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1 1 Concepts de base de la combinatoire 1 Annexe Définition Le produit de tous les nombres naturels de 1 à n inclus est appelé n-factoriel et écrit Exemple Calculez 4 ! 3 ! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5 ! Exemple Calculez ! 7 ! 5 ! 5!! Soit trois lettres de ces lettres : 7 1 ! Permutations 5 3 A, B, C Faisons toutes les combinaisons possibles de ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (combinaisons totales) On voit qu'elles ne diffèrent les unes des autres que par l'ordre des lettres Définition Combinaisons de n éléments qui ne diffèrent les uns des autres que par l'ordre des éléments, sont appelés permutations. Les permutations sont désignées par le symbole n, où n est le nombre d'éléments inclus dans chaque permutation 3 3 ! Le nombre de permutations peut être calculé à l'aide de la formule n ou à l'aide de la factorielle : n n 1 n 3 1 n n ! Ainsi, le nombre de permutations de trois éléments selon la formule est, ce qui coïncide avec le résultat de l'exemple discuté ci-dessus 5 0 Exemple Calculer,! ! !- 5! 5 ! -1 5 ! 5 ! 1 5 0 ! ! 1 ! Exemple Combien de nombres différents à cinq chiffres peut-on créer à partir des chiffres 1, 3, 4, 5, à condition qu'aucun chiffre ne soit répété dans le nombre ?

2 5 ! Exemple Quatre équipes ont participé à la compétition. Combien d'options de répartition des places entre elles sont possibles ? 4 ! Placements Soit quatre lettres A, B, C, D Composons toutes les combinaisons à partir de seulement deux lettres, nous obtenons : AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Nous voyons que tout les combinaisons résultantes diffèrent soit par les lettres, soit par leur ordre (les combinaisons BA et AB sont considérées comme différentes) Définition Les combinaisons de m éléments de n éléments qui diffèrent les uns des autres soit par les éléments eux-mêmes, soit par l'ordre des éléments sont appelées placements. Les emplacements sont désignés par n A m n nombre d'éléments dans chaque combinaison , où m est le nombre de tous les éléments disponibles, A n m m! (mn) ! Exemple Combien y a-t-il d'options pour distribuer trois prix si 7 équipes participent au tirage au sort ? 3 7 ! 7 ! UN! 4 ! 10 Exemple Combien de nombres différents à quatre chiffres peut-on créer à partir des chiffres 0, 1, 8, 9 ? 4 10 ! 10 ! UN!! Exemple Combien d'options d'horaire peuvent être créées pour une journée s'il y a un total de 8 matières académiques et que seulement trois d'entre elles peuvent être incluses dans l'horaire quotidien ? 3 8 ! 8 ! UN! 5 ! Exemple Combien d'options de distribution de trois bons à des sanatoriums de profils différents peuvent être compilées pour cinq candidats ? 3 5 ! 5 ! UN!!

3 Combinaisons Définition Les combinaisons sont toutes les combinaisons possibles de m éléments par n, qui diffèrent les uns des autres par au moins un élément (ici m et n sont des nombres naturels, et n

4 Un phénomène aléatoire peut être caractérisé par le rapport entre le nombre de ses occurrences et le nombre de tests dans chacun desquels, dans les mêmes conditions pour tous les tests, il pourrait se produire ou non. La théorie des probabilités est une branche des mathématiques. quels phénomènes (événements) aléatoires sont étudiés et quels modèles sont identifiés lors de leur répétition massive Afin d'enregistrer et d'explorer ces modèles, nous présenterons quelques concepts et définitions de base. Définition : Toute action, phénomène, observation avec plusieurs résultats différents, réalisés sous. un ensemble donné de conditions sera appelé un test. Par exemple, le tirage répété d'une pièce de monnaie, le processus de fabrication d'une pièce sont des tests. Définition Le résultat de cette action ou observation sera appelé un événement aléatoire. d'un nombre lorsque lancer une pièce est un événement aléatoire, puisqu'il peut s'être produit ou non. Définition Si nous sommes intéressés par un événement spécifique parmi tous les événements possibles, nous l'appellerons l'événement souhaité (ou le résultat souhaité) Définition. Tous les événements considérés seront considérés comme également possibles, ceux qui ont une chance égale de se produire. Ainsi, lors du lancement d'un dé, 1 point, 3, 4, 5 ou des points peuvent apparaître et ces résultats de tests sont également possibles. , l'égalité des chances signifie l'égalité, la symétrie des résultats des tests individuels, sous certaines conditions. Les événements sont généralement désignés par des lettres majuscules de l'alphabet latin : A, B, C, D Définition Les événements sont dits incompatibles si deux d'entre eux ne peuvent pas se produire ensemble. une expérience donnée. Sinon, les événements sont dits compatibles. Ainsi, lors du lancer de pièces, l'apparition du numéro exclut l'apparition simultanée des armoiries ; ceci est un exemple d'événements incompatibles 4

5 Prenons un autre exemple. Supposons qu'un cercle, un losange et un triangle soient dessinés sur la cible. Un coup est tiré. L'événement A touche le cercle, l'événement B touche le losange, l'événement C touche le triangle. Ensuite, les événements A et B, A. et C, C et B sont incohérents Définition Un événement est dit fiable s'il se produit nécessairement dans un test donné Par exemple, gagner un billet de loterie gagnant-gagnant est un événement fiable Les événements fiables sont désignés par la lettre U Définition Un événement est dit impossible si cela ne peut pas se produire dans une expérience donnée Par exemple, en lançant un dé, il est impossible d'obtenir 7 points Événement impossible désigné par la lettre V Définition Un système complet d'événements A 1, A, A 3, A n est un ensemble d'événements incompatibles , dont l'apparition d'au moins un d'entre eux est obligatoire lors d'une épreuve donnée. Ainsi, la perte d'un, deux, trois, quatre, cinq, six points lors du lancement d'un dé de jeu est un système complet d'événements, puisque tous ces événements sont. incompatible et la survenance d'au moins l'un d'entre eux est obligatoire Définition Si un système complet est constitué de deux événements, alors ces événements sont appelés opposés et sont désignés A et A Exemple Il y a un billet de loterie « b sur 45 » L'événement A est celui il est gagnant, et l'événement B est qu'il est non gagnant. Ces événements sont-ils incompatibles ? Exemple Il y a 30 boules numérotées dans une boîte. Déterminez lesquels des événements suivants sont impossibles, fiables, opposés : une boule numérotée a été retirée (; une boule a été retirée avec un nombre pair (une boule a été retirée avec un nombre impair). (C) ; une boule a été retirée sans numéro (D) Lesquels forment un groupe complet ? Exemple Est-il certain ou impossible qu'un seul lancer de dé donne : 5 points 1 à 5 points ?

6 Définition La somme de plusieurs événements est un événement constitué par la survenance d'au moins l'un d'entre eux à la suite d'un test. La somme des événements A et B est notée (A+ et signifie que l'événement A, ou B, ou A et B se sont produits ensemble Définition Le produit de plusieurs événements est un événement , consistant en la survenance conjointe de tous ces événements à la suite du test Le produit des événements A et B désigne : AB 3 Détermination de la probabilité d'un événement Les événements aléatoires sont réalisé avec différentes possibilités Certains se produisent plus souvent, d'autres moins souvent Pour quantifier les possibilités de mise en œuvre d'un événement, la notion de probabilité d'événement est introduite Définition La probabilité d'un événement A est le rapport du nombre M d'issues favorables au nombre total N d'issues également possibles, formant un groupe complet : La probabilité d'un événement fiable est 1, impossible 0, aléatoire : 0 (1 C'est la définition classique de la probabilité Fréquence relative d'un événement A le rapport du nombre m d'essais dans lequel l'événement s'est produit au nombre total de n essais : M N * (Exemple Une lettre est choisie au hasard dans le mot « clinique ») Quelle est la probabilité que ce soit une voyelle ? Quelle est la lettre K ? Est-ce une voyelle ou la lettre K ? Total des lettres 11 Événement A à la suite de l'expérience une voyelle est apparue Événement B la lettre K est apparue L'événement A est favorisé par cinq événements (5 voyelles), l'événement B deux m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Théorèmes de base et formules de théorie des probabilités Théorème d'addition de probabilités La probabilité d'occurrence de l'un des événements incompatibles est égale à la somme de leurs probabilités :

7 A A A A A 1 n 1 A n Probabilité de la somme de deux événements conjoints A A Somme des probabilités d'événements opposés (1 Définition Soient A et B deux événements aléatoires du même test. La probabilité conditionnelle de l'événement A ou la probabilité de l'événement A A à condition que l'événement B se produise est le nombre Désignation : A B A Théorème de multiplication des probabilités La probabilité d'apparition simultanée de deux événements indépendants est égale au produit des probabilités de ces événements A 7

Mathématiques (BkPl-100) MP Kharlamov Année académique 2011/2012, 1er semestre Cours 5. Thème : Combinatoire, introduction à la théorie des probabilités 1 Thème : Combinatoire La combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie

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1 PARTIE I. THÉORIE DES PROBABILITÉS CHAPITRE 1. 1. Éléments de combinatoire Définition 1. Exemples : Définition. -factorial est un nombre noté !, et ! = 1** * pour tous les nombres naturels 1, ; En plus,

1) Combien y a-t-il d’entiers naturels à trois chiffres qui n’ont que deux chiffres de moins que cinq ? Il n'y a que cinq chiffres inférieurs à 5 : ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ) Les cinq chiffres restants sont au moins 5 : ( ; ; ; ; ) 1ère méthode de solution

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TABLE DES MATIÈRES THÈME III. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES PROBABILITÉS... 2 1. RÉFÉRENCES... 2 1.1. CONCEPTS DE BASE ET DÉFINITIONS... 2 1.2. ACTIONS SUR DES ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES... 4 1.3. DÉFINITION CLASSIQUE

Cours 2. Théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités Somme et produit d'un événement La somme ou l'union de plusieurs événements est un événement constitué de l'occurrence d'au moins un d'entre eux

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PROBABILITÉ D'UN ÉVÉNEMENT ALÉATOIRE Les axiomes de Kolmogorov En 1933, A. N. Kolmogorov, dans son livre « Concepts de base de la théorie des probabilités », a donné une justification axiomatique à la théorie des probabilités. "Cela signifie qu'après

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PROBABILITÉ COMBINATOIRE Thème 5 Traduction réalisée avec le soutien d'IT Akadeemia Contenu du cours 1 Introduction 2 3 4 Paragraphe suivant 1 Introduction 2 3 4 Problème... Problème... Problème... ... et solution : Fille

CONFÉRENCE DÉTERMINATION DE LA PROBABILITÉ D'UN ÉVÉNEMENT La probabilité d'un événement fait référence aux concepts de base de la théorie des probabilités et exprime la mesure de la possibilité objective de survenance d'un événement. Elle est importante pour les activités pratiques.

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Formule de probabilité totale. Soit un groupe d'événements H 1, H 2,..., H n, qui a les propriétés suivantes : 1) Tous les événements sont incompatibles par paires : H i H j = ; je, j=1,2,...,n; ij 2) Leurs formes d'union

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Vorobiev V.V. "Lycée" de Kalachinsk, région d'Omsk Atelier sur la résolution de problèmes de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques Un rôle important dans l'étude de sujets en théorie des probabilités et en statistiques est joué par.

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TABLE DES MATIÈRES SECTION I. THÉORIE DES PROBABILITÉS Préface............................................... ........ ......... 6 PARTIE I. ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES.......................... ........ 7 CHAPITRE 1. Analyse combinatoire des éléments..........................

Théorie des probabilités et statistiques mathématiques Docteur en Physique et Mathématiques. Professeur de sciences Mikhail Pavlovich Kharlamov Ressource Internet avec matériel pédagogique http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Branche de Volgograd

En termes de S, l'événement où le système n'est pas fermé peut s'écrire : S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. Semblable à la résolution des problèmes 2.5, 2.6, nous obtenons S = A(B 1 +B 2) C D ; S = A + B 1 B 2 + C

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Concepts de base de la combinatoire

Dans la branche des mathématiques, appelée combinatoire, les problèmes liés à la considération d'ensembles et à la composition de diverses combinaisons d'éléments de ces ensembles sont résolus. Par exemple, si nous prenons 10 nombres différents 0, 1, 2, 3, ..., 9 et que nous en faisons des combinaisons, nous obtiendrons des nombres différents, par exemple 345, 534, 1036, 45, etc.

On voit que certaines de ces combinaisons diffèrent uniquement par l'ordre des chiffres (par exemple, 345 et 534), d'autres par les chiffres qu'elles contiennent (par exemple, 1036 et 5671), et d'autres encore diffèrent par le nombre de chiffres (par exemple exemple, 345 et 45).

Ainsi, les combinaisons résultantes satisfont diverses conditions. Selon les règles de composition, trois types de combinaisons peuvent être distingués : les permutations, les placements, les combinaisons. Considérons-les séparément. Cependant, familiarisez-vous d’abord avec le concept de factorielle.

1. Le concept de factoriel

Produit de tous les nombres naturels de 1 à n inclusivement appelé n-factorielle et écris n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n.

Exemple 1. Calculer:

une) 3 !; b) 7 ! – 5 !; V)

Solution. a) 3 ! = 1 · 2 · 3 = 6.

b) Depuis 7 heures ! = 1 2 3 4 5 6 7 et 5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5, alors on peut mettre 5 entre parenthèses !. Ensuite, nous en obtenons 5 ! (6 · 7 – 1) = 5 ! · 41 = 120 · 41 = 4920.

V)

Exemple 2. Simplifier:

Solution. a) Considérant que (n + 1) ! = 1 · 2 · 3 · … · n · (n + 1), et n! = 1 · 2 · 3 ... · n, réduire la fraction ;

b) Puisque (n + 1) ! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n · (n + 1), puis après réduction on obtient

(n+1) ! = 1 · 2 · 3 · ... · n · (n + 1), n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Ramenons la fraction à un dénominateur commun, pour lequel on prend (n + 1) !. Ensuite, nous obtenons

1 – 3. Calculer:

1. 2. 3.

4 – 9. Simplifiez les expressions :

4. 6. 8.

5. 7. 9. -

2. Réarrangements

Soit trois lettres A, B, C. Faisons toutes les combinaisons possibles de ces lettres : ABC, ASV, BSA, BAC, CAB, CBA (6 combinaisons au total). On voit qu'ils ne diffèrent les uns des autres que par l'ordre des lettres.

Les combinaisons de n éléments qui diffèrent les uns des autres uniquement par l'ordre des éléments sont appelées permutations.

Les permutations sont désignées par le symbole Рn, où n est le nombre d'éléments inclus dans chaque permutation.

Le nombre de permutations peut être calculé à l'aide de la formule

Рn = n (n – 1) (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 (1)

ou en utilisant factorielle :

Pn = n!. (2)

Ainsi, le nombre de permutations de trois éléments selon la formule (2) est

P3 = 3 ! = 3 · 2 · 1 = 6, ce qui coïncide avec le résultat de l'exemple discuté ci-dessus.

En effet, trois lettres peuvent être placées en première place dans une combinaison (permutation). Seules deux des trois lettres peuvent être placées à la deuxième place (une a pris la première place), et une seule des lettres restantes sera à la troisième place. Cela signifie 3 · 2 · 1 = 6 = P3.

10. Combien de nombres différents à cinq chiffres peut-on créer à partir des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, à condition qu'aucun chiffre ne soit répété dans le nombre ?

11. Quatre équipes ont participé à la compétition. Combien d’options de répartition des sièges entre eux sont possibles ?

12 – 14. Calculer:

12. 13. 14.

Soit quatre lettres A, B, C, D. En composant toutes les combinaisons de seulement deux lettres, nous obtenons :

On voit que toutes les combinaisons résultantes diffèrent soit par les lettres, soit par leur ordre (les combinaisons BA et AB sont considérées comme différentes).

Les combinaisons de m éléments de n éléments qui diffèrent les uns des autres ou par les éléments eux-mêmes sont appelées arrangements.

Les emplacements sont indiqués par le symbole A, où m est le nombre de tous les éléments disponibles, n est le nombre d'éléments dans chaque combinaison. Dans ce cas, on suppose que n m. Le nombre de placements peut être calculé à l'aide de la formule

n facteurs

UNE = (3)

c'est-à-dire que le nombre de tous les arrangements possibles de m éléments par n est égal au produit de n entiers consécutifs, dont le plus grand est m.

Donc, A = 4 · 3 = 12, ce qui coïncide avec le résultat de l'exemple ci-dessus : puisque le nombre de lignes correspond au nombre de toutes les lettres disponibles, c'est-à-dire m = 4, et que le nombre de colonnes est 3, il y a 12 différentes combinaisons au total.

Exemple 3. Calculez : a) A ; b)

Solution. a) A = 6 5 4 = 120.

b) Puisque A = 15 14 13, A = 15 14 13 12, A = 15 14 13 12 11, alors

Exemple 4. Combien de nombres à deux chiffres peut-on former à partir de cinq chiffres 1, 2, 3, 4, 5, à condition qu'aucun d'entre eux ne soit répété ?

Solution. Puisque les nombres à deux chiffres diffèrent les uns des autres soit par les nombres eux-mêmes, soit par leur ordre, la quantité requise est égale au nombre de placements de cinq éléments par deux : A = 5 · 4 = 20. Ainsi, vous pouvez faire 20 nombres différents nombres à deux chiffres.

Pour trouver le nombre de placements, nous multiplions n nombres entiers successivement décroissants, c'est-à-dire qu'il n'y a pas suffisamment (m – n) facteurs entiers successivement décroissants pour atteindre la factorielle complète.

m facteurs

Par conséquent, la formule pour le nombre de placements peut s’écrire sous la forme

UNE =

Ainsi, en tenant compte du fait que le numérateur est égal à m!, et le dénominateur est égal à (m – n)!, nous écrivons cette formule sous forme factorielle :

UNE = (4)

Exemple 5. Calculez A sous forme factorielle.

Solution. UNE =

15-20. Calculez de quelque manière que ce soit :

15. UN; 16. UN; 17. UN; 18. UN; 19. UN; 20.

21. Combien y a-t-il d'options pour distribuer trois prix si 7 équipes participent au tirage au sort ?

22. Combien de nombres différents à quatre chiffres peut-on créer à partir des chiffres 0, 1, 2, ..., 8, 9 ?

23. Combien d'options d'horaire peuvent être créées pour une journée s'il y a un total de 8 matières académiques et que seulement trois d'entre elles peuvent être incluses dans l'horaire quotidien ?

24. Combien d'options de distribution de trois bons à des sanatoriums de profils différents peuvent être compilées pour cinq candidats ?

4. Combinaisons

Combinaisons sont toutes des combinaisons de m éléments par n qui diffèrent les uns des autres par au moins un élément (ici m et n sont des nombres naturels, et n est m).

Ainsi, à partir de quatre lettres différentes A, B, C, D, vous pouvez faire les combinaisons suivantes qui diffèrent les unes des autres par au moins un élément : AB, AC, AD, BC, BD, CD. Cela signifie que le nombre de combinaisons de quatre éléments de deux est 6. Cela s'écrit brièvement comme suit : C = 6.

Dans chaque combinaison, nous réorganiserons les éléments :

AB, AC, AD, BC, BD, CD ;

BA, CA, DA, CB, DB, DC.

En conséquence, nous avons reçu un arrangement de quatre éléments, deux chacun. Donc CP2 = A, d’où C =

1. Combien de nombres différents à cinq chiffres peut-on créer à partir des chiffres 1, 3, 5, 7, 9, à condition qu'aucun chiffre ne soit répété dans le nombre ?

2. Combien y a-t-il d'options pour distribuer trois prix si 7 équipes participent au tirage au sort ?

3. De combien de manières peut-on sélectionner deux étudiants pour une conférence s'il y a 33 personnes dans le groupe ?

4. Résoudre des équations

5. Combien de nombres à quatre chiffres divisibles par 5 peut-on former à partir des chiffres 0, 1, 2, 5, 7, si chaque nombre ne doit pas contenir les mêmes chiffres ?

6. Parmi un groupe de 15 personnes, un contremaître et 4 membres de l'équipe doivent être sélectionnés. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

7. Les lettres du code Morse sont constituées de symboles (points et tirets). Combien de lettres peut-on dessiner si vous exigez que chaque lettre ne contienne pas plus de cinq caractères ?

8. De combien de façons peut-on fabriquer des rubans quadricolores à partir de sept rubans de couleurs différentes ?

9. De combien de manières peut-on sélectionner quatre personnes parmi neuf candidats pour quatre postes différents ?

10. De combien de façons pouvez-vous choisir 3 cartes sur 6 ?

11. Avant la remise des diplômes, un groupe de 30 étudiants ont échangé des photos. Combien de cartes photo ont été distribuées ?

12. De combien de manières peut-on asseoir 10 convives à dix places à une table de fête ?

13. Combien de matchs 20 équipes de football doivent-elles jouer dans un championnat en un tour ?

14. De combien de manières peut-on répartir 12 personnes dans les équipes si chaque équipe compte 6 personnes ?

Théorie des probabilités

1. L'urne contient 7 boules rouges et 6 boules bleues. Deux boules sont tirées de l'urne en même temps. Quelle est la probabilité que les deux boules soient rouges (événement A) ?

2. Neuf livres différents sont disposés au hasard sur une étagère. Trouvez la probabilité que quatre livres spécifiques soient placés les uns à côté des autres (événement C).

3. Sur 10 tickets, 2 sont gagnants. Déterminez la probabilité que parmi 5 tickets tirés au hasard, un soit gagnant.

4. 3 cartes sont tirées au hasard dans un jeu de cartes (52 cartes). Trouvez la probabilité que ce soit un trois, un sept ou un as.

5. Un enfant joue avec les cinq lettres de l'alphabet divisé A, K, R, Sh, Y. Quelle est la probabilité que si les lettres sont disposées au hasard dans une rangée, il obtienne le mot « Toit ».

6. Il y a 6 boules blanches et 4 rouges dans la boîte. Deux boules sont tirées au hasard. Quelle est la probabilité qu’ils soient de la même couleur ?

7. La première urne contient 6 boules noires et 4 boules blanches, la deuxième urne contient 5 boules noires et 7 blanches. Une boule est tirée de chaque urne. Quelle est la probabilité que les deux boules soient blanches ?

Variable aléatoire, espérance mathématique et variance d'une variable aléatoire

1. Etablissez une loi de répartition du nombre de coups sûrs sur une cible en six tirs, si la probabilité de toucher en un seul coup est de 0,4.

2. La probabilité qu'un étudiant trouve le livre dont il a besoin dans la bibliothèque est de 0,3. Elaborer une loi de répartition du nombre de bibliothèques qu'il visitera s'il y a quatre bibliothèques dans la ville.

3. Le chasseur tire sur le gibier jusqu'au premier coup, mais ne parvient pas à tirer plus de quatre coups. Trouvez la variance du nombre de tirs manqués si la probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,7.

4. Trouver l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X , si la loi de sa distribution est donnée par le tableau :

5. L'usine exploite quatre lignes automatiques. La probabilité que pendant le quart de travail la première ligne ne nécessite pas d'ajustement est de 0,9, la deuxième de 0,8, la troisième de 0,75 et la quatrième de 0,7. trouver l'espérance mathématique du nombre de lignes qui ne nécessiteront pas d'ajustement pendant un quart de travail.

Problèmes à résoudre pour consolider du nouveau matériel

Tâche n°1. De combien de manières peut-on organiser les 5 participants à la finale ?

courir sur 5 tapis roulants ?

Solution: P 5 = 5 != 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 façons.

Tâche n°2. Combien de nombres à trois chiffres peuvent être formés à partir des chiffres 1,2,3, si chacun

un chiffre n'apparaît-il dans une image numérique qu'une seule fois ?

Solution: Le nombre de toutes les permutations de trois éléments est égal à P 3 =3!, où 3!=1 * 2 * 3=6

Cela signifie qu'il existe six nombres à trois chiffres composés des nombres 1,2,3.

Tâche n°3. De combien de manières quatre jeunes hommes peuvent-ils inviter quatre personnes sur six ?

les filles pour danser ?

Solution: deux garçons ne peuvent pas inviter la même fille en même temps. ET

des options dans lesquelles les mêmes filles dansent avec des garçons différents,

sont considérés comme différents, donc :

Problème n°4. Combien de nombres différents à trois chiffres peut-on former à partir des nombres 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, à condition que dans l'écriture du numéro, chaque chiffre soit utilisé uniquement

une fois?

Solution: Dans l'énoncé du problème, il est proposé de compter le nombre de combinaisons possibles à partir de

trois chiffres tirés des neuf chiffres supposés, et l'ordre

la disposition des nombres dans une combinaison est importante (par exemple, le nombre 132)

et 231 différents). En d’autres termes, vous devez trouver le nombre de placements sur neuf

trois éléments chacun.

En utilisant la formule du nombre de placements, nous trouvons :

Réponse : 504 nombres à trois chiffres.

Problème n°5 De combien de manières un comité de 3 personnes peut-il être sélectionné parmi 7 personnes ?

Solution: Pour considérer toutes les commissions possibles, vous devez considérer toutes

sous-ensembles possibles à 3 éléments d'un ensemble composé de 7

Humain. Le nombre de façons requis est

Tâche n°6. 12 équipes participent à la compétition. Combien y a-t-il d’options ?

répartition des places récompensées (1, 2, 3) ?

Solution: A 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 options pour la répartition des prix.

Réponse : 1320 options.

Tâche n°7. Lors de la compétition d'athlétisme, notre école était représentée par une équipe de

10 athlètes. De combien de manières l'entraîneur peut-il déterminer lequel d'entre eux

courra-t-il le relais 4x100 m dans les première, deuxième, troisième et quatrième étapes ?

Solution: Choix de 10 à 4, en tenant compte de la commande :
façons.

Réponse : 5040 façons.

Tâche n°8. De combien de manières le rouge, le noir, le bleu et

des boules vertes ?

Solution: Vous pouvez mettre n'importe laquelle des quatre boules en premier lieu (4 façons), sur

deuxième - l'une des trois méthodes restantes (3 méthodes), troisième place - l'une des

les deux autres (2 voies), pour la quatrième place - la dernière balle restante.

Total 4 · 3 · 2 · 1 = 24 façons.

P4 = 4 ! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Réponse : 24 façons.

Problème n°9. Les étudiants ont reçu une liste de 10 livres qu'il est recommandé de lire

temps de vacances. De combien de manières un élève peut-il choisir parmi 6 livres ?

Solution: Choix 6 sur 10 sans égard à la commande :
façons.

Réponse : 210 façons.

Problème n°10. Il y a 7 élèves en 9e année, 9 élèves en 10e année et 8 élèves en 11e année. Pour

travaux sur le chantier de l'école, il est nécessaire d'affecter deux élèves de la 9e année,

trois sur 10 et un sur 11. Combien de façons y a-t-il de choisir ?

les étudiants veulent-ils travailler dans le quartier de l'école ?

Solution: Choix parmi trois ensembles sans égard à la commande, chaque choix parmi

premier jeu (C 7 2) peut être combiné avec chaque choix parmi

le deuxième (C 9 3)) et à chaque choix du troisième (C 8 1) selon la règle

multiplication on obtient :

Réponse : 14 112 façons.

Tâche n°11. Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha et Olya, élèves de neuvième année, ont couru vers

récréation à la table de ping-pong, où le jeu était déjà en cours. Combien

façons dont cinq élèves de neuvième année qui se précipitent à la table peuvent prendre

faire la queue pour le tennis de table ?

Solution: N'importe quel élève de neuvième année pourrait être le premier, n'importe quel élève pourrait être le deuxième.

les trois restants, le troisième - l'un des deux restants et le quatrième -

un élève de neuvième année qui a couru avant-dernier et un élève de cinquième qui a couru en dernier. Par

La règle de multiplication pour cinq élèves a 5 4321=120 façons

Méthodes de résolution de problèmes combinatoires

Énumération des options possibles

Les problèmes simples sont résolus par une recherche exhaustive ordinaire des options possibles sans établir divers tableaux et diagrammes.

Tâche 1.
Quels nombres à deux chiffres peut-on former à partir des nombres 1, 2, 3, 4, 5 ?

Répondre: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Tâche 2.
Ivanov, Gromov et Orlov participent à la finale du 100 m. Nommez les options possibles pour la distribution des prix.

Répondre:
Option 1 : 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Option 2 : 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Option 3 : 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Option 4 : 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Option 5 : 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Option 6 : 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.

Tâche 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta se sont inscrits au club de danse de salon. Quels couples de danse composés d'une fille et d'un garçon peuvent former ?

Répondre:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Natasha - Petya, 10) Natasha - Kolya, 11) Natasha - Vitya, 12) Natasha - Oleg, 13) Sveta - Petya, 14) Sveta - Kolya, 15) Sveta - Vitya, 16) Sveta - Oleg.

Arbre des options possibles

Divers problèmes combinatoires sont résolus en élaborant des circuits spéciaux. Extérieurement, ce schéma ressemble à un arbre, d'où le nom de la méthode - arbre des options possibles.

Tâche 4.
Quels nombres à trois chiffres peut-on former à partir des nombres 0, 2, 4 ?

Solution.Construisons un arbre d'options possibles, en tenant compte du fait que 0 ne peut pas être le premier chiffre d'un nombre.

Répondre: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Tâche 5.
Les touristes scolaires ont décidé de faire une excursion dans un lac de montagne. La première étape du voyage peut être parcourue en train ou en bus. La deuxième étape se fait en kayak, à vélo ou à pied. Et la troisième étape du voyage se fait à pied ou en téléphérique. Quelles sont les options de voyage possibles pour les touristes scolaires ?

Solution.Construisons un arbre d'options possibles, désignant les déplacements en train P, en bus - A, en kayak - B, à vélo - B, à pied - X, en téléphérique - K.

Répondre:La figure répertorie les 12 options de voyage possibles pour les touristes scolaires.

Tâche 6.
Notez toutes les options possibles pour programmer cinq cours par jour dans les matières : mathématiques, russe, histoire, anglais, éducation physique et mathématiques devraient être la deuxième leçon.

Solution.Construisons un arbre d'options possibles, désignant M - mathématiques, R - russe, I - histoire, A - anglais, F - éducation physique.

Répondre:Il y a 24 options possibles au total :

Tâche 7.
Sasha va à l'école en pantalon ou en jean, il porte avec lui des chemises grises, bleues, vertes ou à carreaux et prend des chaussures ou des baskets en guise de chaussures de rechange.
a) Combien de jours Sasha pourra-t-elle paraître neuve ?
b) Combien de jours portera-t-il des baskets ?
c) Combien de jours portera-t-il une chemise à carreaux et un jean ?

Solution.Construisons un arbre d'options possibles, désignant B - pantalon, D - jean, C - chemise grise, G - chemise bleue, Z - chemise verte, P - chemise à carreaux, T - chaussures, K - baskets.

Répondre:a) 16 jours ; b) 8 jours ; c) 2 jours.

Compilation de tableaux

Vous pouvez résoudre des problèmes combinatoires à l’aide de tableaux. Tout comme l’arbre des options possibles, ils représentent clairement la solution à de tels problèmes.

Tâche 8.
Combien de nombres impairs à deux chiffres peut-on former à partir des chiffres 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9 ?

Solution.Faisons un tableau : la première colonne de gauche contient les premiers chiffres des nombres requis, la première ligne en haut contient les deuxièmes chiffres.

Répondre: 28.

Tâche 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha et Igor se préparaient à devenir présentateurs pour les vacances du Nouvel An. Nommez les options possibles si seulement une fille et un garçon peuvent diriger.

Solution.Faisons un tableau : la première colonne de gauche contient les noms des filles, la première ligne en haut contient les noms des garçons.

Répondre:Toutes les options possibles sont répertoriées dans les lignes et les colonnes du tableau.

Règle de multiplication

Cette méthode de résolution de problèmes combinatoires est utilisée lorsqu'il n'est pas nécessaire de lister toutes les options possibles, mais que vous devez répondre à la question : combien d'entre elles existent.

Problème 10.
Plusieurs équipes participent au tournoi de football. Il s’est avéré qu’ils utilisaient tous des couleurs blanc, rouge, bleu et vert pour leurs shorts et leurs T-shirts, et toutes les options possibles étaient présentées. Combien d’équipes ont participé au tournoi ?

Solution.
Les slips peuvent être blancs, rouges, bleus ou verts, c'est-à-dire Il y a 4 options. Chacune de ces options propose 4 options de couleurs de maillot.

4 x 4 = 16.

Répondre: 16 équipes.

Problème 11.
6 élèves passent un test de mathématiques. De combien de manières peuvent-ils être disposés dans la liste ?

Solution.
Le premier sur la liste peut être n'importe lequel des 6 étudiants,
le deuxième sur la liste peut être l'un des 5 étudiants restants,
troisième - l'un des 4 étudiants restants,
quatrième - l'un des 3 étudiants restants,
cinquième - l'un des 2 étudiants restants,
sixième - le dernier élève.

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

Répondre: 720 façons.

Problème 12.
Combien de nombres, même à deux chiffres, peut-on former à partir des chiffres 0, 2, 3, 4, 6, 7 ?

Solution.
Le premier d'un nombre à deux chiffres peut comporter 5 chiffres (le chiffre 0 ne peut pas être le premier du nombre), le second d'un nombre à deux chiffres peut comporter 4 chiffres (0, 2, 4, 6, puisque le nombre doit être même).
5x4 = 20.

Répondre: 20 numéros.