Calculer les limites des exemples. Limite d'une fonction – définitions, théorèmes et propriétés

À partir de l'article ci-dessus, vous pouvez découvrir quelle est la limite et avec quoi elle est consommée - c'est TRÈS important. Pourquoi? Vous ne comprenez peut-être pas ce que sont les déterminants et ne réussissez pas à les résoudre ; vous ne comprenez peut-être pas du tout ce qu'est une dérivée et ne les trouvez pas avec un « A ». Mais si vous ne comprenez pas ce qu’est une limite, il sera alors difficile de résoudre des tâches pratiques. Ce serait également une bonne idée de vous familiariser avec les exemples de solutions et mes recommandations de conception. Toutes les informations sont présentées sous une forme simple et accessible.

Et pour les besoins de cette leçon, nous aurons besoin du matériel pédagogique suivant : Des limites merveilleuses Et Formules trigonométriques. Ils peuvent être trouvés sur la page. Il est préférable d'imprimer les manuels - c'est beaucoup plus pratique et, de plus, vous devrez souvent vous y référer hors ligne.

Qu’y a-t-il de si spécial dans les limites remarquables ? Ce qui est remarquable à propos de ces limites, c'est qu'elles ont été prouvées par les plus grands esprits de mathématiciens célèbres, et que leurs descendants reconnaissants n'ont pas à souffrir de terribles limites avec un tas de fonctions trigonométriques, de logarithmes et de puissances. Autrement dit, pour trouver les limites, nous utiliserons des résultats prêts à l'emploi qui ont été prouvés théoriquement.

Il existe plusieurs merveilleuses limites, mais dans la pratique, les étudiants à temps partiel ont dans 95 % des cas deux merveilleuses limites : La première limite merveilleuse, Deuxième merveilleuse limite. Il convient de noter qu'il s'agit de noms historiquement établis, et lorsque, par exemple, ils parlent de « la première limite remarquable », ils entendent par là une chose très spécifique, et non une limite aléatoire prise au plafond.

La première limite merveilleuse

Considérez la limite suivante : (au lieu de la lettre native « il », j'utiliserai la lettre grecque « alpha », c'est plus pratique du point de vue de la présentation du matériel).

D'après notre règle de recherche des limites (voir article Limites. Exemples de solutions) on essaie de substituer zéro dans la fonction : au numérateur on obtient zéro (le sinus de zéro est zéro), et au dénominateur, évidemment, il y a aussi zéro. Nous sommes donc confrontés à une incertitude sur la forme, qui, heureusement, n’a pas besoin d’être divulguée. Au cours de l'analyse mathématique, il est prouvé que :

Ce fait mathématique est appelé La première limite merveilleuse. Je ne donnerai pas de preuve analytique de la limite, mais nous examinerons sa signification géométrique dans la leçon sur fonctions infinitésimales.

Souvent, dans les tâches pratiques, les fonctions peuvent être organisées différemment, cela ne change rien :

- la même première merveilleuse limite.

Mais vous ne pouvez pas réorganiser vous-même le numérateur et le dénominateur ! Si une limite est donnée sous la forme , alors elle doit être résolue sous la même forme, sans rien réarranger.

En pratique, non seulement une variable, mais aussi une fonction élémentaire ou une fonction complexe peut faire office de paramètre. La seule chose importante c'est qu'il tende vers zéro.

Exemples :
, , ,

Ici , , , , et tout va bien - la première limite merveilleuse est applicable.

Mais l’entrée suivante est une hérésie :

Pourquoi? Parce que le polynôme ne tend pas vers zéro, il tend vers cinq.

Au fait, une petite question : quelle est la limite ? ? La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Dans la pratique, tout ne se passe pas aussi bien ; on ne propose presque jamais à un étudiant de résoudre une limite gratuite et d'obtenir une passe facile. Hmmm... J'écris ces lignes, et une pensée très importante m'est venue à l'esprit - après tout, il vaut mieux se souvenir par cœur des définitions et des formules mathématiques « libres », cela peut apporter une aide inestimable dans le test, lorsque la question sera être décidé entre « deux » et « trois », et l'enseignant décide de poser à l'élève une question simple ou de lui proposer de résoudre un exemple simple (« peut-être qu'il(s) sait encore quoi ?! »).

Passons à des exemples pratiques :

Exemple 1

Trouver la limite

Si nous remarquons un sinus dans la limite, cela devrait immédiatement nous amener à réfléchir à la possibilité d'appliquer la première limite remarquable.

Tout d'abord, nous essayons de substituer 0 dans l'expression sous le signe limite (nous le faisons mentalement ou dans un brouillon) :

On a donc une incertitude de la forme assurez-vous d'indiquer en prenant une décision. L'expression sous le signe limite est similaire à la première limite merveilleuse, mais ce n'est pas exactement cela, elle est sous le sinus, mais au dénominateur.

Dans de tels cas, nous devons organiser nous-mêmes la première limite remarquable, en utilisant une technique artificielle. Le raisonnement pourrait être le suivant : « sous le sinus nous avons , ce qui signifie que nous devons également entrer dans le dénominateur ».
Et cela se fait très simplement :

Autrement dit, le dénominateur est artificiellement multiplié dans ce cas par 7 et divisé par le même sept. Notre enregistrement a désormais pris une forme familière.
Lorsque la tâche est rédigée à la main, il convient de marquer la première limite remarquable avec un simple crayon :

Ce qui s'est passé? En fait, notre expression encerclée s'est transformée en une unité et a disparu dans l'œuvre :

Il ne reste plus qu'à se débarrasser de la fraction à trois étages :

Qui a oublié la simplification des fractions à plusieurs niveaux, veuillez actualiser le matériel dans l'ouvrage de référence Formules chaudes pour le cours de mathématiques à l'école .

Prêt. Réponse finale :

Si vous ne souhaitez pas utiliser de traits de crayon, la solution peut s'écrire comme ceci :

“

Utilisons la première limite merveilleuse

“

Exemple 2

Trouver la limite

Encore une fois, nous voyons une fraction et un sinus dans la limite. Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :

En effet, nous sommes dans l’incertitude et nous devons donc essayer d’organiser la première limite merveilleuse. En classe Limites. Exemples de solutions nous avons considéré la règle selon laquelle, en cas d'incertitude, nous devons factoriser le numérateur et le dénominateur. Ici c’est la même chose, on représentera les diplômes comme un produit (multiplicateurs) :

Semblable à l'exemple précédent, on dessine au crayon autour des limites remarquables (ici il y en a deux), et on indique qu'elles tendent vers l'unité :

En fait, la réponse est prête :

Dans les exemples suivants, je ne ferai pas d'art dans Paint, je pense que comment rédiger correctement une solution dans un cahier - vous l'avez déjà compris.

Exemple 3

Trouver la limite

On substitue zéro dans l'expression sous le signe limite :

Une incertitude a été obtenue et doit être divulguée. S'il y a une tangente dans la limite, alors elle est presque toujours convertie en sinus et cosinus en utilisant la formule trigonométrique bien connue (d'ailleurs, ils font à peu près la même chose avec la cotangente, voir matériel méthodologique Formules trigonométriques chaudes sur la page Formules mathématiques, tableaux et documents de référence).

Dans ce cas:

Le cosinus de zéro est égal à un, et il est facile de s'en débarrasser (n'oubliez pas de marquer qu'il tend vers un) :

Ainsi, si à la limite le cosinus est un MULTIPLICATEUR, alors, grosso modo, il faut le transformer en une unité qui disparaît dans le produit.

Ici, tout s'est avéré plus simple, sans multiplications ni divisions. La première limite remarquable se transforme également en une et disparaît dans le produit :

En conséquence, l'infini est obtenu, et cela se produit.

Exemple 4

Trouver la limite

Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :

L'incertitude est obtenue (le cosinus de zéro, on s'en souvient, est égal à un)

Nous utilisons la formule trigonométrique. Attention ! Pour une raison quelconque, les limites utilisant cette formule sont très courantes.

Déplaçons les facteurs constants au-delà de l'icône de limite :

Organisons la première merveilleuse limite :

Nous n’avons ici qu’une seule limite remarquable, qui se transforme en une et disparaît dans le produit :

Débarrassons-nous de la structure à trois étages :

La limite étant effectivement résolue, on indique que le sinus restant tend vers zéro :

Exemple 5

Trouver la limite

Cet exemple est plus compliqué, essayez de le comprendre vous-même :

Certaines limites peuvent être réduites à la 1ère limite remarquable en changeant une variable, vous pourrez lire cela un peu plus loin dans l'article Méthodes pour résoudre les limites.

Deuxième merveilleuse limite

Dans la théorie de l'analyse mathématique, il a été prouvé que :

Ce fait est appelé deuxième limite merveilleuse.

Référence: est un nombre irrationnel.

Le paramètre peut être non seulement une variable, mais aussi une fonction complexe. La seule chose importante c'est qu'il vise l'infini.

Exemple 6

Trouver la limite

Lorsque l'expression sous le signe limite est en degré, c'est le premier signe que vous devez essayer d'appliquer la deuxième limite merveilleuse.

Mais d'abord, comme toujours, nous essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression, le principe par lequel cela est fait est discuté dans la leçon Limites. Exemples de solutions.

Il est facile de remarquer que lorsque la base du degré est , et l'exposant est , c'est-à-dire qu'il existe une incertitude de la forme :

Cette incertitude est précisément révélée à l’aide de la deuxième limite remarquable. Mais, comme cela arrive souvent, la deuxième limite merveilleuse ne se trouve pas sur un plateau d’argent et doit être organisée artificiellement. Vous pouvez raisonner ainsi : dans cet exemple le paramètre est , ce qui signifie qu'il faut aussi s'organiser dans l'indicateur. Pour ce faire, on élève la base à la puissance, et pour que l'expression ne change pas, on l'élève à la puissance :

Lorsque la tâche est terminée à la main, on marque au crayon :

Presque tout est prêt, le terrible diplôme s'est transformé en une jolie lettre :

Dans ce cas, nous déplaçons l'icône de limite elle-même vers l'indicateur:

Exemple 7

Trouver la limite

Attention! Ce type de limite se produit très souvent, merci d'étudier cet exemple très attentivement.

Essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression sous le signe limite :

Le résultat est l’incertitude. Mais la deuxième limite remarquable concerne l’incertitude de la forme. Ce qu'il faut faire? Nous devons convertir la base du diplôme. On raisonne ainsi : au dénominateur on a , ce qui veut dire qu'au numérateur il faut aussi organiser .

Résoudre les problèmes de recherche de limites Lorsque vous résolvez des problèmes de recherche de limites, vous devez vous rappeler certaines limites afin de ne pas les recalculer à chaque fois. En combinant ces limites connues, nous trouverons de nouvelles limites utilisant les propriétés indiquées au § 4. Par commodité, nous présentons les limites les plus fréquemment rencontrées : Limites 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), si f (x) est continu x a Si l'on sait que la fonction est continue, alors au lieu de trouver la limite, nous calculons la valeur de la fonction. Exemple 1. Trouvez lim (x*-6l:+ 8). Puisque la fonction de terme multiterme X->2 est continue, alors lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Exemple 2. Trouver lim-G. . Tout d'abord, on trouve la limite du dénominateur : lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; il n'est pas égal à X-Y1 zéro, ce qui signifie qu'on peut appliquer la propriété 4 § 4, alors x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. La limite de le dénominateur X X est égal à zéro, donc la propriété 4 du § 4 ne peut pas être appliquée Puisque le numérateur est un nombre constant et que le dénominateur est [x2x) -> -0 pour x - 1, alors la fraction entière augmente indéfiniment en. valeur absolue, c'est-à-dire lim " 1 X - * - - 1 x* + x Exemple 4. Trouver lim\-ll*"!"" "La limite du dénominateur est zéro : lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, donc X propriété 4 § 4 non applicable. Mais la limite du numérateur est aussi égale à zéro : lim (x2 - 5d ; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Ainsi, les limites du numérateur et du dénominateur sont simultanément égales à zéro. Cependant, le nombre 2 est la racine à la fois du numérateur et du dénominateur, la fraction peut donc être réduite de la différence x-2 (selon le théorème de Bezout). En fait, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" donc, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Exemple 5. Trouver lim xn (n entier, positif). X avec On a xn = X* X . . X, n fois Puisque chaque facteur croît sans limite, le produit croît également sans limite, c'est-à-dire lim xn=oo. x oo Exemple 6. Trouvez lim xn(n entier, positif). X -> - CO On a xn = x x... x. Puisque chaque facteur croît en valeur absolue tout en restant négatif, alors dans le cas d'un degré pair le produit croîtra de manière illimitée tout en restant positif, c'est-à-dire lim *n = + oo (pour n pair). *-* -о Dans le cas d'un degré impair, la valeur absolue du produit augmente, mais elle reste négative, c'est-à-dire lim xn = - oo (pour n impair). p -- 00 Exemple 7. Trouver lim . x x-*- co * Si m>pu alors on peut écrire : m = n + kt où k>0. Donc xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Nous sommes arrivés à l'exemple 6. Si ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x-* yu A X ->co Ici le numérateur reste constant, et le dénominateur augmente en valeur absolue, donc lim -ь = 0. X-*oo X* Il est recommandé de mémoriser le résultat de cet exemple dans le forme suivante : La fonction puissance croît d’autant plus vite que l’exposant est grand. $хв_Зхг + 7 Exemple 8. Trouvez lim g L -г-=. Dans cet exemple x-*® «J* "Г bХ -ох-о et le numérateur et le dénominateur augmentent sans limite. Divisons à la fois le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de x, c'est-à-dire sur xb, alors 3 7_ Exemple 9. Trouver lire en effectuant des transformations, on obtient lire ^ = lim X CO + 3 7 3 Puisque lim -5 = 0, lim -, = 0. , alors la limite du dénominateur est égale à 1. Par conséquent, la fraction entière augmente sans limite, c'est-à-dire t. lim Calculons la limite S du dénominateur, en nous rappelant que la fonction cos* est continue : lire (2 + cos x) = 2 + cosy =2. Alors x->- S lim (l-fsin*) Exemple 15. Trouver lim *<*-e>2 et lime "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO appuyer sur (l: - a)2 = z; puisque (n;-a)2 croît toujours de manière non négative et sans limite avec x, alors à x- ±oo la nouvelle variable z-*oc. On obtient donc qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (voir note du §5). g -*■ co De même, lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, puisque x ± oo g m - (x- a)z diminue sans limite lorsque x ->±oo (voir note au §

Regardons quelques exemples illustratifs.

Soit x une variable numérique, X l'aire de son changement. Si chaque nombre x appartenant à X est associé à un certain nombre y, alors ils disent qu'une fonction est définie sur l'ensemble X, et écrivent y = f(x).
L'ensemble X dans ce cas est un plan composé de deux axes de coordonnées - 0X et 0Y. Par exemple, décrivons la fonction y = x 2. Les axes 0X et 0Y forment X - la zone de son changement. La figure montre clairement le comportement de la fonction. Dans ce cas, on dit que la fonction y = x 2 est définie sur l'ensemble X.

L'ensemble Y de toutes les valeurs partielles d'une fonction est appelé l'ensemble des valeurs f(x). En d'autres termes, l'ensemble de valeurs est l'intervalle le long de l'axe 0Y où la fonction est définie. La parabole représentée montre clairement que f(x) > 0, car x2 > 0. Par conséquent, la plage de valeurs sera . Nous examinons de nombreuses valeurs par 0Y.

L’ensemble de tous x est appelé le domaine de f(x). Nous examinons de nombreuses définitions par 0X et dans notre cas, la plage de valeurs acceptables est [- ; +].

Un point a (a appartient à ou X) est appelé point limite de l'ensemble X si dans n'importe quel voisinage du point a il y a des points de l'ensemble X différents de a.

Le moment est venu de comprendre quelle est la limite d’une fonction ?

Le b pur vers lequel tend la fonction lorsque x tend vers le nombre a est appelé limite de la fonction. Celui-ci s'écrit ainsi :

Par exemple, f(x) = x 2. Nous devons découvrir à quoi tend la fonction (n'est pas égale) en x 2. Tout d'abord, nous écrivons la limite :

Regardons le graphique.

Traçons une ligne parallèle à l'axe 0Y passant par le point 2 sur l'axe 0X. Il croisera notre graphique au point (2;4). Déposons une perpendiculaire de ce point à l'axe 0Y et arrivons au point 4. C'est ce que notre fonction vise en x 2. Si nous substituons maintenant la valeur 2 dans la fonction f(x), la réponse sera la même .

Maintenant, avant de passer à calcul des limites, introduisons les définitions de base.

Introduit par le mathématicien français Augustin Louis Cauchy au 19ème siècle.

Disons que la fonction f(x) est définie sur un certain intervalle qui contient le point x = A, mais il n'est pas du tout nécessaire que la valeur de f(A) soit définie.

Alors, selon la définition de Cauchy, limite de la fonction f(x) sera un certain nombre B avec x tendant vers A si pour tout C > 0 il existe un nombre D > 0 pour lequel

Ceux. si la fonction f(x) en x A est limitée par la limite B, cela s'écrit

Limite de séquence un certain nombre A est appelé si pour tout nombre positif arbitrairement petit B > 0 il existe un nombre N pour lequel toutes les valeurs dans le cas n > N satisfont l'inégalité

Cette limite ressemble à .

Une suite qui a une limite sera dite convergente ; sinon, nous l’appellerons divergente.

Comme vous l'avez déjà remarqué, les limites sont indiquées par l'icône lim, sous laquelle est écrite une condition pour la variable, puis la fonction elle-même est écrite. Un tel ensemble se lira comme « la limite d’une fonction soumise à… ». Par exemple:

- la limite de la fonction lorsque x tend vers 1.

L'expression « se rapprochant de 1 » signifie que x prend successivement des valeurs se rapprochant de 1 infiniment proches.

Il devient maintenant clair que pour calculer cette limite, il suffit de substituer la valeur 1 à x :

En plus d'une valeur numérique spécifique, x peut également tendre vers l'infini. Par exemple:

L'expression x signifie que x augmente constamment et s'approche de l'infini sans limite. Par conséquent, en substituant l'infini à x, il devient évident que la fonction 1-x tendra vers , mais avec le signe opposé :

Ainsi, calcul des limites revient à trouver sa valeur spécifique ou une certaine zone dans laquelle se situe la fonction limitée par la limite.

Sur la base de ce qui précède, il s'ensuit que lors du calcul des limites, il est important d'utiliser plusieurs règles :

Compréhension essence de la limite et règles de base calculs de limites, vous obtiendrez des informations clés sur la façon de les résoudre. Si une limite vous pose des difficultés, écrivez dans les commentaires et nous vous aiderons certainement.

Remarque : La jurisprudence est la science des lois, qui aide dans les conflits et autres difficultés de la vie.

Thème 4.6. Calcul des limites

La limite d'une fonction ne dépend pas du fait qu'elle soit définie au point limite ou non. Mais dans la pratique du calcul des limites des fonctions élémentaires, cette circonstance revêt une importance considérable.

1. Si la fonction est élémentaire et si la valeur limite de l'argument appartient à son domaine de définition, alors le calcul de la limite de la fonction se réduit à une simple substitution de la valeur limite de l'argument, car limite de la fonction élémentaire f (x) à x lutter pourUN , qui est inclus dans le domaine de définition, est égal à la valeur partielle de la fonction en x = UN, c'est-à-dire limf(x)=f( un) .

2. Si x tend vers l'infini ou l'argument tend vers un nombre qui n'appartient pas au domaine de définition de la fonction, alors dans chacun de ces cas, trouver la limite de la fonction nécessite une recherche particulière.

Vous trouverez ci-dessous les limites les plus simples basées sur les propriétés des limites pouvant être utilisées comme formules :

Cas plus complexes de recherche de la limite d'une fonction :

chacun est considéré séparément.

Cette section décrira les principales façons de divulguer les incertitudes.

1. Le cas où x lutter pourUN la fonction f(x) représente le rapport de deux quantités infinitésimales

a) Vous devez d'abord vous assurer que la limite de la fonction ne peut pas être trouvée par substitution directe et, avec le changement indiqué dans l'argument, elle représente le rapport de deux quantités infinitésimales. Des transformations sont effectuées pour réduire la fraction d'un facteur tendant vers 0. Selon la définition de la limite d'une fonction, l'argument x tend vers sa valeur limite, sans jamais coïncider avec elle.

En général, si l’on cherche la limite d’une fonction à x lutter pourUN , alors il faut se rappeler que x ne prend pas de valeur UN, c'est-à-dire x n'est pas égal à a.

b) Le théorème de Bezout est appliqué. Si vous cherchez la limite d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui disparaissent au point limite x = UN, alors selon le théorème ci-dessus les deux polynômes sont divisibles par x- UN.

c) L'irrationalité au numérateur ou au dénominateur est détruite en multipliant le numérateur ou le dénominateur par le conjugué de l'expression irrationnelle, puis après simplification la fraction est réduite.

d) La 1ère limite remarquable (4.1) est utilisée.

e) Le théorème sur l'équivalence des infinitésimaux et les principes suivants sont utilisés :

2. Le cas où x lutter pourUN la fonction f(x) représente le rapport de deux quantités infiniment grandes

a) Diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par la puissance la plus élevée de l'inconnue.

b) En général, vous pouvez utiliser la règle

3. Le cas où x lutter pourUN la fonction f (x) représente le produit d'une quantité infinitésimale et d'une quantité infiniment grande

La fraction est transformée en une forme dont le numérateur et le dénominateur tendent simultanément vers 0 ou vers l'infini, c'est-à-dire le cas 3 se réduit au cas 1 ou au cas 2.

4. Le cas où x lutter pourUN la fonction f (x) représente la différence de deux quantités infiniment grandes positives

Ce cas se réduit au type 1 ou 2 de l'une des manières suivantes :

a) amener les fractions à un dénominateur commun ;

b) convertir une fonction en fraction ;

c) se débarrasser de l'irrationalité.

5. Le cas où x lutter pourUN la fonction f(x) représente une puissance dont la base tend vers 1 et l'exposant vers l'infini.

La fonction est transformée de manière à utiliser la 2ème limite remarquable (4.2).

Exemple. Trouver .

Parce que x tend vers 3, alors le numérateur de la fraction tend vers le nombre 3 2 +3 *3+4=22, et le dénominateur tend vers le nombre 3+8=11. Ainsi,

Exemple

Ici, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont x tend vers 2 tend vers 0 (incertitude de type), on factorise le numérateur et le dénominateur, on obtient lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Exemple

En multipliant le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée au numérateur, on a

En ouvrant les parenthèses au numérateur, on obtient

Exemple

Niveau 2. Exemple. Donnons un exemple d'application de la notion de limite d'une fonction dans les calculs économiques. Considérons une opération financière ordinaire : prêter un montant S 0 à condition qu'après un certain temps T le montant sera remboursé ST. Déterminons la valeur r croissance relative formule

r = (S T -S 0)/S 0 (1)

La croissance relative peut être exprimée en pourcentage en multipliant la valeur résultante r par 100.

A partir de la formule (1), il est facile de déterminer la valeur ST:

ST= S 0 (1 + r)

Lors du calcul des prêts à long terme couvrant plusieurs années complètes, un système d'intérêts composés est utilisé. Cela consiste dans le fait que si pour la 1ère année le montant S 0 augmente à (1 + r) fois, puis pour la deuxième année en (1 + r) fois la somme augmente S 1 = S 0 (1 + r), c'est S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Il s'avère que c'est pareil S 3 = S 0 (1 + r) 3 . À partir des exemples ci-dessus, vous pouvez déduire une formule générale pour calculer la croissance du montant de n années lorsqu'il est calculé selon le régime des intérêts composés :

S n= S 0 (1 + r) n.

Dans les calculs financiers, on utilise des systèmes dans lesquels les intérêts composés sont calculés plusieurs fois par an. Dans ce cas il est stipulé taux annuel r Et nombre d'accumulations par an k. En règle générale, les cumuls sont effectués à intervalles égaux, c'est-à-dire la durée de chaque intervalle Merci fait partie de l’année. Puis pour la période en T années (ici T pas nécessairement un nombre entier) ST calculé par la formule

(2)

où est la partie entière du nombre qui coïncide avec le nombre lui-même, si, par exemple, T? entier.

Soit le taux annuel r et est produit n régularisations par an à intervalles réguliers. Puis pour l'année le montant S 0 est augmenté jusqu'à une valeur déterminée par la formule

(3)

Dans l'analyse théorique et dans la pratique de l'activité financière, la notion d'« intérêts accumulés en continu » est souvent rencontrée. Pour passer aux intérêts accumulés en continu, vous devez augmenter indéfiniment dans les formules (2) et (3), respectivement, les nombres k Et n(c'est-à-dire diriger k Et nà l'infini) et calculer jusqu'à quelle limite tendront les fonctions ST Et S 1. Appliquons cette procédure à la formule (3) :

Notez que la limite entre accolades coïncide avec la deuxième limite remarquable. Il s'ensuit qu'au rythme annuel r avec intérêts courus continuellement, le montant S 0 en 1 an augmente la valeur S 1 *, qui est déterminé à partir de la formule

S 1 * = S 0 euh (4)

Laissez maintenant la somme S 0 est accordé sous forme de prêt avec intérêts courus n une fois par an à intervalles réguliers. Notons concernant taux annuel auquel, à la fin de l'année, le montant S 0 est augmenté à la valeur S 1 * de la formule (4). Dans ce cas, nous dirons que concernant- Ce taux d'intérêt annuel n une fois par an, équivalent aux intérêts annuels r avec une accumulation continue. De la formule (3) on obtient

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Assumer les membres droits de la dernière formule et de la formule (4), en supposant dans cette dernière T= 1, on peut déduire des relations entre les quantités r Et concernant:

Ces formules sont largement utilisées dans les calculs financiers.

Limite de fonction- nombre un sera la limite d'une quantité variable si, au cours de son changement, cette quantité variable se rapproche indéfiniment un.

Ou en d'autres termes, le nombre UN est la limite de la fonction y = f(x) au point x0, si pour toute séquence de points du domaine de définition de la fonction , différent x0, et qui converge vers le point x 0 (lim x n = x0), la séquence des valeurs de fonction correspondantes converge vers le nombre UN.

Le graphique d'une fonction dont la limite, étant donné un argument qui tend vers l'infini, est égale à L:

Signification UN est limite (valeur limite) de la fonction f(x) au point x0 dans le cas d'une séquence de points , qui converge vers x0, mais qui ne contient pas x0 comme l'un de ses éléments (c'est-à-dire dans le voisinage perforé x0), séquence de valeurs de fonction converge vers UN.

Limite d'une fonction de Cauchy.

Signification UN sera limite de la fonction f(x) au point x0 si pour tout nombre non négatif pris à l'avance ε le nombre non négatif correspondant sera trouvé δ = δ(ε) tel que pour chaque argument x, satisfaisant la condition 0 < | x - x0 | < δ , l'inégalité sera satisfaite | f(x)UNE |< ε .

Ce sera très simple si vous comprenez l'essence de la limite et les règles de base pour la trouver. Quelle est la limite de la fonction f (x)à x lutter pour un est égal UN, s'écrit ainsi :

De plus, la valeur vers laquelle tend la variable x, peut être non seulement un nombre, mais aussi l'infini (∞), parfois +∞ ou -∞, ou il peut n'y avoir aucune limite du tout.

Pour comprendre comment trouver les limites d'une fonction, il est préférable de regarder des exemples de solutions.

Il faut trouver les limites de la fonction f (x) = 1/xà:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Trouvons une solution à la première limite. Pour ce faire, vous pouvez simplement remplacer x le nombre vers lequel il tend, c'est-à-dire 2, on obtient :

Trouvons la deuxième limite de la fonction. Ici, remplacez plutôt le 0 pur x c'est impossible, parce que Vous ne pouvez pas diviser par 0. Mais on peut prendre des valeurs proches de zéro, par exemple 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 et ainsi de suite, et la valeur de la fonction f (x) augmentera : 100 ; 1000 ; 10 000 ; 100 000 et ainsi de suite. Ainsi, on peut comprendre que lorsque x→ 0 la valeur de la fonction qui est sous le signe limite augmentera sans limite, c'est-à-dire tendre vers l'infini. Ce qui veut dire :

Concernant la troisième limite. La même situation que dans le cas précédent, il est impossible de substituer ∞ dans sa forme la plus pure. Il faut considérer le cas d’une augmentation illimitée x. Nous en substituons 1000 un par un ; 10 000 ; 100000 et ainsi de suite, on a ça la valeur de la fonction f (x) = 1/x diminuera : 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 ; et ainsi de suite, tendant vers zéro. C'est pourquoi :

Il faut calculer la limite de la fonction

En commençant à résoudre le deuxième exemple, nous constatons une incertitude. De là, nous trouvons le degré le plus élevé du numérateur et du dénominateur - c'est x3, on le retire des parenthèses au numérateur et au dénominateur puis on le réduit de :

Répondre

La première étape dans trouver cette limite, remplacez la valeur 1 à la place x, ce qui entraîne une incertitude. Pour le résoudre, factorisons le numérateur et faisons-le en utilisant la méthode de recherche des racines d'une équation quadratique x2 + 2x-3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3 ;x2= 1.

Le numérateur sera donc :

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