Gyroscope appelé corps axisymétrique massif (sommet symétrique), tournant rapidement autour d'un axe de symétrie, et l'axe de rotation peut changer de position dans l'espace. L'axe de symétrie est appelé axe de la figure du gyroscope.

Vidéo 7.6. Qu'est-ce qu'un gyroscope ?

Riz. 7.17. Mouvement du système gyroscope

L'axe de symétrie est l'un des axes principaux du gyroscope. Par conséquent, son moment cinétique coïncide en direction avec l’axe de rotation.

Afin de changer la position dans l'espace de l'axe de la figure du gyroscope, il est nécessaire d'agir sur lui avec un moment de forces extérieures.

Vidéo 7.7. Forces gyroscopiques : le grand gyroscope déchire la corde

Dans ce cas, un phénomène appelé gyroscopique: sous l’influence de forces qui, semble-t-il, devraient provoquer une rotation de l’axe 1 autour de l’axe 2 (Fig. 7.19), on observe une rotation de l’axe de la figure autour de l’axe 3.

Riz. 7.19. Mouvement de l'axe de la figure du gyroscope sous l'influence du moment de forces extérieures

Vidéo 7.8. Gyroscope à surcharges : direction et vitesse de précession, nutation

Les phénomènes gyroscopiques apparaissent partout où se trouvent des corps en rotation rapide dont l'axe peut tourner dans l'espace.

Riz. 7h20. Réponse du gyroscope à une influence externe

Comportement étrange du gyroscope à première vue, Fig. 7.19 et 7.20, est entièrement expliqué par l'équation de la dynamique du mouvement de rotation d'un corps rigide

Vidéo 7.9. Gyroscope « aimant » : l’axe du gyroscope longe le guide sans le quitter

Vidéo 7.10. Effet du moment de friction : oeuf "Columbus"

Si le gyroscope est mis en rotation rapide, il aura un moment cinétique important. Si une force externe agit sur le gyroscope pendant un certain temps, l'augmentation du moment cinétique sera alors

Si la force agit pendant une courte période, alors

En d'autres termes, avec des impacts (chocs) courts, le moment cinétique du gyroscope ne change pratiquement pas. Ceci est associé à la remarquable stabilité du gyroscope face aux influences extérieures, qui est utilisé dans divers appareils, tels que les gyrocompas, les plates-formes gyrostabilisées, etc.

Vidéo 7.11. Modèle gyrocompas, stabilisation gyroscopique

Vidéo 7.12. Grand gyrocompas

7.21. Gyrostabilisateur de station orbitale

Les gyroscopes utilisés dans l'aviation et l'astronautique utilisent un cardan, qui permet de maintenir la direction de l'axe de rotation gyroscopique quelle que soit l'orientation du cardan lui-même :

Vidéo 7.13. Gyroscopes dans le cirque : monter sur une roue sur un fil

Informations Complémentaires

http://www.plib.ru/library/book/14978.html Sivukhin D.V. Cours général de physique, tome 1, Mécanique Ed. Science 1979 - pp. 245-249 (§ 47) : Théorème cinématique d'Euler sur les rotations d'un corps rigide autour d'un point fixe.

Considérons le mouvement d'un gyroscope avec un point d'appui fixe, comme le montre la Fig. 7.22.

Le mouvement d'un gyroscope sous l'influence d'une force extérieure est appelé précession forcée.

Riz. 7.22. Précession forcée du gyroscope : 1 - vue générale ; 2 - vue de dessus

Appliquons au point UN forcer . Si le gyroscope ne tourne pas, alors naturellement le volant droit descendra et celui de gauche montera. Une situation différente se présentera si le gyroscope est d'abord mis en rotation rapide. Dans ce cas, sous l'influence de la force, l'axe du gyroscope tournera avec une vitesse angulaire autour de l'axe vertical. C'est-à-dire que l'axe du gyroscope acquiert de la vitesse dans une direction perpendiculaire à la direction de la force agissante.

Ainsi, la précession d'un gyroscope est un mouvement sous l'influence de forces extérieures qui se produit de telle sorte que l'axe de la figure décrit une surface conique.

Riz. 7.23. À la dérivation de la formule de précession du gyroscope.

L'explication de ce phénomène est la suivante. Moment de force autour d'un point 0 volonté

L'incrément du moment cinétique du gyroscope au fil du temps est égal à

C'est un incrément perpendiculaire moment cinétique et change donc de direction, mais pas d'ampleur.

Le vecteur moment cinétique se comporte de la même manière que le vecteur vitesse lorsqu'une particule se déplace en cercle. Dans ce dernier cas, l'incrément de vitesse est perpendiculaire à la vitesse des particules et égal en amplitude

Dans le cas d'un gyroscope, l'incrément élémentaire du moment cinétique

et égal en module

Pendant ce temps, le vecteur moment cinétique tournera d'un angle

La vitesse angulaire de rotation d'un plan passant par l'axe du cône décrit par l'axe de la figure et l'axe de la figure s'appelle taux angulaire de précession gyroscope.

Les oscillations de l'axe de la figure du gyroscope qui surviennent dans certaines conditions dans un plan passant par l'axe du cône ci-dessus et l'axe de la figure elle-même sont appelées nutations. Les nutations peuvent être provoquées, par exemple, par une brève poussée de l'axe de la figure du gyroscope vers le haut ou vers le bas (voir Fig. 7.24) :

Riz. 7.24. Nutations gyroscopiques

La vitesse angulaire de précession dans le cas considéré est égale à

Notons une propriété importante d'un gyroscope - son inertie, ce qui signifie qu'après la cessation de la force extérieure, la rotation de l'axe de la figure s'arrête.

Informations Complémentaires

http://www.plib.ru/library/book/14978.html Sivukhin D.V. Cours général de physique, tome 1, Mécanique Ed. Science 1979 - pp. 288-293 (§ 52) : pose les bases d'une théorie précise du gyroscope.

http://femto.com.ua/articles/part_1/0796.html - encyclopédie physique. Une variété de gyroscopes mécaniques utilisés pour la navigation - les gyrocompas - sont décrits.

http://femto.com.ua/articles/part_1/1901.html - encyclopédie physique. L'invention concerne un gyroscope laser destiné à la navigation spatiale.

L'influence des forces gyroscopiques dans la technologie est illustrée par les figures suivantes.

Riz. 7.25. Forces gyroscopiques agissant sur un avion lorsque l'hélice tourne

Riz. 7.26. Inversion d'une toupie sous l'influence de forces gyroscopiques

Riz. 7.27. Comment se mettre un œuf sur les fesses

Informations Complémentaires

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/10/mehanika_vrashchayushchegosya.htm - Magazine Kvant - meilleurs mécaniciens (S. Krivoshlykov).

http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9809_096.pdf - Magazine pédagogique Soros, 1998, n°9, - l'article aborde les problèmes de la dynamique des corps en rotation (pierres celtiques) au contact d'un surface solide (A .P. Markeev).

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_35.djvu - Mikhaïlov A.A. La Terre et sa rotation, Quantum Library, numéro 35 pp. 50-56 - la planète Terre est un grand sommet, son axe est en précession dans l'espace.

Application

À propos du principe de fonctionnement de la roue

Puisque nous avons beaucoup parlé dans ce chapitre de la rotation des corps, attardons-nous sur la découverte la plus grande et la plus importante de l'humanité - l'invention de la roue. Tout le monde sait que traîner une charge est bien plus difficile que la transporter sur roues. La question se pose, pourquoi ? La roue, qui joue un rôle important dans la technologie moderne, est à juste titre considérée comme l'une des inventions les plus brillantes de l'humanité.

Déplacement de charges à l'aide d'un rouleau. Le prototype de la roue était un rouleau placé sous une charge. Ses premières applications se perdent dans la nuit des temps. Avant d'aborder la roue, comprenons le principe de fonctionnement du rouleau. Pour ce faire, regardons un exemple.

Exemple. Poids de la charge M placé sur un rouleau cylindrique de masse et de rayon, qui peut se déplacer le long d'un sol horizontal plat. Une force horizontale est appliquée à la charge (Fig. 7.28). Trouvons l'accélération de la charge et du rouleau. Négligez la force de friction de roulement. Supposons que le système bouge sans glisser.

Riz. 7.28. Déplacement de charges à l'aide d'un rouleau

Notons la force de frottement entre le rouleau et la charge et - entre le rouleau et le revêtement de sol. Prenons la direction de la force extérieure comme direction positive. Alors les valeurs positives correspondent aux directions des forces de frottement représentées sur la Fig. 7.28.

Ainsi, les forces et agissent sur la charge, et les forces et agissent sur le rouleau. Notons un accélération de la charge et un 1- accélération des rouleaux. De plus, le rouleau tourne dans le sens des aiguilles d'une montre avec une accélération angulaire.

Les équations du mouvement de translation prennent la forme :

L’équation du mouvement de rotation du rouleau s’écrit comme suit :

Passons maintenant aux conditions de non-dérapage. En raison de la rotation du rouleau, son point le plus bas présente une accélération linéaire et participe en outre au mouvement de translation avec accélération. En l'absence de glissement entre le rouleau et le plateau, l'accélération totale du point bas du rouleau doit être nulle, donc

En raison de la rotation, le point supérieur du rouleau acquiert une accélération linéaire de direction opposée et la même accélération du mouvement de translation. Pour éviter de glisser entre le rouleau et la charge, l'accélération totale du point haut doit être égale à l'accélération de la charge :

Des équations d'accélération obtenues, il résulte que l'accélération du rouleau est deux fois inférieure à l'accélération de la charge :

et, en conséquence,

Par expérience directe, tout le monde sait que le rouleau est vraiment en retard par rapport à la charge.

En substituant les relations d'accélération dans les équations du mouvement et en les résolvant par rapport aux inconnues , , , nous obtenons l'expression suivante pour l'accélération de la charge

Les deux forces de frottement s’avèrent positives, donc sur la figure. 12 de leurs directions sont choisies correctement :

Comme vous pouvez le constater, le rayon du rouleau ne joue pas de rôle particulier : le rapport ne dépend que de sa forme. Pour une masse et un rayon donnés, le moment d'inertie du galet est maximum lorsque le galet est un tube : . Dans ce cas, il n'y a pas de force de frottement entre le rouleau et le plateau ( = 0), et les équations de l'accélération de la charge et de la force de frottement entre la charge et le rouleau prennent la forme :

À mesure que la masse du rouleau diminue, la force de frottement diminue, l'accélération de la charge augmente - la charge est plus facile à déplacer.

Dans le cas d'un rouleau cylindre (log) /2 et on retrouve les forces de frottement

et l'accélération de la charge.

En comparant avec les résultats obtenus avec le rouleau tubulaire, nous constatons que la masse effective du rouleau semble avoir diminué : l'accélération de la charge augmente, toutes choses étant égales par ailleurs.

Le résultat principal de l'exemple considéré : l'accélération est non nulle (c'est-à-dire que la charge commence à se déplacer) avec une force externe arbitrairement petite. Lorsque vous faites glisser une charge sur le revêtement de sol, au moins une force doit être appliquée pour la déplacer.

Deuxième conclusion : l'accélération ne dépend pas du tout du degré de friction entre les parties d'un système donné. Le coefficient de frottement n'a pas été pris en compte dans les solutions trouvées ; il n'apparaîtra que dans des conditions d'absence de glissement, ce qui se résume au fait que la force appliquée ne doit pas être trop importante.

Le résultat obtenu, à savoir que le rouleau semble « détruire » complètement la force de frottement, n’est pas surprenant. En effet, en l’absence de mouvement relatif des surfaces en contact, les forces de frottement n’ont aucun effet. En fait, le rouleau « remplace » le frottement de glissement par le frottement de roulement, que nous avons négligé. Dans un cas réel, la force minimale requise pour déplacer le système est non nulle, bien que bien inférieure à celle requise pour traîner une charge le long du sol. Dans la technologie moderne, le principe de fonctionnement du rouleau est mis en œuvre dans des roulements à billes.

Examen qualitatif du fonctionnement des roues. Après avoir traité de la patinoire, passons à la roue. La première roue, en forme de disque de bois monté sur un axe, serait apparue, semble-t-il, au IVe millénaire avant JC. dans les civilisations de l’Orient ancien. Au IIe millénaire avant JC. Le design de la roue est amélioré : des rayons, un moyeu et une jante courbée apparaissent. L'invention de la roue a donné une impulsion gigantesque au développement de l'artisanat et des transports. Cependant, beaucoup ne comprennent pas le principe même de la roue. Dans un certain nombre de manuels et d'encyclopédies, on peut trouver une affirmation incorrecte selon laquelle une roue, comme un rouleau, donne également des gains en remplaçant la force de frottement de glissement par la force de frottement de roulement. Parfois, on entend des références à l'utilisation de lubrifiant ou de roulements, mais ce n'est pas le cas, car la roue est évidemment apparue avant qu'on pense au lubrifiant (et surtout aux roulements).

L’action de la roue est plus facilement comprise à partir de considérations énergétiques. Les charrettes antiques étaient conçues simplement : la caisse était fixée à un essieu en bois avec un rayon (la masse totale de la caisse avec l'essieu était égale à M). Des roues avec masse et rayon sont montées sur l'essieu R.(Fig. 7.29).

Riz. 7.29. Déplacer une charge à l'aide d'une roue

Supposons qu'un tel chariot soit transporté sur un plancher en bois (nous avons alors le même coefficient de frottement à tous les endroits de contact). Nous coinçons d'abord les roues et, en utilisant la force, traînons le chariot sur une distance s. Lorsque le chariot glisse le long du pont, la force de friction atteint sa valeur maximale possible

Le travail contre cette force est égal à

(puisque généralement la masse des roues est bien inférieure à la masse du chariot<<M).

Maintenant, lâchons les roues et traînons à nouveau le chariot sur la même distance s. Si les roues ne glissent pas sur le sol, alors au point bas de la roue, la force de frottement n'effectue aucun travail. Mais un frottement de glissement se produit entre l'essieu et la roue au bas de l'essieu avec un rayon de . Il y a aussi une force de pression normale. Il sera légèrement différent du précédent en raison du poids des roues et d'autres raisons, dont nous parlerons ci-dessous, mais avec une petite masse de roues et un faible coefficient de frottement, il peut être considéré comme à peu près égal. Ainsi, la même force de friction agit entre l’essieu et la roue.

Soulignons encore une fois : la roue elle-même ne réduit pas la force de frottement. Mais le travail UN" contre cette force sera désormais bien moindre que dans le cas de traîner un chariot avec des roues coincées. En effet, lorsque le chariot parcourt la distance S, ses roues font des révolutions. Cela signifie que les surfaces frottant contre l’axe de la roue se déplaceront les unes par rapport aux autres sur une distance plus petite. Par conséquent, le travail contre les forces de frottement sera également un nombre de fois inférieur :

Ainsi, en mettant des roues sur des essieux, on réduit non pas la force de frottement, comme dans le cas d'un rouleau, mais le chemin le long duquel il agit. Disons une roue avec un rayon R= 0,5 m et rayon de l'axe = 2 cm réduit le travail de 96 %. Les 4 % restants sont gérés avec succès par la lubrification et les roulements, qui réduisent eux-mêmes la friction (la lubrification empêche en outre l'usure du train de roulement du chariot). On comprend désormais pourquoi les vieilles voitures et chars de guerre avaient de si grandes roues. Les poussettes modernes des supermarchés ne peuvent rouler que grâce à des roulements.

Conférence 11. Gyroscopes.

Cette conférence aborde les problématiques suivantes :

1. Gyroscopes. Gyroscope gratuit.

2. Précession du gyroscope sous l'influence de forces extérieures. Vitesse angulaire de précession. Nutations.

3. Forces gyroscopiques, leur nature et leur manifestation.

4. Hauts. Stabilité de rotation d'un plateau symétrique.

L'étude de ces questions est nécessaire dans la discipline « Pièces de machines ».

Gyroscopes.Gyroscope gratuit.

Un gyroscope est un corps massif à symétrie axiale tournant à une vitesse angulaire élevée autour de son axe de symétrie.

Dans ce cas, les moments de toutes les forces extérieures, y compris la gravité, par rapport au centre de masse du gyroscope sont égaux à zéro. Ceci peut être réalisé, par exemple, en plaçant un gyroscope dans un cardan, illustré sur la figure 1.

Figure 1

En même temps

et le moment cinétique est conservé :

L= const(2)

Le gyroscope se comporte de la même manière qu’un corps en rotation plus libre. Selon les conditions initiales, deux options de comportement du gyroscope sont possibles :

1. Si le gyroscope tourne autour de l'axe de symétrie, alors les directions du moment cinétique et de la vitesse angulaire coïncident :

, (3)

et la direction de l'axe de symétrie du gyroscope reste inchangée. Vous pouvez le vérifier en tournant le support sur lequel se trouve le cardan - lorsque le support tourne arbitrairement, l'axe du gyroscope maintient une direction constante dans l'espace. Pour la même raison, une toupie, « lancée » sur une feuille de carton et projetée vers le haut (Fig. 2), maintient la direction de son axe pendant le vol, et, tombant avec sa pointe sur le carton, continue de tourner régulièrement jusqu'à ce qu'elle soit la réserve d’énergie cinétique est épuisée.

Figure 2

Un gyroscope libre, tourné autour de l'axe de symétrie, présente une stabilité très importante. De l'équation de base des moments, il s'ensuit que la variation du moment cinétique

Si l'intervalle de temps petit, alors petit, c'est-à-dire sous l'influence à court terme de forces même très importantes, le mouvement du gyroscope change de manière insignifiante. Le gyroscope semble résister aux tentatives de modification de son moment cinétique et semble « durci ».

Prenons un gyroscope en forme de cône reposant sur la tige du support en son centre de masse O (Fig. 3). Si le corps du gyroscope ne tourne pas, alors il est dans un état d'équilibre indifférent et la moindre poussée le déplace de sa place. Si ce corps est mis en rotation rapide autour de son axe, même des coups forts avec un marteau en bois ne pourront pas changer de manière significative la direction de l'axe du gyroscope dans l'espace. La stabilité libre du gyroscope est utilisée dans divers appareils techniques, par exemple dans le pilote automatique.

Figure 3

2. Si un gyroscope libre tourne de telle sorte que le vecteur de vitesse angulaire instantanée et l'axe de symétrie du gyroscope ne coïncident pas (en règle générale, cet écart lors d'une rotation rapide est insignifiant), alors le mouvement est décrit comme une « précession régulière libre ». est observée. Lorsqu'elle est appliquée à un gyroscope, cela s'appelle la nutation. Dans ce cas, l'axe de symétrie du gyroscope, les vecteurs Atterrir se trouvent dans le même plan, qui tourne autour de la direction L= constavec une vitesse angulaire égale à Où - moment d'inertie du gyroscope par rapport à l'axe central principal perpendiculaire à l'axe de symétrie. Cette vitesse angulaire (appelons-la vitesse de nutation) lors de la rotation rapide du gyroscope s'avère assez importante, et la nutation est perçue par l'œil comme un petit tremblement de l'axe de symétrie du gyroscope.

Le mouvement de nutation peut être facilement démontré à l’aide du gyroscope illustré sur la figure. 3 - cela se produit lorsqu'un marteau frappe la tige d'un gyroscope tournant autour de son axe. De plus, plus le gyroscope tourne, plus son moment cinétique est grand. L - plus la vitesse de nutation est grande et plus la vibration de l'axe de la figure est faible. Cette expérience démontre un autre trait caractéristique de la nutation : avec le temps, elle diminue et disparaît progressivement. Ceci est une conséquence des frottements inévitables dans le support du gyroscope.

Notre Terre est une sorte de gyroscope, et elle se caractérise également par un mouvement nutationnel. Cela est dû au fait que la Terre est quelque peu aplatie aux pôles, ce qui explique les moments d'inertie autour de l'axe de symétrie.et par rapport à un axe situé dans le plan équatorialvarier. En même temps, UN . Dans le référentiel associé à la Terre, l'axe de rotation se déplace le long de la surface du cône autour de l'axe de symétrie de la Terre avec une vitesse angulaire w 0, c'est-à-dire qu'il fait un tour en 300 jours environ. En fait, en raison de la prétendue rigidité non absolue de la Terre, ce temps s'avère plus long - il est d'environ 440 jours. Dans ce cas, la distance entre le point de la surface terrestre par lequel passe l'axe de rotation et le point par lequel passe l'axe de symétrie (le pôle Nord) n'est que de quelques mètres. Le mouvement nutationnel de la Terre ne s'estompe pas - apparemment, il est soutenu par les changements saisonniers se produisant à la surface

Précession d'un gyroscope sous l'influence de forces extérieures. Théorie élémentaire.

Considérons maintenant la situation où une force est appliquée sur l'axe du gyroscope dont la ligne d'action ne passe pas par le point d'attache. Les expériences montrent que dans ce cas, le gyroscope se comporte d'une manière très inhabituelle.

Si vous attachez un ressort à l'axe d'un gyroscope articulé au point O (Fig. 4) et le tirez vers le haut avec force F , alors l'axe du gyroscope ne se déplacera pas dans la direction de la force, mais perpendiculairement à celle-ci, sur le côté. Ce mouvement est appelé précession du gyroscope sous l'influence d'une force extérieure.

Figure 4

On peut établir expérimentalement que la vitesse angulaire de précession ne dépend pas seulement de l'ampleur de la force F (Fig. 4), mais aussi sur quel point de l'axe du gyroscope cette force est appliquée : avec l'augmentation F et ses épaules jepar rapport au point de fixation O, la vitesse de précession augmente. Il s'avère que plus le gyroscope tourne, plus la vitesse angulaire de précession est faible pour un temps donné. F et je.

Comme force F La force de gravité peut provoquer une précession si le point de fixation du gyroscope ne coïncide pas avec le centre de masse. Ainsi, si une tige avec un disque en rotation rapide est suspendue à un filetage (Fig. 5), alors elle ne tombe pas, comme on pourrait s'y attendre, mais effectue un mouvement de précession autour du filetage. Observer la précession d'un gyroscope sous l'influence de la gravité est en quelque sorte encore plus pratique - la ligne d'action de la force se déplace « automatiquement » avec l'axe du gyroscope, maintenant son orientation dans l'espace.

Figure 5

D'autres exemples de précession peuvent être donnés - par exemple, le mouvement de l'axe d'un jouet pour enfants bien connu - une toupie à extrémité pointue (Fig. 6). Le sommet, détordu autour de son axe et placé sur un plan horizontal légèrement oblique, commence à précéder autour de l'axe vertical sous l'influence de la gravité (Fig. 6).

Figure 6

Une solution exacte au problème du mouvement d'un gyroscope dans un champ de forces externes - une expression de la vitesse angulaire de précession peut être facilement obtenue dans le cadre de ce que l'on appelle théorie élémentaire du gyroscope. Dans cette théorie, on suppose que la vitesse angulaire instantanée de rotation du gyroscope et son moment cinétique sont dirigés le long de l'axe de symétrie du gyroscope. Autrement dit, on suppose que la vitesse angulaire de rotation du gyroscope autour de son axe est nettement supérieure à la vitesse angulaire de précession :

alors contribuez à L , en raison du mouvement de précession du gyroscope, peut être négligé. Dans cette approximation, le moment cinétique du gyroscope est évidemment égal à

Où - moment d'inertie par rapport à l'axe de symétrie.

Considérons donc un gyroscope symétrique lourd, dont le point fixe S (le point d'appui sur le support) ne coïncide pas avec le centre de masse O (Fig. 7).

Figure 7

Moment de gravité par rapport au point S

où θ - l'angle entre la verticale et l'axe de symétrie du gyroscope. Le vecteur M est dirigé normalement au plan dans lequel se trouvent l'axe de symétrie du gyroscope et la verticale passant par le point S (Fig. 7). La force de réaction d'appui passe par S et son moment autour de ce point est nul.

Changement de moment cinétique L est déterminé par l'expression

dL= MDT(8)

En même temps L et l'axe supérieur précessent autour de la direction verticale avec une vitesse angulaire. Soulignons encore une fois : on fait l'hypothèse que la condition (5) est satisfaite et que L est constamment dirigé selon l'axe de symétrie du gyroscope. De la Fig.95, il s'ensuit que

Sous forme vectorielle

(10)

En comparant (8) et (10), nous obtenons la relation suivante entre le moment de force M, le moment cinétique L et la vitesse angulaire de précession:

(11)

Cette relation permet de déterminer le sens de précession pour un sens de rotation donné du plateau autour de son axe.

Notons que M détermine la vitesse angulaire de précession, et non l'accélération angulaire, donc un instant « d'arrêt » M entraîne la disparition instantanée de la précession, c'est-à-dire que le mouvement de précession est sans inertie.

La force provoquant le mouvement de précession peut être de n'importe quelle nature. Pour maintenir ce mouvement, il est important que le vecteur du moment de force M tourne avec l'axe du gyroscope. Comme nous l'avons déjà noté, dans le cas de la gravité, cela se fait automatiquement. Dans ce cas, à partir de (11) (voir aussi Fig. 7) nous pouvons obtenir :

(12)

Si l'on tient compte du fait que dans notre approximation la relation (6) est valable, alors pour la vitesse angulaire de précession on obtient

Il convient de noter quene dépend pas de l'angleincliner l'axe du gyroscope et l'arrière proportionnel w, ce qui concorde bien avec les données expérimentales.

La précession du gyroscope est influencée par des forces extérieures. Départ de la théorie élémentaire. Nutations.

L'expérience montre que le mouvement de précession d'un gyroscope sous l'influence de forces extérieures est généralement plus complexe que celui décrit ci-dessus dans le cadre de la théorie élémentaire. Si vous donnez une poussée au gyroscope qui change l'angle(voir Fig. 7), alors la précession ne sera plus uniforme (souvent dite : régulière), mais s'accompagnera de petites rotations et tremblements du sommet du gyroscope - nutations. Pour les décrire, il faut prendre en compte le décalage du vecteur du moment cinétique total L, vitesse angulaire instantanée w et l'axe de symétrie du gyroscope.

La théorie exacte du gyroscope dépasse le cadre du cours de physique générale. De la relationdL= MDTil s'ensuit que la fin du vecteur L se diriger vers M, c'est-à-dire perpendiculaire à la verticale et à l'axe du gyroscope. Cela signifie que les projections du vecteur Là la verticale KG et sur l'axe du gyroscope L 0 restent constants. Une autre constante est l'énergie

(14)

où T - l'énergie cinétique du gyroscope. Exprimer L B , L 0 et T grâce aux angles d’Euler et à leurs dérivées, il est possible, à l’aide des équations d’Euler, de décrire analytiquement le mouvement d’un corps.

Le résultat d’une telle description est le suivant : le vecteur moment cinétique L décrit un cône de précession immobile dans l'espace, et en même temps l'axe de symétrie du gyroscope se déplace autour du vecteur L le long de la surface du cône de nutation. Le sommet du cône de nutation, comme le sommet du cône de précession, est situé au point d'attache du gyroscope, et l'axe du cône de nutation coïncide en direction avec L et bouge avec lui. La vitesse angulaire des nutations est déterminée par l'expression

où et - les moments d'inertie du corps du gyroscope par rapport à l'axe de symétrie et par rapport à l'axe passant par le point d'appui et perpendiculaire à l'axe de symétrie,- vitesse angulaire de rotation autour de l'axe de symétrie.

Ainsi, l'axe du gyroscope est impliqué dans deux mouvements : nutationnel et précessionnel. Les trajectoires du mouvement absolu du sommet du gyroscope sont des lignes complexes, dont des exemples sont présentés sur la Fig. 8.

Figure 8

La nature de la trajectoire le long de laquelle se déplace le sommet du gyroscope dépend des conditions initiales. Dans le cas de la Fig. 8, UN Le gyroscope était tourné autour de l'axe de symétrie, placé sur un support à un certain angle par rapport à la verticale et soigneusement relâché. Dans le cas de la fig. 8, b De plus, il a reçu une certaine impulsion en avant et, dans le cas de la Fig. 8, V- repousser le long de la précession. Les courbes de la Fig. 8 sont assez semblables aux cycloïdes décrites par un point sur la jante d'une roue roulant sur un plan sans glisser ou avec glissement dans un sens ou dans un autre. Et ce n'est qu'en communiquant au gyroscope une poussée initiale d'une ampleur et d'une direction très spécifiques que l'on peut obtenir que l'axe du gyroscope précesse sans nutations. Plus le gyroscope tourne vite, plus la vitesse angulaire des nutations est grande et plus leur amplitude est faible. Avec une rotation très rapide, les nutations deviennent presque invisibles à l'œil nu.

Cela peut paraître étrange : pourquoi un gyroscope, étant détordu, incliné par rapport à la verticale et relâché, ne tombe-t-il pas sous l'influence de la gravité, mais se déplace-t-il latéralement ? D’où vient l’énergie cinétique du mouvement de précession ?

Les réponses à ces questions ne peuvent être obtenues que dans le cadre de la théorie exacte des gyroscopes. En fait, le gyroscope commence réellement à tomber et le mouvement de précession apparaît comme une conséquence de la loi de conservation du moment cinétique. En effet, la déviation vers le bas de l'axe du gyroscope entraîne une diminution de la projection du moment cinétique dans la direction verticale. Cette diminution doit être compensée par le moment cinétique associé au mouvement de précession de l'axe du gyroscope. D'un point de vue énergétique, l'énergie cinétique de précession apparaît en raison du changement d'énergie potentielle des gyroscopes.

Si, en raison du frottement dans le support, les nutations s'éteignent plus rapidement que la rotation du gyroscope autour de l'axe de symétrie (en règle générale, cela se produit), alors peu de temps après le « lancement » du gyroscope, les nutations disparaissent et pures la précession demeure (Fig. 9). Dans ce cas, l'angle d'inclinaison de l'axe du gyroscope par rapport à la verticales'avère être plus gros qu'il ne l'était au début, c'est-à-dire que l'énergie potentielle du gyroscope diminue. Ainsi, l'axe du gyroscope doit s'abaisser légèrement pour pouvoir précéder autour de l'axe vertical.

Figure 9

Forces gyroscopiques.

Passons à une expérience simple : prenez le manche dans nos mains AB avec une roue montée dessus AVEC (Fig. 10). Tant que la roue n'est pas détordée, il n'est pas difficile de faire tourner l'arbre dans l'espace de manière arbitraire. Mais si la roue tourne, tente de faire tourner l'arbre, par exemple, dans un plan horizontal avec une petite vitesse angulaireconduisent à un effet intéressant : la tige a tendance à échapper aux mains et à tourner dans un plan vertical ; il agit sur les mains avec certaines forces R A et R B (Fig. 10). Il faut un effort physique important pour maintenir l'arbre avec la roue en rotation dans un plan horizontal.

Riz. 10

Examinons plus en détail les effets qui surviennent lors de la rotation forcée de l'axe du gyroscope. Laissez l'axe du gyroscope être fixé dans un cadre en forme de U, qui peut tourner autour de l'axe vertical OO" (Fig. 11). Un tel gyroscope est généralement appelé non libre - son axe se situe dans le plan horizontal et ne peut pas sortir il.

Riz. 11

Faisons tourner le gyroscope autour de lui autour de son axe de symétrie jusqu'à une vitesse angulaire élevée (moment angulaire L) et commençons à faire tourner le cadre avec le gyroscope monté autour de l'axe vertical OO" avec une certaine vitesse angulairecomme le montre la fig. 11. Le moment d'impulsion L recevra un incrémentdL qui doit être fourni par le moment de force M appliqué sur l'axe du gyroscope. Le moment M, à son tour, est créé par une paire de forcessurvenant lors de la rotation forcée de l'axe du gyroscope et agissant sur l'axe depuis le côté du châssis. D'après la troisième loi de Newton, l'axe agit sur le bâti avec des forces(Fig. 11). Ces forces sont dites gyroscopiques ; ils créent un moment gyroscopique. L’apparition de forces gyroscopiques est appelée effet gyroscopique. Ce sont ces forces gyroscopiques que l'on ressent lorsqu'on essaie de faire tourner l'axe d'une roue en rotation (Fig. 10).

Le moment gyroscopique n'est pas difficile à calculer. Supposons, selon la théorie élémentaire, que

(16)

où J est le moment d'inertie du gyroscope par rapport à son axe de symétrie, etω - vitesse angulaire de sa propre rotation. Alors le moment des forces extérieures agissant sur l'axe sera égal à

(17)

où ω - vitesse angulaire de rotation forcée (parfois appelée précession forcée). Côté essieu, le moment opposé agit sur les roulements

(18)

Ainsi, l'arbre du gyroscope représenté sur la Fig. 11 poussera vers le haut dans le roulement B et exercera une pression sur le bas du roulement A.

La direction des forces gyroscopiques peut être facilement trouvée à l'aide de la règle formulée par N.E. Joukovski : les forces gyroscopiques ont tendance à combiner le moment cinétique L du gyroscope avec la direction de la vitesse angulaire du virage forcé. Cette règle peut être clairement démontrée à l’aide du dispositif illustré à la Fig. 12.

Riz. 12

L'axe du gyroscope est fixé dans un anneau pouvant tourner librement dans la cage. Mettons la cage en rotation autour d'un axe vertical avec une vitesse angulaire(tour forcé), et l'anneau avec le gyroscope tournera dans le support jusqu'à ce que les directions L etne correspondra pas. Cet effet est à l'origine du phénomène magnétomécanique bien connu - l'aimantation d'une tige de fer lorsqu'elle tourne autour de son propre axe - tandis que les spins des électrons s'alignent le long de l'axe de la tige (expérience de Barnett).

Les forces gyroscopiques sont subies par les roulements des essieux des pièces de la machine en rotation rapide lors de la rotation de la machine elle-même (turbines d'un navire, hélices d'un avion, etc.). A des valeurs significatives de la vitesse angulaire de précession forcéeet propre rotationet la grande taille du volant, ces forces peuvent même détruire les roulements. Considérons quelques exemples de manifestation de forces gyroscopiques.

Exemple 1.Un avion monomoteur léger doté d'une hélice droite effectue un virage à gauche (Fig. 13). Le moment gyroscopique est transmis par les roulements A et B au corps de l'avion et agit sur lui, en essayant d'aligner l'axe de rotation de l'hélice (vecteur) avec l'axe de précession forcée (vecteur). L'avion commence à relever le nez et le pilote doit « éloigner le manche de lui-même », c'est-à-dire abaisser la gouverne de profondeur. Ainsi, le moment des forces gyroscopiques sera compensé par le moment des forces aérodynamiques.

Riz. 13

Exemple 2.Lorsque le navire tangue (de la proue à la poupe et retour), le rotor d'une turbine à grande vitesse participe à deux mouvements : en rotation autour de son axe avec une vitesse angulaireet en rotation autour d'un axe horizontal perpendiculaire à l'arbre de la turbine, avec vitesse angulaire(Fig.14). Dans ce cas, l'arbre de la turbine appuiera sur les roulements avec des forcesse trouvant dans un plan horizontal. Lors du balancement, ces forces, comme le moment gyroscopique, changent périodiquement de direction dans le sens opposé et peuvent provoquer un « lacet » du navire s'il n'est pas trop grand (par exemple, un remorqueur).

Riz. 14

Supposons que la masse de la turbinem=3000 kg son rayon de girationR.dans= 0,5 m, vitesse de rotation de la turbinen=3000 tr/min, vitesse angulaire maximale de la coque du navire lors du tangage=5 degrés/s, distance entre les roulementsje=2 m. La valeur maximale de la force gyroscopique agissant sur chacun des roulements est

Après avoir remplacé les données numériques, nous obtenonsc'est-à-dire environ 1 tonne.

Exemple 3.Les forces gyroscopiques peuvent provoquer des vibrations dites « shimmy » des roues des voitures (Fig. 15) [V.A. Pavlov, 1985]. Une roue tournant autour de l'axe AA" avec une vitesse angulaire w au moment de heurter un obstacle, une vitesse supplémentaire de rotation forcée autour d'un axe perpendiculaire au plan du dessin est signalée. Dans ce cas, un moment de forces gyroscopiques apparaît, et la roue va commencer à tourner autour de l'axe BB. "En acquérant une vitesse angulaire de rotation autour de l'axe BB", la roue va recommencer à tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan. de la figure, déformant les éléments élastiques de la suspension et provoquant des forces tendant à ramener la roue dans sa position verticale précédente. Puis la situation se répète. Si des mesures spéciales ne sont pas prises dans la conception de la voiture, les vibrations shimmy qui en résultent peuvent entraîner la chute du pneu de la jante et la rupture de ses pièces de montage.

Riz. 15

Exemple 4.On retrouve également l'effet gyroscopique lorsque l'on roule à vélo (Fig. 16). Par exemple, lorsqu'il tourne à droite, un cycliste déplace instinctivement le centre de gravité de son corps vers la droite, comme s'il renversait son vélo. La rotation forcée résultante du vélo avec une vitesse angulaireconduit à l'apparition de forces gyroscopiques avec un moment. Sur la roue arrière, ce moment sera absorbé dans des roulements reliés rigidement au cadre. La roue avant, qui a une liberté de rotation par rapport au cadre de la colonne de direction, sous l'influence d'un moment gyroscopique, commencera à tourner exactement dans la direction nécessaire au virage à droite du vélo. Les cyclistes expérimentés effectuent de tels virages, pour ainsi dire, « sans les mains ».

Riz. 16

La question de l’émergence des forces gyroscopiques peut être envisagée sous un autre point de vue. On peut supposer que le gyroscope montré sur la Fig. 11, participe à deux mouvements simultanés : rotation relative autour de son propre axe avec vitesse angulaire w et rotation portable et forcée autour d'un axe vertical avec vitesse angulaire. Ainsi, les masses élémentaires, dans lequel le disque du gyroscope peut être divisé (petits cercles sur la Fig. 17), doit subir des accélérations de Coriolis

(20)

Ces accélérations seront maximales pour les masses situées à un instant donné sur le diamètre vertical du disque, et égales à zéro pour les masses situées sur le diamètre horizontal (Fig. 17).

Riz. 17

Dans un référentiel tournant avec une vitesse angulaire(dans ce référentiel l'axe du gyroscope est immobile), aux massesLes forces d'inertie de Coriolis agiront

(21)

Ces forces créent un momentqui tend à faire tourner l'axe du gyroscope pour que le vecteur combiné avec . Moment doit être équilibré par le moment des forces de réactionagissant sur l'axe du gyroscope à partir des roulements. D'après la troisième loi de Newton, l'axe va agir sur les roulements, et à travers eux sur le bâti dans lequel cet axe est fixé, avec des forces gyroscopiques. C'est pourquoi on dit que les forces gyroscopiques sont causées par les forces de Coriolis.

L'apparition des forces de Coriolis peut être facilement démontrée si, au lieu d'un disque dur (Fig. 17), nous prenons un pétale en caoutchouc flexible (Fig. 18). Lorsque la tige avec le pétale non tordu tourne autour de l'axe vertical, le pétale se plie lorsqu'il passe par la position verticale, comme le montre la Fig. 18.

Riz. 18

Dessus.

Les sommets sont fondamentalement différents des gyroscopes dans la mesure où, en général, ils ne comportent pas un seul point fixe. Le mouvement arbitraire des sommets a un caractère très complexe : étant détordus autour de l'axe de symétrie et placés sur un plan, ils précèdent, « courent » le long du plan, dessinant des figures complexes, et parfois même se retournent d'un bout à l'autre. . Sans entrer dans les détails de ce comportement inhabituel des sommets, notons seulement qu'un rôle important est joué ici par la force de frottement qui apparaît au point de contact entre le sommet et le plan.

Arrêtons-nous brièvement sur la question de la stabilité de rotation d'un sommet symétrique de forme arbitraire. L'expérience montre que si un plateau symétrique est mis en rotation autour de l'axe de symétrie et placé sur un plan en position verticale, alors cette rotation, selon la forme du plateau et la vitesse angulaire de rotation, sera soit stable, soit instable. .

Supposons qu'il y ait un sommet symétrique illustré à la Fig. 19. Introduisons la notation suivante : O est le centre de masse du sommet,h- distance du centre de masse au point d'appui ; K est le centre de courbure du sommet au point d'appui,r- rayon de courbure ;- moment d'inertie par rapport à l'axe de symétrie,- moment d'inertie autour de l'axe central principal perpendiculaire à l'axe de symétrie.

Une figue. 21

Il convient de noter que pendant le processus de retournement du toit, le moment cinétique résultant conserve sa direction d'origine, c'est-à-dire que le vecteur L est toujours dirigé verticalement vers le haut. Cela signifie que dans la situation représentée sur la Fig. 21, b, lorsque l'axe du plateau est horizontal, il n'y a pas de rotation autour de l'axe de symétrie du plateau ! De plus, lorsqu'elle est inclinée sur la jambe, la rotation autour de l'axe de symétrie sera opposée à l'original (si vous regardez tout le temps du côté de la jambe, fig. 21, V).

Dans le cas d'un sommet en forme d'œuf, la surface du corps à proximité du point d'appui n'est pas une sphère, mais il existe deux directions mutuellement perpendiculaires pour lesquelles le rayon de courbure au point d'appui prend une dimension extrême (minimum et maximum). valeurs. Les expériences montrent que dans le cas représenté sur la Fig. 21, UN, la rotation sera instable et le sommet prendra une position verticale, tournant autour de l'axe de symétrie et poursuivant une rotation stable à l'extrémité la plus pointue. Cette rotation se poursuivra jusqu'à ce que les forces de frottement s'éteignent suffisamment l'énergie cinétique du sommet, la vitesse angulaire diminuera (deviendra moinsω 0 ), et le sommet tombera.

Riz. 22

Questions d'auto-test

Quel corps solide s'appelle un gyroscope ?

Quel est le moment cinétique d'un gyroscope en rotation rapide par rapport à son point fixe et quelle est sa direction ?

Quelles propriétés physiques possède un gyroscope à rotation rapide à trois degrés de liberté ?

Quel effet est produit par la même force appliquée sur l’axe d’un gyroscope stationnaire et en rotation rapide à trois degrés de liberté ?

Dérivez une formule pour calculer la vitesse angulaire de précession de l’axe du gyroscope.

Quelle est la différence dans les propriétés des gyroscopes à deux et trois degrés de liberté ?

Quelle est l'essence physique de l'effet gyroscopique et dans quelles conditions est-il observé ?

Quelles formules sont utilisées pour déterminer les réactions dynamiques des roulements dans lesquels tourne le cadre d'un gyroscope rotatif à deux degrés de liberté ?

Littérature

1. A.N. Matvéev. Mécanique et théorie de la relativité. M. : Ecole Supérieure, 1986.

2. S.P. Strelkov. Mécanique. M. : Nauka, 1975.

3. S.E. Haykin. Fondements physiques de la mécanique. M. : Nauka, 1971.

4. D.V. Sivukhine. Cours de physique générale. T.1. Mécanique. M. : Nauka, 1989.

5. RV Paul. Mécanique, acoustique et étude de la chaleur. M. : Nauka, 1971.

6. R. Feynman et al. M. : Mir, 1977. Mécanique appliquée Pièces de machines Théorie des machines et des mécanismes

L'expérience montre que le mouvement de précession d'un gyroscope sous l'influence de forces extérieures est généralement plus complexe que celui décrit ci-dessus dans le cadre de la théorie élémentaire. Si vous donnez au gyroscope une poussée qui modifie l'angle (voir Fig. 4.6), alors la précession ne sera plus uniforme (souvent dit : régulière), mais s'accompagnera de petites rotations et tremblements du haut du gyroscope - nutations. Pour les décrire, il faut prendre en compte le décalage du vecteur du moment cinétique total L, vitesse angulaire instantanée de rotation et axe de symétrie du gyroscope.

La théorie exacte du gyroscope dépasse le cadre du cours de physique générale. De la relation il résulte que la fin du vecteur L se diriger vers M, c'est-à-dire perpendiculaire à la verticale et à l'axe du gyroscope. Cela signifie que les projections du vecteur L sur la verticale et sur l'axe du gyroscope restent constants. Une autre constante est l'énergie

(4.14)

Où - énergie cinétique gyroscope. En exprimant en termes d'angles d'Euler et de leurs dérivées, nous pouvons, en utilisant Les équations d'Euler, décrire analytiquement le mouvement d’un corps.

(4.15)

où et sont les moments d'inertie du corps du gyroscope par rapport à l'axe de symétrie et par rapport à l'axe passant par le point d'appui et perpendiculaire à l'axe de symétrie, et est la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe de symétrie (à comparer avec ( 3.64)).

Riz. 4.7.

La nature de la trajectoire le long de laquelle se déplace le sommet du gyroscope dépend des conditions initiales. Dans le cas de la Fig. 4.7a, le gyroscope a été tourné autour de l'axe de symétrie, placé sur un support à un certain angle par rapport à la verticale et soigneusement relâché. Dans le cas de la Fig. 4.7b, de plus, il a reçu une certaine poussée vers l'avant, et dans le cas de la Fig. 4,7v - repousser le long de la précession. Les courbes de la Fig. 4.7 sont assez semblables aux cycloïdes décrites par un point sur la jante d'une roue roulant le long d'un plan sans glisser ou avec glissement dans un sens ou dans un autre. Et ce n'est qu'en communiquant au gyroscope une poussée initiale d'une ampleur et d'une direction très spécifiques que l'on peut obtenir que l'axe du gyroscope précesse sans nutations. Plus le gyroscope tourne vite, plus la vitesse angulaire des nutations est grande et plus leur amplitude est faible. Avec une rotation très rapide, les nutations deviennent presque invisibles à l'œil nu.

Les réponses à ces questions ne peuvent être obtenues que dans le cadre de la théorie exacte des gyroscopes. En fait, le gyroscope commence réellement à tomber et le mouvement de précession apparaît comme une conséquence de la loi de conservation du moment cinétique. En effet, la déviation vers le bas de l'axe du gyroscope entraîne une diminution de la projection du moment cinétique dans la direction verticale. Cette diminution doit être compensée par le moment cinétique associé au mouvement de précession de l'axe du gyroscope. D'un point de vue énergétique, l'énergie cinétique de précession apparaît en raison des changements dans l'énergie potentielle des gyroscopes

Si, en raison du frottement dans le support, les nutations s'éteignent plus rapidement que la rotation du gyroscope autour de l'axe de symétrie (en règle générale, cela se produit), alors peu de temps après le « lancement » du gyroscope, les nutations disparaissent et pures la précession demeure (Fig. 4.8). Dans ce cas, l'angle d'inclinaison de l'axe du gyroscope par rapport à la verticale s'avère supérieur à ce qu'il était au début, c'est-à-dire que l'énergie potentielle du gyroscope diminue. Ainsi, l'axe du gyroscope doit s'abaisser légèrement pour pouvoir précéder autour de l'axe vertical.

Riz. 4.8.

Forces gyroscopiques.

Passons à une expérience simple : prenons en main l'arbre AB avec la roue C montée dessus (Fig. 4.9). Tant que la roue n'est pas déviée, il n'est pas difficile de faire tourner l'arbre dans l'espace de manière arbitraire. Mais si la roue tourne, alors les tentatives de faire tourner l'arbre, par exemple, dans un plan horizontal avec une faible vitesse angulaire conduisent à un effet intéressant : l'arbre a tendance à échapper aux mains et à tourner dans un plan vertical ; il agit sur les mains avec certaines forces et (Fig. 4.9). Il faut un effort physique important pour maintenir l'arbre avec la roue en rotation dans un plan horizontal.

Faisons tourner le gyroscope autour de lui autour de son axe de symétrie jusqu'à une grande vitesse angulaire (moment angulaire L) et commencez à faire tourner le cadre avec le gyroscope monté autour de l'axe vertical OO" avec une certaine vitesse angulaire comme indiqué sur la Fig. 4.10. Moment angulaire L, recevra un incrément qui doit être fourni par le moment de force M, appliqué à l'axe du gyroscope. Moment M, à son tour, est créé par une paire de forces qui surviennent lors de la rotation forcée de l'axe du gyroscope et agissent sur l'axe depuis le côté du cadre. Selon la troisième loi de Newton, l'axe agit sur le cadre avec des forces (Fig. 4.10). Ces forces sont dites gyroscopiques ; ils créent moment gyroscopique L’apparition des forces gyroscopiques est appelée effet gyroscopique. Ce sont ces forces gyroscopiques que l'on ressent lorsqu'on essaie de faire tourner l'axe d'une roue en rotation (Fig. 4.9).

où est la vitesse angulaire de rotation forcée (parfois appelée précession forcée). Côté essieu, le moment opposé agit sur les roulements

(4.)

Ainsi, l'arbre du gyroscope représenté sur la Fig. 4.10, sera poussé vers le haut dans le roulement B et exercera une pression sur le bas du roulement A.

Direction des forces gyroscopiques peut être facilement trouvé en utilisant la règle formulée par N.E. Joukovski : les forces gyroscopiques ont tendance à combiner le moment cinétique L gyroscope avec la direction de la vitesse angulaire du virage forcé. Cette règle peut être clairement démontrée à l’aide du dispositif illustré à la Fig. 4.11.

Afin de maintenir inchangée la position de l'axe de rotation d'un corps solide dans le temps, des roulements sont utilisés dans lesquels il est maintenu. Cependant, il existe des axes de rotation des corps qui ne changent pas d'orientation dans l'espace sans l'action de forces extérieures sur celui-ci. Ces axes sont appelés axes libres(ou axes de rotation libre). On peut prouver que dans tout corps, il existe trois axes mutuellement perpendiculaires passant par le centre de masse du corps, qui peuvent servir d'axes libres (on les appelle principaux axes d'inertie corps). Par exemple, les principaux axes d'inertie d'un parallélépipède rectangle homogène passent par les centres des faces opposées (Fig. 30). Pour un cylindre homogène, l'un des principaux axes d'inertie est son axe géométrique, et les axes restants peuvent être deux axes mutuellement perpendiculaires passant par le centre de masse dans un plan perpendiculaire à l'axe géométrique du cylindre. Les principaux axes d'inertie du ballon

sont trois axes quelconques mutuellement perpendiculaires passant par le centre de masse.

Pour la stabilité de la rotation, il est d'une grande importance lequel des axes libres sert d'axe de rotation.

On peut montrer que la rotation autour des axes principaux avec les moments d'inertie les plus grands et les plus petits s'avère stable et que la rotation autour de l'axe avec le moment moyen est instable. Ainsi, si vous lancez un corps en forme de parallélépipède, en le mettant en rotation en même temps, alors, à mesure qu'il tombe, il tournera régulièrement autour des axes. 1 Et 2 (Fig. 30).

Si, par exemple, un bâton est suspendu par une extrémité du fil, et que l'autre extrémité, fixée à l'axe d'une machine centrifuge, est mise en rotation rapide, alors le bâton tournera dans un plan horizontal autour d'un axe vertical perpendiculaire. à l'axe du bâton et passant par son milieu (Fig. 31) . C'est l'axe de rotation libre (le moment d'inertie à cette position du manche est maximum). Si maintenant le bâton tournant autour de l'axe libre est libéré des connexions externes (retirez soigneusement l'extrémité supérieure du fil du crochet de broche), alors la position de l'axe de rotation dans l'espace est maintenue pendant un certain temps. La propriété des axes libres de maintenir leur position dans l'espace est largement utilisée en technologie. Le plus intéressant à cet égard gyroscopes- des corps massifs homogènes tournant à grande vitesse angulaire autour de leur axe de symétrie, qui est un axe libre.

Considérons l'un des types de gyroscopes - un gyroscope monté sur cardan (Fig. 32). Un corps en forme de disque - un gyroscope - est fixé sur un axe AA, qui peut tourner autour d'un axe horizontal qui lui est perpendiculaire BB, qui, à son tour, peut tourner autour d'un axe vertical D.D. Les trois axes se coupent en un point C, qui est le centre de masse du gyroscope et reste immobile, et l'axe du gyroscope peut prendre n'importe quelle direction dans l'espace. Nous négligeons les forces de frottement dans les roulements des trois axes et le moment d'impulsion des anneaux.

Étant donné que le frottement dans les roulements est faible, alors que le gyroscope est immobile, son axe peut prendre n'importe quelle direction. Si vous commencez à faire tourner rapidement le gyroscope (par exemple, à l'aide d'une corde enroulée autour de l'axe) et à tourner son support, l'axe du gyroscope maintient sa position dans l'espace inchangée. Cela peut être expliqué en utilisant la loi fondamentale de la dynamique du mouvement de rotation. Pour un gyroscope à rotation libre, la force de gravité ne peut pas changer l'orientation de son axe de rotation, puisque cette force est appliquée au centre de masse (le centre de rotation C coïncide avec le centre de masse), et le moment de gravité relatif au centre de masse fixe est nul. On néglige également le moment des forces de frottement. Par conséquent, si le moment des forces externes par rapport à son centre de masse fixe est nul, alors, comme il ressort de l'équation (19.3), L =

Const, c'est-à-dire que le moment cinétique du gyroscope conserve sa grandeur et sa direction dans l'espace. Ainsi, ensemble Avec il conserve sa position dans l'espace et l'axe du gyroscope.

Pour que l'axe du gyroscope change de direction dans l'espace, il faut, selon (19.3), que le moment des forces extérieures soit différent de zéro. Si le moment des forces externes appliquées à un gyroscope en rotation par rapport à son centre de masse est différent de zéro, alors un phénomène appelé effet gyroscopique. Cela consiste dans le fait que sous l'influence d'une paire de forces F, appliqué à l'axe d'un gyroscope en rotation, l'axe du gyroscope (Fig. 33) tourne autour de la droite O 3 O 3, et non autour de la droite À PROPOS 2 À PROPOS 2 , comme cela semble naturel à première vue (Ô 1 Ô 1 Et À PROPOS 2 À PROPOS 2 se trouvent dans le plan du dessin, et O 3 O 3 et les forces F perpendiculaire à celui-ci).

L'effet gyroscopique s'explique comme suit. Moment M paires de forces F dirigé le long d'une ligne droite À PROPOS 2 À PROPOS 2 . Pendant le temps dt le moment de l'impulsion L le gyroscope recevra un incrément d L = M dt (direction d L coïncide avec la direction M) et deviendra égal L"=L+d L. Direction du vecteur L" coïncide avec la nouvelle direction de l'axe de rotation du gyroscope. Ainsi, l'axe de rotation du gyroscope tournera autour de la droite O 3 O 3. Si le temps d'action de la force est court, alors, bien que le moment de force M et grand, changement du moment cinétique d L Le gyroscope sera également assez petit. Par conséquent, l'action des forces à court terme n'entraîne pratiquement pas de changement dans l'orientation de l'axe de rotation du gyroscope dans l'espace. Pour le changer, il faut appliquer une force sur une longue période.

Si l'axe du gyroscope est fixé par des roulements, alors en raison de l'effet gyroscopique, dit forces gyroscopiques, agissant sur les supports dans lesquels tourne l'axe du gyroscope. Leur action doit être prise en compte lors de la conception de dispositifs contenant des composants massifs en rotation rapide. Les forces gyroscopiques n'ont de sens que dans un référentiel tournant et sont un cas particulier de la force d'inertie de Coriolis (voir §27).

Les gyroscopes sont utilisés dans divers appareils de navigation gyroscopiques (gyrocompas, gyrohorizon, etc.). Une autre application importante des gyroscopes est le maintien d'une direction donnée de mouvement de véhicules, par exemple un navire (pilote automatique) et un avion (pilote automatique), etc. Pour tout écart de trajectoire dû à une influence (vague, rafale de vent, etc. .), la position de l'axe du gyroscope dans l'espace est conservée. Par conséquent, l'axe du gyroscope, ainsi que les cadres de cardan, tournent par rapport au dispositif mobile. La rotation des cadres de cardan à l'aide de certains dispositifs active les gouvernails de commande, qui ramènent le mouvement sur une trajectoire donnée.

Le gyroscope a été utilisé pour la première fois par le physicien français J. Foucault (1819-1868) pour prouver la rotation de la Terre.

En technologie, un gyroscope est un corps symétrique qui tourne rapidement autour de son axe de symétrie. Un gyroscope est notre Terre, un volant d'inertie à rotation rapide, une toupie pour enfants, un obus d'artillerie, un rotor de moteur électrique, etc.

La partie du gyroscope qui tourne rapidement est appelée le rotor. L'axe de rotation du rotor est l'axe principal du gyroscope.

Le nombre de degrés de liberté dépend du type de suspension dans lequel le rotor est placé.

Un rotor de gyroscope à trois degrés de liberté peut tourner autour de 3 axes mutuellement perpendiculaires : autour de l'axe X-X dans les roulements du cadre intérieur/premier degré de liberté, avec le cadre intérieur, l'axe Y-Y dans les roulements du cadre extérieur/deuxième degré. de liberté, et enfin, avec les cadres intérieur et extérieur - autour de l'axe Z-Z / troisième degré de liberté.

Une telle suspension, dans laquelle le rotor est capable de tourner autour de trois axes perpendiculaires entre eux, est appelée SUSPENSION À CARDAN.

Le gyroscope possède des propriétés remarquables.

PREMIÈRE PROPRIÉTÉ Un gyroscope à 3 degrés de liberté est que son axe tend à maintenir de manière stable sa position initiale dans l'espace mondial.

Si cet axe est dirigé vers une étoile, alors avec tout mouvement de la base de l'appareil, il continuera à pointer vers cette étoile, changeant son orientation par rapport aux axes terrestres.

Cette propriété du gyroscope a été utilisée pour la première fois par le scientifique français L. Foucault pour prouver expérimentalement la rotation de la Terre autour de son axe (1852). D'où le nom GYROSCOPE, qui traduit du grec (« gyros » et « skopeo ») signifie « observer la rotation ».

DEUXIÈME PROPRIÉTÉ Le gyroscope est celui sous l'influence de chocs aléatoires, d'impacts, c'est-à-dire impulsions de forces, l'axe principal ne change pas de position dans l'espace, c'est-à-dire l'axe principal résiste aux perturbations à court terme.

TIERS PROPRIÉTÉ un gyroscope est détecté lorsqu'une force commence à agir sur son axe (ou bâti), tendant à mettre l'axe en mouvement. Sous l'influence de cette force, l'axe du gyroscope va s'écarter non pas dans le sens de la force, mais dans le sens perpendiculaire à cette force. Ce mouvement s'appelle PRÉCESSION.

La direction de précession est telle que l’axe de rotation propre du rotor tend à coïncider le plus rapidement possible avec l’axe de rotation forcée.

Les propriétés d'un gyroscope à trois degrés sont utilisées pour mesurer les angles de roulis, de tangage et de cap : AGB-3K, AGD-1S, GPK-52.

Un gyroscope à deux degrés de liberté est un rotor qui a la capacité de tourner autour de deux axes mutuellement perpendiculaires : il y a un degré de liberté autour de l'axe Z-Z dans les roulements du rotor (et avec le cadre autour de l'axe X-X) le deuxième degré de liberté.

Un tel gyroscope ne possède aucune des propriétés d'un gyroscope à trois degrés de liberté, mais il possède cependant une autre propriété très intéressante.