Interaction entre l'emplacement d'une droite et d'un cercle. Leçon "La position relative d'une droite et d'un cercle"

Objectif didactique : formation de nouvelles connaissances.

Objectifs de la leçon.

Pédagogique:

• former des concepts mathématiques : la tangente à un cercle, la position relative d'une droite et d'un cercle, parvenir à la compréhension et à la reproduction par les élèves de ces concepts par des travaux de recherche pratiques.

Économie de santé :

• créer un climat psychologique favorable en classe ;

Pédagogique:

• développer chez les élèves l'intérêt cognitif, la capacité d'expliquer, de résumer les résultats obtenus, de comparer, de contraster et de tirer des conclusions.

Pédagogique:

• éducation à la culture personnelle au moyen des mathématiques.

Formes de formation :

• contenu - conversation, travaux pratiques ;
• dans l’organisation d’activités – individuelles, frontales.

Plan de cours

Fixer des devoirs.

• Équipement:
• ordinateur, écran, projecteur ;

matériel à distribuer.

Ressources pédagogiques :

1. Mathématiques. Manuel pour la 6e année des établissements d'enseignement général ; / G.V. Dorofeev, M., Éducation, 2009

2. Markova V.I. Caractéristiques de l'enseignement de la géométrie dans le contexte de la mise en œuvre de la norme éducative de l'État : recommandations méthodologiques, Kirov, 2010.

3. Atanasyan L.S. Manuel « Géométrie 7-9 ».

1. Moment organisationnel. Actualisation des connaissances.

L'enseignant annonce le sujet de la leçon. Découvrez quelles associations naissent avec le mot « cercle ».

Quel est le diamètre du cercle si le rayon est de 2,4 cm ?

Quel est le rayon si le diamètre est de 6,8 cm ?

2. Fixation d'objectifs.

Les élèves fixent leurs objectifs pour la leçon, l'enseignant les résume et fixe les objectifs de la leçon.

Un programme d'activités pour le cours est établi.

3. Familiarisation avec du nouveau matériel.

1) Travailler avec des modèles : « Montrer sur des modèles comment une droite et un cercle peuvent être localisés sur un plan. »

Combien de points ont-ils en commun ?

2) Réaliser des travaux de recherche pratiques.

Cible. Établir la propriété de la position relative d'une droite et d'un cercle.

Matériel : un cercle dessiné sur une feuille de papier et un bâton en guise de ligne droite, une règle.

1. Dans le dessin (sur une feuille de papier), établissez la position relative du cercle et de la ligne droite.
2. Mesurez le rayon du cercle R et la distance entre le centre du cercle et la droite d.
3. Enregistrez les résultats de l’étude dans un tableau.

4. Tirez une conclusion sur la position relative de la droite et du cercle en fonction du rapport de R et d.

Conclusion : Si la distance du centre du cercle à la droite est égale au rayon, la droite touche le cercle et a un point commun avec le cercle. Si la distance du centre du cercle à la droite est supérieure au rayon, le cercle et la droite n'ont pas de points communs. Si la distance entre le centre du cercle et la ligne est inférieure au rayon, la ligne coupe le cercle et a deux points communs avec lui.

5. Compréhension primaire, consolidation par la résolution de problèmes.

1) Devoirs de manuels : n° 498, n° 499.

2) Déterminer la position relative de la droite et du cercle si :

• 1. R=16 cm, d=12 cm
• 2. R=5 cm, d=4,2 cm
• 3. R ​​= 7,2 dm, d = 3,7 dm
• 4. R = 8 cm, d = 1,2 dm
• 5. R=5 cm, d=50 mm

a) une droite et un cercle n'ont pas de points communs ;

b) la droite est tangente au cercle ;

c) une ligne droite coupe un cercle.

• d est la distance du centre du cercle à la droite, R est le rayon du cercle.

3) Que peut-on dire de la position relative de la ligne et du cercle si le diamètre du cercle est de 10,3 cm et la distance du centre du cercle à la ligne est de 4,15 cm ; 2 DM ; 103 millimètres ; 5,15 cm, 1 DM 3 cm.

4) Étant donné un cercle de centre O et de point A. Où se situe le point A si le rayon du cercle est de 7 cm et la longueur du segment OA est : a) 4 cm ; b) 10 cm ; c) 70 millimètres.

6. Réflexion

Qu'avez-vous appris pendant la leçon ?

Quel modèle a été établi ?

Effectuez la tâche suivante sur les cartes :

Tracez des lignes droites passant par tous les deux points. Combien de points communs chaque droite a-t-elle avec un cercle ?

La droite ______ et le cercle n’ont pas de points communs.

Une ligne droite ______ et un cercle n’ont qu’un seul point ___________.

Les droites ______, _______, ________, _______ et le cercle ont deux points communs.

7. Résumé. Fixer des devoirs :

1) analyser le cluster constitué au début du cours, le modifier en tenant compte des connaissances acquises ;

2) manuel : n° 500 ;

3) remplissez le tableau (sur cartes).

Position relative d'une droite et d'un cercle Voyons combien de points communs une droite et un cercle peuvent avoir, en fonction de leur position relative. Il est clair que si une droite passe par le centre d'un cercle, alors elle coupe le cercle aux deux extrémités du diamètre qui s'y trouve. cette prima.

Que ce soit direct r ne passe pas par le centre du rayon du cercle r. Traçons une perpendiculaire ILà une ligne droite r et désigner par la lettre d la longueur de cette perpendiculaire, c'est-à-dire la distance du centre de ce cercle à la droite (Fig. 1 ). Nous étudions la position relative d'une ligne et d'un cercle en fonction de la relation entre d Et r. Il y a trois cas possibles.

1)d r du point N mettre de côté deux segments SUR Et NV, longueurs égales (Fig. 1) D'après le théorème de Pythagore OA=,

0 B= Donc, les points UN Et DANS se trouvent sur le cercle et sont donc des points communs de la ligne r et le cercle donné.

Montrons que la droite r et ce cercle n'a pas d'autres points communs. Supposons qu'ils aient un autre point commun C. Alors la médiane O.D. triangle isocèle OÉA. porté à la base ca, est la hauteur de ce triangle, donc À PROPOSDp. Segments O.D. Et IL ne correspond pas

depuis le milieu D segment CA ne correspond pas à un point N- milieu du segment , AB. Nous avons constaté que deux perpendiculaires étaient tracées à partir du point O : IL Et OD-à une ligne droite p, ce qui est impossible. Donc Si distance la distance du centre du cercle à la ligne droite est inférieure au rayon du cercle (d< р), Que ligne droite et cercleIl y a deux points communs. Dans ce cas, la ligne s'appelle sécante par rapport au cercle.

2) ré=r. Dans ce cas OH=r, c'est-à-dire le point N se trouve sur le cercle et est donc le point commun de la ligne et du cercle (Fig. 1, b). Droit r et le cercle n'a pas d'autres points communs, puisque pour tout point M. direct r. différent du point N, OM>OH= r(oblique OM plus perpendiculaire IL), et donc , le point M ne se trouve pas sur le cercle. Alors si coursesLa distance du centre du cercle à la droite est égale au rayon, alors la droite et le cercle n'ont qu'un seul point commun.

3) d>r Dans ce cas -OH> r C'est pourquoi . pour n'importe quel point M. direct p 0MON.>r( riz . 1,UN) Le point M ne se trouve donc pas sur le cercle. Donc, .si la distance du centre du cercleSi la distance à la droite est supérieure au rayon du cercle, alors la droite et le cercle n'ont pas de points communs.

Nous avons prouvé qu’une droite et un cercle peuvent avoir un ou deux points communs et n’en avoir aucun. Une ligne droite avec un cercle seulement un le point commun s'appelle la tangente au cercle, et leur le point commun est appelé point de tangence de la droite et du cercle. Sur la figure 2, il y a une ligne droite r- tangent à un cercle de centre O, UN- point de contact.

Démontrons le théorème sur la propriété tangente.

Théorème. Une tangente à un cercle est perpendiculaireÀ rayon tracé jusqu'au point de contact.

Preuve. Laisser r- tangent à un cercle de centre O. UN- point de contact (voir Fig. 2). Prouvons-le. quelle est la tangente r perpendiculaire au rayon OA.

Supposons que ce ne soit pas le cas. Puis le rayon : OA est incliné vers une ligne droite r. Puisque la perpendiculaire tirée du point À PROPOSà une ligne droite p, moins enclin OA, puis les distances du centre À PROPOS cercle en ligne droite r inférieur au rayon. Par conséquent, directement r et le cercle ont deux points communs. Mais cela contredit la condition ; droit r- tangente. Ainsi, directement r perpendiculaire au rayon OA. Le théorème a été prouvé.

Considérons deux tangentes à un cercle de centre À PROPOS, en passant par le point UN et toucher le cercle à des points DANS et C (Fig. 3). Segments AB Et CA appelons segments tangentsnyh, tiré du point A. Ils ont la propriété suivante, qui découle du théorème prouvé :

Les segments de tangentes à un cercle tirés à partir d'un point sont égaux et font des angles égaux avec une droite passant par ce point et le centre du cercle.

Pour prouver cette affirmation, tournons-nous vers la figure 3. D'après le théorème sur la propriété tangente, les angles 1 et 2 sont des angles droits, donc les triangles ABO Et ASS rectangulaire. Ils sont égaux car ils ont une hypoténuse commune OA et jambes égales OB Et Système d'exploitation. Ainsi, AB = AC et 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Riz. 2 Fig. 3

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Dessiner le diamètre à travers le point de contact MOI, nous aurons : ; C'est pourquoi

Riz. 1 fig. 2

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Dépendance entre les arcs, les cordes et les distances des cordes au centre.

Théorèmes. Dans un cercle ou V cercles égaux :

1) si les arcs sont égaux, alors les cordes qui les sous-tendent sont égales et également éloignées du centre ;

2) si deux arcs plus petits qu'un demi-cercle ne sont pas égaux, alors le plus grand d'entre eux est sous-tendu par la plus grande corde et des deux cordes, la plus grande est située plus près du centre .

1) Laissez l'arc ABégal à l'arc CD(Fig. 1), il faut prouver que les accords AB et CDégal et aussi égal et perpendiculaire OE Et DE, abaissé du centre vers les cordes.

Faisons tourner le secteur OAJB autour du centre À PROPOS dans la direction indiquée par la flèche à tel point que le rayon À PROPOS a coïncidé avec Système d'exploitation. Puis arc VIRGINIE. ira en arc de cercle CD et du fait de leur égalité, ces arcs se chevaucheront. Cela signifie que l'accord AS coïncide avec l'accord CD et perpendiculaire OE coïncidera avec DE(à partir d'un point, une seule perpendiculaire peut être abaissée sur une ligne droite), c'est-à-dire AB =CD Et OE=DE.

2) Laissez l'arc AB(Fig. 2) moins d'arc CD, et de plus, les deux arcs sont plus petits qu’un demi-cercle ; il faut prouver que l'accord AB moins d'accord CD, et perpendiculaire OE plus perpendiculaire DE. Mettons-le sur l'arc CD arc Sask.,égal à AB, et trace un accord auxiliaire Sask., qui, d’après ce qui a été prouvé, est égale à la corde AB et à égale distance du centre. Aux triangles MORUE. Et JUS deux côtés de l'un sont égaux aux deux côtés de l'autre (comme les rayons), mais les angles compris entre ces côtés ne sont pas égaux ; dans ce cas, comme nous le savons, contre le plus grand des angles, c'est-à-dire lCOD, le plus grand côté doit se trouver, ce qui signifie CD>CK, et donc CD>AB.

Pour prouver que OE>DE, nous allons procéder OLXCK et tenir compte du fait que, selon ce qui a été prouvé, OE=OL ; il nous suffit donc de comparer DE Avec L'OL. Dans un triangle rectangle 0 FM(recouvert sur la figure par des tirets) hypoténuse OM plus de jambe DE; Mais OL>OM;ça veut dire encore plus OL>DE. et donc OE>DE.

Le théorème que nous avons prouvé pour un cercle reste vrai pour des cercles égaux, car ces cercles ne diffèrent les uns des autres que par leur position.

Théorèmes inverses. Puisque dans le paragraphe précédent toutes sortes de cas mutuellement exclusifs concernant la taille comparative de deux arcs de même rayon ont été considérés, et que des conclusions mutuellement exclusives ont été obtenues concernant la taille comparative des cordes et leurs distances par rapport au centre, alors les propositions inverses doivent être vrai, c. exactement:

DANS un cercle ou des cercles égaux :

1) les accords égaux sont à égale distance du centre et sous-tendent des arcs égaux ;

2) les accords également éloignés du centre sont égaux et sous-tendent des arcs égaux ;

3) de deux accords inégaux, le plus grand est plus proche du centre et sous-tend le plus grand arc ;

4) de deux accords inégalement éloignés du centre, ce qui est plus proche du centre est plus grand et sous-tend un arc plus grand.

Ces propositions peuvent être facilement prouvées par contradiction. Par exemple, pour prouver le premier d'entre eux, on raisonne ainsi : si ces cordes sous-tendaient des arcs inégaux, alors, d'après le théorème direct, elles ne seraient pas égales, ce qui contredit la condition ; Cela signifie que des cordes égales doivent sous-tendre des arcs égaux ; et si les arcs sont égaux, alors, d'après le théorème direct, les cordes qui les sous-tendent sont également éloignées du centre.

Théorème. Le diamètre est la plus grande des cordes .

Si nous nous connectons au centre À PROPOS les extrémités d'une corde qui ne passe pas par le centre, par exemple une corde AB(Fig. 3) alors on obtient un triangle AOB, dans lequel un côté est cette corde, et les deux autres sont des rayons, mais dans un triangle, chaque côté est inférieur à la somme des deux autres côtés ; donc l'accord AB inférieur à la somme de deux rayons ; alors que chaque diamètre CDégal à la somme de deux rayons. Cela signifie que le diamètre est supérieur à toute corde qui ne passe pas par le centre. Mais comme le diamètre est aussi une corde, on peut dire que le diamètre est la plus grande des cordes.

Riz. 1 fig. 2

Théorème de la tangente.

Comme déjà mentionné, les segments tangents dessinés à un cercle à partir d'un point ont la même longueur. Cette longueur est appelée distance tangente d'un point à un cercle.

Sans le théorème de la tangente, il est impossible de résoudre plus d’un problème concernant les cercles inscrits, c’est-à-dire les cercles touchant les côtés d’un polygone.

Distances tangentes dans un triangle.

Trouver les longueurs des segments pour lesquels les côtés du triangle abc sont divisés par des points de tangence avec un cercle inscrit (Fig. 1,a), par exemple, la distance tangente ta du point UN au cercle. Ajoutons les côtés b Et c, puis soustrayez le côté de la somme UN. Compte tenu de l'égalité des tangentes tirées d'un sommet, on obtient 2 ta. Donc,

ta=(b+c-un)/ 2=p-un,

Où p=(un+b+c)/ 2 est le demi-périmètre de ce triangle. La longueur des segments latéraux adjacents aux sommets DANS Et AVEC, sont égaux respectivement p-b Et p-c.

De même, pour l'excercle d'un triangle tangent à (à l'extérieur) le côté UN(Fig. 1, b), les distances tangentes de DANS Et AVEC sont respectivement égaux p-c Et p-b, et du haut UN- Juste p.

Notez que ces formules peuvent également être utilisées dans le sens inverse.

Laisse-le aller dans le coin TOI un cercle est inscrit et la distance tangente du sommet de l'angle au cercle est égale àp oup- un, Oùp– demi-périmètre d'un triangle abc, UN a=BC. Puis le cercle touche la ligne Soleil(respectivement à l'extérieur ou à l'intérieur du triangle).

En fait, supposons par exemple que la distance tangente soit égale p-un. Ensuite, nos cercles touchent les côtés de l'angle aux mêmes points que le cercle inscrit du triangle. abc, ce qui signifie que cela coïncide avec lui. Il touche donc la ligne Soleil.

Quadrilatère circonscrit. Du théorème sur l'égalité des tangentes il résulte immédiatement (Fig. 2a) que

Si un cercle peut s'inscrire dans un quadrilatère, alors les sommes de ses côtés opposés sont égales :

AD+ BC= AB+ CD

Notez que le quadrilatère décrit est nécessairement convexe. L’inverse est également vrai :

Si le quadrilatère est convexe et que les sommes de ses côtés opposés sont égales, alors un cercle peut y être inscrit.

Montrons cela pour un quadrilatère autre qu'un parallélogramme. Soit par exemple deux côtés opposés d'un quadrilatère AB Et cc, lorsqu'ils sont continués, ils se croiseront en un point E(Fig.2,b). Inscrivons un cercle dans un triangle ADE. Sa distance tangente te au point E exprimé par la formule

te=½ (AE+ED-ANNONCE).

Mais d’après la condition, les sommes des côtés opposés d’un quadrilatère sont égales, ce qui signifie AD+BC=AB+CD, ou AD=AB+CD-Colombie-Britannique. En remplaçant cette valeur dans l'expression de te, nous obtenons

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+avant JC)= ½ (ÊTRE+CE+Colombie-Britannique),

et c'est le demi-périmètre du triangle avant notre ère. De la condition de tangence démontrée ci-dessus, il s'ensuit que notre cercle touche Colombie-Britannique.

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Deux tangentes tracées au cercle à partir d'un point extérieur à celui-ci sont égales et forment des angles égaux avec la droite reliant ce point au centre, qui découle de l'égalité des triangles rectangles AOB et AOB1

Soit un cercle et une ligne droite sur un plan. Déposons une perpendiculaire du centre du cercle C sur cette droite ; désignons par la base de cette perpendiculaire. Un point peut occuper trois positions possibles par rapport au cercle : a) se trouver à l'extérieur du cercle, b) sur le cercle, c) à l'intérieur du cercle. En fonction de cela, la ligne droite occupera l'une des trois positions différentes possibles par rapport au cercle, décrites ci-dessous.

a) Laissez la base de la perpendiculaire descendue du centre C du cercle jusqu'à la droite a se trouver à l'extérieur du cercle (Fig. 197). Alors la ligne droite ne coupe pas le cercle ; tous ses points se trouvent dans la région extérieure. En effet, dans le cas indiqué, par condition, il est éloigné du centre à une distance supérieure au rayon). De plus, pour tout point M sur une droite a, nous avons, c'est-à-dire que chaque point sur une droite donnée se trouve à l'extérieur du cercle.

b) Laissez tomber la base de la perpendiculaire sur le cercle (Fig. 198). Alors la droite a a exactement un point commun avec le cercle. En effet, si M est un autre point de la droite, alors (les points inclinés sont plus longs que les perpendiculaires) le point M se situe dans la région externe. Une telle droite, qui a un seul point commun avec le cercle, est appelée tangente au cercle en ce point. Montrons qu'à l'inverse, si une droite a un seul point commun avec un cercle, alors le rayon tracé jusqu'à ce point est perpendiculaire à cette droite. En effet, déposons une perpendiculaire du centre sur cette droite. Si sa base se trouvait à l’intérieur du cercle, alors la droite aurait deux points communs avec elle, comme indiqué en c). Si elle se trouvait à l’extérieur du cercle, alors en vertu de a) la ligne droite n’aurait pas de points communs avec le cercle.

Par conséquent, il reste à supposer que la perpendiculaire tombe au point commun de la droite et du cercle - au point de leur tangence. Il s'est avéré important

Théorème. Une ligne droite passant par un point d'un cercle touche le cercle si et seulement si elle est perpendiculaire au rayon tracé vers ce point.

Notez que la définition d'une tangente à un cercle donnée ici ne s'applique pas aux autres courbes. Une définition plus générale de la tangente d'une ligne droite à une ligne courbe est associée aux concepts de la théorie des limites et est discutée en détail au cours des mathématiques supérieures. Nous n’en donnerons ici qu’une idée générale. Soit un cercle et le point A dessus (Fig. 199).

Prenons un autre point A du cercle et connectons les deux points de la droite AA. Supposons que le point A, se déplaçant le long d'un cercle, occupe une succession de nouvelles positions, se rapprochant de plus en plus du point A. La droite AA, tournant autour de A, prend un certain nombre de positions : dans ce cas, à mesure que le point mobile se rapproche du point A. , la droite tend à coïncider avec la tangente AT. On peut donc parler de tangente comme de la position limite d'une sécante passant par un point donné et d'un point d'une courbe qui s'en rapproche sans limite. Sous cette forme, la définition d'une tangente est applicable à des courbes de forme très générale (Fig. 200).

c) Enfin, laissez le point se trouver à l'intérieur du cercle (Fig. 201). Alors . Nous considérerons des cercles inclinés tracés vers la droite a à partir du centre C, avec des bases s'éloignant du point dans l'une des deux directions possibles. La longueur de l'incliné augmentera de manière monotone à mesure que sa base s'éloigne du point ; cette augmentation de la longueur de l'incliné se produit progressivement (« continuellement ») à partir de valeurs proches de valeurs arbitrairement grandes, il semble donc clair que à une certaine position des bases inclinées, leur longueur sera exactement égale, les points correspondants K et L de la ligne se trouveront sur le cercle.