§ 1 Actions et fractions
Dans cette leçon, nous présenterons les concepts de fractions et de fractions.
Regardons la situation :
Kolya a eu 8 ans. En l'honneur de cela, nous avons préparé un gâteau d'anniversaire et l'avons coupé en 8 parts égales. Kolya a donné 2 morceaux de gâteau d'anniversaire à sa mère et à son père, 2 morceaux à son frère et à sa sœur, et en a pris un pour lui. Après que tout le monde ait eu un morceau de gâteau d'anniversaire, il restait encore quelques morceaux dans l'assiette. Combien de parts du gâteau d’anniversaire ont été mangées et combien en reste-t-il ?
Pour répondre à la question posée, il faut d’abord savoir ce que signifie la notion de « partage ».
Si une unité entière de comptage ou de mesure est divisée en 2 parties égales, alors chacune de celles-ci
une telle partie.
Maintenant, nous pouvons dire que le gâteau entier est un tout divisé en 8 parts. Après avoir compté le nombre de parts de tarte mangées 2 + 2 + 1 = 5, on découvre qu'au total ils ont mangé 5 parts sur 8, et il reste 8 - 5 = 3 parts.
Montrons cela sur la figure :
Les 5 parts de tarte qui ont été mangées sont en jaune, c'est
Les fractions sont une ou plusieurs parties égales d’un tout. Écrire des fractions par deux
Le nombre m écrit au-dessus de la ligne est appelé numérateur. Le numérateur indique combien de parties du tout ont été prises.
Le nombre n écrit sous la ligne est appelé le dénominateur. Le dénominateur indique en combien de parties égales le tout est divisé.
le chiffre 3 - le numérateur de cette fraction - montre qu'ils ont pris 3 parties du tout ; le chiffre 7 – dénominateur de cette fraction – montre que le tout est divisé en 7 parties égales.
A noter que lors de la lecture de fractions, il faut se rappeler : le numérateur est un nombre cardinal féminin, et le dénominateur est un nombre ordinal
§ 2 Bref résumé du sujet de la leçon
Les actions sont des parties égales d’un tout.
Liste de la littérature utilisée :
- Peterson L.G. Mathématiques. 4e année. Partie 1. / L.G. Peterson. – M. : Yuventa, 2014. – 96 p. : ill.
- Mathématiques. 4e année. Recommandations méthodologiques pour le manuel de mathématiques « Apprendre à apprendre » pour la 4e année. / L.G. Peterson. – M. : Yuventa, 2014. – 280 pp. : ill.
- Zach S.M. Toutes les tâches du manuel de mathématiques pour la 4e année de L.G. Peterson et un ensemble de travaux indépendants et de tests. Norme éducative de l'État fédéral. – M. : UNWES, 2014.
- CD ROM. Mathématiques. 4e année. Scripts de cours pour le manuel de la partie 1 Peterson L.G. – M. : Yuvent, 2013.
Pour utiliser les aperçus de présentation, créez un compte Google et connectez-vous : https://accounts.google.com
Légendes des diapositives :
Allez, regarde mon ami, es-tu prêt à commencer le cours ? Tout est-il en place, Tout est-il en ordre, Stylo, livre et cahier ? Est-ce que tout le monde est assis correctement ? Est-ce que tout le monde regarde attentivement ? Tout le monde veut seulement obtenir une note de cinq.
Fractions Fractions communes
Buts et objectifs : Introduire la notion de fraction, demi, tiers, quart, fraction commune, numérateur et dénominateur d'une fraction Développer la capacité de lire et d'écrire des fractions communes à l'aide du numérateur et du dénominateur Cultiver une attitude respectueuse envers les autres, l'attention
Questions à considérer : Fraction Moitié, tiers, quart Fraction commune Que montrent le numérateur et le dénominateur d'une fraction De l'histoire des fractions
Maman a acheté une pastèque. Je l'ai coupé en 6 parts égales :
Grand-mère, grand-père, papa, deux enfants et moi-même.
Qu'est-ce qu'une part ? Une action est chacune des parties égales d’une unité. Puisque la pastèque a été coupée en 6 parties égales, cela signifie qu'elle a été divisée en 6 parts et que chacun a reçu « un sixième » de la pastèque, ou, en bref, « un sixième de la pastèque ».
Comment sont écrits les beats ? Pour enregistrer n’importe quel battement, utilisez une ligne horizontale. C'est ce qu'on appelle une ligne fractionnaire. Ils écrivent :
Qu'indique le chiffre sous la ligne ? Le nombre sous la ligne indique en combien de parties égales (actions) l'unité est divisée, le tout est divisé en 5 parties égales (actions)
Réfléchissez et répondez. Comment se forment les actions lorsqu'un objet ou une unité de mesure est divisé en parties égales. Qu'indique le nombre sous la ligne ? Le nombre sous la ligne indique en combien de parties égales l'unité est divisée.
Moitié. La part la plus connue est bien sûr la moitié. Les mots avec le préfixe « moitié » peuvent être souvent entendus : une demi-heure, un demi-kilomètre... Ils ont divisé le tout en deux parties - « la moitié ». La part s'appelle la moitié.
Troisième. Le nom de l’action dépend du nombre de parts égales en lesquelles la part est divisée. Divisé en trois parties - "troisième". Une action s'appelle un "tiers"
Quart. Si le tout est divisé en 4 parties, alors il s'avère, ou en d'autres termes, on dit « quart ».
Comment s’appellent les autres lobes ? Et si vous le divisez en cinq parties, alors qu'est-ce que c'est « cinq », et en six – « six » ? Il n'y a pas de mots aussi drôles en russe. Pour nommer les temps, utilisez les mots « cinquième », « sixième »
Terminez les tâches. Lire les temps Quels autres mots pouvez-vous appeler les temps : un quart, un tiers, un demi.
Nous sommes envahis par la somnolence, Réticents à bouger. Eh bien, faites l'exercice suivant avec moi : Un - levez-vous, étirez-vous, Deux - penchez-vous, redressez-vous, Trois - frappez dans vos mains, trois applaudissez, trois hochez la tête.
Résolvez l'énigme et découvrez ce que nous sommes sur le point de rencontrer. "Fractions"
Fraction ordinaire. Les enregistrements du formulaire sont appelés fractions ordinaires... Numérateur d'une fraction Ligne de fraction (ligne de fraction) Dénominateur d'une fraction
Fractions ordinaires. N’importe qui peut voir la ligne fractionnaire à un kilomètre et demi. Au dessus de la ligne se trouve le numérateur, sachez, en dessous de la ligne se trouve le dénominateur. Une telle fraction doit certainement être qualifiée d’ordinaire. Indiquer le numérateur et le dénominateur de chaque fraction
Lors de la lecture de fractions, il faut se rappeler : le numérateur de la fraction est un nombre cardinal féminin (un, deux, huit, etc.), et le dénominateur est un nombre ordinal (septième, centième, deux cent trentième, etc.) Par exemple : - un cinquième ; - deux sixièmes ; - quatre-vingt-trois cent cinquante-deuxième
Que montrent le numérateur et le dénominateur d'une fraction ? Le dénominateur indique combien d'actions sont divisées et le numérateur indique combien de ces actions sont prises. Lisez les fractions. Que montrent le numérateur et le dénominateur de chaque fraction ?
Écrivez-le sous forme de fraction commune. Deux septièmes Quatre neuvièmes Un centième Six huitièmes Trois vingt cinquièmes Moitié
Réfléchissez et répondez. Quelle partie de la figure est ombrée ?
Travaillez dans un cahier. N° 868.
Devoir : Composez des devoirs sur le thème des fractions ordinaires, paragraphe 23, n° 901, 902 La leçon est terminée. Et encore un changement. Et encore le bruit dans le couloir. Il faut absolument avoir le temps de tout se raconter le plus tôt possible.
MÉTHODOLOGIE D'ÉTUDE DES RATS ET DES FRACTIONS
| Le nom du paramètre | Signification |
| Sujet de l'article : | MÉTHODOLOGIE D'ÉTUDE DES RATS ET DES FRACTIONS |
| Rubrique (catégorie thématique) | Mathématiques |
Tâches:
1. Apprenez à former des actions et des fractions.
2. Apprenez à nommer et à écrire des fractions et des fractions (tous les programmes ne permettent pas de les écrire).
3. Comparez des fractions et des proportions.
4. Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des fractions.
Ce matériau est étudié en 3e et 4e années. Une idée spécifique de fractions et de proportions est créée sur une base pratique à l'aide de matériel didactique. Ce sujet sert de base préliminaire pour l'étude en 5e et 6e années.
Sources pour obtenir des fractions et des fractions :
1. Diviser des objets en parties égales.
2. Mesure de quantités.
3. Opérations sur les nombres (division).
À l'école primaire, les fractions et les fractions s'apprennent uniquement en divisant un objet en parties égales, puisque les enfants doivent acquérir une compréhension concrète de ces concepts.
Une idée précise des actions est créé à la suite de travaux pratiques avec démonstration. L'enseignant divise la pomme en deux parties égales et dit que chacune des parties égales est généralement appelée moitié et plus loin 1\2, montre qu'il y a deux de ces moitiés dans la pomme entière. Ensuite, l'enseignant divise la pomme en quatre parties égales, chaque partie est généralement appelée - quart ou 1\4 et il y a quatre de ces quatrièmes lobes dans une pomme entière. Ensuite, il est rapporté que deux nombres et une ligne (m\n) sont extrêmement importants pour l'écriture d'actions. De plus, le numéro sous la ligne ( virgule), montre en combien de parties égales le tout est divisé ( dénominateur), et le nombre au-dessus de la ligne indique combien de parts égales ont été prises ( numérateur).
Fixation :
§ Travaux pratiques : on donne aux enfants des bandes de papier, et on leur demande de les diviser en les pliant en 2 parties égales, en 4, en 8, de dire comment s'appelle habituellement chaque partie, de peindre sur 1\2, 1\4, 1 \8 segments. 
§ Sont pris en compte les dessins aux formes géométriques, divisés en parties égales et signés avec les noms des parties. Les enfants doivent expliquer la signification de l'enregistrement. 
§ Il est proposé de dessiner un carré d'une longueur de côté donnée, de le diviser en 2, 3, 4, 6, 8 parties égales, de colorer l'une d'elles, de la nommer, de l'écrire. Différentes options de partitionnement sont possibles, mais une condition doit être prise en compte : toutes les pièces sont identiques. 
Un peu plus tard, l'enseignant introduit la notion de fractions sur une base pratique. Il est demandé aux enfants de diviser le segment en 4 parties égales, de nommer chacune d'elles, d'encercler d'abord une partie, puis une autre. L'enseignant raconte ce qui s'est passé assemblée d'actions- on l'appelle généralement fraction. Ensuite, l’enseignant apprend à lire et à écrire des fractions.
Comparaison des actions se déroule également sur une base visuelle et pratique en 2 étapes.
1. Travaux pratiques : on donne aux enfants 2 bandes de papier égales et on leur demande d'en peindre la moitié sur l'une et le quart sur l'autre, puis de les comparer en les superposant. La conclusion est qu’un quart est inférieur à la moitié. 
2. Travaillez avec une illustration dans un manuel ou un tableau au tableau.
Les élèves doivent identifier le nom de chaque partie et les comparer visuellement. Ils peuvent comparer les deux fractions : 1\2>1\4 et les fractions ayant les mêmes dénominateurs : 1\8.<3\8 и разными знаменателями: 1\2=2\4, 1\4<3\8. Дети находят ответы на вопросы: сколько половин в одной целой, сколько четвёртых долей в одной целой, в половине. В дальнейшем эти задания дети выполняют по представлению, в случае если же появляются затруднения, то опять используется иллюстрация. Формулируются правила: Plus grande est la fraction dont le dénominateur est plus petit. Par exemple, 1\2>1\4, puisque 2<4. Дроби сравнивают только с одинаковым знаменателем: De deux fractions ayant le même dénominateur, celle dont le numérateur est le plus grand est la plus grande. Par exemple, 3\8>2\8, puisque 3>2.
Méthodes de travail avec des problèmes sur les fractions et les fractions. En 3e année, des problèmes sur les fractions (selon le programme Moreau), les fractions et les fractions (selon le programme Peterson) sont envisagés.
Pour se familiariser avec des problèmes de ce type, l'enseignant propose de diviser une bande de papier de 12 cm de long en la pliant en 4 parties égales et de calculer la longueur de chaque partie. Questions possibles : 
§ Quelle est la longueur de la bande entière ? (12 cm).
§ En combien de parties doit-il être divisé ? (en 4 parties).
§ Quelles parties : de longueur égale ou différentes ? (diviser en 4 parts égales).
§ Quel est le nom de chaque partie ? (quart).
§ Comment connaître la longueur de chaque pièce ? (diviser 12 cm par 4).
§ Combien est-ce que ça va coûter? (3 cm).
§ Vérifiez avec une règle.
Ensuite, des problèmes simples sont résolus pour trouver la fraction d’un nombre ou d’une valeur. D'ailleurs, selon le programme Moro, la part du problème est donnée par les mots : « La longueur du ruban est de 10 cm. Trouver un cinquième cette bande. Il est recommandé de faire un dessin pour l'énoncé du problème, ce qui vous permettra d'appliquer clairement la signification spécifique du partage pour résoudre le problème. 
À l'avenir, ces tâches seront incluses dans le contenu des tâches composites. Par exemple Trouver l'aire de la quatrième partie du carré d'un côté de 9 cm ou 28 kg de pommes ont été amenées dans un magasin, dans le second un quart de ce qui a été apporté dans le premier, et le troisième magasin pèse 12 kg de plus que le deuxième. Combien de kilos de pommes ont été apportés ensemble aux trois magasins ?
Les problèmes d'autres types sont résolus moins fréquemment et les problèmes impliquant des fractions et des pourcentages sont déjà abordés dans les classes 5 et 6.
Selon le programme Peterson, les problèmes de tous types impliquant des fractions et des fractions sont pris en compte :
| Types de tâches | Problèmes sur les actions | Problèmes de fractions |
| Problèmes pour trouver une partie d'un tout | La longueur du ruban est de 10 m. Trouvez 1/5 de cette cassette.  10:5=2(m) - longueur 1\5 de la bande entière. | La longueur du ruban est de 10 m. Trouvez 3/5 de cette cassette.  1) 10:5=2(m) - longueur 1\5 de la bande entière. |
| 2) 2*3=6(m) - longueur 3\5 de la bande entière. | Problèmes pour trouver un tout à partir de sa partie  4 m ont été découpés dans le ruban. Trouvez la longueur de la bande entière si 1/4 de la bande a été coupé. | 4*4=16(m) - la longueur de la bande entière.  9 m ont été découpés dans le ruban. Trouvez la longueur de la bande entière si les 3/4 de la bande ont été coupés. |
| 1)9:3=3(m) - longueur 1/4 de la bande entière. | 2) 3*4=12(m) - la longueur de la bande entière.  Problèmes pour trouver un rapport fractionnaire | 1 m a été découpé dans une bande de 10 m de long. Quelle partie de la bande a été coupée ?  Le plus souvent, ces problèmes sont résolus oralement. Ou alors 1:10 = 1/10 – la bande entière. |
5 m ont été découpés dans une bande de 10 m de long. Quelle partie de la bande a été coupée ?
Le plus souvent, ces problèmes sont résolus oralement. Ou alors 5:10 = 5/10 - la bande entière (les enfants de l'école primaire ne savent pas raccourcir). MÉTHODOLOGIE D'ÉTUDE DES RATS ET DES FRACTIONS - concept et types. Classement et caractéristiques de la catégorie « MÉTHODOLOGIE D'ÉTUDE DES RATS ET DES FRACTIONS » 2017, 2018. Cet article est à propos de
Navigation dans les pages.
Parts du tout
Nous introduisons d'abord notion de partage.
Supposons que nous ayons un objet composé de plusieurs parties absolument identiques (c'est-à-dire égales). Pour plus de clarté, vous pouvez imaginer par exemple une pomme coupée en plusieurs parties égales, ou une orange composée de plusieurs tranches égales. Chacune de ces parties égales qui composent l'objet entier est appelée parties du tout ou simplement actions.
Notez que les partages sont différents. Expliquons cela. Prenons deux pommes. Coupez la première pomme en deux parties égales et la seconde en 6 parties égales. Il est clair que la part de la première pomme sera différente de celle de la deuxième pomme.
En fonction du nombre d'actions qui composent l'ensemble de l'objet, ces actions ont leur propre nom. Faisons le tri noms de rythmes. Si un objet est constitué de deux parties, chacune d’entre elles est appelée une seconde part de l’objet entier ; si un objet se compose de trois parties, alors chacune d'entre elles est appelée un tiers, et ainsi de suite.
Un deuxième partage a un nom spécial - moitié. Un tiers est appelé troisième, et un quart de partie - un quart.
Par souci de concision, les éléments suivants ont été introduits : battre les symboles. Une deuxième part est désignée par ou 1/2, une troisième part est désignée par ou 1/3 ; un quart de part - comme ou 1/4, et ainsi de suite. A noter que la notation avec une barre horizontale est plus souvent utilisée. Pour renforcer le propos, donnons encore un exemple : l’entrée désigne la cent soixante-septième partie du tout.
La notion de partage s'étend naturellement des objets aux quantités. Par exemple, l’une des mesures de longueur est le mètre. Pour mesurer des longueurs inférieures à un mètre, des fractions de mètre peuvent être utilisées. Vous pouvez donc utiliser par exemple un demi-mètre ou un dixième ou un millième de mètre. Les parts des autres quantités sont appliquées de la même manière.
Fractions courantes, définition et exemples de fractions
Pour décrire le nombre d'actions que nous utilisons MÉTHODOLOGIE D'ÉTUDE DES RATS ET DES FRACTIONS - concept et types. Classement et caractéristiques de la catégorie « MÉTHODOLOGIE D'ÉTUDE DES RATS ET DES FRACTIONS » 2017, 2018.. Donnons un exemple qui nous permettra d'aborder la définition des fractions ordinaires.
Laissez l'orange se composer de 12 parties. Chaque part représente dans ce cas un douzième d'une orange entière, soit . Nous désignons deux battements par , trois battements par , et ainsi de suite, 12 battements par . Chacune des entrées données est appelée une fraction ordinaire.
Maintenant, donnons un général définition des fractions communes.
La définition exprimée des fractions ordinaires nous permet de donner exemples de fractions courantes: 5/10, , 21/1, 9/4, . Et voici les enregistrements 
ne correspondent pas à la définition énoncée des fractions ordinaires, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas des fractions ordinaires.
Numérateur et dénominateur
Pour plus de commodité, on distingue les fractions ordinaires numérateur et dénominateur.
Définition.
Numérateur la fraction ordinaire (m/n) est un nombre naturel m.
Définition.
Dénominateur la fraction commune (m/n) est un nombre naturel n.
Ainsi, le numérateur est situé au-dessus de la ligne de fraction (à gauche de la barre oblique) et le dénominateur est situé en dessous de la ligne de fraction (à droite de la barre oblique). Par exemple, prenons la fraction commune 17/29, le numérateur de cette fraction est le nombre 17 et le dénominateur est le nombre 29.
Reste à discuter de la signification contenue dans le numérateur et le dénominateur d'une fraction ordinaire. Le dénominateur d'une fraction indique de combien de parties est constitué un objet, et le numérateur, à son tour, indique le nombre de ces parties. Par exemple, le dénominateur 5 de la fraction 12/5 signifie qu'un objet se compose de cinq actions, et le numérateur 12 signifie que 12 de ces actions sont prises.
Entier naturel sous forme de fraction de dénominateur 1
Le dénominateur d'une fraction commune peut être égal à un. Dans ce cas, on peut considérer que l’objet est indivisible, c’est-à-dire qu’il représente quelque chose d’entier. Le numérateur d'une telle fraction indique combien d'objets entiers sont pris. Ainsi, une fraction ordinaire de la forme m/1 a la signification d’un nombre naturel m. C’est ainsi que nous avons démontré la validité de l’égalité m/1=m.
Réécrivons la dernière égalité comme suit : m=m/1. Cette égalité nous permet de représenter tout nombre naturel m comme une fraction ordinaire. Par exemple, le nombre 4 est la fraction 4/1 et le nombre 103 498 est égal à la fraction 103 498/1.
Donc, tout nombre naturel m peut être représenté comme une fraction ordinaire avec un dénominateur de 1 sous la forme m/1, et toute fraction ordinaire de la forme m/1 peut être remplacée par un nombre naturel m.
Barre de fraction comme signe de division
Représenter l'objet originel sous la forme de n parts n'est rien d'autre qu'une division en n parties égales. Une fois qu’un objet est divisé en n parts, nous pouvons le diviser également entre n personnes – chacune recevra une part.
Si nous avons initialement m objets identiques, dont chacun est divisé en n parts, alors nous pouvons diviser également ces m objets entre n personnes, en donnant à chaque personne une part de chacun des m objets. Dans ce cas, chaque personne aura m parts de 1/n, et m parts de 1/n donne la fraction commune m/n. Ainsi, la fraction commune m/n peut être utilisée pour désigner la division de m éléments entre n personnes.
C'est ainsi que nous avons obtenu un lien explicite entre les fractions ordinaires et la division (voir l'idée générale dedivision des nombres naturels). Cette connexion s'exprime ainsi : la ligne de fraction peut être comprise comme un signe de division, c'est-à-dire m/n=m:n.
En utilisant une fraction ordinaire, vous pouvez écrire le résultat de la division de deux nombres naturels pour lesquels une division entière ne peut pas être effectuée. Par exemple, le résultat de la division de 5 pommes par 8 personnes peut s'écrire 5/8, c'est-à-dire que tout le monde recevra les cinq huitièmes d'une pomme : 5:8 = 5/8.
Fractions égales et inégales, comparaison des fractions
Une action assez naturelle est comparer des fractions, car il est clair que 1/12 d'une orange est différent de 5/12, et 1/6 d'une pomme est identique à un autre 1/6 de cette pomme.
En comparant deux fractions ordinaires, l'un des résultats est obtenu : les fractions sont soit égales, soit inégales. Dans le premier cas nous avons fractions communes égales, et dans le second – fractions ordinaires inégales. Donnons une définition des fractions ordinaires égales et inégales.
Définition.
égal, si l'égalité a·d=b·c est vraie.
Définition.
Deux fractions communes a/b et c/d inégal, si l'égalité a·d=b·c n'est pas satisfaite.
Voici quelques exemples de fractions égales. Par exemple, la fraction commune 1/2 est égale à la fraction 2/4, puisque 1·4=2·2 (si nécessaire, voir les règles et exemples de multiplication des nombres naturels). Pour plus de clarté, vous pouvez imaginer deux pommes identiques, la première est coupée en deux et la seconde est coupée en 4 parties. Il est évident que deux quarts de pomme équivalent à 1/2 part. D'autres exemples de fractions communes égales sont les fractions 4/7 et 36/63, ainsi que la paire de fractions 81/50 et 1 620/1 000.
Mais les fractions ordinaires 4/13 et 5/14 ne sont pas égales, puisque 4·14=56, et 13·5=65, soit 4·14≠13·5. D'autres exemples de fractions communes inégales sont les fractions 17/7 et 6/4.
Si, en comparant deux fractions communes, il s'avère qu'elles ne sont pas égales, vous devrez peut-être savoir laquelle de ces fractions communes moins différent, et lequel - plus. Pour le savoir, on utilise la règle de comparaison des fractions ordinaires, dont l'essence est de ramener les fractions comparées à un dénominateur commun puis de comparer les numérateurs. Des informations détaillées sur ce sujet sont rassemblées dans l'article comparaison des fractions : règles, exemples, solutions.
Nombres fractionnaires
Chaque fraction est une notation nombre fractionnaire. C'est-à-dire qu'une fraction n'est que la « coquille » d'un nombre fractionnaire, son apparence, et toute la charge sémantique est contenue dans le nombre fractionnaire. Cependant, par souci de concision et de commodité, les concepts de fraction et de nombre fractionnaire sont combinés et simplement appelés fraction. Ici, il convient de paraphraser un dicton bien connu : nous disons une fraction - nous entendons un nombre fractionnaire, nous disons un nombre fractionnaire - nous entendons une fraction.
Fractions sur un rayon de coordonnées
Tous les nombres fractionnaires correspondant aux fractions ordinaires ont leur propre place unique, c'est-à-dire qu'il existe une correspondance biunivoque entre les fractions et les points du rayon de coordonnées.
Pour arriver au point du rayon de coordonnées correspondant à la fraction m/n, il faut écarter m segments à partir de l'origine dans le sens positif, dont la longueur est 1/n fraction d'un segment unitaire. De tels segments peuvent être obtenus en divisant un segment unitaire en n parties égales, ce qui peut toujours être fait à l'aide d'un compas et d'une règle.
Par exemple, montrons le point M sur le rayon de coordonnées, correspondant à la fraction 14/10. La longueur d'un segment se terminant au point O et le point le plus proche, marqué d'un petit tiret, est 1/10 d'un segment unitaire. Le point de coordonnée 14/10 est éloigné de l'origine à une distance de 14 de ces segments.
Les fractions égales correspondent au même nombre fractionnaire, c'est-à-dire que les fractions égales sont les coordonnées du même point sur le rayon de coordonnées. Par exemple, les coordonnées 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 correspondent à un point sur le rayon de coordonnées, puisque toutes les fractions écrites sont égales (il est situé à une distance d'un demi-segment unitaire disposé de l'origine dans le sens positif).
Sur un rayon de coordonnées horizontal et dirigé vers la droite, le point dont la coordonnée est la plus grande fraction est situé à droite du point dont la coordonnée est la plus petite fraction. De même, un point avec une coordonnée plus petite se trouve à gauche d’un point avec une coordonnée plus grande.
Fractions propres et impropres, définitions, exemples
Parmi les fractions ordinaires, il y a fractions propres et impropres. Cette division est basée sur une comparaison du numérateur et du dénominateur.
Définissons les fractions ordinaires propres et impropres.
Définition.
Fraction appropriée est une fraction ordinaire dont le numérateur est inférieur au dénominateur, c'est-à-dire si m Définition.
Fraction impropre est une fraction ordinaire dans laquelle le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, c'est-à-dire que si m≥n, alors la fraction ordinaire est impropre. Voici quelques exemples de fractions propres : 1/4, , 32 765/909 003. En effet, dans chacune des fractions ordinaires écrites le numérateur est inférieur au dénominateur (si nécessaire, voir l'article comparant les nombres naturels), elles sont donc correctes par définition. Voici des exemples de fractions impropres : 9/9, 23/4, . En effet, le numérateur de la première des fractions ordinaires écrites est égal au dénominateur, et dans les fractions restantes le numérateur est supérieur au dénominateur. Il existe également des définitions des fractions propres et impropres, basées sur la comparaison de fractions avec une seule. Définition. correct, s'il est inférieur à un. Définition. Une fraction ordinaire s'appelle faux, s'il est égal à un ou supérieur à 1. Donc la fraction commune 7/11 est correcte, puisque le 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1, et 27/27=1. Réfléchissons à la façon dont les fractions ordinaires avec un numérateur supérieur ou égal au dénominateur méritent un tel nom - « impropre ». Par exemple, prenons la fraction impropre 9/9. Cette fraction signifie que neuf parties sont prélevées sur un objet composé de neuf parties. Autrement dit, à partir des neuf parties disponibles, nous pouvons constituer un objet entier. Autrement dit, la fraction impropre 9/9 donne essentiellement l'objet entier, c'est-à-dire 9/9 = 1. En général, les fractions impropres avec un numérateur égal au dénominateur désignent un objet entier, et une telle fraction peut être remplacée par l'entier naturel 1. Considérons maintenant les fractions impropres 7/3 et 12/4. Il est bien évident qu'à partir de ces sept tiers on peut composer deux objets entiers (un objet entier est composé de 3 parties, alors pour composer deux objets entiers il nous faudra 3 + 3 = 6 parties) et il restera encore un tiers . Autrement dit, la fraction impropre 7/3 signifie essentiellement 2 objets et également 1/3 d'un tel objet. Et à partir de douze quarts de parties, nous pouvons fabriquer trois objets entiers (trois objets de quatre parties chacun). Autrement dit, la fraction 12/4 signifie essentiellement 3 objets entiers. Les exemples considérés nous amènent à la conclusion suivante : les fractions impropres peuvent être remplacées soit par des nombres naturels, lorsque le numérateur est divisé également par le dénominateur (par exemple, 9/9=1 et 12/4=3), soit par la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre, lorsque le numérateur n'est pas également divisible par le dénominateur (par exemple, 7/3=2+1/3). C’est peut-être précisément ce qui a valu aux fractions impropres le nom d’« irrégulières ». La représentation d'une fraction impropre comme la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre (7/3=2+1/3) est particulièrement intéressante. Ce processus s'appelle isoler la partie entière d'une fraction impropre et mérite un examen séparé et plus attentif. Il convient également de noter qu’il existe une relation très étroite entre les fractions impropres et les nombres fractionnaires. Chaque fraction commune correspond à un nombre fractionnaire positif (voir l'article sur les nombres positifs et négatifs). Autrement dit, les fractions ordinaires sont fractions positives. Par exemple, les fractions ordinaires 1/5, 56/18, 35/144 sont des fractions positives. Lorsque vous devez mettre en évidence la positivité d'une fraction, un signe plus est placé devant elle, par exemple +3/4, +72/34. Si vous mettez un signe moins devant une fraction commune, alors cette entrée correspondra à un nombre fractionnaire négatif. Dans ce cas, on peut parler de fractions négatives. Voici quelques exemples de fractions négatives : −6/10, −65/13, −1/18. Les fractions positives et négatives m/n et −m/n sont des nombres opposés. Par exemple, les fractions 5/7 et −5/7 sont des fractions opposées. Les fractions positives, comme les nombres positifs en général, dénotent un ajout, un revenu, une variation à la hausse d'une valeur, etc. Les fractions négatives correspondent à des dépenses, des dettes ou à une diminution de n'importe quelle quantité. Par exemple, la fraction négative −3/4 peut être interprétée comme une dette dont la valeur est égale à 3/4. Dans une direction horizontale et vers la droite, les fractions négatives sont situées à gauche de l'origine. Les points de la droite dont les coordonnées sont la fraction positive m/n et la fraction négative −m/n, sont situés à la même distance de l'origine, mais de côtés opposés du point O. Ici, il convient de mentionner les fractions de la forme 0/n. Ces fractions sont égales au nombre zéro, c'est-à-dire 0/n=0. Les fractions positives, les fractions négatives et les fractions 0/n se combinent pour former des nombres rationnels. Nous avons déjà discuté ci-dessus d'une action avec des fractions ordinaires - comparer des fractions. Quatre autres fonctions arithmétiques sont définies opérations avec des fractions– additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions. Regardons chacun d'eux. L'essence générale des opérations avec des fractions est similaire à l'essence des opérations correspondantes avec des nombres naturels. Faisons une analogie. Multiplier des fractions peut être considéré comme l’action de trouver une fraction à partir d’une fraction. Pour clarifier, donnons un exemple. Prenons 1/6 de pomme et nous devons en prendre les 2/3. La partie dont nous avons besoin est le résultat de la multiplication des fractions 1/6 et 2/3. Le résultat de la multiplication de deux fractions ordinaires est une fraction ordinaire (qui, dans un cas particulier, est égale à un nombre naturel). Ensuite, nous vous recommandons d'étudier les informations contenues dans l'article Multiplier des fractions - Règles, exemples et solutions. Bibliographie. Nous utilisons des fractions tout le temps dans la vie. Par exemple, lorsque nous mangeons du gâteau avec des amis. Le gâteau peut être divisé en 8 parts égales ou 8 actions. Partager- C'est une partie égale de quelque chose d'entier. Quatre amis ont mangé un morceau de gâteau. Quatre extraits de huit morceaux peuvent être écrits mathématiquement sous la forme fraction commune\(\frac(4)(8)\), la fraction « quatre huitièmes » ou « quatre divisé par huit » est lue. Une fraction commune est également appelée fraction simple. La barre de fraction remplace la division : 4 – numérateur ou dividende, est situé au-dessus de la ligne fractionnaire et indique combien de parts ou d'actions ont été prélevées sur le total. Si nous regardons attentivement, nous verrons que les amis ont mangé la moitié du gâteau ou une partie de deux. Écrivons-le sous la forme d'une fraction ordinaire \(\frac(1)(2)\), lisons « une seconde ». Regardons un autre exemple : Deux parties ont été repeintes, et il y a cinq parties au total, donc la fraction ressemblera à \(\frac(2)(5)\), lue comme « deux cinquièmes ». Divisons le carré en carrés plus petits et notons les fractions pour les parties ombrées et non ombrées. Il y a 6 pièces peintes, et il y a 25 pièces au total. On obtient la fraction \(\frac(6)(25)\) , la fraction se lit « six vingt-cinquièmes ». Il y a 4 parties peintes, et il y a 25 parties au total. On obtient la fraction \(\frac(4)(25)\), la fraction se lit « quatre vingt-cinquièmes ». Tout nombre naturel peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple: \(5 = \frac(5)(1)\) Tout nombre est divisible par un, ce nombre peut donc être représenté sous forme de fraction. Questions sur le thème « fractions communes » :
Que montre le dénominateur ? Que montre le numérateur ? La route faisait 100 m. Misha a marché 31 m. Écrivez l'expression sous forme de fraction : quelle distance Misha a-t-il parcourue ? Qu'est-ce qu'une fraction commune ? Comment convertir un nombre naturel en fraction commune ? Tache 1:
Solution: Ils ont coupé des melons \(\frac(2)(9)\) pour Misha. Le dénominateur contient le chiffre 9, ce qui signifie que le melon est divisé en 9 parties. Pour trouver la masse de melon restante, il faut soustraire la masse mangée de la masse totale du melon. Fractions positives et négatives
Opérations avec des fractions
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Nous avons noté les actions en fractions. Sous forme littérale, cela ressemblera à ceci :
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)
8 – dénominateur ou diviseur, est situé sous la ligne de fraction et indique le nombre total de parts ou d'actions.
Il y a un carré. Le carré était divisé en 5 parties égales. Deux parties ont été repeintes. Écrivez la fraction pour les parties ombrées ? Notez la fraction pour les parties non ombrées ?
Trois parties n'ont pas été repeintes, il y a cinq parties au total, donc nous écrivons la fraction sous la forme \(\frac(3)(5)\), la fraction se lit « trois cinquièmes ».
Il y a 19 pièces non repeintes, mais un total de 25 pièces. On obtient la fraction \(\frac(19)(25)\), la fraction se lisant « dix-neuf vingt-cinquièmes ».
Il y a 21 pièces non repeintes, mais un total de 25 pièces. On obtient la fraction \(\frac(21)(25)\), la fraction se lit « vingt et un vingt-cinquièmes ».
\(\bf m = \frac(m)(1)\)
Qu'est-ce qu'une part ?
Répondre: partager- C'est une partie égale de quelque chose d'entier.
Réponse : le dénominateur indique en combien de parties ou de parts le total est divisé.
Réponse : le numérateur indique combien de parts ou d'actions ont été prises.
Réponse :\(\frac(31)(100)\)
Réponse : Une fraction courante est le rapport du numérateur au dénominateur, où le numérateur est inférieur au dénominateur. Exemple, fractions ordinaires \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)
Réponse : n'importe quel nombre peut être écrit sous forme de fraction, par exemple \(5 = \frac(5)(1)\)
Nous avons acheté 2 kg 700 g de melon. Ils ont coupé des melons \(\frac(2)(9)\) pour Misha. Quelle est la masse de la pièce découpée ? Combien de grammes de melon reste-t-il ?
Convertissons les kilogrammes en grammes.
2kg = 2000g
2000g + 700g = 2700g du poids total d'un melon.
2700 : 9 = 300 g de poids d'une seule pièce.
Le numérateur contient le chiffre 2, ce qui signifie que vous devez donner deux pièces à Misha.
300 + 300 = 600 g ou 300 ⋅ 2 = 600 g, c'est la quantité de melon que Misha a mangée.
2700 - 600 = 2100g de melon restant.
