.

I.M. Vinogradov.

1977-1985.

- (du latin extremum extreme) la valeur d'une fonction continue f (x), qui est soit un maximum, soit un minimum. Plus précisément : une fonction f (x) continue en un point x0 a un maximum (minimum) en x0 s'il existe un voisinage (x0 + δ, x0 δ) de ce point,... ... Grande Encyclopédie Soviétique

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Branche des mathématiques consacrée à l'étude des méthodes permettant de trouver des extrema de fonctionnelles qui dépendent du choix d'une ou plusieurs fonctions sous divers types de restrictions (phase, différentielle, intégrale, etc.) imposées à celles-ci. Encyclopédie mathématique

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Livres

• Cours sur la théorie du contrôle. Tome 2. Contrôle optimal, V. Boss. Les problèmes classiques de la théorie du contrôle optimal sont considérés. La présentation commence par les concepts de base de l'optimisation dans les espaces de dimension finie : extremum conditionnel et inconditionnel,...

Soit la fonction z - /(x, y) définie dans un domaine D et soit Mo(xo, Vo) un point intérieur de ce domaine. Définition. S'il existe un nombre tel que pour tous satisfaisant les conditions l'inégalité est vraie, alors le point Mo(xo, y) est appelé le point maximum local de la fonction f(x, y) ; si pour tout Dx, Du, satisfaisant les conditions | alors le point Mo(xo,yo) est appelé un minimum local mince. Autrement dit, le point M0(x0, y0) est un point de maximum ou de minimum de la fonction /(x, y) s'il existe un 6-voisinage du point A/o(x0, y0) tel que du tout points M(x, y) de celui-ci dans le voisinage, l'incrément de la fonction garde son signe. Exemples. 1. Pour le point de fonction - point minimum (Fig. 17). 2. Pour la fonction, le point 0(0,0) est le point maximum (Fig. 18). 3. Pour une fonction, le point 0(0,0) est un point maximum local. 4 En effet, il existe un voisinage du point 0(0, 0), par exemple un cercle de rayon j (voir Fig. 19), en tout point duquel, différent du point 0(0,0), le valeur de la fonction /(x,y) inférieure à 1 = Nous ne considérerons que les points de strict maximum et minimum des fonctions lorsque l'inégalité stricte ou l'inégalité stricte est satisfaite pour tous les points M(x) y) d'un 6-voisinage perforé de le point Mq. La valeur d'une fonction au point maximum est appelée le maximum, et la valeur de la fonction au point minimum est appelée le minimum de cette fonction. Les points maximum et minimum d'une fonction sont appelés points extremum de la fonction, et les maximums et minimums de la fonction elle-même sont appelés ses extrema. 18 Fig. 20 dérivées immt qui deviennent nulles à. Mais cette fonction est mince sur l'imvat du strum.< 0. Если же то в точке Мо(жо> L'extremum de la fonction f(x, y) peut exister ou non. Dans ce cas, des recherches plus approfondies sont nécessaires. m Limitons-nous à prouver les énoncés 1) et 2) du théorème. Écrivons la formule de Taylor du second ordre pour la fonction /(i, y) : où. D'après la condition, on voit que le signe de l'incrément D/ est déterminé par le signe du trinôme du côté droit de (1), c'est-à-dire le signe de la deuxième différentielle d2f. Notons-le par souci de concision. Alors l'égalité (l) peut s'écrire ainsi : Soit au point MQ(donc, V0) on a... Puisque, par condition, les dérivées partielles du second ordre de la fonction f(s, y) sont continues, alors l'inégalité (3) sera également valable à un certain voisinage du point M0(s0,yo). Si la condition est satisfaite (au point А/0, et en vertu de la continuité, la dérivée /,z(s,y) conservera son signe dans un certain voisinage du point Af0. Dans la région où А Ф 0, nous avons. Il en ressort clairement que si ЛС - В2 > 0 dans un certain voisinage du point M0(x0) y0), alors le signe du trinôme AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 coïncide avec le signe de A au point (donc, V0) (ainsi qu'avec le signe de C, puisque pour AC - B2 > 0 A et C ne peuvent pas avoir de signes différents). Puisque le signe de la somme AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 au point (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) détermine le signe de la différence, on arrive à la conclusion suivante : si pour la fonction /(s,y) à la condition de point stationnaire (s0, V0), puis pour || suffisamment petit l’inégalité sera satisfaite. Ainsi, au point (sq, V0) la fonction /(s, y) a un maximum. Si la condition est satisfaite au point stationnaire (s0, y0), alors pour tout |Dr| suffisamment petit et |Du| l'inégalité est vraie, ce qui signifie qu'au point (so,yo) la fonction /(s, y) a un minimum. Exemples. 1. Étudier la fonction pour un extremum 4 En utilisant les conditions nécessaires pour un extremum, nous recherchons les points stationnaires de la fonction. Pour ce faire, nous trouvons les dérivées partielles u et les assimilons à zéro. On obtient un système d'équations d'où - un point stationnaire. Utilisons maintenant le théorème 12. Nous avons Cela signifie qu'il y a un extremum au point Ml. Parce que c'est le minimum. Si l'on transforme la fonction r en forme, il est facile de voir que le côté droit («) sera minimal quand est le minimum absolu de cette fonction. 2. Étudiez la fonction pour l'extremum. Nous trouvons les points stationnaires de la fonction, pour lesquels nous composons donc un système d'équations, de sorte que le point soit stationnaire. Puisque, en vertu du théorème 12, il n’y a pas d’extremum au point M. * 3. Examinez l'extremum de la fonction. Trouvez les points stationnaires de la fonction. À partir du système d’équations, nous obtenons cela, donc le point est stationnaire. De plus, nous constatons que le théorème 12 ne répond pas à la question de la présence ou de l’absence d’un extremum. Faisons-le de cette façon. Pour une fonction sur tous les points différents du point so, par définition, et du point A/o(0,0) la fonction r a un minimum absolu. Par des calculs similaires, nous établissons que la fonction a un maximum au point, mais la fonction n'a pas d'extremum au point. Soit une fonction de n variables indépendantes dérivable en un point. Le point Mo est appelé point stationnaire de la fonction si le théorème 13 (à des conditions suffisantes pour un extremum près). Soit la fonction définie et ayant des dérivées partielles continues du second ordre dans un certain voisinage de la fine Mt(xi..., qui est une fonction fine stationnaire si la forme quadratique (la différentielle seconde de la fonction f dans la fine est positive défini (défini négatif), le point minimum (respectivement maximum fin) de la fonction f est bien. Si la forme quadratique (4) est à signe alterné, alors il n'y a pas d'extremum dans la fine LG0. la forme quadratique (4) est définie positive ou négative, vous pouvez utiliser, par exemple, le critère de Sylvester pour positif (négatif) la certitude de la forme quadratique 15.2. Jusqu'à présent, nous avons recherché les extrema locaux de. une fonction dans tout le domaine de sa définition, lorsque les arguments de la fonction ne sont liés par aucune condition supplémentaire. De tels extrema sont appelés inconditionnels. Cependant, des problèmes de recherche d'extrema dits conditionnels sont souvent rencontrés. (x, y) soit défini dans le domaine D. Supposons qu'une courbe L soit donnée dans ce domaine, et il faut trouver les extrema de la fonction f(x> y) uniquement parmi celles de ses valeurs qui correspondent aux points de la courbe L. Les mêmes extrema sont appelés extrema conditionnels de la fonction z = f(x) y) sur la courbe L. Définition On dit qu'en un point situé sur la courbe L, la fonction f(x , y) a un maximum (minimum) conditionnel si l'inégalité est satisfaite en tous les points M (s, y) y) courbe L, appartenant à un certain voisinage du point M0(x0, V0) et différent du point M0 (Si la courbe L est donnée par une équation, alors le problème est de trouver l'extremum conditionnel de la fonction r - f(x,y) sur la courbe ! peut être formulé comme suit : trouver les extrema de la fonction x = /(z, y) dans la région D, à condition que Ainsi, lors de la recherche des extrema conditionnels de la fonction z = y), les arguments du gnu ne peuvent plus être considérées comme des variables indépendantes : elles sont liées entre elles par la relation y ) = 0, appelée équation de couplage. Pour clarifier la distinction entre extremum inconditionnel et conditionnel, regardons un exemple, le maximum inconditionnel d’une fonction (Fig. 23) est égal à un et est atteint au point (0,0). Cela correspond au point M - le sommet du pvvboloïde Ajoutons l'équation de connexion y = j. Alors le maximum conditionnel lui sera évidemment égal. Il est atteint au point (o,|), et il correspond au sommet Afj de la balle, qui est la ligne d'intersection de la balle avec le plan y = j. Dans le cas d'un mvximum inconditionnel, on a un mvximum applicable parmi tous les vpplicvt de la surface * = 1 - l;2 ~ y1; sommvv conditionnel - uniquement parmi tous les points du pvraboloïdev, correspondant au point * de la droite y = j non du plan xOy. L'une des méthodes pour trouver l'extremum conditionnel d'une fonction en présence et en connexion est la suivante. La question de l'existence et de la nature de l'extremum conditionnel est résolue sur la base de l'étude du signe de la différentielle seconde de la fonction de Lagrange pour le système de valeurs considéré x0, V0, A, obtenu à partir de (8) à condition que Si , alors au point (x0, V0) la fonction /(x, y ) a un maximum conditionnel ; si d2F > 0 - alors un minimum conditionnel. En particulier, si en un point stationnaire (xo, J/o) le déterminant D de la fonction F(x, y) est positif, alors au point (®o, V0) il existe un maximum conditionnel de la fonction f( x, y), if et minimum conditionnel de la fonction /(x, y), if Exemple. Revenons aux conditions de l'exemple précédent : trouver l'extremum de la fonction sous la condition que x + y = 1. Nous résoudrons le problème en utilisant la méthode du multiplicateur de Lagrange. La fonction de Lagrange dans ce cas a la forme Pour trouver des points stationnaires, on compose un système A partir des deux premières équations du système, on obtient que x = y. Ensuite, à partir de la troisième équation du système (équation de connexion), nous trouvons que x - y = j sont les coordonnées du point extremum possible. Dans ce cas (il est indiqué que A = -1. Ainsi, la fonction de Lagrange. est le point minimum conditionnel de la fonction * = x2 + y2 sous la condition Il n'y a pas d'extremum inconditionnel pour la fonction de Lagrange. P(x, y ) ne signifie pas encore l'absence d'extremum conditionnel pour la fonction /(x, y) en présence d'une connexion Exemple Trouver l'extremum d'une fonction sous la condition y 4 Nous composons la fonction de Lagrange et écrivons un système pour. déterminer A et les coordonnées des points extremum possibles : A partir des deux premières équations on obtient x + y = 0 et on arrive au système d'où x = y = A = 0. Ainsi, la fonction de Lagrange correspondante a la forme Au point (0,0), la fonction F(x, y; 0) n'a pas d'extremum inconditionnel, mais il existe un extremum conditionnel de la fonction r = xy lorsque y = x. En effet, dans ce cas r = x2. ici il est clair qu'au point (0,0) il y a un minimum conditionnel "La méthode des multiplicateurs de Lagrange est étendue au cas des fonctions de n'importe quel nombre d'arguments. Cherchons l'extremum de la fonction en présence de équations de connexion. Composons la fonction de Lagrange où. A|, Az,..., A„, sont des facteurs constants indéfinis. En égalisant à zéro toutes les dérivées partielles du premier ordre de la fonction F et en ajoutant les équations de connexion (9) aux équations résultantes, nous obtenons un système de n + m équations, à partir desquelles nous déterminons Ab A3|..., At et coordonnées x \)x2). » xn de points possibles d'extremum conditionnel. La question de savoir si les points trouvés par la méthode de Lagrange sont réellement des points d'un extremum conditionnel peut souvent être résolue sur la base de considérations de nature physique ou géométrique. 15.3. Les valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions continues Soit nécessaire de trouver la plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction z = /(x, y), continue dans un domaine limité fermé D. Selon le théorème 3, dans cette région il existe un point (xo, V0) auquel la fonction prend la plus grande (la plus petite) valeur. Si le point (xo, y0) se situe à l'intérieur du domaine D, alors la fonction / a un maximum (minimum), donc dans ce cas le point qui nous intéresse est contenu parmi les points critiques de la fonction /(x, y). Cependant, la fonction /(x, y) peut atteindre sa plus grande (plus petite) valeur à la limite de la région. Par conséquent, afin de trouver la plus grande (la plus petite) valeur prise par la fonction z = /(x, y) dans une zone fermée limitée 2), vous devez trouver tous les maxima (minimum) de la fonction atteints à l'intérieur de cette zone, ainsi que la plus grande (la plus petite) valeur de la fonction en bordure de cette zone. Le plus grand (le plus petit) de tous ces nombres sera la plus grande (la plus petite) valeur souhaitée de la fonction z = /(x,y) dans la région 27. Montrons comment cela se fait dans le cas d'une fonction différentiable. Prmmr. Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction de la région 4. Nous trouvons les points critiques de la fonction à l'intérieur de la région D. Pour ce faire, nous composons un système d'équations. De là, nous obtenons x = y « 0, de sorte que. le point 0 (0,0) est le point critique de la fonction x. Puisque Trouvons maintenant les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur la frontière Г du domaine D. Sur une partie de la frontière nous avons que y = 0 est un point critique, et puisque = alors à ce stade la fonction z = 1 + y2 a un minimum égal à un. Aux extrémités du segment Г", aux points (, nous avons. En utilisant des considérations de symétrie, nous obtenons les mêmes résultats pour les autres parties de la frontière. Nous obtenons finalement : la plus petite valeur de la fonction z = x2+y2 dans la région "B est égal à zéro et il est atteint au point interne 0( 0, 0), et la valeur maximale de cette fonction, égale à deux, est atteinte en quatre points de la frontière (Fig. 25) Fig. 25 Exercices Trouver le domaine de définition des fonctions : Construire les droites de niveau des fonctions : 9 Trouver les surfaces de niveau des fonctions de trois variables indépendantes : Calculer les fonctions limites : Trouver les dérivées partielles des fonctions et leurs différentielles totales : Trouver les dérivées des fonctions complexes fonctions : 3 Trouver J. Extremum d'une fonction de plusieurs variables Notion d'extremum d'une fonction de plusieurs variables Conditions nécessaires et suffisantes pour un extremum Extremum conditionnel Les valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions continues 34. Utilisation de la formule de la dérivée de une fonction complexe. deux variables, trouver et fonctions : 35. En utilisant la formule de la dérivée d'une fonction complexe de deux variables, trouver |J et fonctions : Trouver les fonctions jj données implicitement : 40. Trouver la pente de la courbe tangente à la point de son intersection avec la droite x = 3. 41. Trouvez les points auxquels la tangente de la courbe x est parallèle à l'axe Ox. . Dans les problèmes suivants, trouvez et T : Écrivez les équations du plan tangent et de la normale à la surface : 49. Écrivez les équations des plans tangents à la surface x2 + 2y2 + 3z2 = 21, parallèles au plan x + 4y + 6z = 0. Trouvez les trois ou quatre premiers termes du développement à l'aide de la formule de Taylor : 50. y au voisinage du point (0, 0).

Extrémum conditionnel.

Extrema d'une fonction de plusieurs variables

Méthode des moindres carrés.

Extremum local du FNP

Soit la fonction donnée Et= f(P), ÎDÌR n et soit le point P 0 ( UN 1 , UN 2 , ..., un p) –interne point de l'ensemble D.

Définition 9.4.

1) Le point P 0 est appelé point maximum fonctions Et= f(P), s'il existe un voisinage de ce point U(P 0) М D tel que pour tout point P( X 1 , X 2 , ..., xn)О U(P 0) , Р¹Р 0 , la condition est satisfaite f(P)£ f(P0) . Signification f(P 0) la fonction au point maximum est appelée maximum de la fonction et est désigné f(P0) = maximum f(P) .

2) Le point P 0 est appelé point minimum fonctions Et= f(P), s'il existe un voisinage de ce point U(P 0)Ì D tel que pour tout point P( X 1 , X 2 , ..., xn)ОU(P 0), Р¹Р 0 , la condition est satisfaite f(P)³ f(P0) . Signification f(P 0) la fonction au point minimum est appelée fonction minimale et est désigné f(P 0) = min f(P).

Les points minimum et maximum d'une fonction sont appelés points extrêmes, les valeurs de la fonction aux points extrema sont appelées extrema de la fonction.

Comme il ressort de la définition, les inégalités f(P)£ f(P0) , f(P)³ f(P 0) ne doit être satisfait que dans un certain voisinage du point P 0, et non dans tout le domaine de définition de la fonction, ce qui signifie que la fonction peut avoir plusieurs extrema du même type (plusieurs minima, plusieurs maxima) . Par conséquent, les extrema définis ci-dessus sont appelés locale extrêmes (locales).

Théorème 9.1 (condition nécessaire pour l'extremum du FNP)

Si la fonction Et= f(X 1 , X 2 , ..., xn) a un extremum au point P 0 , alors ses dérivées partielles du premier ordre en ce point sont soit égales à zéro, soit n'existent pas.

Preuve. Soit au point P 0 ( UN 1 , UN 2 , ..., un p) fonction Et= f(P) a un extremum, par exemple un maximum. Réparons les arguments X 2 , ..., xn, mettant X 2 =UN 2 ,..., xn = un p. Alors Et= f(P) = f 1 ((X 1 , UN 2 , ..., un p) est fonction d'une variable X 1. Puisque cette fonction a X 1 = UN 1 extremum (maximum), puis f 1 ¢=0ou n'existe pas lorsque X 1 =UN 1 (une condition nécessaire à l'existence d'un extremum d'une fonction d'une variable). Mais cela signifie ou n'existe pas au point P 0 - le point extremum. De même, on peut considérer des dérivées partielles par rapport à d'autres variables. CTD.

Les points dans le domaine d'une fonction auxquels les dérivées partielles du premier ordre sont égales à zéro ou n'existent pas sont appelés points critiques cette fonction.

Comme il ressort du théorème 9.1, les points extremum du FNP doivent être recherchés parmi les points critiques de la fonction. Mais, comme pour une fonction d’une variable, tous les points critiques ne sont pas des points extrêmes.

Théorème 9.2 (condition suffisante pour l'extremum du FNP)

Soit P 0 le point critique de la fonction Et= f(P) et est la différentielle du second ordre de cette fonction. Alors

a) si d 2 toi(P 0) > 0 à , alors P 0 est un point minimum fonctions Et= f(P);

b) si d 2 toi(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum fonctions Et= f(P);

c) si d 2 toi(P 0) n'est pas défini par un signe, alors P 0 n'est pas un point extremum ;

Nous considérerons ce théorème sans preuve.

Notez que le théorème ne considère pas le cas où d 2 toi(P 0) = 0 ou n'existe pas. Cela signifie que la question de la présence d'un extremum au point P 0 dans de telles conditions reste ouverte - des recherches supplémentaires sont nécessaires, par exemple une étude de l'incrément de la fonction en ce point.

Dans des cours de mathématiques plus approfondis, il est prouvé que, notamment pour la fonction z = f(x,oui) de deux variables dont la différentielle du second ordre est une somme de la forme

l'étude de la présence d'un extremum au point critique P 0 peut être simplifiée.

Notons , , . Composons un déterminant

.

Il s'avère :

d 2 z> 0 au point P 0, c'est-à-dire P 0 – point minimum, si UN(P 0) > 0 et D(P 0) > 0 ;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если UN(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

si D(P 0)< 0, то d 2 z au voisinage du point P 0 il change de signe et il n'y a pas d'extremum au point P 0 ;

si D(Р 0) = 0, alors des études complémentaires de la fonction au voisinage du point critique Р 0 sont également nécessaires.

Ainsi, pour la fonction z = f(x,oui) de deux variables, nous avons l’algorithme suivant (appelons-le « algorithme D ») pour trouver un extremum :

1) Trouver le domaine de définition D( f) fonctions.

2) Trouver les points critiques, c'est-à-dire points de D( f), pour lesquels et sont égaux à zéro ou n'existent pas.

3) A chaque point critique P 0, vérifier les conditions suffisantes pour l'extremum. Pour ce faire, recherchez , où , , et calculez D(P 0) et UN(P 0). Alors :

si D(P 0) >0, alors au point P 0 il y a un extremum, et si UN(P 0) > 0 – alors c'est le minimum, et si UN(P0)< 0 – максимум;

si D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Si D(P 0) = 0, des recherches supplémentaires sont nécessaires.

4) Aux points extremum trouvés, calculez la valeur de la fonction.

Exemple 1.

Trouver l'extremum de la fonction z = x 3 + 8oui 3 – 3xy .

Solution. Le domaine de définition de cette fonction est l'ensemble du plan de coordonnées. Trouvons les points critiques.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Vérifions si les conditions suffisantes pour l'extremum sont remplies. Nous trouverons

6X, = -3, = 48à Et = 288xy – 9.

Alors D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – au point Р 1 il y a un extremum, et puisque UN(P 1) = 3 >0, alors cet extremum est un minimum. Alors min z=z(P1) = .

Exemple 2.

Trouver l'extremum de la fonction .

Solution : D( f) = R 2 . Points critiques : ; n'existe pas quand à= 0, ce qui signifie que P 0 (0,0) est le point critique de cette fonction.

2, = 0, = , = , mais D(P 0) n'est pas défini, donc étudier son signe est impossible.

Pour la même raison, il est impossible d'appliquer directement le théorème 9.2 - d 2 z n'existe pas à ce stade.

Considérons l'incrément de la fonction f(x, oui) au point P 0 . Si D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, alors P 0 est le point minimum, mais si D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Dans notre cas nous avons

D f = f(x, oui) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D oui) – f(0, 0) = .

En D x= 0,1 et D oui= -0,008 on obtient D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 et D oui= 0,001D f= 0,01 + 0,1 > 0, soit au voisinage du point P 0 aucune des deux conditions D n'est remplie f <0 (т.е. f(x, oui) < f(0, 0) et donc P 0 n'est pas un point maximum), ni la condition D f>0 (c'est-à-dire f(x, oui) > f(0, 0) et alors P 0 n'est pas un point minimum). Cela signifie que, par définition d’un extremum, cette fonction n’a pas d’extremum.

Extrémum conditionnel.

L’extremum considéré de la fonction est appelé inconditionnel, puisqu'aucune restriction (condition) n'est imposée sur les arguments de la fonction.

Définition 9.2. Extremum de la fonction Et = f(X 1 , X 2 , ... , xn), constaté à la condition que ses arguments X 1 , X 2 , ... , xn satisfaire les équations j 1 ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …,j T(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, où P ( X 1 , X 2 , ... , xn) О D( f), appelé conditionnel extrême .

Équations j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., m, sont appelés équations de connexion.

Regardons les fonctions z = f(x,oui) deux variables. Si l'équation de connexion est une, c'est-à-dire , alors trouver un extremum conditionnel signifie que l'extremum n'est pas recherché dans tout le domaine de définition de la fonction, mais sur une courbe située dans D( f) (c'est-à-dire que ce ne sont pas les points les plus hauts ou les plus bas de la surface qui sont recherchés z = f(x,oui), et les points les plus hauts ou les plus bas parmi les points d'intersection de cette surface avec le cylindre, Fig. 5).

Extremum conditionnel d'une fonction z = f(x,oui) de deux variables peut être trouvé de la manière suivante( méthode d'élimination). A partir de l'équation, exprimez l'une des variables en fonction d'une autre (par exemple, écrivez ) et, en substituant cette valeur de la variable dans la fonction, écrivez cette dernière en fonction d'une variable (dans le cas considéré ). Trouvez l'extremum de la fonction résultante d'une variable.

Extréma de fonctions de plusieurs variables. Une condition nécessaire pour un extremum. Condition suffisante pour un extremum. Extrémum conditionnel. Méthode du multiplicateur de Lagrange. Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites.

Conférence 5.

Définition 5.1. Point M 0 (x 0, y 0) appelé point maximum fonctions z = f (x, y), Si f (x o , y o) > f(x,y) pour tous les points (x, y) M 0.

Définition 5.2. Point M 0 (x 0, y 0) appelé point minimum fonctions z = f (x, y), Si f (x o , y o) < f(x,y) pour tous les points (x, y) d'un certain quartier d'un point M 0.

Remarque 1. Les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes fonctions de plusieurs variables.

Remarque 2. Le point extrême pour une fonction d'un nombre quelconque de variables est déterminé de la même manière.

Théorème 5.1(conditions nécessaires pour un extremum). Si M 0 (x 0, y 0)– point extrême de la fonction z = f (x, y), alors à ce stade, les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction sont égales à zéro ou n'existent pas.

Preuve.

Fixons la valeur de la variable à, en comptant oui = oui 0. Alors la fonction f (x, y 0) sera fonction d'une variable X, pour lequel x = x0 est le point extrême. Donc, d'après le théorème de Fermat, ou n'existe pas. La même affirmation est prouvée de la même manière pour .

Définition 5.3. Les points appartenant au domaine d'une fonction de plusieurs variables pour lesquels les dérivées partielles de la fonction sont égales à zéro ou n'existent pas sont appelés points fixes cette fonction.

Commentaire. Ainsi, l'extremum ne peut être atteint qu'en des points fixes, mais il n'est pas nécessairement observé en chacun d'eux.

Théorème 5.2(conditions suffisantes pour un extremum). Laissez entrer un certain quartier du point M 0 (x 0, y 0), qui est un point stationnaire de la fonction z = f (x, y), cette fonction a des dérivées partielles continues jusqu'au 3ème ordre inclus. Notons alors :

1) f(x,y) a au point M 0 maximum si AC-B² > 0, UN < 0;

2) f(x,y) a au point M 0 minimum si AC-B² > 0, UN > 0;

3) il n'y a pas d'extremum au point critique si AC-B² < 0;

4) si AC-B² = 0, des recherches supplémentaires sont nécessaires.

Preuve.

Écrivons la formule de Taylor du second ordre pour la fonction f(x,y), en rappelant qu'en un point stationnaire les dérivées partielles du premier ordre sont égales à zéro :

Où Si l'angle entre le segment M 0 M, Où M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ à), et l'axe O X désignent φ, alors Δ X =Δ ρ parce que φ, Δ y=Δρsinφ. Dans ce cas, la formule de Taylor prendra la forme : . Soit Alors nous pouvons diviser et multiplier l'expression entre parenthèses par UN. On obtient :

Considérons maintenant quatre cas possibles :

1) AC-B² > 0, UN < 0. Тогда , и à Δρ suffisamment petit. Ainsi, dans certains quartiers M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , oui 0), c'est M 0– point maximum.

2) Laissez AC-B² > 0, UNE > 0. Alors , Et M 0– point minimum.

3) Laissez AC-B² < 0, UN> 0. Considérons l'incrément des arguments le long du rayon φ = 0. Alors de (5.1) il s'ensuit que , c'est-à-dire qu'en se déplaçant le long de ce rayon, la fonction augmente. Si on se déplace le long d'un rayon tel que tg 0 = -A/B, Que , donc, en se déplaçant le long de ce rayon, la fonction diminue. Alors, point final M 0 n'est pas un point extrême.

3`) Quand AC-B² < 0, UN < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

semblable au précédent.

3``) Si AC-B² < 0, UN= 0, alors . En même temps. Alors pour φ suffisamment petit l’expression 2 B cosφ + C sinφ est proche de 2 DANS, c'est-à-dire qu'il conserve un signe constant, mais sinφ change de signe au voisinage du point M0. Cela signifie que l'incrément de la fonction change de signe au voisinage d'un point stationnaire, qui n'est donc pas un point extremum.

4) Si AC-B² = 0, et , , c'est-à-dire que le signe de l'incrément est déterminé par le signe de 2α 0. Parallèlement, des recherches plus approfondies sont nécessaires pour clarifier la question de l’existence d’un extremum.

Exemple. Trouvons les points extremum de la fonction z = x² - 2 xy + 2oui² + 2 X. Pour trouver des points stationnaires, on résout le système . Le point stationnaire est donc (-2,-1). En même temps UNE = 2, DANS = -2, AVEC= 4. Alors AC-B² = 4 > 0, donc en un point stationnaire un extremum est atteint, à savoir un minimum (puisque UN > 0).

Définition 5.4. Si les arguments de la fonction f (x 1 , x 2 ,…, xn) sont liés par des conditions supplémentaires sous la forme méquations ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, xn) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, xn) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, xn) = 0, (5.2)

où les fonctions φ i ont des dérivées partielles continues, alors les équations (5.2) sont appelées équations de connexion.

Définition 5.5. Extremum de la fonction f (x 1 , x 2 ,…, xn) lorsque les conditions (5.2) sont remplies, on l'appelle conditionnel extrême.

Commentaire. Nous pouvons proposer l'interprétation géométrique suivante de l'extremum conditionnel d'une fonction à deux variables : soit les arguments de la fonction f(x,y) lié par l'équation φ (x,y)= 0, définissant une courbe dans le plan O xy. Reconstruire les perpendiculaires au plan O à partir de chaque point de cette courbe xy jusqu'à ce qu'il croise la surface z = f (x,y), on obtient une courbe spatiale située sur la surface au-dessus de la courbe φ (x,y)= 0. La tâche est de trouver les points extrêmes de la courbe résultante, qui, bien entendu, dans le cas général ne coïncident pas avec les points extrêmes inconditionnels de la fonction f(x,y).

Déterminons les conditions nécessaires pour un extremum conditionnel pour une fonction de deux variables en introduisant d'abord la définition suivante :

Définition 5.6. Fonction L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Où λi – certains sont constants, appelés Fonction de Lagrange, et les chiffres λi– multiplicateurs de Lagrange indéfinis.

Théorème 5.3(conditions nécessaires pour un extremum conditionnel). Extremum conditionnel d'une fonction z = f (x, y) en présence de l'équation de couplage φ ( x, y)= 0 ne peut être obtenu qu'aux points stationnaires de la fonction de Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Preuve. L'équation de couplage spécifie une relation implicite à depuis X, nous supposerons donc que à il y a une fonction de X: y = y(x). Alors z il existe une fonction complexe de X, et ses points critiques sont déterminés par la condition : . (5.4) De l’équation de couplage, il résulte que . (5.5)

Multiplions l'égalité (5.5) par un certain nombre λ et ajoutons-le à (5.4). On obtient :

, ou .

La dernière égalité doit être satisfaite en points stationnaires, d'où il résulte :

(5.6)

Un système de trois équations à trois inconnues est obtenu : x, y et λ, et les deux premières équations sont les conditions du point stationnaire de la fonction de Lagrange. En éliminant l'inconnue auxiliaire λ du système (5.6), nous trouvons les coordonnées des points auxquels la fonction originale peut avoir un extremum conditionnel.

Remarque 1. La présence d'un extremum conditionnel au point trouvé peut être vérifiée en étudiant les dérivées partielles du second ordre de la fonction de Lagrange par analogie avec le théorème 5.2.

Remarque 2. Points auxquels l'extremum conditionnel de la fonction peut être atteint f (x 1 , x 2 ,…, xn) lorsque les conditions (5.2) sont remplies, peuvent être définies comme des solutions du système (5.7)

Exemple. Trouvons l'extremum conditionnel de la fonction z = xyétant donné que x + y= 1. Composons la fonction de Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Le système (5.6) ressemble à ceci :

Où -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. En même temps L(x,y) peut être représenté sous la forme L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, donc au point stationnaire trouvé L(x,y) a un maximum et z = xy – maximum conditionnel.