Plan de cours.

1. Moment organisationnel.

2. Présentation du matériel.

3. Devoirs.

4. Résumer la leçon.

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel.

II. Présentation du matériel.

Motivation.

L'expansion de l'ensemble des nombres réels consiste à ajouter de nouveaux nombres (imaginaires) aux nombres réels. L'introduction de ces nombres est due à l'impossibilité d'extraire la racine d'un nombre négatif dans l'ensemble des nombres réels.

Introduction à la notion de nombre complexe.

Les nombres imaginaires, avec lesquels on complète les nombres réels, s'écrivent sous la forme bi, Où je est une unité imaginaire, et je 2 = - 1.

Sur cette base, nous obtenons la définition suivante d'un nombre complexe.

Définition. Un nombre complexe est une expression de la forme a+bi, Où un Et b- des chiffres réels. Dans ce cas, les conditions suivantes sont remplies :

a) Deux nombres complexes une 1 + b 1 je Et une 2 + b 2 jeégal si et seulement si un 1 = un 2, b1 =b2.

b) L'addition de nombres complexes est déterminée par la règle :

(une 1 + b 1 je) + (une 2 + b 2 je) = (une 1 + une 2) + (b 1 + b 2) je.

c) La multiplication de nombres complexes est déterminée par la règle :

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) je.

Forme algébrique d'un nombre complexe.

Écrire un nombre complexe sous la forme a+bi est appelé la forme algébrique d'un nombre complexe, où UN– partie réelle, bi est la partie imaginaire, et b– nombre réel.

Numéro complexe a+bi est considéré comme égal à zéro si ses parties réelle et imaginaire sont égales à zéro : une = b = 0

Numéro complexe a+bià b = 0 considéré comme étant identique à un nombre réel un: une + 0i = une.

Numéro complexe a+bià une = 0 est appelé purement imaginaire et est noté bi: 0 + bi = bi.

Deux nombres complexes z = a + bi Et = a – bi, ne différant que par le signe de la partie imaginaire, sont appelés conjugués.

Opérations sur les nombres complexes sous forme algébrique.

Vous pouvez effectuer les opérations suivantes sur des nombres complexes sous forme algébrique.

1) Ajout.

Définition. Somme de nombres complexes z 1 = une 1 + b 1 je Et z 2 = une 2 + b 2 je s'appelle un nombre complexe z, dont la partie réelle est égale à la somme des parties réelles z 1 Et z 2, et la partie imaginaire est la somme des parties imaginaires des nombres z 1 Et z 2, c'est z = (une 1 + une 2) + (b 1 + b 2)je.

Nombres z 1 Et z 2 sont appelés termes.

L'addition de nombres complexes a les propriétés suivantes :

1º. Commutativité: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Associativité : (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Numéro complexe –a –bi appelé l'opposé d'un nombre complexe z = a + bi. Nombre complexe, opposé au nombre complexe z, noté -z. Somme de nombres complexes z Et -zégal à zéro : z + (-z) = 0

Exemple 1 : Effectuer une addition (3 – je) + (-1 + 2i).

(3 – je) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) je = 2 + 1i.

2) Soustraction.

Définition. Soustraire d'un nombre complexe z 1 nombre complexe z 2 z, Quoi z + z 2 = z 1.

Théorème. La différence entre les nombres complexes existe et est unique.

Exemple 2 : Effectuer une soustraction (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) je = 7 – 4i.

3) Multiplications.

Définition. Produit de nombres complexes z 1 =a 1 +b 1 je Et z 2 =a 2 +b 2 je s'appelle un nombre complexe z, défini par l'égalité : z = (une 1 une 2 – b 1 b 2) + (une 1 b 2 + une 2 b 1)je.

Nombres z 1 Et z 2 sont appelés facteurs.

La multiplication de nombres complexes a les propriétés suivantes :

1º. Commutativité: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Associativité : (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (une + bi)(une – bi) = une 2 + b 2- nombre réel.

En pratique, la multiplication de nombres complexes s'effectue selon la règle de multiplication d'une somme par une somme et de séparation des parties réelles et imaginaires.

Dans l’exemple suivant, nous envisagerons de multiplier des nombres complexes de deux manières : par règle et en multipliant somme par somme.

Exemple 3 : Faire la multiplication (2 + 3i) (5 – 7i).

1 façon. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )je = 31 + je.

Méthode 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Division.

Définition. Diviser un nombre complexe z 1à un nombre complexe z 2, signifie trouver un nombre aussi complexe z, Quoi z · z 2 = z 1.

Théorème. Le quotient des nombres complexes existe et est unique si z 2 ≠ 0 + 0i.

En pratique, le quotient des nombres complexes se trouve en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Laisser z 1 = une 1 + b 1 je, z 2 = une 2 + b 2 je, Alors

.

Dans l'exemple suivant, nous effectuerons une division en utilisant la formule et la règle de multiplication par le nombre conjugué au dénominateur.

Exemple 4. Trouver le quotient .

5) Élever à une puissance entière positive.

a) Pouvoirs de l'unité imaginaire.

Profiter de l’égalité je 2 = -1, il est facile de définir toute puissance entière positive de l’unité imaginaire. Nous avons:

je 3 = je 2 je = -je,

je 4 = je 2 je 2 = 1,

je 5 = je 4 je = je,

je 6 = je 4 je 2 = -1,

je 7 = je 5 je 2 = -je,

je 8 = je 6 je 2 = 1 etc.

Cela montre que les valeurs du degré dans, Où n– un entier positif, répété périodiquement à mesure que l'indicateur augmente de 4 .

Par conséquent, pour augmenter le nombre jeà une puissance entière positive, il faut diviser l'exposant par 4 et construire jeà une puissance dont l’exposant est égal au reste de la division.

Exemple 5 : Calculer : (je 36 + je 17) je 23.

je 36 = (je 4) 9 = 1 9 = 1,

je 17 = je 4 × 4+1 = (je 4) 4 × je = 1 · je = je.

je 23 = je 4 × 5+3 = (je 4) 5 × je 3 = 1 · je 3 = - je.

(je 36 + je 17) · je 23 = (1 + je) (- je) = - je + 1= 1 – je.

b) L'élévation d'un nombre complexe à une puissance entière positive s'effectue selon la règle d'élévation d'un binôme à la puissance correspondante, puisqu'il s'agit d'un cas particulier de multiplication de facteurs complexes identiques.

Exemple 6 : Calculer : (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Les nombres complexes sont une extension de l'ensemble des nombres réels, généralement désignés par . Tout nombre complexe peut être représenté comme une somme formelle, où et sont des nombres réels et constituent l'unité imaginaire.

L'écriture d'un nombre complexe sous la forme , , est appelée la forme algébrique d'un nombre complexe.

Propriétés des nombres complexes. Interprétation géométrique d'un nombre complexe.

Actions sur des nombres complexes données sous forme algébrique :

Considérons les règles selon lesquelles les opérations arithmétiques sont effectuées sur des nombres complexes.

Si deux nombres complexes α = a + bi et β = c + di sont donnés, alors

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (11)

Cela découle de la définition des opérations d'addition et de soustraction de deux paires ordonnées de nombres réels (voir formules (1) et (3)). Nous avons reçu les règles d'addition et de soustraction des nombres complexes : pour additionner deux nombres complexes, il faut additionner séparément leurs parties réelles et, par conséquent, leurs parties imaginaires ; Afin d'en soustraire un autre à un nombre complexe, il est nécessaire de soustraire respectivement leurs parties réelle et imaginaire.

Le nombre – α = – a – bi est appelé l’opposé du nombre α = a + bi. La somme de ces deux nombres est nulle : - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Pour obtenir la règle de multiplication des nombres complexes, on utilise la formule (6), c'est-à-dire le fait que i2 = -1. En tenant compte de cette relation, on trouve (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, c'est-à-dire

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Cette formule correspond à la formule (2), qui déterminait la multiplication de paires ordonnées de nombres réels.

Notez que la somme et le produit de deux nombres conjugués complexes sont des nombres réels. En effet, si α = a + bi, = a – bi, alors α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( une + une) + (b - b)je= 2une, c'est-à-dire

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Lors de la division de deux nombres complexes sous forme algébrique, il faut s'attendre à ce que le quotient soit également exprimé par un nombre du même type, c'est-à-dire α/β = u + vi, où u, v R. Dérivons la règle de division des nombres complexes . Soit les nombres α = a + bi, β = c + di et β ≠ 0, c'est-à-dire c2 + d2 ≠ 0. La dernière inégalité signifie que c et d ne disparaissent pas simultanément (le cas est exclu lorsque c = 0 , d = 0). En appliquant la formule (12) et la seconde des égalités (13), on trouve :

Par conséquent, le quotient de deux nombres complexes est déterminé par la formule :

correspondant à la formule (4).

En utilisant la formule résultante pour le nombre β = c + di, vous pouvez trouver son nombre inverse β-1 = 1/β. En supposant a = 1, b = 0 dans la formule (14), nous obtenons

Cette formule détermine l'inverse d'un nombre complexe donné autre que zéro ; ce nombre est également complexe.

Par exemple : (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i ;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i ;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i ;

Opérations sur les nombres complexes sous forme algébrique.

55. Argument d'un nombre complexe. Forme trigonométrique d'écriture d'un nombre complexe (dérivation).

Arg.com.numéros. – entre la direction positive de l’axe X réel et le vecteur représentant le nombre donné.

Formule Trigone. Numéros : ,

14.3 Un point à l'infini comme point singulier d'une fonction d'une variable complexe

Préface

Répartir correctement le temps et les efforts lors de la préparation des parties théoriques et pratiques d'un examen ou d'une certification de module est assez difficile, d'autant plus qu'il n'y a toujours pas assez de temps pendant la session. Et comme le montre la pratique, tout le monde ne peut pas y faire face. En conséquence, lors de l'examen, certains étudiants résolvent correctement des problèmes, mais ont du mal à répondre aux questions théoriques les plus simples, tandis que d'autres peuvent formuler un théorème, mais ne peuvent pas l'appliquer.

Ces lignes directrices pour la préparation à l'examen du cours « Théorie des fonctions d'une variable complexe » (TFCP) tentent de résoudre cette contradiction et d'assurer la répétition simultanée de la matière théorique et pratique du cours. Guidés par le principe « La théorie sans pratique est morte, la pratique sans théorie est aveugle », ils contiennent à la fois des dispositions théoriques du cours au niveau des définitions et des formulations, ainsi que des exemples illustrant l'application de chaque position théorique donnée, et facilitant ainsi sa mémorisation et sa compréhension.

Le but des recommandations méthodologiques proposées est d'aider l'étudiant à se préparer à l'examen au niveau de base. En d'autres termes, un guide de travail étendu a été élaboré contenant les principaux points utilisés dans les cours du cours TFKP et nécessaires pour faire les devoirs et préparer les tests. En plus du travail indépendant des étudiants, cette publication pédagogique électronique peut être utilisée lors de la conduite de cours sous une forme interactive à l'aide d'un tableau électronique ou pour un placement dans un système d'enseignement à distance.

Veuillez noter que ce travail ne remplace ni les manuels ni les notes de cours. Pour une étude approfondie du matériel, il est recommandé de se référer aux sections pertinentes publiées par MSTU. N.E. Manuel de base Bauman.

À la fin du manuel, vous trouverez une liste de littérature recommandée et un index des sujets, qui comprend tout ce qui est mis en évidence dans le texte. italique gras termes. L'index est constitué d'hyperliens vers des sections dans lesquelles ces termes sont strictement définis ou décrits et où des exemples sont donnés pour illustrer leur utilisation.

Le manuel est destiné aux étudiants de 2e année de toutes les facultés du MSTU. N.E. Bauman.

1. Forme algébrique d'écriture d'un nombre complexe

Notation de la forme z = x + iy, où x, y sont des nombres réels, i est une unité imaginaire (c'est-à-dire i 2 = − 1)

s'appelle la forme algébrique d'écriture d'un nombre complexe z. Dans ce cas, x est appelé la partie réelle d'un nombre complexe et est noté Re z (x = Re z), y est appelé la partie imaginaire d'un nombre complexe et est noté Im z (y = Im z).

Exemple. Le nombre complexe z = 4− 3i a une partie réelle Rez = 4 et une partie imaginaire Imz = − 3.

2. Plan numérique complexe

DANS les théories des fonctions d'une variable complexe sont considéréesplan des nombres complexes, qui est désigné par ou en utilisant des lettres désignant des nombres complexes z, w, etc.

L'axe horizontal du plan complexe s'appelle axe réel, des nombres réels z = x + 0i = x y sont placés.

L'axe vertical du plan complexe est appelé axe imaginaire ;

3. Nombres conjugués complexes

Les nombres z = x + iy et z = x − iy sont appelés conjugué complexe. Sur le plan complexe, ils correspondent à des points symétriques par rapport à l'axe réel.

4. Opérations avec des nombres complexes sous forme algébrique

4.1 Ajout de nombres complexes

Ainsi, l'opération de multiplication de nombres complexes est similaire à l'opération de multiplication de binômes algébriques, en tenant compte du fait que i 2 = − 1.

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Forme algébrique d'un nombre complexe.
Addition, soustraction, multiplication et division de nombres complexes.

Nous connaissons déjà la forme algébrique d'un nombre complexe - c'est la forme algébrique d'un nombre complexe. Pourquoi parle-t-on de forme ? Le fait est qu'il existe également des formes trigonométriques et exponentielles de nombres complexes, qui seront discutées dans le paragraphe suivant.

Les opérations avec des nombres complexes ne sont pas particulièrement difficiles et ne diffèrent pas beaucoup de l’algèbre ordinaire.

Ajout de nombres complexes

Exemple 1

Ajoutez deux nombres complexes,

Pour additionner deux nombres complexes, vous devez additionner leurs parties réelle et imaginaire :

Simple, n'est-ce pas ? L'action est si évidente qu'elle ne nécessite aucun commentaire supplémentaire.

De cette manière simple, vous pouvez trouver la somme de n'importe quel nombre de termes : additionner les parties réelles et additionner les parties imaginaires.

Pour les nombres complexes, la règle de première classe est valable : – réorganiser les termes ne change pas la somme.

Soustraire des nombres complexes

Exemple 2

Trouvez les différences entre les nombres complexes et , si ,

L'action est similaire à l'addition, la seule particularité est qu'il faut mettre le sous-traitant entre parenthèses, puis ouvrir les parenthèses de la manière standard avec un changement de signe :

Le résultat ne doit pas prêter à confusion ; le nombre obtenu comporte deux parties et non trois. La partie réelle est simplement le composé : . Pour plus de clarté, la réponse peut être réécrite comme suit : .

Calculons la deuxième différence :

Ici la partie réelle est également composite :

Pour éviter tout euphémisme, je vais donner un petit exemple avec une « mauvaise » partie imaginaire : . Ici, vous ne pouvez plus vous passer de parenthèses.

Multiplier des nombres complexes

Le moment est venu de vous présenter la fameuse égalité :

Exemple 3

Trouver le produit de nombres complexes,

Évidemment, l'ouvrage doit être écrit ainsi :

Qu’est-ce que cela suggère ? Il s'agit d'ouvrir les parenthèses selon la règle de multiplication des polynômes. C'est ce que vous devez faire ! Toutes les opérations algébriques vous sont familières, l'essentiel est de se rappeler que et fais attention.

Répétons, mon Dieu, la règle scolaire pour multiplier des polynômes : pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme d'un autre polynôme.

Je vais l'écrire en détail :

J'espère que c'était clair pour tout le monde

Attention, et encore attention, le plus souvent des erreurs sont commises dans les signes.

Comme la somme, le produit de nombres complexes est commutable, c'est-à-dire que l'égalité est vraie : .

Dans la littérature pédagogique et sur Internet, il est facile de trouver une formule spéciale pour calculer le produit de nombres complexes. Utilisez-le si vous le souhaitez, mais il me semble que l'approche avec la multiplication des polynômes est plus universelle et plus claire. Je ne donnerai pas la formule ; je pense que dans ce cas, c’est se remplir la tête de sciure.

Division de nombres complexes

Exemple 4

Étant donné les nombres complexes, . Trouvez le quotient.

Faisons un quotient :

La division des nombres s'effectue en multipliant le dénominateur et le numérateur par l'expression conjuguée du dénominateur.

Rappelons la formule barbue et regardons notre dénominateur : . Le dénominateur a déjà , donc l'expression conjuguée dans ce cas est , c'est-à-dire

Selon la règle, le dénominateur doit être multiplié par , et, pour que rien ne change, le numérateur doit être multiplié par le même nombre :

Je vais l'écrire en détail :

J'ai choisi un « bon » exemple : si vous prenez deux nombres « à partir de zéro », alors à la suite d'une division, vous obtiendrez presque toujours des fractions, quelque chose comme .

Dans certains cas, avant de diviser une fraction, il convient de la simplifier, par exemple considérer le quotient des nombres : . Avant de diviser, on se débarrasse des moins inutiles : au numérateur et au dénominateur on retire les moins des parenthèses et on réduit ces moins : . Pour ceux qui aiment résoudre, je vais donner la bonne réponse :

Rarement, mais la tâche suivante se produit :

Exemple 5

Un nombre complexe est donné. Écrivez ce nombre sous forme algébrique (c'est-à-dire sous la forme).

La technique est la même : on multiplie le dénominateur et le numérateur par l'expression conjuguée au dénominateur. Regardons à nouveau la formule. Le dénominateur contient déjà , donc le dénominateur et le numérateur doivent être multipliés par l'expression conjuguée, c'est-à-dire par :

En pratique, ils peuvent facilement offrir un exemple sophistiqué dans lequel vous devez effectuer de nombreuses opérations avec des nombres complexes. Pas de panique: sois prudent, suivez les règles de l'algèbre, la procédure algébrique habituelle, et rappelez-vous que .

Forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe

Dans cette section, nous parlerons davantage de la forme trigonométrique d'un nombre complexe. La forme démonstrative est beaucoup moins courante dans les tâches pratiques. Je recommande de télécharger et, si possible, d'imprimer les tableaux trigonométriques. Le matériel méthodologique se trouve sur la page ; Formules et tableaux mathématiques. Vous ne pouvez pas aller loin sans tables.

Tout nombre complexe (sauf zéro) peut s'écrire sous forme trigonométrique :
, où est-ce module d'un nombre complexe, UN - argument de nombre complexe. Ne nous enfuyons pas, tout est plus simple qu'il n'y paraît.

Représentons le nombre sur le plan complexe. Pour plus de précision et de simplicité de l'explication, nous le placerons dans le premier quadrant de coordonnées, c'est-à-dire nous pensons que :

Module d'un nombre complexe est la distance entre l'origine et le point correspondant dans le plan complexe. En termes simples, le module est la longueur vecteur de rayon, qui est indiqué en rouge sur le dessin.

Le module d'un nombre complexe est généralement noté : ou

En utilisant le théorème de Pythagore, il est facile de dériver une formule pour trouver le module d'un nombre complexe : . Cette formule est correcte pour tout signifiant « un » et « être ».

Note: Le module d'un nombre complexe est une généralisation du concept module d'un nombre réel, comme la distance d'un point à l'origine.

Argument d'un nombre complexe appelé coin entre demi-axe positif l'axe réel et le rayon vecteur tracé de l'origine au point correspondant. L'argument n'est pas défini pour le singulier : .

Le principe en question est en réalité similaire à coordonnées polaires, où le rayon polaire et l'angle polaire définissent le point de manière unique.

L'argument d'un nombre complexe est généralement noté : ou

A partir de considérations géométriques, nous obtenons la formule suivante pour trouver l'argument :
. Attention! Cette formule ne fonctionne que dans le demi-plan droit ! Si le nombre complexe n'est pas situé dans le 1er ou le 4ème quadrant de coordonnées, alors la formule sera légèrement différente. Nous analyserons également ces cas.

Mais d'abord, examinons les exemples les plus simples où des nombres complexes sont situés sur des axes de coordonnées.

Exemple 7

Faisons le dessin :

En fait, la tâche est orale. Pour plus de clarté, je vais réécrire la forme trigonométrique d'un nombre complexe :

Rappelons-le bien, le module – longueur(qui est toujours non négatif), l'argument est coin.

1) Représentons le nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument. C'est évident ça. Calcul formel selon la formule : .
Il est évident que (le nombre se situe directement sur le demi-axe positif réel). Le nombre sous forme trigonométrique est donc : .

L’action de contre-vérification est aussi claire que le jour :

2) Représentons le nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument. C'est évident ça. Calcul formel selon la formule : .
Évidemment (ou 90 degrés). Sur le dessin, le coin est indiqué en rouge. Le nombre sous forme trigonométrique est donc : .

A l'aide d'un tableau de valeurs de fonctions trigonométriques, il est facile de récupérer la forme algébrique du nombre (tout en effectuant également une vérification) :

3) Représentons le nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument. C'est évident ça. Calcul formel selon la formule : .
Évidemment (ou 180 degrés). Sur le dessin, le coin est indiqué en bleu. Le nombre sous forme trigonométrique est donc : .

Examen:

4) Et le quatrième cas intéressant. Représentons le nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument. C'est évident ça. Calcul formel selon la formule : .

L’argument peut s’écrire de deux manières : Première manière : (270 degrés), et, par conséquent : . Examen:

Cependant, la règle suivante est plus standard : Si l'angle est supérieur à 180 degrés, alors il est écrit avec un signe moins et l'orientation opposée (« défilement ») de l'angle : (moins 90 degrés), dans le dessin l'angle est marqué en vert. Il est facile de voir cela et c'est le même angle.

Ainsi, l'entrée prend la forme :

Attention! En aucun cas il ne faut utiliser la parité du cosinus, l'impair du sinus, et « simplifier » encore la notation :

À propos, il est utile de rappeler que l'apparence et les propriétés des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses se trouvent dans les derniers paragraphes de la page ; Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires de base. Et les nombres complexes s’apprendront beaucoup plus facilement !

Dans la conception des exemples les plus simples, il faut écrire : « il est évident que le module est égal... il est évident que l'argument est égal à... ». C’est vraiment évident et facile à résoudre verbalement.

Passons à l'examen de cas plus courants. Comme je l'ai déjà noté, il n'y a aucun problème avec le module ; vous devez toujours utiliser la formule. Mais les formules pour trouver l'argument seront différentes, cela dépend du quartier de coordonnées dans lequel se trouve le nombre. Dans ce cas, trois options sont possibles (il est utile de les noter dans votre cahier) :

1) Si (1er et 4ème quarts de coordonnées, ou demi-plan droit), alors l'argument doit être trouvé à l'aide de la formule.

2) Si (2ème quart de coordonnées), alors l'argument doit être trouvé à l'aide de la formule .

3) Si (3ème quart de coordonnées), alors l'argument doit être trouvé à l'aide de la formule .

Exemple 8

Représenter des nombres complexes sous forme trigonométrique : , , , .

Puisqu’il existe des formules toutes faites, il n’est pas nécessaire de compléter le dessin. Mais il y a un point : lorsqu'on vous demande de représenter un nombre sous forme trigonométrique, alors C'est quand même mieux de faire le dessin. Le fait est qu'une solution sans dessin est souvent rejetée par les enseignants ; l'absence de dessin est une raison sérieuse d'échec et d'échec.

Eh, je n'ai rien dessiné à la main depuis cent ans, voilà :

Comme toujours, ça s'est avéré un peu sale =)

Je présenterai les nombres et sous forme complexe, les premier et troisième nombres seront destinés à une solution indépendante.

Représentons le nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument.