Cet article poursuit le thème de l'équation d'une droite sur un plan : nous considérerons ce type d'équation comme l'équation générale d'une droite. Définissons le théorème et donnons sa preuve ; Voyons ce qu'est une équation générale incomplète d'une droite et comment effectuer des transitions d'une équation générale vers d'autres types d'équations d'une droite. Nous renforcerons l'ensemble de la théorie avec des illustrations et des solutions à des problèmes pratiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Supposons qu'un système de coordonnées rectangulaires O x y soit spécifié sur le plan.

Théorème 1

Toute équation du premier degré, de la forme A x + B y + C = 0, où A, B, C sont des nombres réels (A et B ne sont pas égaux à zéro en même temps), définit une droite dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan. À son tour, toute ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan est déterminée par une équation qui a la forme A x + B y + C = 0 pour un certain ensemble de valeurs A, B, C.

Preuve

Ce théorème se compose de deux points ; nous allons démontrer chacun d'eux.

1. Montrons que l'équation A x + B y + C = 0 définit une droite sur le plan.

Soit un point M 0 (x 0 , y 0), dont les coordonnées correspondent à l'équation A x + B y + C = 0. Ainsi : A x 0 + B y 0 + C = 0. Soustrayez des côtés gauche et droit des équations A x + B y + C = 0 les côtés gauche et droit de l'équation A x 0 + B y 0 + C = 0, nous obtenons une nouvelle équation qui ressemble à A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Cela équivaut à A x + B y + C = 0.

L'équation résultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 est une condition nécessaire et suffisante pour la circularité des vecteurs n → = (A, B) et M 0 M → = (x - x 0, oui - oui 0 ) . Ainsi, l'ensemble des points M (x, y) définit une droite dans un repère rectangulaire perpendiculaire à la direction du vecteur n → = (A, B). On peut supposer que ce n'est pas le cas, mais alors les vecteurs n → = (A, B) et M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ne seraient pas perpendiculaires, et l'égalité A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ne serait pas vrai.

Par conséquent, l'équation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 définit une certaine ligne dans un système de coordonnées rectangulaires sur le plan, et donc l'équation équivalente A x + B y + C = 0 définit le même ligne. C'est ainsi que nous avons démontré la première partie du théorème.

1. Preuve que toute ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan peut être spécifiée par une équation du premier degré A x + B y + C = 0.

Définissons une droite a dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan ; le point M 0 (x 0 , y 0) par lequel passe cette droite, ainsi que le vecteur normal de cette droite n → = (A, B) .

Soit aussi un point M (x, y) - une virgule flottante sur une ligne. Dans ce cas, les vecteurs n → = (A, B) et M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) sont perpendiculaires entre eux, et leur produit scalaire est nul :

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Réécrivons l'équation A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, définissons C : C = - A x 0 - B y 0 et comme résultat final nous obtenons l'équation A x + B y + C = 0.

Ainsi, nous avons prouvé la deuxième partie du théorème, et nous avons prouvé le théorème dans son ensemble.

Définition 1

Une équation de la forme A x + B y + C = 0 - Ce équation générale d'une droite sur un plan dans un système de coordonnées rectangulairesOxy.

Sur la base du théorème éprouvé, nous pouvons conclure qu'une droite et son équation générale définie sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaires fixes sont inextricablement liées. Autrement dit, la droite originale correspond à son équation générale ; l'équation générale d'une droite correspond à une droite donnée.

De la preuve du théorème, il résulte également que les coefficients A et B pour les variables x et y sont les coordonnées du vecteur normal de la droite, qui est donné par l'équation générale de la droite A x + B y + C = 0.

Considérons un exemple spécifique d'équation générale d'une droite.

Soit l'équation 2 x + 3 y - 2 = 0, qui correspond à une ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaires donné. Le vecteur normal de cette droite est le vecteur n → = (2 , 3) ​​​​​​. Traçons la ligne droite donnée dans le dessin.

On peut également affirmer ceci : la droite que l'on voit sur le dessin est déterminée par l'équation générale 2 x + 3 y - 2 = 0, puisque les coordonnées de tous les points d'une droite donnée correspondent à cette équation.

On peut obtenir l'équation λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 en multipliant les deux côtés de l'équation générale de la droite par un nombre λ non égal à zéro. L'équation résultante est équivalente à l'équation générale originale, elle décrira donc la même ligne droite sur le plan.

Équation générale complète d'une droite– une telle équation générale de la droite A x + B y + C = 0, dans laquelle les nombres A, B, C sont différents de zéro. Sinon l'équation est incomplet.

Analysons toutes les variations de l'équation générale incomplète d'une droite.

1. Lorsque A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, l'équation générale prend la forme B y + C = 0. Une telle équation générale incomplète définit une ligne droite dans le système de coordonnées rectangulaires O x y qui est parallèle à l'axe O x, puisque pour toute valeur réelle de x la variable y prendra la valeur -CB. Autrement dit, l'équation générale de la droite A x + B y + C = 0, lorsque A = 0, B ≠ 0, précise le lieu des points (x, y), dont les coordonnées sont égales au même nombre -CB.
2. Si A = 0, B ≠ 0, C = 0, l'équation générale prend la forme y = 0. Cette équation incomplète définit l'axe des x O x .
3. Lorsque A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, on obtient une équation générale incomplète A x + C = 0, définissant une droite parallèle à l'ordonnée.
4. Soit A ≠ 0, B = 0, C = 0, alors l'équation générale incomplète prendra la forme x = 0, et c'est l'équation de la droite de coordonnées O y.
5. Enfin, pour A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, l'équation générale incomplète prend la forme A x + B y = 0. Et cette équation décrit une droite qui passe par l’origine. En fait, la paire de nombres (0, 0) correspond à l'égalité A x + B y = 0, puisque A · 0 + B · 0 = 0.

Illustrons graphiquement tous les types ci-dessus d'équation générale incomplète d'une droite.

Exemple 1

On sait que la droite donnée est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le point 2 7, - 11. Il est nécessaire d'écrire l'équation générale de la droite donnée.

Solution

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées est donnée par une équation de la forme A x + C = 0, dans laquelle A ≠ 0. La condition précise également les coordonnées du point par lequel passe la ligne, et les coordonnées de ce point répondent aux conditions de l'équation générale incomplète A x + C = 0, c'est-à-dire l'égalité est vraie :

UNE 2 7 + C = 0

À partir de là, il est possible de déterminer C si nous donnons à A une valeur non nulle, par exemple A = 7. Dans ce cas, on obtient : 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Nous connaissons les deux coefficients A et C, les substituons dans l'équation A x + C = 0 et obtenons l'équation de droite requise : 7 x - 2 = 0

Répondre: 7 x - 2 = 0

Exemple 2

Le dessin montre une ligne droite ; vous devez écrire son équation.

Solution

Le dessin donné nous permet de prendre facilement les données initiales pour résoudre le problème. On voit sur le dessin que la droite donnée est parallèle à l'axe O x et passe par le point (0, 3).

La droite parallèle à l'abscisse est déterminée par l'équation générale incomplète B y + C = 0. Trouvons les valeurs de B et C. Les coordonnées du point (0, 3), puisque la droite donnée le traverse, satisferont l'équation de la droite B y + C = 0, alors l'égalité est valable : B · 3 + C = 0. Fixons B à une valeur autre que zéro. Disons B = 1, auquel cas à partir de l'égalité B · 3 + C = 0 on peut trouver C : C = - 3. En utilisant les valeurs connues de B et C, nous obtenons l'équation recherchée de la droite : y - 3 = 0.

Répondre: oui - 3 = 0 .

Équation générale d'une droite passant par un point donné dans un plan

Laissez la ligne donnée passer par le point M 0 (x 0 , y 0), alors ses coordonnées correspondent à l'équation générale de la ligne, c'est-à-dire l'égalité est vraie : A x 0 + B y 0 + C = 0. Soustrayons les côtés gauche et droit de cette équation des côtés gauche et droit de l'équation générale complète de la droite. On obtient : A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, cette équation est équivalente à l'équation générale originale, passe par le point M 0 (x 0, y 0) et a une normale vecteur n → = (A, B) .

Le résultat que nous avons obtenu permet d'écrire l'équation générale d'une droite avec les coordonnées connues du vecteur normal de la droite et les coordonnées d'un certain point de cette droite.

Exemple 3

Étant donné un point M 0 (- 3, 4) par lequel passe une droite, et le vecteur normal de cette droite n → = (1 , - 2) . Il est nécessaire d'écrire l'équation de la droite donnée.

Solution

Les conditions initiales permettent d'obtenir les données nécessaires pour compiler l'équation : A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Alors:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Le problème aurait pu être résolu différemment. L'équation générale d'une droite est A x + B y + C = 0. Le vecteur normal donné permet d'obtenir les valeurs des coefficients A et B, alors :

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Trouvons maintenant la valeur de C en utilisant le point M 0 (- 3, 4) spécifié par la condition du problème, par lequel passe la droite. Les coordonnées de ce point correspondent à l'équation x - 2 · y + C = 0, c'est-à-dire - 3 - 2 4 + C = 0. Donc C = 11. L'équation de droite requise prend la forme : x - 2 · y + 11 = 0.

Répondre: x - 2 oui + 11 = 0 .

Exemple 4

Étant donné une droite 2 3 x - y - 1 2 = 0 et un point M 0 situé sur cette droite. Seule l'abscisse de ce point est connue, et elle est égale à - 3. Il faut déterminer l'ordonnée d'un point donné.

Solution

Désignons les coordonnées du point M 0 par x 0 et y 0 . Les données sources indiquent que x 0 = - 3. Puisque le point appartient à une droite donnée, alors ses coordonnées correspondent à l'équation générale de cette droite. Alors l'égalité sera vraie :

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Définir y 0 : 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Répondre: - 5 2

Transition de l'équation générale d'une droite à d'autres types d'équations d'une droite et vice versa

Comme nous le savons, il existe plusieurs types d’équations pour une même droite sur un plan. Le choix du type d'équation dépend des conditions du problème ; il est possible de choisir celui qui convient le mieux pour le résoudre. La capacité de convertir une équation d’un type en une équation d’un autre type est ici très utile.

Considérons d'abord la transition de l'équation générale de la forme A x + B y + C = 0 à l'équation canonique x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Si A ≠ 0, alors on déplace le terme B y vers la droite de l'équation générale. Sur le côté gauche, nous retirons A des parenthèses. En conséquence, nous obtenons : A x + C A = - B y.

Cette égalité peut s'écrire sous forme de proportion : x + C A - B = y A.

Si B ≠ 0, on laisse uniquement le terme A x du côté gauche de l'équation générale, on transfère les autres du côté droit, on obtient : A x = - B y - C. On sort – B des parenthèses, alors : A x = - B y + C B .

Réécrivons l'égalité sous forme de proportion : x - B = y + C B A.

Bien entendu, il n’est pas nécessaire de mémoriser les formules obtenues. Il suffit de connaître l'algorithme des actions pour passer d'une équation générale à une équation canonique.

Exemple 5

L'équation générale de la droite 3 y - 4 = 0 est donnée. Il faut la transformer en une équation canonique.

Solution

Écrivons l'équation originale sous la forme 3 y - 4 = 0. On procède ensuite selon l'algorithme : le terme 0 x reste à gauche ; et sur le côté droit on met - 3 entre parenthèses ; on obtient : 0 x = - 3 y - 4 3 .

Écrivons l'égalité résultante sous forme de proportion : x - 3 = y - 4 3 0 . Ainsi, nous avons obtenu une équation de forme canonique.

Réponse : x - 3 = y - 4 3 0.

Pour transformer l'équation générale d'une droite en équations paramétriques, on effectue d'abord une transition vers la forme canonique, puis une transition de l'équation canonique d'une droite aux équations paramétriques.

Exemple 6

La droite est donnée par l'équation 2 x - 5 y - 1 = 0. Notez les équations paramétriques de cette droite.

Solution

Faisons le passage de l'équation générale à l'équation canonique :

2 x - 5 ans - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 ans + 1 ⇔ 2 x = 5 ans + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Maintenant, nous prenons les deux côtés de l'équation canonique résultante égaux à λ, alors :

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Répondre:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

L'équation générale peut être convertie en une équation d'une droite de pente y = k · x + b, mais seulement lorsque B ≠ 0. Pour la transition, on laisse le terme B y à gauche, le reste est transféré à droite. On obtient : B y = - A x - C . Divisons les deux côtés de l'égalité résultante par B, différent de zéro : y = - A B x - C B.

Exemple 7

L'équation générale de la droite est donnée : 2 x + 7 y = 0. Vous devez convertir cette équation en équation de pente.

Solution

Effectuons les actions nécessaires selon l'algorithme :

2 x + 7 oui = 0 ⇔ 7 oui - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Répondre: y = - 2 7 x .

A partir de l'équation générale d'une droite, il suffit simplement d'obtenir une équation en segments de la forme x a + y b = 1. Pour effectuer une telle transition, nous déplaçons le nombre C vers la droite de l'égalité, divisons les deux côtés de l'égalité résultante par – C et, enfin, transférons les coefficients des variables x et y aux dénominateurs :

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exemple 8

Il faut transformer l'équation générale de la droite x - 7 y + 1 2 = 0 en l'équation de la droite en segments.

Solution

Déplaçons 1 2 vers la droite : x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Divisons les deux côtés de l'égalité par -1/2 : x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Répondre: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

En général, la transition inverse est également facile : d'autres types d'équations à l'équation générale.

L'équation d'une droite en segments et une équation avec un coefficient angulaire peuvent être facilement converties en une équation générale en rassemblant simplement tous les termes du côté gauche de l'égalité :

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 by - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

L'équation canonique est convertie en une équation générale selon le schéma suivant :

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Pour passer des paramètres paramétriques, passez d'abord au canonique, puis au général :

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exemple 9

Les équations paramétriques de la droite x = - 1 + 2 · λ y = 4 sont données. Il faut écrire l’équation générale de cette droite.

Solution

Passons des équations paramétriques aux équations canoniques :

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Passons du canonique au général :

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Répondre: oui - 4 = 0

Exemple 10

L'équation d'une droite dans les segments x 3 + y 1 2 = 1 est donnée. Il est nécessaire de passer à la forme générale de l'équation.

Solution:

On réécrit simplement l'équation sous la forme requise :

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Répondre: 1 3 x + 2 oui - 1 = 0 .

Établir une équation générale d'une droite

Nous avons dit plus haut que l'équation générale peut être écrite avec les coordonnées connues du vecteur normal et les coordonnées du point par lequel passe la droite. Une telle ligne droite est définie par l'équation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Nous y avons également analysé un exemple correspondant.

Examinons maintenant des exemples plus complexes dans lesquels nous devons d'abord déterminer les coordonnées du vecteur normal.

Exemple 11

Étant donné une droite parallèle à la droite 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Le point M 0 (4, 1) par lequel passe la ligne donnée est également connu. Il est nécessaire d'écrire l'équation de la droite donnée.

Solution

Les conditions initiales nous disent que les droites sont parallèles, alors, comme vecteur normal de la droite dont il faut écrire l'équation, on prend le vecteur direction de la droite n → = (2, - 3) : 2 x - 3 ans + 3 3 = 0. Nous connaissons maintenant toutes les données nécessaires pour créer l’équation générale de la droite :

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Répondre: 2 x - 3 et - 5 = 0 .

Exemple 12

La droite donnée passe par l'origine perpendiculaire à la droite x - 2 3 = y + 4 5. Il est nécessaire de créer une équation générale pour une droite donnée.

Solution

Le vecteur normal d'une ligne donnée sera le vecteur directeur de la ligne x - 2 3 = y + 4 5.

Alors n → = (3, 5) . La droite passe par l'origine, c'est-à-dire passant par le point O (0, 0). Créons une équation générale pour une droite donnée :

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Répondre: 3 x + 5 oui = 0 .

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Propriétés d'une droite en géométrie euclidienne.

Un nombre infini de lignes droites peuvent être tracées passant par n’importe quel point.

Passant par deux points non coïncidents, une seule ligne droite peut être tracée.

Deux lignes divergentes dans un plan se coupent en un seul point ou sont

parallèle (découle du précédent).

Dans l'espace tridimensionnel, il existe trois options pour la position relative de deux lignes :

• les lignes se croisent ;

• les lignes sont parallèles ;

• des lignes droites se croisent.

Droit doubler— courbe algébrique du premier ordre : une droite dans le système de coordonnées cartésiennes

est donnée sur le plan par une équation du premier degré (équation linéaire).

Équation générale d'une droite.

Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

et constante UN B ne sont pas égaux à zéro en même temps. Cette équation du premier ordre s’appelle général

équation d'une droite. En fonction des valeurs des constantes UN B Et AVEC Les cas particuliers suivants sont possibles :

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- une droite passe par l'origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Par + C = 0)- droite parallèle à l'axe Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- droite parallèle à l'axe UO

. B = C = 0, A ≠0- la droite coïncide avec l'axe UO

. A = C = 0, B ≠0- la droite coïncide avec l'axe Oh

L'équation d'une droite peut être présentée sous différentes formes en fonction d'un élément donné.

conditions initiales.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur normal.

Définition. Dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, un vecteur avec des composantes (A, B)

perpendiculaire à la droite donnée par l'équation

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite passant par un point UNE(1, 2) perpendiculaire au vecteur (3, -1).

Solution. Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x - y + C = 0. Pour trouver le coefficient C

Remplaçons les coordonnées du point A donné dans l'expression résultante. Nous obtenons : 3 - 2 + C = 0, donc.

C = -1. Total : l'équation recherchée : 3x - y - 1 = 0.

Équation d'une droite passant par deux points.

Soit deux points dans l'espace M 1 (X 1 , oui 1 , z 1) Et M2 (x 2, y 2, z 2), Alors équation d'une droite,

en passant par ces points :

Si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être égal à zéro. Sur

plan, l’équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

Si x1 ≠x2 Et x = x1, Si x1 = x2 .

Fraction =k appelé pente droit.

Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

Solution. En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite utilisant un point et une pente.

Si l'équation générale d'une droite Hache + Wu + C = 0 mener à:

et désigner , alors l'équation résultante s'appelle

équation d’une droite de pente k.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur.

Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par le vecteur normal, vous pouvez entrer dans la tâche

une ligne droite passant par un point et un vecteur directeur d'une ligne droite.

Définition. Tout vecteur non nul (α1,α2), dont les composants satisfont à la condition

Aα1 + Ba2 = 0 appelé vecteur directeur d’une droite.

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite de vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

Solution. Nous chercherons l'équation de la droite souhaitée sous la forme : Hache + Par + C = 0. D'après la définition,

les coefficients doivent satisfaire aux conditions suivantes :

1 * A + (-1) * B = 0, soit A = B.

Alors l’équation de la droite a la forme : Hache + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.

à x = 1, y = 2 on a C/A = -3, c'est à dire. équation requise :

x + y - 3 = 0

Équation d'une droite en segments.

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С≠0, alors, en divisant par -С, on obtient :

ou où

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient a est la coordonnée du point d'intersection

droit avec axe Oh, UN b- coordonnée du point d'intersection de la ligne avec l'axe OU.

Exemple. L'équation générale d'une droite est donnée x - y + 1 = 0. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Équation normale d'une droite.

Si les deux côtés de l’équation Hache + Wu + C = 0 diviser par nombre qui est appelée

facteur de normalisation, alors on obtient

xcosφ + ysinφ - p = 0 -équation normale d'une droite.

Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi de telle sorte que µ*C< 0.

R.- la longueur de la perpendiculaire tombée de l'origine à la droite,

UN φ - l'angle que forme cette perpendiculaire avec la direction positive de l'axe Oh.

Exemple. L'équation générale de la droite est donnée 12x - 5 ans - 65 = 0. Nécessaire pour écrire différents types d'équations

cette ligne droite.

L'équation de cette droite en segments:

L'équation de cette droite avec la pente: (diviser par 5)

Équation d'une droite:

cos φ = 12/13 ; péché φ= -5/13 ; p = 5.

Il convient de noter que toutes les droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple les droites,

parallèle aux axes ou passant par l'origine.

L'angle entre des lignes droites sur un plan.

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 X + b 1 , y = k 2 X + b 2, alors l'angle aigu entre ces lignes

sera défini comme

Deux droites sont parallèles si k1 = k2. Deux lignes sont perpendiculaires

Si k 1 = -1/ k 2 .

Théorème.

Direct Hache + Wu + C = 0 Et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallèle lorsque les coefficients sont proportionnels

A 1 = λA, B 1 = λB. Si aussi С 1 = λС, alors les lignes coïncident. Coordonnées du point d'intersection de deux lignes

sont trouvés comme solution au système d’équations de ces droites.

L'équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée.

Définition. Ligne passant par un point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la ligne y = kx + b

représenté par l'équation :

Distance d'un point à une ligne.

Théorème. Si un point est donné M(x 0, oui 0), puis la distance jusqu'à la ligne droite Hache + Wu + C = 0 défini comme:

Preuve. Laissons le point M 1 (x 1, y 1)- la base d'une perpendiculaire tombée d'un point M pour une donnée

direct. Puis la distance entre les points M Et M1:

(1)

Coordonnées x1 Et à 1 peut être trouvé comme solution au système d’équations :

La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculairement

ligne droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème a été prouvé.

Équation d'une droite sur un plan.
Le vecteur direction est droit. Vecteur normal

Une ligne droite sur un plan est l'une des figures géométriques les plus simples, familière depuis l'école primaire, et nous allons aujourd'hui apprendre à la traiter en utilisant les méthodes de la géométrie analytique. Pour maîtriser la matière, il faut être capable de construire une ligne droite ; savoir quelle équation définit une droite, en particulier une droite passant par l'origine des coordonnées et des droites parallèles aux axes de coordonnées. Ces informations peuvent être trouvées dans le manuel Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires, je l'ai créé pour Mathan, mais la section sur la fonction linéaire s'est avérée très réussie et détaillée. Alors, chères théières, réchauffez-vous d'abord là-bas. De plus, vous devez avoir des connaissances de base sur vecteurs, sinon la compréhension du matériel sera incomplète.

Dans cette leçon, nous verrons comment créer l’équation d’une droite sur un plan. Je recommande de ne pas négliger les exemples pratiques (même si cela semble très simple), puisque je leur fournirai des faits et techniques élémentaires et importants qui seront nécessaires à l'avenir, y compris dans d'autres sections de mathématiques supérieures.

• Comment écrire l’équation d’une droite avec un coefficient d’angle ?
• Comment ?
• Comment trouver un vecteur directeur en utilisant l'équation générale d'une droite ?
• Comment écrire l'équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal ?

et on commence :

Équation d'une droite avec pente

La forme « scolaire » bien connue d’une équation en ligne droite s’appelle équation d'une droite avec pente. Par exemple, si une droite est donnée par l'équation, alors sa pente est : . Considérons la signification géométrique de ce coefficient et comment sa valeur affecte l'emplacement de la ligne :

Dans un cours de géométrie, il est prouvé que la pente de la droite est égale à tangente de l'angle entre la direction de l'axe positifet cette ligne: , et l'angle se « dévisse » dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Afin de ne pas encombrer le dessin, j'ai dessiné des angles uniquement pour deux lignes droites. Considérons la ligne « rouge » et sa pente. D'après ce qui précède : (l'angle « alpha » est indiqué par un arc vert). Pour la droite « bleue » avec le coefficient d'angle, l'égalité est vraie (l'angle « bêta » est indiqué par un arc marron). Et si la tangente de l'angle est connue, alors si nécessaire, elle est facile à trouver et le coin lui-même en utilisant la fonction inverse - arctangente. Comme on dit, une table trigonométrique ou une microcalculatrice entre les mains. Ainsi, le coefficient angulaire caractérise le degré d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses.

Les cas suivants sont possibles :

1) Si la pente est négative : alors la droite va grosso modo du haut vers le bas. Des exemples sont les lignes droites « bleues » et « framboise » du dessin.

2) Si la pente est positive : , alors la droite va de bas en haut. Exemples - lignes droites « noires » et « rouges » dans le dessin.

3) Si la pente est nulle : , alors l'équation prend la forme , et la droite correspondante est parallèle à l'axe. Un exemple est la ligne droite « jaune ».

4) Pour une famille de droites parallèles à un axe (il n'y a pas d'exemple sur le dessin, à part l'axe lui-même), le coefficient angulaire n'existe pas (la tangente de 90 degrés n'est pas définie).

Plus le coefficient de pente en valeur absolue est élevé, plus le graphique en ligne droite est raide..

Par exemple, considérons deux lignes droites. Ici donc, la ligne droite a une pente plus forte. Je vous rappelle que le module permet d'ignorer le signe, nous ne nous intéressons qu'à valeurs absolues coefficients angulaires.

À son tour, une ligne droite est plus raide que les lignes droites .

A l’inverse : plus le coefficient de pente en valeur absolue est petit, plus la droite est plate.

Pour les lignes droites l'inégalité est vraie, donc la droite est plus plate. Toboggan pour enfants, pour ne pas vous donner de bleus et de bosses.

Pourquoi est-ce nécessaire ?

Prolongez votre tourment La connaissance des faits ci-dessus vous permet de voir immédiatement vos erreurs, en particulier les erreurs lors de la construction de graphiques - si le dessin s'avère être « manifestement quelque chose qui ne va pas ». Il est conseillé que vous tout de suite il était clair que, par exemple, la ligne droite est très raide et va de bas en haut, et la ligne droite est très plate, pressée près de l'axe et va de haut en bas.

Dans les problèmes géométriques, plusieurs lignes droites apparaissent souvent, il est donc pratique de les désigner d'une manière ou d'une autre.

Désignations: les lignes droites sont désignées en petites lettres latines : . Une option populaire consiste à les désigner en utilisant la même lettre avec des indices naturels. Par exemple, les cinq lignes que nous venons d’examiner peuvent être désignées par .

Puisque toute ligne droite est déterminée de manière unique par deux points, elle peut être désignée par ces points : etc. La désignation implique clairement que les points appartiennent à la ligne.

Il est temps de s'échauffer un peu :

Comment écrire l’équation d’une droite avec un coefficient d’angle ?

Si un point appartenant à une certaine ligne et le coefficient angulaire de cette ligne sont connus, alors l'équation de cette ligne est exprimée par la formule :

Exemple 1

Écrivez une équation pour une droite avec une pente si l’on sait que le point appartient à la droite donnée.

Solution: Composons l'équation de la droite en utilisant la formule . Dans ce cas:

Répondre:

Examen se fait simplement. Tout d’abord, nous examinons l’équation résultante et nous assurons que notre pente est en place. Deuxièmement, les coordonnées du point doivent satisfaire à cette équation. Branchons-les dans l'équation :

L'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que le point satisfait l'équation résultante.

Conclusion: L'équation a été trouvée correctement.

Un exemple plus délicat à résoudre par vous-même :

Exemple 2

Écrivez une équation pour une droite si l'on sait que son angle d'inclinaison par rapport à la direction positive de l'axe est et que le point appartient à cette droite.

Si vous rencontrez des difficultés, relisez le matériel théorique. Plus précisément, plus pratique, je passe à côté de nombreuses preuves.

La dernière cloche a sonné, la cérémonie de remise des diplômes est terminée et devant les portes de notre école natale, la géométrie analytique elle-même nous attend. Les blagues sont finies... Ou peut-être qu'ils ne font que commencer =)

Nous agitons avec nostalgie notre plume vers le familier et nous familiarisons avec l'équation générale d'une ligne droite. Car en géométrie analytique, c’est exactement ce qui est utilisé :

L'équation générale d'une droite a la forme: , où sont quelques chiffres. Parallèlement, les coefficients simultanément ne sont pas égaux à zéro, puisque l’équation perd son sens.

Habillons-nous en costume et lions l'équation avec le coefficient de pente. Tout d’abord, déplaçons tous les termes vers la gauche :

Le terme avec un « X » doit être mis en première place :

En principe, l'équation a déjà la forme , mais selon les règles de l'étiquette mathématique, le coefficient du premier terme (dans ce cas) doit être positif. Changement de signes :

N'oubliez pas cette particularité technique ! On rend le premier coefficient (le plus souvent) positif !

En géométrie analytique, l’équation d’une droite sera presque toujours donnée sous forme générale. Eh bien, si nécessaire, il peut être facilement réduit à la forme « école » avec un coefficient angulaire (à l'exception des droites parallèles à l'axe des ordonnées).

Demandons-nous quoi assez savez-vous construire une ligne droite ? Deux points. Mais pour en savoir plus sur cet incident d'enfance, nous nous en tenons désormais à la règle des flèches. Chaque ligne droite a une pente bien spécifique, à laquelle il est facile de « s’adapter ». vecteur.

Un vecteur parallèle à une ligne est appelé vecteur directeur de cette ligne.. Il est évident que toute ligne droite a un nombre infini de vecteurs directeurs, et tous seront colinéaires (codirectionnels ou non - cela n'a pas d'importance).

Je désignerai le vecteur direction comme suit : .

Mais un seul vecteur ne suffit pas pour construire une droite ; le vecteur est libre et n’est lié à aucun point du plan. Par conséquent, il est également nécessaire de connaître un point appartenant à la ligne.

Comment écrire l’équation d’une droite à l’aide d’un point et d’un vecteur directeur ?

Si un certain point appartenant à une ligne et le vecteur directeur de cette ligne sont connus, alors l'équation de cette ligne peut être compilée à l'aide de la formule :

On l'appelle parfois équation canonique de la droite .

Que faire quand une des coordonnées est égal à zéro, nous le comprendrons dans des exemples pratiques ci-dessous. Au fait, veuillez noter - les deux à la fois les coordonnées ne peuvent pas être égales à zéro, puisque le vecteur zéro ne spécifie pas de direction spécifique.

Exemple 3

Écrire une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur

Solution: Composons l'équation d'une droite en utilisant la formule. Dans ce cas:

En utilisant les propriétés de proportion on se débarrasse des fractions :

Et on ramène l'équation à sa forme générale :

Répondre:

En règle générale, il n'est pas nécessaire de faire un dessin dans de tels exemples, mais par souci de compréhension :

Dans le dessin, nous voyons le point de départ, le vecteur directeur d'origine (il peut être tracé à partir de n'importe quel point du plan) et la ligne droite construite. À propos, dans de nombreux cas, il est plus pratique de construire une ligne droite à l'aide d'une équation avec un coefficient angulaire. Il est facile de transformer notre équation en forme et de sélectionner facilement un autre point pour construire une ligne droite.

Comme indiqué au début du paragraphe, une ligne droite a une infinité de vecteurs directeurs, et tous sont colinéaires. Par exemple, j'ai dessiné trois de ces vecteurs : . Quel que soit le vecteur directeur choisi, le résultat sera toujours la même équation en ligne droite.

Créons une équation d'une droite en utilisant un point et un vecteur directeur :

Résoudre la proportion :

Divisez les deux côtés par –2 et obtenez l’équation familière :

Les personnes intéressées peuvent tester les vecteurs de la même manière ou tout autre vecteur colinéaire.

Résolvons maintenant le problème inverse :

Comment trouver un vecteur directeur en utilisant l'équation générale d'une droite ?

Très simple:

Si une ligne est donnée par une équation générale dans un système de coordonnées rectangulaires, alors le vecteur est le vecteur direction de cette ligne.

Exemples de recherche de vecteurs directeurs de lignes droites :

L’énoncé nous permet de trouver un seul vecteur directeur parmi un nombre infini, mais nous n’en avons pas besoin de plus. Bien que dans certains cas il soit conseillé de réduire les coordonnées des vecteurs directeurs :

Ainsi, l'équation spécifie une ligne droite parallèle à l'axe et les coordonnées du vecteur de direction résultant sont commodément divisées par –2, obtenant exactement le vecteur de base comme vecteur de direction. Logique.

De même, l'équation spécifie une ligne droite parallèle à l'axe, et en divisant les coordonnées du vecteur par 5, on obtient le vecteur unitaire comme vecteur de direction.

Maintenant, faisons-le vérification de l'exemple 3. L'exemple a augmenté, je vous rappelle donc que nous y avons compilé l'équation d'une droite en utilisant un point et un vecteur direction

Premièrement, à l'aide de l'équation de la droite on reconstruit son vecteur direction : – tout va bien, nous avons reçu le vecteur original (dans certains cas le résultat peut être un vecteur colinéaire à celui d'origine, et cela se remarque généralement facilement par la proportionnalité des coordonnées correspondantes).

Deuxièmement, les coordonnées du point doivent satisfaire l'équation. Nous les substituons dans l'équation :

L'égalité correcte a été obtenue, ce dont nous sommes très heureux.

Conclusion: La tâche a été accomplie correctement.

Exemple 4

Écrire une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon. Il est fortement conseillé de vérifier à l’aide de l’algorithme qui vient d’être évoqué. Essayez de toujours (si possible) vérifier un brouillon. C’est stupide de faire des erreurs là où elles peuvent être évitées à 100 %.

Dans le cas où l'une des coordonnées du vecteur directeur est nulle, procédez très simplement :

Exemple 5

Solution: La formule ne convient pas puisque le dénominateur du côté droit est zéro. Il y a une sortie ! En utilisant les propriétés de proportion, nous réécrivons la formule sous la forme, et le reste roule le long d'une ornière profonde :

Répondre:

Examen:

1) Restaurer le vecteur directeur de la ligne :
– le vecteur résultant est colinéaire au vecteur directeur d’origine.

2) Remplacez les coordonnées du point dans l'équation :

L'égalité correcte est obtenue

Conclusion: tâche terminée correctement

La question se pose, pourquoi s'embêter avec la formule s'il existe une version universelle qui fonctionnera dans tous les cas ? Il y a deux raisons. Premièrement, la formule se présente sous la forme d'une fraction on s'en souvient beaucoup mieux. Et deuxièmement, l’inconvénient de la formule universelle est que le risque de confusion augmente considérablement lors du remplacement des coordonnées.

Exemple 6

Écrivez une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

Revenons aux deux points omniprésents :

Comment écrire l’équation d’une droite à l’aide de deux points ?

Si deux points sont connus, alors l'équation d'une droite passant par ces points peut être compilée à l'aide de la formule :

En fait, c'est un type de formule et voici pourquoi : si deux points sont connus, alors le vecteur sera le vecteur direction de la ligne donnée. À la leçon Vecteurs pour les nuls nous avons considéré le problème le plus simple : comment trouver les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points. D’après ce problème, les coordonnées du vecteur direction sont :

Note : les points peuvent être « échangés » et la formule peut être utilisée . Une telle solution sera équivalente.

Exemple 7

Écrire l'équation d'une droite en utilisant deux points .

Solution: On utilise la formule :

Peigner les dénominateurs :

Et mélangez le jeu :

Il est maintenant temps de se débarrasser des nombres fractionnaires. Dans ce cas, vous devez multiplier les deux côtés par 6 :

Ouvrez les parenthèses et rappelez-vous l’équation :

Répondre:

Examen est évident - les coordonnées des points initiaux doivent satisfaire l'équation résultante :

1) Remplacez les coordonnées du point :

Une véritable égalité.

2) Remplacez les coordonnées du point :

Une véritable égalité.

Conclusion: L'équation de la droite est écrite correctement.

Si au moins un des points ne satisfait pas à l’équation, recherchez une erreur.

Il convient de noter que la vérification graphique dans ce cas est difficile, car construire une ligne droite et voir si les points lui appartiennent , pas si simple.

Je noterai quelques aspects techniques supplémentaires de la solution. Peut-être que dans ce problème, il est plus rentable d'utiliser la formule miroir et, aux mêmes points faire une équation :

Moins de fractions. Si vous le souhaitez, vous pouvez effectuer la solution jusqu'au bout, le résultat devrait être la même équation.

Le deuxième point est d’examiner la réponse finale et de déterminer si elle pourrait être davantage simplifiée ? Par exemple, si vous obtenez l’équation , alors il convient de la réduire par deux : – l’équation définira la même droite. Cependant, c'est déjà un sujet de conversation sur position relative des lignes.

Ayant reçu la réponse dans l'exemple 7, juste au cas où, j'ai vérifié si TOUS les coefficients de l'équation sont divisibles par 2, 3 ou 7. Bien que le plus souvent de telles réductions soient effectuées lors de la solution.

Exemple 8

Écrire une équation pour une droite passant par les points .

Ceci est un exemple de solution indépendante, qui vous permettra de mieux comprendre et pratiquer les techniques de calcul.

Semblable au paragraphe précédent : si dans la formule l'un des dénominateurs (la coordonnée du vecteur directeur) devient nul, puis on le réécrit sous la forme . Encore une fois, remarquez à quel point elle a l’air maladroite et confuse. Je ne vois pas l'intérêt de donner des exemples pratiques, puisque nous avons déjà effectivement résolu ce problème (voir n° 5, 6).

Vecteur normal direct (vecteur normal)

Qu'est-ce qui est normal ? En termes simples, une normale est une perpendiculaire. Autrement dit, le vecteur normal d’une ligne est perpendiculaire à une ligne donnée. Évidemment, toute droite en possède un nombre infini (ainsi que des vecteurs directeurs), et tous les vecteurs normaux de la droite seront colinéaires (codirectionnels ou non, cela ne fait aucune différence).

Les gérer sera encore plus facile qu'avec des vecteurs guides :

Si une ligne est donnée par une équation générale dans un système de coordonnées rectangulaires, alors le vecteur est le vecteur normal de cette ligne.

Si les coordonnées du vecteur directeur doivent être soigneusement « extraites » de l'équation, alors les coordonnées du vecteur normal peuvent être simplement « supprimées ».

Le vecteur normal est toujours orthogonal au vecteur directeur de la ligne. Vérifions l'orthogonalité de ces vecteurs en utilisant produit scalaire:

Je vais donner des exemples avec les mêmes équations que pour le vecteur direction :

Est-il possible de construire une équation d’une droite étant donné un point et un vecteur normal ? Je le ressens dans mes tripes, c’est possible. Si le vecteur normal est connu, alors la direction de la ligne droite elle-même est clairement définie - il s'agit d'une « structure rigide » avec un angle de 90 degrés.

Comment écrire l'équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal ?

Si un certain point appartenant à une droite et le vecteur normal de cette droite sont connus, alors l'équation de cette droite est exprimée par la formule :

Ici, tout s'est déroulé sans fractions ni autres surprises. C'est notre vecteur normal. Aime-le. Et respect =)

Exemple 9

Écrivez l'équation d'une droite étant donné un point et un vecteur normal. Trouvez le vecteur direction de la ligne.

Solution: On utilise la formule :

L’équation générale de la droite a été obtenue, vérifions :

1) « Supprimer » les coordonnées du vecteur normal de l'équation : – oui, en effet, le vecteur original a été obtenu à partir de la condition (ou un vecteur colinéaire doit être obtenu).

2) Vérifions si le point satisfait l'équation :

Une véritable égalité.

Une fois que nous serons convaincus que l’équation est correctement composée, nous terminerons la deuxième partie de la tâche, la plus simple. On sort le vecteur directeur de la droite :

Répondre:

Sur le dessin, la situation ressemble à ceci :

À des fins de formation, une tâche similaire à résoudre de manière indépendante :

Exemple 10

Écrivez l'équation d'une droite étant donné un point et un vecteur normal. Trouvez le vecteur direction de la ligne.

La dernière section de la leçon sera consacrée à des types d'équations moins courants, mais aussi importants, d'une droite sur un plan.

Équation d'une droite en segments.
Équation d'une droite sous forme paramétrique

L'équation d'une droite en segments a la forme , où sont des constantes non nulles. Certains types d'équations ne peuvent pas être représentés sous cette forme, par exemple la proportionnalité directe (puisque le terme libre est égal à zéro et qu'il n'y a aucun moyen d'en obtenir un du côté droit).

Il s’agit, au sens figuré, d’une équation de type « technique ». Une tâche courante consiste à représenter l'équation générale d'une droite comme une équation d'une droite en segments. En quoi est-ce pratique ? L'équation d'une droite en segments permet de trouver rapidement les points d'intersection d'une droite avec des axes de coordonnées, ce qui peut être très important dans certains problèmes de mathématiques supérieures.

Trouvons le point d'intersection de la ligne avec l'axe. On remet le « y » à zéro, et l’équation prend la forme . Le point souhaité est obtenu automatiquement : .

Idem avec l'axe – le point où la droite coupe l’axe des ordonnées.

Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

De plus, les constantes A et B ne sont pas égales à zéro en même temps. Cette équation du premier ordre s’appelle équation générale d'une droite. En fonction des valeurs des constantes A, B et C, les cas particuliers suivants sont possibles :

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – la droite passe par l'origine

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - droite parallèle à l'axe Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – droite parallèle à l'axe Oy

B = C = 0, A ≠0 – la droite coïncide avec l'axe Oy

A = C = 0, B ≠0 – la droite coïncide avec l'axe Ox

L'équation d'une droite peut être présentée sous différentes formes en fonction de conditions initiales données.

Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal

Définition. Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, un vecteur de composantes (A, B) est perpendiculaire à la droite donnée par l'équation Ax + By + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation de la droite passant par le point A(1, 2) perpendiculaire à (3, -1).

Solution. Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x – y + C = 0. Pour trouver le coefficient C, on substitue les coordonnées du point donné A dans l'expression résultante. 3 – 2 + C = 0, donc C = -1 . Total : l’équation recherchée : 3x – y – 1 = 0.

Équation d'une droite passant par deux points

Soit deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2) dans l'espace, alors l'équation de la droite passant par ces points est :

Si l'un des dénominateurs est égal à zéro, le numérateur correspondant doit être mis égal à zéro. Sur un plan, l'équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

si x 1 ≠ x 2 et x = x 1, si x 1 = x 2.

La fraction = k s'appelle pente droit.

Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

Solution. En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite à partir d'un point et d'une pente

Si le total Ax + Bu + C = 0, cela conduit à la forme :

et désigner , alors l'équation résultante s'appelle équation d'une droite avec pentek.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur

Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par un vecteur normal, vous pouvez saisir la définition d'une droite passant par un point et le vecteur directeur de la droite.

Définition. Chaque vecteur non nul (α 1, α 2), dont les composantes satisfont à la condition A α 1 + B α 2 = 0 est appelé vecteur directeur de la droite

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite de vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

Solution. On cherchera l'équation de la droite recherchée sous la forme : Ax + By + C = 0. Conformément à la définition, les coefficients doivent satisfaire aux conditions :

1 * A + (-1) * B = 0, soit A = B.

Alors l'équation de la droite a la forme : Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0. pour x = 1, y = 2 on obtient C/ A = -3, soit équation requise :

Équation d'une droite en segments

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С≠0, alors, en divisant par –С, on obtient : ou

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient UN est la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Ox, et b– la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Oy.

Exemple. L'équation générale de la droite x – y + 1 = 0 est donnée. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Équation normale d'une droite

Si les deux côtés de l'équation Ax + By + C = 0 sont multipliés par le nombre qui est appelée facteur de normalisation, alors on obtient

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

équation normale d'une droite. Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi pour que μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemple. L'équation générale de la droite 12x – 5y – 65 = 0 est donnée. Il est nécessaire d'écrire différents types d'équations pour cette droite.

équation de cette droite en segments :

équation de cette droite avec pente : (diviser par 5)

; cos φ = 12/13 ; péché φ= -5/13 ; p = 5.

Il convient de noter que toutes les droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple des droites parallèles aux axes ou passant par l'origine des coordonnées.

Exemple. La ligne droite coupe des segments positifs égaux sur les axes de coordonnées. Écrivez une équation d'une droite si l'aire du triangle formé par ces segments est de 8 cm 2.

Solution. L'équation de la droite a la forme : , ab /2 = 8 ; ab = 16 ; une=4, une=-4. une = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exemple. Écrivez une équation pour une droite passant par le point A(-2, -3) et l'origine.

Solution. L'équation de la droite est : , où x 1 = y 1 = 0 ; x2 = -2 ; y2 = -3.

Angle entre des lignes droites sur un plan

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, alors l'angle aigu entre ces lignes sera défini comme

.

Deux droites sont parallèles si k 1 = k 2. Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/ k 2.

Théorème. Les droites Ax + Bу + C = 0 et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sont parallèles lorsque les coefficients A 1 = λA, B 1 = λB sont proportionnels. Si aussi C 1 = λC, alors les droites coïncident. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées comme solution du système d'équations de ces droites.

Équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée

Définition. Une droite passant par le point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la droite y = kx + b est représentée par l'équation :

Distance d'un point à une ligne

Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Bу + C = 0 est déterminée comme

.

Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :

(1)

Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :

La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculaire à une droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème a été prouvé.

Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3 x + 7 ; y = 2 x + 1.

k 1 = -3 ; k2 = 2 ; tgφ = ; φ= π /4.

Exemple. Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.

Solution. On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.

Exemple. Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.

Solution. On retrouve l’équation du côté AB : ; 4 x = 6 oui – 6 ;

2 x – 3 oui + 3 = 0 ;

L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Alors y = . Parce que la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont à cette équation : d'où b = 17. Total : .

Réponse : 3 x + 2 y – 34 = 0.

Dans cet article, nous considérerons l'équation générale d'une droite sur un plan. Donnons des exemples de construction d'une équation générale d'une droite si deux points de cette droite sont connus ou si un point et le vecteur normal de cette droite sont connus. Présentons des méthodes pour transformer une équation sous forme générale en formes canoniques et paramétriques.

Soit un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes arbitraires Oxy. Considérons une équation du premier degré ou linéaire :

Où A, B, C− quelques constantes, et au moins un des éléments UN Et B différent de zéro.

Nous allons montrer qu'une équation linéaire sur un plan définit une droite. Démontrons le théorème suivant.

Théorème 1. Dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes arbitraires sur un plan, chaque ligne droite peut être spécifiée par une équation linéaire. A l'inverse, chaque équation linéaire (1) dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes arbitraires sur un plan définit une ligne droite.

Preuve. Il suffit de prouver que la droite L est déterminé par une équation linéaire pour n'importe quel système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, puisqu'il sera alors déterminé par une équation linéaire pour tout choix de système de coordonnées rectangulaires cartésiennes.

Soit une ligne droite sur l'avion L. Choisissons un système de coordonnées pour que l'axe Bœuf coïncidait avec une ligne droite L, et l'axe Oy lui était perpendiculaire. Alors l'équation de la droite L prendra la forme suivante :

Tous les points sur une ligne L satisfera l’équation linéaire (2), et tous les points en dehors de cette ligne ne satisferont pas l’équation (2). La première partie du théorème a été prouvée.

Soit un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes et soit une équation linéaire (1), où au moins un des éléments UN Et B différent de zéro. Trouvons le lieu géométrique des points dont les coordonnées satisfont à l'équation (1). Puisqu'au moins un des coefficients UN Et B est différent de zéro, alors l'équation (1) a au moins une solution M(X 0 ,oui 0). (Par exemple, quand UN≠0, point M 0 (−CALIFORNIE, 0) appartient au lieu géométrique des points donné). En substituant ces coordonnées dans (1) nous obtenons l'identité

Soustrayons l'identité (3) de (1) :

Évidemment, l'équation (4) est équivalente à l'équation (1). Il suffit donc de prouver que (4) définit une certaine droite.

Puisque nous considérons un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, il résulte de l'égalité (4) que le vecteur à composantes ( x−x 0 , o−o 0 ) orthogonal au vecteur n avec des coordonnées ( UN B}.

Considérons une ligne droite L, en passant par le point M 0 (X 0 , oui 0) et perpendiculaire au vecteur n(Fig. 1). Laissons le point M(X,y) appartient à la ligne L. Alors le vecteur de coordonnées x−x 0 , o−o 0 perpendiculaire n et l'équation (4) est satisfaite (produit scalaire des vecteurs n et égal à zéro). A l’inverse, si le point M(X,y) ne se trouve pas sur une ligne L, puis le vecteur de coordonnées x−x 0 , o−o 0 n'est pas orthogonal au vecteur n et l'équation (4) n'est pas satisfaite. Le théorème a été prouvé.

Preuve. Puisque les lignes (5) et (6) définissent la même ligne, alors les vecteurs normaux n 1 ={UN 1 ,B 1) et n 2 ={UN 2 ,B 2) colinéaire. Puisque les vecteurs n 1 ≠0, n 2 ≠0, alors il existe un tel nombre λ , Quoi n 2 =n 1 λ . De là, nous avons : UN 2 =UN 1 λ , B 2 =B 1 λ . Prouvons que C 2 =C 1 λ . Évidemment, les lignes coïncidentes ont un point commun M 0 (X 0 , oui 0). Multiplier l'équation (5) par λ et en en soustrayant l’équation (6), nous obtenons :

Puisque les deux premières égalités des expressions (7) sont satisfaites, alors C 1 λ −C 2 =0. Ceux. C 2 =C 1 λ . La remarque est avérée.

Notez que l'équation (4) définit l'équation de la droite passant par le point M 0 (X 0 , oui 0) et ayant un vecteur normal n={UN B). Par conséquent, si le vecteur normal d'une droite et le point appartenant à cette droite sont connus, alors l'équation générale de la droite peut être construite à l'aide de l'équation (4).

Exemple 1. Une droite passe par un point M=(4,−1) et a un vecteur normal n=(3, 5). Construire l’équation générale d’une droite.

Solution. Nous avons: X 0 =4, oui 0 =−1, UN=3, B=5. Pour construire l'équation générale d'une droite, on substitue ces valeurs dans l'équation (4) :

Répondre:

Le vecteur est parallèle à la droite L et donc perpendiculaire au vecteur normal de la droite L. Construisons un vecteur ligne normal L, en tenant compte du fait que le produit scalaire des vecteurs n et égal à zéro. On peut écrire par exemple n={1,−3}.

Pour construire l'équation générale d'une droite, nous utilisons la formule (4). Remplaçons les coordonnées du point dans (4) M 1 (on peut aussi prendre les coordonnées du point M 2) et vecteur normal n:

Remplacement des coordonnées des points M 1 et M 2 dans (9), nous pouvons nous assurer que la droite donnée par l'équation (9) passe par ces points.

Répondre:

Soustraire (10) de (1) :

Nous avons obtenu l'équation canonique de la droite. Vecteur q={−B, UN) est le vecteur directeur de la droite (12).

Voir conversion inversée.

Exemple 3. Une droite sur un plan est représentée par l'équation générale suivante :

Déplaçons le deuxième terme vers la droite et divisons les deux côtés de l'équation par 2,5.