1. Donnons une matrice de classement. Introduisons la notation suivante pour les mineurs principaux successifs de cette matrice :

Supposons que les conditions de faisabilité de l’algorithme gaussien soient remplies :

Désignons par la matrice de coefficients le système d'équations (18), auquel se réduit le système d'équations

Méthode d'élimination gaussienne. La matrice a une forme triangulaire supérieure, et les éléments de ses premières lignes sont déterminés par les formules (13), et les éléments des dernières lignes sont tous égaux à zéro :

Le passage de matrice en matrice s'effectuait à l'aide d'un certain nombre d'opérations du type suivant : la ème ligne de la matrice était ajoutée à la ème (ème) ligne, préalablement multipliée par un certain nombre. Cette opération équivaut à multiplier la matrice transformée à gauche par la matrice

. (31)

Dans cette matrice, la diagonale principale contient des uns et tous les autres éléments, à l'exception de l'élément , sont égaux à zéro.

Ainsi

où chacune des matrices a la forme (31) et est donc une matrice triangulaire inférieure avec des éléments diagonaux égaux à 1.

. (32)

La matrice sera appelée matrice de transformation de la matrice dans la méthode d'élimination gaussienne. Les deux matrices, et , sont déterminées de manière unique en spécifiant la matrice . De (32) il résulte qu'il s'agit d'une matrice triangulaire inférieure avec des éléments diagonaux égaux à 1 (voir page 28).

Puisque est une matrice non singulière, alors à partir de (33) on trouve :

Nous avons représenté la matrice comme le produit d’une matrice triangulaire inférieure et d’une matrice triangulaire supérieure. La question de la factorisation d'une matrice de ce type est complètement éclaircie par le théorème suivant :

Théorème 1. Toute matrice de rang , pour laquelle les premiers yeux mineurs consécutifs sont non nuls,

, (34)

peut être représenté comme le produit d’une matrice triangulaire inférieure et d’une matrice triangulaire supérieure

. (35)

Les premiers éléments diagonaux des matrices peuvent recevoir des valeurs arbitraires qui satisfont aux conditions (36).

Spécifie les premiers éléments diagonaux des matrices et détermine de manière unique les éléments des premières colonnes de la matrice et des r premières lignes de la matrice. Pour ces éléments, les formules suivantes s'appliquent :

, (37)

Dans le cas des dernières colonnes de la matrice, vous pouvez définir tous les éléments sur des zéros différents, et dans les dernières lignes de la matrice donner à tous les éléments des valeurs arbitraires, ou vice versa, remplir les dernières lignes de la matrice avec des zéros, et prenez les dernières colonnes de la matrice de manière arbitraire.

Preuve. La possibilité de représenter une matrice satisfaisant la condition (34) sous la forme d'un produit (35) a été prouvée ci-dessus [voir (33")]

Soit maintenant et des matrices triangulaires inférieures et supérieures arbitraires dont le produit est égal à . En utilisant la formule pour les mineurs du produit de deux matrices, on trouve :

Puisqu'il s'agit d'une matrice triangulaire supérieure, les premières colonnes de la matrice ne contiennent qu'un seul mineur d'ordre non nul . Par conséquent, l’égalité (38) peut s’écrire comme suit :

Mettons-le ici d'abord. On obtient alors :

d'où découlent déjà les relations (36).

Sans violer l'inégalité (35), nous pouvons multiplier la matrice de droite par une matrice diagonale spéciale arbitraire, tout en multipliant simultanément la matrice de gauche par . Cela équivaut à multiplier respectivement les colonnes de la matrice par et les lignes de la matrice par . Par conséquent, les éléments diagonaux , , peuvent recevoir n'importe quelle valeur qui satisfait aux conditions (36).

c'est-à-dire les premières formules (37). Les secondes formules (37) pour les éléments de la matrice sont établies de manière tout à fait similaire.

Faisons attention au fait que lors de la multiplication de matrices, les éléments des dernières colonnes de la matrice et les éléments des dernières lignes de la matrice sont multipliés entre eux. Nous avons vu que tous les éléments des dernières lignes d’une matrice peuvent être choisis nuls. Ensuite les éléments des dernières colonnes de la matrice peuvent être choisis arbitrairement. Il est clair que le produit des matrices ne changera pas si l'on considère que les dernières colonnes de la matrice sont nulles et que les éléments des dernières lignes de la matrice sont arbitraires.

Le théorème a été prouvé.

Un certain nombre de conséquences intéressantes découlent du théorème prouvé.

Corollaire 1. Les éléments des premières colonnes de la matrice et des premières lignes de la matrice sont liés aux éléments de la matrice par des relations de récurrence :

(41)

Les relations (41) découlent directement de l'égalité matricielle (35) et sont pratiques à utiliser pour calculer réellement les éléments des matrices et .

Corollaire 2. Si est une matrice non singulière satisfaisant la condition (34), alors dans la représentation (35) les matrices et sont déterminées de manière unique dès que les éléments diagonaux de ces matrices sont choisis conformément aux conditions (36).

Corollaire 3. Si est une matrice symétrique de rang et

où est la matrice triangulaire inférieure dans laquelle

2. Supposons que dans la représentation (35) la matrice ait des éléments des dernières colonnes égaux à zéro. Ensuite, vous pouvez mettre :

, , (43)

où est la matrice triangulaire inférieure et supérieure ; De plus, les premiers éléments diagonaux des matrices et sont égaux à 1, et les éléments des dernières colonnes de la matrice et des dernières lignes de la matrice sont choisis de manière totalement arbitraire. En substituant dans (35) les expressions (43) pour et et en utilisant les égalités (36), on arrive au théorème suivant :

Théorème 2. Toute matrice de rang pour laquelle

Présentons-le comme le produit d’une matrice triangulaire inférieure, d’une matrice diagonale et d’une matrice triangulaire supérieure :

(44)

, (45)

a , sont arbitraires pour ; .

3. Méthode d'élimination gaussienne, appliquée à une matrice de rangs pour laquelle , nous donne deux matrices : une matrice triangulaire inférieure avec des éléments diagonaux de 1 et une matrice triangulaire supérieure dont les premiers éléments diagonaux sont égaux , et les dernières lignes sont remplies de zéros. - Forme gaussienne de la matrice, - matrice de transformation.

Pour un calcul spécifique d’éléments matriciels, la technique suivante peut être préconisée.

Nous obtiendrons une matrice si nous appliquons à la matrice identité toutes les transformations (précisées par matrices) que nous avons effectuées sur la matrice dans l'algorithme de Gauss (dans ce cas, au lieu d'un produit égal à , nous aurons un produit égal à ) . Par conséquent, nous attribuons la matrice identité à la matrice de droite :

. (46)

En appliquant toutes les transformations de l'algorithme gaussien à cette matrice rectangulaire, on obtient une matrice rectangulaire constituée de deux matrices carrées et :

Ainsi, l'application de l'algorithme gaussien à la matrice (46) donne à la fois matrice et matrice .

Si est une matrice non singulière, c'est-à-dire alors et . Dans ce cas, cela découle de (33). Puisque les matrices sont définies à l'aide de l'algorithme de Gauss, trouver la matrice inverse se réduit à déterminer et multiplier par ., c'est-à-dire les colonnes de la matrice, la matrice coïncide avec , et la matrice coïncide avec la matrice, et donc les formules ( 53) et (54) prennent la forme

Dans ce sujet, nous examinerons le concept de matrice, ainsi que les types de matrices. Comme il y a beaucoup de termes dans ce sujet, j'ajouterai un bref résumé pour faciliter la navigation dans le matériel.

Définition d'une matrice et de son élément. Notation.

Matrice est un tableau de $m$ lignes et $n$ colonnes. Les éléments d'une matrice peuvent être des objets de toute autre nature : des nombres, des variables ou, par exemple, d'autres matrices. Par exemple, la matrice $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ contient 3 lignes et 2 colonnes ; ses éléments sont des entiers. La matrice $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ contient 2 lignes et 4 colonnes.

Différentes manières d'écrire des matrices : show\hide

La matrice peut être écrite non seulement en rond, mais également entre crochets carrés ou doubles. Autrement dit, les entrées ci-dessous désignent la même matrice :

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Le produit $m\times n$ s'appelle taille de la matrice. Par exemple, si une matrice contient 5 lignes et 3 colonnes, alors on parle d'une matrice de taille $5\times 3$. La matrice $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ a la taille $3 \times 2$.

Généralement, les matrices sont désignées par des lettres majuscules de l'alphabet latin : $A$, $B$, $C$ et ainsi de suite. Par exemple, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. La numérotation des lignes va de haut en bas ; colonnes - de gauche à droite. Par exemple, la première ligne de la matrice $B$ contient les éléments 5 et 3, et la deuxième colonne contient les éléments 3, -87, 0.

Les éléments des matrices sont généralement désignés par des lettres minuscules. Par exemple, les éléments de la matrice $A$ sont notés $a_(ij)$. Le double index $ij$ contient des informations sur la position de l'élément dans la matrice. Le nombre $i$ est le numéro de ligne et le nombre $j$ est le numéro de colonne, à l'intersection de laquelle se trouve l'élément $a_(ij)$. Par exemple, à l'intersection de la deuxième ligne et de la cinquième colonne de la matrice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ élément $a_(25)= 59 $ :

De la même manière, à l'intersection de la première ligne et de la première colonne nous avons l'élément $a_(11)=51$ ; à l'intersection de la troisième ligne et de la deuxième colonne - l'élément $a_(32)=-15$ et ainsi de suite. Notez que l'entrée $a_(32)$ se lit « un trois deux », mais pas « un trente-deux ».

Pour abréger la matrice $A$, dont la taille est $m\times n$, la notation $A_(m\times n)$ est utilisée. Vous pouvez l'écrire un peu plus en détail :

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

où la notation $(a_(ij))$ désigne les éléments de la matrice $A$. Dans sa forme entièrement développée, la matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ peut s'écrire comme suit :

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Introduisons un autre terme - matrices égales.

Deux matrices de même taille $A_(m\times n)=(a_(ij))$ et $B_(m\times n)=(b_(ij))$ sont appelées égal, si leurs éléments correspondants sont égaux, c'est-à-dire $a_(ij)=b_(ij)$ pour tous $i=\overline(1,m)$ et $j=\overline(1,n)$.

Explication de l'entrée $i=\overline(1,m)$ : show\hide

La notation "$i=\overline(1,m)$" signifie que le paramètre $i$ varie de 1 à m. Par exemple, la notation $i=\overline(1,5)$ indique que le paramètre $i$ prend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5.

Ainsi, pour que les matrices soient égales, deux conditions doivent être remplies : la coïncidence des tailles et l'égalité des éléments correspondants. Par exemple, la matrice $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ n'est pas égale à la matrice $B=\left(\begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ car la matrice $A$ a une taille $3\times 2$ et la matrice $B$ a une taille $2\times $2. De plus, la matrice $A$ n'est pas égale à la matrice $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , puisque $a_( 21)\neq c_(21)$ (c'est-à-dire $0\neq 98$). Mais pour la matrice $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ nous pouvons écrire en toute sécurité $A= F$ car les tailles et les éléments correspondants des matrices $A$ et $F$ coïncident.

Exemple n°1

Déterminer la taille de la matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Indiquez à quoi sont égaux les éléments $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Cette matrice contient 5 lignes et 3 colonnes, sa taille est donc 5$\times 3$. Vous pouvez également utiliser la notation $A_(5\times 3)$ pour cette matrice.

L'élément $a_(12)$ est à l'intersection de la première ligne et de la deuxième colonne, donc $a_(12)=-2$. L'élément $a_(33)$ est à l'intersection de la troisième ligne et de la troisième colonne, donc $a_(33)=23$. L'élément $a_(43)$ est à l'intersection de la quatrième ligne et de la troisième colonne, donc $a_(43)=-5$.

Répondre: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Types de matrices en fonction de leur taille. Diagonales principales et secondaires. Trace matricielle.

Soit une certaine matrice $A_(m\times n)$. Si $m=1$ (la matrice est constituée d'une ligne), alors la matrice donnée est appelée ligne-matrice. Si $n=1$ (la matrice est constituée d'une colonne), alors une telle matrice est appelée colonne-matrice. Par exemple, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ est une matrice de lignes et $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ est une matrice de colonnes.

Si la matrice $A_(m\times n)$ satisfait la condition $m\neq n$ (c'est-à-dire que le nombre de lignes n'est pas égal au nombre de colonnes), alors on dit souvent que $A$ est une matrice rectangulaire matrice. Par exemple, la matrice $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ a la taille $2\times 4 $, ceux-là. contient 2 lignes et 4 colonnes. Puisque le nombre de lignes n’est pas égal au nombre de colonnes, cette matrice est rectangulaire.

Si la matrice $A_(m\times n)$ satisfait la condition $m=n$ (c'est-à-dire que le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes), alors $A$ est dit être une matrice carrée d'ordre $ n$. Par exemple, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ est une matrice carrée du second ordre ; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ est une matrice carrée du troisième ordre. De manière générale, la matrice carrée $A_(n\times n)$ peut s'écrire comme suit :

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Les éléments $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ sont dits sur diagonale principale matrices $A_(n\times n)$. Ces éléments sont appelés principaux éléments diagonaux(ou simplement des éléments diagonaux). Les éléments $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sont sur diagonale latérale (mineure); ils sont appelés éléments diagonaux latéraux. Par exemple, pour la matrice $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( tableau) \right)$ nous avons :

Les éléments $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sont les principaux éléments diagonaux ; les éléments $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sont des éléments diagonaux latéraux.

La somme des principaux éléments diagonaux est appelée suivi de la matrice et est noté $\Tr A$ (ou $\Sp A$) :

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Par exemple, pour la matrice $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ nous avons :

$$\TrC=2+9+4+6=21. $$

Le concept d'éléments diagonaux est également utilisé pour les matrices non carrées. Par exemple, pour la matrice $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ les principaux éléments diagonaux seront $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Types de matrices en fonction des valeurs de leurs éléments.

Si tous les éléments de la matrice $A_(m\times n)$ sont égaux à zéro, alors une telle matrice est appelée nul et est généralement désigné par la lettre $O$. Par exemple, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - matrices nulles.

Soit la matrice $A_(m\times n)$ avoir la forme suivante :

Alors cette matrice s'appelle trapézoïdal. Il ne peut pas contenir zéro ligne, mais si elles existent, elles sont situées en bas de la matrice. Sous une forme plus générale, une matrice trapézoïdale peut s'écrire comme suit :

Encore une fois, les lignes nulles de fin ne sont pas requises. Ceux. Formellement, on peut distinguer les conditions suivantes pour une matrice trapézoïdale :

Tous les éléments en dessous de la diagonale principale sont nuls.
Tous les éléments de $a_(11)$ à $a_(rr)$ situés sur la diagonale principale ne sont pas égaux à zéro : $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
Soit tous les éléments des dernières lignes $m-r$ sont nuls, soit $m=r$ (c'est-à-dire qu'il n'y a pas de lignes nulles du tout).

Exemples de matrices trapézoïdales :

Passons à la définition suivante. La matrice $A_(m\times n)$ est appelée fait un pas, s'il remplit les conditions suivantes :

Par exemple, les matrices d'étapes seraient :

A titre de comparaison, la matrice $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ n'est pas un échelon car la troisième ligne a la même partie zéro que la deuxième ligne. C'est-à-dire que le principe « plus la ligne est basse, plus la partie zéro est grande » est violé. J'ajouterai qu'une matrice trapézoïdale est un cas particulier de matrice étagée.

Passons à la définition suivante. Si tous les éléments d'une matrice carrée situés sous la diagonale principale sont égaux à zéro, alors une telle matrice s'appelle matrice triangulaire supérieure. Par exemple, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ est une matrice triangulaire supérieure. A noter que la définition d'une matrice triangulaire supérieure ne dit rien sur les valeurs des éléments situés au dessus de la diagonale principale ou sur la diagonale principale. Ils peuvent être nuls ou non, cela n'a pas d'importance. Par exemple, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ est également une matrice triangulaire supérieure.

Si tous les éléments d'une matrice carrée situés au-dessus de la diagonale principale sont égaux à zéro, alors une telle matrice est appelée matrice triangulaire inférieure. Par exemple, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matrice triangulaire inférieure. A noter que la définition d'une matrice triangulaire inférieure ne dit rien sur les valeurs des éléments situés sous ou sur la diagonale principale. Ils peuvent être nuls ou non, cela n'a pas d'importance. Par exemple, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ et $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sont également des matrices triangulaires inférieures.

La matrice carrée s'appelle diagonale, si tous les éléments de cette matrice qui ne se trouvent pas sur la diagonale principale sont égaux à zéro. Exemple : $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ fin(tableau)\droite)$. Les éléments sur la diagonale principale peuvent être n'importe quoi (égaux à zéro ou non) - cela n'a pas d'importance.

La matrice diagonale s'appelle célibataire, si tous les éléments de cette matrice situés sur la diagonale principale sont égaux à 1. Par exemple, $\left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrice d'identité du quatrième ordre ; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ est la matrice d'identité du second ordre.

Matrices triangulaires et équation caractéristique

Une matrice carrée dans laquelle tous les éléments situés en dessous ou au-dessus de la diagonale principale sont égaux à zéro est dite triangulaire. La matrice triangulaire peut être de structure supérieure et inférieure. Les formes supérieure et inférieure sont respectivement :

, .

Les matrices triangulaires ont un certain nombre de propriétés pratiquement importantes :

1) Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux :

Par conséquent, une matrice triangulaire n'est non singulière que si tous les éléments de sa diagonale principale sont non nuls.

2) La somme et le produit de matrices triangulaires de même structure sont également une matrice triangulaire de même structure.

3) Une matrice triangulaire non singulière est facilement inversée et sa matrice inverse a à nouveau une structure triangulaire de la même structure.

4) Toute matrice non singulière peut être réduite à une matrice triangulaire en utilisant des transformations élémentaires uniquement sur les lignes ou uniquement sur les colonnes. A titre d'exemple, considérons la matrice de Hurwitz connue en théorie de la stabilité

Pour passer à la forme triangulaire supérieure, on effectue les transformations élémentaires suivantes. De chaque élément de la deuxième ligne, soustrayez l'élément de la première ligne au-dessus, préalablement multiplié par . Au lieu d'une chaîne avec des éléments, nous obtenons une chaîne avec des éléments où , , , ... etc.

Effectuons des opérations similaires dans les lignes sous-jacentes restantes. Ensuite, nous soustrayons de chaque élément de la troisième ligne de la matrice transformée les éléments de la ligne au-dessus, multipliés par , et répétons des opérations similaires dans les lignes restantes. Nous continuons le processus selon cette procédure jusqu'à ce qu'à la mième étape nous obtenions la matrice triangulaire supérieure

De telles transformations équivalent essentiellement à multiplier la matrice de droite (ou de gauche) par une autre matrice auxiliaire.

Déterminant de la matrice de Hurwitz

Il existe un théorème sur la décomposition de toute matrice carrée en produit de deux matrices triangulaires. Selon ce théorème, toute matrice carrée peut être représentée comme le produit d’une matrice triangulaire inférieure et supérieure :

à condition que ses mineurs diagonaux soient non nuls :

, , .

Cette décomposition est unique si l'on fixe les éléments diagonaux d'une des matrices triangulaires (par exemple, en les mettant égaux à un). La décomposition de n'importe quelle matrice carrée en produit de deux matrices triangulaires avec des éléments diagonaux prescrits est largement utilisée dans les méthodes informatiques permettant de résoudre des problèmes à l'aide d'un ordinateur.

La représentation unique d'une matrice comme produit de deux matrices triangulaires peut être généralisée aux matrices cellulaires. Dans de telles matrices, les éléments eux-mêmes sont des matrices. Dans ce cas, la matrice peut être décomposée en produit de matrices quasi-triangulaires inférieure et supérieure.

Le déterminant d'une matrice quasi triangulaire est égal au produit de ses cellules diagonales.

Contrairement aux matrices diagonales, l'opération de multiplication des matrices triangulaires n'est généralement pas commutative.

Dans les méthodes informatiques de la théorie du contrôle, non seulement les matrices triangulaires, mais aussi les matrices dites presque triangulaires jouent un rôle important. De nombreuses méthodes utilisent la décomposition matricielle comme produit de deux matrices, dont l’une a une structure triangulaire. La matrice A est appelée matrice presque triangulaire droite (gauche) ou matrice de Hessenberg si ses éléments a ij satisfont aux relations suivantes :

Par exemple, la matrice de Hessenberg de forme presque triangulaire droite de dimension (4x4) a la forme

Notons les caractéristiques utiles des matrices considérées, qui sont utilisées dans les méthodes de calcul :

a) la somme de matrices presque triangulaires de même structure sera une matrice triangulaire de même structure, mais le produit ne le sera pas ;

b) la construction d'un polynôme caractéristique de matrices presque triangulaires est économique, car elle nécessite beaucoup moins de calculs qu'avec une forme matricielle arbitraire. Le nombre d'opérations de multiplication est , ajouts - ;

c) une matrice presque triangulaire peut être décomposée en produit de deux matrices triangulaires, et dans la décomposition l'une des matrices aura une structure plus simple, à savoir qu'elle sera bidiagonale.

Dans les méthodes d'ingénierie modernes intégrées aux systèmes de conception assistée par ordinateur, la représentation multiplicative de matrices, par exemple la représentation QR, est largement utilisée. Son essence est que toute matrice carrée A peut être représentée comme un produit de formes orthogonales et presque triangulaires.

Ou , (4.4)

où Q est une matrice orthogonale ; R - forme triangulaire droite (supérieure) ; L est la forme triangulaire gauche (en bas) de la matrice.

La représentation (4.4) est appelée décomposition QR (dans le cas d’une matrice triangulaire inférieure, décomposition QL) et est unique pour la matrice A.

Les algorithmes QR et QL diffèrent fondamentalement peu. Leur utilisation dépend de la manière dont les éléments de la matrice sont disposés. S'ils sont concentrés dans le coin inférieur droit, il est plus efficace d'utiliser l'algorithme QL. Si les éléments de la matrice sont concentrés dans la partie supérieure gauche, alors il est plus approprié d'utiliser l'algorithme QR. Si elles sont correctement mises en œuvre sur un ordinateur, les erreurs d’arrondi n’ont dans de nombreux cas pas d’impact majeur sur la précision du calcul.

Dans lequel tous les éléments situés en dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro.

Matrice triangulaire inférieure- une matrice carrée dans laquelle tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont égaux à zéro.

Matrice unitaire(supérieur ou inférieur) - une matrice triangulaire dans laquelle tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à un.

Les matrices triangulaires sont principalement utilisées dans la résolution de systèmes d'équations linéaires, lorsque la matrice du système est réduite à une forme triangulaire en utilisant le théorème suivant :

Résoudre des systèmes d'équations linéaires avec une matrice triangulaire (inverse) n'est pas difficile.

Propriétés

Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments sur sa diagonale principale.
Le déterminant d'une matrice unitaire est égal à un.
L'ensemble des matrices d'ordre triangulaires supérieures non singulières n par multiplication avec des éléments du terrain k forme un groupe qui est noté Utah(n, k) ou Utah n (k).
L'ensemble des matrices d'ordre triangulaires inférieures non singulières n par multiplication avec des éléments du terrain k forme un groupe qui est noté LT(n, k) ou LT n (k).
Ensemble de matrices unitaires supérieures avec des éléments du terrain k forme un sous-groupe Utah n (k) par multiplication, ce qui est noté SUT(n, k) ou SUT n (k). Un sous-groupe similaire de matrices unitaires inférieures est noté SLT(n, k) ou SLT n (k).
L'ensemble de toutes les matrices triangulaires supérieures avec des éléments de l'anneau k forme une algèbre par rapport aux opérations d'addition, de multiplication par les éléments de l'anneau et de multiplication matricielle. Une affirmation similaire est vraie pour les matrices triangulaires inférieures.
Groupe UT n est résoluble, et son sous-groupe unitaire SUT n nilpotent.

Voir aussi

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2010.

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matrice Système d'éléments (nombres, fonctions et autres quantités) disposés sous la forme d'un rectangle... ...

- une matrice carrée dans laquelle tous les éléments en dessous ou au dessus de la diagonale principale sont égaux à zéro.

Un exemple de matrice triangulaire supérieure Matrice triangulaire supérieure

Matrice triangulaire inférieure- une matrice carrée dans laquelle tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont égaux à zéro.

Matrice unitaire(supérieur ou inférieur) - une matrice triangulaire dans laquelle tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à un.

Résoudre des systèmes d'équations linéaires avec une matrice triangulaire (inverse) n'est pas difficile.

Propriétés

Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments sur sa diagonale principale.
Le déterminant d'une matrice unitaire est égal à un.
L'ensemble des matrices d'ordre triangulaires supérieures non singulières n par multiplication avec des éléments du terrain k forme un groupe qui est noté Utah(n, k) ou Utah n (k).
L'ensemble des matrices d'ordre triangulaires inférieures non singulières n par multiplication avec des éléments du terrain k forme un groupe qui est noté LT(n, k) ou LT n (k).
Ensemble de matrices unitaires supérieures avec des éléments du terrain k forme un sous-groupe Utah n (k) par multiplication, ce qui est noté SUT(n, k) ou SUT n (k). Un sous-groupe similaire de matrices unitaires inférieures est noté SLT(n, k) ou SLT n (k).
L'ensemble de toutes les matrices triangulaires supérieures avec des éléments de l'anneau k forme une algèbre par rapport aux opérations d'addition, de multiplication par les éléments de l'anneau et de multiplication matricielle. Une affirmation similaire est vraie pour les matrices triangulaires inférieures.
Groupe UT n est résoluble, et son sous-groupe unitaire SUT n nilpotent.

Voir aussi

Fondation Wikimédia.

- une matrice carrée dans laquelle tous les éléments situés en dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro.

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