L'incertitude sur le type et l'espèce est l'incertitude la plus courante qui doit être divulguée lors de la détermination des limites.
La plupart des problèmes limites rencontrés par les étudiants contiennent précisément de telles incertitudes. Pour les révéler ou, plus précisément, pour éviter les incertitudes, il existe plusieurs techniques artificielles pour transformer le type d'expression sous le signe limite. Ces techniques sont les suivantes : division terme par terme du numérateur et du dénominateur par la puissance la plus élevée de la variable, multiplication par l'expression conjuguée et factorisation pour réduction ultérieure à l'aide de solutions d'équations quadratiques et de formules de multiplication abrégées.
Incertitude relative aux espèces
Exemple 1.
n est égal à 2. On divise donc le numérateur et le dénominateur terme par terme par :
.
Commentez le côté droit de l’expression. Les flèches et les chiffres indiquent à quoi tendent les fractions après substitution n signifiant l'infini. Ici, comme dans l'exemple 2, le degré n Il y a plus dans le dénominateur que dans le numérateur, de sorte que la fraction entière a tendance à être infinitésimale ou « super petite ».
On obtient la réponse : la limite de cette fonction avec une variable tendant vers l'infini est égale à .
Exemple 2. .
Solution. Ici la puissance la plus élevée de la variable X est égal à 1. On divise donc le numérateur et le dénominateur terme par terme par X:
.
Commentaire sur l'avancement de la décision. Au numérateur on place « x » sous la racine du troisième degré, et pour que son degré d'origine (1) reste inchangé, on lui attribue le même degré que la racine, c'est-à-dire 3. Il n'y a pas de flèches ni de nombres supplémentaires dans cette entrée, alors essayez-le mentalement, mais par analogie avec l'exemple précédent, déterminez à quoi tendent les expressions du numérateur et du dénominateur après avoir substitué l'infini au lieu de « x ».
Nous avons reçu la réponse : la limite de cette fonction avec une variable tendant vers l'infini est égale à zéro.
Incertitude relative aux espèces
Exemple 3. Découvrez l’incertitude et trouvez la limite.
Solution. Le numérateur est la différence des cubes. Factorisons-le à l'aide de la formule de multiplication abrégée du cours de mathématiques à l'école :
Le dénominateur contient un trinôme quadratique, que nous factoriserons en résolvant une équation quadratique (encore une fois un lien vers la résolution d'équations quadratiques) :
Écrivons l'expression obtenue à la suite des transformations et trouvons la limite de la fonction :
Exemple 4. Libérez l’incertitude et trouvez la limite
Solution. Le théorème du quotient limite n'est pas applicable ici, puisque
On transforme donc la fraction à l'identique : en multipliant le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué au dénominateur, et on réduit par X+1. D'après le corollaire du théorème 1, on obtient une expression, en résolvant laquelle on trouve la limite souhaitée :
Exemple 5. Libérez l’incertitude et trouvez la limite
Solution. Substitution directe de valeur X= 0 dans une fonction donnée conduit à une incertitude de la forme 0/0. Pour le révéler, on effectue des transformations identiques et on obtient finalement la limite souhaitée : 
Exemple 6. Calculer 
Solution: Utilisons les théorèmes sur les limites
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Exemple 7. Calculer 
Solution: dans cet exemple les limites du numérateur et du dénominateur à sont égales à 0 :
; 
. Nous avons donc reçu le théorème sur la limite du quotient qui ne peut pas être appliqué.
Factorisons le numérateur et le dénominateur afin de réduire la fraction d'un facteur commun tendant vers zéro, et permettons donc d'appliquer le théorème 3.
Développons le trinôme carré au numérateur en utilisant la formule , où x 1 et x 2 sont les racines du trinôme. Après avoir factorisé et dénominateur, réduisez la fraction de (x-2), puis appliquez le théorème 3.
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Exemple 8. Calculer
Solution: Ainsi, lorsque le numérateur et le dénominateur tendent vers l’infini, en appliquant directement le théorème 3, nous obtenons l’expression , qui représente l’incertitude. Pour vous débarrasser de ce type d’incertitude, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de l’argument. Dans cet exemple, vous devez diviser par X:
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Exemple 9. Calculer 
Solution: x3:
Répondre: 2
Exemple 10. Calculer 
Solution: Quand le numérateur et le dénominateur tendent vers l’infini. Divisons le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de l'argument, c'est-à-dire x5:
= 
Le numérateur de la fraction tend vers 1, le dénominateur tend vers 0, donc la fraction tend vers l'infini.
Répondre:
Exemple 11. Calculer
Solution: Quand le numérateur et le dénominateur tendent vers l’infini. Divisons le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de l'argument, c'est-à-dire x7:
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Dérivé.
Dérivée de la fonction y = f(x) par rapport à l'argument x est appelée la limite du rapport de son incrément y à l'incrément x de l'argument x, lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro : . Si cette limite est finie, alors la fonction y = f(x) est dit dérivable au point x. Si cette limite existe, alors on dit que la fonction y = f(x) a une dérivée infinie au point x.
Dérivées des fonctions élémentaires de base :
1. (const)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Règles de différenciation :
un) 
V) 
Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction 
Solution: Si la dérivée du deuxième terme est trouvée en utilisant la règle de différenciation des fractions, alors le premier terme est une fonction complexe dont la dérivée est trouvée par la formule :
, Où 
, Alors
Lors de la résolution, les formules suivantes ont été utilisées : 1,2,10,a,c,d.
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Exemple 21. Trouver la dérivée d'une fonction 
Solution: les deux termes sont des fonctions complexes, où pour le premier , , et pour le second , , alors
Répondre: 
Applications dérivées.
1. Vitesse et accélération
Laissez la fonction s(t) décrire position objet dans un système de coordonnées au temps t. Alors la dérivée première de la fonction s(t) est instantanée vitesse objet:
v=s′=f′(t)
La dérivée seconde de la fonction s(t) représente l'instantané accélération objet:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Équation tangente
y−y0=f′(x0)(x−x0),
où (x0,y0) sont les coordonnées du point tangent, f′(x0) est la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point tangent.
3. Équation normale
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
où (x0,y0) sont les coordonnées du point où la normale est tracée, f′(x0) est la valeur de la dérivée de la fonction f(x) en ce point.
4. Fonction croissante et décroissante
Si f′(x0)>0, alors la fonction augmente au point x0. Dans la figure ci-dessous, la fonction augmente à mesure que x
Si f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Extrémas locaux d'une fonction
La fonction f(x) a maximum local au point x1, s'il existe un voisinage du point x1 tel que pour tout x de ce voisinage l'inégalité f(x1)≥f(x) est vraie.
De même, la fonction f(x) a minimum local au point x2, s'il existe un voisinage du point x2 tel que pour tout x de ce voisinage l'inégalité f(x2)≤f(x) est vraie.
6. Points critiques
Le point x0 est point critique fonction f(x), si la dérivée f′(x0) qu’elle contient est égale à zéro ou n’existe pas.
7. Le premier signe suffisant de l'existence d'un extremum
Si la fonction f(x) augmente (f′(x)>0) pour tout x dans un intervalle (a,x1] et diminue (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) pour tout x de l'intervalle )
