Ordre de grandeur où I est le revenu du consommateur, p1p2 est le prix du bien, x2 est la quantité du 2ème bien. Dans ce cas, il y a les avantages un et deux :interchangeable.

Choisissez le bon déclaration conforme à la théorie keynésienne de l’économie de marché 1) le cas général de l'équilibre dans une économie de marché en présence de chômage, et le plein emploi n'est qu'un cas particulier ; 2) la demande d’investissement diminue avec l’augmentation des taux d’intérêt.

Sélectionnez les droitsdes déclarations fortes dont la mise en œuvre augmente la fiabilité et la précision de la détermination des paramètres du modèle économique et mathématique. 1. La méthodologie acceptée pour déterminer les paramètres du modèle doit être correcte du point de vue de la fiabilité, 2. Il doit y avoir une quantité suffisante d'informations initiales sur les indicateurs d'entrée et de sortie de l'objet pour trouver le modèle mathématique, 3. le vecteur des indicateurs d'entrée doit varier fortement sur l'intervalle étudié, 4. Accepté a priori, le modèle doit refléter de manière significative les schémas réels de l'objet étudié.

Exemple d'équationc'est-à-dire une régression par paire y=-3+2x, alors le coefficient de corrélation par paire de l'échantillon peut être égal à ..(-3,2,0.6,-2,-0.6) ...0,7 ou 0,6.

Sélectivement L'équation de régression par paires a la forme y=-3+2x. Alors le coefficient de corrélation des paires d'échantillons peut être égal à : 0,7.

où dans - coefficient d'intensité capitalistique supplémentaire ; C(t) - volume de consommation ; Y(t) - volume de revenu. Dans quel cas sera-t-il maximum, et dans quel cas sera-t-il nul si C(t) = const : le maximum est atteint à , et est égal à zéro à Y(0)=C(0).

Hypothèses, utilisé pour dériver la fonction de demande de travail dans le modèle classique d'une économie de marché : Les entreprises sont totalement compétitives dans la fourniture de biens et l’embauche de main-d’œuvre. Toutes choses égales par ailleurs, le produit marginal du travail diminue à mesure que l’utilisation de la main-d’œuvre augmente.

Fonctions données demande et propose S=2p+1,5, où p est le prix du produit. alors le prix d'équilibre est . RÉPONDRE: x1= 0,34+0,18+340.....x2=0;25+0,53+280.

Fonctions donnéesdemande et propose S=2p+1,5, où p est le prix du produit. alors prix d'équilibre =1 .

Fonctions données demande et propose S=2p+1,5, où p est le prix du produit. alors prix d'équilibre = 5,5.

Fonctions données demande q=(p+6)/(p+2) et offre s=2p-2, où p est le prix du produit. Le prix d’équilibre est alors : 2.

Les fonctions sont donnéesdemande q=p+6/p+2 et précédente s=2p-2…..2.

Si enregistréà conditions égales, puis avec une augmentation des prix la demande de biens Giffin : ...croissance.

Si dans le modèleAfin de prendre en compte le décalage d'investissement sous la forme d'un décalage concentré, alors le lien entre les investissements I(t) et l'apport de fonds V(t) peut être reflété sous la forme de l'équation...V(t)= I(t-t)().

Si du brutle produit intérieur soustrait les charges d’amortissement, on obtient :valeur nouvellement créée (N.D.).

Si du produit intérieur brut produit soustraire les charges d’amortissement, on obtient : produit national pur.

Si croix coefficient d'élasticité-prix de la demande >0, alors... (I produit remplace j).

Si la fonction de productiony=f(x 1;x 2), alors la propriété signifie qu'avec une augmentation de l'utilisation d'une ressource, l'efficacité marginale¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Si la production la fonction est une fonction homogène de degré p > 0, alors avec p = 2 et une augmentation de l'échelle de production de 3 fois, combien de fois le volume de production augmente-t-il... 9.

Si la productionla fonction est une fonction homogène de degré p > 0, alors avec p = 2 et une augmentation de l'échelle de production de 4 fois, combien de fois le volume de production augmente-t-il...16.

Si ça arrive une augmentation des revenus des consommateurs, puis la demande évolue (indiquer la bonne affirmation) : des biens à faible élasticité aux biens à haute élasticité. Le volume de consommation de biens à faible élasticité est réduit.

Si le PF a voir y=f(x 1 ;x 2), la propriété signifiant qu'avec une augmentation de l'utilisation d'une ressource, l'efficacité marginale d'une autre ressource augmente, exprimée par la formule : ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Si enregistréà conditions égales, puis avec une augmentation du prix la demande de biens Giffin : croissance.

Dépendance entre coûts de production et le volume de production est exprimé par la fonction sont égaux: 3.

Dépendance mentre les coûts de production et le volume de production est exprimé par la fonction .Le coût marginal de production est alors sont égaux:23.

Dépendanceentre les coûts de production C et le volume de production Q est exprimé par la fonction . Alors les coûts marginaux pour le volume de production Q = 10 sont égaux à : .. 3 .

Dépendance entre le coût de production C et le volume de production Q sont exprimés par C = 20-0,5*Q. Alors l’élasticité c/c avec volume de production Q=10 est égale à : -1/3.

Production définiefonction de la forme : Y=3 K 0,5 *L 0,5 alors le produit moyen du travail est égal à K=25,L=100……1.5.

La tâche du consommateurle choix est :Trouvez le nombre de biens d'un ensemble donné pour lequel l'utilité du consommateur est maximale.

La tâche le choix du consommateur est : Le problème est de choisir un ensemble de consommateurs (x, x) qui maximise la fonction d’utilité sous une contrainte budgétaire donnée.

La tâche du consommateur le choix est : trouver le nombre de biens d'un ensemble donné qui maximise la fonction d'utilité du consommateur.

Loi de la diminution l'efficacité de la production se caractérise par le fait qu'avec une augmentation de la quantité de ressource utilisée... RÉPONSE : volume de sortie minimum possible .

Loi de la diminution l'efficacité de la production se caractérise par le fait qu'avec une augmentation de la quantité de ressource utilisée : Chaque unité supplémentaire de ressource donne une augmentation de plus en plus faible de la production.

Loi de la diminution l'efficacité de la production se caractérise par le fait qu'avec une augmentation de la quantité de ressources utilisées.. RÉPONSE : le volume de production maximum possible (y) augmente.

De l'équation. Slutsky peut être obtenu ( quantité marchandises, prix des marchandises). Cela correspond à : (plusieurs réponses possibles) : 1) Produit Giffin, 2) produit de faible valeur.

Quelles sont les hypothèses ? sont utilisés pour dériver la fonction de demande de travail dans le modèle classique d’une économie de marché : les entreprises sont pleinement compétitives lorsqu’elles proposent des biens et embauchent de la main d’œuvre ; Toutes choses égales par ailleurs, le produit du travail diminue à mesure que la force esclave augmente.

Quels supplémentsles faussetés rendent difficile la construction d'un EMM.... la difficulté de mener une expérience active en économie. De plus, pratiquement chaque objet ou processus économique est unique, ce qui rend impossible la simple reproduction de modèles une fois construits.

Quelle pratiqueles problèmes sont résolus à l’aide d’EMM. 1. Analyse des objets et processus économiques 2. Prévision économique et anticipation de l'évolution des processus économiques 3. Développement des décisions de gestion à tous les niveaux de l'économie.

Quelle déclarationcorrespond à la solution au problème de la boîte grise translucide : Il existe des informations sur les indicateurs d'entrée et de sortie, et un modèle d'une certaine structure est connu ou accepté comme base. La tâche d'identification dans ce cas est de trouver les paramètres de ce modèle.

Quelle déclaration correspond à la solution du problème de la boîte grise : En plus des paramètres d'entrée et de sortie, le système d'exploitation du convertisseur est spécifié. être réduit à certaines pages partielles.

Quelle déclaration, selon le modèle de Keynes, sera vrai :Lorsque les taux d’intérêt augmentent, la demande des consommateurs augmente et la demande d’investissement diminue(La demande de biens de consommation augmente de manière linéaire avec une augmentation de l'offre de biens, la demande de biens d'investissement diminue de manière linéaire avec une augmentation du taux d'intérêt).

Produit final dans un modèle d'équilibre dynamique par rapport au produit final dans un modèle d'équilibre statique n'inclut pas exporter.

Produit final dans un modèle d'équilibre dynamique par rapport au produit final dans un modèle d'équilibre statique n'inclut pas : investissements en capital intersectoriels.

Coefficientélasticité-prix de la demande E ii p<-1. Это соответствует товару с: forte élasticité de la demande.

Équilibre macroéconomique sont considérés comme modèles ceux qui décrivent un état de l’économie lorsque la résultante de toutes les forces tendant à faire sortir l’économie de cet état est égale à 0.

Modèle Léontiev(balance statique) comprend une équation de la forme : x je -Sa ij =y j .

Modèle intersectorielbilan des produits manufacturés de volume X1 et X2 avec une matrice de coefficients de coûts directs et le produit final dans un volume de 340 et 280 unités, respectivement, a la forme : x1 =0,34x1 +0,18x2 +340 ; x2 =0,25x2 +0,53x2 +280..

Modèle Törnqvist n type « demande-revenu » (autres lettres) : réponse : produits de luxe (groupe 2).

Modèle Törnqvist, « demande-revenu » de la forme Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3 :articles de luxe.

Modèle Harrod-Domar sous la forme d'une équation différentielle
a la solution suivante : ).

Sur un isoquant Fonction de production Cobb-Douglas :

En ligne

En ligne Les kits de consommation indifférence contiennent : mêmes valeurs RÉPONSE : V(t)= I(t-τ).

A la productionFonctions Cobb-Douglas sur isoquant: des combinaisons de valeurs de capital et de travail sont présentées, fournissant le même résultat.

Le long de la lignel'ensemble du consommateur d'indifférence a :le même niveau de satisfaction des besoins de l'individu.

À mesure que tu augmentesévolution de la demande de revenus (indiquez la réponse correcte) : RÉPONSE : À mesure que le revenu augmente, la demande passe des biens des premier et deuxième groupes aux biens des troisième et quatrième groupes, tandis que la consommation de biens du premier groupe en termes absolus diminue.

À mesure que tu augmentesévolution de la demande de revenus (indiquer la réponse correcte) : Des biens à faible élasticité aux biens à haute élasticité, le volume de consommation de biens à faible élasticité est réduit.

Limite d'utilité1er produit u = 8 et 2ème produit u = 2. de combien un individu devrait-il augmenter la consommation de 2 produits s'il réduisait d'une unité la consommation du premier produit...4.

Utilitaires marginaux premier produit , et le deuxième produit . De combien un individu devrait-il augmenter la consommation du 2ème produit s’il diminuait d’une unité la consommation du premier produit ? réponse : pas sûr :3.

En utilisantnotations : -part de l'investissement brut dans le PIB, a-part du produit intermédiaire dans la production brute, X(t)-production brute dans le modèle de Solow, la valeur du fonds de consommation non productive C(t) est déterminée par la formule :С(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

Lors de l'analyseLe modèle de Léontiev (bilan statistique des intrants) montre que la somme des produits finaux et la somme des produits conditionnellement nets:…égaux les uns aux autres.

En utilisant notation : - part de l'investissement brut dans le produit intérieur brut, un- la part du produit intermédiaire dans la production brute, X(t) - la production brute dans le modèle R. Solow, la valeur du fonds de consommation non productif C(t) est déterminée par la formule : C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

Avec peu augmentation du volume de production coûts conditionnellement variables pour 1 produit : rester inchangé (augmenter, peut-être)

En décrivant Pour l'étude du procédé à l'aide du PFCD, les effets privés étaient les suivants : pour les fonds E k = 2, pour le travail E l = 8. Dans ce cas, le rendement généralisé E est égal à : 16.

En décrivant Réponse : 3 (2 à la puissance o.5 multiplié par 4,5 à la puissance o.5).

En décrivant 3 fois (2 pas exactement)

En décrivantle procédé étudié utilisant la fonction de production Cobb-Douglas de la forme privé…..les efficacités étaient les suivantes : pour les fonds Ek=2, pour la main-d'œuvre EL=4,5. Dans ce cas, l'indicateur d'efficacité généralisé E est égal à. .. 3( 2 à la puissance o.5 multiplié par 4,5 à la puissance o.5).

En décrivantle procédé étudié utilisant la fonction de production Cobb-Douglas de la forme privé…..les efficacités étaient les suivantes : pour les fonds Ek=2, pour la main-d'œuvre EL=8. Dans ce cas, l'indicateur d'efficacité généralisé E est égal à :4 ou 16.

En décrivant le procédé étudié utilisant la fonction de production Cobb-Douglas de la forme privé…..les efficacités étaient les suivantes : pour les fonds Ek=2, pour la main-d'œuvre EL=4,5. Dans ce cas, l'indicateur d'efficacité généralisé E est égal à.

En décrivant du processus étudié, en utilisant la fonction de production Cobb-Douglas, il est devenu connu que l'indicateur d'efficacité de production généralisé est E = 1,5 et l'échelle de production est M = 2. Dans ce cas, la production brute a augmenté 3 fois.

Lors de la constructionL'EMM basé sur des indicateurs d'entrée et de sortie connus d'un objet est le plus souvent utilisé comme critère pour la proximité du reflet du modèle des propriétés de contrôle...somme minimale des carrés des différences.

Une fois accepténotation...Retrait du capital et montant de l'investissement brut.

Une fois accepténotation f(Kо) - productivité du travail sur trajectoire stationnaire, - ratio capital-travail sur trajectoire stationnaire ressemble à...().

Une fois accepté Notation dans le modèle de Solow, la condition pour que l'économie atteigne une trajectoire stationnaire a la forme réponse : k(t)=k à la puissance 0=const.

Avec la notation acceptée…une des équations du modèle de R. Solow en unités relatives aura la forme : dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1 -un)f/(2) Dans cette équation, les termes (1) et (2) reflètent l'impact sur la variation du ratio capital-travail.

Autre que ça conditions égales avec des prix en hausse demande de biens Giffin la demande pour tout augmente .

Au moment de décider ;p1x1+p2x2=I où I=1000, p1=5, p2=10ed.. Quelle est la quantité du 1er produit du 2ème produit….100 unités - 1 produit et 50 unités - le second.

Au moment de déciderles problèmes de choix du consommateur ont reçu un système d'équations ;p1x1+p2x2=I où I=1000, p1=10, p2=5ed.. Quelle est la quantité du 1er produit du 2ème produit. ….50, 100.

En augmentantle revenu, la demande d'un produit à prix constant généralement...Augmente (change selon la loi sinusoïdale).

Production je suis une fonction , alors le produit marginal à Kt=4, Lt=25 est égal à 2,5.

Fonction de production , alors le produit marginal à Kt=4, Lt=25 est égal à...0.2.

Production Kt=1100, Lt=9900. Quel est le rendement marginal du capital ?...1,5 (ou 10)

Fonction de production gentil appelé: Fonction de production linéaire et additive.

Fonction de production est donné par X t = K t 0,5 ´L t 0,5, où K t est le capital, L t est le travail. Alors le produit marginal du travail ¶У/¶L à K t =16, L t =25 est égal à : 0,4.

Fonction de production Cobb-Douglas a l'apparence où Kt=4000, Lt=10. Quelle est la productivité marginale du travail ? Réponse : 10.

ProductionLa fonction Cobb-Douglas a la forme où Kt=9000, Lt=10. Quelle est la productivité marginale du travail ?...15.

Production La fonction Cobb-Douglas a la forme : l'espérance mathématique du facteur de correction est .. = 1.

Fonction de production Cobb-Douglas a la forme : X t = K t 0,5 ´L t 0,5 ; K t = 900, L t = 10. Quelle est la productivité marginale du travail ¶Х/¶L : 15.

Production Une fonction est dite dynamique si : 1) le temps t apparaît comme une variable indépendante affectant le volume de sortie 2) les paramètres PF dépendent du temps 3) les caractéristiques PF dépendent du temps.

Fonction de production Ce- une telle fonction dont la variable indépendante prend les valeurs des volumes de la ressource utilisée (facteur de production), et la variable dépendante prend les valeurs des volumes de production y=f(x).

Production-tion K-D a la forme de quel pourcentage la production Xt augmentera-t-elle lorsque le capital Kt augmentera de 1 % (0,4).

Productionune fonction est dite dynamique si :Le temps t apparaît..Les paramètres PF dépendent du temps …. Les caractéristiques de la fonction de production dépendent du temps.

Intermédiairele produit du schéma reflétant la relation des indicateurs macroéconomiques dans une économie fermée du pays est :moyens de travail et biens de consommation.

Processus d'établissementprix d'équilibre dans le modèle de la toile d'araignée...Restent inchangés.

Laissez la fonction l'utilitaire a la forme , prix initiaux des marchandises et . Le revenu de l'individu est de 2000 unités et l'ensemble optimal de biens ; Si le prix a quadruplé, quels seront alors le revenu compensé de l'individu et les valeurs de l'ensemble optimal de biens ? :je k = 2000 ; x1 =50 ; x2 =40.

Laissez la fonction l'utilité a la forme u(x1;x2)=x1*x2, les prix initiaux des biens P1 et P2. Revenu individuel = 1000 unités, et l'ensemble optimal de biens x1 = 100 unités, x2 = 20 unités. Si le prix a augmenté de 4 fois, à quoi seront alors égaux le revenu compensé de l’individu et les valeurs de l’ensemble optimal de biens (x1 x2) ? 2000 50,40.

Modèles d'équilibresont considérés...Des modèles qui décrivent un tel état d’ek-ki, lorsqu’il est la résultante de toutes les forces. (la réponse est égale à 0)

Position dans le bon ordre les étapes de construction du FUI : 1. Énoncé du problème économique et son analyse qualitative 2. Construction d'un modèle mathématique 3. Analyse mathématique du modèle 4. Préparation des informations initiales 5. Solution numérique 6. Analyse des résultats numériques et leur application.

Positiondans le bon ordre les étapes de construction d'un EMM : 1. Énoncé du problème économique et son analyse qualitative 2. Construction d'un modèle mathématique 3. Analyse mathématique du modèle 4. Préparation des informations initiales 5. Solution numérique 6. Analyse des résultats numériques et leur application.

Avec l'aide de laquelle modèle (sous la forme d'une formule) il est possible de refléter la production brute, le produit intermédiaire, le produit intérieur brut au niveau de l'économie du pays : Le modèle d'équilibre de Léontiev.

En utilisantquel modèle peut refléter la dépendance de la production brute et des ressources utilisées au niveau de l'économie du pays : ...Modèle Cobb-Douglas (PFKD)

En utilisantquel modèle (sous la forme d'une formule).. la relation entre les indicateurs de VP, de produit intermédiaire, de PIB….Le modèle d'équilibre de Léontiev.

Système d'équations dans le modèle de Leontief est dit productif s'il est résoluble. réponse : en non négatif Xi>0, avec i=1÷n.

Selon Dans le modèle classique d’une économie de marché, l’offre de biens est déterminée par : niveau de plein emploi.

Selonmodèle classique d'une économie de marché, avec le même PIB, une augmentation de la masse monétaire entraînera...Une augmentation du prix d’une unité de PIB.

Selon le modèleLa règle « d'or » de l'accumulation de Solow correspond à un taux d'accumulation égal au coefficient d'élasticité α du capital physique.phi=1.

Selon le modèle Harrord-Domar, à quelle augmentation du volume de consommation sera-t-il égal au taux d'augmentation du revenu : RÉPONSE : r< 1/в, r=p .

Selon le modèle Harrord-Domar, à quelle…..r augmentation du volume de consommation il sera égal au taux d'augmentation du revenu : RÉPONSE : si r = р0, р0 = а0 /В, а0 est le taux d'accumulation au niveau initial moment du temps.

Selon statique Modèle de Léontief, si le produit final de la première industrie est y1 = 1 000 unités et la production brute x1 = 2 500 unités, quel est le volume de production de la première industrie consommé par les autres industries ? 1.5.(1 500 ou 3 500).

Selon statique Modèle de Léontief, si le produit final de la première industrie est y1 = 1 500 unités et la production brute x1 = 3 500 unités, quel est le volume de production de la première industrie consommé par les autres industries ? 2000 unités .

Modèle statiqueLéontiev inclut des équations de la forme…. .

Conditionnellement pur pla production dans l’équilibre intersectoriel comprend...Amortissement, travail et revenu net.

Fonction d'utilité la consommation a la forme .Le prix du bien x est égal à 10, pour le bien y est égal à 5, le revenu du consommateur est égal à 200. Alors l'ensemble optimal de biens de consommation a la forme : 10,20.

Fonction d'utilitéla consommation a la forme .Le prix du bien x est de 5, celui du bien y est de 10, le revenu du consommateur est de 200. Alors l'ensemble optimal de biens de consommation a la forme...20.10.(200ou400)

Fonction d'utilitéle consommateur a des propriétés... l'utilité marginale diminue si la consommation diminue ; une augmentation de la consommation d'un produit entraîne une augmentation de l'utilité ; (l'utilité marginale de chaque produit augmente si la quantité d'un autre produit augmente).

Prix ​​de vente un produit équivaut à 7 unités. Les coûts fixes sont égaux à 8 000 unités. Les coûts variables sont égaux à 5 unités. pour 1 pièce Quel est le volume de production d’équilibre ? 4000 unités

A quoi est-il égal dans le modèle Keynes demande des obligations si la masse monétaire = 1 000 unités. , la vitesse de rotation de l'argent sur le marché réel est k=0,1, le prix d'une unité de PIB est p=0,5 unités, la valeur du PIB est de 10 000 unités... 500.

Qu'est-ce qui est égal à dans le modèle de Keynes, la demande d'obligations si l'offre de monnaie = 1000 unités. , la vitesse de rotation de l'argent sur le marché réel est k=0,1, le prix d'une unité de PIB est de p=0,2 unités, la valeur du PIB est de 10 000 unités... 800.

Considérons une relation de la forme F(x, y)=0, connexion des variables X Et à. Nous appellerons égalité (1) équation à deux variables x, y, si cette égalité n'est pas vraie pour toutes les paires de nombres X Et à. Exemples d'équations : 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

péché x + péché y – 1 = 0.

Si (1) est vrai pour toutes les paires de nombres x et y, alors on l'appelle identité. Exemples d'identités : (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Nous appellerons l'équation (1) équation d'un ensemble de points (x; y), si cette équation est satisfaite par les coordonnées X Et à n'importe quel point de l'ensemble et ne sont satisfaits par les coordonnées d'aucun point n'appartenant pas à cet ensemble.

Un concept important en géométrie analytique est le concept d’équation d’une droite. Soit un système de coordonnées rectangulaires et une certaine ligne sur le plan α.

Définition. L'équation (1) est appelée l'équation linéaire α (dans le système de coordonnées créé), si cette équation est satisfaite par les coordonnées X Et à n'importe quel point situé sur la ligne α , et ne satisfont pas les coordonnées d'un point ne se trouvant pas sur cette ligne.

Si (1) est l'équation de la droite α, alors nous dirons que l'équation (1) définit (ensembles) doubler α.

Doubler α peut être déterminé non seulement par une équation de la forme (1), mais aussi par une équation de la forme

F (P, φ) = 0 contenant des coordonnées polaires.

• équation d'une droite avec un coefficient angulaire ;

Soit une ligne droite, non perpendiculaire, à l'axe. OH. Appelons angle d'inclinaison donné une ligne droite à l'axe OH coin α , vers lequel l'axe doit être tourné OH de sorte que la direction positive coïncide avec l’une des directions de la droite. Tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe OH appelé pente cette ligne et est désignée par la lettre À.

Dérivons l'équation de cette droite si nous connaissons sa À et la valeur dans le segment OB, qu'il coupe sur l'axe UO.

L'équation (2) est appelée équation d'une droite avec un coefficient angulaire. Si K=0, alors la droite est parallèle à l'axe OH et son équation est y = b.

• équation d'une droite passant par deux points ;

Si oui 1 = oui 2, alors l'équation de la droite souhaitée a la forme y = y 1. Dans ce cas, la droite est parallèle à l’axe OH. Si x1 = x2, puis la droite passant par les points M1 Et M2, parallèle à l'axe UO, son équation a la forme x = x1.

• équation d'une droite passant par un point donné avec une pente donnée ;

et, inversement, l'équation (5) pour les coefficients arbitraires A, B, C (UN Et B ≠ 0 simultanément) définit une certaine ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaires Ooh.

Preuve.

Tout d’abord, prouvons la première affirmation. Si la ligne n'est pas perpendiculaire Oh, alors il est déterminé par l'équation du premier degré : y = kx + b, c'est à dire. équation de la forme (5), où

A = k, B = -1 Et C = b. Si la ligne est perpendiculaire Oh, alors tous ses points ont la même abscisse, égale à la valeur α segment coupé par une droite sur l'axe Oh.

L'équation de cette droite a la forme x = α, ceux. est aussi une équation du premier degré de la forme (5), où A = 1, B = 0, C = -α. Cela prouve la première affirmation.

Démontrons l'énoncé inverse. Soit l'équation (5) et au moins un des coefficients UN Et B ≠ 0.

Si B ≠ 0, alors (5) peut s'écrire sous la forme . Plat , on obtient l'équation y = kx + b, c'est à dire. une équation de la forme (2) qui définit une ligne droite.

Si B = 0, Que UNE ≠ 0 et (5) prend la forme . Désignant par α, on a

x = α, c'est à dire. équation d'une droite perpendiculaire Oh.

Les droites définies dans un système de coordonnées rectangulaires par une équation du premier degré sont appelées lignes de première commande.

Équation de la forme Hache + Wu + C = 0 est incomplet, c'est-à-dire Certains coefficients sont égaux à zéro.

1) C = 0 ; Ah + Wu = 0 et définit une ligne droite passant par l'origine.

2) B = 0 (UNE ≠ 0); l'équation Hache + C = 0 OU.

3) UNE = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 et définit une droite parallèle Oh.

L'équation (6) est appelée l'équation d'une droite « en segments ». Nombres UN Et b sont les valeurs des segments que la droite coupe sur les axes de coordonnées. Cette forme d’équation convient à la construction géométrique d’une droite.

• équation normale d'une droite ;

Аx + Вy + С = 0 est l'équation générale d'une certaine droite, et (5) X parce que α + y péché α – p = 0(7)

son équation normale.

Puisque les équations (5) et (7) définissent la même droite, alors ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 Et

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) les coefficients de ces équations sont proportionnels. Cela signifie qu'en multipliant tous les termes de l'équation (5) par un certain facteur M, nous obtenons l'équation MA x + MV y + MS = 0, coïncidant avec l'équation (7), c'est-à-dire

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Pour trouver le facteur M, on met au carré les deux premières de ces égalités et on ajoute :

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

Cible: Considérez le concept de ligne sur un avion, donnez des exemples. À partir de la définition d’une droite, introduire la notion d’équation d’une droite sur un plan. Considérez les types de lignes droites, donnez des exemples et des méthodes pour définir une ligne droite. Renforcer la capacité de traduire l'équation d'une droite d'une forme générale en une équation d'une droite « en segments », avec un coefficient angulaire.

1. Équation d'une droite sur un plan.
2. Équation d'une droite sur un plan. Types d'équations.
3. Méthodes pour spécifier une ligne droite.

1. Soient x et y deux variables arbitraires.

Définition: Une relation de la forme F(x,y)=0 est appelée équation , si ce n'est vrai pour aucune paire de nombres x et y.

Exemple: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Si l'égalité F(x,y)=0 est vraie pour tout x, y, alors F(x,y) = 0 est une identité.

Exemple : (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

On dit que les nombres x valent 0 et y valent 0 satisfaire l'équation , si en les substituant dans cette équation cela se transforme en une véritable égalité.

Le concept le plus important de la géométrie analytique est le concept d’équation d’une droite.

Définition: L'équation d'une ligne donnée est l'équation F(x,y)=0, qui est satisfaite par les coordonnées de tous les points situés sur cette ligne, et non satisfaite par les coordonnées d'aucun des points ne se trouvant pas sur cette ligne.

La droite définie par l'équation y = f(x) est appelée le graphique de f(x). Les variables x et y sont appelées coordonnées actuelles, car ce sont les coordonnées d'un point variable.

Quelques exemples définitions de lignes.

1) x – y = 0 => x = y. Cette équation définit une droite :

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => les points doivent satisfaire soit l'équation x - y = 0, soit l'équation x + y = 0, qui correspond sur le plan à une paire de lignes droites sécantes qui sont les bissectrices des angles de coordonnées :

3) x 2 + y 2 = 0. Cette équation est satisfaite par un seul point O(0,0).

2. Définition: Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

De plus, les constantes A et B ne sont pas égales à zéro en même temps, c'est-à-dire A 2 + B 2 ¹ 0. Cette équation du premier ordre est appelée équation générale d'une droite.

En fonction des valeurs des constantes A, B et C, les cas particuliers suivants sont possibles :

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – la droite passe par l'origine

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - droite parallèle à l'axe Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – droite parallèle à l'axe Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – la droite coïncide avec l'axe Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – la droite coïncide avec l'axe Ox

L'équation d'une droite peut être présentée sous différentes formes en fonction de conditions initiales données.

Équation d'une droite avec un coefficient angulaire.

Si l'équation générale de la droite Ax + By + C = 0 se réduit à la forme :

et notons , alors l'équation résultante est appelée équation d'une droite de pente k.

Équation d'une droite en segments.

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, alors, en divisant par –С, on obtient : ou , où

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient UN est la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Ox, et b– la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Oy.

Équation normale d'une droite.

Si les deux côtés de l'équation Ax + By + C = 0 sont divisés par un nombre appelé facteur de normalisation, alors on obtient

xcosj + ysinj - p = 0 – équation normale d'une droite.

Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi de telle sorte que m×С< 0.

p est la longueur de la perpendiculaire tombée de l'origine à la droite, et j est l'angle formé par cette perpendiculaire avec la direction positive de l'axe Ox.

3. Équation d'une droite utilisant un point et une pente.

Soit le coefficient angulaire de la droite égal à k, la droite passe par le point M(x 0, y 0). Ensuite, l'équation de la droite est trouvée par la formule : y – y 0 = k(x – x 0)

Équation d'une droite passant par deux points.

Soit deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2) dans l'espace, alors l'équation de la droite passant par ces points est :

Si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être égal à zéro.

Dans le plan, l'équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

si x 1 ¹ x 2 et x = x 1, si x 1 = x 2.

La fraction = k s'appelle pente droit.

Passons en revue * Quelle équation est dite quadratique ? * Quelles équations sont appelées équations quadratiques incomplètes ? * Quelle équation quadratique est dite réduite ? * Qu'appelle-t-on la racine d'une équation quadratique ? * Que signifie résoudre une équation quadratique ? Quelle équation est dite quadratique ? Quelles équations sont appelées équations quadratiques incomplètes ? Quelle équation quadratique est dite réduite ? Quelle est la racine d’une équation quadratique ? Que signifie résoudre une équation quadratique ? Quelle équation est dite quadratique ? Quelles équations sont appelées équations quadratiques incomplètes ? Quelle équation quadratique est dite réduite ? Quelle est la racine d’une équation quadratique ? Que signifie résoudre une équation quadratique ?

Algorithme pour résoudre une équation quadratique : 1. Déterminer la manière la plus rationnelle de résoudre une équation quadratique 2. Choisir la manière la plus rationnelle de résoudre 3. Déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique 4. Trouver les racines d'une équation quadratique Pour mieux mémorisation, remplissez le tableau... Pour une meilleure mémorisation, remplissez le tableau... Pour une meilleure mémorisation, remplissez le tableau...

Condition supplémentaire Racines d'équation Exemples 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1,2 = ±(c/a), où c/a 0. b) si c/a 0, alors il n'y a pas de solutions 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 a, où D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – nombre pair (b = 2k), a 0, en 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, où k = 6. Le théorème inverse du théorème de Vieta x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Méthodes spéciales 7. Méthode d'isolement du carré d'un binôme. Objectif : Réduire une équation générale à une équation quadratique incomplète. Remarque : la méthode est applicable à toutes les équations quadratiques, mais n'est pas toujours pratique à utiliser. Utilisé pour prouver la formule des racines d'une équation quadratique. Exemple : résoudre l'équation x 2 -6 x+8=0 8. Méthode de « transfert » du coefficient le plus élevé. Les racines des équations quadratiques ax 2 + bx + c = 0 et y 2 +by+ac=0 sont liées par les relations : et Remarque : la méthode convient aux équations quadratiques avec des coefficients « pratiques ». Dans certains cas, il permet de résoudre oralement une équation quadratique. Exemple : résoudre l'équation 2 x 2 -9 x-5=0 Basé sur des théorèmes : Exemple : résoudre l'équation 157 x x-177=0 9. Si dans une équation quadratique a+b+c=0, alors l'un des les racines sont 1, et la seconde, selon le théorème de Vieta, est égale à c / a 10. Si dans une équation quadratique a + c = b, alors l'une des racines est égale à -1, et la seconde, selon le théorème de Vieta théorème, est égal à -c / a Exemple : résoudre l'équation 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Méthodes générales de résolution d'équations 11. Méthode de factorisation. Objectif : Réduire une équation quadratique générale à la forme A(x)·B(x)=0, où A(x) et B(x) sont des polynômes par rapport à x. Méthodes : Retirer le facteur commun des parenthèses ; Utiliser des formules de multiplication abrégées ; Méthode de regroupement. Exemple : résoudre l'équation 3 x 2 +2 x-1=0 12. Méthode d'introduction d'une nouvelle variable. Un bon choix d'une nouvelle variable rend la structure de l'équation plus transparente Exemple : résoudre l'équation (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8