La loi de distribution d'une variable aléatoire consiste à trouver l'espérance mathématique. Problèmes résolus concernant DSV

X est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80

Solution:
L'écart type de la variable aléatoire X est défini comme , où la variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule Alors , et

Solution:
UN(une boule tirée au hasard est noire) on applique la formule de probabilité totale : Voici la probabilité qu'une boule blanche ait été transférée de la première urne à la deuxième urne ; – la probabilité qu'une boule noire ait été transférée de la première urne à la deuxième urne ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit noire si une boule blanche a été déplacée de la première urne à la seconde ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit noire si une boule noire a été déplacée de la première urne à la seconde.

La variable aléatoire discrète X est donnée par la loi de distribution de probabilité : Alors la probabilité égal...

Solution:
La variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule. Alors

Ou . En résolvant la dernière équation, nous obtenons deux racines et

Sujet : Détermination de la probabilité
Dans un lot de 12 pièces, il y a 5 pièces défectueuses. Trois parties ont été sélectionnées au hasard. Alors la probabilité qu’il n’y ait pas de pièces appropriées parmi les pièces sélectionnées est égale à...

Solution:
Pour calculer l'événement A (il n'y a pas de pièces appropriées parmi les pièces sélectionnées), nous utilisons la formule où n m– le nombre d'issues élémentaires favorables à la survenance de l'événement A. Dans notre cas, le nombre total d'issues élémentaires possibles est égal au nombre de manières dont trois détails peuvent être extraits des 12 disponibles, c'est-à-dire.

Et le nombre total de résultats favorables est égal au nombre de façons dont trois pièces défectueuses peuvent être extraites de cinq, c'est-à-dire.

La banque accorde 44 % de tous les prêts aux personnes morales et 56 % aux particuliers. La probabilité qu'une personne morale ne rembourse pas le prêt à temps est de 0,2 ; et pour un individu, cette probabilité est de 0,1. La probabilité que le prochain prêt soit remboursé à temps est alors...

0,856

Solution:
Pour calculer la probabilité d'un événement UN(le prêt émis sera remboursé à temps) appliquer la formule de probabilité totale : . Voici la probabilité que le prêt ait été accordé à une personne morale ; – la probabilité que le prêt ait été accordé à un particulier ; – la probabilité conditionnelle que le prêt soit remboursé à temps s'il a été accordé à une personne morale ; – la probabilité conditionnelle que le prêt soit remboursé à temps s'il était accordé à un particulier. Alors

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes
Pour une variable aléatoire discrète X

0,655

Sujet : Détermination de la probabilité
Le dé est lancé deux fois. Alors la probabilité que la somme des points obtenus ne soit pas inférieure à neuf est...

Solution:
Pour calculer l'événement (la somme des points obtenus sera d'au moins neuf), on utilise la formule , où est le nombre total de résultats élémentaires possibles du test, et m– le nombre d’issues élémentaires favorables à la survenance de l’événement UN. Dans notre cas, c'est possible résultats de tests élémentaires, parmi lesquels les plus favorables sont des résultats de la forme , , , , , , , et , c'est-à-dire. Ainsi,

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes

la fonction de distribution de probabilité a la forme :

Alors la valeur du paramètre peut être égale à...

			0,7

			0,85
			0,6

Solution:
Prieuré A . Par conséquent, et . Ces conditions sont satisfaites, par exemple, par la valeur

Sujet : Caractéristiques numériques des variables aléatoires
Une variable aléatoire continue est spécifiée par une fonction de distribution de probabilité :

Alors sa variance est...

Solution:
Cette variable aléatoire est distribuée uniformément dans l'intervalle. Ensuite, sa variance peut être calculée à l'aide de la formule . C'est

Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes
La première urne contient 6 boules noires et 4 boules blanches. La deuxième urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Une boule a été extraite d’une urne au hasard, qui s’est avérée blanche. Alors la probabilité que cette boule ait été tirée de la première urne est...

Solution:
UN(une boule tirée au hasard est blanche) selon la formule de probabilité totale : . Voici la probabilité que la boule soit tirée de la première urne ; – la probabilité que la boule soit tirée de la deuxième urne ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si elle est tirée de la première urne ; est la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si elle est tirée de la deuxième urne.
Alors .
Calculons maintenant la probabilité conditionnelle que cette boule ait été tirée de la première urne en utilisant la formule de Bayes :

Sujet : Caractéristiques numériques des variables aléatoires
Variable aléatoire discrète X est donné par la loi de distribution de probabilité :

Alors sa variance est...

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Solution:
La variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes

Solution:
Prieuré A . Alors
a) à , ,
chauve souris , ,
chat , ,
d) à , ,
d) à , .
Ainsi,

Sujet : Détermination de la probabilité
Un point est lancé au hasard à l’intérieur d’un cercle de rayon 4. Alors la probabilité que le point soit en dehors du carré inscrit dans le cercle est...

Sujet : Détermination de la probabilité
Dans un lot de 12 pièces, il y a 5 pièces défectueuses. Trois parties ont été sélectionnées au hasard. Alors la probabilité qu’il n’y ait pas de pièces défectueuses parmi les pièces sélectionnées est égale à...

Solution:
Pour calculer l'événement (il n'y a pas de pièces défectueuses parmi les pièces sélectionnées), on utilise la formule, où n est le nombre total de résultats de tests élémentaires possibles, et m– le nombre d'issues élémentaires favorables à la survenance de l'événement. Dans notre cas, le nombre total de résultats élémentaires possibles est égal au nombre de façons dont trois détails peuvent être extraits des 12 disponibles, c'est-à-dire. Et le nombre total d’issues favorables est égal au nombre de façons dont trois parties non défectueuses peuvent être extraites de sept, c’est-à-dire. Ainsi,

Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Solution:
Pour calculer la probabilité d'un événement UN
Alors

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire discrète est spécifiée par la loi de distribution de probabilité :

Alors la probabilité égal...

Solution:
Utilisons la formule . Alors

Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Solution:
Calculons d'abord la probabilité de l'événement UN
.
.

Sujet : Caractéristiques numériques des variables aléatoires

Alors son espérance mathématique est...

Solution:
Utilisons la formule . Alors .

Sujet : Détermination de la probabilité

Solution:

Sujet : Caractéristiques numériques des variables aléatoires
Une variable aléatoire continue est spécifiée par la densité de distribution de probabilité . Alors l'espérance mathématique un et l'écart type de cette variable aléatoire est égal à...

Solution:
La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire normalement distribuée a la forme , Où , . C'est pourquoi .

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire discrète est spécifiée par la loi de distribution de probabilité :

Alors les valeurs un Et b peut-être égal...

Solution:
Puisque la somme des probabilités des valeurs possibles est égale à 1, alors . La réponse satisfait à cette condition : .

Sujet : Détermination de la probabilité
Un cercle plus petit de rayon 5 est placé dans un cercle de rayon 8. Alors la probabilité qu'un point jeté au hasard dans le plus grand cercle tombe également dans le plus petit cercle est...

Solution:
Pour calculer la probabilité de l'événement souhaité, nous utilisons la formule , où est l'aire du plus petit cercle et est l'aire du plus grand cercle. Ainsi, .

Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes
La première urne contient 3 boules noires et 7 boules blanches. La deuxième urne contient 4 boules blanches et 5 boules noires. Une boule a été transférée de la première urne à la deuxième urne. Alors la probabilité qu’une boule tirée au hasard dans la deuxième urne soit blanche est…

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

Solution:
Pour calculer la probabilité d'un événement UN(une boule tirée au hasard est blanche) appliquez la formule de probabilité totale : . Voici la probabilité qu'une boule blanche ait été transférée de la première urne à la deuxième urne ; – la probabilité qu'une boule noire ait été transférée de la première urne à la deuxième urne ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si une boule blanche a été déplacée de la première urne à la seconde ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si une boule noire est déplacée de la première urne à la seconde.
Alors

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes
Pour une variable aléatoire discrète :

la fonction de distribution de probabilité a la forme :

Alors la valeur du paramètre peut être égale à...

			0,7

			0,85
			0,6

TÂCHE N 10 signaler une erreur
Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes
La banque accorde 70 % de tous les prêts aux personnes morales et 30 % aux particuliers. La probabilité qu'une personne morale ne rembourse pas le prêt à temps est de 0,15 ; et pour un individu cette probabilité est de 0,05. Un message a été reçu indiquant que le prêt n'avait pas été remboursé. Alors la probabilité que la personne morale n’ait pas remboursé ce prêt est...

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Solution:
Calculons d'abord la probabilité de l'événement UN(le prêt émis ne sera pas remboursé à temps) selon la formule de probabilité totale : . Voici la probabilité que le prêt ait été accordé à une personne morale ; – la probabilité que le prêt ait été accordé à un particulier ; – la probabilité conditionnelle que le prêt ne soit pas remboursé à temps s'il a été accordé à une personne morale ; – la probabilité conditionnelle que le prêt ne soit pas remboursé à temps s'il était accordé à un particulier. Alors
.
Calculons maintenant la probabilité conditionnelle que ce prêt ne soit pas remboursé par une personne morale, en utilisant la formule de Bayes :
.

TÂCHE N 11 signaler une erreur
Sujet : Détermination de la probabilité
Dans un lot de 12 pièces, il y a 5 pièces défectueuses. Trois parties ont été sélectionnées au hasard. Alors la probabilité qu’il n’y ait pas de pièces appropriées parmi les pièces sélectionnées est égale à...

Solution:
Pour calculer l'événement (il n'y a pas de parties appropriées parmi les parties sélectionnées), nous utilisons la formule, où n est le nombre total de résultats de tests élémentaires possibles, et m– le nombre d'issues élémentaires favorables à la survenance de l'événement. Dans notre cas, le nombre total de résultats élémentaires possibles est égal au nombre de façons dont trois détails peuvent être extraits des 12 disponibles, c'est-à-dire. Et le nombre total de résultats favorables est égal au nombre de façons dont trois pièces défectueuses peuvent être extraites de cinq, c'est-à-dire. Ainsi,

TÂCHE N 12 signaler une erreur
Sujet : Caractéristiques numériques des variables aléatoires
Une variable aléatoire continue est spécifiée par la densité de distribution de probabilité :

Alors sa variance est...

Solution:
La variance d'une variable aléatoire continue peut être calculée à l'aide de la formule

Alors

Solution:
Prieuré A . Alors
a) à , ,
chauve souris , ,
chat , ,
d) à , ,
d) à , .
Ainsi,

Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes
Il y a trois urnes contenant 5 boules blanches et 5 boules noires, et sept urnes contenant 6 boules blanches et 4 boules noires. Une boule est tirée d'une urne au hasard. Alors la probabilité que cette boule soit blanche est...

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Solution:
Pour calculer la probabilité d'un événement UN(une boule tirée au hasard est blanche) appliquer la formule de probabilité totale : . Voici la probabilité qu'une boule soit tirée de la première série d'urnes ; – la probabilité que la boule soit tirée de la deuxième série d'urnes ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si elle est tirée de la première série d'urnes ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si elle est tirée de la deuxième série d'urnes.
Alors .

Sujet : Détermination de la probabilité
Le dé est lancé deux fois. Alors la probabilité que la somme des points tirés soit égale à dix est...

Définition 2.3. Une variable aléatoire, notée X, est dite discrète si elle prend un ensemble fini ou dénombrable de valeurs, c'est-à-dire ensemble – un ensemble fini ou dénombrable.

Considérons des exemples de variables aléatoires discrètes.

1. Deux pièces sont lancées une fois. Le nombre d'emblèmes dans cette expérience est une variable aléatoire X. Ses valeurs possibles sont 0,1,2, c'est-à-dire – un ensemble fini.

2. Le nombre d'appels d'ambulance au cours d'une période de temps donnée est enregistré. Valeur aléatoire X– nombre d'appels. Ses valeurs possibles sont 0, 1, 2, 3, ..., c'est-à-dire =(0,1,2,3,...) est un ensemble dénombrable.

3. Il y a 25 étudiants dans le groupe. Un certain jour, le nombre d'élèves venus en classe est enregistré - une variable aléatoire X. Ses valeurs possibles : 0, 1, 2, 3, ...,25 soit =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Bien que les 25 personnes de l'exemple 3 ne puissent pas manquer les cours, la variable aléatoire X peut prendre cette valeur. Cela signifie que les valeurs d'une variable aléatoire ont des probabilités différentes.

Considérons un modèle mathématique d'une variable aléatoire discrète.

Supposons qu'une expérience aléatoire soit réalisée, qui correspond à un espace fini ou dénombrable d'événements élémentaires. Considérons le mappage de cet espace sur l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire attribuons à chaque événement élémentaire un certain nombre réel , . L'ensemble des nombres peut être fini ou dénombrable, c'est-à-dire ou

Un système de sous-ensembles, qui comprend tout sous-ensemble, y compris un sous-ensemble à un point, forme une -algèbre d'un ensemble numérique ( – fini ou dénombrable).

Puisque tout événement élémentaire est associé à certaines probabilités p je(dans le cas de tout fini), et , alors chaque valeur d'une variable aléatoire peut être associée à une certaine probabilité p je, tel que .

Laisser X est un nombre réel arbitraire. Notons R X (x) la probabilité que la variable aléatoire X a pris une valeur égale à X, c'est à dire. PX(x)=P(X=x). Alors la fonction R X (x) peut prendre des valeurs positives uniquement pour ces valeurs X, qui appartiennent à un ensemble fini ou dénombrable , et pour toutes les autres valeurs la probabilité de cette valeur P X (x) = 0.

Ainsi, nous avons défini l'ensemble des valeurs, -algèbre comme un système de sous-ensembles quelconques et pour chaque événement ( X = X) a comparé la probabilité pour n'importe lequel, c'est-à-dire construit un espace de probabilité.

Par exemple, l'espace des événements élémentaires d'une expérience consistant à lancer deux fois une pièce symétrique se compose de quatre événements élémentaires : , où

Lorsque la pièce était lancée deux fois, deux queues apparaissaient ; quand la pièce était lancée deux fois, deux blasons tombaient ;

Au premier tirage au sort, un dièse apparaissait, et au second, un blason ;

Au premier tirage au sort, les armoiries sont apparues, et au second, un hachage.

Laissez la variable aléatoire X– nombre de décrocheurs du réseau. Il est défini sur et l'ensemble de ses valeurs . Tous les sous-ensembles possibles, y compris ceux à un seul point, forment une algèbre, c'est-à-dire =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Probabilité d'un événement ( X = x je}, і = 1,2,3, on le définit comme la probabilité d'occurrence d'un événement qui en est le prototype :

Ainsi, sur les événements élémentaires ( X = x je) définir une fonction numérique R X, Donc .

Définition 2.4. La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est un ensemble de paires de nombres (x i, р i), où x i sont les valeurs possibles de la variable aléatoire, et р i sont les probabilités avec lesquelles elle prend ces valeurs, et .

La forme la plus simple pour spécifier la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est un tableau qui répertorie les valeurs possibles de la variable aléatoire et les probabilités correspondantes :

			…		…
			…		…

Un tel tableau est appelé une série de distribution. Pour donner à la série de distribution un aspect plus visuel, elle est représentée graphiquement : sur l'axe Oh points x je et tracez-en des perpendiculaires de longueur p je. Les points résultants sont connectés et un polygone est obtenu, qui est l'une des formes de la loi de distribution (Fig. 2.1).

Ainsi, pour spécifier une variable aléatoire discrète, vous devez spécifier ses valeurs et les probabilités correspondantes.

Exemple 2.2. La fente à billets de la machine se déclenche à chaque fois qu'une pièce est insérée avec la probabilité R.. Une fois déclenché, les pièces ne descendent pas. Laisser X– le nombre de pièces qui doivent être insérées avant le déclenchement de la fente à billets de la machine. Construire une série de distribution d'une variable aléatoire discrète X.

Solution. Valeurs possibles d'une variable aléatoire X: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ... Trouvons les probabilités de ces valeurs : page 1– la probabilité que le récepteur de monnaie fonctionne dès la première descente, et p1 = p; page 2 – la probabilité que deux tentatives soient effectuées. Pour ce faire, il faut que : 1) le receveur d'argent ne fonctionne pas du premier coup ; 2) au deuxième essai, cela a fonctionné. La probabilité de cet événement est (1–р)р. De même et ainsi de suite, . Plage de distribution X prendra la forme

	1	2	3	…	À	…
	R.	qp	q 2p		q r -1 p

Notez que les probabilités rk former une progression géométrique avec le dénominateur : 1–p=q, q<1, donc cette distribution de probabilité est appelée géométrique.

Supposons en outre qu'un modèle mathématique ait été construit expérience décrite par une variable aléatoire discrète X, et envisagez de calculer les probabilités d’occurrence d’événements arbitraires.

Laissez un événement arbitraire contenir un ensemble fini ou dénombrable de valeurs x je: UNE= {x 1, x 2,..., x je, ...) .Événement UN peut être représenté comme une union d'événements incompatibles de la forme : . Ensuite, en utilisant l’axiome 3 de Kolmogorov , on a

puisque nous avons déterminé que les probabilités d'occurrence des événements sont égales aux probabilités d'occurrence des événements qui en sont les prototypes. Cela signifie que la probabilité de tout événement , , peut être calculé à l'aide de la formule, puisque cet événement peut être représenté sous la forme d'une union d'événements, où .

Alors la fonction de distribution F(x) = Р(–<Х<х) est trouvé par la formule. Il s'ensuit que la fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète X est discontinu et augmente par sauts, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une fonction échelonnée (Fig. 2.2) :

Si l’ensemble est fini, alors le nombre de termes dans la formule est fini, mais s’il est dénombrable, alors le nombre de termes est dénombrable.

Exemple 2.3. Le dispositif technique est constitué de deux éléments qui fonctionnent indépendamment l'un de l'autre. La probabilité de défaillance du premier élément pendant le temps T est de 0,2 et la probabilité de défaillance du deuxième élément est de 0,1. Valeur aléatoire X– le nombre d'éléments défaillants pendant le temps T. Trouvez la fonction de distribution de la variable aléatoire et tracez son graphique.

Solution. L'espace des événements élémentaires d'une expérience consistant à étudier la fiabilité de deux éléments d'un dispositif technique est déterminé par quatre événements élémentaires , , , : – les deux éléments sont opérationnels ; – le premier élément fonctionne, le second est défectueux ; – le premier élément est défectueux, le second fonctionne ; – les deux éléments sont défectueux. Chacun des événements élémentaires peut s'exprimer à travers des événements élémentaires d'espaces Et , où – le premier élément est opérationnel ; – le premier élément est défaillant ; – le deuxième élément est opérationnel ; – le deuxième élément est défaillant. Ensuite, et puisque les éléments d’un dispositif technique fonctionnent indépendamment les uns des autres, alors

8. Quelle est la probabilité que les valeurs d'une variable aléatoire discrète appartiennent à l'intervalle ?

Discret appelée variable aléatoire qui peut prendre des valeurs individuelles et isolées avec certaines probabilités.

EXEMPLE 1. Le nombre de fois où les armoiries apparaissent en trois tirages au sort. Valeurs possibles : 0, 1, 2, 3, leurs probabilités sont respectivement égales :

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

EXEMPLE 2. Le nombre d'éléments défaillants dans un appareil composé de cinq éléments. Valeurs possibles : 0, 1, 2, 3, 4, 5 ; leurs probabilités dépendent de la fiabilité de chaque élément.

Variable aléatoire discrète X peut être donné par une série de distribution ou une fonction de distribution (la loi de distribution intégrale).

Proche de la distribution est l'ensemble de toutes les valeurs possibles Xje et leurs probabilités correspondantes R.je = P(X = Xje), il peut être spécifié sous forme de tableau :

x je				xn
p je				р n

Dans le même temps, les probabilités R.je satisfaire la condition

R.je= 1 parce que

où est le nombre de valeurs possibles n peut être fini ou infini.

Représentation graphique de la série de distribution appelé le polygone de distribution . Pour le construire, valeurs possibles de la variable aléatoire ( Xje) sont tracés le long de l’axe des x et les probabilités R.je- selon l'axe des ordonnées ; points UNje avec des coordonnées ( Xje, рje) sont reliés par des lignes brisées.

Fonction de distribution Variable aléatoire X fonction appelée F(X), dont la valeur au point X est égale à la probabilité que la variable aléatoire X sera inférieur à cette valeur X, c'est

F(x) = P(X< х).

Fonction F(X) Pour variable aléatoire discrète calculé par la formule

F(X) = R.je , (1.10.1)

où la sommation est effectuée sur toutes les valeurs je, Pour qui Xje< х.

EXEMPLE 3. A partir d'un lot de 100 produits, dont 10 défectueux, cinq produits sont sélectionnés au hasard pour vérifier leur qualité. Construire une série de distributions d'un nombre aléatoire X produits défectueux contenus dans l’échantillon.

Solution. Étant donné que dans l'échantillon, le nombre de produits défectueux peut être n'importe quel nombre entier allant de 0 à 5 inclus, alors les valeurs possibles Xje Variable aléatoire X sont égaux:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Probabilité R.(X = k) que l'échantillon contient exactement k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) produits défectueux, équivaut à

P (X = k) = .

Suite à des calculs utilisant cette formule avec une précision de 0,001, nous obtenons :

R. 1 =P(X = 0) @ 0,583;R. 2 =P(X = 1) @ 0,340;R. 3 =P(X = 2) @ 0,070;

R. 4 =P(X = 3) @ 0,007;R. 5 =P(X= 4) @ 0;R. 6 =P(X = 5) @ 0.

Utiliser l'égalité pour vérifier R.k=1, on s'assure que les calculs et les arrondis ont été effectués correctement (voir tableau).

x je
p je

EXEMPLE 4.Étant donné une série de distribution d'une variable aléatoire X :

x je
p je

Trouver la fonction de distribution de probabilité F(X) de cette variable aléatoire et construisez-la.

Solution. Si X 10 £ alors F(X)=P(X<X) = 0;

si 10<X 20 £ alors F(X)=P(X<X) = 0,2 ;

si 20<X 30 £ alors F(X)=P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

si 30<X 40 £ alors F(X)=P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

si 40<X 50 £ alors F(X)=P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Si X> 50, alors F(X)=P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Sur cette page, nous avons rassemblé une brève théorie et des exemples de résolution de problèmes éducatifs dans lesquels une variable aléatoire discrète est déjà spécifiée par sa série de distribution (sous forme tabulaire) et il est nécessaire de l'étudier : trouver des caractéristiques numériques, construire des graphiques, etc. Des exemples de types de distribution connus peuvent être trouvés sur les liens suivants :

Brève théorie sur DSV

Une variable aléatoire discrète est spécifiée par sa série de distribution : une liste de valeurs $x_i$ qu'elle peut prendre et les probabilités correspondantes $p_i=P(X=x_i)$. Le nombre de valeurs d'une variable aléatoire peut être fini ou dénombrable. Pour plus de précision, nous considérerons le cas $i=\overline(1,n)$. Alors la représentation tabulaire de la variable aléatoire discrète a la forme :

$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(array) $ $

Dans ce cas, la condition de normalisation est satisfaite : la somme de toutes les probabilités doit être égale à un

$$\somme_(i=1)^(n) p_i=1$$

Graphiquement, la série de distribution peut être représentée polygone de distribution(ou polygone de distribution). Pour ce faire, des points de coordonnées $(x_i,p_i)$ sont tracés sur le plan et reliés dans l'ordre par une ligne brisée. Vous trouverez des exemples détaillés.

Caractéristiques numériques du DSV

Valeur attendue:

$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$

Dispersion:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $

Écart-type:

$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$

Le coefficient de variation :

$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.

Mode : valeur $Mo=x_k$ avec la probabilité la plus élevée $p_k=\max_i(p_i)$.

Vous pouvez utiliser des calculatrices en ligne pour calculer la valeur attendue, la variance et l'écart type du DSV.

Fonction de distribution DSV

A partir de la série de distribution, on peut compiler fonction de distribution variable aléatoire discrète $F(x)=P(X\lt x)$. Cette fonction spécifie la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur inférieure à un certain nombre $x$. Vous trouverez des exemples de construction avec des calculs et des graphiques détaillés dans les exemples ci-dessous.

Exemples de problèmes résolus

Tache 1. Une variable aléatoire discrète est spécifiée par une série de distribution :
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Construisez un polygone de distribution et une fonction de distribution $F(x)$. Calculez : $M[X], D[X], \sigma[X]$, ainsi que le coefficient de variation, l'asymétrie, l'aplatissement, le mode et la médiane.

Tâche 2. La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X est donnée :
a) déterminer l'espérance mathématique M(x), la variance D(x) et l'écart type (x) de la variable aléatoire X ; b) construire un graphique de cette distribution.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

Tâche 3. Pour une variable aléatoire X avec une série de distribution donnée
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
A) trouver $p_1$ et $p_2$ pour que $M(X)=0,5$
B) après cela, calculez l'espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire $X$ et tracez sa fonction de distribution

Tâche 4. Le SV discret $X$ ne peut prendre que deux valeurs : $x_1$ et $x_2$, et $x_1 \lt x_2$. La probabilité $P$ d'une valeur possible, l'espérance mathématique $M(x)$ et la variance $D(x)$ sont connues. Trouver : 1) La loi de distribution de cette variable aléatoire ; 2) Fonction de distribution SV $X$ ; 3) Construisez un graphique de $F(x)$.
$ P = 0,3 ; M(x) = 6,6 ; D(x)=13,44.$

Tâche 5. La variable aléatoire X prend trois valeurs : 2, 4 et 6. Trouvez les probabilités de ces valeurs si $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.

Tâche 6. Une série de distributions de r.v. discrètes est donnée. $X$. Trouver les caractéristiques numériques de la position et de la dispersion de r.v. $X$. Trouver m.o. et dispersion r.v. $Y=X/2-2$, sans noter la série de distribution r.v. $Y$, vérifiez le résultat à l'aide de la fonction de génération.
Construisez la fonction de distribution r.v. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦

Tâche 7. La distribution d'une variable aléatoire discrète $X$ est donnée par le tableau suivant (à côté de la distribution) :
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Déterminez la valeur manquante dans la table de distribution. Calculez les principales caractéristiques numériques de la distribution : $M_x, D_x, \sigma_x$. Trouvez et construisez la fonction de distribution $F(x)$. Déterminez la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne les valeurs suivantes :
A) plus de 6,
B) moins de 12,
C) pas plus de 9.

Tâche 8. Le problème nécessite de trouver : a) l'espérance mathématique ; b) dispersion ; c) l'écart type d'une variable aléatoire discrète X selon une loi donnée de sa distribution, donnée dans un tableau (la première ligne du tableau indique les valeurs possibles, la deuxième ligne indique les probabilités de valeurs possibles).

Tâche 9. La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète $X$ est donnée (la première ligne montre les valeurs possibles de $x_i$, la deuxième ligne montre les probabilités des valeurs possibles de $p_i$).
Trouver:
A) espérance mathématique $M(X)$, variance $D(X)$ et écart type $\sigma(X)$ ;
B) composer la fonction de distribution de la variable aléatoire $F(x)$ et construire son graphique ;
C) calculer la probabilité qu'une variable aléatoire $X$ tombe dans l'intervalle $x_2 \lt X \lt x_4$, en utilisant la fonction de distribution compilée $F(x)$ ;
D) établir une loi de répartition pour la valeur $Y=100-2X$ ;
D) calculer l'espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire compilée $Y$ de deux manières, c'est-à-dire prendre l'avantage
propriété d'espérance mathématique et de dispersion, ainsi que directement selon la loi de distribution de la variable aléatoire $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Problème 10. Une variable aléatoire discrète est donnée à une table. Calculez ses moments initiaux et centraux jusqu'au 4ème ordre inclus. Trouver les probabilités des événements $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1

Chapitre 1. Variable aléatoire discrète

§ 1. Concepts de variable aléatoire.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète.

Définition : L'aléatoire est une quantité qui, à la suite d'un test, ne prend qu'une seule valeur parmi un ensemble possible de ses valeurs, inconnues à l'avance et dépendant de raisons aléatoires.

Il existe deux types de variables aléatoires : discrètes et continues.

Définition : La variable aléatoire X est appelée discret (discontinu) si l'ensemble de ses valeurs est fini ou infini mais dénombrable.

Autrement dit, les valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète peuvent être renumérotées.

Une variable aléatoire peut être décrite à l'aide de sa loi de distribution.

Définition : Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète appeler la correspondance entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités.

La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X peut être spécifiée sous la forme d'un tableau, dans la première ligne duquel toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire sont indiquées par ordre croissant, et dans la deuxième ligne les probabilités correspondantes de celles-ci. valeurs, c'est-à-dire

où р1+ р2+…+ рn=1

Un tel tableau est appelé une série de distribution d'une variable aléatoire discrète.

Si l'ensemble des valeurs possibles d'une variable aléatoire est infini, alors la série p1+ p2+…+ pn+… converge et sa somme est égale à 1.

La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X peut être représentée graphiquement, pour laquelle une ligne brisée est construite dans un système de coordonnées rectangulaires, reliant séquentiellement des points avec des coordonnées (xi ; pi), i=1,2,…n. La ligne résultante s'appelle polygone de distribution (Fig. 1).

Chimie organique" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">chimie organique sont respectivement de 0,7 et 0,8. Établissez une loi de distribution pour la variable aléatoire X - le nombre d'examens que l'étudiant réussira.

Solution. La variable aléatoire X considérée à la suite de l'examen peut prendre l'une des valeurs suivantes : x1=0, x2=1, x3=2.

Trouvons la probabilité de ces valeurs. Notons les événements :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Ainsi, la loi de distribution de la variable aléatoire X est donnée par le tableau :

Contrôle : 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Fonction de répartition

Une description complète d'une variable aléatoire est également donnée par la fonction de distribution.

Définition: Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète X s'appelle une fonction F(x), qui détermine pour chaque valeur x la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à x :

F(x)=P(X<х)

Géométriquement, la fonction de distribution est interprétée comme la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur représentée sur la droite numérique par un point situé à gauche du point x.

1)0≤ F(x) ≤1 ;

2) F(x) est une fonction non décroissante sur (-∞;+∞) ;

3) F(x) - continu à gauche aux points x= xi (i=1,2,...n) et continu à tous les autres points ;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Si la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X est donnée sous forme de tableau :

alors la fonction de distribution F(x) est déterminée par la formule :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 pour x≤ x1,

р1 à x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 à x2< х≤ х3

1 pour x> xn.

Son graphique est présenté sur la Fig. 2 :

§ 3. Caractéristiques numériques d'une variable aléatoire discrète.

L’espérance mathématique est l’une des caractéristiques numériques importantes.

Définition: Espérance mathématique M(X) la variable aléatoire discrète X est la somme des produits de toutes ses valeurs et de leurs probabilités correspondantes :

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

L'espérance mathématique sert de caractéristique de la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Propriétés de l'espérance mathématique :

1)M(C)=C, où C est une valeur constante ;

2)M(CX)=CM(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), où X, Y sont des variables aléatoires indépendantes ;

5)M(X±C)=M(X)±C, où C est une valeur constante ;

Pour caractériser le degré de dispersion des valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète autour de sa valeur moyenne, la dispersion est utilisée.

Définition: Variance D ( X ) la variable aléatoire X est l'espérance mathématique de l'écart carré de la variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique :

Propriétés de dispersion :

1)D(C)=0, où C est une valeur constante ;

2)D(X)>0, où X est une variable aléatoire ;

3)D(C X)=C2 D(X), où C est une valeur constante ;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), où X, Y sont des variables aléatoires indépendantes ;

Pour calculer la variance, il est souvent pratique d'utiliser la formule :

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

où M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

La variance D(X) a la dimension d'une variable aléatoire au carré, ce qui n'est pas toujours pratique. Par conséquent, la valeur √D(X) est également utilisée comme indicateur de la dispersion des valeurs possibles d'une variable aléatoire.

Définition: Écart-type σ(X) la variable aléatoire X est appelée racine carrée de la variance :

Tâche n°2. La variable aléatoire discrète X est spécifiée par la loi de distribution :

Trouvez P2, la fonction de distribution F(x) et tracez son graphique, ainsi que M(X), D(X), σ(X).

Solution: Puisque la somme des probabilités des valeurs possibles de la variable aléatoire X est égale à 1, alors

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Trouvons la fonction de distribution F(x)=P(X

Géométriquement, cette égalité peut être interprétée comme suit : F(x) est la probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur représentée sur l'axe des nombres par un point situé à gauche du point x.

Si x≤-1, alors F(x)=0, puisqu'il n'y a pas une seule valeur de cette variable aléatoire sur (-∞;x) ;

Si -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Si 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) il existe deux valeurs x1=-1 et x2=0 ;

Si 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Si 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Si x>3, alors F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, car quatre valeurs x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 tombent dans l'intervalle (-∞;x) et x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 à x≤-1,

0,1 à -1<х≤0,

0,2 à 0<х≤1,

F(x)= 0,5 à 1<х≤2,

0,7 à 2<х≤3,

1 à x>3

Représentons graphiquement la fonction F(x) (Fig. 3) :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Loi de distribution binomiale

variable aléatoire discrète, loi de Poisson.

Définition: Binôme est appelée la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X - le nombre d'occurrences de l'événement A dans n essais répétés indépendants, dans chacun desquels l'événement A peut se produire avec une probabilité p ou ne pas se produire avec une probabilité q = 1-p. Alors P(X=m) - la probabilité d'occurrence de l'événement A exactement m fois en n essais est calculée à l'aide de la formule de Bernoulli :

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

L'espérance mathématique, la dispersion et l'écart type d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi binaire se trouvent respectivement à l'aide des formules :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> La probabilité de l'événement A - « déployer un cinq » dans chaque essai est la même et égale à 1/6 , c'est-à-dire P(A)=p=1/6, alors P(A)=1-p=q=5/6, où

- "échec à obtenir un A."

La variable aléatoire X peut prendre les valeurs suivantes : 0;1;2;3.

On trouve la probabilité de chacune des valeurs possibles de X à l’aide de la formule de Bernoulli :

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216 ;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216 ;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216 ;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Que. la loi de distribution de la variable aléatoire X a la forme :

Contrôle : 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Retrouvons les caractéristiques numériques de la variable aléatoire X :

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Tâche n°4. Une machine automatique estampille les pièces. La probabilité qu'une pièce fabriquée soit défectueuse est de 0,002. Trouvez la probabilité que parmi 1000 pièces sélectionnées il y ait :

a) 5 défectueux ;

b) au moins un est défectueux.

Solution: Le nombre n=1000 est grand, la probabilité de produire une pièce défectueuse p=0,002 est faible et les événements considérés (la pièce s'avère défectueuse) sont indépendants, donc la formule de Poisson est valable :

Рn(m)= e- λ λm

Trouvons λ=np=1000 0,002=2.

a) Trouvez la probabilité qu'il y ait 5 pièces défectueuses (m=5) :

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Trouvez la probabilité qu'il y ait au moins une pièce défectueuse.

L'événement A - « au moins une des pièces sélectionnées est défectueuse » est l'opposé de l'événement - « toutes les pièces sélectionnées ne sont pas défectueuses ». Par conséquent, P(A) = 1-P(). La probabilité recherchée est donc égale à : P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1-e-2=1-0,13534≈0,865.

Tâches pour un travail indépendant.

1.1

1.2. La variable aléatoire dispersée X est spécifiée par la loi de distribution :

Trouvez p4, la fonction de distribution F(X) et tracez son graphique, ainsi que M(X), D(X), σ(X).

1.3. Il y a 9 feutres dans la boîte dont 2 n'écrivent plus. Prenez 3 marqueurs au hasard. La variable aléatoire X est le nombre de marqueurs d'écriture parmi ceux pris. Établir une loi de distribution d'une variable aléatoire.

1.4. Il y a 6 manuels disposés au hasard sur une étagère de bibliothèque, dont 4 sont reliés. Le bibliothécaire prend 4 manuels au hasard. La variable aléatoire X est le nombre de manuels reliés parmi ceux pris. Établir une loi de distribution d'une variable aléatoire.

1.5. Il y a deux tâches sur le ticket. La probabilité de résoudre correctement le premier problème est de 0,9, le second est de 0,7. La variable aléatoire X est le nombre de problèmes correctement résolus dans le ticket. Établissez une loi de distribution, calculez l'espérance mathématique et la variance de cette variable aléatoire, trouvez également la fonction de distribution F(x) et construisez son graphique.

1.6. Trois tireurs tirent sur une cible. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,5 pour le premier tireur, de 0,8 pour le deuxième et de 0,7 pour le troisième. La variable aléatoire X est le nombre de coups sûrs sur la cible si les tireurs tirent un coup à la fois. Trouvez la loi de distribution, M(X),D(X).

1.7. Un basketteur lance le ballon dans le panier avec une probabilité de toucher chaque tir de 0,8. Pour chaque coup, il reçoit 10 points, et s'il rate, aucun point ne lui est attribué. Élaborez une loi de répartition de la variable aléatoire X - le nombre de points reçus par un basketteur en 3 tirs. Trouvez M(X),D(X), ainsi que la probabilité qu'il obtienne plus de 10 points.

1.8. Des lettres sont écrites sur les cartes, soit un total de 5 voyelles et 3 consonnes. 3 cartes sont choisies au hasard, et à chaque fois la carte prise est restituée. La variable aléatoire X est le nombre de voyelles parmi celles prises. Établissez une loi de distribution et trouvez M(X),D(X),σ(X).

1.9. En moyenne, dans 60 % des contrats, la compagnie d'assurance verse des sommes d'assurance liées à la survenance d'un événement assuré. Établissez une loi de répartition de la variable aléatoire X - le nombre de contrats pour lesquels le montant d'assurance a été payé parmi quatre contrats sélectionnés au hasard. Trouvez les caractéristiques numériques de cette quantité.

1.10. La station de radio envoie des indicatifs d'appel (pas plus de quatre) à certains intervalles jusqu'à ce qu'une communication bidirectionnelle soit établie. La probabilité de recevoir une réponse à un indicatif d'appel est de 0,3. La variable aléatoire X est le nombre d'indicatifs d'appel envoyés. Élaborez une loi de distribution et trouvez F(x).

1.11. Il y a 3 clés, dont une seule s'adapte à la serrure. Établir une loi de répartition de la variable aléatoire nombre X de tentatives d'ouverture de la serrure, si la clé essayée ne participe pas aux tentatives ultérieures. Trouvez M(X),D(X).

1.12. Des tests indépendants consécutifs de trois appareils sont effectués pour vérifier leur fiabilité. Chaque appareil suivant n'est testé que si le précédent s'est avéré fiable. La probabilité de réussir le test pour chaque appareil est de 0,9. Élaborer une loi de distribution pour la variable aléatoire nombre X d'appareils testés.

1.13 .La variable aléatoire discrète X a trois valeurs possibles : x1=1, x2, x3 et x1.<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Le bloc appareil électronique contient 100 éléments identiques. La probabilité de défaillance de chaque élément pendant le temps T est de 0,002. Les éléments fonctionnent indépendamment. Trouvez la probabilité que pas plus de deux éléments échouent pendant le temps T.

1.15. Le manuel a été publié à 50 000 exemplaires. La probabilité que le manuel soit mal relié est de 0,0002. Trouvez la probabilité que la circulation contienne :

a) quatre livres défectueux,

b) moins de deux livres défectueux.

1 .16. Le nombre d'appels arrivant au PBX chaque minute est distribué selon la loi de Poisson avec le paramètre λ=1,5. Trouvez la probabilité que dans une minute ce qui suit arrive :

a) deux appels ;

b) au moins un appel.

1.17.

Trouvez M(Z),D(Z) si Z=3X+Y.

1.18. Les lois de distribution de deux variables aléatoires indépendantes sont données :

Trouvez M(Z),D(Z) si Z=X+2Y.

Réponses:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4 ; 0 à x≤-2,

0,3 à -2<х≤0,

F(x)= 0,5 à 0<х≤2,

0,9 à 2<х≤5,

1 à x>5

1.2. p4=0,1 ; 0 à x≤-1,

0,3 à -1<х≤0,

0,4 à 0<х≤1,

F(x)= 0,6 à 1<х≤2,

0,7 à 2<х≤3,

1 à x>3

M(X) = 1 ; D(X) = 2,6 ; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 à x≤0,

0,03 à 0<х≤1,

F(x)= 0,37 à 1<х≤2,

1 pour x>2

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X) = 15/8 ; D(X) = 45/64 ; σ(X) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a)0,0189 ; b) 0,00049

1.16. a)0,0702 ; b)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Chapitre 2. Variable aléatoire continue

Définition: Continu Ils appellent une quantité dont toutes les valeurs possibles remplissent complètement une étendue finie ou infinie de la droite numérique.

Évidemment, le nombre de valeurs possibles d'une variable aléatoire continue est infini.

Une variable aléatoire continue peut être spécifiée à l'aide d'une fonction de distribution.

Définition: F fonction de distribution une variable aléatoire continue X est appelée fonction F(x), qui détermine pour chaque valeur xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R.

La fonction de distribution est parfois appelée fonction de distribution cumulative.

Propriétés de la fonction de distribution :

1)1≤ F(x) ≤1

2) Pour une variable aléatoire continue, la fonction de distribution est continue en tout point et différentiable partout, sauf peut-être en des points individuels.

3) La probabilité qu'une variable aléatoire X tombe dans l'un des intervalles (a;b), [a;b], [a;b], est égale à la différence entre les valeurs de la fonction F(x) aux points a et b, c'est-à-dire R(a)<Х

4) La probabilité qu'une variable aléatoire continue X prenne une valeur distincte est de 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Spécifier une variable aléatoire continue à l'aide d'une fonction de distribution n'est pas le seul moyen. Introduisons le concept de densité de distribution de probabilité (densité de distribution).

Définition : Densité de distribution de probabilité F ( X ) d'une variable aléatoire continue X est la dérivée de sa fonction de distribution, soit :

La fonction de densité de probabilité est parfois appelée fonction de distribution différentielle ou loi de distribution différentielle.

Le graphique de la distribution de densité de probabilité f(x) est appelé courbe de distribution de probabilité .

Propriétés de la distribution de densité de probabilité :

1) f(x) ≥0, sur xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 src="> 0 à x≤2,

f(x)= c(x-2) à 2<х≤6,

0 pour x>6.

Trouvez : a) la valeur de c ; b) la fonction de distribution F(x) et tracez-la ; c) P(3≤x<5)

Solution:

+ ∞

a) On trouve la valeur de c à partir de la condition de normalisation : ∫ f(x)dx=1.

Donc -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

si 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 à x≤2,

F(x)= (x-2)2/16 à 2<х≤6,

1 pour x>6.

Le graphique de la fonction F(x) est présenté sur la figure 3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 à x≤0,

F(x)= (3 arctan x)/π à 0<х≤√3,

1 pour x>√3.

Trouver la fonction de distribution différentielle f(x)

Solution: Puisque f(x)= F’(x), alors

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Toutes les propriétés d'espérance mathématique et de dispersion, évoquées précédemment pour les variables aléatoires dispersées, sont également valables pour les variables continues.

Tâche n°3. La variable aléatoire X est spécifiée par la fonction différentielle f(x) :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Problèmes pour une solution indépendante.

2.1. Une variable aléatoire continue X est spécifiée par la fonction de distribution :

0 à x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pour x≤ π/6,

F(x)= - cos 3x à π/6<х≤ π/3,

1 pour x> π/3.

Trouvez la fonction de distribution différentielle f(x), et aussi

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 à x≤2,

f(x)= cx à 2<х≤4,

0 pour x>4.

2.4. Une variable aléatoire continue X est spécifiée par la densité de distribution :

0 à x≤0,

f(x)= c √x à 0<х≤1,

0 pour x>1.

Trouvez : a) le numéro c ; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> à x,

0 à x.

Trouver : a) F(x) et construire son graphique ; b) M(X),D(X), σ(X); c) la probabilité que dans quatre essais indépendants la valeur de X prenne exactement 2 fois la valeur appartenant à l'intervalle (1;4).

2.6. La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue X est donnée :

f(x)= 2(x-2) à x,

0 à x.

Trouver : a) F(x) et construire son graphique ; b) M(X),D(X), σ (X); c) la probabilité que dans trois essais indépendants la valeur de X prenne exactement 2 fois la valeur appartenant au segment .

2.7. La fonction f(x) est donnée par :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2 ; √3/2].

2.8. La fonction f(x) est donnée par :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π/4].

Trouvez : a) la valeur de la constante c à laquelle la fonction sera la densité de probabilité d'une variable aléatoire X ; b) fonction de distribution F(x).

2.9. La variable aléatoire X, concentrée sur l'intervalle (3;7), est spécifiée par la fonction de distribution F(x)= . Trouver la probabilité que

la variable aléatoire X prendra la valeur : a) inférieure à 5, b) pas inférieure à 7.

2.10. Variable aléatoire X, concentrée sur l'intervalle (-1;4),

est donné par la fonction de distribution F(x)= . Trouver la probabilité que

la variable aléatoire X prendra la valeur : a) inférieure à 2, b) pas inférieure à 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Trouvez : a) le numéro c ; b) M(X); c) probabilité P(X> M(X)).

2.12. La variable aléatoire est spécifiée par la fonction de distribution différentielle :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Trouver : a) M(X); b) probabilité P(X≤M(X))

2.13. La distribution Rem est donnée par la densité de probabilité :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> pour x ≥0.

Montrer que f(x) est bien une fonction de densité de probabilité.

2.14. La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue X est donnée :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Fig. 4) (Fig.5)

2.16. La variable aléatoire X est distribuée selon la loi du « triangle rectangle » dans l'intervalle (0 ; 4) (Fig. 5). Trouvez une expression analytique pour la densité de probabilité f(x) sur toute la droite numérique.

Réponses

0 à x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pour x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x à π/6<х≤ π/3,

0 pour x> π/3. Une variable aléatoire continue X a une loi de distribution uniforme sur un certain intervalle (a;b), qui contient toutes les valeurs possibles de X, si la densité de distribution de probabilité f(x) est constante sur cet intervalle et égale à 0 en dehors de celui-ci , c'est à dire.

0 pour x≤a,

f(x)= pour un<х

0 pour x≥b.

Le graphique de la fonction f(x) est présenté sur la Fig. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pour x≤a,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Tâche n°1. La variable aléatoire X est uniformément répartie sur le segment. Trouver:

a) densité de distribution de probabilité f(x) et tracez-la ;

b) la fonction de distribution F(x) et tracez-la ;

c) M(X),D(X), σ(X).

Solution: En utilisant les formules discutées ci-dessus, avec a=3, b=7, on trouve :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> à 3≤х≤7,

0 pour x>7

Construisons son graphique (Fig. 3) :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 à x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 à x<0,

f(x)= λе-λх pour x≥0.

La fonction de distribution d'une variable aléatoire X, distribuée selon la loi exponentielle, est donnée par la formule :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Ainsi, l’espérance mathématique et l’écart type de la distribution exponentielle sont égaux.

La probabilité que X tombe dans l'intervalle (a;b) est calculée par la formule :

Pennsylvanie<Х

Tâche n°2. La durée moyenne de fonctionnement sans panne de l'appareil est de 100 heures. En supposant que la durée de fonctionnement sans panne de l'appareil ait une loi de distribution exponentielle, trouvez :

a) densité de distribution de probabilité ;

b) fonction de distribution ;

c) la probabilité que la durée de fonctionnement sans panne de l’appareil dépasse 120 heures.

Solution: Selon la condition, la distribution mathématique M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 à x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x pour x≥0.

b) F(x)= 0 à x<0,

1-e -0,01x à x≥0.

c) On trouve la probabilité souhaitée en utilisant la fonction de distribution :

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3.

§ 3. Loi sur la distribution normale

Définition: Une variable aléatoire continue X a loi de distribution normale (loi de Gauss), si sa densité de distribution a la forme :

où m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

La courbe de distribution normale s'appelle courbe normale ou gaussienne (Fig.7)

La courbe normale est symétrique par rapport à la droite x=m, a un maximum en x=a, égal à .

La fonction de distribution d'une variable aléatoire X, distribuée selon la loi normale, s'exprime par la fonction de Laplace Ф (x) selon la formule :

où est la fonction de Laplace.

Commentaire: La fonction Ф(x) est impaire (Ф(-х)=-Ф(х)), de plus, pour x>5 on peut supposer Ф(х) ≈1/2.

Le graphique de la fonction de distribution F(x) est présenté sur la Fig. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

La probabilité que la valeur absolue de l'écart soit inférieure à un nombre positif δ est calculée par la formule :

En particulier, pour m=0 l’égalité suivante est vraie :

"La règle des trois Sigma"

Si une variable aléatoire X a une loi de distribution normale avec les paramètres m et σ, alors il est presque certain que sa valeur se situe dans l'intervalle (a-3σ ; a+3σ), car

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Utilisons la formule :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

À partir du tableau des valeurs de fonction Ф(х) nous trouvons Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Donc la probabilité recherchée :

P(28

Tâches pour le travail indépendant

3.1. La variable aléatoire X est uniformément distribuée dans l'intervalle (-3;5). Trouver:

b) fonction de distribution F(x);

c) caractéristiques numériques ;

d) probabilité P(4<х<6).

3.2. La variable aléatoire X est uniformément répartie sur le segment. Trouver:

a) densité de distribution f(x);

b) fonction de distribution F(x);

c) caractéristiques numériques ;

d) probabilité P(3≤х≤6).

3.3. Il y a un feu de circulation automatique sur l'autoroute, dans lequel le feu vert est allumé pendant 2 minutes, jaune pendant 3 secondes, rouge pendant 30 secondes, etc. Une voiture roule sur l'autoroute à un moment aléatoire. Trouvez la probabilité qu'une voiture passe un feu tricolore sans s'arrêter.

3.4. Les rames de métro circulent régulièrement à des intervalles de 2 minutes. Un passager entre sur le quai à une heure aléatoire. Quelle est la probabilité qu’un passager doive attendre plus de 50 secondes pour un train ? Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire X - le temps d'attente du train.

3.5. Trouvez la variance et l'écart type de la distribution exponentielle donnés par la fonction de distribution :

F(x)= 0 à x<0,

1er-8x pour x≥0.

3.6. Une variable aléatoire continue X est spécifiée par la densité de distribution de probabilité :

f(x)= 0 à x<0,

0,7 e-0,7x à x≥0.

a) Nommez la loi de distribution de la variable aléatoire considérée.

b) Trouvez la fonction de distribution F(X) et les caractéristiques numériques de la variable aléatoire X.

3.7. La variable aléatoire X est distribuée selon la loi exponentielle spécifiée par la densité de distribution de probabilité :

f(x)= 0 à x<0,

0,4 e-0,4 x à x≥0.

Trouvez la probabilité qu'à la suite du test, X prenne une valeur de l'intervalle (2,5 ; 5).

3.8. Une variable aléatoire continue X est distribuée selon la loi exponentielle spécifiée par la fonction de distribution :

F(x)= 0 à x<0,

1er-0,6x à x≥0

Trouvez la probabilité qu'à la suite du test, X prenne une valeur du segment.

3.9. La valeur attendue et l'écart type d'une variable aléatoire normalement distribuée sont respectivement 8 et 2. Trouvez :

a) densité de distribution f(x);

b) la probabilité qu'à la suite du test X prenne une valeur dans l'intervalle (10 ; 14).

3.10. La variable aléatoire X est normalement distribuée avec une espérance mathématique de 3,5 et une variance de 0,04. Trouver:

a) densité de distribution f(x);

b) la probabilité qu'à la suite du test X prenne une valeur du segment .

3.11. La variable aléatoire X est normalement distribuée avec M(X)=0 et D(X)=1. Lequel des événements : |X|≤0,6 ou |X|≥0,6 est le plus probable ?

3.12. La variable aléatoire X est distribuée normalement avec M(X)=0 et D(X)=1. À partir de quel intervalle (-0,5 ; -0,1) ou (1 ; 2) est-elle plus susceptible de prendre une valeur au cours d'un test ?

3.13. Le prix actuel par action peut être modélisé en utilisant la loi de distribution normale avec M(X)=10 den. unités et σ (X) = 0,3 den. unités Trouver:

a) la probabilité que le cours actuel de l'action soit de 9,8 deniers. unités jusqu'à 10,4 jours unités;

b) en utilisant la « règle des trois sigma », trouvez les limites dans lesquelles se situera le cours actuel de l’action.

3.14. La substance est pesée sans erreurs systématiques. Les erreurs de pesée aléatoires sont soumises à la loi normale avec le rapport quadratique moyen σ=5g. Trouvez la probabilité que dans quatre expériences indépendantes, une erreur dans trois pesées ne se produise pas en valeur absolue 3r.

3.15. La variable aléatoire X est normalement distribuée avec M(X)=12,6. La probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle (11,4 ; 13,8) est de 0,6826. Trouvez l'écart type σ.

3.16. La variable aléatoire X est distribuée normalement avec M(X)=12 et D(X)=36. Trouvez l'intervalle dans lequel la variable aléatoire X tombera à la suite du test avec une probabilité de 0,9973.

3.17. Une pièce fabriquée par une machine automatique est considérée comme défectueuse si l'écart X de son paramètre contrôlé par rapport à la valeur nominale dépasse modulo 2 unités de mesure. On suppose que la variable aléatoire X est normalement distribuée avec M(X)=0 et σ(X)=0,7. Quel pourcentage de pièces défectueuses la machine produit-elle ?

3.18. Le paramètre X de la pièce est distribué normalement avec une espérance mathématique de 2 égale à la valeur nominale et un écart type de 0,014. Trouvez la probabilité que l'écart de X par rapport à la valeur nominale ne dépasse pas 1 % de la valeur nominale.

Réponses

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0 pour x≤-3,

F(x)= gauche">