Le deuxième est magnifique. Des limites merveilleuses

Preuve:

Démontrons d'abord le théorème pour le cas de la suite

D'après la formule binomiale de Newton :

En supposant que nous obtenions

De cette égalité (1), il résulte que lorsque n augmente, le nombre de termes positifs du côté droit augmente. De plus, à mesure que n augmente, le nombre diminue, donc les valeurs augmentent. Donc la séquence croissant, et (2)*Nous montrons qu'il est borné. Remplacez chaque parenthèse du côté droit de l'égalité par une, le côté droit augmentera et nous obtiendrons l'inégalité

Renforçons l'inégalité résultante, remplaçons 3,4,5, ..., figurant aux dénominateurs des fractions, par le chiffre 2 : On retrouve la somme entre parenthèses à l'aide de la formule de la somme des termes d'une progression géométrique : Donc (3)*

Ainsi, la suite est bornée par le haut et les inégalités (2) et (3) sont satisfaites : Ainsi, d’après le théorème de Weierstrass (critère de convergence d’une suite), la suite augmente de manière monotone et est limité, ce qui signifie qu'il a une limite, désignée par la lettre e. Ceux.

Sachant que la deuxième limite remarquable est vraie pour les valeurs naturelles de x, nous prouvons la deuxième limite remarquable pour x réel, c'est-à-dire que nous prouvons que . Considérons deux cas :

1. Soit chaque valeur de x entre deux entiers positifs : , où est la partie entière de x. => =>

Si , alors Donc, selon la limite Nous avons

Basé sur le critère (sur la limite d'une fonction intermédiaire) d'existence de limites

2. Laissez . Faisons la substitution − x = t, alors

De ces deux cas il résulte que pour de vrai x.

Conséquences:

9 .) Comparaison des infinitésimaux. Le théorème sur le remplacement des infinitésimaux par des équivalents dans la limite et le théorème sur la partie principale des infinitésimaux.

Soit les fonctions a( X) et B( X) – b.m. à X ® X 0 .

DÉFINITIONS.

1)une( X) appelé ordre infinitésimal supérieur à b (X) Si

Écrivez : a( X) = o(b( X)) .

2)une( X) Et b( X)sont appelés infinitésimaux du même ordre, Si

où CÎℝ et C¹ 0 .

Écrivez : a( X) = Ô(b( X)) .

3)une( X) Et b( X) sont appelés équivalent , Si

Écrivez : a( X) ~ b( X).

4)une( X) dit infinitésimal d'ordre k relatif
absolument infinitésimal b( X), si infinitésimal un( X)Et(b( X))k ont le même ordre, c'est-à-dire Si

où CÎℝ et C¹ 0 .

THÉORÈME 6 (sur le remplacement des infinitésimaux par des équivalents).

Laisser un( X), b( X), un 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. à x ® X 0 . Si un( X) ~ une 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),

Que

Preuve : Soit a( X) ~ une 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), Alors

THÉORÈME 7 (sur la partie principale de l'infinitésimal).

Laisser un( X)Et b( X)– b.m. à x ® X 0 , et b( X)– b.m. ordre supérieur à un( X).

= , a puisque b( X) – ordre supérieur à a( X), alors, c'est-à-dire depuis il est clair qu'un( X) + b( X) ~ une ( X)

10) Continuité d'une fonction en un point (dans le langage de l'epsilon-delta, limites géométriques) Continuité unilatérale. Continuité sur un intervalle, sur un segment. Propriétés des fonctions continues.

1. Définitions de base

Laisser F(X) est défini dans un certain voisinage du point X 0 .

DÉFINITION 1. Fonction f(X) appelé continu en un point X 0 si l'égalité est vraie

Remarques.

1) En vertu du théorème 5 §3, l'égalité (1) peut s'écrire sous la forme

Condition (2) – définition de la continuité d'une fonction en un point dans le langage des limites unilatérales.

2) L'égalité (1) peut également s'écrire :

Ils disent : « si une fonction est continue en un point X 0, alors le signe de la limite et la fonction peuvent être échangés."

DÉFINITION 2 (en langage e-d).

Fonction f(X) appelé continu en un point X 0 Si"e>0 $d>0 tel, Quoi

si xОU( X 0 , d) (c'est-à-dire | X – X 0 | < d),

alors f(X)ÎU( F(X 0), e) (c'est-à-dire | F(X) – F(X 0) | < e).

Laisser X, X 0 Î D(F) (X 0 – fixe, X - arbitraire)

Notons : D X= x – x 0 – incrément d'argument

D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – incrément de fonction au pointx 0

DÉFINITION 3 (géométrique).

Fonction f(X) sur appelé continu en un point X 0 si à ce stade un incrément infinitésimal dans l'argument correspond à un incrément infinitésimal dans la fonction, c'est à dire.

Laissez la fonction F(X) est défini sur l'intervalle [ X 0 ; X 0 + d) (sur l'intervalle ( X 0 – d ; X 0 ]).

DÉFINITION. Fonction f(X) appelé continu en un point X 0 sur la droite (gauche ), si l'égalité est vraie

Il est évident que F(X) est continue au point X 0 Û F(X) est continue au point X 0 à droite et à gauche.

DÉFINITION. Fonction f(X) appelé continu pendant un intervalle e ( un; b) s'il est continu en tout point de cet intervalle.

Fonction f(X) est dit continu sur le segment [un; b] si c'est continu sur l'intervalle (un; b) et a une continuité à sens unique aux points limites(c'est-à-dire continu au point unà droite, au point b- gauche).

11) Points de rupture, leur classement

DÉFINITION. Si la fonction f(X) défini dans un certain voisinage du point x 0 , mais n'est pas continu à ce stade, alors F(X) dit discontinu au point x 0 , et le point lui-même X 0 appelé le point de rupture fonctions f(X) .

Remarques.

1) F(X) peut être défini dans un voisinage incomplet du point X 0 .

Considérons ensuite la continuité unidirectionnelle correspondante de la fonction.

2) De la définition du point Þ X 0 est le point d'arrêt de la fonction F(X) dans deux cas :

une) U( X 0 , d)О D(F) , mais pour F(X) l'égalité n'est pas vraie

b) U * ( X 0 , d)О D(F) .

Pour les fonctions élémentaires, seul le cas b) est possible.

Laisser X 0 – point d'arrêt de la fonction F(X) .

DÉFINITION. Pointx 0 appelé point d'arrêt je sorte de si fonction f(X)a des limites finies à gauche et à droite à ce stade.

Si ces limites sont égales, alors le point x 0 appelé point de rupture amovible , sinon - point de saut .

DÉFINITION. Pointx 0 appelé point d'arrêt II sorte de si au moins une des limites unilatérales de la fonction f(X)à ce stade est égal¥ ou n'existe pas.

12) Propriétés des fonctions continues sur un intervalle (théorèmes de Weierstrass (sans preuve) et Cauchy

Théorème de Weierstrass

Soit la fonction f(x) continue sur l'intervalle, alors

1)f(x)est limité à

2) f(x) prend sa plus petite et sa plus grande valeur sur l'intervalle

Définition: La valeur de la fonction m=f est dite la plus petite si m≤f(x) pour tout x€ D(f).

La valeur de la fonction m=f est dite la plus grande si m≥f(x) pour tout x € D(f).

La fonction peut prendre la plus petite/la plus grande valeur en plusieurs points du segment.

f(x 3)=f(x 4)=max

Théorème de Cauchy.

Soit la fonction f(x) continue sur le segment et soit x le nombre contenu entre f(a) et f(b), alors il y a au moins un point x 0 € tel que f(x 0)= g

Trouvez de merveilleuses limites C’est difficile non seulement pour de nombreux étudiants de première et deuxième années qui étudient la théorie des limites, mais aussi pour certains enseignants.

Formule pour la première limite remarquable

Conséquences de la première limite remarquable écrivons-le dans des formules
1. 2. 3. 4. Mais les formules générales des limites remarquables elles-mêmes n'aident personne lors d'un examen ou d'un test. Le fait est que les tâches réelles sont construites de telle sorte que vous devez toujours arriver aux formules écrites ci-dessus. Et la majorité des étudiants qui manquent les cours, étudient ce cours par contumace ou ont des professeurs qui eux-mêmes ne comprennent pas toujours ce qu'ils expliquent, ne peuvent pas calculer les exemples les plus élémentaires dans des limites remarquables. D'après les formules de la première limite remarquable, nous voyons qu'avec leur aide, il est possible d'étudier des incertitudes du type zéro divisé par zéro pour des expressions avec fonctions trigonométriques. Considérons d’abord un certain nombre d’exemples de la première limite remarquable, puis étudions la deuxième limite remarquable.

Exemple 1. Trouver la limite de la fonction sin(7*x)/(5*x)
Solution : Comme vous pouvez le voir, la fonction sous la limite est proche de la première limite remarquable, mais la limite de la fonction elle-même n'est certainement pas égale à un. Dans ce genre de tâches sur les limites, il est nécessaire de sélectionner au dénominateur une variable avec le même coefficient que celui contenu dans la variable sous le sinus. Dans ce cas, divisez et multipliez par 7

Pour certains, de tels détails sembleront inutiles, mais pour la plupart des étudiants qui ont des difficultés avec les limites, cela les aidera à mieux comprendre les règles et à maîtriser la matière théorique.
De plus, s’il existe une forme inverse d’une fonction, c’est aussi la première limite merveilleuse. Et tout cela parce que la merveilleuse limite est égale à un

La même règle s'applique aux conséquences de la 1ère limite remarquable. Par conséquent, si on vous demande : « Quelle est la première limite remarquable ? Vous devez répondre sans hésiter qu'il s'agit d'une unité.

Exemple 2. Trouver la limite de la fonction sin(6x)/tan(11x)
Solution : Pour comprendre le résultat final, écrivons la fonction sous la forme

Pour appliquer les règles de la limite remarquable, multiplier et diviser par des facteurs

Ensuite, nous écrivons la limite d'un produit de fonctions à travers le produit des limites

Sans formules complexes, nous avons trouvé la limite des fonctions trigonométriques. Pour maîtriser des formules simples, essayez d'inventer et de trouver la limite sur 2 et 4, la formule du corollaire de 1 merveilleuse limite. Nous examinerons des problèmes plus complexes.

Exemple 3 : Calculer la limite (1-cos(x))/x^2
Solution : Lors de la vérification par substitution, nous obtenons une incertitude de 0/0. Beaucoup de gens ne savent pas comment réduire un tel exemple à une limite remarquable. La formule trigonométrique doit être utilisée ici

Dans ce cas, la limite se transformera en une forme claire

Nous avons réussi à réduire la fonction au carré d'une limite remarquable.

Exemple 4 : Trouver la limite
Solution : lors de la substitution, nous obtenons la fonctionnalité familière 0/0. Cependant, la variable tend vers Pi plutôt que vers zéro. Par conséquent, pour appliquer la première limite remarquable, nous effectuerons un tel changement dans la variable x pour que la nouvelle variable vienne à zéro. Pour ce faire, nous notons le dénominateur comme une nouvelle variable Pi-x=y

Ainsi, en utilisant la formule trigonométrique donnée dans la tâche précédente, l'exemple est réduit à 1 limite remarquable.

Exemple 5 : calculer la limite
Solution : Au début, il n’est pas clair comment simplifier les limites. Mais puisqu’il existe un exemple, il doit y avoir une réponse. Le fait que la variable aille à l'unité donne, lors de la substitution, une caractéristique de la forme zéro multipliée par l'infini, donc la tangente doit être remplacée à l'aide de la formule

Après cela, nous obtenons l'incertitude requise 0/0. Ensuite, nous effectuons un changement de variables dans la limite et utilisons la périodicité de la cotangente

Les dernières substitutions permettent d'utiliser le corollaire 1 de la limite remarquable.

La deuxième limite remarquable est égale à l'exponentielle

C’est un classique qui n’est pas toujours facile à atteindre dans les vrais problèmes de limites.
Dans les calculs, vous aurez besoin les limites sont des conséquences de la deuxième limite remarquable :
1. 2. 3. 4.
Grâce à la deuxième limite remarquable et à ses conséquences, il est possible d'explorer des incertitudes telles que zéro divisé par zéro, un à la puissance de l'infini, et l'infini divisé par l'infini, et même au même degré

Commençons par des exemples simples.

Exemple 6. Trouver la limite d'une fonction
Solution : Appliquer directement la 2ème limite remarquable ne fonctionnera pas. Tout d'abord, vous devez transformer l'exposant pour qu'il ressemble à l'inverse du terme entre parenthèses.

C'est la technique qui consiste à réduire à la 2ème limite remarquable et, en substance, à déduire la 2ème formule du corollaire de la limite.

Exemple 7. Trouver la limite d'une fonction
Solution : Nous avons des tâches pour la formule 3 du corollaire 2 d'une limite merveilleuse. La substitution de zéro donne une singularité de la forme 0/0. Pour élever la limite d'une règle, on tourne le dénominateur pour que la variable ait le même coefficient que dans le logarithme

Il est également facile à comprendre et à réaliser lors de l’examen. Les difficultés des élèves à calculer les limites commencent par les problèmes suivants.

Exemple 8. Calculer la limite d'une fonction[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Solution : Nous avons une singularité de type 1 à la puissance l’infini. Si vous ne me croyez pas, vous pouvez remplacer l’infini par « X » partout et vous en assurer. Pour construire une règle, on divise le numérateur par le dénominateur entre parenthèses, pour ce faire, on effectue d'abord les manipulations ;

Remplaçons l'expression par la limite et transformons-la en 2 merveilleuses limites

La limite est égale à la puissance exponentielle de 10. Les constantes qui sont des termes avec une variable, à la fois entre parenthèses et en degrés, n'introduisent aucun « temps » - il faut s'en souvenir. Et si vos professeurs vous demandent : « Pourquoi ne convertissez-vous pas l’indicateur ? (Pour cet exemple en x-3), puis dites que « Lorsqu'une variable tend vers l'infini, alors ajoutez-y même 100 ou soustrayez 1000, et la limite restera la même qu'elle était ! »
Il existe une deuxième manière de calculer des limites de ce type. Nous en parlerons dans la prochaine tâche.

Exemple 9. Trouver la limite
Solution : supprimons maintenant la variable du numérateur et du dénominateur et transformons une fonctionnalité en une autre. Pour obtenir la valeur finale on utilise la formule du corollaire 2 de la limite remarquable

Exemple 10. Trouver la limite d'une fonction
Solution : Tout le monde ne peut pas trouver la limite donnée. Pour augmenter la limite à 2, imaginez que sin (3x) est une variable et que vous devez tourner l'exposant

Ensuite, nous écrivons l'indicateur comme une puissance à une puissance


Les arguments intermédiaires sont décrits entre parenthèses. En utilisant les première et deuxième limites remarquables, nous avons obtenu l’exponentielle en cube.

Exemple 11. Calculer la limite d'une fonction péché(2*x)/ln(3*x+1)
Solution : Nous avons une incertitude de la forme 0/0. De plus, nous voyons que la fonction doit être convertie pour utiliser les deux merveilleuses limites. Effectuons les transformations mathématiques précédentes

De plus, sans difficulté, la limite prendra la valeur

C'est ainsi que vous vous sentirez libre sur les devoirs, les tests, les modules si vous apprenez à écrire rapidement des fonctions et à les réduire à la première ou à la deuxième merveilleuse limite. S'il vous est difficile de mémoriser les méthodes données pour trouver les limites, vous pouvez toujours nous commander un test sur les limites.
Pour ce faire, remplissez le formulaire, fournissez les données et joignez un fichier avec des exemples. Nous avons aidé de nombreux étudiants – nous pouvons vous aider aussi !

Il existe plusieurs limites remarquables, mais les plus connues sont la première et la deuxième limites remarquables. Ce qui est remarquable à propos de ces limites, c'est qu'elles sont largement utilisées et qu'avec leur aide, vous pouvez trouver d'autres limites trouvées dans de nombreux problèmes. C'est ce que nous ferons dans la partie pratique de cette leçon. Pour résoudre des problèmes en les réduisant à la première ou à la deuxième limite remarquable, nul besoin de révéler les incertitudes qu'elles contiennent, puisque les valeurs de ces limites ont été déduites depuis longtemps par les grands mathématiciens.

La première limite merveilleuse est appelée la limite du rapport du sinus d'un arc infinitésimal au même arc, exprimée en mesure de radian :

Passons à la résolution des problèmes à la première limite remarquable. Remarque : s'il y a une fonction trigonométrique sous le signe limite, c'est un signe presque sûr que cette expression peut se réduire à la première limite remarquable.

Exemple 1. Trouvez la limite.

Solution. Remplacement à la place X zéro conduit à l'incertitude :

.

Le dénominateur est sinus, l'expression peut donc être amenée à la première limite remarquable. Commençons la transformation :

.

Le dénominateur est le sinus de trois X, mais le numérateur n'a qu'un seul X, ce qui signifie que vous devez avoir trois X au numérateur. Pour quoi? Pour présenter 3 X = un et obtenez l'expression.

Et nous arrivons à une variation de la première limite remarquable :

car peu importe quelle lettre (variable) dans cette formule remplace X.

On multiplie X par trois et on divise immédiatement :

.

Conformément à la première limite remarquable constatée, on remplace l'expression fractionnaire :

Nous pouvons maintenant enfin résoudre cette limite :

.

Exemple 2. Trouvez la limite.

Solution. La substitution directe conduit à nouveau à l’incertitude « zéro divisé par zéro » :

.

Pour obtenir la première limite remarquable, il faut que le x sous le signe sinus au numérateur et juste le x au dénominateur aient le même coefficient. Soit ce coefficient égal à 2. Pour ce faire, imaginons le coefficient actuel pour x comme ci-dessous, en effectuant des opérations avec des fractions, nous obtenons :

.

Exemple 3. Trouvez la limite.

Solution. Lors de la substitution, on obtient à nouveau l'incertitude « zéro divisé par zéro » :

.

Vous comprenez probablement déjà qu'à partir de l'expression originale, vous pouvez obtenir la première limite merveilleuse multipliée par la première limite merveilleuse. Pour ce faire, on décompose les carrés du x au numérateur et du sinus au dénominateur en facteurs identiques, et afin d'obtenir les mêmes coefficients pour le x et le sinus, on divise le x au numérateur par 3 et on multiplie immédiatement par 3. On obtient :

.

Exemple 4. Trouvez la limite.

Solution. On obtient à nouveau l'incertitude « zéro divisé par zéro » :

.

On peut obtenir le rapport des deux premières limites remarquables. Nous divisons le numérateur et le dénominateur par x. Ensuite, pour que les coefficients des sinus et des x coïncident, nous multiplions le x supérieur par 2 et divisons immédiatement par 2, et multiplions le x inférieur par 3 et divisons immédiatement par 3. Nous obtenons :

Exemple 5. Trouvez la limite.

Solution. Et encore l’incertitude du « zéro divisé par zéro » :

Nous nous souvenons de la trigonométrie que la tangente est le rapport du sinus au cosinus et que le cosinus de zéro est égal à un. On effectue les transformations et on obtient :

.

Exemple 6. Trouvez la limite.

Solution. La fonction trigonométrique sous le signe d'une limite suggère encore l'utilisation de la première limite remarquable. Nous le représentons comme le rapport sinus/cosinus.

À partir de l'article ci-dessus, vous pouvez découvrir quelle est la limite et avec quoi elle est consommée - c'est TRÈS important. Pourquoi? Vous ne comprenez peut-être pas ce que sont les déterminants et ne réussissez pas à les résoudre ; vous ne comprenez peut-être pas du tout ce qu'est une dérivée et ne les trouvez pas avec un « A ». Mais si vous ne comprenez pas ce qu’est une limite, il sera alors difficile de résoudre des problèmes pratiques. Ce serait également une bonne idée de vous familiariser avec les exemples de solutions et mes recommandations de conception. Toutes les informations sont présentées sous une forme simple et accessible.

Et pour les besoins de cette leçon, nous aurons besoin du matériel pédagogique suivant : Des limites merveilleuses Et Formules trigonométriques. Ils peuvent être trouvés sur la page. Il est préférable d'imprimer les manuels - c'est beaucoup plus pratique et, de plus, vous devrez souvent vous y référer hors ligne.

Qu’y a-t-il de si spécial dans les limites remarquables ? Ce qui est remarquable à propos de ces limites, c'est qu'elles ont été prouvées par les plus grands esprits de mathématiciens célèbres, et que leurs descendants reconnaissants n'ont pas à souffrir de terribles limites avec un tas de fonctions trigonométriques, de logarithmes et de puissances. Autrement dit, pour trouver les limites, nous utiliserons des résultats prêts à l'emploi qui ont été prouvés théoriquement.

Il existe plusieurs merveilleuses limites, mais en pratique, dans 95 % des cas, les étudiants à temps partiel ont deux merveilleuses limites : La première limite merveilleuse, Deuxième merveilleuse limite. Il convient de noter qu'il s'agit de noms historiquement établis, et lorsque, par exemple, ils parlent de « la première limite remarquable », ils entendent par là une chose très spécifique, et non une limite aléatoire prise au plafond.

La première limite merveilleuse

Considérez la limite suivante : (au lieu de la lettre native « il », j'utiliserai la lettre grecque « alpha », c'est plus pratique du point de vue de la présentation du matériel).

D'après notre règle de recherche des limites (voir article Limites. Exemples de solutions) on essaie de substituer zéro dans la fonction : au numérateur on obtient zéro (le sinus de zéro est zéro), et au dénominateur, évidemment, il y a aussi zéro. Nous sommes donc confrontés à une incertitude sur la forme, qui, heureusement, n’a pas besoin d’être divulguée. Au cours de l'analyse mathématique, il est prouvé que :

Ce fait mathématique est appelé La première limite merveilleuse. Je ne donnerai pas de preuve analytique de la limite, mais nous examinerons sa signification géométrique dans la leçon sur fonctions infinitésimales.

Souvent, dans les tâches pratiques, les fonctions peuvent être organisées différemment, cela ne change rien :

- la même première merveilleuse limite.

Mais vous ne pouvez pas réorganiser vous-même le numérateur et le dénominateur ! Si une limite est donnée sous la forme , alors elle doit être résolue sous la même forme, sans rien réarranger.

En pratique, non seulement une variable, mais aussi une fonction élémentaire ou une fonction complexe peut faire office de paramètre. Il est seulement important qu'il tende vers zéro.

Exemples:
, , ,

Ici , , , , et tout va bien - la première limite merveilleuse est applicable.

Mais l’entrée suivante est une hérésie :

Pourquoi? Parce que le polynôme ne tend pas vers zéro, il tend vers cinq.

Au fait, une petite question : quelle est la limite ? ? La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Dans la pratique, tout ne se passe pas aussi bien ; on ne propose presque jamais à un étudiant de résoudre une limite gratuite et d'obtenir une passe facile. Hmmm... J'écris ces lignes, et une pensée très importante m'est venue à l'esprit - après tout, il vaut mieux se souvenir par cœur des définitions et des formules mathématiques « gratuites », cela peut apporter une aide inestimable dans le test, lorsque la question sera être décidé entre « deux » et « trois », et l'enseignant décide de poser à l'élève une question simple ou de lui proposer de résoudre un exemple simple (« peut-être qu'il sait encore quoi ?! »).

Passons à des exemples pratiques :

Exemple 1

Trouver la limite

Si nous remarquons un sinus dans la limite, cela devrait immédiatement nous amener à réfléchir à la possibilité d'appliquer la première limite remarquable.

Tout d'abord, nous essayons de substituer 0 dans l'expression sous le signe limite (nous le faisons mentalement ou dans un brouillon) :

On a donc une incertitude de la forme assurez-vous d'indiquer en prenant une décision. L'expression sous le signe limite est similaire à la première limite merveilleuse, mais ce n'est pas exactement cela, elle est sous le sinus, mais au dénominateur.

Dans de tels cas, nous devons organiser nous-mêmes la première limite remarquable, en utilisant une technique artificielle. Le raisonnement pourrait être le suivant : « sous le sinus nous avons , ce qui signifie que nous devons également entrer dans le dénominateur ».
Et cela se fait très simplement :

Autrement dit, le dénominateur est artificiellement multiplié dans ce cas par 7 et divisé par le même sept. Notre enregistrement a désormais pris une forme familière.
Lorsque la tâche est rédigée à la main, il convient de marquer la première limite remarquable avec un simple crayon :

Ce qui s'est passé? En fait, notre expression encerclée s'est transformée en une unité et a disparu dans l'œuvre :

Il ne reste plus qu'à se débarrasser de la fraction à trois étages :

Qui a oublié la simplification des fractions à plusieurs niveaux, veuillez actualiser le matériel dans l'ouvrage de référence Formules chaudes pour le cours de mathématiques à l'école .

Prêt. Réponse finale:

Si vous ne souhaitez pas utiliser de traits de crayon, la solution peut s'écrire comme ceci :

“

Utilisons la première limite merveilleuse

“

Exemple 2

Trouver la limite

Encore une fois, nous voyons une fraction et un sinus dans la limite. Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :

En effet, nous sommes dans l’incertitude et nous devons donc essayer d’organiser la première limite merveilleuse. À la leçon Limites. Exemples de solutions nous avons considéré la règle selon laquelle en cas d'incertitude, nous devons factoriser le numérateur et le dénominateur. Ici c’est la même chose, on représentera les diplômes comme un produit (multiplicateurs) :

Semblable à l'exemple précédent, on dessine au crayon autour des limites remarquables (ici il y en a deux), et on indique qu'elles tendent vers l'unité :

En fait, la réponse est prête :

Dans les exemples suivants, je ne ferai pas d'art dans Paint, je pense que comment rédiger correctement une solution dans un cahier - vous l'avez déjà compris.

Exemple 3

Trouver la limite

On substitue zéro dans l'expression sous le signe limite :

Une incertitude a été obtenue et doit être divulguée. S'il y a une tangente dans la limite, alors elle est presque toujours convertie en sinus et cosinus en utilisant la formule trigonométrique bien connue (d'ailleurs, ils font à peu près la même chose avec la cotangente, voir matériel méthodologique Formules trigonométriques chaudes Sur la page Formules mathématiques, tableaux et documents de référence).

Dans ce cas:

Le cosinus de zéro est égal à un, et il est facile de s'en débarrasser (n'oubliez pas de marquer qu'il tend vers un) :

Ainsi, si à la limite le cosinus est un MULTIPLICATEUR, alors, grosso modo, il faut le transformer en une unité qui disparaît dans le produit.

Ici, tout s'est avéré plus simple, sans multiplications ni divisions. La première limite remarquable se transforme également en une et disparaît dans le produit :

En conséquence, l'infini est obtenu, et cela se produit.

Exemple 4

Trouver la limite

Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :

L'incertitude est obtenue (le cosinus de zéro, on s'en souvient, est égal à un)

Nous utilisons la formule trigonométrique. Prendre note! Pour une raison quelconque, les limites utilisant cette formule sont très courantes.

Déplaçons les facteurs constants au-delà de l'icône de limite :

Organisons la première merveilleuse limite :

Nous n’avons ici qu’une seule limite remarquable, qui se transforme en une et disparaît dans le produit :

Débarrassons-nous de la structure à trois étages :

La limite étant effectivement résolue, on indique que le sinus restant tend vers zéro :

Exemple 5

Trouver la limite

Cet exemple est plus compliqué, essayez de le comprendre vous-même :

Certaines limites peuvent être réduites à la 1ère limite remarquable en changeant une variable, vous pourrez lire cela un peu plus loin dans l'article Méthodes pour résoudre les limites.

Deuxième merveilleuse limite

Dans la théorie de l’analyse mathématique, il a été prouvé que :

Ce fait est appelé deuxième limite merveilleuse.

Référence: est un nombre irrationnel.

Le paramètre peut être non seulement une variable, mais aussi une fonction complexe. La seule chose importante c'est qu'il vise l'infini.

Exemple 6

Trouver la limite

Lorsque l'expression sous le signe limite est en degré, c'est le premier signe que vous devez essayer d'appliquer la deuxième limite merveilleuse.

Mais d'abord, comme toujours, nous essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression, le principe par lequel cela est fait est discuté dans la leçon Limites. Exemples de solutions.

Il est facile de remarquer que lorsque la base du degré est , et l'exposant est , c'est-à-dire qu'il existe une incertitude de la forme :

Cette incertitude est précisément révélée à l’aide de la deuxième limite remarquable. Mais, comme cela arrive souvent, la deuxième limite merveilleuse ne se trouve pas sur un plateau d’argent et doit être organisée artificiellement. Vous pouvez raisonner ainsi : dans cet exemple le paramètre est , ce qui signifie qu'il faut aussi s'organiser dans l'indicateur. Pour ce faire, on élève la base à la puissance, et pour que l'expression ne change pas, on l'élève à la puissance :

Lorsque la tâche est terminée à la main, on marque au crayon :

Presque tout est prêt, le terrible diplôme s'est transformé en une jolie lettre :

Dans ce cas, nous déplaçons l'icône de limite elle-même vers l'indicateur:

Exemple 7

Trouver la limite

Attention! Ce type de limite se produit très souvent, merci d'étudier cet exemple très attentivement.

Essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression sous le signe limite :

Le résultat est l’incertitude. Mais la deuxième limite remarquable concerne l’incertitude de la forme. Ce qu'il faut faire? Nous devons convertir la base du diplôme. On raisonne ainsi : dans notre dénominateur, cela veut dire qu'au numérateur il faut aussi organiser .

La première limite remarquable est l’égalité suivante :

\begin(équation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(équation)

Puisque pour $\alpha\to(0)$ nous avons $\sin\alpha\to(0)$, ils disent que la première limite remarquable révèle une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. D'une manière générale, dans la formule (1), à la place de la variable $\alpha$, n'importe quelle expression peut être placée sous le signe sinus et au dénominateur, à condition que deux conditions soient remplies :

1. Les expressions sous le signe sinus et au dénominateur tendent simultanément vers zéro, c'est-à-dire il existe une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$.
2. Les expressions sous le signe sinus et au dénominateur sont les mêmes.

Les corollaires de la première limite remarquable sont également souvent utilisés :

\begin(équation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \fin(équation)

Onze exemples sont résolus sur cette page. L'exemple n°1 est consacré à la preuve des formules (2)-(4). Les exemples n°2, n°3, n°4 et n°5 contiennent des solutions avec des commentaires détaillés. Les exemples n° 6 à 10 contiennent des solutions pratiquement sans commentaires, car des explications détaillées ont été données dans les exemples précédents. La solution utilise certaines formules trigonométriques que l'on peut trouver.

Précisons que la présence de fonctions trigonométriques couplée à l'incertitude $\frac (0) (0)$ ne signifie pas nécessairement l'application de la première limite remarquable. Parfois, de simples transformations trigonométriques suffisent - par exemple, voir.

Exemple n°1

Prouver que $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Puisque $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, alors :

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Puisque $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ et $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Que:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Faisons le changement $\alpha=\sin(y)$. Puisque $\sin(0)=0$, alors à partir de la condition $\alpha\to(0)$ nous avons $y\to(0)$. De plus, il existe un voisinage de zéro dans lequel $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, donc :

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'égalité $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ a été prouvée.

c) Faisons le remplacement $\alpha=\tg(y)$. Puisque $\tg(0)=0$, alors les conditions $\alpha\to(0)$ et $y\to(0)$ sont équivalentes. De plus, il existe un voisinage de zéro dans lequel $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, donc, sur la base des résultats du point a), nous aurons :

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'égalité $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ a été prouvée.

Les égalités a), b), c) sont souvent utilisées avec la première limite remarquable.

Exemple n°2

Calculer la limite $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Puisque $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ et $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, c'est-à-dire et le numérateur et le dénominateur de la fraction tendent simultanément vers zéro, alors on a affaire ici à une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$, c'est-à-dire fait. De plus, il est clair que les expressions sous le signe sinusoïdal et au dénominateur coïncident (c'est-à-dire et sont satisfaites) :

Ainsi, les deux conditions énumérées au début de la page sont remplies. Il s'ensuit que la formule est applicable, c'est-à-dire $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Répondre: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Exemple n°3

Recherchez $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Puisque $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ et $\lim_(x\to(0))x=0$, alors on a affaire à une incertitude de la forme $\frac (0 )(0)$, soit fait. Cependant, les expressions sous le signe sinus et au dénominateur ne coïncident pas. Ici, vous devez ajuster l'expression du dénominateur à la forme souhaitée. Nous avons besoin que l'expression $9x$ soit au dénominateur, alors elle deviendra vraie. Essentiellement, il nous manque un facteur de 9 $ dans le dénominateur, ce qui n'est pas si difficile à saisir : il suffit de multiplier l'expression du dénominateur par 9 $. Naturellement, pour compenser la multiplication par 9$, vous devrez immédiatement diviser par 9$ :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Maintenant, les expressions au dénominateur et sous le signe sinusoïdal coïncident. Les deux conditions pour la limite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sont satisfaites. Par conséquent, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Et cela signifie que :

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Exemple n°4

Recherchez $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Puisque $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ et $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, nous avons ici affaire à une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Cependant, la forme de la première limite remarquable est violée. Un numérateur contenant $\sin(5x)$ nécessite un dénominateur de $5x$. Dans cette situation, le moyen le plus simple est de diviser le numérateur par 5 $x$ et de multiplier immédiatement par 5 $x$. De plus, nous effectuerons une opération similaire avec le dénominateur, en multipliant et en divisant $\tg(8x)$ par $8x$ :

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

En réduisant de $x$ et en prenant la constante $\frac(5)(8)$ en dehors du signe limite, on obtient :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Notez que $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ satisfait pleinement aux exigences de la première limite remarquable. Pour trouver $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ la formule suivante est applicable :

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Exemple n°5

Recherchez $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Puisque $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (rappelez-vous que $\cos(0)=1$) et $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, alors nous avons affaire à une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Cependant, pour appliquer la première limite remarquable, il faut se débarrasser du cosinus au numérateur et passer aux sinus (pour ensuite appliquer la formule) ou aux tangentes (pour ensuite appliquer la formule). Cela peut être fait avec la transformation suivante :

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Revenons à la limite :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

La fraction $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ est déjà proche de la forme requise pour la première limite remarquable. Travaillons un peu avec la fraction $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, en l'ajustant à la première limite remarquable (notez que les expressions au numérateur et sous le sinus doivent correspondre) :

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Revenons à la limite considérée :

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Exemple n°6

Trouvez la limite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Puisque $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ et $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, alors nous avons affaire à une incertitude $\frac(0)(0)$. Dévoilons-le à l'aide de la première limite remarquable. Pour ce faire, passons des cosinus aux sinus. Puisque $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, alors :

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

En passant aux sinus dans la limite donnée, on aura :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Exemple n°7

Calculer la limite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ soumis à $\alpha\neq \ bêta$.

Des explications détaillées ont été données plus tôt, mais ici nous notons simplement qu'il existe encore une fois une incertitude $\frac(0)(0)$. Passons des cosinus aux sinus en utilisant la formule

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

En utilisant cette formule, on obtient :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\droite| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ bêta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.

Exemple n°8

Trouvez la limite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Puisque $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (rappelez-vous que $\sin(0)=\tg(0)=0$) et $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, nous avons alors affaire ici à une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Décomposons-le comme suit :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Exemple n°9

Trouvez la limite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Puisque $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ et $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, alors il y a une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Avant de procéder à son expansion, il convient de faire un changement de variable de telle sorte que la nouvelle variable tende vers zéro (notez que dans les formules la variable $\alpha \to 0$). Le moyen le plus simple est d'introduire la variable $t=x-3$. Cependant, pour des raisons de commodité lors de transformations ultérieures (cet avantage peut être constaté au cours de la solution donnée ci-dessous), il vaut la peine de procéder au remplacement suivant : $t=\frac(x-3)(2)$. Je note que les deux remplacements sont applicables dans ce cas, c'est juste que le deuxième remplacement permettra de moins travailler avec des fractions. Puisque $x\to(3)$, alors $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\droite| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\à(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\à(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ à(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Répondre: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Exemple n°10

Trouver la limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Nous avons encore une fois affaire à l'incertitude $\frac(0)(0)$. Avant de procéder à son expansion, il convient de faire un changement de variable de telle sorte que la nouvelle variable tende vers zéro (notez que dans les formules la variable est $\alpha\to(0)$). Le moyen le plus simple est d'introduire la variable $t=\frac(\pi)(2)-x$. Puisque $x\to\frac(\pi)(2)$, alors $t\to(0)$ :

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\gauche|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\à(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\à(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Répondre: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Exemple n°11

Trouver les limites $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Dans ce cas, nous n’avons pas besoin d’utiliser la première limite merveilleuse. Veuillez noter que les première et deuxième limites contiennent uniquement des fonctions et des nombres trigonométriques. Souvent, dans des exemples de ce type, il est possible de simplifier l'expression située sous le signe limite. De plus, après la simplification et la réduction susmentionnées de certains facteurs, l’incertitude disparaît. J'ai donné cet exemple dans un seul but : montrer que la présence de fonctions trigonométriques sous le signe limite n'implique pas nécessairement l'utilisation de la première limite remarquable.

Puisque $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (rappelez-vous que $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) et $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (je vous rappelle que $\cos\frac(\pi)(2)=0$), alors nous avons traitant d'une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Cependant, cela ne signifie pas que nous devrons utiliser la première limite merveilleuse. Pour révéler l'incertitude, il suffit de prendre en compte que $\cos^2x=1-\sin^2x$ :

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Il existe une solution similaire dans le livre de solutions de Demidovitch (n° 475). Quant à la deuxième limite, comme dans les exemples précédents de cette section, nous avons une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Pourquoi cela se produit-il ? Cela se produit parce que $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ et $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Nous utilisons ces valeurs pour transformer les expressions au numérateur et au dénominateur. Le but de nos actions est d'écrire la somme au numérateur et au dénominateur sous forme de produit. D'ailleurs, souvent au sein d'un type similaire, il est pratique de modifier une variable, faite de telle sorte que la nouvelle variable tende vers zéro (voir, par exemple, les exemples n° 9 ou n° 10 sur cette page). Cependant, dans cet exemple, cela ne sert à rien de remplacer, même si si vous le souhaitez, le remplacement de la variable $t=x-\frac(2\pi)(3)$ est facile à mettre en œuvre.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ à\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Comme vous pouvez le constater, nous n’avons pas eu à appliquer la première merveilleuse limite. Bien sûr, vous pouvez le faire si vous le souhaitez (voir note ci-dessous), mais ce n'est pas nécessaire.

Quelle est la solution utilisant la première limite remarquable ? afficher\masquer

En utilisant la première limite remarquable, nous obtenons :

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ droite))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Répondre: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.