Calculateur en ligne.
Isoler le carré d'un binôme et factoriser un trinôme carré.

Ceux. les problèmes se résument à trouver les nombres \(p, q\) et \(n, m\)

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de résolution.

Ce programme peut être utile aux lycéens des écoles d'enseignement général lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre.

Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement terminer vos devoirs de mathématiques ou d’algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous n'êtes pas familier avec les règles de saisie d'un trinôme quadratique, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'un polynôme quadratique
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.

Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.

De plus, les nombres fractionnaires peuvent être saisis non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.
Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire peut être séparée de la partie entière par un point ou une virgule.

Par exemple, vous pouvez saisir des fractions décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x^2
Règles de saisie des fractions ordinaires.

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif. /
Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : &
La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette :
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Lors de la saisie d'une expression. Dans ce cas, lors de la résolution, l'expression introduite est d'abord simplifiée.
Par exemple : 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemple de solution détaillée

Isoler le carré d'un binôme.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Répondre:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorisation.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\gauche(x^2+x-2 \droite) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Répondre:$$2x^2+2x-4 = 2 \gauche(x -1 \droite) \gauche(x +2 \droite) $$

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Un peu de théorie.

Isoler le carré d'un binôme d'un trinôme carré

Si le trinôme carré axe 2 +bx+c est représenté par a(x+p) 2 +q, où p et q sont des nombres réels, alors nous disons que de trinôme carré, le carré du binôme est mis en évidence.

Du trinôme 2x 2 +12x+14 on extrait le carré du binôme.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Pour ce faire, imaginez 6x comme un produit de 2*3*x, puis ajoutez et soustrayez 3 2. On obtient :
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Que. Nous extraire le binôme carré du trinôme carré, et a montré que :
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Factorisation d'un trinôme quadratique

Si le trinôme carré axe 2 +bx+c est représenté sous la forme a(x+n)(x+m), où n et m sont des nombres réels, alors l'opération est dite effectuée factorisation d'un trinôme quadratique.

Montrons avec un exemple comment se fait cette transformation.

Factorisons le trinôme quadratique 2x 2 +4x-6.

Prenons le coefficient a entre parenthèses, c'est-à-dire 2 :
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformons l'expression entre parenthèses.
Pour ce faire, imaginez 2x comme la différence 3x-1x et -3 comme -1*3. On obtient :
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Que. Nous factorisé le trinôme quadratique, et a montré que :
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

A noter que la factorisation d'un trinôme quadratique n'est possible que si l'équation quadratique correspondant à ce trinôme a des racines.
Ceux. dans notre cas, il est possible de factoriser le trinôme 2x 2 +4x-6 si l'équation quadratique 2x 2 +4x-6 =0 a des racines. Au cours du processus de factorisation, nous avons établi que l'équation 2x 2 + 4x-6 = 0 a deux racines 1 et -3, car avec ces valeurs, l'équation 2(x-1)(x+3)=0 se transforme en une vraie égalité.

8 exemples de factorisation de polynômes sont donnés. Ils comprennent des exemples de résolution d'équations quadratiques et biquadratiques, des exemples de polynômes réciproques et des exemples de recherche de racines entières de polynômes du troisième et du quatrième degré.

1. Exemples de résolution d'une équation quadratique

Exemple 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Solution

On sort x 2 en dehors des parenthèses :
.
2 + x-6 = 0:
.
Racines de l'équation :
, .

.

Répondre

Exemple 1.2

Factoriser le polynôme du troisième degré :
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Solution

Retirons x des parenthèses :
.
Résoudre l'équation quadratique x 2 + 6 x + 9 = 0:
Son discriminant : .
Puisque le discriminant est nul, les racines de l'équation sont des multiples : ;
.

De là on obtient la factorisation du polynôme :
.

Répondre

Exemple 1.3

Factoriser le polynôme du cinquième degré :
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Solution

On sort x 3 en dehors des parenthèses :
.
Résoudre l'équation quadratique x 2 - 2 x + 10 = 0.
Son discriminant : .
Puisque le discriminant est inférieur à zéro, les racines de l'équation sont complexes : ;
, .

La factorisation du polynôme a la forme :
.

Si l’on s’intéresse à la factorisation à coefficients réels, alors :
.

Répondre

Exemples de factorisation de polynômes à l'aide de formules

Exemples avec des polynômes biquadratiques

Exemple 2.1

Factoriser le polynôme biquadratique :
x 4 + x 2 - 20.

Solution

Appliquons les formules :
un 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
un 2 - b 2 = (une - b)(une + b).

;
.

Répondre

Exemple 2.2

Factoriser le polynôme qui se réduit à un polynôme biquadratique :
x 8 + x 4 + 1.

Solution

Appliquons les formules :
un 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
un 2 - b 2 = (une - b)(une + b):

;

;
.

Répondre

Exemple 2.3 avec polynôme récurrent

Factoriser le polynôme réciproque :
.

Solution

Un polynôme réciproque a un degré impair. Il a donc racine x = - 1 . Divisez le polynôme par x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Répondre

En conséquence nous obtenons :

Faisons une substitution :

Exemples de factorisation de polynômes avec des racines entières
.

Solution

Exemple 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Factoriser le polynôme :;
Supposons que l'équation;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
Nous avons donc trouvé trois racines :
.

Répondre

,x

Exemples de factorisation de polynômes avec des racines entières
.

Solution

Exemple 3.1

Puisque le polynôme original est du troisième degré, il n’a pas plus de trois racines. Puisque nous avons trouvé trois racines, elles sont simples. Alors 2 Exemple 3.2
-2, -1, 1, 2 .
a au moins une racine entière. Alors c'est un diviseur du nombre
(membre sans x). C'est-à-dire que la racine entière peut être l'un des nombres : 6 ;
On substitue ces valeurs une à une : 0 ;
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = .
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12 2 Exemple 3.2
1, 2, -1, -2 .
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 -1 :
.

Si nous supposons que cette équation a une racine entière, alors c'est un diviseur du nombre 2 = -1 Remplaçons x =
.

Nous avons donc trouvé une autre racine x 2 + 2 = 0 .

Il serait possible, comme dans le cas précédent, de diviser le polynôme par , mais on regroupera les termes :

Puisque l'équation xn'a pas de racines réelles, alors la factorisation du polynôme a la forme.

Dans cette leçon, nous rappellerons toutes les méthodes de factorisation d'un polynôme précédemment étudiées et examinerons des exemples de leur application. De plus, nous étudierons une nouvelle méthode - la méthode d'isolement d'un carré complet et apprendrons à l'utiliser pour résoudre divers problèmes. .Sujet:

Factorisation de polynômes

Leçon:

Factorisation de polynômes. Méthode de sélection d'un carré complet. Combinaison de méthodes

Rappelons les méthodes de base de factorisation d'un polynôme qui ont été étudiées précédemment :

;

Méthode consistant à mettre entre parenthèses un facteur commun, c'est-à-dire un facteur présent dans tous les termes du polynôme. Regardons un exemple :

Méthode de regroupement. Il n’est pas toujours possible d’extraire un facteur commun dans un polynôme. Dans ce cas, vous devez diviser ses membres en groupes de manière à ce que dans chaque groupe vous puissiez retirer un facteur commun et essayer de le décomposer de sorte qu'après avoir retiré les facteurs des groupes, un facteur commun apparaisse dans le expression entière, et vous pouvez continuer la décomposition. Regardons un exemple :

Regroupons le premier terme avec le quatrième, le deuxième avec le cinquième et le troisième avec le sixième :

Sortons les facteurs communs aux groupes :

L’expression a désormais un facteur commun. Sortons-le :

Application de formules de multiplication abrégées. Regardons un exemple :

;

Écrivons l'expression en détail :

Évidemment, c'est la formule de la différence au carré, puisqu'il s'agit de la somme des carrés de deux expressions et que leur double produit y est soustrait. Roulons selon la formule :

Aujourd'hui, nous allons apprendre une autre méthode : la méthode de sélection d'un carré complet. Il est basé sur les formules du carré de la somme et du carré de la différence. Rappelons-leur :

Formule du carré de la somme (différence) ;

La particularité de ces formules est qu'elles contiennent les carrés de deux expressions et leur produit double. Regardons un exemple :

Écrivons l'expression :

Ainsi, la première expression est , et la seconde est .

Pour créer une formule pour le carré d’une somme ou d’une différence, le double produit des expressions ne suffit pas. Il faut ajouter et soustraire :

Complétons le carré de la somme :

Transformons l'expression résultante :

Appliquons la formule de la différence des carrés, rappelons que la différence des carrés de deux expressions est le produit et la somme de leur différence :

Ainsi, cette méthode consiste tout d'abord à identifier les expressions a et b qui sont au carré, c'est-à-dire à déterminer quelles expressions sont au carré dans cet exemple. Après cela, vous devez vérifier la présence d'un produit doublé et s'il n'y est pas, alors l'ajouter et le soustraire, cela ne changera pas le sens de l'exemple, mais le polynôme peut être factorisé à l'aide des formules du carré de la somme ou la différence et la différence des carrés, si possible.

Passons à la résolution d'exemples.

Exemple 1 - factoriser :

Trouvons des expressions au carré :

Écrivons ce que devrait être leur double produit :

Ajoutons et soustrayons le double du produit :

Complétons le carré de la somme et donnons des carrés similaires :

Écrivons-le en utilisant la formule de la différence des carrés :

Exemple 2 - résoudre l'équation :

;

Du côté gauche de l’équation se trouve un trinôme. Vous devez en tenir compte dans les facteurs. Nous utilisons la formule de différence au carré :

Nous avons le carré de la première expression et le produit double, il manque le carré de la deuxième expression, ajoutons-le et soustrayons-le :

Plions un carré complet et donnons des termes similaires :

Appliquons la formule de la différence des carrés :

Nous avons donc l'équation

On sait qu’un produit n’est égal à zéro que si au moins un des facteurs est égal à zéro. Créons les équations suivantes sur cette base :

Résolvons la première équation :

Résolvons la deuxième équation :

Réponse : ou

;

Nous procédons de la même manière que dans l'exemple précédent : sélectionnons le carré de la différence.

Tout polynôme algébrique de degré n peut être représenté comme un produit de n facteurs linéaires de la forme et d'un nombre constant, qui sont les coefficients du polynôme au degré le plus élevé x, c'est-à-dire

Où - sont les racines du polynôme.

La racine d'un polynôme est le nombre (réel ou complexe) qui fait disparaître le polynôme. Les racines d'un polynôme peuvent être soit des racines réelles, soit des racines conjuguées complexes, alors le polynôme peut être représenté sous la forme suivante :

Considérons les méthodes de décomposition des polynômes de degré « n » en produits de facteurs du premier et du deuxième degrés.

Méthode n°1.Méthode des coefficients indéterminés.

Les coefficients d'une telle expression transformée sont déterminés par la méthode des coefficients indéfinis. L'essence de la méthode est que le type de facteurs en lesquels un polynôme donné est décomposé est connu à l'avance. Lorsque vous utilisez la méthode des coefficients incertains, les affirmations suivantes sont vraies :

P.1. Deux polynômes sont identiquement égaux si leurs coefficients sont égaux pour les mêmes puissances de x.

P.2. Tout polynôme du troisième degré se décompose en produit de facteurs linéaires et quadratiques.

P.3. Tout polynôme du quatrième degré peut être décomposé en produit de deux polynômes du deuxième degré.

Exemple 1.1. Il faut factoriser l'expression cubique :

P.1. Conformément aux déclarations acceptées, l'égalité identique vaut pour l'expression cubique :

P.2. Le côté droit de l’expression peut être représenté comme suit :

P.3. Nous composons un système d'équations à partir de la condition d'égalité des coefficients aux puissances correspondantes de l'expression cubique.

Ce système d'équations peut être résolu en sélectionnant des coefficients (s'il s'agit d'un problème académique simple) ou des méthodes de résolution de systèmes d'équations non linéaires peuvent être utilisées. En résolvant ce système d'équations, nous constatons que les coefficients incertains sont déterminés comme suit :

Ainsi, l’expression originale est factorisée sous la forme suivante :

Cette méthode peut être utilisée à la fois dans les calculs analytiques et en programmation informatique pour automatiser le processus de recherche de la racine d'une équation.

Méthode n°2.Formules Vieta

Les formules de Vieta sont des formules reliant les coefficients des équations algébriques de degré n et ses racines. Ces formules ont été implicitement présentées dans les travaux du mathématicien français François Vieta (1540 - 1603). Étant donné que Vieth ne considérait que des racines réelles positives, il n'a donc pas eu l'occasion d'écrire ces formules sous une forme générale et explicite.

Pour tout polynôme algébrique de degré n qui a n racines réelles,

Les relations suivantes sont valides qui relient les racines d'un polynôme à ses coefficients :

Les formules de Vieta sont pratiques à utiliser pour vérifier l'exactitude de la recherche des racines d'un polynôme, ainsi que pour construire un polynôme à partir de racines données.

Exemple 2.1. Considérons comment les racines d'un polynôme sont liées à ses coefficients en utilisant l'exemple d'une équation cubique

Conformément aux formules de Vieta, la relation entre les racines d'un polynôme et ses coefficients a la forme suivante :

Des relations similaires peuvent être établies pour tout polynôme de degré n.

Méthode n°3. Factorisation d'une équation quadratique avec des racines rationnelles

De la dernière formule de Vieta, il s'ensuit que les racines d'un polynôme sont des diviseurs de son terme libre et de son coefficient directeur. À cet égard, si l'énoncé du problème spécifie un polynôme de degré n avec des coefficients entiers

alors ce polynôme a une racine rationnelle (fraction irréductible), où p est le diviseur du terme libre, et q est le diviseur du coefficient dominant. Dans ce cas, un polynôme de degré n peut être représenté comme (théorème de Bezout) :

Un polynôme dont le degré est inférieur de 1 au degré du polynôme initial est déterminé en divisant un polynôme de degré n par un binôme, par exemple en utilisant le schéma de Horner ou de la manière la plus simple - "colonne".

Exemple 3.1. Il faut factoriser le polynôme

P.1. Du fait que le coefficient du terme le plus élevé est égal à un, les racines rationnelles de ce polynôme sont des diviseurs du terme libre de l'expression, c'est-à-dire peut être des entiers . Nous substituons chacun des nombres présentés dans l'expression originale et constatons que la racine du polynôme présenté est égale à .

Divisons le polynôme d'origine par un binôme :

Utilisons le schéma de Horner

Les coefficients du polynôme d'origine sont définis dans la ligne supérieure, tandis que la première cellule de la ligne supérieure reste vide.

Dans la première cellule de la deuxième ligne, la racine trouvée est écrite (dans l'exemple considéré, le nombre « 2 » est écrit), et les valeurs suivantes dans les cellules sont calculées d'une certaine manière et ce sont les coefficients du polynôme, qui est obtenu en divisant le polynôme par le binôme. Les coefficients inconnus sont déterminés comme suit :

La valeur de la cellule correspondante de la première ligne est transférée vers la deuxième cellule de la deuxième ligne (dans l'exemple considéré, le chiffre « 1 » est écrit).

La troisième cellule de la deuxième ligne contient la valeur du produit de la première cellule et de la deuxième cellule de la deuxième ligne plus la valeur de la troisième cellule de la première ligne (dans l'exemple considéré 2 ∙1 -5 = -3 ).

La quatrième cellule de la deuxième ligne contient la valeur du produit de la première cellule et de la troisième cellule de la deuxième ligne plus la valeur de la quatrième cellule de la première ligne (dans l'exemple considéré 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Ainsi, le polynôme d'origine est factorisé :

Méthode numéro 4.Utiliser des formules de multiplication abrégées

Des formules de multiplication abrégées sont utilisées pour simplifier les calculs, ainsi que pour factoriser les polynômes. Les formules de multiplication abrégées vous permettent de simplifier la solution de problèmes individuels.

Formules utilisées pour factoriser

Les notions de « polynôme » et de « factorisation d'un polynôme » en algèbre se rencontrent très souvent, car il faut les connaître pour effectuer facilement des calculs avec de grands nombres à plusieurs chiffres. Cet article décrira plusieurs méthodes de décomposition. Tous sont assez simples à utiliser ; il vous suffit de choisir celui qui convient à chaque cas spécifique.

Le concept de polynôme

Un polynôme est une somme de monômes, c'est-à-dire d'expressions contenant uniquement l'opération de multiplication.

Par exemple, 2 * x * y est un monôme, mais 2 * x * y + 25 est un polynôme composé de 2 monômes : 2 * x * y et 25. Ces polynômes sont appelés binômes.

Parfois, pour faciliter la résolution d'exemples avec des valeurs à plusieurs valeurs, une expression doit être transformée, par exemple, décomposée en un certain nombre de facteurs, c'est-à-dire des nombres ou des expressions entre lesquels l'action de multiplication est effectuée. Il existe plusieurs façons de factoriser un polynôme. Cela vaut la peine de les considérer, en commençant par le plus primitif, utilisé à l'école primaire.

Regroupement (enregistrement sous forme générale)

La formule de factorisation d'un polynôme à l'aide de la méthode de regroupement ressemble généralement à ceci :

ac + bd + bc + annonce = (ac + bc) + (annonce + bd)

Il est nécessaire de regrouper les monômes pour que chaque groupe ait un facteur commun. Dans la première tranche, il s'agit du facteur c et dans la seconde, d. Cela doit être fait pour ensuite le sortir du support, simplifiant ainsi les calculs.

Algorithme de décomposition utilisant un exemple spécifique

L'exemple le plus simple de factorisation d'un polynôme à l'aide de la méthode de regroupement est donné ci-dessous :

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Dans la première parenthèse, vous devez prendre les termes avec le facteur a, qui seront communs, et dans la seconde - avec le facteur b. Faites attention aux signes + et - dans l'expression finale. On met devant le monôme le signe qui était dans l'expression initiale. Autrement dit, vous ne devez pas travailler avec l'expression 25a, mais avec l'expression -25. Le signe moins semble être « collé » à l’expression qui se cache derrière et toujours pris en compte lors du calcul.

À l'étape suivante, vous devez retirer le multiplicateur, qui est courant, des parenthèses. C'est exactement à cela que sert le regroupement. Mettre hors parenthèse signifie écrire avant la parenthèse (en omettant le signe de multiplication) tous les facteurs qui sont exactement répétés dans tous les termes qui sont entre parenthèses. S'il n'y a pas 2, mais 3 termes ou plus dans une parenthèse, le facteur commun doit être contenu dans chacun d'eux, sinon il ne peut pas être retiré de la parenthèse.

Dans notre cas, il n’y a que 2 termes entre parenthèses. Le multiplicateur global est immédiatement visible. Dans la première parenthèse c'est a, dans la seconde c'est b. Ici, vous devez faire attention aux coefficients numériques. Dans la première tranche, les deux coefficients (10 et 25) sont des multiples de 5. Cela signifie que non seulement a, mais aussi 5a peuvent être retirés de la tranche. Avant la parenthèse, écrivez 5a, puis divisez chacun des termes entre parenthèses par le facteur commun qui a été retiré, et écrivez également le quotient entre parenthèses, sans oublier les signes + et -. Faites de même avec la deuxième parenthèse, retirer 7b, ainsi que 14 et 35 multiple de 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Nous avons 2 termes : 5a(2c - 5) et 7b(2c - 5). Chacun d'eux contient un facteur commun (l'expression entière entre parenthèses est ici la même, ce qui signifie qu'il s'agit d'un facteur commun) : 2c - 5. Il faut également le sortir de la parenthèse, c'est-à-dire que les termes 5a et 7b restent dans la deuxième tranche :

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

L'expression complète est donc :

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Ainsi, le polynôme 10ac + 14bc - 25a - 35b se décompose en 2 facteurs : (2c - 5) et (5a + 7b). Le signe de multiplication entre eux peut être omis lors de l'écriture

Parfois on rencontre des expressions de ce type : 5a 2 + 50a 3, ici on peut mettre entre parenthèses non seulement a ou 5a, mais même 5a 2. Vous devriez toujours essayer de mettre le plus grand facteur commun hors parenthèse. Dans notre cas, si l’on divise chaque terme par un facteur commun, on obtient :

5a 2 / 5a 2 = 1 ; 50a 3 / 5a 2 = 10a(lors du calcul du quotient de plusieurs puissances de bases égales, la base est conservée et l'exposant est soustrait). Ainsi, l'unité reste entre parenthèses (n'oubliez en aucun cas d'en écrire une si vous retirez un des termes de la parenthèse) et le quotient de division : 10a. Il s'avère que :

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formules carrées

Pour faciliter le calcul, plusieurs formules ont été dérivées. Celles-ci sont appelées formules de multiplication abrégées et sont utilisées assez souvent. Ces formules aident à factoriser les polynômes contenant des degrés. C'est un autre moyen efficace de factoriser. Les voici donc :

• une 2 + 2ab + b 2 = (une + b) 2 - une formule appelée « carré de la somme », puisque à la suite de la décomposition en carré, la somme des nombres entre parenthèses est prise, c'est-à-dire que la valeur de cette somme est multipliée par elle-même 2 fois, et est donc un multiplicateur.
• une 2 + 2ab - b 2 = (une - b) 2 - la formule du carré de la différence, elle est similaire à la précédente. Le résultat est la différence, entre parenthèses, contenue dans la puissance carrée.
• une 2 - b 2 = (une + b)(une - b)- il s'agit d'une formule pour la différence des carrés, puisqu'initialement le polynôme est constitué de 2 carrés de nombres ou d'expressions, entre lesquels une soustraction est effectuée. Peut-être que parmi les trois mentionnés, il est le plus souvent utilisé.

Exemples de calculs utilisant des formules carrées

Les calculs pour eux sont assez simples. Par exemple:

1. 25x 2 + 20xy + 4a 2 - utiliser la formule « carré de la somme ».
2. 25x 2 est le carré de 5x. 20xy est le double produit de 2*(5x*2y) et 4y 2 est le carré de 2y.
3. Ainsi, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ce polynôme est décomposé en 2 facteurs (les facteurs sont les mêmes, il s'écrit donc comme une expression avec une puissance carrée).

Les actions utilisant la formule de différence quadratique sont effectuées de la même manière que celles-ci. La formule restante est la différence des carrés. Des exemples de cette formule sont très faciles à définir et à trouver parmi d’autres expressions. Par exemple:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Puisque 25a 2 = (5a) 2 et 400 = 20 2
• 36x 2 - 25 ans 2 = (6x - 5 ans) (6x + 5 ans). Puisque 36x 2 = (6x) 2 et 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Puisque 169b 2 = (13b) 2

Il est important que chacun des termes soit un carré d'une certaine expression. Ensuite, ce polynôme doit être factorisé à l’aide de la formule de la différence des carrés. Pour cela, il n’est pas nécessaire que le deuxième degré soit supérieur au nombre. Il existe des polynômes qui contiennent de grands degrés, mais qui correspondent toujours à ces formules.

une 8 +10une 4 +25 = (une 4) 2 + 2*une 4 *5 + 5 2 = (une 4 +5) 2

Dans cet exemple, un 8 peut être représenté par (a 4) 2, c'est-à-dire le carré d'une certaine expression. 25 est 5 2 et 10a est 4 - c'est le double produit des termes 2 * a 4 * 5. C'est-à-dire que cette expression, malgré la présence de degrés à grands exposants, peut être décomposée en 2 facteurs afin de travailler ensuite avec eux.

Formules cubiques

Les mêmes formules existent pour factoriser des polynômes contenant des cubes. Ils sont un peu plus compliqués que ceux avec des carrés :

• une 3 + b 3 = (une + b)(une 2 - un ab + b 2)- cette formule est appelée somme de cubes, puisque dans sa forme initiale le polynôme est la somme de deux expressions ou nombres enfermés dans un cube.
• une 3 - b 3 = (une - b)(une 2 + un ab + b 2) - une formule identique à la précédente est désignée comme la différence des cubes.
• une 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (une + b) 3 - cube d'une somme, à la suite de calculs, la somme de nombres ou d'expressions est mise entre parenthèses et multipliée par elle-même 3 fois, c'est-à-dire située dans un cube
• une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (une - b) 3 - la formule, compilée par analogie avec la précédente, ne changeant que quelques signes d'opérations mathématiques (plus et moins), est appelée « cube de différence ».

Les deux dernières formules ne sont pratiquement pas utilisées dans le but de factoriser un polynôme, car elles sont complexes, et il est assez rare de trouver des polynômes qui correspondent parfaitement à cette structure pour qu'ils puissent être factorisés à l'aide de ces formules. Mais vous devez quand même les connaître, car ils seront nécessaires lorsque vous travaillez dans le sens opposé - lors de l'ouverture de parenthèses.

Exemples sur les formules de cube

Regardons un exemple : 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Des nombres assez simples sont pris ici, vous pouvez donc voir immédiatement que 64a 3 est (4a) 3 et 8b 3 est (2b) 3. Ainsi, ce polynôme est développé selon la formule différence des cubes en 2 facteurs. Les actions utilisant la formule de la somme des cubes sont réalisées par analogie.

Il est important de comprendre que tous les polynômes ne peuvent pas être développés d’au moins une manière. Mais il existe des expressions qui contiennent des puissances plus grandes qu'un carré ou un cube, mais elles peuvent également être développées en formes de multiplication abrégées. Par exemple : x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( X 8 − 5x 4 oui + 25 oui 2).

Cet exemple contient jusqu'au 12ème degré. Mais même cela peut être factorisé en utilisant la formule de la somme des cubes. Pour ce faire, vous devez imaginer x 12 comme (x 4) 3, c'est-à-dire comme un cube d'une certaine expression. Maintenant, au lieu de a, vous devez le remplacer dans la formule. Eh bien, l'expression 125y 3 est un cube de 5y. Ensuite, vous devez composer le produit à l'aide de la formule et effectuer des calculs.

Dans un premier temps, ou en cas de doute, vous pouvez toujours vérifier par multiplication inverse. Il vous suffit d'ouvrir les parenthèses dans l'expression résultante et d'effectuer des actions avec des termes similaires. Cette méthode s'applique à toutes les méthodes de réduction répertoriées : à la fois pour travailler avec un facteur et un regroupement communs, et pour travailler avec des formules de cubes et de puissances quadratiques.