Exemples de somme de logarithmes avec différentes bases. Résolution d'équations logarithmiques - Leçon finale

Nous connaissons tous les équations de l’école primaire. Là, nous avons également appris à résoudre les exemples les plus simples, et nous devons admettre qu'ils trouvent leur application même dans les mathématiques supérieures. Tout est simple avec les équations, y compris les équations quadratiques. Si vous rencontrez des difficultés avec ce sujet, nous vous recommandons fortement de le consulter.

Vous avez probablement déjà étudié les logarithmes. Cependant, nous considérons qu'il est important de dire de quoi il s'agit pour ceux qui ne le savent pas encore. Un logarithme est assimilé à la puissance à laquelle il faut élever la base pour obtenir le nombre à droite du signe du logarithme. Donnons un exemple à partir duquel tout deviendra clair pour vous.

Si vous élevez 3 à la puissance quatrième, vous obtenez 81. Remplacez maintenant les nombres par analogie et vous comprendrez enfin comment les logarithmes sont résolus. Il ne reste plus qu'à combiner les deux concepts évoqués. Au premier abord, la situation semble extrêmement compliquée, mais après un examen plus approfondi, le poids se met en place. Nous sommes sûrs qu'après ce court article, vous n'aurez aucun problème dans cette partie de l'examen d'État unifié.

Il existe aujourd’hui de nombreuses façons de résoudre de telles structures. Nous vous parlerons des tâches les plus simples, les plus efficaces et les plus applicables dans le cas des tâches d'examen d'État unifié. La résolution d’équations logarithmiques doit commencer par l’exemple le plus simple. Les équations logarithmiques les plus simples sont constituées d'une fonction et d'une variable.

Il est important de noter que x est à l’intérieur de l’argument. A et b doivent être des nombres. Dans ce cas, vous pouvez simplement exprimer la fonction en termes de nombre et de puissance. Cela ressemble à ceci.

Bien entendu, résoudre une équation logarithmique à l’aide de cette méthode vous mènera à la bonne réponse. Le problème pour la grande majorité des étudiants dans ce cas est qu’ils ne comprennent pas ce qui vient et d’où cela vient. Du coup, il faut supporter des erreurs et ne pas obtenir les points souhaités. L'erreur la plus offensante sera de mélanger les lettres. Pour résoudre l’équation de cette façon, vous devez mémoriser cette formule scolaire standard car elle est difficile à comprendre.

Pour vous faciliter la tâche, vous pouvez recourir à une autre méthode : la forme canonique. L'idée est extrêmement simple. Ramenez votre attention sur le problème. N'oubliez pas que la lettre a est un nombre, pas une fonction ou une variable. A n’est pas égal à un et supérieur à zéro. Il n'y a aucune restriction sur b. Or, de toutes les formules, retenons-en une. B peut être exprimé comme suit.

Il s'ensuit que toutes les équations originales avec logarithmes peuvent être représentées sous la forme :

Nous pouvons maintenant supprimer les logarithmes. Le résultat est un design simple, comme nous l’avons déjà vu plus tôt.

L’avantage de cette formule réside dans le fait qu’elle peut être utilisée dans une grande variété de cas, et pas seulement pour les conceptions les plus simples.

Ne vous inquiétez pas pour OOF !

De nombreux mathématiciens expérimentés remarqueront que nous n’avons pas prêté attention au domaine de la définition. La règle se résume au fait que F(x) est nécessairement supérieur à 0. Non, nous n’avons pas manqué ce point. Nous parlons maintenant d'un autre avantage sérieux de la forme canonique.

Il n'y aura pas de racines supplémentaires ici. Si une variable n’apparaît qu’à un seul endroit, alors une portée n’est pas nécessaire. Cela se fait automatiquement. Pour vérifier ce jugement, essayez de résoudre plusieurs exemples simples.

Comment résoudre des équations logarithmiques avec différentes bases

Ce sont déjà des équations logarithmiques complexes et l'approche pour les résoudre doit être particulière. Ici, il est rarement possible de se limiter à la fameuse forme canonique. Commençons notre histoire détaillée. On a la construction suivante.

Faites attention à la fraction. Il contient le logarithme. Si vous voyez cela dans une tâche, rappelez-vous une astuce intéressante.

Qu'est-ce que ça veut dire? Chaque logarithme peut être représenté comme le quotient de deux logarithmes avec une base pratique. Et cette formule a un cas particulier qui s'applique à cet exemple (nous voulons dire si c=b).

C'est exactement la fraction que nous voyons dans notre exemple. Ainsi.

Essentiellement, nous avons inversé la fraction et obtenu une expression plus pratique. Souvenez-vous de cet algorithme !

Il faut maintenant que l'équation logarithmique ne contienne pas de bases différentes. Représentons la base sous forme de fraction.

En mathématiques, il existe une règle sur la base de laquelle vous pouvez déduire un diplôme à partir d’une base. Les résultats de construction suivants.

Il semblerait qu'est-ce qui nous empêche maintenant de transformer notre expression en forme canonique et de la résoudre de manière élémentaire ? Ce n'est pas si simple. Il ne doit y avoir aucune fraction avant le logarithme. Réparons cette situation ! Une fraction peut être utilisée comme diplôme.

Respectivement.

Si les bases sont les mêmes, nous pouvons supprimer les logarithmes et assimiler les expressions elles-mêmes. De cette façon, la situation deviendra beaucoup plus simple qu’elle ne l’était. Ce qui restera, c’est une équation élémentaire que chacun d’entre nous a su résoudre dès la 8e voire la 7e année. Vous pouvez faire les calculs vous-même.

Nous avons obtenu la seule vraie racine de cette équation logarithmique. Les exemples de résolution d’une équation logarithmique sont assez simples, n’est-ce pas ? Vous serez désormais en mesure de gérer de manière indépendante même les tâches les plus complexes pour préparer et réussir l'examen d'État unifié.

Quel est le résultat ?

Dans le cas de toute équation logarithmique, nous partons d'une règle très importante. Il faut agir de manière à réduire l’expression à la forme la plus simple possible. Dans ce cas, vous aurez plus de chances non seulement de résoudre la tâche correctement, mais également de la faire de la manière la plus simple et la plus logique possible. C’est exactement ainsi que fonctionnent toujours les mathématiciens.

Nous vous déconseillons fortement de rechercher des chemins difficiles, surtout dans ce cas. N'oubliez pas quelques règles simples qui vous permettront de transformer n'importe quelle expression. Par exemple, réduisez deux ou trois logarithmes à la même base ou dérivez une puissance de la base et gagnez là-dessus.

Il convient également de rappeler que la résolution d’équations logarithmiques nécessite une pratique constante. Peu à peu, vous passerez à des structures de plus en plus complexes, ce qui vous amènera à résoudre en toute confiance toutes les variantes des problèmes de l'examen d'État unifié. Préparez vos examens bien à l’avance et bonne chance !

Logarithme du nombre b (b > 0) en base a (a > 0, a ≠ 1)– exposant auquel il faut élever le nombre a pour obtenir b.

Le logarithme en base 10 de b peut s’écrire journal(b), et le logarithme en base e (logarithme népérien) est ln(b).

Souvent utilisé pour résoudre des problèmes avec des logarithmes :

Propriétés des logarithmes

Il y a quatre principaux propriétés des logarithmes.

Soit a > 0, a ≠ 1, x > 0 et y > 0.

Propriété 1. Logarithme du produit

Logarithme du produitégal à la somme des logarithmes :

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Propriété 2. Logarithme du quotient

Logarithme du quotientégal à la différence des logarithmes :

log a (x / y) = log a x – log a y

Propriété 3. Logarithme de puissance

Logarithme de degréégal au produit de la puissance et du logarithme :

Si la base du logarithme est au pouvoir, alors une autre formule s'applique :

Propriété 4. Logarithme de la racine

Cette propriété peut être obtenue à partir de la propriété du logarithme d'une puissance, puisque la racine nième de la puissance est égale à la puissance de 1/n :

Formule pour convertir un logarithme dans une base en un logarithme dans une autre base

Cette formule est également souvent utilisée lors de la résolution de diverses tâches sur les logarithmes :

Cas particulier :

Comparaison de logarithmes (inégalités)

Ayons 2 fonctions f(x) et g(x) sous logarithmes de mêmes bases et entre elles il y a un signe d'inégalité :

Pour les comparer, il faut d'abord regarder la base des logarithmes a :

• Si a > 0, alors f(x) > g(x) > 0
• Si 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Comment résoudre des problèmes avec les logarithmes : exemples

Problèmes avec les logarithmes inclus dans l'examen d'État unifié en mathématiques pour la 11e année dans les tâches 5 et 7, vous pouvez trouver des tâches avec des solutions sur notre site Web dans les sections appropriées. De plus, des tâches comportant des logarithmes se trouvent dans la banque de tâches mathématiques. Vous pouvez trouver tous les exemples en effectuant une recherche sur le site.

Qu'est-ce qu'un logarithme

Les logarithmes ont toujours été considérés comme un sujet difficile dans les cours de mathématiques à l'école. Il existe de nombreuses définitions différentes du logarithme, mais pour une raison quelconque, la plupart des manuels utilisent les plus complexes et les plus infructueuses d'entre elles.

Nous définirons le logarithme simplement et clairement. Pour ce faire, créons un tableau :

Nous avons donc des puissances de deux.

Logarithmes - propriétés, formules, comment résoudre

Si vous prenez le nombre de la ligne du bas, vous pouvez facilement trouver la puissance à laquelle vous devrez relancer deux pour obtenir ce nombre. Par exemple, pour obtenir 16, vous devez élever deux à la puissance quatrième. Et pour obtenir 64, il faut élever deux à la puissance sixième. Cela peut être vu sur le tableau.

Et maintenant - en fait, la définition du logarithme :

la base a de l'argument x est la puissance à laquelle le nombre a doit être élevé pour obtenir le nombre x.

Désignation : log a x = b, où a est la base, x est l'argument, b est ce à quoi le logarithme est réellement égal.

Par exemple, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (le logarithme en base 2 de 8 est trois car 2 3 = 8). Avec le même succès, log 2 64 = 6, puisque 2 6 = 64.

L'opération consistant à trouver le logarithme d'un nombre selon une base donnée est appelée. Alors, ajoutons une nouvelle ligne à notre tableau :

Malheureusement, tous les logarithmes ne se calculent pas aussi facilement. Par exemple, essayez de trouver le log 2 5. Le nombre 5 n'est pas dans le tableau, mais la logique veut que le logarithme se situe quelque part sur l'intervalle. Parce que 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

De tels nombres sont appelés irrationnels : les nombres après la virgule peuvent être écrits à l'infini et ils ne sont jamais répétés. Si le logarithme s'avère irrationnel, il vaut mieux le laisser ainsi : log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Il est important de comprendre qu’un logarithme est une expression à deux variables (la base et l’argument). Au début, beaucoup de gens confondent où se trouve la base et où se trouve l’argument. Pour éviter des malentendus gênants, il suffit de regarder l'image :

Nous n’avons devant nous rien d’autre que la définition d’un logarithme. Souviens-toi: le logarithme est une puissance, dans lequel la base doit être construite pour obtenir un argument. C'est la base qui est élevée à une puissance - elle est surlignée en rouge sur la photo. Il s'avère que la base est toujours en bas ! J'enseigne cette merveilleuse règle à mes élèves dès la première leçon - et aucune confusion ne surgit.

Comment compter les logarithmes

Nous avons trouvé la définition - il ne reste plus qu'à apprendre à compter les logarithmes, c'est-à-dire débarrassez-vous du panneau « journal ». Pour commencer, notons que deux faits importants découlent de la définition :

1. L'argument et la base doivent toujours être supérieurs à zéro. Cela découle de la définition d'un degré par un exposant rationnel, à laquelle se réduit la définition d'un logarithme.
2. La base doit être différente de l'unité, puisque l'unité reste une à quelque degré que ce soit. De ce fait, la question « à quel pouvoir faut-il être élevé pour en avoir deux » n’a pas de sens. Un tel diplôme n'existe pas !

De telles restrictions sont appelées plage de valeurs acceptables(ODZ). Il s'avère que l'ODZ du logarithme ressemble à ceci : log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Notez qu'il n'y a aucune restriction sur le nombre b (la valeur du logarithme). Par exemple, le logarithme peut très bien être négatif : log 2 0,5 = −1, car 0,5 = 2 −1.

Cependant, nous ne considérons maintenant que des expressions numériques, pour lesquelles il n'est pas nécessaire de connaître la VA du logarithme. Toutes les restrictions ont déjà été prises en compte par les auteurs des problèmes. Mais lorsque les équations logarithmiques et les inégalités entreront en jeu, les exigences DL deviendront obligatoires. Après tout, la base et l’argumentation peuvent contenir des constructions très fortes qui ne correspondent pas nécessairement aux restrictions ci-dessus.

Examinons maintenant le schéma général de calcul des logarithmes. Il se compose de trois étapes :

1. Exprimez la base a et l'argument x sous la forme d'une puissance avec la base minimale possible supérieure à un. En chemin, il vaut mieux se débarrasser des décimales ;
2. Résolvez l'équation de la variable b : x = a b ;
3. Le nombre résultant b sera la réponse.

C'est ça! Si le logarithme s’avère irrationnel, cela sera visible dès la première étape. L'exigence que la base soit supérieure à un est très importante : cela réduit le risque d'erreur et simplifie grandement les calculs. C’est la même chose avec les fractions décimales : si vous les convertissez immédiatement en fractions ordinaires, il y aura beaucoup moins d’erreurs.

Voyons comment ce schéma fonctionne à l'aide d'exemples spécifiques :

Tâche. Calculez le logarithme : log 5 25

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de cinq : 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Créons et résolvons l'équation :
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Nous avons reçu la réponse : 2.

Tâche. Calculez le logarithme :

Tâche. Calculez le logarithme : log 4 64

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 3.

Tâche. Calculez le logarithme : log 16 1

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 0.

Tâche. Calculez le logarithme : log 7 14

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de sept : 7 = 7 1 ; 14 ne peut pas être représenté comme une puissance de sept, puisque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Il résulte du paragraphe précédent que le logarithme ne compte pas ;
3. La réponse est aucun changement : log 7 14.

Une petite note sur le dernier exemple. Comment être sûr qu’un nombre n’est pas la puissance exacte d’un autre nombre ? C'est très simple : il suffit de le prendre en compte en facteurs premiers. Si l’expansion comporte au moins deux facteurs différents, le nombre n’est pas une puissance exacte.

Tâche. Découvrez si les nombres sont des puissances exactes : 8 ; 48 ; 81 ; 35 ; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - degré exact, car il n'y a qu'un seul multiplicateur ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - n'est pas une puissance exacte, puisqu'il y a deux facteurs : 3 et 2 ;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - degré exact ;
35 = 7 · 5 - encore une fois, ce n'est pas une puissance exacte ;
14 = 7 · 2 - encore une fois, ce n'est pas un degré exact ;

Notez également que les nombres premiers eux-mêmes sont toujours des puissances exactes d'eux-mêmes.

Logarithme décimal

Certains logarithmes sont si courants qu’ils portent un nom et un symbole spéciaux.

de l'argument x est le logarithme en base 10, c'est-à-dire La puissance à laquelle il faut élever le nombre 10 pour obtenir le nombre x. Désignation : LG X.

Par exemple, log 10 = 1 ; LG 100 = 2 ; lg 1000 = 3 - etc.

Désormais, lorsqu'une phrase telle que « Find lg 0.01 » apparaît dans un manuel, sachez qu'il ne s'agit pas d'une faute de frappe. Il s'agit d'un logarithme décimal. Cependant, si vous n’êtes pas familier avec cette notation, vous pouvez toujours la réécrire :
journal x = journal 10 x

Tout ce qui est vrai pour les logarithmes ordinaires l’est également pour les logarithmes décimaux.

Logarithme népérien

Il existe un autre logarithme qui a sa propre désignation. À certains égards, c'est encore plus important que le nombre décimal. Nous parlons du logarithme népérien.

de l'argument x est le logarithme en base e, c'est-à-dire la puissance à laquelle le nombre e doit être élevé pour obtenir le nombre x. Désignation : ln x.

Beaucoup de gens se demanderont : quel est le nombre e ? Il s’agit d’un nombre irrationnel ; sa valeur exacte ne peut être trouvée ni écrite. Je ne donnerai que les premiers chiffres :
e = 2,718281828459…

Nous n'entrerons pas dans les détails de ce qu'est ce numéro et pourquoi il est nécessaire. N'oubliez pas que e est la base du logarithme népérien :
ln x = log e x

Ainsi ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. En revanche, ln 2 est un nombre irrationnel. En général, le logarithme népérien de tout nombre rationnel est irrationnel. Sauf bien sûr un : ln 1 = 0.

Pour les logarithmes naturels, toutes les règles valables pour les logarithmes ordinaires sont valables.

Voir aussi :

Logarithme. Propriétés du logarithme (puissance du logarithme).

Comment représenter un nombre sous forme de logarithme ?

Nous utilisons la définition du logarithme.

Un logarithme est un exposant auquel il faut élever la base pour obtenir le nombre sous le signe du logarithme.

Ainsi, pour représenter un certain nombre c sous forme de logarithme en base a, il faut mettre une puissance de même base que la base du logarithme sous le signe du logarithme, et écrire ce nombre c comme exposant :

Absolument n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de logarithme - positif, négatif, entier, fractionnaire, rationnel, irrationnel :

Afin de ne pas confondre a et c dans les conditions stressantes d'un test ou d'un examen, vous pouvez utiliser la règle de mémorisation suivante :

ce qui est en bas descend, ce qui est en haut monte.

Par exemple, vous devez représenter le nombre 2 sous forme de logarithme en base 3.

Nous avons deux nombres - 2 et 3. Ces nombres sont la base et l'exposant, que nous écrirons sous le signe du logarithme. Reste à déterminer lequel de ces nombres doit être écrit, à la base de la puissance, et lequel – vers le haut, à l'exposant.

La base 3 dans la notation d'un logarithme est en bas, ce qui signifie que lorsque nous représentons deux sous forme de logarithme en base 3, nous écrirons également 3 en base.

2 est supérieur à trois. Et en notation du degré deux, nous écrivons au-dessus des trois, c'est-à-dire en exposant :

Logarithmes. Niveau d'entrée.

Logarithmes

Logarithme nombre positif b basé sur un, Où une > 0, une ≠ 1, est appelé l'exposant auquel le nombre doit être élevé un obtenir b.

Définition du logarithme peut s'écrire brièvement ainsi :

Cette égalité est valable pour b > 0, une > 0, une ≠ 1. On l'appelle généralement identité logarithmique.
L’action de trouver le logarithme d’un nombre s’appelle par logarithme.

Propriétés des logarithmes :

Logarithme du produit :

Logarithme du quotient :

Remplacement de la base du logarithme :

Logarithme du degré :

Logarithme de la racine :

Logarithme avec base de puissance :

Logarithmes décimaux et naturels.

Logarithme décimal les nombres appellent le logarithme de ce nombre en base 10 et écrivent   lg b
Logarithme népérien les nombres sont appelés le logarithme de ce nombre à la base e, Où e- un nombre irrationnel approximativement égal à 2,7. En même temps, ils écrivent dans b.

Autres notes sur l'algèbre et la géométrie

Propriétés de base des logarithmes

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique grave ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : log a x et log a y. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Journal 6 4 + journal 6 9.

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 2 48 − log 2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48 : 3) = log 2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 3 135 − log 3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135 : 5) = log 3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est-à-dire Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même.

Comment résoudre des logarithmes

C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 7 49 6 .

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nous avons:

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log 2 7. Puisque log 2 7 ≠ 0, on peut réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme log a x. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 5 16 log 2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Sortons les indicateurs : log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ; journal 2 25 = journal 2 5 2 = 2 journal 2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée.

Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que log 25 64 = log 5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

1. log a a = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
2. log a 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que 0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique grave ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes de mêmes bases : log un x et connectez-vous un oui. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

1. enregistrer un x+ journal un oui=journal un (x · oui);
2. enregistrer un x− journal un oui=journal un (x : oui).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Journal 6 4 + journal 6 9.

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 2 48 − log 2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48 : 3) = log 2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 3 135 − log 3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135 : 5) = log 3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien entendu, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est respecté : un > 0, un ≠ 1, x> 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa, c'est-à-dire Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 7 49 6 .

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

[Légende de la photo]

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nous avons:

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log 2 7. Puisque log 2 7 ≠ 0, on peut réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Laissez le journal du logarithme être donné un x. Alors pour n'importe quel nombre c tel que c> 0 et c≠ 1, l'égalité est vraie :

[Légende de la photo]

En particulier, si l'on pose c = x, on obtient :

[Légende de la photo]

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 5 16 log 2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Sortons les indicateurs : log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ; journal 2 25 = journal 2 5 2 = 2 journal 2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le numéro n devient un indicateur du degré de position dans l'argumentation. Nombre n peut être absolument n’importe quoi, car ce n’est qu’une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C’est comme ça qu’on l’appelle : l’identité logarithmique de base.

En fait, que se passera-t-il si le nombre bélever à une puissance telle que le nombre bà cette puissance donne le nombre un? C'est vrai : vous obtenez ce même numéro un. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

[Légende de la photo]

Notez que log 25 64 = log 5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

1. enregistrer un un= 1 est une unité logarithmique. Rappelez-vous une fois pour toutes : logarithme sur n'importe quelle base unà partir de cette même base est égal à un.
2. enregistrer un 1 = 0 est un zéro logarithmique. Base un peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que un 0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Avec cette vidéo, je commence une longue série de leçons sur les équations logarithmiques. Vous disposez maintenant de trois exemples sur la base desquels nous apprendrons à résoudre les problèmes les plus simples, appelés - protozoaires.

log 0,5 (3x − 1) = −3

journal (x + 3) = 3 + 2 journal 5

Permettez-moi de vous rappeler que l'équation logarithmique la plus simple est la suivante :

log une f (x) = b

Dans ce cas, il est important que la variable x soit présente uniquement à l'intérieur de l'argument, c'est-à-dire uniquement dans la fonction f (x). Et les nombres a et b ne sont que des nombres, et en aucun cas des fonctions contenant la variable x.

Méthodes de résolution de base

Il existe de nombreuses façons de résoudre de telles structures. Par exemple, la plupart des enseignants de l'école proposent cette méthode : Exprimer immédiatement la fonction f (x) à l'aide de la formule f ( x) = un b. Autrement dit, lorsque vous rencontrez la construction la plus simple, vous pouvez immédiatement passer à la solution sans actions ni constructions supplémentaires.

Oui, bien sûr, la décision sera la bonne. Cependant, le problème de cette formule est que la plupart des étudiants je ne comprends pas, d'où il vient et pourquoi on élève la lettre a à la lettre b.

En conséquence, je constate souvent des erreurs très gênantes lorsque, par exemple, ces lettres sont échangées. Cette formule doit être soit comprise, soit bourrée, et la seconde méthode conduit à des erreurs aux moments les plus inopportuns et les plus cruciaux : lors des examens, des tests, etc.

C'est pourquoi je suggère à tous mes élèves d'abandonner la formule scolaire standard et d'utiliser la deuxième approche pour résoudre des équations logarithmiques, qui, comme vous l'avez probablement deviné d'après son nom, s'appelle forme canonique.

L’idée derrière la forme canonique est simple. Regardons à nouveau notre problème : à gauche nous avons log a, et par la lettre a nous entendons un nombre, et en aucun cas une fonction contenant la variable x. Par conséquent, cette lettre est soumise à toutes les restrictions imposées sur la base du logarithme. à savoir:

1 ≠ une > 0

D'autre part, à partir de la même équation, nous voyons que le logarithme doit être égal au nombre b, et aucune restriction n'est imposée à cette lettre, car elle peut prendre n'importe quelle valeur - positive ou négative. Tout dépend des valeurs que prend la fonction f(x).

Et ici, nous nous souvenons de notre merveilleuse règle selon laquelle tout nombre b peut être représenté comme un logarithme à la base a de a à la puissance b :

b = journal a a b

Comment retenir cette formule ? Oui, très simple. Écrivons la construction suivante :

b = b 1 = b journal a a

Bien entendu, dans ce cas, toutes les restrictions que nous avons notées au début surviennent. Utilisons maintenant la propriété de base du logarithme et introduisons le multiplicateur b comme puissance de a. On obtient :

b = b 1 = b journal a a = journal a a b

En conséquence, l’équation originale sera réécrite comme suit :

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

C'est tout. La nouvelle fonction ne contient plus de logarithme et peut être résolue à l'aide de techniques algébriques standards.

Bien sûr, quelqu'un objectera maintenant : pourquoi était-il nécessaire de proposer une sorte de formule canonique, pourquoi effectuer deux étapes supplémentaires inutiles s'il était possible de passer immédiatement de la conception originale à la formule finale ? Oui, ne serait-ce que parce que la plupart des étudiants ne comprennent pas d’où vient cette formule et, de ce fait, commettent régulièrement des erreurs en l’appliquant.

Mais cette séquence d'actions, composée de trois étapes, permet de résoudre l'équation logarithmique originale, même si vous ne comprenez pas d'où vient la formule finale. D'ailleurs, cette entrée s'appelle la formule canonique :

log a f (x) = log a a b

La commodité de la forme canonique réside également dans le fait qu'elle peut être utilisée pour résoudre une très large classe d'équations logarithmiques, et pas seulement les plus simples que nous considérons aujourd'hui.

Exemples de solutions

Regardons maintenant des exemples réels. Alors décidons :

log 0,5 (3x − 1) = −3

Réécrivons-le comme ceci :

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

De nombreux étudiants sont pressés et tentent d'élever immédiatement le nombre 0,5 à la puissance qui nous est venue du problème initial. En effet, lorsque vous êtes déjà bien formé à la résolution de tels problèmes, vous pouvez immédiatement effectuer cette étape.

Cependant, si vous commencez tout juste à étudier ce sujet, il est préférable de ne vous précipiter nulle part afin d'éviter de commettre des erreurs offensantes. Nous avons donc la forme canonique. Nous avons:

3x − 1 = 0,5 −3

Il ne s'agit plus d'une équation logarithmique, mais linéaire par rapport à la variable x. Pour le résoudre, regardons d’abord le nombre 0,5 à la puissance −3. Notez que 0,5 est 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Convertissez toutes les fractions décimales en fractions communes lors de la résolution d'une équation logarithmique.

On réécrit et on obtient :

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Ça y est, nous avons la réponse. Le premier problème a été résolu.

Deuxième tâche

Passons à la deuxième tâche :

Comme on le voit, cette équation n’est plus la plus simple. Ne serait-ce que parce qu'il y a une différence à gauche, et pas un seul logarithme par base.

Par conséquent, nous devons d’une manière ou d’une autre éliminer cette différence. Dans ce cas, tout est très simple. Regardons de plus près les bases : à gauche se trouve le nombre sous la racine :

Recommandation générale : dans toutes les équations logarithmiques, essayez de vous débarrasser des radicaux, c'est-à-dire des entrées avec racines et passez aux fonctions puissance, tout simplement parce que les exposants de ces puissances sont facilement retirés du signe du logarithme et, finalement, de telles une entrée simplifie et accélère considérablement les calculs. Écrivons-le ainsi :

Rappelons maintenant la propriété remarquable du logarithme : les puissances peuvent être dérivées de l'argument, aussi bien que de la base. En cas de motif, il se passe ce qui suit :

log a k b = 1/k loga b

En d’autres termes, le nombre qui était dans la puissance de base est à la fois avancé et inversé, c’est-à-dire qu’il devient un nombre réciproque. Dans notre cas, le diplôme de base était de 1/2. Par conséquent, nous pouvons le retirer à 2/1. On obtient :

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Attention : vous ne devez en aucun cas vous débarrasser des logarithmes à cette étape. N'oubliez pas les mathématiques de 4e à 5e années et l'ordre des opérations : la multiplication est effectuée en premier, et ensuite seulement l'addition et la soustraction. Dans ce cas, on soustrait un des mêmes éléments de 10 éléments :

9 journal 5 x = 18
journal 5 x = 2

Notre équation se présente maintenant comme elle le devrait. C'est la construction la plus simple, et nous la résolvons en utilisant la forme canonique :

journal 5 x = journal 5 5 2
x = 5 2
x = 25

C'est tout. Le deuxième problème a été résolu.

Troisième exemple

Passons à la troisième tâche :

journal (x + 3) = 3 + 2 journal 5

Je vous rappelle la formule suivante :

journal b = journal 10 b

Si, pour une raison quelconque, vous êtes confus par la notation log b , alors lorsque vous effectuez tous les calculs, vous pouvez simplement écrire log 10 b . Vous pouvez travailler avec des logarithmes décimaux de la même manière qu'avec les autres : prendre des puissances, additionner et représenter n'importe quel nombre sous la forme lg 10.

Ce sont ces propriétés que nous allons maintenant utiliser pour résoudre le problème, puisque ce n'est pas le plus simple que nous ayons noté au tout début de notre leçon.

Tout d'abord, notons que le facteur 2 devant lg 5 peut être ajouté et devient une puissance de base 5. De plus, le terme libre 3 peut également être représenté sous forme de logarithme - ceci est très facile à observer à partir de notre notation.

Jugez par vous-même : n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de log en base 10 :

3 = journal 10 10 3 = journal 10 3

Réécrivons le problème d'origine en tenant compte des changements obtenus :

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
journal (x − 3) = journal 25 000

Nous avons à nouveau la forme canonique devant nous, et nous l'avons obtenue sans passer par l'étape de transformation, c'est-à-dire l'équation logarithmique la plus simple n'est apparue nulle part.

C'est exactement ce dont j'ai parlé au tout début de la leçon. La forme canonique vous permet de résoudre une classe de problèmes plus large que la formule scolaire standard proposée par la plupart des enseignants.

Bon, ça y est, on se débarrasse du signe du logarithme décimal, et on obtient une construction linéaire simple :

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Tous! Le problème est résolu.

Une note sur la portée

Je voudrais ici faire une remarque importante concernant la portée de la définition. Il y aura sûrement maintenant des étudiants et des enseignants qui diront : « Lorsque nous résolvons des expressions avec des logarithmes, nous devons nous rappeler que l'argument f (x) doit être supérieur à zéro ! À cet égard, une question logique se pose : pourquoi n’avons-nous pas exigé que cette inégalité soit satisfaite dans aucun des problèmes considérés ?

Ne t'inquiète pas. Dans ces cas, aucune racine supplémentaire n’apparaîtra. Et c'est une autre astuce intéressante qui vous permet d'accélérer la solution. Sachez simplement que si dans le problème la variable x n'apparaît qu'à un seul endroit (ou plutôt dans un seul argument d'un seul logarithme), et nulle part ailleurs dans notre cas la variable x n'apparaît, alors notez le domaine de définition pas besoin, car il sera exécuté automatiquement.

Jugez par vous-même : dans la première équation, nous avons obtenu que 3x − 1, c'est-à-dire que l'argument doit être égal à 8. Cela signifie automatiquement que 3x − 1 sera supérieur à zéro.

Avec le même succès, nous pouvons écrire que dans le deuxième cas, x doit être égal à 5 ​​2, c'est-à-dire qu'il est certainement supérieur à zéro. Et dans le troisième cas, où x + 3 = 25 000, c'est-à-dire encore une fois évidemment supérieur à zéro. En d’autres termes, la portée est automatiquement satisfaite, mais seulement si x n’apparaît que dans l’argument d’un seul logarithme.

C'est tout ce que vous devez savoir pour résoudre les problèmes les plus simples. Cette règle à elle seule, ainsi que les règles de transformation, vous permettront de résoudre une très large classe de problèmes.

Mais soyons honnêtes : pour enfin comprendre cette technique, pour apprendre à appliquer la forme canonique de l'équation logarithmique, il ne suffit pas de regarder une seule leçon vidéo. Par conséquent, téléchargez dès maintenant les options de solutions indépendantes jointes à cette leçon vidéo et commencez à résoudre au moins un de ces deux travaux indépendants.

Cela vous prendra littéralement quelques minutes. Mais l'effet d'une telle formation sera bien plus important que si vous regardiez simplement cette leçon vidéo.

J'espère que cette leçon vous aidera à comprendre les équations logarithmiques. Utilisez la forme canonique, simplifiez les expressions en utilisant les règles de travail avec les logarithmes - et vous n'aurez peur d'aucun problème. C'est tout ce que j'ai pour aujourd'hui.

Prise en compte du domaine de définition

Parlons maintenant du domaine de définition de la fonction logarithmique et de la manière dont cela affecte la solution des équations logarithmiques. Considérons une construction de la forme

log une f (x) = b

Une telle expression est appelée la plus simple - elle ne contient qu'une seule fonction, et les nombres a et b ne sont que des nombres, et en aucun cas une fonction qui dépend de la variable x. Cela peut être résolu très simplement. Il vous suffit d'utiliser la formule :

b = journal a a b

Cette formule est l'une des propriétés clés du logarithme, et en la remplaçant par notre expression originale, nous obtenons ce qui suit :

log a f (x) = log a a b

f (x) = un b

Il s’agit d’une formule familière des manuels scolaires. De nombreux étudiants se poseront probablement une question : puisque dans l'expression originale la fonction f (x) est sous le signe log, les restrictions suivantes lui sont imposées :

f(x) > 0

Cette limitation s'applique car le logarithme des nombres négatifs n'existe pas. Alors, peut-être qu’en raison de cette limitation, un contrôle des réponses devrait être introduit ? Peut-être faut-il les insérer dans la source ?

Non, dans les équations logarithmiques les plus simples, une vérification supplémentaire n'est pas nécessaire. Et voici pourquoi. Jetez un œil à notre formule finale:

f (x) = un b

Le fait est que le nombre a est de toute façon supérieur à 0 - cette exigence est également imposée par le logarithme. Le nombre a est la base. Dans ce cas, aucune restriction n'est imposée sur le nombre b. Mais cela n’a pas d’importance, car quelle que soit la puissance à laquelle nous élevons un nombre positif, nous obtiendrons toujours un nombre positif en sortie. Ainsi, l'exigence f (x) > 0 est automatiquement satisfaite.

Ce qui vaut vraiment la peine d'être vérifié, c'est le domaine de la fonction sous le signe du journal. Il peut y avoir des structures assez complexes et vous devez absolument les surveiller pendant le processus de résolution. Voyons.

Première tâche :

Première étape : convertir la fraction de droite. On obtient :

On se débarrasse du signe du logarithme et on obtient l'équation irrationnelle habituelle :

Parmi les racines obtenues, seule la première nous convient, puisque la seconde racine est inférieure à zéro. La seule réponse sera le chiffre 9. Ça y est, le problème est résolu. Aucun contrôle supplémentaire n'est requis pour s'assurer que l'expression sous le signe du logarithme est supérieure à 0, car elle n'est pas seulement supérieure à 0, mais selon la condition de l'équation elle est égale à 2. Par conséquent, l'exigence « supérieur à zéro » » est satisfait automatiquement.

Passons à la deuxième tâche :

Tout est pareil ici. On réécrit la construction en remplaçant le triple :

On se débarrasse des signes du logarithme et on obtient une équation irrationnelle :

Nous mettons au carré les deux côtés en tenant compte des restrictions et obtenons :

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x2 = x2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​​​6x + x 2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

On résout l'équation résultante par le discriminant :

ré = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Mais x = −6 ne nous convient pas, car si l'on substitue ce nombre dans notre inégalité, on obtient :

−6 + 4 = −2 < 0

Dans notre cas, il faut qu'il soit supérieur à 0 ou, dans les cas extrêmes, égal. Mais x = −1 nous convient :

−1 + 4 = 3 > 0

La seule réponse dans notre cas sera x = −1. C'est la solution. Revenons au tout début de nos calculs.

Le principal point à retenir de cette leçon est que vous n'avez pas besoin de vérifier les contraintes sur une fonction dans des équations logarithmiques simples. Parce que pendant le processus de résolution, toutes les contraintes sont automatiquement satisfaites.

Cependant, cela ne signifie en aucun cas que vous pouvez oublier complètement la vérification. En travaillant sur une équation logarithmique, celle-ci pourrait très bien devenir irrationnelle, qui aura ses propres restrictions et exigences pour le côté droit, comme nous l'avons vu aujourd'hui dans deux exemples différents.

N'hésitez pas à résoudre de tels problèmes et soyez particulièrement prudent s'il y a une racine dans le différend.

Équations logarithmiques avec différentes bases

Nous continuons à étudier les équations logarithmiques et examinons deux autres techniques très intéressantes avec lesquelles il est à la mode de résoudre des constructions plus complexes. Mais rappelons d’abord comment les problèmes les plus simples sont résolus :

log une f (x) = b

Dans cette entrée, a et b sont des nombres, et dans la fonction f (x) la variable x doit être présente, et seulement là, c'est-à-dire que x ne doit être que dans l'argument. Nous transformerons ces équations logarithmiques en utilisant la forme canonique. Pour ce faire, notez que

b = journal a a b

De plus, a b est précisément un argument. Réécrivons cette expression comme suit :

log a f (x) = log a a b

C’est exactement ce que nous essayons de réaliser, afin qu’il y ait un logarithme pour baser a à la fois à gauche et à droite. Dans ce cas, on peut, au sens figuré, rayer les signes du journal, et d'un point de vue mathématique on peut dire que l'on égalise simplement les arguments :

f (x) = un b

En conséquence, nous obtiendrons une nouvelle expression qui sera beaucoup plus facile à résoudre. Appliquons cette règle à nos problèmes d'aujourd'hui.

Donc, la première conception :

Tout d’abord, je remarque qu’à droite se trouve une fraction dont le dénominateur est log. Lorsque vous voyez une expression comme celle-ci, c’est une bonne idée de vous rappeler une merveilleuse propriété des logarithmes :

Traduit en russe, cela signifie que tout logarithme peut être représenté comme le quotient de deux logarithmes de n'importe quelle base c. Bien sûr 0< с ≠ 1.

Donc : cette formule a un merveilleux cas particulier, lorsque la variable c est égale à la variable b. Dans ce cas on obtient une construction comme :

C’est exactement la construction que nous voyons grâce au signe de droite dans notre équation. Remplaçons cette construction par log a b , nous obtenons :

En d’autres termes, par rapport à la tâche initiale, nous avons interverti l’argument et la base du logarithme. Au lieu de cela, nous avons dû inverser la fraction.

Rappelons que tout diplôme peut être dérivé de la base selon la règle suivante :

Autrement dit, le coefficient k, qui est la puissance de la base, est exprimé sous forme de fraction inversée. Rendons-le sous forme de fraction inversée :

Le facteur fractionnaire ne peut pas être laissé devant, car dans ce cas nous ne pourrons pas représenter cette notation comme une forme canonique (après tout, sous la forme canonique il n'y a pas de facteur supplémentaire avant le deuxième logarithme). Par conséquent, ajoutons la fraction 1/4 à l'argument sous forme de puissance :

Maintenant, nous assimilons les arguments dont les bases sont les mêmes (et nos bases sont réellement les mêmes), et écrivons :

x + 5 = 1

x = −4

C'est tout. Nous avons obtenu la réponse à la première équation logarithmique. Attention : dans le problème d'origine, la variable x n'apparaît que dans un seul journal, et elle apparaît dans son argument. Par conséquent, il n’est pas nécessaire de vérifier le domaine, et notre nombre x = −4 est bien la réponse.

Passons maintenant à la deuxième expression :

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Ici, en plus des logarithmes habituels, nous devrons travailler avec log f (x). Comment résoudre une telle équation ? Pour un étudiant non préparé, cela peut sembler une tâche difficile, mais en réalité, tout peut être résolu de manière élémentaire.

Examinez attentivement le terme lg 2 log 2 7. Que pouvons-nous en dire ? Les bases et arguments de log et lg sont les mêmes, et cela devrait donner quelques idées. Rappelons encore une fois comment les puissances sont extraites sous le signe du logarithme :

log a b n = nlog a b

En d’autres termes, ce qui était une puissance de b dans l’argumentation devient un facteur devant log lui-même. Appliquons cette formule à l'expression lg 2 log 2 7. N'ayez pas peur de lg 2 - c'est l'expression la plus courante. Vous pouvez le réécrire comme suit :

Toutes les règles qui s'appliquent à tout autre logarithme lui sont valables. En particulier, le facteur précédent peut être ajouté au degré de l'argumentation. Écrivons-le :

Très souvent, les étudiants ne voient pas directement cette action, car il n'est pas bon d'inscrire un journal sous le signe d'un autre. En fait, cela n’a rien de criminel. De plus, nous obtenons une formule facile à calculer si l'on se souvient d'une règle importante :

Cette formule peut être considérée à la fois comme une définition et comme l'une de ses propriétés. Dans tous les cas, si vous convertissez une équation logarithmique, vous devez connaître cette formule tout comme vous connaîtriez la représentation logarithmique de n'importe quel nombre.

Revenons à notre tâche. On le réécrit en tenant compte du fait que le premier terme à droite du signe égal sera simplement égal à lg 7. On a :

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Déplaçons LG 7 vers la gauche, nous obtenons :

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

On soustrait les expressions de gauche car elles ont la même base :

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Examinons maintenant de plus près l'équation que nous avons obtenue. C'est pratiquement la forme canonique, mais il y a un facteur −3 à droite. Ajoutons-le à l'argument lg de droite :

journal 8 = journal (x + 4) −3

Devant nous se trouve la forme canonique de l'équation logarithmique, nous biffons donc les signes lg et assimilons les arguments :

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

C'est ça! Nous avons résolu la deuxième équation logarithmique. Dans ce cas, aucune vérification supplémentaire n’est requise, car dans le problème initial, x n’était présent que dans un seul argument.

Permettez-moi d'énumérer à nouveau les points clés de cette leçon.

La formule principale enseignée dans toutes les leçons de cette page dédiées à la résolution d'équations logarithmiques est la forme canonique. Et ne soyez pas effrayé par le fait que la plupart des manuels scolaires vous apprennent à résoudre ces problèmes différemment. Cet outil fonctionne très efficacement et vous permet de résoudre une classe de problèmes beaucoup plus large que les plus simples que nous avons étudiés au tout début de notre leçon.

De plus, pour résoudre des équations logarithmiques, il sera utile d’en connaître les propriétés de base. À savoir:

1. La formule pour passer à une base et le cas particulier où l'on inverse le log (cela nous a été très utile dans le premier problème) ;
2. Formule pour ajouter et soustraire des puissances au signe du logarithme. Ici, de nombreux étudiants restent bloqués et ne voient pas que le diplôme retiré et introduit peut lui-même contenir log f (x). Il n'y a rien de mal à cela. On peut introduire un log selon le signe de l'autre et en même temps simplifier considérablement la solution du problème, ce que l'on observe dans le second cas.

En conclusion, je voudrais ajouter qu'il n'est pas nécessaire de vérifier le domaine de définition dans chacun de ces cas, car partout la variable x est présente dans un seul signe de log, et en même temps dans son argument. En conséquence, toutes les exigences du champ d’application sont automatiquement remplies.

Problèmes avec la base variable

Aujourd'hui, nous examinerons les équations logarithmiques qui, pour de nombreux étudiants, semblent non standard, voire totalement insolubles. Nous parlons d'expressions basées non pas sur des nombres, mais sur des variables et même des fonctions. Nous résoudrons de telles constructions en utilisant notre technique standard, à savoir via la forme canonique.

Tout d'abord, rappelons comment les problèmes les plus simples sont résolus, sur la base de nombres ordinaires. La construction la plus simple s’appelle donc

log une f (x) = b

Pour résoudre de tels problèmes, nous pouvons utiliser la formule suivante :

b = journal a a b

Nous réécrivons notre expression originale et obtenons :

log a f (x) = log a a b

Ensuite, nous égalisons les arguments, c'est-à-dire que nous écrivons :

f (x) = un b

Ainsi, nous nous débarrassons du panneau de journal et résolvons le problème habituel. Dans ce cas, les racines obtenues à partir de la solution seront les racines de l’équation logarithmique originale. De plus, un enregistrement où la gauche et la droite sont dans le même logarithme avec la même base est précisément appelé forme canonique. C'est à un tel record que nous tenterons de réduire les conceptions d'aujourd'hui. Alors, allons-y.

Première tâche :

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Remplacez 1 par log x − 2 (x − 2) 1 . Le degré que nous observons dans l’argumentation est en fait le nombre b qui se trouve à droite du signe égal. Réécrivons donc notre expression. On obtient :

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Que voit-on ? Nous avons devant nous la forme canonique de l'équation logarithmique, nous pouvons donc assimiler les arguments en toute sécurité. On obtient :

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Mais la solution ne s’arrête pas là, car cette équation n’est pas équivalente à l’équation originale. Après tout, la construction résultante est constituée de fonctions définies sur toute la droite numérique, et nos logarithmes originaux ne sont pas définis partout ni toujours.

Par conséquent, nous devons écrire le domaine de définition séparément. Ne coupons pas les cheveux en quatre et notons d'abord toutes les exigences :

Premièrement, l'argument de chacun des logarithmes doit être supérieur à 0 :

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Deuxièmement, la base doit non seulement être supérieure à 0, mais également différente de 1 :

X − 2 ≠ 1

En conséquence, nous obtenons le système :

Mais ne vous inquiétez pas : lors du traitement d’équations logarithmiques, un tel système peut être considérablement simplifié.

Jugez par vous-même : d'une part, on exige que la fonction quadratique soit supérieure à zéro, et d'autre part, cette fonction quadratique est assimilée à une certaine expression linéaire, qui doit également être supérieure à zéro.

Dans ce cas, si nous exigeons que x − 2 > 0, alors l'exigence 2x 2 − 13x + 18 > 0 sera automatiquement satisfaite. Par conséquent, nous pouvons rayer en toute sécurité l'inégalité contenant la fonction quadratique. Ainsi, le nombre d'expressions contenues dans notre système sera réduit à trois.

Bien sûr, nous pourrions tout aussi bien rayer l’inégalité linéaire, c’est-à-dire rayer x − 2 > 0 et exiger que 2x 2 − 13x + 18 > 0. Mais vous devez convenir que résoudre l’inégalité linéaire la plus simple est beaucoup plus rapide et plus simple que quadratique, même à condition qu'en résolvant tout ce système, nous obtenions les mêmes racines.

En général, essayez d’optimiser les calculs autant que possible. Et dans le cas des équations logarithmiques, rayez les inégalités les plus difficiles.

Réécrivons notre système :

Voici un système de trois expressions, dont deux d'ailleurs nous avons déjà traité. Écrivons l'équation quadratique séparément et résolvons-la :

2x 2 − 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Nous avons devant nous un trinôme quadratique réduit et, par conséquent, nous pouvons utiliser les formules de Vieta. On obtient :

(x − 5)(x − 2) = 0

x1 = 5

x2 = 2

Revenons maintenant à notre système et constatons que x = 2 ne nous convient pas, car on nous impose que x soit strictement supérieur à 2.

Mais x = 5 nous convient parfaitement : le nombre 5 est supérieur à 2, et en même temps 5 n'est pas égal à 3. Par conséquent, la seule solution à ce système sera x = 5.

Ça y est, le problème est résolu, y compris en tenant compte de l'ODZ. Passons à la deuxième équation. Des calculs plus intéressants et informatifs nous attendent ici :

Première étape : comme la dernière fois, nous mettons toute cette affaire sous forme canonique. Pour ce faire, on peut écrire le nombre 9 ainsi :

La base racine peut rester intacte, mais il est préférable de transformer l'argument. Passons de la racine à la puissance avec un exposant rationnel. Écrivons :

Permettez-moi de ne pas réécrire toute notre grande équation logarithmique, mais simplement d'assimiler immédiatement les arguments :

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x2 + 4x + 3 = 0

Nous avons devant nous un trinôme quadratique nouvellement réduit, utilisons les formules de Vieta et écrivons :

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x2 = −1

Nous avons donc obtenu les racines, mais personne ne nous a garanti qu'elles correspondraient à l'équation logarithmique originale. Après tout, les panneaux de journal imposent des restrictions supplémentaires (ici, nous aurions dû écrire le système, mais en raison de la lourdeur de l'ensemble de la structure, j'ai décidé de calculer le domaine de définition séparément).

Tout d'abord, rappelez-vous que les arguments doivent être supérieurs à 0, à savoir :

Ce sont les exigences imposées par le champ d’application de la définition.

Notons immédiatement que puisque l'on assimile les deux premières expressions du système, on peut rayer n'importe laquelle d'entre elles. Rayons le premier car il semble plus menaçant que le second.

De plus, notons que la solution des deuxième et troisième inégalités sera les mêmes ensembles (le cube d'un certain nombre est supérieur à zéro si ce nombre lui-même est supérieur à zéro ; de même, avec une racine du troisième degré - ces inégalités sont complètement analogue, donc on peut rayer).

Mais avec la troisième inégalité, cela ne fonctionnera pas. Débarrassons-nous du signe radical de gauche en élevant les deux parties en cube. On obtient :

Nous obtenons donc les exigences suivantes :

−2 ≠x > −3

Laquelle de nos racines : x 1 = −3 ou x 2 = −1 répond à ces exigences ? Évidemment, seul x = −1, car x = −3 ne satisfait pas la première inégalité (puisque notre inégalité est stricte). Donc, en revenant à notre problème, nous obtenons une racine : x = −1. Voilà, problème résolu.

Encore une fois, les points clés de cette tâche :

1. N'hésitez pas à appliquer et à résoudre des équations logarithmiques en utilisant la forme canonique. Les étudiants qui font une telle notation, plutôt que de passer directement du problème initial à une construction comme log a f (x) = b, commettent beaucoup moins d'erreurs que ceux qui se précipitent quelque part, sautant les étapes intermédiaires des calculs ;
2. Dès qu'une base variable apparaît dans un logarithme, le problème cesse d'être le plus simple. Par conséquent, lors de sa résolution, il est nécessaire de prendre en compte le domaine de définition : les arguments doivent être supérieurs à zéro, et les bases doivent non seulement être supérieures à 0, mais elles ne doivent pas être égales à 1.

Les exigences finales peuvent être appliquées aux réponses finales de différentes manières. Par exemple, vous pouvez résoudre un système entier contenant toutes les exigences du domaine de définition. D'un autre côté, vous pouvez d'abord résoudre le problème lui-même, puis mémoriser le domaine de définition, le développer séparément sous la forme d'un système et l'appliquer aux racines résultantes.

La méthode à choisir pour résoudre une équation logarithmique particulière dépend de vous. Dans tous les cas, la réponse sera la même.

Commençons par propriétés du logarithme de un. Sa formulation est la suivante : le logarithme de l'unité est égal à zéro, c'est-à-dire enregistrer un 1=0 pour tout a>0, a≠1. La preuve n'est pas difficile : puisque a 0 =1 pour tout a satisfaisant les conditions ci-dessus a>0 et a≠1, alors l'égalité log a 1=0 à prouver découle immédiatement de la définition du logarithme.

Donnons des exemples d'application de la propriété considérée : log 3 1=0, log1=0 et .

Passons à la propriété suivante : le logarithme d'un nombre égal à la base est égal à un, c'est, log a a=1 pour une>0, une≠1. En effet, puisque a 1 =a pour tout a, alors par définition du logarithme log a a=1.

Des exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes sont les égalités log 5 5=1, log 5,6 5,6 et lne=1.

Par exemple, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 et .

Logarithme du produit de deux nombres positifs x et y sont égaux au produit des logarithmes de ces nombres : log a (x y)=log a x+log a y, une>0 , une≠1 . Démontrons la propriété du logarithme d'un produit. En raison des propriétés du diplôme un journal a x+log a y =un journal a x ·un journal a y, et puisque par l'identité logarithmique principale un log a x =x et un log a y =y, alors un log a x ·a log a y =x·y. Ainsi, un log a x+log a y =x·y, d'où, par la définition d'un logarithme, découle l'égalité prouvée.

Montrons des exemples d'utilisation de la propriété du logarithme d'un produit : log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 et .

La propriété du logarithme d'un produit peut être généralisée au produit d'un nombre fini n de nombres positifs x 1 , x 2 , …, x n comme log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Cette égalité peut être prouvée sans problème.

Par exemple, le logarithme naturel du produit peut être remplacé par la somme de trois logarithmes naturels des nombres 4, e et.

Logarithme du quotient de deux nombres positifs x et y sont égaux à la différence entre les logarithmes de ces nombres. La propriété du logarithme d'un quotient correspond à une formule de la forme , où a>0, a≠1, x et y sont des nombres positifs. La validité de cette formule est prouvée ainsi que celle du logarithme d'un produit : puisque , puis par définition d'un logarithme.

Voici un exemple d'utilisation de cette propriété du logarithme : .

Passons à propriété du logarithme de la puissance. Le logarithme d'un degré est égal au produit de l'exposant et du logarithme du module de la base de ce degré. Écrivons cette propriété du logarithme d'une puissance sous forme de formule : log a b p =p·log a |b|, où a>0, a≠1, b et p sont des nombres tels que le degré b p a du sens et b p >0.

Nous prouvons d’abord cette propriété pour b positif. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors b p =(a log a b) p , et l'expression résultante, en raison de la propriété de puissance, est égale à a p·log a b . On arrive donc à l'égalité b p =a p·log a b, d'où, par la définition d'un logarithme, on conclut que log a b p =p·log a b.

Il reste à prouver cette propriété pour b négatif. Notons ici que l'expression log a b p pour b négatif n'a de sens que pour les exposants pairs p (puisque la valeur du degré b p doit être supérieure à zéro, sinon le logarithme n'aura pas de sens), et dans ce cas b p =|b| p. Alors bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, d'où log a b p =p·log a |b| .

Par exemple, et ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Il découle de la propriété précédente propriété du logarithme à partir de la racine: le logarithme de la nième racine est égal au produit de la fraction 1/n par le logarithme de l'expression radicale, soit , où a>0, a≠1, n est un nombre naturel supérieur à un, b>0.

La preuve est basée sur l'égalité (voir), qui est valable pour tout b positif, et la propriété du logarithme de la puissance : .

Voici un exemple d'utilisation de cette propriété : .

Maintenant, prouvons formule pour passer à une nouvelle base de logarithme gentil . Pour ce faire, il suffit de prouver la validité de l'égalité log c b=log a b·log c a. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors log c b=log c a log a b . Il reste à utiliser la propriété du logarithme du degré : journal c a journal a b = journal a b journal c a. Cela prouve l'égalité log c b=log a b·log c a, ce qui signifie que la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme a également été prouvée.

Montrons quelques exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes : et .

La formule de passage à une nouvelle base vous permet de passer au travail avec des logarithmes ayant une base « pratique ». Par exemple, il peut être utilisé pour accéder à des logarithmes naturels ou décimaux afin de pouvoir calculer la valeur d'un logarithme à partir d'un tableau de logarithmes. La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet également, dans certains cas, de retrouver la valeur d'un logarithme donné lorsque les valeurs de certains logarithmes avec d'autres bases sont connues.

Un cas particulier de formule de transition vers une nouvelle base de logarithme pour c=b de la forme est souvent utilisé . Cela montre que log a b et log b a – . Par exemple, .

La formule est également souvent utilisée , ce qui est pratique pour trouver des valeurs de logarithme. Pour confirmer nos propos, nous montrerons comment il peut être utilisé pour calculer la valeur d'un logarithme de la forme . Nous avons . Pour prouver la formule il suffit d'utiliser la formule de passage à une nouvelle base du logarithme a : .

Reste à prouver les propriétés de comparaison des logarithmes.

Montrons que pour tout nombre positif b 1 et b 2, b 1 log a b 2 , et pour a>1 – l'inégalité log a b 1

Enfin, il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées des logarithmes. Limitons-nous à la preuve de sa première partie, c'est-à-dire que nous prouverons que si a 1 >1, a 2 >1 et a 1 1 est vrai log a 1 b>log a 2 b . Les autres affirmations de cette propriété des logarithmes sont prouvées selon un principe similaire.

Utilisons la méthode inverse. Supposons que pour un 1 >1, un 2 >1 et un 1 1 est vrai log a 1 b≤log a 2 b . Sur la base des propriétés des logarithmes, ces inégalités peuvent être réécrites comme Et respectivement, et il en résulte que log b a 1 ≤log b a 2 et log b a 1 ≥log b a 2, respectivement. Alors, selon les propriétés des puissances de mêmes bases, les égalités b log b a 1 ≥b log b a 2 et b log b a 1 ≥b log b a 2 doivent être vraies, c'est-à-dire a 1 ≥a 2 . Nous sommes donc arrivés à une contradiction avec la condition a 1

Références.