être suggérés pour la combinaison d'une boule avec une pyramide.
Combinaison d'une boule avec une pyramide tronquée.
1. Une boule circonscrite à une pyramide tronquée régulière.
Théorème 5. Une sphère peut être décrite autour de n’importe quelle pyramide tronquée régulière. (Cette condition est suffisante, mais pas nécessaire)
2. Une boule inscrite dans une pyramide tronquée régulière.
Théorème 6. Une boule peut s'inscrire dans une pyramide tronquée régulière si et seulement si l'apothème de la pyramide est égal à la somme des apothèmes des bases.
Il n’y a qu’un seul problème pour la combinaison d’une boule avec une pyramide tronquée dans le manuel de L.S. Atanasyan (n° 636).
Combinaison de ballon avec des corps ronds.
Théorème 7. Une sphère peut être décrite autour d'un cylindre, d'un cône tronqué (circulaire droit) ou d'un cône.
Théorème 8. Une balle peut s'inscrire dans un cylindre (circulaire droit) si et seulement si le cylindre est équilatéral.
Théorème 9. Vous pouvez insérer une balle dans n'importe quel cône (circulaire droit).
Théorème 10. Une boule peut s'inscrire dans un cône tronqué (circulaire droit) si et seulement si sa génératrice est égale à la somme des rayons des bases.
À partir du manuel de L.S. Atanasyan, les problèmes n° 642, 643, 644, 645, 646 peuvent être suggérés pour la combinaison d'une balle avec des corps ronds.
Pour mieux étudier la matière sur ce sujet, il est nécessaire d'inclure des tâches orales dans les cours :
1. L’arête du cube est égale à a. Trouver les rayons des boules : inscrits dans le cube et circonscrits autour de lui. (r = a/2, R = a3).
2. Est-il possible de décrire une sphère (boule) autour : a) d'un cube ; b) parallélépipède rectangle ; c) un parallélépipède incliné avec un rectangle à sa base ; d) parallélépipède droit ; e) un parallélépipède incliné ? (a) oui; b) oui ; c) non ; d) non ; d) non)
3. Est-il vrai qu’une sphère peut être décrite autour de n’importe quelle pyramide triangulaire ? (Oui)
4. Est-il possible de décrire une sphère autour d’une pyramide quadrangulaire ? (Non, pas à proximité d'une pyramide quadrangulaire)
5. Quelles propriétés une pyramide doit-elle avoir pour décrire une sphère autour d'elle ? (A sa base il devrait y avoir un polygone autour duquel un cercle peut être décrit)
6. Une pyramide est inscrite dans une sphère dont le bord latéral est perpendiculaire à la base. Comment trouver le centre d'une sphère ? (Le centre de la sphère est le point d'intersection de deux lieux géométriques de points dans l'espace. Le premier est une perpendiculaire tracée au plan de la base de la pyramide, passant par le centre d'un cercle circonscrit autour d'elle. Le second est un plan perpendiculaire à un bord latéral donné et tracé par son milieu)
7. Dans quelles conditions peut-on décrire une sphère autour d'un prisme, à la base de laquelle se trouve un trapèze ? (Premièrement, le prisme doit être droit, et deuxièmement, le trapèze doit être isocèle pour qu'un cercle puisse être décrit autour de lui)
8. Quelles conditions un prisme doit-il remplir pour qu'une sphère soit décrite autour de lui ? (Le prisme doit être droit, et sa base doit être un polygone autour duquel un cercle peut être décrit)
9. Une sphère est décrite autour d’un prisme triangulaire dont le centre se trouve à l’extérieur du prisme. Quel triangle est la base du prisme ? (Triangle obtus)
10. Est-il possible de décrire une sphère autour d'un prisme incliné ? (Non tu ne peux pas)
11. A quelle condition le centre d'une sphère circonscrite à un prisme triangulaire rectangle sera-t-il situé sur l'une des faces latérales du prisme ? (La base est un triangle rectangle)
12. La base de la pyramide est un trapèze isocèle. La projection orthogonale du sommet de la pyramide sur le plan de la base est un point situé à l'extérieur du trapèze. Est-il possible de décrire une sphère autour d’un tel trapèze ? (Oui, vous pouvez. Le fait que la projection orthogonale du sommet de la pyramide soit située à l'extérieur de sa base n'a pas d'importance. Il est important qu'à la base de la pyramide se trouve un trapèze isocèle - un polygone autour duquel un cercle peut être décrit)
13. Une sphère est décrite à proximité d’une pyramide régulière. Comment se situe son centre par rapport aux éléments de la pyramide ? (Le centre de la sphère est sur une perpendiculaire tracée au plan de la base passant par son centre)
14. Dans quelle condition se trouve le centre d'une sphère décrite autour d'un prisme triangulaire droit : a) à l'intérieur du prisme ; b) en dehors du prisme ? (A la base du prisme : a) un triangle aigu ; b) triangle obtus)
15. Une sphère est décrite autour d'un parallélépipède rectangle dont les bords mesurent 1 dm, 2 dm et 2 dm. Calculez le rayon de la sphère. (1,5 dm)
16. Dans quel cône tronqué une sphère peut-elle s'insérer ? (Dans un cône tronqué, dans la section axiale duquel peut s'inscrire un cercle. La section axiale du cône est un trapèze isocèle, la somme de ses bases doit être égale à la somme de ses côtés latéraux. En d'autres termes, la la somme des rayons des bases du cône doit être égale à la génératrice)
17. Une sphère s’inscrit dans un cône tronqué. Sous quel angle la génératrice du cône est-elle visible depuis le centre de la sphère ? (90 degrés)
18. Quelle propriété doit avoir un prisme droit pour y insérer une sphère ? (Premièrement, à la base d'un prisme droit, il doit y avoir un polygone dans lequel un cercle peut s'inscrire, et, deuxièmement, la hauteur du prisme doit être égale au diamètre du cercle inscrit à la base)
19. Donnez un exemple d'une pyramide qui ne peut pas s'adapter à une sphère ? (Par exemple, une pyramide quadrangulaire avec un rectangle ou un parallélogramme à sa base)
20. À la base d’un prisme droit se trouve un losange. Est-il possible d'insérer une sphère dans ce prisme ? (Non, c’est impossible, puisqu’en général il est impossible de décrire un cercle autour d’un losange)
21. À quelle condition une sphère peut-elle s’inscrire dans un prisme triangulaire droit ? (Si la hauteur du prisme est le double du rayon du cercle inscrit dans la base)
22. A quelle condition une sphère peut-elle s'inscrire dans une pyramide tronquée quadrangulaire régulière ? (Si la section transversale d'une pyramide donnée est un plan passant par le milieu du côté de la base qui lui est perpendiculaire, c'est un trapèze isocèle dans lequel peut s'inscrire un cercle)
23. Une sphère est inscrite dans une pyramide tronquée triangulaire. Quel point de la pyramide est le centre de la sphère ? (Le centre de la sphère inscrite dans cette pyramide est à l'intersection de trois plans bisectraux d'angles formés par les faces latérales de la pyramide avec la base)
24. Est-il possible de décrire une sphère autour d'un cylindre (circulaire à droite) ? (Oui, vous pouvez)
25. Est-il possible de décrire une sphère autour d'un cône, un cône tronqué (circulaire droit) ? (Oui, vous pouvez, dans les deux cas)
26. Est-il possible d'insérer une sphère dans n'importe quel cylindre ? Quelles propriétés doit avoir un cylindre pour y insérer une sphère ? (Non, pas à chaque fois : la section axiale du cylindre doit être carrée)
27. Une sphère peut-elle s'inscrire dans n'importe quel cône ? Comment déterminer la position du centre d’une sphère inscrite dans un cône ? (Oui, absolument. Le centre de la sphère inscrite est à l'intersection de l'altitude du cône et de la bissectrice de l'angle d'inclinaison de la génératrice par rapport au plan de la base)
L'auteur estime que sur les trois leçons de planification sur le thème « Différents problèmes sur les polyèdres, le cylindre, le cône et la boule », il convient de consacrer deux leçons à la résolution de problèmes de combinaison d'une boule avec d'autres corps. Il n'est pas recommandé de prouver les théorèmes donnés ci-dessus en raison du manque de temps en classe. Vous pouvez inviter les étudiants qui possèdent des compétences suffisantes pour cela à les prouver en indiquant (au choix de l’enseignant) le déroulement ou le plan de la preuve.
