Résoudre un problème revient généralement à trouver la valeur d’une certaine quantité grâce à un raisonnement logique et à des calculs. Par exemple, trouvez la vitesse, le temps, la distance, la masse d'un objet ou la quantité de quelque chose.
Ce problème peut être résolu en utilisant l'équation. Pour ce faire, la valeur souhaitée est notée via une variable, puis une équation est créée et résolue à l'aide d'un raisonnement logique. Après avoir résolu l’équation, ils vérifient si la solution de l’équation satisfait aux conditions du problème.
Contenu de la leçonÉcrire des expressions contenant une inconnue
La résolution d'un problème s'accompagne de l'élaboration d'une équation pour ce problème. Au stade initial de l'étude des problèmes, il est conseillé d'apprendre à composer des expressions écrites décrivant une situation de vie particulière. Cette étape n’est pas difficile et peut être étudiée dans le cadre du processus de résolution du problème lui-même.
Considérons plusieurs situations qui peuvent être écrites à l'aide d'une expression mathématique.
Problème 1. L'âge du père x années. Maman a deux ans de moins. Le fils est 3 fois plus jeune que son père. Notez l'âge de chacun à l'aide d'expressions.
Solution:
Problème 2. L'âge du père x ans, la mère a 2 ans de moins que le père. Le fils est 3 fois plus jeune que le père, la fille est 3 fois plus jeune que la mère. Notez l'âge de chacun à l'aide d'expressions.
Solution:
Problème 3. L'âge du père x ans, la mère a 3 ans de moins que le père. Le fils est 3 fois plus jeune que le père, la fille est 3 fois plus jeune que la mère. Quel âge a chaque personne si l’âge combiné du père, de la mère, du fils et de la fille est de 92 ans ?
Solution:
Dans ce problème, en plus d'écrire des expressions, il est nécessaire de calculer l'âge de chaque membre de la famille.
Tout d'abord, écrivons l'âge de chaque membre de la famille à l'aide d'expressions. Par variable x Prenons l'âge du père, puis en utilisant cette variable nous composerons les expressions restantes :
Déterminons maintenant l'âge de chaque membre de la famille. Pour ce faire, nous devons créer et résoudre une équation. Nous avons déjà tous les composants de l’équation prêts. Il ne reste plus qu'à les assembler.
L'âge total de 92 ans a été obtenu en additionnant les âges du père, de la mère, du fils et de la fille :
Pour chaque âge, nous avons compilé une expression mathématique. Ces expressions seront les composantes de notre équation. Assemblons notre équation selon ce schéma et le tableau donné ci-dessus. C'est-à-dire que nous remplaçons les mots papa, maman, fils, fille par l'expression qui leur correspond dans le tableau :
Expression indiquant l'âge de la mère X - 3, pour plus de clarté, il a été mis entre parenthèses.
Résolvons maintenant l'équation résultante. Pour commencer, vous pouvez étendre les parenthèses lorsque cela est possible :
Pour libérer l'équation des fractions, multipliez les deux côtés par 3
Résolvons l'équation résultante en utilisant les transformations d'identité connues :
Nous avons trouvé la valeur de la variable x. Cette variable était responsable de l'âge du père. Cela signifie que l'âge du père est de 36 ans.
Connaissant l'âge du père, vous pouvez calculer l'âge du reste des membres de la famille. Pour ce faire, vous devez remplacer la valeur de la variable x dans les expressions qui sont responsables de l'âge d'un membre particulier de la famille.
Le problème était que la mère avait 3 ans de moins que le père. Nous avons indiqué son âge en utilisant l'expression x−3. Valeur variable x est maintenant connu, et pour calculer l’âge de la mère, il faut dans l’expression x−3 au lieu de x remplacer la valeur trouvée 36
x − 3 = 36 − 3 = Maman a 33 ans.
L'âge des autres membres de la famille est déterminé de la même manière :
Examen:
Problème 4. Un kilo de pommes coûte x roubles Écrivez une expression qui calcule combien de kilogrammes de pommes peuvent être achetés pour 300 roubles.
Solution
Si un kilo de pommes coûte x roubles, alors pour 300 roubles, vous pouvez acheter un kilogramme de pommes.
Exemple. Un kilo de pommes coûte 50 roubles. Ensuite, pour 300 roubles, vous pouvez acheter, soit 6 kilogrammes de pommes.
Problème 5. Sur x roubles ont acheté 5 kg de pommes. Écrivez une expression qui calcule combien de roubles coûte un kilogramme de pommes.
Solution
Si 5 kg de pommes étaient payés x roubles, alors un kilogramme coûtera des roubles
Exemple. 5 kg de pommes ont été achetés pour 300 roubles. Ensuite, un kilo de pommes coûtera 60 roubles.
Problème 6. Tom, John et Leo sont allés à la cafétéria pendant la récréation et ont acheté un sandwich et une tasse de café. Le sandwich vaut le coup x roubles et une tasse de café - 15 roubles. Déterminer le coût d'un sandwich si vous savez que 120 roubles ont été payés pour tout ?
Solution
Bien entendu, ce problème est aussi simple que trois centimes et peut être résolu sans recourir à une équation. Pour ce faire, à partir de 120 roubles, vous devez soustraire le coût de trois tasses de café (15 × 3) et diviser le résultat par 3.
Mais notre objectif est de créer une équation pour le problème et de résoudre cette équation. Donc, le prix d'un sandwich x roubles Seulement trois d’entre eux ont été achetés. Cela signifie qu'en multipliant le coût par trois, nous obtenons une expression décrivant combien de roubles ont été payés pour trois sandwichs.
3x – coût de trois sandwichs
Et le coût de trois tasses de café peut s’écrire 15 × 3. 15 est le coût d'une tasse de café et 3 est un multiplicateur (Tom, John et Leo), multipliant ce coût par trois.
Selon les conditions du problème, 120 roubles ont été payés pour tout. Nous avons déjà un schéma approximatif de ce qui doit être fait :
Nous avons déjà préparé des expressions décrivant le coût de trois sandwichs et de trois tasses de café. Ce sont des expressions 3 x et 15 × 3. À l'aide du diagramme, nous allons créer une équation et la résoudre :
Ainsi, le coût d'un sandwich est de 25 roubles.
Le problème ne peut être résolu correctement que si son équation est correctement composée. Contrairement aux équations ordinaires, avec lesquelles nous apprenons à trouver des racines, les équations permettant de résoudre des problèmes ont leur propre application spécifique. Chaque composante d’une telle équation peut être décrite sous forme verbale. Lors de la composition d'une équation, il est impératif de comprendre pourquoi on inclut tel ou tel composant dans sa composition et pourquoi il est nécessaire.
Il faut également se rappeler que l'équation est une égalité, après avoir résolu laquelle le côté gauche devra être égal au côté droit. L'équation compilée ne doit pas contredire cette idée.
Imaginons que l'équation soit une balance avec deux bols et un écran affichant l'état de la balance.
L'écran affiche actuellement un signe égal. Il est clair pourquoi le bol de gauche est égal au bol de droite : il n'y a rien sur les bols. On note l'état de la balance et l'absence de quoi que ce soit sur les bols en utilisant l'égalité suivante :
0 = 0
Mettons une pastèque sur le côté gauche de la balance :
Le bol de gauche dépassait le bol de droite et l'écran a sonné l'alarme, affichant le signe différent (≠). Ce signe indique que le bol de gauche n'est pas égal au bol de droite.
Essayons maintenant de résoudre le problème. Supposons que vous vouliez savoir combien pèse la pastèque qui se trouve dans le bol de gauche. Mais comment le sais-tu ? Après tout, nos balances sont conçues uniquement pour vérifier si le plateau gauche est égal à celui de droite.
Les équations viennent à la rescousse. Rappelons que l'équation par définition est égalité, contenant une variable dont vous souhaitez rechercher la valeur. Dans ce cas, la balance joue le rôle de cette même équation, et la masse de la pastèque est une variable dont il faut trouver la valeur. Notre objectif est de réussir cette équation. Comprenez, nivelez la balance pour pouvoir calculer la masse de la pastèque.
Pour niveler la balance, vous pouvez placer un objet lourd sur le plateau droit. Par exemple, mettons-y un poids de 7 kg.
Or, au contraire, le bol de droite l’emporte sur le gauche. L'écran montre toujours que les bols ne sont pas égaux.
Essayons de placer un poids de 4 kg sur le bol de gauche
Aujourd’hui, la balance s’est stabilisée. L'image montre que le bol de gauche est au niveau du bol de droite. Et l'écran affiche un signe égal. Ce signe indique que le bol de gauche est égal au bol de droite.
Ainsi, nous avons obtenu une équation - une égalité contenant une inconnue. Le bol de gauche est le côté gauche de l'équation, composé des composants 4 et de la variable x(masse de pastèque), et le bol de droite est le côté droit de l'équation, constitué du composant 7.
Eh bien, il n’est pas difficile de deviner que la racine de l’équation est 4 + x= 7 est égal à 3. Cela signifie que la masse de la pastèque est de 3 kg.
La situation est similaire pour d’autres tâches. Pour trouver une valeur inconnue, divers éléments sont ajoutés à gauche ou à droite de l'équation : termes, facteurs, expressions. Dans les problèmes scolaires, ces éléments sont déjà donnés. Il ne reste plus qu'à les structurer correctement et à construire une équation. Dans cet exemple, nous étions engagés dans une sélection, en essayant des poids de différentes masses afin de calculer la masse de la pastèque.
Naturellement, les données fournies dans le problème doivent d’abord être présentées sous une forme dans laquelle elles peuvent être incluses dans l’équation. C'est pourquoi, comme on dit « Que cela vous plaise ou non, il faut réfléchir ».
Considérons le problème suivant. L'âge du père est égal à l'âge du fils et de la fille ensemble. Le fils est deux fois plus âgé que sa fille et vingt ans plus jeune que son père. Quel âge a tout le monde ?
L'âge de la fille peut être indiqué par x. Si un fils est deux fois plus âgé que sa fille, alors son âge sera indiqué comme 2 x. L'énoncé du problème indique qu'ensemble, l'âge de la fille et du fils est égal à l'âge du père. Cela signifie que l'âge du père sera indiqué par la somme x + 2x
Des termes similaires peuvent être donnés dans l'expression. L'âge du père sera alors noté 3 x
Créons maintenant une équation. Nous devons obtenir une égalité dans laquelle nous pouvons trouver l'inconnue x. Utilisons des balances. Sur le côté gauche nous mettons l'âge du père (3 x) , et à droite l'âge du fils (2 x)
Il est clair pourquoi le bol de gauche l'emportait sur celui de droite et pourquoi l'écran affiche le signe (≠). Il est logique que l’âge du père soit supérieur à celui du fils.
Mais nous devons équilibrer la balance pour pouvoir calculer l'inconnu. x. Pour ce faire, vous devez ajouter un numéro dans le bol de droite. Quel nombre exact est indiqué dans le problème. La condition stipulait que le fils avait 20 ans de moins que son père. Cela signifie que 20 ans est le chiffre qu’il faut mettre sur la balance.
Les échelles se stabiliseront si l’on ajoute ces 20 années au côté droit de l’échelle. Autrement dit, nous élèverons le fils jusqu'à l'âge du père
Aujourd’hui, la balance s’est stabilisée. Le résultat est une équation 
, qui peut être facilement résolu :
x Nous avons indiqué l'âge de notre fille. Nous avons maintenant trouvé la valeur de cette variable. La fille a 20 ans.
Eh bien, enfin, calculons l'âge du père. Le problème disait qu'il est égal à la somme des âges du fils et de la fille, soit (20 + 40) ans.
Revenons au milieu du problème et prêtons attention à un point. Lorsque nous mettons l'âge du père et celui du fils sur la balance, le côté gauche l'emportait sur le côté droit.
Mais nous avons résolu ce problème en ajoutant 20 années supplémentaires au bon bol. En conséquence, la balance a été nivelée et nous avons obtenu l'égalité
Mais il était possible de ne pas ajouter ces 20 années au bol de droite, mais de les soustraire à celui de gauche. Nous obtiendrions également l'égalité dans ce cas
Cette fois, nous obtenons l'équation 
. La racine de l'équation est toujours 20
Autrement dit, les équations Et sont équivalents. Et on se souvient que les équations équivalentes ont les mêmes racines. Si vous regardez attentivement ces deux équations, vous remarquerez que la deuxième équation est obtenue en transférant le nombre 20 du côté droit vers le côté gauche avec le signe opposé. Et cette action, comme indiqué dans la leçon précédente, ne change pas les racines de l’équation.
Vous devez également faire attention au fait qu'au début de la résolution du problème, l'âge de chaque membre de la famille pourrait être indiqué par d'autres expressions.
Disons que l'âge du fils est indiqué par x et comme il est deux fois plus âgé que sa fille, alors indiquez l'âge de la fille par (comprenez, faites-la deux fois plus jeune que son fils). Et l'âge du père, puisqu'il est la somme des âges du fils et de la fille, est désigné par l'expression . Et enfin, pour construire une équation logiquement correcte, vous devez ajouter le nombre 20 à l’âge de votre fils, car le père a vingt ans de plus. Le résultat est une équation complètement différente. 
. Résolvons cette équation
Comme vous pouvez le constater, les réponses au problème n’ont pas changé. Mon fils a encore 40 ans. La fille est encore vieille et le père a 40 + 20 ans.
En d’autres termes, le problème peut être résolu par différentes méthodes. Par conséquent, vous ne devez pas désespérer de ne pas pouvoir résoudre tel ou tel problème. Mais vous devez garder à l’esprit qu’il existe les moyens les plus simples de résoudre le problème. Vous pouvez accéder au centre-ville par différents itinéraires, mais il existe toujours l'itinéraire le plus pratique, le plus rapide et le plus sûr.
Exemples de résolution de problèmes
Tâche 1. Il n'y a que 30 cahiers répartis en deux packs. Si 2 cahiers étaient transférés du premier pack vers le second, alors le premier pack contiendrait deux fois plus de cahiers que le second. Combien de cahiers y avait-il dans chaque paquet ?
Solution
Notons par x le nombre de cahiers qui se trouvaient dans le premier pack. S'il y avait 30 cahiers au total et que la variable x est le nombre de cahiers du premier pack, alors le nombre de cahiers du deuxième pack sera noté par l'expression 30 - x. Autrement dit, du nombre total de cahiers, nous soustrayons le nombre de cahiers du premier pack et obtenons ainsi le nombre de cahiers du deuxième pack.
et ajoutez ces deux cahiers au deuxième pack
Essayons de créer une équation à partir des expressions existantes. Mettez les deux piles de cahiers sur la balance
Le bol de gauche est plus lourd que celui de droite. En effet, l'énoncé du problème indique qu'après avoir pris deux cahiers du premier pack et les avoir placés dans le second, le nombre de cahiers dans le premier pack est devenu deux fois plus grand que dans le second.
Pour égaliser les échelles et obtenir l'équation, doublons le côté droit. Pour ce faire, multipliez-le par 2
Le résultat est une équation. Résolvons cette équation :
Nous avons noté le premier pack via la variable x. Nous avons maintenant trouvé sa signification. Variable x est égal à 22. Cela signifie qu'il y avait 22 cahiers dans le premier pack.
Et nous avons noté le deuxième pack par l'expression 30 − x et puisque la valeur est une variable x Maintenant que nous le savons, nous pouvons calculer le nombre de cahiers dans le deuxième pack. Il est égal à 30 − 22, soit 8 pièces.
Problème 2. Deux personnes épluchaient des pommes de terre. L'un épluchait deux pommes de terre par minute et le second en épluchait trois. Ensemble, ils ont nettoyé 400 pièces. Combien de temps chaque personne a-t-elle travaillé si la seconde travaillait 25 minutes de plus que la première ?
Solution
Notons par x temps de travail de la première personne. Puisque la deuxième personne a travaillé 25 minutes de plus que la première, son temps sera désigné par l'expression
Le premier ouvrier épluchait 2 pommes de terre par minute, et depuis qu'il travaillait x minutes, puis au total il en a effacé 2 x pommes de terre.
Le deuxième homme épluchait trois pommes de terre par minute, et comme il travaillait pendant quelques minutes, il épluchait un total de pommes de terre.
Ensemble, ils ont épluché 400 pommes de terre
En utilisant les composants disponibles, nous composerons et résoudrons une équation. Sur le côté gauche de l'équation il y aura les pommes de terre pelées par chaque personne, et sur le côté droit il y aura leur somme :
Au début de la résolution de ce problème via une variable x nous avons indiqué le temps de travail de la première personne. Nous avons maintenant trouvé la valeur de cette variable. La première personne a travaillé pendant 65 minutes.
Et la deuxième personne a travaillé pendant quelques minutes, et depuis la valeur de la variable x Maintenant que nous le savons, nous pouvons alors calculer le temps de travail de la deuxième personne - il est égal à 65 + 25, soit 90 minutes.
Problème du manuel d'algèbre d'Andrei Petrovich Kiselev. Un mélange de 32 kg est réalisé à partir de variétés de thé. Un kilogramme de première année coûte 8 roubles et un kilogramme de deuxième année coûte 6 roubles. 50 kopecks Combien de kilogrammes des deux variétés sont pris, si un kilogramme du mélange coûte (sans profit ni perte) 7 roubles. 10 kopecks ?
Solution
Notons par x beaucoup de thé de première qualité. Alors la masse de thé de deuxième qualité sera désignée par l'expression 32 − x
Un kilo de thé de première qualité coûte 8 roubles. Si ces huit roubles sont multipliés par le nombre de kilogrammes de thé de première qualité, vous pourrez alors savoir combien de roubles cela coûte x kg de thé de première qualité.
Un kilo de thé de deuxième qualité coûte 6 roubles. 50 kopecks Si ces 6 roubles. 50 kopecks multiplier par 32 −x, vous pourrez alors découvrir combien coûte 32 roubles −x kg de thé de deuxième qualité.
Les conditions disent qu'un kilogramme du mélange coûte 7 roubles. 10 kopecks Au total, 32 kg du mélange ont été préparés. Multiplions 7 roubles. 10 kopecks à 32 ans, on peut savoir combien coûte 32 kg de mélange.
Les expressions à partir desquelles nous allons composer l'équation prennent maintenant la forme suivante :
Essayons de créer une équation à partir des expressions existantes. Mettons sur le plateau de gauche de la balance le coût des mélanges de thé de première et de deuxième qualité, et sur le plateau de droite nous mettrons le coût de 32 kg du mélange, c'est-à-dire le coût total du mélange, qui contient les deux types de thé :
Au début de la résolution de ce problème via une variable x Nous avons désigné la masse de thé de première qualité. Nous avons maintenant trouvé la valeur de cette variable. Variable x est égal à 12,8. Cela signifie que 12,8 kg de thé de première qualité ont été prélevés pour préparer le mélange.
Et à travers l'expression 32 −x nous avons désigné la masse de thé de deuxième qualité et comme la valeur est variable x Maintenant que c’est connu, nous pouvons calculer la masse du thé de deuxième qualité. Il est égal à 32 − 12,8, soit 19,2. Cela signifie que 19,2 kg de thé de deuxième qualité ont été prélevés pour préparer le mélange.
Problème 3. Un cycliste a parcouru une certaine distance à une vitesse de 8 km/h. Il a dû revenir par une autre route, plus longue de 3 km que la première, et, bien que revenant à une vitesse de 9 km/h, il a mis plus de minutes. Quelle était la longueur des routes ?
Solution
Certains problèmes peuvent concerner des sujets que la personne n’a peut-être pas étudiés. Cette tâche appartient à une telle gamme de tâches. Il aborde les notions de distance, de vitesse et de temps. Par conséquent, afin de résoudre un tel problème, vous devez avoir une idée des éléments abordés dans le problème. Dans notre cas, nous devons connaître la distance, la vitesse et le temps.
Le problème consiste à trouver les distances de deux routes. Il faut créer une équation qui nous permettra de calculer ces distances.
Rappelons à quel point la distance, la vitesse et le temps sont interconnectés. Chacune de ces quantités peut être décrite à l'aide d'une équation littérale :
Nous utiliserons le côté droit de l’une de ces équations pour construire notre propre équation. Pour savoir lequel, vous devez revenir au texte du problème et chercher quelque chose à comprendre
Vous pouvez saisir le moment où le cycliste sur le chemin du retour a mis plus de minutes. Cet indice nous indique que nous pouvons utiliser l'équation, à savoir son côté droit. Cela nous permettra de créer une équation contenant la variable S .
Notons donc la longueur de la première route par S. Le cycliste a parcouru cet itinéraire à une vitesse de 8 km/h. Le temps qu'il lui a fallu pour parcourir ce chemin sera désigné par l'expression, puisque le temps est le rapport de la distance parcourue à la vitesse
Le chemin de retour pour le cycliste était plus long de 3 km. Par conséquent, sa distance sera notée par l’expression S+ 3. Le cycliste a parcouru cette route à une vitesse de 9 km/h. Cela signifie que le temps pendant lequel il a parcouru ce chemin sera désigné par l'expression .
Créons maintenant une équation à partir des expressions existantes
Le bol de droite est plus lourd que le gauche. En effet, le problème indique que le cycliste a passé plus de temps sur le chemin du retour.
Pour équilibrer la balance, ajoutez ces mêmes minutes sur le côté gauche. Mais d'abord, convertissons les minutes en heures, puisque dans le problème la vitesse est mesurée en kilomètres par heure, et non en mètres par minute.
Pour convertir des minutes en heures, vous devez les diviser par 60 
Les minutes font les heures. Ajoutez ces heures au côté gauche de l’équation :
L'équation résultante est 
. Résolvons cette équation. Pour se débarrasser des fractions, les deux côtés de la partie peuvent être multipliés par 72. Ensuite, en utilisant des transformations d'identité bien connues, on trouve la valeur de la variable S
Grâce à une variable S nous avons marqué la distance de la première route. Nous avons maintenant trouvé la valeur de cette variable. Variable S est égal à 15. Cela signifie que la distance de la première route est de 15 km.
Et nous avons noté la distance de la deuxième route par l'expression S+ 3 , et puisque la valeur de la variable S Maintenant connue, on peut calculer la distance de la deuxième route. Cette distance est égale à la somme de 15 + 3, soit 18 km.
Problème 4. Deux voitures circulent sur l’autoroute à la même vitesse. Si le premier augmente la vitesse de 10 km/h et que le second diminue la vitesse de 10 km/h, alors le premier parcourra la même distance en 2 heures que le second en 3 heures. À quelle vitesse roulent les voitures ?
Solution
Notons par v vitesse de chaque voiture. Plus loin dans le problème, des indices sont donnés : augmentez la vitesse de la première voiture de 10 km/h et réduisez la vitesse de la seconde de 10 km/h. Utilisons cette astuce
On dit en outre qu'à de telles vitesses (augmentées et diminuées de 10 km/h), la première voiture parcourra la même distance en 2 heures que la deuxième voiture en 3 heures. Phrase "le même montant" peut être compris comme « la distance parcourue par la première voiture sera est égal distance parcourue par la deuxième voiture".
La distance, on s'en souvient, est déterminée par la formule. Nous nous intéressons au côté droit de cette lettre équation - il nous permettra de créer une équation contenant la variable v .
Alors, à grande vitesse v + 10 km/h la première voiture passera 2(v+10)km, et le deuxième passera 3(v − 10)km. Dans cette condition, les voitures parcourront les mêmes distances, donc pour obtenir l'équation il suffit de relier ces deux expressions par un signe égal. Ensuite, nous obtenons l'équation. Résolvons-le :
Le problème indiquait que les voitures roulaient à la même vitesse. Nous avons noté cette vitesse par la variable v. Nous avons maintenant trouvé la valeur de cette variable. Variable v est égal à 50. Cela signifie que la vitesse des deux voitures était de 50 km/h.
Problème 5. En 9 heures le long du fleuve, le navire parcourt la même distance qu'en 11 heures à contre-courant. Déterminez la vitesse du bateau si le débit de la rivière est de 2 km/h.
Solution
Notons par v la propre vitesse du navire. La vitesse d'écoulement de la rivière est de 2 km/h. Le long du fleuve, la vitesse du navire sera v + 2 km/h, et à contre-courant - (v − 2)km/h.
L'énoncé du problème indique qu'en 9 heures le long du fleuve, le bateau à moteur parcourt la même distance qu'en 11 heures à contre-courant. Phrase "de la même manière" peut être compris comme "la distance parcourue par un bateau à moteur le long du fleuve en 9 heures, est égal la distance parcourue par le navire à contre-courant du fleuve en 11 heures". Autrement dit, les distances seront les mêmes.
La distance est déterminée par la formule. Utilisons le côté droit de cette lettre d'équation pour créer notre propre équation.
Donc, dans 9 heures, le navire longera la rivière 9(v + 2)km, et dans 11 heures à contre-courant - 11(v − 2)km. Puisque les deux expressions décrivent la même distance, assimilons la première expression à la seconde. En conséquence, nous obtenons l'équation. Résolvons-le :
Cela signifie que la vitesse du navire est de 20 km/h.
Lors de la résolution de problèmes, une habitude utile consiste à déterminer à l’avance où une solution est recherchée.
Supposons que le problème nécessitait de trouver le temps qu'il faudrait à un piéton pour parcourir un chemin spécifié. Nous avons noté le temps à travers la variable t, puis nous avons composé une équation contenant cette variable et trouvé sa valeur.
De la pratique, nous savons que le temps de déplacement d'un objet peut prendre à la fois des valeurs entières et fractionnaires, par exemple 2 heures, 1,5 heure, 0,5 heure. On peut alors dire que la solution à ce problème est recherchée sur l'ensemble des nombres rationnels. Q, puisque chacune des valeurs 2 h, 1,5 h, 0,5 h peut être représentée sous forme de fraction.
Ainsi, après qu’une quantité inconnue a été désignée par une variable, il est utile d’indiquer à quel ensemble appartient cette quantité. Dans notre exemple, le temps t appartient à l'ensemble des nombres rationnels Q
t ∈ Q
Vous pouvez également saisir une contrainte sur la variable t, indiquant qu'il ne peut prendre que des valeurs positives. En effet, si un objet a passé un certain temps sur un chemin, alors ce temps ne peut pas être négatif. Ainsi, à côté de l’expression t∈ Q nous indiquons que sa valeur doit être supérieure à zéro :
t∈ R., t > 0
Si nous résolvons l'équation, nous obtenons une valeur négative pour la variable t, alors nous pouvons conclure que le problème a été mal résolu, puisque cette solution ne satisfera pas à la condition t∈ Q , t> 0 .
Un autre exemple. Si nous résolvions un problème dans lequel nous devions trouver le nombre de personnes pour effectuer un travail particulier, alors nous désignerions ce nombre par la variable x. Dans un tel problème, la solution serait recherchée sur l’ensemble des nombres naturels
x ∈ N
En effet, le nombre de personnes est un nombre entier, par exemple 2 personnes, 3 personnes, 5 personnes. Mais pas 1,5 (une personne entière et une demi-personne) ni 2,3 (deux personnes entières et trois dixièmes supplémentaires d'une personne).
Ici, on pourrait indiquer que le nombre de personnes doit être supérieur à zéro, mais les nombres inclus dans l'ensemble des nombres naturels N eux-mêmes sont positifs et supérieurs à zéro. Il n'y a pas de nombres négatifs ni de nombre 0 dans cet ensemble. Par conséquent, l'expression x > 0 n'a pas besoin d'être écrite.
Problème 6. Pour réparer l'école, une équipe est arrivée avec 2,5 fois plus de peintres que de menuisiers. Bientôt, le contremaître ajouta quatre autres peintres à l'équipe et transféra deux charpentiers sur un autre chantier. Résultat : il y avait 4 fois plus de peintres dans l'équipe que de menuisiers. Combien de peintres et combien de menuisiers comptaient initialement dans l’équipe ?
Solution
Notons par x charpentiers arrivés initialement pour des réparations.
Le nombre de charpentiers est un nombre entier supérieur à zéro. C'est pourquoi nous soulignons que x appartient à l'ensemble des nombres naturels
x∈N
Il y avait 2,5 fois plus de peintres que de menuisiers. Par conséquent, le nombre de peintres sera noté 2,5x.
Et nous augmenterons le nombre de peintres de 4
Désormais le nombre de menuisiers et de peintres sera indiqué à travers les expressions suivantes :
Essayons de créer une équation à partir des expressions disponibles :
Le bol de droite est plus grand, car après avoir ajouté quatre peintres supplémentaires à l'équipe et déplacé deux menuisiers vers un autre site, le nombre de peintres dans l'équipe s'est avéré être 4 fois supérieur à celui des menuisiers. Pour égaliser la balance, vous devez augmenter le panoramique gauche de 4 fois :
Nous avons l'équation. Résolvons-le :
Grâce à une variable x le nombre initial de charpentiers a été désigné. Nous avons maintenant trouvé la valeur de cette variable. Variable x est égal à 8. Cela signifie qu’il y avait initialement 8 charpentiers dans l’équipe.
Et le nombre de peintres était indiqué à travers l'expression 2,5 x et puisque la valeur de la variable x Maintenant que nous le savons, nous pouvons calculer le nombre de peintres - il est égal à 2,5 × 8, soit 20.
On revient au début de la tâche et on s'assure que la condition est remplie x∈ N. Variable x est égal à 8, et les éléments de l'ensemble des nombres naturels N ce sont tous des nombres commençant par 1, 2, 3 et ainsi de suite à l’infini. Le même ensemble comprend le numéro 8 que nous avons trouvé.
8 ∈N
On peut en dire autant du nombre de peintres. Le nombre 20 appartient à l’ensemble des nombres naturels :
20 ∈N
Pour comprendre l'essence du problème et composer correctement l'équation, il n'est pas du tout nécessaire d'utiliser le modèle de balance avec bols. Vous pouvez utiliser d'autres modèles : segments, tableaux, diagrammes. Vous pouvez proposer votre propre modèle qui décrira bien l'essence du problème.
Problème 9. 30 % du lait a été versé hors de la boîte. En conséquence, il restait 14 litres. Combien de litres de lait y avait-il initialement dans la boîte ?
Solution
La valeur souhaitée est le nombre initial de litres dans le bidon. Traçons le nombre de litres sous forme de ligne et signons cette ligne par X
On dit que 30 % du lait a été versé hors de la boîte. Soulignons environ 30 % dans la figure.
Un pourcentage, par définition, équivaut à un centième de quelque chose. Si 30 % du lait était versé, les 70 % restants restaient dans la boîte. Ces 70% représentent les 14 litres indiqués dans le problème. Soulignons les 70 % restants dans la figure.
Vous pouvez maintenant créer une équation. Rappelons-nous comment trouver le pourcentage d'un nombre. Pour ce faire, le montant total de quelque chose est divisé par 100 et le résultat obtenu est multiplié par le pourcentage souhaité. Notons que 14 litres, soit 70 %, peuvent être obtenus de la même manière : le nombre initial de litres X divisez par 100 et multipliez le résultat obtenu par 70. Égalez tout cela au nombre 14
Ou obtenez une équation plus simple : écrivez 70 % sous la forme 0,70, puis multipliez par X et assimilez cette expression à 14.
Cela signifie qu'au départ, il y avait 20 litres de lait dans la boîte.
Problème 9. Nous avons pris deux alliages d'or et d'argent. Dans l'un, la quantité de ces métaux est dans le rapport 1 : 9, et dans l'autre 2 : 3. Quelle quantité de chaque alliage faut-il prendre pour obtenir 15 kg d'un nouvel alliage dans lequel l'or et l'argent seraient dans le rapport 1 : 4?
Solution
Essayons d'abord de savoir combien d'or et d'argent seront contenus dans 15 kg du nouvel alliage. Le problème stipule que la teneur en ces métaux doit être dans un rapport de 1: 4, c'est-à-dire qu'une partie de l'alliage doit être de l'or et quatre parties de l'argent. Ensuite, le nombre total de pièces dans l'alliage sera de 1 + 4 = 5, et la masse d'une pièce sera de 15 : 5 = 3 kg.
Déterminons combien d'or seront contenus dans 15 kg d'alliage. Pour ce faire, multipliez 3 kg par le nombre de parties d'or :
3 kg × 1 = 3 kg
Déterminons combien d'argent sera contenu dans 15 kg d'alliage :
3 kg × 4 = 12 kg
Cela signifie qu'un alliage pesant 15 kg contiendra 3 kg d'or et 12 kg d'argent. Revenons maintenant aux alliages d'origine. Vous devez utiliser chacun d'eux. Notons par x la masse du premier alliage et la masse du deuxième alliage peuvent être notées 15 − x
Exprimons en pourcentages tous les ratios donnés dans le problème et remplissons avec eux le tableau suivant :
Dans le premier alliage, l’or et l’argent sont dans un rapport de 1:9. Le total des parties sera alors de 1 + 9 = 10. Parmi ceux-ci, il y aura de l'or 
, et de l'argent 
.
Transférons ces données dans un tableau. Nous entrerons 10% dans la première ligne de la colonne "pourcentage d'or dans l'alliage", 90% nous entrerons également dans la première ligne de la colonne "pourcentage d'argent dans l'alliage", et dans la dernière colonne "masse alliage" ajoutons une variable x, puisque c'est ainsi qu'on a désigné la masse du premier alliage :
On procède de la même manière avec le deuxième alliage. L'or et l'argent qu'il contient sont dans un rapport de 2 : 3. Le total des parties sera alors de 2 + 3 = 5. Parmi ceux-ci, il y aura de l'or 
, et de l'argent 
.
Transférons ces données dans un tableau. Nous entrerons 40% dans la deuxième ligne de la colonne "pourcentage d'or dans l'alliage", 60% seront également inscrits en deuxième ligne de la colonne "pourcentage d'argent dans l'alliage", et dans la dernière colonne "masse alliage" entrons l'expression 15 − x, puisque c'est ainsi qu'on a désigné la masse du deuxième alliage :
Remplissons la dernière ligne. L'alliage résultant pesant 15 kg contiendra 3 kg d'or, ce qui est 
alliage, et l'argent sera 
alliage Dans la dernière colonne, nous notons la masse de l'alliage résultant 15
Vous pouvez maintenant utiliser ce tableau pour créer des équations. Rappelons-nous. Si nous additionnons séparément l'or des deux alliages et assimilons cette somme à la masse d'or de l'alliage résultant, nous pouvons découvrir à quelle valeur est égale x.
Le premier alliage contenait 0,10 d'or x, et dans le deuxième alliage il y avait 0,40(15 − x) . Ensuite, la masse d'or dans l'alliage résultant sera la somme des masses d'or du premier et du deuxième alliage, et cette masse représente 20 % du nouvel alliage. Et 20 % du nouvel alliage est constitué de 3 kg d'or, que nous avons calculé plus tôt. En conséquence, nous obtenons l'équation 0,10x+ 0.40(15 − x) = 3 . Résolvons cette équation :
Initialement à travers x nous avons désigné la masse du premier alliage. Nous avons maintenant trouvé la valeur de cette variable. Variable x est égal à 10. Et nous avons noté la masse du deuxième alliage comme 15 − x, et puisque la valeur de la variable x Maintenant que c'est connu, on peut alors calculer la masse du deuxième alliage, elle est égale à 15 − 10 = 5 kg.
Cela signifie que pour obtenir un nouvel alliage pesant 15 kg, dans lequel l'or et l'argent auraient un rapport de 1:4, il faut prendre 10 kg du premier alliage et 5 kg du deuxième alliage.
L'équation pourrait être créée en utilisant la deuxième colonne du tableau résultant. On obtiendrait alors l'équation 0,90x+ 0.60(15 − x) = 12. La racine de cette équation est également 10
Problème 10. Il s'agit d'un minerai provenant de deux couches avec une teneur en cuivre de 6 % et 11 %. Quelle quantité de minerai à faible teneur faut-il prélever pour obtenir 20 tonnes avec une teneur en cuivre de 8 % lorsqu'il est mélangé à du minerai riche ?
Solution
Notons par x masse de minerai à faible teneur. Puisqu'il faut obtenir 20 tonnes de minerai, 20 - minerai riche seront récupérés x. Puisque la teneur en cuivre du minerai à faible teneur est de 6 %, alors x les tonnes de minerai contiendront 0,06 x tonnes de cuivre. Dans le minerai riche, la teneur en cuivre est de 11% et dans 20 - x les tonnes de minerai riche en contiendront 0,11(20 − x) tonnes de cuivre.
Dans les 20 tonnes de minerai résultantes, la teneur en cuivre devrait être de 8 %. Cela signifie que 20 tonnes de minerai de cuivre contiendront 20 × 0,08 = 1,6 tonnes.
Ajoutons les expressions 0,06 x et 0,11(20 − x) et assimilons ce montant à 1,6. On obtient l'équation 0,06x+ 0,11(20 − x) = 1,6
Résolvons cette équation :
Cela signifie que pour obtenir 20 tonnes de minerai avec une teneur en cuivre de 8 %, il faut prélever 12 tonnes de minerai à faible teneur. Les riches prendront 20 − 12 = 8 tonnes.
Problème 11. Après avoir augmenté la vitesse moyenne de 250 à 300 m/min, l'athlète a commencé à parcourir la distance 1 minute plus vite. Quelle est la distance ?
Solution
La longueur du parcours (ou la distance du parcours) peut être décrite par l'équation littérale suivante :
Utilisons le côté droit de cette équation pour créer notre propre équation. Initialement, l'athlète a parcouru la distance à une vitesse de 250 mètres par minute. A cette vitesse, la longueur de la distance sera décrite par l'expression 250 t
Ensuite, l'athlète a augmenté sa vitesse à 300 mètres par minute. A cette vitesse, la longueur de la distance sera décrite par l'expression 300t
Notez que la longueur de la distance est une valeur constante. Que l’athlète augmente ou diminue sa vitesse, la longueur de la distance restera inchangée.
Cela nous permet d'assimiler l'expression 250 tà l'expression 300 t, puisque les deux expressions décrivent la longueur de la même distance
250t = 300t
Mais le problème dit qu'à une vitesse de 300 mètres par minute, l'athlète a commencé à parcourir la distance 1 minute plus vite. Autrement dit, à une vitesse de 300 mètres par minute, le temps de déplacement diminuera d'un. Par conséquent, dans l’équation 250 t= 300t sur le côté droit le temps doit être réduit de un :
À une vitesse de 250 mètres par minute, l'athlète parcourt la distance en 6 minutes. Connaissant la vitesse et le temps, vous pouvez déterminer la longueur de la distance :
S= 250 × 6 = 1 500 m
Et à une vitesse de 300 mètres par minute, l'athlète parcourt la distance en t− 1, c'est-à-dire en 5 minutes. Comme cela a été dit précédemment, la longueur de la distance ne change pas :
S= 300 × 5 = 1 500 m
Problème 12. Un coureur rattrape un piéton qui se trouve 15 km devant lui. Combien d'heures faudra-t-il au cavalier pour rattraper le piéton, si toutes les heures le premier parcourt 10 km et le second ne parcourt que 4 km ?
Solution
Cette tâche est . Ce problème peut être résolu en déterminant la vitesse de rapprochement et en divisant la distance initiale entre le cavalier et le piéton par cette vitesse.
La vitesse de fermeture est déterminée en soustrayant la vitesse la plus faible de la vitesse la plus élevée :
10 km/h − 4 km/h = 6 km/h (vitesse de fermeture)
Chaque heure, la distance de 15 kilomètres sera réduite de 6 km. Pour savoir quand il rétrécira complètement (lorsque le cavalier rattrapera le piéton), il faut diviser 15 par 6
15h6 = 2,5 heures
2,5 h cela fait deux heures et demi-heure entières. Et une demi-heure équivaut à 30 minutes. Cela signifie que le coureur rattrapera le piéton en 2 heures 30 minutes.
Résolvons ce problème en utilisant l'équation.
Après cela, un motard l'a suivi sur la route à une vitesse de 10 km/h. Et la vitesse des piétons n’est que de 4 km/h. Cela signifie que le cycliste rattrapera le piéton après un certain temps. Nous devons trouver cette fois.
Lorsque le cavalier rattrape le piéton, cela signifie qu'ils ont parcouru ensemble la même distance. La distance parcourue par le cycliste et le piéton est décrite par l'équation suivante :
Utilisons le côté droit de cette équation pour créer notre propre équation.
La distance parcourue par le coureur sera décrite par l'expression 10 t. Puisque le piéton est parti avant le coureur et a réussi à parcourir 15 km, la distance parcourue par lui sera décrite par l'expression 4 t + 15 .
Au moment où le coureur rattrape le piéton, tous deux auront parcouru la même distance. Cela permet d'assimiler les distances parcourues par le cavalier et le piéton :
Le résultat est une équation simple. Résolvons-le :
Problèmes à résoudre de manière autonome
Problème 1. Un train de voyageurs arrive d'une ville à une autre 45 minutes plus vite qu'un train de marchandises. Calculez la distance entre les villes si la vitesse d'un train de voyageurs est de 48 km/h et celle d'un train de marchandises de 36 km/h.
Solution
Dans ce problème, la vitesse des trains est mesurée en kilomètres par heure. Nous convertirons donc les 45 minutes indiquées dans le problème en heures. 45 minutes équivaut à 0,75 heure
Notons le temps qu'il faut à un train de marchandises pour arriver en ville via la variable t. Puisqu'un train de voyageurs arrive dans cette ville 0,75 heure plus vite, son temps de trajet sera désigné par l'expression t - 0,75
Le train de voyageurs a parcouru 48( t - 0,75) km et marchandise 36 t km. Puisque nous parlons de la même distance, assimilons la première expression à la seconde. En conséquence, nous obtenons l'équation 48(t - 0.75) = 36t . Résolvons-le :
Calculons maintenant la distance entre les villes. Pour cela, multipliez la vitesse du train de marchandises (36 km/h) par le temps qu'il passe t. Valeur variable t maintenant c'est connu - cela équivaut à trois heures
36 × 3 = 108 km
Pour calculer la distance, vous pouvez également utiliser la vitesse du train de voyageurs. Mais dans ce cas la valeur de la variable
Valeur variable t est égal à 1,2. Cela signifie que les voitures se sont rencontrées après 1,2 heure. Répondre: les voitures se sont rencontrées après 1,2 heure.
Problème 3. Il n'y a que 685 ouvriers dans trois ateliers de l'usine. Dans le deuxième atelier, il y a trois fois plus d'ouvriers que dans le premier, et dans le troisième, il y a 15 ouvriers de moins que dans le deuxième atelier. Combien y a-t-il d’ouvriers dans chaque atelier ?
Solution
Laisser x il y avait des ouvriers dans le premier atelier. Dans le deuxième atelier, il y en avait trois fois plus que dans le premier, le nombre d'ouvriers dans le deuxième atelier peut donc être désigné par l'expression 3 x. Dans le troisième atelier, il y avait 15 ouvriers de moins que dans le deuxième. Par conséquent, le nombre d'ouvriers dans le troisième atelier peut être désigné par l'expression 3 x− 15 .
Le problème dit qu'il y avait 685 travailleurs au total. Nous pouvons donc ajouter les expressions. x, 3x, 3x− 15 et assimilons ce montant au nombre 685. En conséquence, nous obtenons l'équation x+ 3x + ( 3x− 15) = 685
Grâce à une variable x le nombre d'ouvriers du premier atelier était indiqué. Maintenant que nous avons trouvé la valeur de cette variable, elle est égale à 100. Cela signifie qu'il y avait 100 ouvriers dans le premier atelier.
Dans le deuxième atelier, il y avait 3 x travailleurs, soit 3 × 100 = 300. Et dans le troisième atelier il y avait 3 x− 15, soit 3 × 100 − 15 = 285
Répondre: dans le premier atelier, il y avait 100 ouvriers, dans le deuxième - 300, dans le troisième - 285.
Tâche 4. Deux ateliers de réparation doivent réparer 18 moteurs selon le plan en une semaine. Le premier atelier a rempli le plan à 120 %, et le second à 125 %, donc en une semaine, ils ont réparé 22 moteurs. Quel plan de réparation du moteur chaque atelier avait-il pour la semaine ?
Solution
Laisser x Le premier atelier devait réparer les moteurs. Puis le deuxième atelier a dû réparer 18 − x moteurs.
Puisque le premier atelier a réalisé son plan à 120 %, cela signifie qu'il a réparé 1,2 x moteurs. Et le deuxième atelier a réalisé son plan à 125 %, ce qui signifie qu'il a réparé 1,25(18 − x) moteurs.
Le problème indique que 22 moteurs ont été réparés. On peut donc ajouter les expressions 1,2x et 1,25(18 −x) , puis assimilons cette somme au nombre 22. En conséquence, nous obtenons l'équation 1,2x+ 1,25(18−x) = 22
Grâce à une variable x le nombre de moteurs qui devaient être réparés par le premier atelier était indiqué. Maintenant que nous avons trouvé la valeur de cette variable, elle est égale à 10. Cela signifie que le premier atelier a dû réparer 10 moteurs.
Et à travers l'expression 18 − x le nombre de moteurs qui devaient être réparés par le deuxième atelier était indiqué. Cela signifie que le deuxième atelier a dû réparer 18 − 10 = 8 moteurs.
Répondre: le premier atelier était censé réparer 10 moteurs et le second 8 moteurs.
Problème 5. Le prix du produit a augmenté de 30 % et s'élève désormais à 91 roubles. Combien coûtait le produit avant que le prix n’augmente ?
Solution
Laisser x roubles le coût du produit avant l'augmentation des prix. Si le prix a augmenté de 30%, cela signifie qu'il a augmenté de 0,30 x roubles Après l'augmentation des prix, le produit a commencé à coûter 91 roubles. Ajouter x à 0,30 x et assimilons cette somme à 91. En conséquence, nous obtenons l'équation Lorsque le nombre est diminué de 10 %, le résultat est 45. Trouvez la valeur originale du nombre. x− Répondre: pour obtenir une solution saline à 12 %, il faut ajouter 0,25 kg d'une solution à 20 % à 1 kg d'une solution à 10 %.
Problème 12. Étant donné deux solutions de sel dans l'eau dont les concentrations sont de 20 % et 30 %. Combien de kilogrammes de chaque solution faut-il mélanger dans un récipient pour obtenir 25 kg d'une solution à 25,2 % ?
Solution
Laisser x Il faut prendre kg de la première solution. Puisqu'il faut préparer 25 kg de solution, la masse de la deuxième solution peut être désignée par l'expression 25 − x.
La première solution contiendra 0,20x kg de sel et la seconde contiendra 0,30(25 − x) kg de sel. La solution résultante aura une teneur en sel de 25 × 0,252 = 6,3 kg. Ajoutons les expressions 0,20x et 0,30(25 − x), puis équivalons à cette somme à 6,3. En conséquence, nous obtenons l'équation
Cela signifie que vous devez prendre 12 kg de la première solution et 25 − 12 = 13 kg de la seconde.
Répondre: Vous devez prendre 12 kg de la première solution et 13 kg de la seconde.
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Solutions aux problèmes de mots impliquant la composition d’équations sera utile principalement pour les écoliers. Le programme des 9e et 10e années couvre une large classe de problèmes qui nécessitent d'identifier des inconnues, de créer une équation et de les résoudre. Vous trouverez ci-dessous seulement une petite partie des problèmes possibles et la méthodologie de leurs calculs.
Exemple 1. Le premier cycliste parcourt 50 mètres de moins chaque minute que le second, il passe donc 2 heures de plus sur le trajet de 120 km que le second. Trouvez la vitesse du deuxième cycliste (en km par heure).
Solution : La tâche est difficile pour beaucoup, mais en réalité tout est simple.
Sous la phrase « Il parcourt 50 mètres de moins chaque minute » se cache une vitesse de 50 m/min. Puisque le reste des données est en km et en heures, nous convertissons 50 m/min en km/h.
50/1000*60=3000/1000=3 (km/h).
Notons la vitesse du deuxième cycliste par V, et le temps de déplacement par t.
En multipliant la vitesse par le temps de déplacement, nous obtenons le chemin
V*t=120.
Le premier cycliste roule plus lentement et met donc plus de temps. Nous composons l'équation du mouvement correspondante
(V-3)(t+2)=120.
Nous avons un système de deux équations à deux inconnues.
A partir de la première équation, nous exprimons le temps du mouvement et le substituons dans la seconde
t = 120/V ; (V-3)(120/V+2)=120.
Après avoir multiplié par V/2 et regroupé les termes similaires, on peut obtenir l'équation quadratique suivante
V ^ 2-3 V-180 = 0.
On calcule le discriminant de l'équation
D=9+4*180=729=27*27
et les racines
V=(3+27)/2=15 ;
V=(3-27)/2=-12.
Nous rejetons la seconde ; elle n’a aucune signification physique. La valeur trouvée V = 15 km/h est la vitesse du deuxième cycliste.
Réponse : 15 km/h.
Exemple 2. L'eau de mer contient 5 % de sel en poids. Quelle quantité d'eau douce faut-il ajouter à 30 kg d'eau de mer pour réduire la concentration en sel de 70 % ?
Solution : Déterminez la quantité de sel contenue dans 30 kg d'eau de mer.
30*5/100=1,5 (kg).
Dans la nouvelle solution, ce sera
(100%-70%) = 30% de 5%, composent les proportions
5% – 100%
X – 30 %.
Effectuer des calculs
X=5*30/100=150/100=1,5%.
Ainsi, 1,5 kg de sel correspond à 1,5 % dans la nouvelle solution. Additionner à nouveau les proportions
1,5 – 1,5 % Oui – 100 % .
Trouver la masse de solution d'eau de mer
Y=1,5*100/1,5=100 (kg).
Soustrayez la masse d'eau salée pour trouver la quantité d'eau douce
100-30=70 (kg).
Réponse : 70 kg d'eau douce.
Exemple 3. Le motocycliste a été retardé à la barrière pendant 24 minutes. Après cela, en augmentant sa vitesse de 10 kilomètres par heure, il a rattrapé son retard sur le tronçon de 80 kilomètres. Déterminez la vitesse du motocycliste avant de ralentir (en km par heure).
Solution : Problème de composition d’une équation de vitesse. Notons la vitesse initiale du motocycliste par V, et le temps pendant lequel il a dû parcourir par t. Il y a deux inconnues, donc il doit aussi y avoir 2 équations. Selon la condition, pendant ce temps, il devait parcourir 80 km.
V*t=80 (km) .
Retardé signifie que le temps a diminué de 24 minutes. Il convient également de noter que dans de tels problèmes, le temps doit être converti en heures ou en minutes (selon la condition), puis résolu. Nous composons l'équation du mouvement en tenant compte de moins de temps et d'une vitesse plus élevée
(V+10)(t-24/60)=80.
Il existe deux équations pour déterminer le temps et la vitesse. Puisque le problème demande de la vitesse, nous exprimerons le temps de la première équation et le remplacerons par la seconde.
t = 80/V ;
(V+10)(80/V-24/60)=80.
Notre objectif est de vous apprendre à créer des équations pour des problèmes à partir desquelles vous pouvez déterminer les quantités requises.
Par conséquent, sans entrer dans les détails, l'équation résultante en multipliant par 60 * V et en divisant par 24 peut être réduite à l'équation quadratique suivante
V^2+10*V-2000=0.
Trouvez vous-même le discriminant et les racines de l'équation. Vous devriez obtenir la valeur
V=-50 ;
V=40.
Nous écartons la première valeur ; elle n’a aucune signification physique. Le deuxième V = 40 km/h est la vitesse souhaitée du motocycliste.
Réponse : 40 km/h.
Exemple 4. Le train de marchandises a été retardé pendant 12 minutes en route, puis, à une distance de 112 kilomètres, il a rattrapé le temps perdu en augmentant sa vitesse de 10 km/h. Trouvez la vitesse initiale du train (en km/h).
Solution : Nous avons un problème dans lequel les inconnues sont la vitesse du train V et le temps de trajet t.
Puisque le problème selon le schéma d'équations correspond au précédent, nous écrivons deux équations pour les inconnues
V*t=112 ;
(V+10)*(t-12/60)=112.
Les équations doivent être écrites exactement dans cette notation. Cela nous permet d'exprimer le temps de manière simple à partir de la première équation
t = 112/V
et, en remplaçant par la seconde, obtenez l'équation uniquement pour la vitesse
(V+10)*(112/V -12/60)=112.
Si vous choisissez mal la notation, vous pouvez obtenir une équation pour les inconnues d'un tel plan
V*(t+12)=112;
(V+10)*t=112.
Ici t correspond au temps après avoir augmenté la vitesse de 10 km/h, mais là n'est pas la question. Les équations données sont également correctes, mais peu pratiques du point de vue du calcul.
Essayez de résoudre les deux premières équations et les dernières et vous comprendrez que le deuxième schéma doit être évité lors de la composition des équations. Par conséquent, réfléchissez bien à la notation que vous saisissez afin de minimiser le nombre de calculs.
L'équation résultante
(V+10)*(112/V -12/60)=112.
réduire à une équation quadratique (multiplier par 60*V/12)
V^2+10*V-5600=0.
Sans entrer dans des calculs intermédiaires, les racines seront
V=-80 ;
V=70.
Dans des problèmes de ce type, nous obtenons toujours une racine négative (V=-80) qui doit être écartée. La vitesse du train est de 70 km/h.
Exemple 5. Parti de la gare routière 10 minutes plus tard, le bus s'est rendu au premier arrêt à une vitesse de 16 km/h supérieure à celle prévue et est arrivé à l'heure. Quelle vitesse (en km/heure) le bus doit-il avoir selon l'horaire si la distance entre la gare routière et le premier arrêt est de 16 kilomètres ?
Solution : Les inconnues sont la vitesse du bus V et le temps t.
Nous créons une équation en tenant compte du fait que le temps de retard est spécifié en minutes et non en heures.
V * t = 16 - c'est ainsi que le bus aurait dû voyager comme d'habitude ;
(V + 16) (t-10/60) = 16 est l'équation du mouvement dû au départ tardif du bus.
Il y a deux équations et deux inconnues.
Exprimons le temps à partir de la première équation et substituons-le dans la seconde
t = 16/V ;
(V+16)(16/V-1/6)=16.
L'équation résultante pour la vitesse est réduite à quadratique (*6*V)
V^2+16*V-1536=0.
Les racines d'une équation quadratique sont
V = 32 ; V=-48.
La vitesse requise du bus est de 32 km/h.
Réponse : 32 km/h.
Exemple 6. Le conducteur de la voiture s'est arrêté pour changer un pneu pendant 12 minutes. Après cela, en augmentant la vitesse de 15 km/h, il a rattrapé le temps passé sur 60 kilomètres. À quelle vitesse (en km/h) se déplaçait-il après s'être arrêté ?
Solution : L'algorithme pour résoudre le problème a été donné plusieurs fois dans les exemples précédents. Nous désignons généralement la vitesse et le temps par V, t.
Lorsque vous écrivez l’équation, n’oubliez pas de convertir les minutes en heures. Le système d'équations ressemblera à
V*t=60 ;
(V+15)(t-12/60)=60.
Vous devez également connaître ou mémoriser d'autres manipulations.
t = 60/V ;
(V+15)(60/V -12/60)=60.
Cette équation peut être réduite à une équation quadratique
V^2+15*V-4500=0.
Après avoir résolu l'équation quadratique, nous obtenons les valeurs de vitesse suivantes
V=60 ; V=-75.
La vitesse ne peut pas être négative, donc la seule bonne réponse est V=60 km/h.
Exemple 7. Un nombre à deux chiffres vaut 4 fois la somme et 3 fois le produit de ses chiffres. Trouvez ce numéro.
Solution : Les problèmes avec les nombres occupent une place importante parmi les problèmes de composition d'équations et peuvent être non moins intéressants pour la construction de solutions que les problèmes de rapidité. Tout ce dont vous avez besoin est de bien comprendre le problème. Notons le nombre par ab, c'est-à-dire que le nombre est égal à 10 * a + b.
Sur la base de la condition, nous créons un système d'équations
10*a+b=4*(a+b);
10*a+b=3*a*b.
Puisque les inconnues entrent linéairement dans la première équation, nous l’écrivons et exprimons l’une des inconnues à travers l’autre.
10*a+b-4*a-4*b=0;
6*a-3*b=0 ; b=2*a.
Remplacez b = 2 * a dans la deuxième équation
10*une+2*une=3*une*2*une ;
6*a2-12*a=0 ; une(une-2)=0.
Donc a = 0 ; une=2 . Cela ne sert à rien de considérer la première valeur ; si a=2, le deuxième chiffre est égal à b=2*a=2*2=4, et le nombre recherché est 24.
54. Réponse : le nombre est 24.:
Problèmes impliquant la composition d'équations à une inconnue
Tâche 1. La maison était à vendre. Un acheteur avait une somme d'argent égale aux ¾ de sa valeur, et l'autre avait une somme égale à 5/6 de sa valeur. S'ils étaient additionnés, ils auraient un excédent de 7 000 roubles. Quel est le coût de la maison ?
Supposons que la maison coûte x roubles. Ensuite (conformément au début du problème), le premier acheteur avait (x · ¾) roubles. ou, ce qui revient au même, 3x/4 roubles, et le second avait 5x/6 roubles. La phrase suivante est la condition du problème, à savoir : « s’ils étaient additionnés, ils auraient un excédent de 7 000 roubles ». - est une équation exprimée en mots : il faut désormais l'exprimer non pas en mots, mais en symboles mathématiques. Tout d'abord, prenons une phrase similaire sous une forme simplifiée : « si vous additionnez les nombres a et b, alors la somme résultante donnera un excès de m par rapport au nombre c » - cette phrase peut être réécrite en symboles mathématiques comme celui-ci : a + b = c + m.
L'équation de notre problème peut s'écrire exactement de la même manière : si l'on additionne les nombres 3x/4 et 5x/6, la somme résultante donnera un excédent de 7000 sur le nombre x, ou
3x/4 + 5x/6 = x + 7000.
L'équation résultante doit être simplifiée : 1) multipliez les deux côtés de l'équation par le dénominateur commun 12 - nous obtenons
9x + 10x = 12x + 84 000
2) Déplacez les termes inconnus vers la gauche :
9x + 10x – 12x = 84 000
Nous pouvons maintenant répondre au problème :
Le coût de la maison était de 12 000 roubles.
Tâche 2. Il y avait 13 élèves absents en classe lundi et 5 élèves absents en classe mardi. Le rapport entre le nombre d'étudiants présents lundi et le nombre d'étudiants présents mardi était de 7/9. Combien d'élèves y avait-il dans cette classe ?
Supposons qu'il y ait x élèves au total dans la classe. Puis lundi il y avait (x – 13) étudiants présents, et mardi (x – 5) étudiants. L'expression « le rapport entre le nombre d'élèves présents lundi et le nombre d'élèves présents mardi était de 7/9 » est une équation exprimée en mots et peut être réécrite en symboles mathématiques :
(x – 13) / (x – 5) = 7/9.
Résolvons cette équation :
9(x – 13) = 7(x – 5) ou 9x – 117 = 7x – 35.
De là, nous obtenons : 2x = 82 et x = 41.
Il y avait donc 41 élèves dans cette classe.
Tâche 3. Trouvez une fraction dont le dénominateur est 3 de plus que le numérateur et qui devient 4/5 si vous soustrayez 1 à son numérateur et à son dénominateur.
Cette tâche est quelque peu différente des précédentes. Cela nécessite de « trouver une fraction », mais il serait impossible de commencer à résoudre le problème de la même manière qu’ils l’ont fait dans les 1er et 2e problèmes : supposons que la fraction requise soit égale à x. Il serait impossible de commencer ainsi car le problème traite séparément du numérateur et séparément du dénominateur : il faut soustraire 1 séparément du numérateur et séparément du dénominateur. Par conséquent, il est nécessaire de désigner la fraction de manière à ce que son numérateur et son dénominateur soient visibles. Puisqu'on dit que le dénominateur est 3 de plus que le numérateur, on peut désigner par la lettre x soit le numérateur, soit le dénominateur - il est alors facile de trouver une expression pour l'autre membre de la fraction et pour la fraction elle-même.
Voici la solution au problème.
Supposons que le numérateur de la fraction recherchée soit égal à x. Alors son dénominateur est x + 3, et la fraction souhaitée est x/(x+3). L'expression « qui (c'est-à-dire une fraction) devient 4/5 lorsque 1 est soustrait de son numérateur et de son dénominateur » est une équation et peut s'écrire mathématiquement :
(x – 1) / (x + 3 – 1) = 4/5 ou (x – 1) / (x + 2) = 4/5.
5(x – 1) = 4(x + 2); 5x – 5 = 4x + 8 ; 5x – 4x = 5 + 8 ; x = 13.
Alors le dénominateur de la fraction est 16 et la fraction souhaitée est 13/16.
Tâche 4. Un frère a 14 ans de plus que l'autre et dans 6 ans il sera 2 fois plus âgé. Quel âge a chaque frère ?
Ici, vous devez donner deux réponses : quel âge a le frère cadet et quel âge a l'aîné, mais le problème peut être résolu en utilisant une équation à 1 inconnue, puisqu'on dit que le frère aîné a 14 ans de plus que le plus jeune. un. Résolvons le problème comme ceci :
Supposons que le frère cadet ait x ans ; alors le plus âgé a (x + 14) ans.
Dans 6 ans, le frère cadet aura (x + 6) ans, et le frère aîné aura (x + 14 + 6) ans ou (x + 20) ans.
On dit que l'aîné sera alors (dans 6 ans) 2 fois plus âgé que le plus jeune, c'est-à-dire que le nombre x + 20 doit être 2 fois supérieur à x + 6, et cela peut s'écrire
(x + 20) / (x + 6) = 2 ou x + 20 = 2 (x + 6) ou (x + 20) / 2 = x + 6.
La notation la plus naturelle est la première : pour savoir combien de fois un nombre est supérieur à un autre, il faut diviser ; nous devons savoir combien de fois le nombre (x + 20) est supérieur au nombre (x + 6) - pour cela, nous devons diviser (x + 20) par (x + 6) et nous donner la réponse " deux fois". Par conséquent, nous écrivons qu'à partir de cette division, nous obtenons le nombre 2, c'est-à-dire (x + 20) / (x + 6) = 2.
La deuxième entrée peut s'expliquer ainsi : on nous dit que le nombre (x + 20) doit être 2 fois le nombre (x + 6). Pour égaliser ces nombres, il faut donc multiplier le plus petit d'entre eux, c'est-à-dire x + 6, par 2. Alors x + 20 = 2(x + 6).
Ensuite la notation s'explique comme suit : pour égaliser les nombres x + 20 et x + 6, il faut réduire le plus grand d'entre eux de 2 fois, puis (x + 20) / 2 = x + 6.
Si on prend la 1ère entrée
(x + 20) / (x + 6) = 2
et multiplions les deux côtés de l'équation par x + 6, nous obtenons
x + 20 = 2(x + 6)
c'est-à-dire la deuxième entrée. Il est également facile d'obtenir la 2ème ou la 1ère entrée à partir de la 3ème entrée, etc.
Dans tous les cas, après avoir libéré l’équation des fractions, on obtient
x + 20 = 2(x + 6)
et résolvez facilement l'équation :
x + 20 = 2x + 12 ; 20 – 12 = 2x – x ; 8 = x ou x = 8.
Ainsi, le frère cadet a 8 ans et le frère aîné a 8 + 14 = 22 ans.
Tâche 5. Nous avons acheté du sucre et du café, pour un total de 28 £ ; pour une livre de sucre, ils ont payé 15 kopecks et pour une livre de café 80 kopecks, mais pour la totalité de l'achat, ils ont payé 12 roubles. Quelle quantité de sucre avez-vous achetée et quelle quantité de café avez-vous achetée ?
La difficulté ici peut être que, dans les conditions du problème, les chiffres sont donnés soit en kopecks, soit en roubles. Il faut établir à l'avance dans quelles unités, en roubles ou en kopecks, la décision sera prise. Résolvons le problème en roubles. Alors la solution est :
Disons que vous avez acheté x kilos de sucre. Ensuite, nous avons acheté (28 – x) livres de café.
Pour le sucre, ils ont payé (15x) kopecks ou (3/20)x roubles (puisque 15 kopecks sont égaux à 3/20 roubles), et pour le café, ils ont payé 80(28 – x) kopecks. ou 4/5 (28 – x) frotter. (depuis 80 kopecks = 4/5 roubles).
L'expression « ils ont payé 12 roubles pour la totalité de l'achat ». peut s'écrire :
3x/20 + 4(28x – x)/5 = 12
[Si elle était résolue en centimes, l'équation serait 15x + 80(28 – x) = 1200].
Libérons l'équation des fractions, pour lesquelles on multiplie les deux parties par 20, et on obtient :
3x + 16(28 – x) = 240
3x + 448 – 16x = 240
3x – 16x = 240 – 448
–13x = –208,
Nous avons donc acheté 16 livres de sucre et 12 livres de café (28 – 16 = 12).
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L'élaboration d'équations reflétant l'interaction chimique d'un agent oxydant et d'un agent réducteur revient à déterminer les coefficients dans les formules des substances de départ et des produits de réaction dont la composition est déterminée par l'expérience.
Il est recommandé de compiler des équations pour déterminer le nombre de critères afin que chaque équation comprenne trois quantités variables ab a2, a3 et que les quantités restantes a4 et i soient incluses dans les équations une par une.
L'élaboration d'équations n'est possible que pour les objets les plus simples. Des objets plus complexes, qui incluent la plupart des objets de l'industrie pétrolière, sont encore étudiés expérimentalement. Les propriétés des objets utilisées dans l'étude des systèmes de contrôle automatique sont l'auto-nivellement, la capacité et le retard.
Nous compilerons des équations sous forme différentielle pour un milieu conducteur et pour un diélectrique, ainsi que pour des problèmes unidimensionnels et bidimensionnels dans lesquels le changement des valeurs de champ sur la distance se produit respectivement dans une ou deux directions de coordonnées.
La composition des équations des variations virtuelles est démontrée à l'aide de l'exemple de la prise en compte des connexions non holonomiques. On montre que l'équation de couplage holonomique avec un paramètre est un couplage idéal lorsqu'elle décrit l'enveloppe. Les règles de variation virtuelle des connexions pour deux variables indépendantes sont discutées.
L’élaboration d’équations a de nombreux points communs avec ce type de traduction. Dans les cas légers, la formulation verbale se décompose presque mécaniquement en un certain nombre de parties successives, dont chacune peut être directement exprimée en symboles mathématiques. Dans les cas plus difficiles, la condition est constituée de parties qui ne peuvent pas être directement traduites en symboles mathématiques. Dans ce cas, nous devrions accorder moins d’attention à la formulation verbale et concentrer notre attention sur le sens de cette formulation. Avant de procéder à la notation mathématique, nous serons peut-être amenés à formuler les conditions différemment, en gardant toujours à l'esprit les moyens mathématiques pour écrire cette nouvelle formulation.
L'élaboration d'équations pour de tels processus chimiques ne présente aucune difficulté.
La composition des équations variationnelles sous forme générale est discutée ci-dessous.
Établir une équation pour les angles de torsion Q et déterminer ses dérivées.
L'élaboration d'équations n'est possible que pour les objets les plus simples. Des objets plus complexes, qui incluent la plupart des objets de l'industrie pétrolière, sont encore étudiés expérimentalement. Les propriétés des objets utilisées dans l'étude des systèmes de contrôle automatique sont l'auto-nivellement, la capacité et le retard.
L'élaboration analytique d'équations n'est possible que pour des objets relativement simples, dont les processus ou phénomènes physiques ont été suffisamment bien étudiés. Dans le cas général, les propriétés dynamiques des objets contrôlés sont décrites par des équations différentielles exprimant la dépendance entre les quantités de sortie et d'entrée dans le temps. Ces équations sont compilées sur la base de lois physiques qui déterminent les processus transitoires dans les objets.
Établir les équations (6 - 58) et les résoudre pour A et B. Une méthode générale pour résoudre ce problème peut être indiquée à condition que A et B entrent dans l'équation de manière linéaire.
Parlons de la façon d'écrire une équation pour une réaction chimique. C'est cette question qui pose principalement de sérieuses difficultés aux écoliers. Certains ne peuvent pas comprendre l'algorithme de composition des formules de produits, d'autres placent incorrectement les coefficients dans l'équation. Considérant que tous les calculs quantitatifs sont effectués à l'aide d'équations, il est important de comprendre l'algorithme des actions. Essayons de comprendre comment écrire des équations pour les réactions chimiques.
Élaboration de formules pour la valence
Afin d'enregistrer correctement les processus se produisant entre différentes substances, vous devez apprendre à écrire des formules. Les composés binaires sont composés en tenant compte des valences de chaque élément. Par exemple, pour les métaux des sous-groupes principaux, cela correspond au numéro de groupe. Lors de l'élaboration de la formule finale, le plus petit multiple est déterminé entre ces indicateurs, puis des indices sont placés.
Quelle est l'équation
Il s'agit d'un enregistrement symbolique qui affiche les éléments chimiques en interaction, leurs relations quantitatives, ainsi que les substances obtenues à la suite du processus. L'une des tâches proposées aux élèves de neuvième année lors de la certification finale en chimie est libellée comme suit : "Élaborer des équations de réaction qui caractérisent les propriétés chimiques de la classe de substances proposée". Afin de faire face à la tâche, les étudiants doivent maîtriser l'algorithme des actions.
Algorithme d'actions
Par exemple, vous devez écrire le processus de combustion du calcium à l’aide de symboles, de coefficients et d’indices. Parlons de la façon de créer une équation pour une réaction chimique en utilisant l'ordre des opérations. Sur le côté gauche de l'équation, on écrit par « + » les signes des substances qui participent à cette interaction. Puisque la combustion se produit avec la participation de l'oxygène de l'air, qui est une molécule diatomique, nous écrivons sa formule sous la forme O2.
Après le signe égal, nous formons la composition du produit de réaction en utilisant les règles d'agencement des valences :
2Ca + O2 = 2CaO.
Poursuivant la conversation sur la façon de créer une équation pour une réaction chimique, nous notons la nécessité d'utiliser la loi de constance de la composition, ainsi que de maintenir la composition des substances. Ils permettent d'effectuer le processus d'égalisation et de placer les coefficients manquants dans l'équation. Ce processus est l’un des exemples les plus simples d’interactions se produisant en chimie inorganique.
Aspects importants
Afin de comprendre comment écrire une équation pour une réaction chimique, nous notons quelques questions théoriques liées à ce sujet. La loi de conservation de la masse des substances, formulée par M.V. Lomonosov, explique la possibilité de disposer des coefficients. Puisque le nombre d’atomes de chaque élément reste le même avant et après l’interaction, des calculs mathématiques peuvent être effectués.
Lors de l'égalisation des côtés gauche et droit de l'équation, le plus petit commun multiple est utilisé, de la même manière que la formule composée est compilée en tenant compte des valences de chaque élément.
Interactions rédox
Une fois que les écoliers auront élaboré l'algorithme des actions, ils seront capables de créer une équation de réactions qui caractérisent les propriétés chimiques de substances simples. Nous pouvons maintenant passer à l’analyse d’interactions plus complexes, par exemple celles qui se produisent avec des changements dans les états d’oxydation des éléments :
Fe + CuSO4 = FeSO4 + Cu.
Il existe certaines règles selon lesquelles les états d'oxydation sont attribués aux substances simples et complexes. Par exemple, dans les molécules diatomiques, cet indicateur est nul ; dans les composés complexes, la somme de tous les états d'oxydation doit également être égale à zéro. Lors de l'établissement d'une balance électronique, les atomes ou les ions qui cèdent des électrons (agent réducteur) et les acceptent (agent oxydant) sont déterminés.
Entre ces indicateurs, le plus petit multiple est déterminé, ainsi que les coefficients. La dernière étape de l'analyse de l'interaction rédox est la disposition des coefficients dans le schéma.
Équations ioniques
L’une des questions importantes abordées dans le cours de chimie scolaire est l’interaction entre les solutions. Par exemple, la tâche suivante est donnée : « Faire une équation pour la réaction chimique d'échange d'ions entre le chlorure de baryum et le sulfate de sodium. » Il s’agit d’écrire l’équation ionique moléculaire, complète et abrégée. Pour considérer l'interaction au niveau ionique, il est nécessaire d'indiquer le tableau de solubilité pour chaque substance de départ et produit de réaction. Par exemple:
BaCl2 + Na2SO4 = 2NaCl + BaSO4
Les substances qui ne se dissolvent pas en ions sont écrites sous forme moléculaire. La réaction d'échange d'ions se produit complètement dans trois cas :
- formation de sédiments;
- dégagement de gaz ;
- obtenir une substance légèrement dissociable, par exemple de l'eau.
Si une substance possède un coefficient stéréochimique, celui-ci est pris en compte lors de l'écriture de l'équation ionique complète. Une fois l’équation ionique complète écrite, la réduction des ions qui n’étaient pas liés en solution est effectuée. Le résultat final de toute tâche impliquant l'examen du processus se produisant entre des solutions de substances complexes sera l'enregistrement d'une réaction ionique abrégée.
Conclusion
Les équations chimiques permettent d'expliquer à l'aide de symboles, d'indices et de coefficients les processus observés entre les substances. Selon le processus exact en cours, l'écriture de l'équation présente certaines subtilités. L'algorithme général de composition des réactions, discuté ci-dessus, est basé sur la valence, la loi de conservation de la masse des substances et la constance de la composition.
