Problèmes de combinatoire. Exemples de solutions

Il convient de noter que la combinatoire est une branche indépendante des mathématiques supérieures (et ne fait pas partie du terver) et que des manuels importants ont été écrits sur cette discipline, dont le contenu, parfois, n'est pas plus simple que l'algèbre abstraite. Cependant, une petite partie de connaissances théoriques nous suffira, et dans cet article je vais essayer d'analyser sous une forme accessible les bases du sujet avec des problèmes combinatoires typiques. Et vous serez nombreux à m'aider ;-)

Qu'allons-nous faire ? Au sens étroit, la combinatoire est le calcul de diverses combinaisons pouvant être réalisées à partir d'un certain ensemble. discret objets. Par objets, on entend tout objet isolé ou être vivant - personnes, animaux, champignons, plantes, insectes, etc. Dans le même temps, la combinatoire ne se soucie pas du tout du fait que l'ensemble se compose d'une assiette de bouillie de semoule, d'un fer à souder et d'une grenouille des marais. Il est fondamentalement important que ces objets puissent être énumérés - ils sont au nombre de trois (discrétion) et l'important est qu'aucun d'entre eux n'est identique.

Nous avons abordé beaucoup de choses, maintenant, sur les combinaisons. Les types de combinaisons les plus courants sont les permutations d'objets, leur sélection dans un ensemble (combinaison) et leur distribution (placement). Voyons comment cela se passe maintenant :

Permutations, combinaisons et placements sans répétition

N'ayez pas peur des termes obscurs, d'autant plus que certains d'entre eux ne sont vraiment pas très bons. Commençons par la queue du titre - que signifie " pas de répétitions" ? Cela signifie que dans cette section, nous considérerons des ensembles constitués de divers objets. Par exemple,... non, je ne proposerai pas de porridge avec un fer à souder et une grenouille, il vaut mieux avoir quelque chose de plus savoureux =) Imaginez qu'une pomme, une poire et une banane se matérialisent sur la table devant vous ( si vous les avez, la situation peut être simulée dans la réalité). Nous disposons les fruits de gauche à droite dans l'ordre suivant :

pomme/poire/banane

Première question: De combien de façons peuvent-ils être réorganisés ?

Une combinaison a déjà été écrite ci-dessus et il n'y a aucun problème avec le reste :

pomme/banane/poire
poire / pomme / banane
poire / banane / pomme
banane / pomme / poire
banane / poire / pomme

Total: 6 combinaisons ou 6 permutations.

D’accord, ce n’était pas trop difficile de lister tous les cas possibles, mais et s’il y avait plus d’objets ? Avec seulement quatre fruits différents, le nombre de combinaisons augmentera considérablement !

Veuillez ouvrir le document de référence (c'est pratique d'imprimer le manuel) et au point n°2, trouvez la formule du nombre de permutations.

Pas de soucis : 3 objets peuvent être réorganisés de différentes manières.

Deuxième question: De combien de façons peux-tu choisir a) un fruit, b) deux fruits, c) trois fruits, d) au moins un fruit ?

Pourquoi choisir ? Nous avons donc mis en appétit au point précédent - pour manger ! =)

a) Un fruit peut évidemment être choisi de trois manières : prenez une pomme, une poire ou une banane. Le calcul formel est effectué selon formule pour le nombre de combinaisons:

L'entrée dans ce cas doit être comprise comme suit : « de combien de manières peut-on choisir 1 fruit sur trois ?

b) Listons toutes les combinaisons possibles de deux fruits :

pomme et poire;
pomme et banane;
poire et banane.

Le nombre de combinaisons peut être facilement vérifié en utilisant la même formule :

L'entrée s'entend de la même manière : « de combien de manières peut-on choisir 2 fruits sur trois ?

c) Et enfin, il n'y a qu'une seule façon de choisir trois fruits :

D'ailleurs, la formule du nombre de combinaisons reste significative pour un échantillon vide :
De cette façon, vous ne pouvez pas choisir un seul fruit, en fait, ne rien prendre et c'est tout.

d) De combien de façons pouvez-vous prendre au moins un fruit? La condition « au moins un » implique que nous sommes satisfaits de 1 fruit (n'importe lequel) ou de 2 fruits quelconques ou des 3 fruits :
en utilisant ces méthodes, vous pouvez choisir au moins un fruit.

Les lecteurs qui ont étudié attentivement la leçon d'introduction sur théorie des probabilités, nous avons déjà deviné quelque chose. Nous reviendrons plus tard sur la signification du signe plus.

Pour répondre à la question suivante, j'ai besoin de deux volontaires... ...Eh bien, puisque personne ne veut, alors je vous appelle au tableau =)

Troisième question: De combien de façons pouvez-vous distribuer un fruit à Dasha et Natasha ?

Afin de distribuer deux fruits, vous devez d'abord les sélectionner. D’après le paragraphe « être » de la question précédente, cela peut être fait de différentes manières, je vais les réécrire :

pomme et poire;
pomme et banane;
poire et banane.

Mais désormais, il y aura deux fois plus de combinaisons. Prenons par exemple la première paire de fruits :
Vous pouvez traiter Dasha avec une pomme et Natasha avec une poire ;
ou vice versa - Dasha obtiendra une poire et Natasha obtiendra une pomme.

Et une telle permutation est possible pour chaque paire de fruits.

Considérez le même groupe d’étudiants qui est allé au bal. De combien de manières un garçon et une fille peuvent-ils être jumelés ?

De différentes manières, vous pouvez sélectionner 1 jeune homme ;
façons dont vous pouvez choisir 1 fille.

Ainsi, un jeune homme Et Vous pouvez choisir une fille : façons.

Lorsqu'un objet est sélectionné dans chaque ensemble, le principe suivant de comptage des combinaisons est valable : « chaque un objet d'un ensemble peut former une paire avec tout le monde objet d'un autre ensemble."

Autrement dit, Oleg peut inviter n'importe laquelle des 13 filles à danser, Evgeny peut également inviter n'importe laquelle des treize et le reste des jeunes a un choix similaire. Total : paires possibles.

Il est à noter que dans cet exemple, « l’histoire » de la formation du couple n’a pas d’importance ; cependant, si l'on prend en compte l'initiative, le nombre de combinaisons doit être doublé, puisque chacune des 13 filles peut également inviter n'importe quel garçon à danser. Tout dépend des conditions d'une tâche particulière !

Un principe similaire est valable pour des combinaisons plus complexes, par exemple : de combien de manières peut-on choisir deux jeunes hommes ? Et deux filles pour participer à un sketch KVN ?

Union ET laisse clairement entendre que les combinaisons doivent être multipliées :

Groupes d'artistes possibles.

Autrement dit, chaque une paire de garçons (45 paires uniques) peut jouer avec n'importe lequel une paire de filles (78 paires uniques). Et si l'on considère la répartition des rôles entre les participants, il y aura encore plus de combinaisons. ...J'en ai bien envie, mais je m'abstiendrai quand même de continuer pour ne pas vous inculquer une aversion pour la vie étudiante =).

La règle de multiplication des combinaisons s'applique également à un plus grand nombre de multiplicateurs :

Problème 8

Combien y a-t-il de nombres à trois chiffres divisibles par 5 ?

Solution: pour plus de clarté, notons ce nombre par trois astérisques : ***

DANS lieu de centaines Vous pouvez écrire n'importe lequel des nombres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9). Zéro ne convient pas, car dans ce cas le nombre cesse d'être à trois chiffres.

Mais dans place des dizaines(« au milieu »), vous pouvez choisir l'un des 10 chiffres : .

Selon la condition, le nombre doit être divisible par 5. Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 5 ou 0. Ainsi, on se contente de 2 chiffres dans le chiffre le moins significatif.

Au total, il y a: nombres à trois chiffres divisibles par 5.

Dans ce cas, l'œuvre est décryptée comme suit : « 9 façons de choisir un nombre dans lieu de centaines Et 10 façons de choisir un numéro dans place des dizaines Et 2 façons d'entrer chiffre des unités»

Ou encore plus simple : « chaque de 9 chiffres à lieu de centaines combine avec chacun de 10 chiffres place des dizaines et avec chacun de deux chiffres à chiffre des unités».

Répondre: 180

Et maintenant...

Oui, j'ai presque oublié le commentaire promis sur le problème n°5, dans lequel Bor, Dima et Volodia peuvent chacun recevoir une carte de différentes manières. La multiplication ici a la même signification : façons de retirer 3 cartes du jeu ET dans chacunéchantillon, réorganisez-les de différentes manières.

Et maintenant un problème à résoudre par vous-même... maintenant je vais trouver quelque chose de plus intéressant... qu'il s'agisse de la même version russe du blackjack :

Problème 9

Combien y a-t-il de combinaisons gagnantes de 2 cartes en jouant « point » ?

Pour ceux qui ne le savent pas : la combinaison gagnante est 10 + ACE (11 points) = 21 points et, considérons la combinaison gagnante de deux as.

(l'ordre des cartes dans n'importe quelle paire n'a pas d'importance)

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon.

À propos, ne considérez pas l'exemple comme primitif. Le Blackjack est presque le seul jeu pour lequel il existe un algorithme mathématique qui vous permet de battre le casino. Les personnes intéressées peuvent facilement trouver une mine d’informations sur la stratégie et les tactiques optimales. Certes, de tels maîtres se retrouvent assez vite sur la liste noire de tous les établissements =)

Il est temps de consolider le matériel couvert avec quelques tâches solides :

Problème 10

Vasya a 4 chats à la maison.

a) de combien de façons les chats peuvent-ils être assis dans les coins de la pièce ?
b) de combien de manières peut-on laisser les chats se promener ?
c) de combien de manières Vasya peut-il ramasser deux chats (l'un à sa gauche, l'autre à sa droite) ?

Décidons: tout d'abord, vous devez à nouveau faire attention au fait que le problème concerne différent objets (même si les chats sont de vrais jumeaux). C'est une condition très importante !

a) Silence des chats. Sous réserve de cette exécution tous les chats à la fois
+ leur emplacement est important, il y a donc des permutations ici :
en utilisant ces méthodes, vous pouvez placer des chats dans les coins de la pièce.

Je répète que lors de la permutation, seul le nombre d'objets différents et leurs positions relatives comptent. Selon l'humeur de Vasya, il peut asseoir les animaux en demi-cercle sur le canapé, en rangée sur le rebord de la fenêtre, etc. – dans tous les cas, il y aura 24 permutations. Pour plus de commodité, les personnes intéressées peuvent imaginer que les chats sont multicolores (par exemple blanc, noir, rouge et tabby) et lister toutes les combinaisons possibles.

b) De combien de façons peut-on laisser les chats se promener ?

On suppose que les chats ne se promènent que par la porte, et la question implique l'indifférence quant au nombre d'animaux - 1, 2, 3 ou les 4 chats peuvent se promener.

Nous comptons toutes les combinaisons possibles :

D'une manière ou d'une autre, vous pouvez laisser un chat (n'importe lequel des quatre) se promener ;
les façons dont vous pouvez laisser deux chats se promener (énumérez vous-même les options) ;
de différentes manières, vous pouvez laisser trois chats se promener (l'un des quatre est assis à la maison) ;
De cette façon, vous pourrez libérer tous les chats.

Vous avez probablement deviné que les valeurs obtenues devaient être résumées :
des façons de laisser les chats se promener.

Pour les passionnés, je propose une version compliquée du problème - lorsque n'importe quel chat de n'importe quel échantillon peut sortir au hasard, à la fois par la porte et par la fenêtre du 10ème étage. Il y aura une augmentation notable des combinaisons !

c) De combien de manières Vasya peut-elle ramasser deux chats ?

La situation consiste non seulement à choisir 2 animaux, mais aussi à les placer dans chaque main :
De cette manière, vous pouvez récupérer 2 chats.

Deuxième solution : vous pouvez choisir deux chats en utilisant des méthodes Et façons de planter chaque un couple sous la main :

Répondre: a) 24, b) 15, c) 12

Eh bien, pour apaiser votre conscience, quelque chose de plus précis sur la multiplication des combinaisons... Laissez Vasya avoir 5 chats supplémentaires =) De combien de façons pouvez-vous laisser 2 chats se promener ? Et 1 chat ?

C'est-à-dire avec chaque quelques chats peuvent être relâchés chaque chat.

Un autre accordéon à boutons pour une solution indépendante :

Problème 11

Trois passagers sont montés à bord de l'ascenseur d'un immeuble de 12 étages. Tout le monde, quels que soient les autres, peut sortir par n'importe quel étage (à partir du 2ème) avec la même probabilité. De combien de manières :

1) les passagers peuvent descendre au même étage (l'ordre de sortie n'a pas d'importance);
2) deux personnes peuvent descendre à un étage, et une troisième à l'autre ;
3) les gens peuvent sortir à différents étages ;
4) les passagers peuvent-ils sortir de l’ascenseur ?

Et là ils redemandent souvent, je précise : si 2 ou 3 personnes sortent au même étage, alors l'ordre de sortie n'a pas d'importance. PENSEZ, utilisez des formules et des règles pour ajouter/multiplier des combinaisons. En cas de difficultés, il est utile que les passagers donnent des noms et spéculent dans quelles combinaisons ils peuvent sortir de l'ascenseur. Il n'y a pas lieu de s'énerver si quelque chose ne fonctionne pas, par exemple, le point n°2 est assez insidieux.

Solution complète avec commentaires détaillés à la fin de la leçon.

Le dernier paragraphe est consacré aux combinaisons qui se produisent également assez souvent - selon mon évaluation subjective, dans environ 20 à 30 % des problèmes combinatoires :

Permutations, combinaisons et placements avec répétitions

Les types de combinaisons répertoriés sont décrits au paragraphe n° 5 du matériel de référence Formules de base de la combinatoire Toutefois, certains d’entre eux peuvent ne pas être très clairs en première lecture. Dans ce cas, il est conseillé de se familiariser d'abord avec des exemples pratiques, puis d'en comprendre ensuite la formulation générale. Allons-y:

Permutations avec répétitions

Dans les permutations avec répétitions, comme dans les permutations « ordinaires », tous les nombreux objets à la fois, mais il y a une chose : dans cet ensemble un ou plusieurs éléments (objets) sont répétés. Répondez à la norme suivante :

Problème 12

Combien de combinaisons de lettres différentes peut-on obtenir en réorganisant les cartes avec les lettres suivantes : K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K ?

Solution: dans le cas où toutes les lettres seraient différentes, alors il faudrait appliquer une formule triviale, mais il est tout à fait clair que pour le jeu de cartes proposé certaines manipulations fonctionneront « sans rien faire », par exemple, si vous échangez deux cartes quelconques avec les lettres « K » " dans n'importe quel mot, vous obtenez le même mot. De plus, physiquement, les cartes peuvent être très différentes : l’une peut être ronde avec la lettre « K » imprimée dessus, l’autre peut être carrée avec la lettre « K » dessinée dessus. Mais selon le sens de la tâche, même de telles cartes sont considérés comme identiques, puisque la condition pose des questions sur les combinaisons de lettres.

Tout est extrêmement simple - seulement 11 cartes, dont la lettre :

K – répété 3 fois ;
O – répété 3 fois ;
L – répété 2 fois ;
b – répété 1 fois ;
H – répété 1 fois ;
Et - répété 1 fois.

Vérifiez : 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, ce qui devait être vérifié.

D'après la formule nombre de permutations avec répétitions:
différentes combinaisons de lettres peuvent être obtenues. Plus d'un demi-million !

Pour calculer rapidement une grande valeur factorielle, il est pratique d'utiliser la fonction Excel standard : saisissez dans n'importe quelle cellule =FAIT(11) et appuyez sur Entrer.

En pratique, il est tout à fait acceptable de ne pas écrire la formule générale et, en outre, d'omettre les factorielles unitaires :

Mais des commentaires préliminaires sur les lettres répétées sont nécessaires !

Répondre: 554400

Un autre exemple typique de permutations avec répétition se produit dans le problème du placement des pièces d'échecs, que l'on peut trouver dans l'entrepôt. solutions toutes faites dans le pdf correspondant. Et pour une solution indépendante, j'ai proposé une tâche moins formelle :

Problème 13

Alexey fait du sport et 4 jours par semaine - athlétisme, 2 jours - exercices de force et 1 jour de repos. De combien de manières peut-il se créer un emploi du temps hebdomadaire ?

La formule ne fonctionne pas ici car elle prend en compte les échanges fortuits (par exemple, échanger les exercices de musculation du mercredi avec ceux du jeudi). Et encore une fois - en fait, les mêmes 2 séances de musculation peuvent être très différentes l'une de l'autre, mais dans le contexte de la tâche (du point de vue du planning) elles sont considérées comme les mêmes éléments.

Solution en deux lignes et réponse à la fin de la leçon.

Combinaisons avec répétitions

Une caractéristique de ce type de combinaison est que l’échantillon est constitué de plusieurs groupes dont chacun est constitué d’objets identiques.

Tout le monde a travaillé dur aujourd'hui, il est donc temps de se rafraîchir :

Problème 14

La cantine étudiante vend des saucisses en pâte, des cheesecakes et des beignets. De combien de façons peut-on acheter cinq tartes ?

Solution: faites immédiatement attention au critère typique des combinaisons avec répétitions - selon la condition, ce n'est pas un ensemble d'objets en tant que tel qui est proposé au choix, mais différents types objets; on suppose qu'il y a au moins cinq hot-dogs, 5 cheesecakes et 5 beignets en vente. Les tartes de chaque groupe sont bien entendu différentes - car des beignets absolument identiques ne peuvent être simulés que sur un ordinateur =) Cependant, les caractéristiques physiques des tartes ne sont pas significatives aux fins du problème, et les hot-dogs / cheesecakes / les beignets dans leurs groupes sont considérés comme identiques.

Que pourrait contenir l’échantillon ? Tout d'abord, il convient de noter qu'il y aura certainement des tartes identiques dans l'échantillon (puisque nous choisissons 5 pièces, et qu'il y a 3 types parmi lesquels choisir). Il y en a ici pour tous les goûts : 5 hot dogs, 5 cheesecakes, 5 beignets, 3 hot dogs + 2 cheesecakes, 1 hot dog + 2 cheesecakes + 2 beignets, etc.

Comme pour les combinaisons « normales », l'ordre de sélection et le placement des tartes dans la sélection n'ont pas d'importance - vous venez de choisir 5 pièces et c'est tout.

Nous utilisons la formule nombre de combinaisons avec répétitions :
Vous pouvez acheter 5 tartes en utilisant cette méthode.

Bon appétit!

Répondre: 21

Quelle conclusion peut-on tirer de nombreux problèmes combinatoires ?

Parfois, le plus difficile est de comprendre la situation.

Un exemple similaire pour une solution indépendante :

Problème 15

Le portefeuille contient un assez grand nombre de pièces de 1, 2, 5 et 10 roubles. De combien de manières peut-on retirer trois pièces d’un portefeuille ?

À des fins de maîtrise de soi, répondez à quelques questions simples :

1) Toutes les pièces de l’échantillon peuvent-elles être différentes ?
2) Nommez la combinaison de pièces « la moins chère » et la plus « chère ».

Solution et réponses à la fin de la leçon.

D'après mon expérience personnelle, je peux dire que les combinaisons avec répétitions sont les invités les plus rares dans la pratique, ce qui ne peut pas être dit des types de combinaisons suivants :

Placements avec répétitions

À partir d'un ensemble composé d'éléments, les éléments sont sélectionnés et l'ordre des éléments dans chaque sélection est important. Et tout irait bien, mais une blague plutôt inattendue est que nous pouvons sélectionner n'importe quel objet de l'ensemble original autant de fois que nous le souhaitons. Au sens figuré, « la multitude ne diminuera pas ».

Quand est-ce que cela arrive ? Un exemple typique est une serrure à combinaison à plusieurs disques, mais en raison de l'évolution technologique, il est plus pertinent de considérer son descendant numérique :

Problème 16

Combien y a-t-il de codes PIN à quatre chiffres ?

Solution: en effet, pour résoudre le problème, la connaissance des règles de la combinatoire suffit : de manières vous pouvez sélectionner le premier chiffre du code PIN Et façons - le deuxième chiffre du code PIN Età bien des égards - troisième Et le même numéro - le quatrième. Ainsi, selon la règle de multiplication des combinaisons, un code PIN à quatre chiffres peut être composé de : manières.

Et maintenant en utilisant la formule. Selon la condition, on nous propose un ensemble de nombres, à partir desquels les nombres sont sélectionnés et disposés dans un certain ordre, tandis que les nombres de l'échantillon peuvent être répétés (c'est-à-dire que n'importe quel chiffre de l'ensemble d'origine peut être utilisé un nombre arbitraire de fois). D'après la formule du nombre de placements avec répétitions :

Répondre: 10000

Ce qui me vient à l'esprit ici... ...si le guichet automatique « mange » la carte après la troisième tentative infructueuse de saisie du code PIN, les chances de la récupérer au hasard sont alors très minces.

Et qui a dit que la combinatoire n’avait aucun sens pratique ? Une tâche cognitive pour tous les lecteurs du site :

Problème 17

Selon la norme de l'État, une plaque d'immatriculation de voiture se compose de 3 chiffres et 3 lettres. Dans ce cas, un nombre avec trois zéros est inacceptable et les lettres sont sélectionnées dans l'ensemble A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X. (seules les lettres cyrilliques sont utilisées dont l'orthographe coïncide avec les lettres latines).

Combien de plaques d’immatriculation différentes peut-on créer pour une région ?

D’ailleurs, ils ne sont pas si nombreux. Dans les grandes régions, une telle quantité n'est pas suffisante et il existe donc pour elles plusieurs codes pour l'inscription RUS.

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon. N'oubliez pas d'utiliser les règles de la combinatoire ;-) ...Je voulais montrer ce qui était exclusif, mais il s'est avéré que ce n'était pas exclusif =) J'ai regardé Wikipédia - il y a des calculs là-bas, mais sans commentaires. Bien qu'à des fins éducatives, peu de gens l'aient probablement résolu.

Notre leçon passionnante est terminée et je tiens enfin à dire que vous n'avez pas perdu votre temps - car les formules combinatoires trouvent une autre application pratique vitale : elles se retrouvent dans divers problèmes de théorie des probabilités,
et dans problèmes impliquant la détermination classique de la probabilité– surtout souvent =)

Merci à tous pour votre participation active et à bientôt !

Solutions et réponses:

Tâche 2 : Solution: trouver le nombre de toutes les permutations possibles de 4 cartes :

Lorsqu'une carte avec un zéro est placée à la 1ère place, le nombre devient à trois chiffres, ces combinaisons doivent donc être exclues. Supposons que zéro soit à la première place, les 3 chiffres restants des chiffres inférieurs peuvent être réorganisés de différentes manières.

Note : parce que Comme il n’y a que quelques cartes, il est facile de lister toutes les options ici :
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Ainsi, à partir de l'ensemble proposé on peut faire :
24 – 6 = 18 nombres à quatre chiffres
Répondre : 18

Tâche 4 : Solution: de différentes manières, vous pouvez choisir 3 cartes sur 36.
Répondre : 7140

Tâche 6 : Solution: façons.
Une autre solution : façons dont vous pouvez sélectionner deux personnes du groupe et et
2) L'ensemble « le moins cher » contient 3 pièces en roubles et le plus « cher » – 3 pièces de dix roubles.

Problème 17 : Solution: en utilisant ces méthodes, vous pouvez créer une combinaison numérique d'un numéro de voiture, tandis que l'un d'eux (000) doit être exclu : .
en utilisant ces méthodes, vous pouvez créer une combinaison de lettres d’un numéro de plaque d’immatriculation.
Selon la règle de multiplication des combinaisons, le total peut être fait :
plaques d'immatriculation
(chaque la combinaison numérique est combinée avec chacun combinaison de lettres).
Répondre : 1726272

2017-2018 Travaux de formation en mathématiques, 11e année

Option 2 (de base)

La réponse à chaque tâche est une fraction décimale finale, un nombre entier ou une séquence de nombres. Notez les réponses aux tâches dans le champ de réponse du texte de l'ouvrage, puis transférez-les sur le formulaire de réponse n°1 à droite du numéro de la tâche correspondante. Si la réponse est une séquence de nombres, alors écrivez cette séquence dans le formulaire de réponse n°1pas d'espaces, de virgules ou d'autres caractères supplémentaires. Écrivez chaque nombre, signe moins et virgule dans une case séparée. Il n'est pas nécessaire d'écrire des unités de mesure.

1

Répondre: _________________.

2 . Trouvez le sens de l’expression :

Répondre: _________________.

3 . À l'école, les filles représentent 51 % de tous les élèves. Combien y a-t-il de filles dans cette école s’il y en a 8 de plus que de garçons ?

Répondre: _________________.

4 . Moyenne harmonique de trois nombresUN , b EtAvec, calculé par la formule Trouver la moyenne harmonique des nombres

Répondre: _________________.

5. Calculer:

Répondre: _________________.

6 . Dans le dortoir des hommes de l'institut, chaque chambre ne peut accueillir plus de trois personnes. Quel est le plus petit nombre de chambres nécessaire pour accueillir 79 étudiants de l’extérieur de la ville ?

Répondre: _________________.

7 .Trouver la racine de l'équation

Répondre: _________________.

8 . L'appartement se compose de deux pièces, une cuisine, un couloir et une salle de bain (voir dessin). La première pièce mesure 4 m sur 4 m, la deuxième pièce mesure 4 m sur 3,5 m, la cuisine mesure 4 m sur 3,5 m et la salle de bain mesure 1,5 m sur 2 m. Trouvez la superficie du couloir. Donnez votre réponse en mètres carrés.

Répondre: _________________.

9 . Établir une correspondance entre les quantités et leurs valeurs possibles : pour chaque élément de la première colonne, sélectionner l'élément correspondant de la deuxième colonne.

VALEURS VALEURS

A) volume du tiroir de la commode 1) 0,75 l

B) volume d'eau dans la mer Caspienne 2) 78 200 km 3

C) volume du paquet ryazhenka 3) 96 l

D) volume d'un wagon 4) 90 m 3

Dans le tableau, sous chaque lettre correspondant à une valeur, indiquez le numéro de sa valeur possible.

Répondre:

10 . À l'Olympiade de la langue russe, les participants sont assis en trois publics. Dans les deux premiers, il y a 130 personnes chacun, les autres sont emmenées dans un auditorium de réserve situé dans un autre bâtiment. En comptant, il s'est avéré qu'il y avait au total 400 participants. Trouvez la probabilité qu'un participant sélectionné au hasard ait participé au concours dans une salle de classe libre.

Répondre: _________________.

11 . La figure montre un graphique des valeurs de pression atmosphérique dans une certaine ville sur trois jours. Les jours de la semaine et l'heure sont indiqués horizontalement, et les valeurs de la pression atmosphérique en millimètres de mercure sont indiquées verticalement. Retrouvez la pression atmosphérique mercredi à 12h. Donnez votre réponse en millimètres de mercure.

Répondre: ____________.

Répondre: _________________.

13. Une pyramide hexagonale régulière d'arête 1 a été collée à un prisme hexagonal régulier d'arête 1 de manière à ce que les bords des bases coïncident. Combien de faces le polyèdre résultant a-t-il (les arêtes invisibles ne sont pas représentées sur la figure) ?

Répondre: _________________.

14. La figure montre le graphique de la fonction PointsUN, B, C, DEtEplacé sur l'axeX quatre intervalles. À l’aide du graphique, faites correspondre chaque intervalle avec une caractéristique de la fonction ou de sa dérivée.

INTERVALLES DE CARACTÉRISTIQUES D'UNE FONCTION OU D'UN DÉRIVÉ

A) (A; B) 1) la fonction change de signe de « – » à « + »

B) (B; C) 2) la dérivée change de signe de « – » à « + »

B) (C ;D) 3) la dérivée change de signe de « + » à « – »

G) (D; E) 4) la fonction est positive et croissante

Dans le tableau, sous chaque lettre, indiquez le numéro correspondant.

Répondre: _________________.

16 . Étant donné deux boîtes en forme de prisme quadrangulaire régulier. La première boîte est quatre fois et demie plus basse que la seconde et la seconde est trois fois plus étroite que la première. Combien de fois le volume de la première boîte est-il supérieur au volume de la seconde ?

Répondre: _________________.

17. Chacune des quatre inégalités de la colonne de gauche correspond à une des solutions de la colonne de droite. Établir une correspondance entre les inégalités et leurs solutions.

SOLUTIONS AUX INÉGALITÉS

UN)

B)

DANS)

g)

Inscrivez le numéro de solution correspondant dans le tableau donné dans la réponse sous chaque lettre.

Répondre:

Sélectionnez les affirmations qui sont vraies dans les conditions données.

1) Parmi les équipes nommées, l'équipe canadienne a pris la deuxième place pour le nombre de médailles.

2) Parmi les équipes nommées, trois ont remporté un nombre égal de médailles.

3) L'équipe allemande a remporté plus de médailles que l'équipe russe.

4) L'équipe russe a remporté plus de médailles que chacune des trois autres équipes.

Dans votre réponse, indiquez les numéros des énoncés corrects par ordre croissant.

Répondre: _________________.

19 . Couplesnuméro à trois chiffresUN se compose des chiffres 3 ; 4 ; 8 ; 9, uncouplesnuméro à trois chiffresDANS - des nombres 6; 7 ; 8 ; 9. On sait queDANS = 2 UN. Trouver le numéroUN. Dans votre réponse, indiquez l'un de ces numéros, à l'exception du numéro 3489.

Répondre: _________________.

20 . Le rectangle est divisé en quatre petits rectangles par deux coupes droites. Les périmètres de trois d’entre eux, en partant du coin supérieur gauche puis dans le sens des aiguilles d’une montre, sont 17, 15 et 18. Trouvez le périmètre du quatrième rectangle.

15

?

18

Je propose aux lecteurs de Habrakhabr une traduction de la publication « 100 Prisoners Escape Puzzle », que j'ai trouvée sur le site DataGenetics. Veuillez envoyer toute erreur concernant cet article en messages privés.

Selon le problème, il y a 100 prisonniers en prison, chacun ayant un numéro personnel de 1 à 100. Le geôlier décide de donner aux prisonniers une chance d'être libérés et propose de passer un test qu'il a inventé. Si tous les prisonniers réussissent, alors ils sont libres, si au moins un échoue, ils mourront tous.

Tâche

La compétition commence, le geôlier emmène chaque prisonnier un par un dans une pièce avec des cartons et dit aux prisonniers qu'ils doivent trouver une boîte qui contiendra une pancarte avec le numéro du prisonnier. Les détenus tentent de retrouver leur plaque d'immatriculation en ouvrant des cartons. Chaque personne est autorisée à ouvrir jusqu'à 50 cartons ; si chacun des prisonniers trouve son numéro, alors les prisonniers seront libérés, si au moins l'un d'entre eux ne trouve pas son numéro en 50 tentatives, alors tous les prisonniers mourront.

Pour que les prisonniers soient libérés, TOUS les prisonniers doivent réussir le test.

Alors, quelle est la chance que les prisonniers soient graciés ?

• Après que la boîte a été ouverte par le détenu et qu'il a vérifié le panneau, elle est remise dans la boîte et le couvercle est refermé ;
• Les plaques ne peuvent pas être changées par endroits ;
• Les prisonniers ne peuvent pas se laisser d’indices ni interagir les uns avec les autres de quelque manière que ce soit une fois le test commencé ;
• Les détenus sont autorisés à discuter de stratégie avant le début du test.

Quelle est la stratégie optimale pour les détenus ?

Question complémentaire :

Si un codétenu (non participant au test) a la possibilité d'entrer dans la salle secrète avant le début du test, examinez tous les panneaux dans toutes les cases et (facultatif, mais pas obligatoire) échangez deux panneaux de deux cases ( dans ce cas, l'ami n'aura pas la possibilité - d'informer les prisonniers du résultat de ses actes), quelle stratégie doit-il adopter pour augmenter les chances de salut des prisonniers ?

La solution est-elle improbable ?

Les chances d'un prisonnier sont de 50 : 50. Il y a 100 cartons au total et il peut ouvrir jusqu'à 50 cartons à la recherche de son signe. S'il ouvre les cartons au hasard et ouvre la moitié de tous les cartons, il retrouvera son signe dans la moitié ouverte des cartons, ou son signe restera dans les 50 cartons fermés. Ses chances de succès sont de ½.

Faisons deux prisonniers. Si les deux choisissent des cases au hasard, les chances pour chacun d’eux seront de ½, et pour les deux de ½x½=¼.
(pour deux détenus, la réussite sera d'un cas sur quatre).

Pour trois prisonniers, les chances seront de ½ × ½ × ½ = ⅛.

Pour 100 détenus, les cotes sont : ½ × ½ × … ½ × ½ (multipliée par 100).

Cela équivaut

Pr ≈ 0,000000000000000000000000000000008

Autrement dit, c'est une très petite chance. Dans cette situation, il est fort probable que tous les prisonniers seront morts.

Réponse incroyable

Plus de 30 % pour les 100 prisonniers ! Oui, c'est encore mieux que les chances de deux prisonniers, à condition qu'ils ouvrent les cartons au hasard. Mais comment est-ce possible ?

Il est clair qu'une pour chaque prisonnier, les chances ne peuvent pas être supérieures à 50 % (après tout, il n'y a aucun moyen de communication entre les prisonniers). Mais n’oubliez pas que les informations sont stockées dans la disposition des plaques à l’intérieur des cartons. Personne ne mélange les panneaux entre les visites individuelles des détenus dans la chambre, nous pouvons donc utiliser cette information.

Solution

La stratégie est extrêmement simple. Le premier prisonnier ouvre la boîte avec le numéro inscrit sur ses vêtements. Par exemple, le prisonnier numéro 78 ouvre une boîte avec le numéro 78. S'il trouve son numéro sur une pancarte à l'intérieur de la boîte, c'est super ! Sinon, il regarde le numéro inscrit sur la plaque dans « sa » case puis ouvre la case suivante avec ce numéro. Après avoir ouvert la deuxième boîte, il regarde le numéro de la plaque à l'intérieur de cette boîte et ouvre la troisième boîte avec ce numéro. Ensuite, nous transférons simplement cette stratégie aux cases restantes. Pour plus de clarté, regardez l'image :

Finalement, le prisonnier trouvera son numéro ou atteindra la limite de 50 cases. À première vue, cela semble inutile comparé au simple choix d’une boîte au hasard (et c’est le cas pour un seul prisonnier), mais puisque les 100 prisonniers utiliseront le même ensemble de boîtes, cela a du sens.

La beauté de ce problème mathématique n'est pas seulement de connaître le résultat, mais aussi de comprendre Pourquoi cette stratégie fonctionne.

Alors pourquoi la stratégie fonctionne-t-elle ?

Si l’on y réfléchit, les boîtes forment une chaîne circulaire fermée. Une boîte ne peut faire partie que d'une seule chaîne, car à l'intérieur d'une boîte il n'y a qu'un seul pointeur vers la suivante et, par conséquent, dans la boîte précédente il n'y a qu'un seul pointeur vers une boîte donnée (les programmeurs peuvent voir l'analogie avec les listes chaînées) .

Si la boîte ne pointe pas vers elle-même (le numéro de la boîte est égal au numéro de la plaque qu'elle contient), alors elle sera dans la chaîne. Certaines chaînes peuvent être constituées de deux cases, d'autres sont plus longues.

Puisque tous les détenus commencent avec une boîte portant le même numéro que leurs vêtements, ils sont, par définition, placés sur une chaîne qui contient leur pancarte (il n'y a qu'un seul panneau qui pointe vers cette boîte).

En explorant les cases en cercle le long de cette chaîne, ils sont assurés de finir par trouver leur enseigne.

Reste à savoir s’ils trouveront leur signe en 50 coups.

Longueur de la chaîne

Si la longueur maximale de la chaîne la plus longue est inférieure à 50 cases, alors tous les prisonniers réussiront le test !

Pensez-y une seconde. Il s'avère qu'il ne peut y avoir qu'une seule chaîne de plus de 50 cases dans n'importe quelle disposition des plaques (nous n'avons que 100 cases, donc si une chaîne est plus longue que 50, alors le reste sera plus court que 50 à la fin) .

Chances d'une mise en page avec une longue chaîne

Un peu plus de maths

Pour une chaîne de longueur l, la probabilité que les cases soient en dehors de cette chaîne est égale à :

Il y a (l-1) dans cette collection de nombres ! façons de placer des panneaux.

Les panneaux restants peuvent être localisés (100-l) ! façons (n'oubliez pas que la longueur de la chaîne ne dépasse pas 50).

Compte tenu de cela, le nombre de permutations contenant une chaîne de longueur exacte l : (>50)

Il s’avère qu’il existe 100(!) façons d’agencer les signes, donc la probabilité d’existence d’une chaîne de longueur l est égale à 1/l. D’ailleurs, ce résultat ne dépend pas du nombre de cases.

Comme nous le savons déjà, il ne peut y avoir qu'une seule option dans laquelle il y a une chaîne d'une longueur > 50, donc la probabilité de succès est calculée à l'aide de cette formule :

Résultat

La probabilité que tous les détenus trouvent leurs signes et réussissent le test est de 31,18 %

Vous trouverez ci-dessous un graphique montrant les probabilités (sur l'axe des y) pour toutes les chaînes de longueur l (sur l'axe des x). La couleur rouge représente tous les « échecs » (la courbe donnée ici n'est qu'un graphique 1/l). Le vert signifie « réussite » (le calcul est un peu plus compliqué pour cette partie du graphique car il existe plusieurs façons de déterminer la longueur maximale<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Numéro harmonique (cette partie de l'article est destinée aux geeks)

Calculons la limite si, au lieu de 100a cases, nous avons un nombre arbitrairement grand de cases (supposons que nous ayons 2n cases au total).

La constante d'Euler-Mascheroni est une constante définie comme la limite de la différence entre la somme partielle d'une série harmonique et le logarithme népérien d'un nombre.

À mesure que le nombre de prisonniers augmente, si le gardien permet aux prisonniers d'ouvrir la moitié de toutes les boîtes, alors les chances de salut tendent à 30,685 %.

(Si vous avez pris la décision dans laquelle les prisonniers devinent les cases au hasard, alors à mesure que le nombre de prisonniers augmente, la probabilité de salut tend vers zéro !)

Question supplémentaire

Maintenant que nous connaissons déjà la solution, la stratégie ici est simple : il doit étudier tous les signes et trouver la plus longue chaîne de boîtes. Si la chaîne la plus longue est inférieure à 50, il n'a alors pas besoin de changer les plaques du tout, ni de les changer pour que la chaîne la plus longue ne dépasse pas 50. Cependant, s'il trouve une chaîne de plus de 50 cases, il lui suffit d'échanger le contenu de deux boîtes de cette chaîne pour diviser la chaîne en deux chaînes plus courtes.

Grâce à cette stratégie, il n’y aura plus de longues chaînes et tous les prisonniers auront la garantie de trouver leur signe et leur salut. Ainsi, en intervertissant les deux signes, on réduit la probabilité de salut à 100% !

N'oubliez pas que le volume d'un parallélépipède rectangle (ou d'une boîte ordinaire) est égal au produit de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur. Si votre boîte est rectangulaire ou carrée, il vous suffit alors de connaître sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Pour obtenir le volume, il faut multiplier les résultats de mesure. La formule de calcul sous forme abrégée est souvent présentée comme suit : V = L x L x H.
Exemple de problème : « Si la longueur d'une boîte est de 10 cm, la largeur est de 4 cm et la hauteur est de 5 cm, alors quel est son volume ?
V = L x l x H
V = 10 cm x 4 cm x 5 cm
V = 200 cm3
La « hauteur » d’une boîte peut être appelée « profondeur ». Par exemple, le problème pourrait contenir les informations suivantes : « La longueur de la boîte est de 10 cm, la largeur est de 4 cm et la profondeur est de 5 cm. »

2
Mesurez la longueur de la boîte. Si vous regardez la boîte d'en haut, elle apparaîtra sous vos yeux sous la forme d'un rectangle. La longueur de la boîte sera le côté le plus long de ce rectangle. Enregistrez le résultat de la mesure pour ce côté comme valeur du paramètre « longueur ».
Lorsque vous prenez des mesures, veillez à utiliser des unités de mesure uniformes. Si vous avez mesuré un côté en centimètres, les autres côtés doivent également être mesurés en centimètres.

3
Mesurez la largeur de la boîte. La largeur de la boîte sera représentée par l’autre côté plus court du rectangle visible du dessus. Si vous reliez visuellement les côtés de la boîte mesurés en longueur et en largeur, ils apparaîtront sous la forme de la lettre « L ». Enregistrez la dernière mesure comme « largeur ».
La largeur correspond toujours au côté le plus court de la boîte.

4
Mesurez la hauteur de la boîte. C'est le dernier paramètre que vous n'avez pas encore mesuré. Il représente la distance entre le bord supérieur de la boîte et le bas. Enregistrez cette mesure comme « hauteur ».
Selon le côté sur lequel vous placez la boîte, les côtés spécifiques que vous étiquetez « longueur », « largeur » ou « hauteur » peuvent être différents. Cependant, cela n'a pas d'importance, vous avez juste besoin de mesures sur trois côtés différents.

5
Multipliez les résultats des trois mesures ensemble. Comme déjà mentionné, la formule de calcul du volume est la suivante : V = Longueur x Largeur x Hauteur ; par conséquent, pour obtenir le volume, multipliez simplement les trois côtés. Assurez-vous d'indiquer les unités de mesure que vous avez utilisées dans le calcul afin de ne pas oublier la signification exacte des valeurs obtenues.

6
Lors de la désignation des unités de mesure de volume, n'oubliez pas d'indiquer la troisième puissance "3". Le volume calculé a une expression numérique, mais sans les bonnes unités de mesure, vos calculs n'auront aucun sens. Pour refléter correctement les unités de volume, elles doivent être indiquées dans un cube. Par exemple, si tous les côtés étaient mesurés en centimètres, les unités de volume seraient alors affichées sous la forme « cm3 ».
Exemple de problème : « Si une boîte mesure 2 m de long, 1 m de large et 3 m de haut, quel est son volume ? »
V = L x l x H
V = 2 mx 1 mx 4 m
V = 8 m3
Remarque : La spécification des unités de volume cubique vous permet de comprendre combien de ces cubes peuvent être placés à l'intérieur de la boîte. Si l’on se réfère à l’exemple précédent, cela signifie que huit mètres cubes rentrent dans la boîte.

Calcul du volume de boîtes d'autres formes

Déterminez le volume du cylindre. Le cylindre est un tube rond avec des cercles aux deux extrémités. Pour déterminer le volume d'un cylindre, la formule est utilisée : V = π x r 2 x h, où π = 3,14, r est le rayon du côté rond du cylindre et h est sa hauteur.
Pour déterminer le volume d'un cône ou d'une pyramide à base ronde, la même formule est utilisée, mais multipliée par 1/3. C'est-à-dire que le volume du cône est calculé par la formule : V = 1/3 (π x r 2 x h)

2
Déterminez le volume de la pyramide. Une pyramide est une figure avec une base plate et des côtés convergeant vers le haut en un seul point. Pour déterminer le volume d'une pyramide, il faut prendre 1/3 du produit de l'aire de sa base et de sa hauteur. Autrement dit, la formule de calcul est la suivante : Volume de la pyramide = 1/3 (Surface de base x Hauteur).
Dans la plupart des cas, les pyramides ont une base carrée ou rectangulaire. Dans une telle situation, l'aire de la base est calculée en multipliant la longueur de la base par la largeur.

Pour déterminer le volume d'une boîte de formes complexes, additionnez les volumes de ses différentes parties. Par exemple, vous devrez peut-être mesurer le volume d'une boîte en forme de lettre « L ». De cette façon, la boîte aura plus de côtés à mesurer. Si vous divisez cette boîte en deux parties, vous pouvez mesurer le volume de ces deux parties de manière standard, puis additionner les valeurs résultantes. Dans le cas d'une boîte en forme de L, la partie la plus longue peut être considérée comme une boîte rectangulaire longue distincte, et la partie la plus courte comme une boîte carrée (ou presque carrée) qui lui est attachée.
Si votre boîte a des formes très complexes, sachez qu'il existe de nombreuses façons de déterminer le volume d'objets de n'importe quelle forme.

Problèmes combinatoires

1 . Katya, Masha et Ira jouent avec un ballon. Chacun d’eux doit lancer la balle une fois vers chaque ami. Combien de fois chaque fille doit-elle lancer le ballon ? Combien de fois le ballon sera-t-il lancé ? Déterminez combien de fois le ballon sera lancé si les personnes suivantes participent au jeu : quatre enfants ; cinq enfants.

2 . Il s'agit de trois façades et de deux toits, de même forme, mais peints de couleurs différentes : les façades sont jaunes, bleues et rouges, et les toits sont bleus et rouges. Quels types de maisons peut-on construire ? Combien y a-t-il de combinaisons au total ?

3 . Ci-dessous, trois façades de maison de même forme : bleue, jaune et rouge, ainsi que trois toits : bleu, jaune et rouge. Quels types de maisons peut-on construire ? Combien y a-t-il de combinaisons au total ?

4 . Les dessins sur les drapeaux peuvent avoir la forme d’un cercle, d’un carré, d’un triangle ou d’une étoile, et ils peuvent être de couleur verte ou rouge. Combien de drapeaux différents peut-il y avoir ?

5. À la cantine scolaire, de la viande, des côtelettes et du poisson étaient préparés pour le déjeuner comme seconds plats. Pour le dessert - glace, fruits et tarte. Vous pouvez choisir un plat principal et un dessert. Combien d’options de déjeuner différentes y a-t-il ?

6. À la cantine scolaire, pour le déjeuner, ils préparaient une soupe avec de la viande et une soupe végétarienne en entrée, de la viande, des côtelettes et du poisson en deuxième plat, et de la glace, des fruits et de la tarte en dessert. Combien d’options différentes existe-t-il pour un repas à trois plats ?

7. De combien de façons trois élèves peuvent-ils être assis en rangée sur des chaises ? Notez tous les cas possibles.

8 . De combien de manières quatre (cinq) personnes peuvent-elles se tenir en ligne ?

9 . Trois sentiers gravissent la colline de différents côtés et convergent vers le sommet. Créez plusieurs itinéraires pour monter et descendre la colline. Résolvez le même problème si vous devez monter et descendre par des chemins différents.

10 . Il y a trois routes menant d'Akulovo à Rybnitsa et quatre routes de Rybnitsa à Kitovo. De combien de façons peut-on voyager de Akulovo à Kitovo en passant par Rybnitsa ?

11 . Une syllabe est dite ouverte si elle commence par une consonne et se termine par une voyelle. Combien de syllabes ouvertes de deux lettres peuvent être écrites en utilisant les lettres « a », « b », « c », « d », « e », « i », « o » ? Écrivez ces syllabes.

12. Combien de costumes différents peut-on confectionner à partir d’un chemisier et d’une jupe s’il y a 4 chemisiers et 4 jupes ?

13. Lorsque Petya va à l'école, il rencontre parfois un ou plusieurs de ses amis : Vasya, Lenya, Tolya. Énumérez tous les cas possibles qui peuvent survenir.

14 . Notez tous les nombres possibles à deux chiffres en utilisant les nombres 7 et 4.

15 . Misha avait prévu d'acheter : un crayon, une règle, un bloc-notes et un cahier. Aujourd'hui, il n'a acheté que deux articles différents. Que pourrait acheter Misha, si l’on suppose que le magasin disposait de toutes les fournitures pédagogiques dont il avait besoin ?

16 . Les quatre personnes se serrèrent la main.

17 Combien y a-t-il eu de poignées de main au total ?

18 . Combien y a-t-il de nombres à deux chiffres qui ne contiennent pas le chiffre 0 ?

19 . Notez tous les nombres à trois chiffres possibles qui peuvent être formés à partir des nombres 1 et 2.

20 . Notez tous les nombres possibles, même à trois chiffres, composés des chiffres 1 et 2.

21 . Notez tous les nombres possibles à deux chiffres utilisant les nombres 2, 8 et 5.

22 . Quels nombres à trois chiffres peuvent être écrits à l'aide des nombres 3, 7 et 1, à condition que le nombre ne contienne pas de chiffres identiques ? Combien de ces numéros ?

23 . Combien de nombres à trois chiffres peut-on former à partir des chiffres 1, 2, 4, 6 si aucun chiffre n'est utilisé plus d'une fois ? Combien de ces nombres seront pairs ? Combien d'impairs ?

24 . Il y a cinq places dans la voiture. De combien de manières cinq personnes peuvent-elles monter dans cette voiture si seulement deux d’entre elles peuvent prendre le siège du conducteur ?

25. Il y a 5 pupitres simples dans la classe. De combien de manières deux (trois) écoliers nouvellement arrivés peuvent-ils y être assis ?

26 . Rappelez-vous la fable « Quatuor » de I. Krylov :

Le vilain singe, l'âne, la chèvre et l'ours au pied bot ont commencé à jouer un quatuor. Ils frappent les arcs, ils se battent, mais ça ne sert à rien. « Arrêtez, mes frères, arrêtez ! - Le singe crie. - Attendez! Comment doit se dérouler la musique ? Ce n’est pas comme ça qu’on s’assoit. De combien de manières différentes ces musiciens peuvent-ils essayer de s’asseoir ? Cela pourrait-il améliorer la qualité de leur jeu ?

27 . Les garçons et les filles sont assis en rangée sur des sièges consécutifs, les garçons étant assis sur des sièges impairs et les filles sur des sièges pairs. De combien de manières cela peut-il être fait si :

a) 3 garçons et 3 filles sont assis sur 6 sièges ;

b) 5 garçons et 5 filles sont assis sur 10 sièges ?

28 . Sur un échiquier de dames vide, vous devez placer deux pions - noir et blanc. Combien de postes différents peuvent-ils occuper au sein du conseil d’administration ?

29. Supposons que le numéro de voiture soit composé de deux lettres suivies de deux chiffres, par exemple AB-53. Combien de nombres différents pouvez-vous faire si vous utilisez 5 lettres et 6 chiffres ?

30 . Le numéro de voiture se compose de trois lettres et de quatre chiffres. Combien y a-t-il de plaques d'immatriculation différentes (trois lettres sont tirées des 29 lettres de l'alphabet russe) ?

31 . Disons que vous deviez vous rendre à la bibliothèque, à la caisse d'épargne, à la poste et faire réparer vos chaussures. Afin de choisir l'itinéraire le plus court, vous devez considérer toutes les options possibles. Combien y a-t-il de parcours possibles si la bibliothèque, la caisse d'épargne, la poste et le cordonnier sont éloignés les uns des autres ?

32. Disons que vous deviez vous rendre à la bibliothèque, à la caisse d'épargne, à la poste et faire réparer vos chaussures. Afin de choisir l'itinéraire le plus court, vous devez considérer toutes les options possibles. Combien d'itinéraires raisonnables y a-t-il si la bibliothèque et la poste sont à proximité, mais éloignées de la caisse d'épargne et du cordonnier, qui sont éloignés l'un de l'autre ?

33. Il y eut une discussion animée parmi les passagers voyageant dans la voiture au sujet de quatre magazines. Il s'est avéré que tout le monde est abonné à deux magazines et que chacune des combinaisons possibles de deux magazines est abonnée par une seule personne. Combien de personnes composaient ce groupe ?

34 . Il y a cinq cubes qui ne diffèrent les uns des autres que par la couleur : 2 rouges, 1 blanc et 2 noirs. Il y a deux cases A et B, et A contient 2 cubes et B en contient 3. De combien de manières différentes ces cubes peuvent-ils être placés dans les cases A et B ?

35. Pour apporter des pommes rajeunissantes au Tsar-Père, Ivan Tsarévitch doit trouver le seul véritable chemin vers le jardin magique. Ivan Tsarévitch a rencontré un vieux corbeau à la croisée de trois routes et voici le conseil qu'il a entendu de sa part :

1) suivez maintenant le bon chemin ;

2) à la prochaine bifurcation, ne pas prendre le bon chemin ;

3) à la troisième bifurcation, ne pas prendre le chemin de gauche.

Une colombe qui passait par là murmura à Ivan Tsarévitch qu’un seul conseil du corbeau était correct et qu’il était impératif de suivre des chemins dans des directions différentes. Notre héros a terminé la tâche et s'est retrouvé dans un jardin magique. Quel itinéraire a-t-il emprunté ?