4. Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue

Une variable aléatoire continue peut être spécifiée à l'aide de la fonction de distribution F(x) . Cette méthode d'affectation n'est pas la seule. Une variable aléatoire continue peut également être spécifiée à l'aide d'une autre fonction appelée densité de distribution ou densité de probabilité (parfois appelée fonction différentielle).

Définition4.1 : Densité de distribution d'une variable aléatoire continue X appeler la fonction f (x) - la dérivée première de la fonction de distribution F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

De cette définition, il s'ensuit que la fonction de distribution est une primitive de la densité de distribution. Notez que la densité de distribution n'est pas applicable pour décrire la distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

Probabilité qu'une variable aléatoire continue tombe dans un intervalle donné

Connaissant la densité de distribution, vous pouvez calculer la probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne une valeur appartenant à un intervalle donné.

Théorème: La probabilité qu'une variable aléatoire continue X prenne des valeurs appartenant à l'intervalle (un, b), est égal à une certaine intégrale de la densité de distribution, prise dans la plage allant deunàb :

Preuve: Nous utilisons le rapport

P.(un ≤ Xb) = F(b) – F(un).

D'après la formule de Newton-Leibniz,

Ainsi,

.

Parce que P.(un ≤ X b)= P.(un X b) , alors nous obtenons enfin

.

Géométriquement, le résultat obtenu peut être interprété comme suit : la probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne une valeur appartenant à l'intervalle (un, b), égale à l'aire d'un trapèze curviligne délimité par l'axeBœuf, courbe de distributionf(x) et droitx = unEtx = b.

Commentaire: En particulier, si f(x) – la fonction est paire et les extrémités de l'intervalle sont symétriques par rapport à l'origine, alors

.

Exemple. La densité de probabilité d'une variable aléatoire est donnée X

Trouvez la probabilité qu'à la suite du test X prendra des valeurs appartenant à l'intervalle (0,5, 1).

Solution: Probabilité requise

.

Trouver la fonction de distribution à partir d'une densité de distribution connue

Connaître la densité de distribution f(x) , on peut trouver la fonction de distribution F(x) selon la formule

.

Vraiment, F(x) = P.(X x) = P.(-∞ X x) .

Ainsi,

.

Ainsi, Connaissant la densité de distribution, vous pouvez trouver la fonction de distribution. Bien entendu, à partir d’une fonction de distribution connue, on peut trouver la densité de distribution, à savoir :

f(x) = F"(x).

Exemple. Trouvez la fonction de distribution pour la densité de distribution donnée :

Solution: Utilisons la formule

Si x ≤ un, Que f(x) = 0 , ainsi, F(x) = 0 . Si un, alors f(x) = 1/(ba),

ainsi,

.

Si x > b, Que

.

Donc, la fonction de distribution requise

Commentaire: Nous avons obtenu la fonction de distribution d'une variable aléatoire uniformément distribuée (voir distribution uniforme).

Propriétés de la densité de distribution

Propriété 1 : La densité de distribution est une fonction non négative :

f ( x ) ≥ 0 .

Propriété 2 : L'intégrale impropre de la densité de distribution dans la plage de -∞ à ∞ est égale à un :

.

Commentaire: Le graphique de densité de distribution s'appelle courbe de distribution.

Commentaire: La densité de distribution d'une variable aléatoire continue est également appelée loi de distribution.

Exemple. La densité de distribution de la variable aléatoire a la forme suivante :

Trouver un paramètre constant un.

Solution: La densité de distribution doit satisfaire la condition , nous exigerons donc que l'égalité soit satisfaite

.

D'ici
.

.

Trouvons l'intégrale indéfinie :

Calculons l'intégrale impropre :

.

Ainsi, le paramètre requis

Signification probable de la densité de distribution F(x) Laisser X– fonction de distribution d’une variable aléatoire continue f(x) = F"(x) . Par définition de la densité de distribution,

, ou F(xDifférenceF(x) +∆x) - X détermine la probabilité que (x, xprendra une valeur appartenant à l'intervalle+∆х) (x, xprendra une valeur appartenant à l'intervalle. Ainsi, la limite du rapport de probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne une valeur appartenant à l'intervalle , à la longueur de cet intervalle (à∆х→0 ) est égal à la valeur de la densité de distribution au point.

X f(x) Donc la fonction ) est égal à la valeur de la densité de distribution au point détermine la densité de distribution de probabilité pour chaque point

Parce que F"(x) = f(x) . Du calcul différentiel, on sait que l'incrément d'une fonction est approximativement égal à la différentielle de la fonction, c'est-à-dire Et = ∆ x dx F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

, Que La signification probabiliste de cette égalité est :x, x+∆ xla probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur appartenant à l'intervalle (.

) est approximativement égal au produit de la densité de probabilité au point x et de la longueur de l'intervalle ∆x: Géométriquement, ce résultat peut être interprété comme suitx, x+∆ xla probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur appartenant à l'intervalle (f(x).

) est approximativement égale à l'aire d'un rectangle de base ∆х et de hauteur

5. Distributions typiques de variables aléatoires discrètes

5.1. Distribution de Bernoulli Définition5.1 : X Variable aléatoire 1 , en prenant deux valeurs 0 Et avec probabilités (« succès ») p et (« échec ») q , appelé:

, Bernoullievskaïa Où=0,1.

k

5.2. Distribution binomiale Qu'il soit produit épreuves indépendantes, dans chacune desquelles l'événement UN peut ou non apparaître. La probabilité qu'un événement se produise dans tous les essais est constante et égale avec probabilités (« succès »)(d'où la probabilité de non-occurrence et (« échec ») = 1 - avec probabilités (« succès »)).

Considérons la variable aléatoire X– nombre d’occurrences de l’événement UN dans ces épreuves. Variable aléatoire X prend des valeurs 0,1,2,… Qu'il soit produit avec des probabilités calculées à l'aide de la formule de Bernoulli : , Où Où = 0,1,2,… Qu'il soit produit.

Définition5.2 : Binôme est appelée la distribution de probabilité déterminée par la formule de Bernoulli.

Exemple. Trois coups sont tirés sur la cible et la probabilité de toucher chaque coup est de 0,8. Considérant une variable aléatoire X– nombre de coups sur la cible. Retrouvez sa série de distribution.

Solution: Variable aléatoire X prend des valeurs 0,1,2,3 avec des probabilités calculées à l'aide de la formule de Bernoulli, où Qu'il soit produit = 3, avec probabilités (« succès ») = 0,8 (probabilité de coup), et (« échec ») = 1 - 0,8 = = 0,2 (probabilité de manquer).

Ainsi, la série de distribution a la forme suivante :

Utilisez la formule de Bernoulli pour les grandes valeurs Qu'il soit produit assez difficile, donc, pour calculer les probabilités correspondantes, utilisez le théorème de Laplace local, qui permet de trouver approximativement la probabilité d'occurrence d'un événement exactement Où une fois tous les Qu'il soit produit tests, si le nombre de tests est suffisamment important.

Théorème de Laplace local: Si la probabilité avec probabilités (« succès ») survenance d'un événement UN
que l'événement UN apparaîtra dans Qu'il soit produit teste exactement Où fois, à peu près égales (plus c'est précis, plus Qu'il soit produit) valeur de la fonction
, Où
, .

Remarque 1 : Tableaux contenant les valeurs des fonctions
, sont donnés en annexe 1, et
. Fonction est la densité de la distribution normale standard (voir distribution normale).

Exemple: Trouver la probabilité que l'événement UN viendra exactement 80 une fois tous les 400 essais si la probabilité d'occurrence de cet événement dans chaque essai est égale à 0,2.

Solution: Par condition Qu'il soit produit = 400, Où = 80, avec probabilités (« succès ») = 0,2 , et (« échec ») = 0,8 . Calculons la valeur déterminée par les données de la tâche x:
. Dans le tableau de l'annexe 1, nous trouvons
. Alors la probabilité recherchée sera :

Si vous devez calculer la probabilité qu'un événement UN apparaîtra dans Qu'il soit produit des tests pas moins Où 1 une fois et pas plus Où 2 fois, alors vous devez utiliser le théorème intégral de Laplace :

Théorème intégral de Laplace: Si la probabilité avec probabilités (« succès ») survenance d'un événement UN dans chaque essai est constante et différente de zéro et un, alors la probabilité que l'événement UN apparaîtra dans Qu'il soit produit tests de Où 1 à Où 2 fois, approximativement égal à une certaine intégrale

, Bernoullievskaïa
Et
.

En d'autres termes, la probabilité qu'un événement UN apparaîtra dans Qu'il soit produit tests de Où 1 à Où 2 fois, à peu près égales

Bernoullievskaïa
, Et .

Remarque2 : Fonction
appelée fonction de Laplace (voir distribution normale). Tableaux contenant les valeurs des fonctions , sont donnés en annexe 2, et
.

Exemple: Trouvez la probabilité que parmi 400 les pièces sélectionnées au hasard se révéleront non testées de 70 à 100 pièces, si la probabilité que la pièce n'ait pas réussi l'inspection de contrôle qualité est égale à 0,2.

Solution: Par condition Qu'il soit produit = 400, avec probabilités (« succès ») = 0,2 , et (« échec ») = 0,8, Où 1 = 70, Où 2 = 100 . Calculons les limites inférieure et supérieure d'intégration :

;
.

Ainsi nous avons :

D'après le tableau de l'annexe 2, nous constatons que
Et
. Alors la probabilité recherchée est :

Remarque 3 : Dans une série d'essais indépendants (lorsque n est grand, p est petit), la formule de Poisson est utilisée pour calculer la probabilité qu'un événement se produise exactement k fois (voir Distribution de Poisson).

5.3. Distribution de Poisson

Définition5.3 : Une variable aléatoire discrète est appelée Poisson, si sa loi de répartition a la forme suivante :

, Bernoullievskaïa
. Du calcul différentiel, on sait que l'incrément d'une fonction est approximativement égal à la différentielle de la fonction, c'est-à-dire
(valeur constante).

Exemples de variables aléatoires de Poisson :

Nombre d'appels vers un poste automatique sur une période donnée T.

Le nombre de particules de désintégration d'une substance radioactive sur une période donnée T.

Nombre de téléviseurs qui arrivent à l'atelier sur une période donnée T dans une grande ville .

Nombre de voitures qui arriveront à la ligne d'arrêt d'une intersection dans une grande ville .

Remarque 1 : Des tableaux particuliers permettant de calculer ces probabilités sont donnés en annexe 3.

Remarque2 : Dans une série de tests indépendants (lorsque Qu'il soit produit super, avec probabilités (« succès ») ne suffit pas) pour calculer la probabilité qu'un événement se produise exactement Où fois en utilisant la formule de Poisson :
, Où
, c'est-à-dire que le nombre moyen d'occurrences d'événements reste constant.

Remarque 3 : S'il existe une variable aléatoire distribuée selon la loi de Poisson, alors il existe nécessairement une variable aléatoire distribuée selon la loi exponentielle et vice versa (voir Distribution exponentielle).

Exemple. L'usine envoyée à la base 5000 produits de bonne qualité. La probabilité que le produit soit endommagé pendant le transport est égale à 0,0002 . Trouvez la probabilité qu’exactement trois produits inutilisables arrivent à la base.

Solution: Par condition Qu'il soit produit = 5000, avec probabilités (« succès ») = 0,0002, Où = 3. Nous trouverons λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

D'après la formule de Poisson, la probabilité recherchée est égale à :

, où est la variable aléatoire X– nombre de produits inutilisables.

5.4. Distribution géométrique

Effectuons des tests indépendants, dans chacun desquels la probabilité que l'événement se produise est UNégal à avec probabilités (« succès »)(0p

et (« échec ») = 1 - avec probabilités (« succès »). Les défis se terminent dès que l'événement apparaît UN. Ainsi, si un événement UN est apparu dans Où-ème test, puis dans le précédent Où – 1 il n'est pas apparu dans les tests.

Notons par X variable aléatoire discrète - le nombre d'essais qui doivent être effectués avant la première occurrence de l'événement UN. Évidemment, les valeurs possibles X sont des nombres naturels x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Laissez d'abord Où-1 événement de test UN n'est pas venu, mais dans Où-ème test est apparu. La probabilité de cet « événement complexe », selon le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants, P. (X = Où) = et (« échec ») Où -1 avec probabilités (« succès »).

Définition5.4 : Une variable aléatoire discrète a distribution géométrique, si sa loi de répartition a la forme suivante :

P. ( X = Où ) = et (« échec ») Où -1 avec probabilités (« succès ») , Où
.

Remarque 1 : Croire Où = 1,2,… , on obtient une progression géométrique avec le premier terme avec probabilités (« succès ») et le dénominateur et (« échec ») (0et (« échec »). Pour cette raison, la distribution est dite géométrique.

Remarque2 : Rangée
converge et sa somme est égale à un. En effet, la somme des séries est égale à
.

Exemple. L'arme tire sur la cible jusqu'au premier coup. Probabilité d'atteindre la cible avec probabilités (« succès ») = 0,6 . Trouvez la probabilité qu'un coup se produise au troisième coup.

Solution: Par condition avec probabilités (« succès ») = 0,6, et (« échec ») = 1 – 0,6 = 0,4, Où = 3. La probabilité requise est :

P. (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Distribution hypergéométrique

Considérons le problème suivant. Laissez la fête sortir N produits disponibles M. standard (M.N). Tiré au hasard du lot Qu'il soit produit produits (chaque produit peut être extrait avec la même probabilité), et le produit sélectionné n'est pas renvoyé dans le lot avant de sélectionner le suivant (la formule de Bernoulli n'est donc pas applicable ici).

Notons par X variable aléatoire - nombre m produits standards parmi Qu'il soit produit choisi. Alors les valeurs possibles X sera 0, 1, 2,…, min ; Étiquetons-les et... Par valeurs de la variable indépendante (Fonds) utilisez le bouton ( chapitre ...

Caractéristiques numériques des variables aléatoires continues. Soit une variable aléatoire continue X spécifiée par la fonction de distribution f(x)

Soit une variable aléatoire continue X spécifiée par la fonction de distribution f(x). Supposons que toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire appartiennent au segment [ un,b].

Définition. Attente mathématique une variable aléatoire continue X, dont les valeurs possibles appartiennent au segment , est appelée une intégrale définie

Si les valeurs possibles d'une variable aléatoire sont considérées sur tout l'axe numérique, alors l'espérance mathématique est trouvée par la formule :

Dans ce cas, bien entendu, on suppose que l’intégrale impropre converge.

Définition. Variance d'une variable aléatoire continue est l'espérance mathématique du carré de son écart.

Par analogie avec la variance d'une variable aléatoire discrète, pour calculer pratiquement la variance, la formule est utilisée :

Définition.Écart type appelée racine carrée de la variance.

Définition. Mode M 0 d'une variable aléatoire discrète est appelée sa valeur la plus probable. Pour une variable aléatoire continue, le mode est la valeur de la variable aléatoire à laquelle la densité de distribution a un maximum.

Si le polygone de distribution d'une variable aléatoire discrète ou la courbe de distribution d'une variable aléatoire continue a deux maxima ou plus, alors une telle distribution est appelée bimodal ou multimodal. Si une distribution a un minimum mais pas de maximum, alors elle est appelée antimodal.

Définition. Médian M D d'une variable aléatoire X est sa valeur par rapport à laquelle il est également probable qu'une valeur plus grande ou plus petite de la variable aléatoire sera obtenue.

Géométriquement, la médiane est l'abscisse du point auquel l'aire limitée par la courbe de répartition est divisée en deux. Notez que si la distribution est unimodale, alors le mode et la médiane coïncident avec l'espérance mathématique.

Définition. Le moment de départ commande Où la variable aléatoire X est l'espérance mathématique de la valeur X k.

Pour une variable aléatoire discrète : .

.

Le moment initial du premier ordre est égal à l’espérance mathématique.

Définition. Moment central commande Où la variable aléatoire X est l'espérance mathématique de la valeur

Pour une variable aléatoire discrète : .

Pour une variable aléatoire continue : .

Le moment central du premier ordre est toujours nul et le moment central du deuxième ordre est égal à la dispersion. Le moment central du troisième ordre caractérise l'asymétrie de la distribution.

Définition. Le rapport du moment central du troisième ordre à l'écart type à la troisième puissance est appelé coefficient d'asymétrie.

Définition. Pour caractériser la pointe et la planéité de la distribution, une quantité appelée excès.

En plus des grandeurs considérées, les moments dits absolus sont également utilisés :

Moment de départ absolu : . Point central absolu : . Le moment central absolu du premier ordre s’appelle écart moyen arithmétique.

Exemple. Pour l'exemple discuté ci-dessus, déterminez l'espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire X.

Exemple. Il y a 6 boules blanches et 4 boules noires dans une urne. Une balle en est retirée cinq fois de suite, et à chaque fois la balle retirée est renvoyée et les balles sont mélangées. En prenant le nombre de boules blanches extraites comme variable aléatoire X, établissez une loi de répartition de cette valeur, déterminez son espérance mathématique et sa dispersion.

Parce que les boules de chaque expérience sont renvoyées et mélangées, les tests peuvent alors être considérés comme indépendants (le résultat de l'expérience précédente n'affecte pas la probabilité d'apparition ou de non-occurrence d'un événement dans une autre expérience).

Ainsi, la probabilité qu’une boule blanche apparaisse dans chaque expérience est constante et égale à

Ainsi, à la suite de cinq essais consécutifs, la boule blanche peut ne pas apparaître du tout, ou apparaître une, deux, trois, quatre ou cinq fois. Pour élaborer une loi de distribution, il faut trouver les probabilités de chacun de ces événements.

1) La boule blanche n'est pas apparue du tout :

2) La boule blanche est apparue une fois :

3) La boule blanche apparaîtra deux fois : .

Exemples de résolution de problèmes sur le thème « Variables aléatoires ».

Tâche 1 . Il y a 100 billets émis pour la loterie. Un gain de 50 USD a été tiré au sort. et dix victoires de 10 USD chacune. Trouvez la loi de distribution de la valeur X - le coût des gains possibles.

Solution. Valeurs possibles pour X : x 1 = 0 ; x 2 = 10 et x 3 = 50. Puisqu’il y a 89 tickets « vides », alors p 1 = 0,89, probabilité de gagner 10$. (10 billets) – p 2 = 0,10 et pour gagner 50 USD -p 3 = 0,01. Ainsi:

Facile à contrôler : .

Tâche 2. La probabilité que l'acheteur ait lu l'annonce du produit à l'avance est de 0,6 (p = 0,6). Le contrôle sélectif de la qualité de la publicité est effectué en interrogeant les acheteurs avant le premier qui a préalablement étudié la publicité. Etablir une série de répartition du nombre d'acheteurs interrogés.

Solution. Selon les conditions du problème, p = 0,6. De : q=1 -p = 0,4. En substituant ces valeurs, on obtient : et construire une série de distribution :

Tâche 3. Un ordinateur se compose de trois éléments fonctionnant indépendamment : l’unité centrale, le moniteur et le clavier. Avec une seule forte augmentation de tension, la probabilité de défaillance de chaque élément est de 0,1. A partir de la distribution de Bernoulli, établir une loi de répartition du nombre d'éléments défaillants lors d'une surtension dans le réseau.

Solution. Considérons Distribution de Bernoulli(ou binôme) : la probabilité que Qu'il soit produit tests, l'événement A apparaîtra exactement Où une fois: , ou:

DANS Revenons à la tâche.

Valeurs possibles pour X (nombre d'échecs) :

x 0 =0 – aucun des éléments n'a échoué ;

x 1 =1 – défaillance d'un élément ;

x 2 =2 – défaillance de deux éléments ;

x 3 = 3 – défaillance de tous les éléments.

Puisque, par condition, p = 0,1, alors q = 1 – p = 0,9. En utilisant la formule de Bernoulli, on obtient

, ,

, .

Contrôle: .

Par conséquent, la loi de distribution requise :

Problème 4. 5 000 cartouches produites. Probabilité qu'une cartouche soit défectueuse . Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement 3 cartouches défectueuses dans l’ensemble du lot ?

Solution. En vigueur Distribution de Poisson: Cette distribution est utilisée pour déterminer la probabilité que, pour de très grandes

nombre de tests (tests de masse), dans chacun desquels la probabilité de l'événement A est très faible, l'événement A se produira k fois : , Où .

Ici n = 5000, p = 0,0002, k = 3. On trouve alors la probabilité souhaitée : .

Problème 5. Lors du tir jusqu'au premier coup avec une probabilité de coup p = 0,6 lors du tir, vous devez trouver la probabilité qu'un coup se produise au troisième coup.

Solution. Appliquons une distribution géométrique : effectuons des essais indépendants, dans chacun desquels A a une probabilité d'occurrence p (et de non-occurrence q = 1 – p). Le test se termine dès que l'événement A se produit.

Dans de telles conditions, la probabilité que l'événement A se produise lors du kième essai est déterminée par la formule : . Ici p = 0,6 ; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Par conséquent, .

Problème 6. Soit la loi de distribution d'une variable aléatoire X :

Trouvez l'espérance mathématique.

Solution. .

Notez que la signification probabiliste de l'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Problème 7. Trouvez la variance de la variable aléatoire X avec la loi de distribution suivante :

Solution. Ici .

Loi de distribution pour la valeur au carré de X 2 :

Variation requise : .

La dispersion caractérise la mesure de l'écart (dispersion) d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique.

Problème 8. Soit une variable aléatoire donnée par la distribution :

Trouvez ses caractéristiques numériques.

Solution : m, m 2 ,

M. 2 , m.

À propos de la variable aléatoire X, nous pouvons dire soit : son espérance mathématique est de 6,4 m avec une variance de 13,04 m 2 , ou – son espérance mathématique est de 6,4 m avec un écart de m La deuxième formulation est évidemment plus claire.

Tâche 9. Variable aléatoire X donné par la fonction de distribution :
.

Trouver la probabilité qu'à la suite du test, la valeur X prenne la valeur contenue dans l'intervalle .

Solution. La probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle donné est égale à l'incrément de la fonction intégrale dans cet intervalle, c'est-à-dire . Dans notre cas et donc

.

Tâche 10. Variable aléatoire discrète X est donnée par la loi de distribution :

Trouver la fonction de distribution F(x ) et tracez-le.

Solution. Depuis la fonction de distribution,

Pour , Que

à ;

à ;

à ;

à ;

Graphique pertinent :

Problème 11. Variable aléatoire continue X donné par la fonction de distribution différentielle : .

Trouver la probabilité de réussite X par intervalle

Solution. Notez qu'il s'agit d'un cas particulier de la loi de distribution exponentielle.

Utilisons la formule : .

Tâche 12. Trouver les caractéristiques numériques d'une variable aléatoire discrète X spécifiée par la loi de distribution :

9. Variable aléatoire continue, ses caractéristiques numériques

Une variable aléatoire continue peut être spécifiée à l'aide de deux fonctions. Fonction de distribution de probabilité intégrale de la variable aléatoire X est appelée une fonction définie par l'égalité
.

La fonction intégrale fournit un moyen général de spécifier des variables aléatoires discrètes et continues. Dans le cas d'une variable aléatoire continue. Tous les événements : ont la même probabilité, égale à l'incrément de la fonction intégrale sur cet intervalle, c'est-à-dire. Par exemple, pour la variable aléatoire discrète spécifiée dans l'exemple 26, on a :

Ainsi, le graphique de la fonction intégrale de la fonction considérée est une union de deux rayons et trois segments parallèles à l'axe Ox.

Exemple 27. La variable aléatoire continue X est spécifiée par la fonction de distribution de probabilité intégrale

.

Construisez un graphique de la fonction intégrale et trouvez la probabilité qu'à la suite du test, la variable aléatoire X prenne une valeur dans l'intervalle (0,5 ; 1,5).

Solution. Sur l'intervalle
le graphique est la droite y = 0. Dans l'intervalle de 0 à 2 il y a une parabole donnée par l'équation
. Sur l'intervalle
Le graphique est la droite y = 1.

La probabilité que la variable aléatoire X à la suite du test prenne une valeur dans l'intervalle (0,5 ; 1,5) est trouvée à l'aide de la formule.

Ainsi, .

Propriétés de la fonction de distribution de probabilité intégrale :

Il est pratique de spécifier la loi de distribution d'une variable aléatoire continue à l'aide d'une autre fonction, à savoir : fonction de densité de probabilité
.

La probabilité que la valeur prise par la variable aléatoire X se situe dans l'intervalle
, est déterminé par l'égalité
.

Le graphique d'une fonction s'appelle courbe de distribution. Géométriquement, la probabilité qu'une variable aléatoire X tombe dans l'intervalle est égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant délimitée par la courbe de répartition, l'axe Ox et les droites
.

Propriétés de la fonction de densité de probabilité :

9.1. Caractéristiques numériques des variables aléatoires continues

Attente(valeur moyenne) d'une variable aléatoire continue X est déterminée par l'égalité
.

M(X) est noté UN. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue a des propriétés similaires à celles d'une variable aléatoire discrète :

Variance la variable aléatoire discrète X est l'espérance mathématique de l'écart carré de la variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique, c'est-à-dire . Pour une variable aléatoire continue, la variance est donnée par la formule
.

La dispersion a les propriétés suivantes :

La dernière propriété est très pratique à utiliser pour trouver la variance d’une variable aléatoire continue.

La notion d’écart type est introduite de la même manière. L'écart type du continu la variable aléatoire X est appelée racine carrée de la variance, c'est-à-dire
.

Exemple 28. Une variable aléatoire continue X est spécifiée par une fonction de densité de probabilité
dans l'intervalle (10;12), en dehors de cet intervalle la valeur de la fonction est 0. Trouver 1) la valeur du paramètre UN, 2) espérance mathématique M(X), variance
, écart type, 3) fonction intégrale
et construire des graphiques de fonctions intégrales et différentielles.

1). Pour trouver un paramètre UN utilise la formule
. Nous l'aurons. Ainsi,
.

2). Pour trouver l'espérance mathématique, on utilise la formule : , d'où il résulte que
.

Nous trouverons l'écart en utilisant la formule :
, c'est-à-dire .

Trouvons l'écart type à l'aide de la formule : , d'où on obtient cela
.

3). La fonction intégrale est exprimée par la fonction de densité de probabilité comme suit :
. Ainsi,
à
, = 0 à
u = 1 à
.

Les graphiques de ces fonctions sont présentés dans la Fig. 4. et fig. 5.

Fig.4 Fig.5.

9.2. Distribution de probabilité uniforme d'une variable aléatoire continue

Distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue X uniformément sur l'intervalle si sa densité de probabilité est constante sur cet intervalle et égale à zéro en dehors de cet intervalle, soit . Il est facile de montrer que dans ce cas
.

Si l'intervalle
est contenu dans l'intervalle, alors
.

Exemple 29. Un événement de signal instantané doit se produire entre une heure et cinq heures. Le temps d'attente du signal est une variable aléatoire X. Trouvez la probabilité que le signal soit détecté entre deux et trois heures de l'après-midi.

Solution. La variable aléatoire X a une distribution uniforme, et en utilisant la formule on trouve que la probabilité que le signal soit entre 2 et 3 heures de l'après-midi est égale à
.

Dans la littérature pédagogique et autre, ils sont souvent désignés dans la littérature par
.

9.3. Distribution de probabilité normale d'une variable aléatoire continue

La distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue est dite normale si sa loi de distribution de probabilité est déterminée par la densité de probabilité
. Pour de telles quantités UN– l'espérance mathématique,
- écart type.

Théorème. Probabilité qu'une variable aléatoire continue normalement distribuée tombe dans un intervalle donné
déterminé par la formule
, Où
- Fonction Laplace.

Une conséquence de ce théorème est la règle des trois sigma, c'est-à-dire Il est presque certain qu'une variable aléatoire continue et normalement distribuée X prend ses valeurs dans l'intervalle
. Cette règle peut être dérivée de la formule
, qui est un cas particulier du théorème formulé.

Exemple 30. La durée de vie du téléviseur est une variable aléatoire X, soumise à la loi normale de distribution, avec une période de garantie de 15 ans et un écart type de 3 ans. Trouvez la probabilité que le téléviseur dure de 10 à 20 ans.

Solution. Selon les conditions du problème, l'espérance mathématique UN= 15, écart type.

Trouvons . Ainsi, la probabilité que le téléviseur fonctionne pendant 10 à 20 ans est supérieure à 0,9.

9.4. L'inégalité de Chebyshev

A lieu Lemme de Chebyshev. Si une variable aléatoire X ne prend que des valeurs non négatives et a une espérance mathématique, alors pour tout positif V
.

En considérant que, comme la somme des probabilités d’événements opposés, on obtient que
.

Théorème de Chebyshev. Si la variable aléatoire X a une variance finie
et l'espérance mathématique M(X), alors pour tout positif l'inégalité est vraie
.

D'où il suit que
.

Exemple 31. Un lot de pièces a été produit. La longueur moyenne des pièces est de 100 cm et l'écart type est de 0,4 cm. Estimez ci-dessous la probabilité que la longueur d'une pièce prise au hasard soit d'au moins 99 cm. et pas plus de 101 cm.

Solution. Variance. L'espérance mathématique est de 100. Par conséquent, pour estimer par le bas la probabilité de l'événement en question
Appliquons l'inégalité de Chebyshev, dans laquelle
, Alors
.

10. Éléments de statistiques mathématiques

Agrégat statistique nommer un ensemble d’objets ou de phénomènes homogènes. Nombre n Les éléments de cet ensemble sont appelés le volume de la collection. Valeurs observées le trait X est appelé choix. Si les options sont classées dans un ordre croissant, alors nous obtenons série à variation discrète. Dans le cas du regroupement, l'option par intervalles s'avère être série de variations d'intervalle. Sous fréquence t les valeurs caractéristiques comprennent le nombre de membres de la population avec une variante donnée.

Le rapport entre la fréquence et le volume d'une population statistique est appelé fréquence relative signe:
.

La relation entre les variantes d'une série de variations et leurs fréquences est appelée répartition statistique de l'échantillon. Une représentation graphique de la distribution statistique peut être polygone fréquence

Exemple 32. En interrogeant 25 étudiants de première année, les données suivantes sur leur âge ont été obtenues :
. Compilez une répartition statistique des élèves par âge, trouvez l'étendue de variation, construisez un polygone de fréquence et compilez une série de distributions de fréquences relatives.

Solution. En utilisant les données obtenues à partir de l'enquête, nous créerons une distribution statistique de l'échantillon

La plage de l'échantillon de variation est 23 – 17 = 6. Pour construire un polygone de fréquence, construisez des points avec des coordonnées
et connectez-les en série.

La série de distribution de fréquence relative a la forme :

10.1.Caractéristiques numériques de la série de variations

Supposons que l'échantillon soit donné par une série de distributions de fréquences de la caractéristique X :

La somme de toutes les fréquences est égale p.

Moyenne arithmétique de l'échantillon nommer la quantité
.

Variance ou la mesure de dispersion des valeurs d'une caractéristique X par rapport à sa moyenne arithmétique est appelée la valeur
. L'écart type est la racine carrée de la variance, c'est-à-dire .

Le rapport de l'écart type à la moyenne arithmétique de l'échantillon, exprimé en pourcentage, est appelé coefficient de variation:
.

Fonction de distribution de fréquence relative empirique appeler une fonction qui détermine pour chaque valeur la fréquence relative de l'événement
, c'est-à-dire
, Où - nombre d'options, plus petit ) est égal à la valeur de la densité de distribution au point, UN n– taille de l'échantillon.

Exemple 33. Dans les conditions de l'exemple 32, retrouver les caractéristiques numériques
.

Solution. Trouvons la moyenne arithmétique de l'échantillon à l'aide de la formule, puis .

La variance du trait X est trouvée par la formule : , c'est-à-dire . L'écart type de l'échantillon est
. Le coefficient de variation est
.

10.2. Estimation de probabilité par fréquence relative. Intervalle de confiance

Qu'il soit réalisé n essais indépendants, dans chacun desquels la probabilité d'occurrence de l'événement A est constante et égale à r. Dans ce cas, la probabilité que la fréquence relative diffère de la probabilité d'apparition de l'événement A dans chaque essai en valeur absolue n'est pas supérieure à environ deux fois la valeur de la fonction intégrale de Laplace :
.

Estimation d'intervalle appelons une telle estimation, qui est déterminée par deux nombres qui sont les extrémités de l'intervalle couvrant le paramètre estimé de la population statistique.

Intervalle de confianceest un intervalle qui, avec une probabilité de confiance donnée couvre le paramètre estimé de la population statistique. Considérant la formule dans laquelle on remplace la quantité inconnue rà sa valeur approximative obtenu à partir des données de l’échantillon, nous obtenons :
. Cette formule est utilisée pour estimer la probabilité par fréquence relative. Nombres
, en prenant deux valeurs
appelés inférieur et, respectivement, supérieur limites de confiance, - l'erreur maximale pour une probabilité de confiance donnée
.

Exemple 34. L'atelier de l'usine produit des ampoules. Lors du contrôle de 625 lampes, 40 se sont révélées défectueuses. Trouvez, avec une probabilité de confiance de 0,95, les limites dans lesquelles se situe le pourcentage d'ampoules défectueuses produites par l'atelier de l'usine.

Solution. Selon les conditions de la tâche. Nous utilisons la formule
. A l'aide du tableau 2 de l'annexe, on retrouve la valeur de l'argument, dans lequel la valeur de la fonction intégrale de Laplace est égale à 0,475. Nous obtenons cela
. Ainsi, . On peut donc dire avec une probabilité de 0,95 que la part des défauts produits par l'atelier est élevée, à savoir qu'elle varie de 6,2% à 6,6%.

10.3. Estimation des paramètres en statistiques

Supposons que la caractéristique quantitative X de l'ensemble de la population étudiée (population générale) ait une distribution normale.

Si l'écart type est connu, alors l'intervalle de confiance couvrant l'espérance mathématique UN

, Où n– taille de l'échantillon, - un exemple de moyenne arithmétique, t est l'argument de la fonction intégrale de Laplace, auquel
. Dans ce cas, le numéro
appelée précision de l’estimation.

Si l'écart type est inconnu, alors à partir des données de l'échantillon, il est possible de construire une variable aléatoire qui a une distribution de Student avec n– 1 degrés de liberté, déterminés par un seul paramètre n et ne dépend pas d'inconnues UN Et . Distribution t de Student même pour les petits échantillons
donne des notes tout à fait satisfaisantes. Ensuite, l'intervalle de confiance couvrant l'espérance mathématique UN de cette caractéristique avec une probabilité de confiance donnée est trouvée à partir de la condition

, où S est le carré moyen corrigé, - Coefficient de Student, trouvé à partir des données
du tableau 3 de l’annexe.

L'intervalle de confiance couvrant l'écart type de cette caractéristique avec une probabilité de confiance est trouvé à l'aide des formules : et , où
trouvé dans le tableau des valeurs et (« échec ») selon les données.

10.4. Méthodes statistiques pour étudier les dépendances entre variables aléatoires

La dépendance de corrélation de Y sur X est la dépendance fonctionnelle de la moyenne conditionnelle depuis X.Équation
représente l'équation de régression de Y sur X, et
- équation de régression de X sur Y.

La dépendance de corrélation peut être linéaire ou curviligne. Dans le cas d'une dépendance de corrélation linéaire, l'équation de la droite de régression a la forme :
, où la pente UN la droite de régression Y sur X est appelée coefficient de régression d'échantillon Y sur X et est notée
.

Pour les petits échantillons, les données ne sont pas regroupées, les paramètres
sont trouvés en utilisant la méthode des moindres carrés du système d'équations normales :

, Où n– nombre d'observations de valeurs de paires de quantités interdépendantes.

Exemple de coefficient de corrélation linéaire montre la relation étroite entre Y et X. Le coefficient de corrélation est trouvé à l'aide de la formule
, et
, à savoir :

L'exemple d'équation de la droite de régression Y sur X a la forme :

.

Avec un grand nombre d'observations des caractéristiques X et Y, un tableau de corrélation à deux entrées est établi, avec la même valeur ) est égal à la valeur de la densité de distribution au point observé fois, même sens à observé fois, même paire
observé une fois.

Exemple 35. Un tableau d'observations des signes X et Y est donné.

Trouvez l’exemple d’équation de la droite de régression Y sur X.

Solution. La relation entre les caractéristiques étudiées peut être exprimée par l'équation d'une droite de régression de Y sur X : . Pour calculer les coefficients de l'équation, nous allons créer une table de calcul :

Comme on le sait, variable aléatoire est une quantité variable qui peut prendre certaines valeurs selon les cas. Les variables aléatoires sont désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin (X, Y, Z) et leurs valeurs sont désignées par les lettres minuscules correspondantes (x, y, z). Les variables aléatoires sont divisées en discontinues (discrètes) et continues.

Variable aléatoire discrète est une variable aléatoire qui ne prend qu'un ensemble fini ou infini (dénombrable) de valeurs avec certaines probabilités non nulles.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est une fonction qui relie les valeurs d'une variable aléatoire avec leurs probabilités correspondantes. La loi de distribution peut être spécifiée de l'une des manières suivantes.

1 . La loi de distribution peut être donnée par le tableau :

où λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) en utilisant fonction de distribution F(x) , qui détermine pour chaque valeur x la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à x, c'est-à-dire F(x) = P(X< x).

Propriétés de la fonction F(x)

3 . La loi de distribution peut être spécifiée graphiquement – polygone de distribution (polygone) (voir problème 3).

A noter que pour résoudre certains problèmes il n’est pas nécessaire de connaître la loi de répartition. Dans certains cas, il suffit de connaître un ou plusieurs nombres qui reflètent les caractéristiques les plus importantes de la loi de répartition. Il peut s'agir d'un nombre qui a la signification de « valeur moyenne » d'une variable aléatoire, ou d'un nombre indiquant la taille moyenne de l'écart d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne.

Les nombres de ce type sont appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire. :

• Caractéristiques numériques de base d'une variable aléatoire discrète Attente mathématique (valeur moyenne) d'une variable aléatoire discrète.
  M(X)=Σ X je p je
• Pour la distribution binomiale M(X)=np, pour la distribution de Poisson M(X)=λ Dispersion variable aléatoire discrète D(X)=M2 ou D(X) = M(X 2)− 2
  . La différence X–M(X) est appelée l’écart d’une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique.
• Pour la distribution binomiale D(X)=npq, pour la distribution de Poisson D(X)=λ Écart type (écart type).

σ(X)=√D(X)

Exemples de résolution de problèmes sur le thème « La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète »

Tâche 1.

Solution. 1000 billets de loterie ont été émis : 5 d'entre eux gagneront 500 roubles, 10 gagneront 100 roubles, 20 gagneront 50 roubles, 50 gagneront 10 roubles. Déterminez la loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire X - gains par ticket.

Selon les conditions du problème, les valeurs suivantes de la variable aléatoire X sont possibles : 0, 10, 50, 100 et 500.

Le nombre de tickets sans gain est de 1000 – (5+10+20+50) = 915, alors P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

De même, on retrouve toutes les autres probabilités : P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Présentons la loi résultante sous forme de tableau :

Trouvons l'espérance mathématique de la valeur X : M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tâche 3.

Solution. 1. La variable aléatoire discrète X = (le nombre d'éléments défaillants dans une expérience) a les valeurs possibles suivantes : x 1 =0 (aucun des éléments du dispositif n'a échoué), x 2 =1 (un élément a échoué), x 3 =2 ( deux éléments ont échoué) et x 4 = 3 (trois éléments ont échoué).

Les défaillances des éléments sont indépendantes les unes des autres, les probabilités de défaillance de chaque élément sont égales, donc applicable Formule de Bernoulli . Considérant que, selon la condition n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, on détermine les probabilités des valeurs :
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729 ;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243 ;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027 ;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001 ;
Vérifier : ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Ainsi, la loi de distribution binomiale souhaitée de X a la forme :

Nous traçons les valeurs possibles de x i le long de l'axe des abscisses et les probabilités correspondantes p i le long de l'axe des ordonnées. Construisons les points M 1 (0 ; 0,729), M 2 (1 ; 0,243), M 3 (2 ; 0,027), M 4 (3 ; 0,001). En reliant ces points avec des segments de droite, on obtient le polygone de distribution souhaité.

3. Trouvons la fonction de distribution F(x) = Р(Х

Graphique de la fonction F(x)

4. Pour la distribution binomiale X :
- espérance mathématique M(X) = np = 3*0,1 = 0,3 ;
- variance D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27 ;
- écart type σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.