Maintenant, nous allons le découvrir nombres positifs et négatifs. Tout d’abord, nous donnerons des définitions, introduirons la notation, puis donnerons des exemples de nombres positifs et négatifs. Nous nous attarderons également sur la charge sémantique que portent les nombres positifs et négatifs.
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Nombres positifs et négatifs - Définitions et exemples
Donner identifier les nombres positifs et négatifs va nous aider. Pour plus de commodité, nous supposerons qu'il est situé horizontalement et dirigé de gauche à droite.
Définition.
Les nombres qui correspondent aux points de la ligne de coordonnées située à droite de l'origine sont appelés positif.
Définition.
Les nombres qui correspondent aux points de la ligne de coordonnées située à gauche de l'origine sont appelés négatif.
Le nombre zéro, qui correspond à l'origine, n'est ni un nombre positif ni un nombre négatif.
De la définition des nombres négatifs et positifs, il s'ensuit que l'ensemble de tous les nombres négatifs est l'ensemble des nombres opposés à tous les nombres positifs (si nécessaire, voir l'article nombres opposés). Par conséquent, les nombres négatifs sont toujours écrits avec le signe moins.
Maintenant, connaissant les définitions des nombres positifs et négatifs, nous pouvons facilement donner exemples de nombres positifs et négatifs. Des exemples de nombres positifs sont les nombres naturels 5, 792 et 101 330, et en effet tout nombre naturel est positif. Des exemples de nombres rationnels positifs sont les nombres , 4.67 et 0,(12)=0.121212... , et les nombres négatifs sont les nombres , −11 , −51.51 et −3,(3) . Des exemples de nombres irrationnels positifs incluent le nombre pi, le nombre e et la fraction décimale non périodique infinie 809.030030003..., et des exemples de nombres irrationnels négatifs incluent les nombres moins pi, moins e et le nombre égal à. Il convient de noter que dans le dernier exemple, il n’est pas du tout évident que la valeur de l’expression soit un nombre négatif. Pour en être sûr, vous devez obtenir la valeur de cette expression sous forme de fraction décimale, et nous vous expliquerons comment procéder dans l'article comparaison de nombres réels.
Parfois, les nombres positifs sont précédés d’un signe plus, tout comme les nombres négatifs sont précédés d’un signe moins. Dans ces cas-là, il faut savoir que +5=5, 
etc. C'est-à-dire +5 et 5, etc. - c'est le même numéro, mais désigné différemment. De plus, vous pouvez trouver la définition des nombres positifs et négatifs basée sur le signe plus ou moins.
Définition.
Les nombres avec un signe plus sont appelés positif, et avec un signe moins – négatif.
Il existe une autre définition des nombres positifs et négatifs basée sur la comparaison des nombres. Pour donner cette définition, il suffit de rappeler que le point de la droite correspondant au plus grand nombre se trouve à droite du point correspondant au plus petit nombre.
Définition.
Chiffres positifs sont des nombres supérieurs à zéro, et nombres négatifs sont des nombres inférieurs à zéro.
Ainsi, zéro sépare en quelque sorte les nombres positifs des nombres négatifs.
Bien entendu, il faut aussi s'attarder sur les règles de lecture des nombres positifs et négatifs. Si un nombre est écrit avec un signe + ou −, prononcez alors le nom du signe, après quoi le nombre est prononcé. Par exemple, +8 se lit comme plus huit et - comme moins un virgule deux cinquièmes. Les noms des signes + et − ne se déclinent pas par casse. Un exemple de prononciation correcte est la phrase « a est égal à moins trois » (et non moins trois).
Interprétation des nombres positifs et négatifs
Nous décrivons depuis un certain temps des nombres positifs et négatifs. Cependant, il serait bien de savoir quelle signification ils portent ? Examinons cette question.
Les nombres positifs peuvent être interprétés comme une arrivée, comme une augmentation, comme une augmentation d'une certaine valeur, etc. Les nombres négatifs, à leur tour, signifient exactement le contraire : dépense, déficit, dette, réduction d’une certaine valeur, etc. Comprenons cela avec des exemples.
On peut dire que nous avons 3 éléments. Ici, le chiffre positif 3 indique le nombre d’articles dont nous disposons. Comment interpréter le nombre négatif −3 ? Par exemple, le chiffre −3 pourrait signifier que nous devons offrir à quelqu'un 3 articles que nous n'avons même pas en stock. De même, on peut dire qu'à la caisse on nous a donné 3,45 mille roubles. C'est-à-dire que le nombre 3,45 est associé à notre arrivée. À son tour, un nombre négatif -3,45 indiquera une diminution de l'argent dans la caisse enregistreuse qui nous a émis cet argent. Autrement dit, −3,45 est la dépense. Autre exemple : une augmentation de température de 17,3 degrés peut être décrite comme un nombre positif de +17,3, et une diminution de température de 2,4 peut être décrite en utilisant un nombre négatif, comme un changement de température de -2,4 degrés.
Les nombres positifs et négatifs sont souvent utilisés pour décrire les valeurs de certaines quantités dans divers instruments de mesure. L'exemple le plus accessible est un appareil de mesure des températures - un thermomètre - avec une échelle sur laquelle sont écrits des nombres positifs et négatifs. Souvent, les nombres négatifs sont représentés en bleu (cela symbolise la neige, la glace et à des températures inférieures à zéro degré Celsius, l'eau commence à geler), et les nombres positifs sont écrits en rouge (la couleur du feu, du soleil ; à des températures supérieures à zéro degré , la glace commence à fondre). L'écriture de nombres positifs et négatifs en rouge et bleu est également utilisée dans d'autres cas lorsqu'il faut mettre en évidence le signe des nombres.
Références.
- Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.
Disons que Denis a beaucoup de bonbons - une grosse boîte. Denis a d'abord mangé 3 bonbons. Puis papa a donné 5 bonbons à Denis. Ensuite, Denis a donné à Matvey 9 bonbons. Finalement, maman a offert 6 bonbons à Denis. Question : Denis s'est-il retrouvé avec plus ou moins de bonbons qu'il n'en avait au début ? Si plus, combien de plus ? Si moins, combien moins ?
Afin de ne pas se tromper avec cette tâche, il est pratique d'utiliser une astuce. Écrivons tous les nombres d'affilée à partir de la condition. Dans le même temps, nous mettrons un signe « + » devant les chiffres qui indiquent combien de bonbons Denis a gagné en plus, et un signe « - » devant les chiffres qui indiquent combien de bonbons Denis a diminué. Ensuite, l’ensemble de la condition sera écrit très brièvement :
− 3 + 5 − 9 + 6.
Cette entrée peut se lire par exemple ainsi : « D'abord Denis a reçu moins trois bonbons. Puis plus cinq bonbons. Puis moins neuf bonbons. Et enfin, plus six bonbons. Le mot « moins » change le sens de l’expression exactement à l’opposé. Quand je dis : « Denis a reçu moins trois bonbons », cela veut en fait dire que Denis a perdu trois bonbons. Le mot « plus », au contraire, confirme le sens de la phrase. « Denis a reçu plus cinq bonbons » signifie la même chose que simplement « Denis a reçu cinq bonbons ».
Ainsi, Denis a d'abord reçu moins trois bonbons. Cela signifie que Denis a désormais moins trois bonbons de plus qu'au début. Par souci de concision, on peut dire : Denis a moins trois bonbons.
Puis Denis a reçu plus cinq bonbons. Il est facile de comprendre que Denis a désormais deux bonbons supplémentaires. Moyens,
− 3 + 5 = + 2.
Puis Denis a reçu moins neuf bonbons. Et voici combien de bonbons il avait :
− 3 + 5 − 9 = + 2 − 9 = − 7.
Finalement, Denis a obtenu +6 bonbons supplémentaires. Et le nombre total de bonbons est devenu :
− 3 + 5 − 9 + 6 = + 2 − 9 + 6 = − 7 + 6 = − 1.
En langage courant, cela signifie qu'à la fin, Denis s'est retrouvé avec un bonbon de moins qu'au début. Le problème est résolu.
L’astuce des signes « + » ou « - » est très largement utilisée. Les nombres avec un signe « + » sont appelés positif. Les nombres avec un signe « - » sont appelés négatif. Le nombre 0 (zéro) n’est ni positif ni négatif, car +0 n’est pas différent de −0. Nous avons donc affaire à des nombres de la série
..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...
Ces numéros sont appelés entiers. Et ces nombres qui n'ont aucun signe et dont nous avons traité jusqu'à présent sont appelés nombres naturels(seul zéro ne s'applique pas aux nombres naturels).
Les nombres entiers peuvent être considérés comme des barreaux sur une échelle. Le numéro zéro est le palier, qui est au niveau de la rue. De là, vous pouvez monter, étape par étape, vers les étages supérieurs ou descendre au sous-sol. Tant que nous n’avons pas besoin d’aller au sous-sol, seuls les nombres naturels et zéro nous suffisent. Les nombres naturels sont essentiellement les mêmes que les entiers positifs.
À proprement parler, un nombre entier n’est pas un numéro de marche, mais une commande pour monter les escaliers. Par exemple, le chiffre +3 signifie que vous devez monter trois marches, et le chiffre −5 signifie que vous devez descendre cinq marches. Une commande est simplement considérée comme le numéro d'un pas, qui nous amène à un pas donné si nous commençons à partir du niveau zéro.
Les calculs avec des nombres entiers sont faciles à effectuer en sautant mentalement des marches vers le haut ou vers le bas - à moins, bien sûr, que vous deviez faire de très grands sauts. Mais que faire quand il faut sauter une centaine de marches ou plus ? Après tout, nous ne dessinerons pas un si long escalier !
Mais pourquoi pas ? Nous pouvons dessiner un long escalier à une telle distance que les différentes marches ne sont plus visibles. Ensuite, notre escalier se transformera simplement en une seule ligne droite. Et pour faciliter son placement sur la page, dessinons-le sans l'incliner et marquons séparément la position de l'étape 0.
Apprenons d'abord à sauter le long d'une telle ligne droite en utilisant l'exemple d'expressions dont nous savons depuis longtemps les valeurs. Qu'il soit nécessaire de trouver
À proprement parler, puisqu’il s’agit d’entiers, il faudrait écrire
Mais un nombre positif au début d’une ligne n’a généralement pas de signe « + ». Sauter les escaliers ressemble à ceci :
Au lieu de deux grands sauts tracés au-dessus de la ligne (+42 et +53), vous pouvez faire un saut tracé en dessous de la ligne, et la longueur de ce saut, bien entendu, est égale à
En langage mathématique, ces types de dessins sont généralement appelés diagrammes. Voici à quoi ressemble le diagramme de notre exemple de soustraction habituel :
Nous avons d’abord fait un grand saut vers la droite, puis un petit saut vers la gauche. Du coup, nous sommes restés à droite de zéro. Mais une autre situation est également possible, comme par exemple dans le cas de l'expression
Cette fois, le saut vers la droite s'est avéré plus court que le saut vers la gauche : nous avons survolé zéro et nous sommes retrouvés dans le « sous-sol » - où se trouvent les marches avec des nombres négatifs. Regardons de plus près notre saut vers la gauche. Au total, nous avons gravi 95 marches. Après avoir gravi 53 marches, nous avons atteint la marque 0. La question est : combien de marches avons-nous gravies après cela ? Eh bien, bien sûr
Ainsi, une fois arrivés à l’étape 0, nous avons descendu encore 42 marches, ce qui signifie que nous sommes finalement arrivés à l’étape numéro −42. Donc,
53 − 95 = −(95 − 53) = −42.
De même, en dessinant des schémas, il est facile d'établir que
−42 − 53 = −(42 + 53) = −95;
−95 + 53 = −(95 − 53) = −42;
et enfin
−53 + 95 = 95 − 53 = 42.
Ainsi, nous avons appris à parcourir librement toute l’échelle des nombres entiers.
Considérons maintenant ce problème. Denis et Matvey échangent des emballages de bonbons. Au début, Denis a donné à Matvey 3 emballages de bonbons, puis lui a pris 5 emballages de bonbons. Combien d’emballages de bonbons Matvey a-t-il finalement reçu ?
Mais puisque Denis a reçu 2 emballages de bonbons, alors Matvey a reçu -2 emballages de bonbons. Nous avons ajouté un moins au profit de Denis et avons obtenu le profit de Matvey. Notre solution peut s'écrire sous la forme d'une expression unique
−(−3 + 5) = −2.
Tout est simple ici. Mais modifions légèrement l'énoncé du problème. Laissez Denis donner d'abord à Matvey 5 emballages de bonbons, puis lui prendre 3 emballages de bonbons. La question est, encore une fois, combien d’emballages de bonbons Matvey a-t-il finalement reçu ?
Encore une fois, calculons d’abord le « profit » de Denis :
−5 + 3 = −2.
Cela signifie que Matvey a reçu 2 emballages de bonbons. Mais comment pouvons-nous maintenant écrire notre décision sous la forme d’une expression unique ? Qu’ajouteriez-vous au nombre négatif −2 pour obtenir le nombre positif 2 ? Il s'avère que cette fois, nous devons attribuer un signe moins. Les mathématiciens aiment beaucoup l'uniformité. Ils s’efforcent de garantir que les solutions à des problèmes similaires soient rédigées sous la forme d’expressions similaires. Dans ce cas, la solution ressemble à ceci :
−(−5 + 3) = −(−2) = +2.
C'est ainsi que les mathématiciens étaient d'accord : si vous ajoutez un moins à un nombre positif, alors il se transforme en un nombre négatif, et si vous ajoutez un moins à un nombre négatif, alors il se transforme en un nombre positif. C'est très logique. Après tout, descendre moins deux marches équivaut à monter plus deux marches. Donc,
−(+2) = −2;
−(−2) = +2.
Pour compléter le tableau, notons également que
+(+2) = +2;
+(−2) = −2.
Cela nous donne l’occasion de jeter un nouveau regard sur des choses qui nous sont familières depuis longtemps. Que l'expression soit donnée
La signification de cette entrée peut être imaginée de différentes manières. Vous pouvez, à l'ancienne, supposer que le nombre positif +3 est soustrait du nombre positif +5 :
Dans ce cas, +5 est appelé réductible, +3 - déductible, et l'expression entière est différence. C'est exactement ce qu'ils enseignent à l'école. Cependant, les mots « réduit » et « soustrait » ne sont utilisés nulle part sauf à l'école et peuvent être oubliés après l'examen final. A propos de cette même notation on peut dire que le nombre négatif −3 s'ajoute au nombre positif +5 :
Les nombres +5 et −3 sont appelés termes, et l'expression entière est montant. Il n’y a que deux termes dans cette somme, mais, en général, la somme peut comprendre autant de termes qu’on le souhaite. De même, l'expression
peut, à droit égal, être considéré comme la somme de deux nombres positifs :
et comme la différence entre les nombres positifs et négatifs :
(+5) − (−3).
Une fois que nous nous sommes familiarisés avec les nombres entiers, nous devons absolument clarifier les règles d'ouverture des parenthèses. S'il y a un signe « + » devant les parenthèses, alors ces parenthèses peuvent simplement être effacées et tous les chiffres qu'ils contiennent conservent leurs signes, par exemple :
+(+2) = +2;
+(−2) = −2;
+(−3 + 5) = −3 + 5;
+(−3 − 5) = −3 − 5;
+(5 − 3) = 5 − 3
et ainsi de suite.
S'il y a un signe « - » devant les parenthèses, alors lors de l'effacement de la parenthèse, il faut également changer les signes de tous les chiffres qu'elle contient :
−(+2) = −2;
−(−2) = +2;
−(−3 + 5) = +3 − 5 = 3 − 5;
−(−3 − 5) = +3 + 5 = 3 + 5;
−(5 − 3) = −(+5 − 3) = −5 + 3;
et ainsi de suite.
En même temps, il est utile de garder à l'esprit le problème de l'échange d'emballages de bonbons entre Denis et Matvey. Par exemple, la dernière ligne peut être obtenue ainsi. Nous pensons que Denis a d'abord pris 5 emballages de bonbons à Matvey, puis -3 autres. Au total, Denis a reçu 5 − 3 emballages de bonbons, et Matvey a reçu le même nombre, mais avec le signe opposé, soit −(5 − 3) emballages de bonbons. Mais ce même problème peut être résolu d'une autre manière, en gardant à l'esprit qu'à chaque fois que Denis reçoit, Matvey donne. Cela signifie qu'au début Matvey a reçu -5 emballages de bonbons, puis un autre +3, ce qui donne finalement -5 + 3.
Comme les nombres naturels, les nombres entiers peuvent être comparés entre eux. Posons-nous par exemple la question : quel nombre est le plus grand : −3 ou −1 ? Regardons l'échelle avec des nombres entiers, et il devient immédiatement clair que −1 est supérieur à −3, et donc −3 est inférieur à −1 :
−1 > −3;
−3 < −1.
Maintenant, clarifions : combien vaut −1 de plus que −3 ? En d’autres termes, combien de marches faut-il gravir pour passer de la marche −3 à la marche −1 ? La réponse à cette question peut s’écrire comme la différence entre les nombres −1 et −3 :
− 1 − (−3) = −1 + 3 = 3 − 1 = 2.
En sautant les étapes, il est facile de vérifier qu'il en est bien ainsi. Voici une autre question intéressante : à quel point le chiffre 3 est-il plus grand que le chiffre 5 ? Ou, ce qui revient au même : combien de marches faut-il monter pour passer de la marche 5 à la marche 3 ? Jusqu’à récemment, cette question nous aurait intrigués. Mais maintenant, nous pouvons facilement écrire la réponse :
3 − 5 = − 2.
En effet, si nous sommes à l’étape 5 et que nous montons encore −2 marches, nous aboutirons exactement à l’étape 3.
Tâches
2.3.1. Quelle est la signification des phrases suivantes ?
Denis a donné à papa moins trois bonbons.
Matvey a moins deux ans de plus que Denis.
Pour accéder à notre appartement, vous devez descendre moins deux étages.
2.3.2. De telles expressions ont-elles un sens ?
Denis a moins trois bonbons.
Moins deux vaches paissent dans le pré.
Commentaire. Ce problème n'a pas de solution unique. Bien entendu, ce ne serait pas une erreur de dire que ces déclarations n’ont aucun sens. Et en même temps, on peut leur donner une signification très claire. Disons que Denis a une grande boîte remplie à ras bord de bonbons, mais que le contenu de cette boîte ne compte pas. Ou disons que deux vaches du troupeau ne sont pas sorties paître dans le pré, mais sont restées pour une raison quelconque dans la grange. Il convient de garder à l’esprit que même les expressions les plus familières peuvent être ambiguës :
Denis a trois bonbons.
Cette affirmation n’exclut pas la possibilité que Denis ait caché une énorme boîte de bonbons ailleurs, mais ces bonbons restent simplement silencieux. De la même manière, quand je dis : « J'ai cinq roubles », je ne veux pas dire que c'est toute ma fortune.
2.3.3. La sauterelle monte les escaliers en partant de l'étage où se trouve l'appartement de Denis. Il a d’abord sauté 2 marches plus bas, puis 5 marches plus haut et enfin 7 marches plus bas. De combien de pas et dans quelle direction la sauterelle s’est-elle déplacée ?
2.3.4. Trouver le sens des expressions :
− 6 + 10;
− 28 + 76;
etc.
− 6 + 10 = 10 − 6 = 4.
2.3.5. Trouver le sens des expressions :
8 − 20;
34 − 98;
etc.
8 − 20 = − (20 − 8) = − 12.
2.3.6. Trouver le sens des expressions :
− 4 − 13;
− 48 − 53;
etc.
− 4 − 13 = − (4 + 13) = − 17.
2.3.7. Pour les expressions suivantes, recherchez les valeurs en effectuant des calculs dans l'ordre spécifié par les parenthèses. Ouvrez ensuite les parenthèses et assurez-vous que le sens des expressions reste le même. Inventez des problèmes concernant les bonbons qui peuvent être résolus de cette manière.
25 − (−10 + 4);
25 + (− 4 + 10);
etc.
25 − (− 10 + 4) = 25 − (−(10 − 4)) = 25 − (−6) = 25 + 6 = 31.
25 − (− 10 + 4) = 25 + 10 − 4 = 35 − 4 = 31.
« Denis avait 25 bonbons. Il a donné à papa moins dix bonbons et à Matvey quatre bonbons. Combien de bonbons avait-il ?
Nombres positifs et négatifs
Ligne de coordonnées
Allons tout droit. Marquons dessus le point 0 (zéro) et prenons ce point comme point de départ.
On indique par une flèche la direction du déplacement en ligne droite vers la droite de l'origine des coordonnées. Dans cette direction à partir du point 0, nous tracerons des nombres positifs.
C'est-à-dire que les nombres qui nous sont déjà connus, à l'exception de zéro, sont appelés positifs.
Parfois, les nombres positifs sont écrits avec le signe « + ». Par exemple, "+8".
Par souci de concision, le signe « + » devant un nombre positif est généralement omis et au lieu de « +8 », ils écrivent simplement 8.
Par conséquent, « +3 » et « 3 » sont le même nombre, mais désignés différemment.
Choisissons un segment dont nous prenons la longueur comme une et déplaçons-le plusieurs fois vers la droite à partir du point 0. A la fin du premier segment est écrit le chiffre 1, à la fin du second - le chiffre 2, etc. 
En plaçant le segment unitaire à gauche de l'origine, nous obtenons des nombres négatifs : -1 ; -2 ; etc.
Nombres négatifs utilisé pour désigner diverses quantités, telles que : la température (en dessous de zéro), le débit - c'est-à-dire le revenu négatif, la profondeur - la hauteur négative, et autres.
Comme le montre la figure, les nombres négatifs sont des nombres déjà connus, uniquement avec un signe moins : -8 ; -5h25, etc.
- Le nombre 0 n'est ni positif ni négatif.
L'axe des nombres est généralement positionné horizontalement ou verticalement.
Si la ligne de coordonnées est située verticalement, la direction vers le haut depuis l'origine est généralement considérée comme positive et la direction vers le bas depuis l'origine est négative.
La flèche indique le sens positif.
La ligne droite marquée :
. origine (point 0);
. segment d'unité ;
. la flèche indique le sens positif ;
appelé ligne de coordonnées
ou axe des nombres.
Nombres opposés sur une ligne de coordonnées
Marquons deux points A et B sur la ligne de coordonnées, qui sont situés respectivement à la même distance du point 0 à droite et à gauche.
Dans ce cas, les longueurs des segments OA et OB sont les mêmes.
Cela signifie que les coordonnées des points A et B ne diffèrent que par leur signe. 
On dit également que les points A et B sont symétriques par rapport à l'origine.
La coordonnée du point A est positive « +2 », la coordonnée du point B a un signe moins « -2 ».
A (+2), B (-2).
- Les nombres qui diffèrent uniquement par leur signe sont appelés nombres opposés. Les points correspondants de l'axe numérique (de coordonnées) sont symétriques par rapport à l'origine.
Chaque numéro n'a qu'un seul opposé. Seul le chiffre 0 n’a pas de contraire, mais on peut dire qu’il est le contraire de lui-même.
La notation « -a » signifie le nombre opposé de « a ». N'oubliez pas qu'une lettre peut cacher soit un nombre positif, soit un nombre négatif.
Exemple:
-3 est le nombre opposé à 3.
Nous l'écrivons sous forme d'expression :
-3 = -(+3)
Exemple:
-(-6) est le nombre opposé au nombre négatif -6. Donc -(-6) est un nombre positif 6.
Nous l'écrivons sous forme d'expression :
-(-6) = 6
Ajouter des nombres négatifs
L'addition de nombres positifs et négatifs peut être analysée à l'aide de la droite numérique.
Il est pratique d'effectuer l'addition de petits nombres modulo sur une ligne de coordonnées, en imaginant mentalement comment le point désignant le nombre se déplace le long de l'axe des nombres.
Prenons un nombre, par exemple 3. Notons-le sur l'axe des nombres par le point A.
Ajoutons le nombre positif 2 au nombre. Cela signifie que le point A doit être déplacé de deux segments unitaires dans le sens positif, c'est-à-dire vers la droite. En conséquence, nous obtenons le point B de coordonnée 5.
3 + (+ 2) = 5
Afin d'ajouter un nombre négatif (- 5) à un nombre positif, par exemple 3, le point A doit être déplacé de 5 unités de longueur dans le sens négatif, c'est-à-dire vers la gauche.
Dans ce cas, la coordonnée du point B est - 2.
Ainsi, l'ordre d'addition des nombres rationnels à l'aide de la droite numérique sera le suivant :
. marquer un point A sur la ligne de coordonnées avec une coordonnée égale au premier terme ;
. déplacez-le d'une distance égale au module du deuxième terme dans la direction qui correspond au signe devant le deuxième nombre (plus - se déplacer vers la droite, moins - vers la gauche) ;
. le point B obtenu sur l'axe aura une coordonnée qui sera égale à la somme de ces nombres.
Exemple.
- 2 + (- 6) =
En passant du point - 2 vers la gauche (puisqu'il y a un signe moins devant 6), on obtient - 8.
- 2 + (- 6) = - 8
Ajouter des nombres avec les mêmes signes
L'ajout de nombres rationnels peut être plus facile si vous utilisez le concept de module.
Il faut additionner les nombres qui ont les mêmes signes.
Pour ce faire, on écarte les signes des nombres et on prend les modules de ces nombres. Ajoutons les modules et mettons le signe devant la somme qui était commune à ces nombres.
Exemple. 
Un exemple d'ajout de nombres négatifs.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5
- Pour additionner des nombres du même signe, il faut additionner leurs modules et mettre devant la somme le signe qui était avant les termes.
Ajouter des nombres avec des signes différents
Si les nombres ont des signes différents, nous agissons un peu différemment que lorsque nous ajoutons des nombres avec les mêmes signes.
. Nous rejetons les signes devant les chiffres, c'est-à-dire que nous prenons leurs modules.
. Du plus grand module, nous soustrayons le plus petit.
. Avant la différence, nous mettons le signe qui était dans le numéro avec un module plus grand.
Un exemple d'ajout d'un nombre négatif et d'un nombre positif.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5
Un exemple d'ajout de nombres mixtes.
Pour ajouter des nombres de signes différents, vous avez besoin de :
. soustraire le plus petit module du plus grand module ;
. Avant la différence résultante, mettez le signe du nombre dont le module est le plus grand.
Soustraire des nombres négatifs
Comme vous le savez, la soustraction est l’opposé de l’addition.
Si a et b sont des nombres positifs, alors soustraire le nombre b du nombre a signifie trouver un nombre c qui, ajouté au nombre b, donne le nombre a.
a - b = c ou c + b = a
La définition de la soustraction est vraie pour tous les nombres rationnels. C'est soustraire des nombres positifs et négatifs peut être remplacé par un ajout.
- Pour en soustraire un autre à un nombre, vous devez ajouter le nombre opposé à celui à soustraire.
Ou, d'une autre manière, nous pouvons dire que soustraire le nombre b est la même chose que l'addition, mais avec le nombre opposé à b.
une - b = une + (- b)
Exemple.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Exemple.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
- Il convient de rappeler les expressions ci-dessous.
- 0 - une = - une
- une - 0 = une
- une - une = 0
Règles pour soustraire des nombres négatifs
Comme le montrent les exemples ci-dessus, soustraire un nombre b est une addition avec le nombre opposé de b.
Cette règle est vraie non seulement lors de la soustraction d'un nombre plus petit d'un nombre plus grand, mais vous permet également de soustraire un nombre plus grand d'un nombre plus petit, c'est-à-dire que vous pouvez toujours trouver la différence entre deux nombres.
La différence peut être un nombre positif, un nombre négatif ou le nombre zéro.
Exemples de soustraction de nombres négatifs et positifs.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Il est pratique de rappeler la règle des signes, qui permet de réduire le nombre de parenthèses.
Le signe plus ne change pas le signe du nombre, donc s'il y a un plus devant la parenthèse, le signe entre parenthèses ne change pas.
+ (+ une) = + une
+ (- une) = - une
Le signe moins devant les parenthèses inverse le signe du nombre entre parenthèses.
- (+ une) = - une
- (- une) = + une
D'après les égalités, il est clair que s'il y a des signes identiques avant et à l'intérieur des parenthèses, alors nous obtenons « + », et si les signes sont différents, alors nous obtenons « - ».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
La règle des signes s'applique également si les parenthèses contiennent non pas un seul nombre, mais une somme algébrique de nombres.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Veuillez noter que s'il y a plusieurs chiffres entre parenthèses et qu'il y a un signe moins devant les parenthèses, alors les signes devant tous les chiffres entre ces parenthèses doivent changer.
Pour mémoriser la règle des signes, vous pouvez créer un tableau permettant de déterminer les signes d'un nombre.
Règle de signe pour les nombres
Ou apprenez une règle simple.
- Deux négatifs font un affirmatif,
- Plus fois moins égale moins.
Multiplier des nombres négatifs
En utilisant le concept de module d'un nombre, nous formulons les règles de multiplication des nombres positifs et négatifs.
Multiplier des nombres avec les mêmes signes
Le premier cas que vous pouvez rencontrer est la multiplication de nombres de mêmes signes.
Pour multiplier deux nombres de mêmes signes :
. multiplier les modules de nombres ;
. mettez un signe « + » devant le produit obtenu (lors de la rédaction de la réponse, le signe « plus » avant le premier chiffre à gauche peut être omis).
Exemples de multiplication de nombres négatifs et positifs.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6
Multiplier des nombres avec des signes différents
Le deuxième cas possible est la multiplication de nombres de signes différents.
Pour multiplier deux nombres de signes différents :
. multiplier les modules de nombres ;
. Placez un signe « - » devant l'œuvre obtenue.
Exemples de multiplication de nombres négatifs et positifs.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4
Règles pour les signes de multiplication
Se souvenir de la règle des signes pour la multiplication est très simple. Cette règle coïncide avec la règle d’ouverture des parenthèses.
- Deux négatifs font un affirmatif,
- Plus fois moins égale moins.
Dans les exemples « longs », dans lesquels il n'y a qu'une action de multiplication, le signe du produit peut être déterminé par le nombre de facteurs négatifs.
À même nombre de facteurs négatifs, le résultat sera positif, et avec impair quantité - négative.
Exemple.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =
Il y a cinq facteurs négatifs dans l’exemple. Cela signifie que le signe du résultat sera « moins ».
Calculons maintenant le produit des modules, sans prêter attention aux signes.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728
Le résultat final de la multiplication des nombres originaux sera :
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728
Multiplier par zéro et un
Si parmi les facteurs il y a un nombre zéro ou un positif, alors la multiplication est effectuée selon des règles connues.
. 0 . une = 0
. un. 0 = 0
. un. 1 = un
Exemples :
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
L'unité négative (- 1) joue un rôle particulier lors de la multiplication de nombres rationnels.
- Lorsqu'il est multiplié par (- 1), le nombre est inversé.
En expression littérale, cette propriété peut s’écrire :
un. (- 1) = (- 1) . une = - une
Lors de l'addition, de la soustraction et de la multiplication de nombres rationnels, l'ordre des opérations établi pour les nombres positifs et zéro est conservé.
Un exemple de multiplication de nombres négatifs et positifs.
Diviser des nombres négatifs
Comment diviser des nombres négatifs est facile à comprendre en se rappelant que la division est l’inverse de la multiplication.
Si a et b sont des nombres positifs, alors diviser le nombre a par le nombre b signifie trouver un nombre c qui, multiplié par b, donne le nombre a.
Cette définition de la division s'applique à tous les nombres rationnels tant que les diviseurs sont différents de zéro.
Ainsi, par exemple, diviser le nombre (- 15) par le nombre 5 signifie trouver un nombre qui, multiplié par le nombre 5, donne le nombre (- 15). Ce nombre sera (- 3), puisque
(- 3) . 5 = - 15
Moyens
(- 15) : 5 = - 3
Exemples de division de nombres rationnels.
1. 10 : 5 = 2, puisque 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, puisque 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, puisque (- 6) . 3 = - 18
4. 12 : (- 4) = - 3, puisque (- 3) . (- 4) = 12
D'après les exemples, il ressort clairement que le quotient de deux nombres avec les mêmes signes est un nombre positif (exemples 1, 2) et que le quotient de deux nombres avec des signes différents est un nombre négatif (exemples 3,4).
Règles pour diviser les nombres négatifs
Pour trouver le module d’un quotient, il faut diviser le module du dividende par le module du diviseur.
Ainsi, pour diviser deux nombres de mêmes signes, il faut :
. Placez un signe « + » devant le résultat.
Exemples de division de nombres avec les mêmes signes :
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2
Pour diviser deux nombres de signes différents, il faut :
. diviser le module du dividende par le module du diviseur ;
. Placez un signe « - » devant le résultat.
Exemples de division de nombres avec des signes différents :
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Vous pouvez également utiliser le tableau suivant pour déterminer le signe du quotient.
Règle des signes pour la division
Lors du calcul d'expressions « longues » dans lesquelles apparaissent uniquement la multiplication et la division, il est très pratique d'utiliser la règle des signes. Par exemple, pour calculer une fraction
Veuillez noter que le numérateur comporte 2 signes moins qui, une fois multipliés, donneront un plus. Il y a également trois signes moins dans le dénominateur qui, une fois multipliés, donneront un signe moins. Par conséquent, le résultat final sera avec un signe moins.
La réduction d'une fraction (autres actions avec les modules de nombres) s'effectue de la même manière que précédemment :
- Le quotient de zéro divisé par un nombre autre que zéro est zéro.
- 0 : une = 0, une ≠ 0
- Vous NE POUVEZ PAS diviser par zéro !
Toutes les règles de division par un connues précédemment s'appliquent également à l'ensemble des nombres rationnels.
. une : 1 = une
. une : (- 1) = - une
. une : une = 1
, où a est un nombre rationnel.
Les relations entre les résultats de multiplication et de division, connues pour les nombres positifs, restent les mêmes pour tous les nombres rationnels (sauf zéro) :
. si un . b = c; une = c : b ; b = c : une ;
. si une : b = c ; une = c. b; b = une : c
Ces dépendances sont utilisées pour trouver l'inconnue, le dividende et le diviseur (lors de la résolution d'équations), ainsi que pour vérifier les résultats de la multiplication et de la division.
Un exemple de recherche de l'inconnu.
X. (-5) = 10
x = 10 : (- 5)
x = - 2
Signe moins en fractions
Divisez le nombre (- 5) par 6 et le nombre 5 par (- 6).
Nous vous rappelons que la ligne dans la notation d'une fraction ordinaire est le même signe de division, et nous écrivons le quotient de chacune de ces actions sous la forme d'une fraction négative.
Ainsi, le signe moins dans une fraction peut être :
. avant une fraction;
. au numérateur ;
. au dénominateur. 
- Lors de l'écriture de fractions négatives, le signe moins peut être placé devant la fraction, transféré du numérateur au dénominateur, ou du dénominateur au numérateur.
Ceci est souvent utilisé lorsque vous travaillez avec des fractions, ce qui facilite les calculs.
Exemple. Veuillez noter qu'après avoir placé le signe moins devant le support, nous soustrayons le plus petit du plus grand module selon les règles d'addition de nombres avec des signes différents. 
En utilisant la propriété décrite de transfert de signe en fractions, vous pouvez agir sans savoir laquelle des fractions données a un module le plus élevé.
Grâce aux leçons précédentes de langage Assembleur, nous savons que le processeur fonctionne avec des nombres binaires, ces nombres peuvent être positifs ou négatifs. Et aujourd'hui, je vais vous expliquer en détail ce que sont les nombres positifs (non signés) et négatifs (signés).
Chiffres positifs
Si le nombre est positif, il représente simplement le résultat de la conversion d’un nombre décimal en binaire. Un codage spécial est utilisé pour représenter les nombres positifs. Le bit le plus significatif dans ce cas indique le signe du nombre. Si le bit de signe est zéro, alors le nombre est positif, sinon il est négatif.
Dans la famille de processeurs Intel, l'unité de stockage de base pour tous les types de données est l'octet. Un octet est composé de huit bits. Le tableau ci-dessous montre les plages de valeurs possibles d'entiers positifs avec lesquelles le processeur peut travailler :
Lorsque vous travaillez avec des nombres, n'oubliez pas qu'un nombre d'une valeur ne dépassant pas 255 peut être écrit dans un octet, un nombre d'une valeur ne dépassant pas 65 535 peut être écrit dans un mot, etc. Par exemple, si, lorsque vous travaillez avec un octet, vous effectuez l'opération d'addition 255 + 1, alors le résultat devrait être le nombre 256. Cependant, si vous écrivez le résultat dans un octet, le résultat ne sera pas 256, mais 0. Cette situation se produit en cas de « débordement ».
Un débordement se produit lorsque le résultat d'une opération ne rentre pas dans le registre prévu pour ce résultat. De plus, s'il y a un débordement, le résultat peut ne pas être zéro, mais un autre nombre.
Nombres négatifs
La représentation informatique de nombres négatifs se heurte à certaines difficultés. Un nombre négatif n'a pas de signification numérique ; il symbolise plutôt une action future - le fait qu'à l'avenir, nous devrons soustraire un peu plus aux objets qui réapparaissent.
Les nombres négatifs sont des nombres avec un signe moins.
Plages de valeurs possibles de nombres négatifs :
Pour indiquer le signe d'un nombre, un chiffre (bit) suffit. Généralement, le bit de signe occupe le bit de poids fort du nombre. Si le bit le plus significatif d’un nombre est 0, alors le nombre est considéré comme positif. Si le chiffre le plus significatif d’un nombre est 1, alors le nombre est considéré comme négatif.
Lors de la programmation en langage assembleur, un point important doit être pris en compte : « Limiter la plage de représentation des nombres ».
Par exemple, si la taille d’une variable positive est de 1 octet, elle peut alors prendre un total de 256 valeurs différentes. Cela signifie que nous ne pouvons pas l'utiliser pour représenter un nombre supérieur à 255 (111111112). Pour la même variable négative, la valeur maximale sera de 127 (011111112) et la valeur minimale de -128 (100000002). La plage est définie de la même manière pour les variables de 2 et 4 octets.
Histoire des nombres négatifs
On sait que les nombres naturels sont apparus lors du comptage d'objets. Le besoin humain de mesurer des quantités et le fait que le résultat d’une mesure n’est pas toujours exprimé sous forme d’entier ont conduit à l’expansion de l’ensemble des nombres naturels. Les nombres zéro et fractionnaires ont été introduits.
Le processus de développement historique du concept de nombre ne s'est pas arrêté là. Cependant, la première motivation pour élargir le concept de nombre n’a pas toujours été purement les besoins pratiques des personnes. Il arrivait également que les problèmes mathématiques eux-mêmes nécessitaient d'élargir la notion de nombre. C’est exactement ce qui s’est passé avec l’émergence des nombres négatifs. La résolution de nombreux problèmes, en particulier ceux impliquant des équations, impliquait de soustraire un nombre plus grand à un nombre plus petit. Cela a nécessité l'introduction de nouveaux numéros.
Les nombres négatifs sont apparus pour la première fois dans la Chine ancienne il y a environ 2 100 ans. Ils savaient aussi additionner et soustraire des nombres positifs et négatifs ; les règles de multiplication et de division n’étaient pas appliquées.
Au IIe siècle. Colombie-Britannique e. Le scientifique chinois Zhang Can a écrit le livre Arithmétique en neuf chapitres. D'après le contenu du livre, il est clair qu'il ne s'agit pas d'un ouvrage totalement indépendant, mais d'une refonte d'autres livres écrits bien avant Zhang Can. Dans ce livre, des quantités négatives sont rencontrées pour la première fois en science. Ils sont compris différemment de la façon dont nous les comprenons et les appliquons. Il n'a pas une compréhension complète et claire de la nature des quantités négatives et des règles pour opérer avec elles. Il considérait chaque nombre négatif comme une dette et chaque nombre positif comme une propriété. Il a effectué des opérations avec des nombres négatifs, pas de la même manière que nous, mais en utilisant un raisonnement sur la dette. Par exemple, si vous ajoutez une autre dette à une dette, alors le résultat est une dette, pas une propriété (c'est-à-dire, selon nous (- x) + (- x) = - 2x. Le signe moins n'était pas connu alors, par conséquent, dans Afin de distinguer les nombres exprimant la dette, Zhan Can les a écrits avec une encre différente de celle des nombres exprimant la propriété (positifs).
En mathématiques chinoises, les quantités positives étaient appelées « chen » et étaient représentées en rouge, tandis que les quantités négatives étaient appelées « fu » et étaient représentées en noir. Cette méthode de représentation a été utilisée en Chine jusqu'au milieu du XIIe siècle, jusqu'à ce que Li Ye propose une désignation plus pratique pour les nombres négatifs - les nombres qui représentaient des nombres négatifs étaient barrés d'une ligne en diagonale de droite à gauche. Bien que les scientifiques chinois aient expliqué les quantités négatives comme une dette et les quantités positives comme des biens, ils ont néanmoins évité leur utilisation généralisée, car ces chiffres semblaient incompréhensibles et les actions avec eux n'étaient pas claires. Si le problème conduisait à une solution négative, alors ils essayaient de remplacer la condition (comme les Grecs) pour qu'à la fin une solution positive soit obtenue.
Aux Ve-VIe siècles, les nombres négatifs apparaissent et deviennent très répandus dans les mathématiques indiennes. Pour les calculs, les mathématiciens de l'époque utilisaient un tableau de comptage sur lequel les nombres étaient représentés à l'aide de bâtons de comptage. Comme il n’y avait pas de signes + et – à cette époque, les nombres positifs étaient représentés par des bâtons rouges, et les nombres négatifs étaient représentés par des bâtons noirs et étaient appelés « dette » et « pénurie ». Les nombres positifs ont été interprétés comme une « propriété ». Contrairement à la Chine, les règles de multiplication et de division étaient déjà connues en Inde. En Inde, les nombres négatifs étaient systématiquement utilisés, comme c’est le cas aujourd’hui. Déjà dans les travaux de l'éminent mathématicien et astronome indien Brahmagupta (598 - environ 660), on lit : « la propriété et la propriété sont la propriété, la somme de deux dettes est une dette ; la somme de la propriété et de zéro est la propriété ; la somme de deux zéros est zéro... La dette, qui est soustraite de zéro, devient une propriété et la propriété devient une dette. S’il est nécessaire de retirer des biens de la dette et des dettes de la propriété, alors ils prennent leur somme. »
Les mathématiciens indiens utilisaient des nombres négatifs pour résoudre des équations et la soustraction était remplacée par une addition avec un nombre également opposé.
Parallèlement aux nombres négatifs, les mathématiciens indiens ont introduit le concept de zéro, ce qui leur a permis de créer un système de nombres décimaux. Mais pendant longtemps, le zéro n’a pas été reconnu comme un nombre ; « nullus » en latin signifie non, l’absence de nombre. Et ce n'est qu'après 10 siècles, au XVIIe siècle, avec l'introduction d'un système de coordonnées, que zéro est devenu un nombre.
Au début, les Grecs n’utilisaient pas non plus de signes. L'ancien scientifique grec Diophante ne reconnaissait pas du tout les nombres négatifs, et si, lors de la résolution d'une équation, une racine négative était obtenue, il la rejetait comme « inaccessible ». Et Diophante a essayé de formuler des problèmes et de composer des équations de manière à éviter les racines négatives, mais bientôt Diophante d'Alexandrie a commencé à désigner la soustraction avec le signe .
Malgré le fait que les nombres négatifs ont été utilisés depuis longtemps, ils ont été traités avec une certaine méfiance, les considérant comme n'étant pas tout à fait réels, leur interprétation comme propriété-dette a provoqué la perplexité : comment peut-on « ajouter » et « soustraire » des biens et des dettes ?
En Europe, la reconnaissance est venue mille ans plus tard. L'idée d'une quantité négative s'est rapprochée au début du XIIIe siècle de Léonard de Pise (Fibonacci), qui l'a également introduite pour résoudre des problèmes financiers liés aux dettes et est arrivé à l'idée qu'il fallait prendre des quantités négatives à l'opposé. du sens aux positifs. Au cours de ces années, les soi-disant duels mathématiques se sont développés. Lors d'un concours de résolution de problèmes avec les mathématiciens de la cour de Frédéric II, Léonard de Pise (Fibonacci) fut invité à résoudre un problème : il fallait trouver le capital de plusieurs individus. Fibonacci a reçu une valeur négative. "Ce cas", dit Fibonacci, "est impossible, à moins de supposer que l'on n'a pas de capital, mais des dettes."
En 1202, il utilise pour la première fois des nombres négatifs pour calculer ses pertes. Cependant, les nombres négatifs ont été utilisés explicitement pour la première fois à la fin du XVe siècle par le mathématicien français Chuquet.
Néanmoins, jusqu’au XVIIe siècle, les nombres négatifs étaient « dans le giron » et on les qualifia longtemps de « faux », « imaginaires » ou « absurdes ». Et même au 17ème siècle, le célèbre mathématicien Blaise Pascal affirmait que 0-4 = 0 car il n'y a pas de nombre qui puisse être inférieur à rien, et jusqu'au 19ème siècle, les mathématiciens écartaient souvent les nombres négatifs dans leurs calculs, les considérant comme dénués de sens. .
Bombelli et Girard, au contraire, considéraient les nombres négatifs comme tout à fait acceptables et utiles, notamment pour indiquer le manque de quelque chose. Un écho de cette époque est le fait que dans l'arithmétique moderne, l'opération de soustraction et le signe des nombres négatifs sont désignés par le même symbole (moins), bien qu'algébriquement ce soient des concepts complètement différents.
En Italie, lorsqu’ils prêtaient de l’argent, les prêteurs mettaient le montant de la dette et une ligne devant le nom du débiteur, comme notre moins, et lorsque le débiteur rendait l’argent, ils le barraient pour que cela ressemble à notre plus. Vous pouvez considérer un plus comme un moins barré !
Notation moderne pour les nombres positifs et négatifs avec signes
« + » et « - » ont été utilisés par le mathématicien allemand Widmann.
Le mathématicien allemand Michael Stiefel, dans son livre « Arithmétique complète » (1544), a été le premier à introduire le concept de nombres négatifs en tant que nombres inférieurs à zéro (moins que rien). Il s’agit d’un très grand pas en avant pour justifier des chiffres négatifs. Il a permis de considérer les nombres négatifs non pas comme une dette, mais d’une manière complètement différente et nouvelle. Mais Stiefel a qualifié les nombres négatifs d’absurdes ; les actions avec eux, selon ses mots, « vont également de manière absurde, à l’envers ».
Après Stiefel, les scientifiques ont commencé à effectuer des opérations avec des nombres négatifs avec plus de confiance.
Les solutions négatives aux problèmes étaient de plus en plus retenues et interprétées.
Au 17ème siècle Le grand mathématicien français René Descartes a proposé de placer des nombres négatifs sur la droite numérique à gauche de zéro. Maintenant, tout nous semble si simple et compréhensible, mais pour arriver à cette idée, il a fallu dix-huit siècles de travail de pensée scientifique, du scientifique chinois Zhang Can à Descartes.
Dans les œuvres de Descartes, les nombres négatifs ont reçu, comme on dit, une véritable interprétation. Descartes et ses disciples les ont reconnus sur un pied d'égalité avec les positifs. Mais dans les opérations avec des nombres négatifs, tout n'était pas clair (par exemple, la multiplication par eux), c'est pourquoi de nombreux scientifiques ne voulaient pas reconnaître les nombres négatifs comme des nombres réels. Un vaste et long débat a éclaté parmi les scientifiques sur l'essence des nombres négatifs et sur l'opportunité de reconnaître ou non les nombres négatifs comme des nombres réels. Cette dispute après Descartes a duré environ 200 ans. Durant cette période, les mathématiques en tant que science se sont considérablement développées et des nombres négatifs ont été rencontrés à chaque étape. Les mathématiques sont devenues impensables, impossibles sans nombres négatifs. Il est devenu clair pour un nombre croissant de scientifiques que les nombres négatifs sont des nombres réels, tout aussi réels et réellement existants que les nombres positifs.
Les nombres négatifs n’ont guère gagné leur place en mathématiques. Peu importe les efforts déployés par les scientifiques pour les éviter. Cependant, ils n’y sont pas toujours parvenus. La vie a confié à la science des tâches de plus en plus nouvelles, et ces tâches ont de plus en plus souvent conduit à des solutions négatives en Chine, en Inde et en Europe. Seulement au début du 19ème siècle. la théorie des nombres négatifs acheva son développement et les « nombres absurdes » furent universellement reconnus.
Tout physicien s'occupe constamment de nombres : il mesure, calcule, calcule toujours quelque chose. Partout dans ses papiers, il y a des chiffres, des chiffres et des chiffres. Si vous regardez attentivement les notes du physicien, vous constaterez que lorsqu’il écrit des nombres, il utilise souvent les signes « + » et « - ».
Comment naissent les nombres positifs, et surtout négatifs, en physique ?
Un physicien traite diverses grandeurs physiques qui décrivent les diverses propriétés des objets et des phénomènes qui nous entourent. La hauteur d'un bâtiment, la distance entre l'école et la maison, la masse et la température du corps humain, la vitesse d'une voiture, le volume d'une canette, la force d'un courant électrique, l'indice de réfraction de l'eau, la puissance de une explosion nucléaire, la tension entre les électrodes, la durée d'un cours ou d'une récréation, la charge électrique d'une boule de métal, ce sont autant d'exemples. Une grandeur physique peut être mesurée.
Il ne faut pas penser qu’une quelconque caractéristique d’un objet ou d’un phénomène naturel peut être mesurée et constitue donc une grandeur physique. Ce n’est pas vrai du tout. Par exemple, nous disons : « Quelles belles montagnes autour ! Et quel beau lac il y a en bas ! Et quel bel épicéa là-bas sur ce rocher ! Mais on ne peut pas mesurer la beauté des montagnes, du lac ou de cet épicéa solitaire ! Cela signifie qu’une caractéristique telle que la beauté n’est pas une quantité physique.
Les mesures de grandeurs physiques sont effectuées à l'aide d'instruments de mesure tels qu'une règle, une montre, une balance, etc.
Ainsi, les nombres en physique résultent de la mesure de grandeurs physiques, et la valeur numérique d'une grandeur physique obtenue à la suite de la mesure dépend : de la façon dont cette grandeur physique est définie ; à partir des unités de mesure utilisées.
Regardons l'échelle d'un thermomètre extérieur ordinaire.
Il a la forme indiquée sur l'échelle 1. Seuls des nombres positifs y sont imprimés et, par conséquent, lors de l'indication de la valeur numérique de la température, il est nécessaire d'expliquer en plus 20 degrés Celsius (au-dessus de zéro). Ceci n’est pas pratique pour les physiciens – après tout, on ne peut pas mettre des mots dans une formule ! Par conséquent, en physique, une échelle avec des nombres négatifs est utilisée.
Regardons la carte physique du monde. Les zones terrestres sont peintes dans diverses nuances de vert et de marron, et les mers et océans sont peints en bleu et bleu. Chaque couleur a sa propre hauteur (pour la terre) ou profondeur (pour les mers et les océans). Une échelle de profondeurs et de hauteurs est dessinée sur la carte, qui montre quelle hauteur (profondeur) signifie une couleur particulière,
Avec une telle échelle, il suffit d'indiquer le nombre sans aucun mot supplémentaire : les nombres positifs correspondent à différents endroits terrestres situés au-dessus de la surface de la mer ; les nombres négatifs correspondent aux points situés sous la surface de la mer.
Dans l'échelle de hauteur que nous avons considérée, la hauteur de la surface de l'eau dans l'océan mondial est considérée comme nulle. Cette échelle est utilisée en géodésie et en cartographie.
En revanche, dans la vie de tous les jours, nous considérons généralement la hauteur de la surface terrestre (à l’endroit où nous nous trouvons) comme une hauteur nulle.
3.1 Comment les années étaient-elles comptées dans les temps anciens ?
C'est différent selon les pays. Par exemple, dans l’Égypte ancienne, chaque fois qu’un nouveau roi commençait à régner, le décompte des années recommençait. La première année du règne du roi était considérée comme la première année, la seconde comme la seconde, et ainsi de suite. Lorsque ce roi mourut et qu'un nouveau arriva au pouvoir, la première année recommença, puis la deuxième, la troisième. Le décompte des années utilisé par les habitants de l’une des villes les plus anciennes du monde, Rome, était différent. Les Romains considéraient l’année de fondation de la ville comme la première, l’année suivante comme la seconde, et ainsi de suite.
Le décompte des années que nous utilisons est apparu il y a longtemps et est associé à la vénération de Jésus-Christ, fondateur de la religion chrétienne. Compter les années depuis la naissance de Jésus-Christ a été progressivement adopté dans différents pays. Dans notre pays, il a été introduit par le tsar Pierre le Grand il y a trois cents ans. Nous appelons le temps calculé à partir de la Nativité du Christ NOTRE ÈRE (et nous l'écrivons sous forme abrégée N.E.). Notre époque dure deux mille ans.
Conclusion
La plupart des gens connaissent les nombres négatifs, mais pour certains, la représentation des nombres négatifs est incorrecte.
Les nombres négatifs sont plus courants dans les sciences exactes, les mathématiques et la physique.
En physique, les nombres négatifs résultent de mesures et de calculs de grandeurs physiques. Nombre négatif - indique la quantité de charge électrique. Dans d'autres sciences, telles que la géographie et l'histoire, un nombre négatif peut être remplacé par des mots, par exemple sous le niveau de la mer, et en histoire - 157 av. e.
Littérature
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2. Vigasin A. A., « Histoire du monde antique », manuel de 5e année, 2001.
3. Vygovskaya V.V. « Développements basés sur les cours en mathématiques : 6e année » - M. : VAKO, 2008
4. « Nombres positifs et négatifs », manuel de mathématiques pour la 6e année, 2001.
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6.. « Étudier les mathématiques », publication pédagogique, 1994.
7. « Éléments d'historicisme dans l'enseignement des mathématiques au secondaire », Moscou, « Prosveshchenie », 1982
8. Nurk E.R., Telgmaa A.E. « Mathématiques 6e année », Moscou, « Lumières », 1989
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