સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓ. તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે કામગીરીના ગુણધર્મો

) એ સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક ચિહ્ન (પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંક) અને શૂન્ય સાથેની સંખ્યાઓ છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો વધુ ચોક્કસ ખ્યાલ આના જેવો લાગે છે:

તર્કસંગત સંખ્યા- દર્શાવેલ સંખ્યા સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n, જ્યાં અંશ mપૂર્ણાંકો છે, અને છેદ n- કુદરતી સંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 2/3.

અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકતર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં શામેલ નથી.

a/b, ક્યાં a∈ ઝેડ (aપૂર્ણાંક સાથે સંબંધિત છે), b∈ એન (bકુદરતી સંખ્યાઓથી સંબંધિત છે).

વાસ્તવિક જીવનમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉપયોગ.

IN વાસ્તવિક જીવનતર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ અમુક પૂર્ણાંક વિભાજ્ય પદાર્થોના ભાગોને ગણવા માટે વપરાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, કેક અથવા અન્ય ખાદ્યપદાર્થો કે જે વપરાશ પહેલાં ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે, અથવા વિસ્તૃત વસ્તુઓના અવકાશી સંબંધોનો અંદાજ કાઢવા માટે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના ગુણધર્મો.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

1. સુવ્યવસ્થિતતા aઅને bત્યાં એક નિયમ છે જે તમને અસ્પષ્ટપણે 1 અને તેમની વચ્ચેના 3 સંબંધોમાંથી ફક્ત એકને ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે: “<», «>" અથવા "=". આ છે નિયમ - ઓર્ડર કરવાનો નિયમઅને તેને આ પ્રમાણે બનાવો:

2 હકારાત્મક સંખ્યાઓ a=m a /n aઅને b=m b /n b 2 પૂર્ણાંકો જેવા જ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે m a⋅ n bઅને m b⋅ n એ;
2 નકારાત્મક સંખ્યાઓ aઅને b 2 હકારાત્મક સંખ્યાઓના સમાન ગુણોત્તરથી સંબંધિત છે |b|અને |a|;
જ્યારે aહકારાત્મક અને b- પછી નકારાત્મક a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. એડિશન ઓપરેશન. તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે aઅને bછે સરવાળો નિયમ, જે તેમને ચોક્કસ તર્કસંગત સંખ્યા અસાઇન કરે છે c. તે જ સમયે, નંબર પોતે c- આ સરવાળોસંખ્યાઓ aઅને bઅને તે તરીકે સૂચવવામાં આવે છે (a+b) સમીકરણ.

સમીકરણ નિયમઆના જેવો દેખાય છે:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n એ)/(એન એ⋅ n b).

∀ a,b∈ પ્ર∃ !(a+b)∈ પ્ર

3. ગુણાકાર કામગીરી. તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે aઅને bછે ગુણાકારનો નિયમ, તે તેમને ચોક્કસ તર્કસંગત સંખ્યા સાથે સાંકળે છે c. નંબર c કહેવાય છે કામસંખ્યાઓ aઅને bઅને સૂચવો (a⋅b), અને આ નંબર શોધવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ગુણાકાર.

ગુણાકારનો નિયમઆના જેવો દેખાય છે: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. ઓર્ડર સંબંધની સંક્રમણાત્મકતા.કોઈપણ ત્રણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે a, bઅને cજો aઓછું bઅને bઓછું c, તે aઓછું c, અને જો aબરાબર bઅને bબરાબર c, તે aબરાબર c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. ઉમેરાની કોમ્યુટેટીવીટી. તર્કસંગત શબ્દોના સ્થાનો બદલવાથી સરવાળો બદલાતો નથી.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. એસોસિએટિવિટી ઉમેરો. જે ક્રમમાં 3 તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉમેરવામાં આવે છે તે પરિણામને અસર કરતું નથી.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. શૂન્યની હાજરી. એક તર્કસંગત સંખ્યા 0 છે, જ્યારે ઉમેરવામાં આવે ત્યારે તે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.

∃ 0 ∈ પ્ર∀ a∈ Q a+0=a

8. વિરોધી સંખ્યાઓની હાજરી. કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાની વિપરિત તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, અને જ્યારે તે ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામ 0 આવે છે.

∀ a∈ પ્ર∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. ગુણાકારની કોમ્યુટેટીવીટી. તર્કસંગત પરિબળોના સ્થાનો બદલવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી.

∀ a,b∈ સ એ⋅ b=b⋅ a

10. ગુણાકારની સહયોગીતા. જે ક્રમમાં 3 તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તેની પરિણામ પર કોઈ અસર થતી નથી.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. એકમ ઉપલબ્ધતા. ત્યાં એક તર્કસંગત સંખ્યા 1 છે, તે ગુણાકારની પ્રક્રિયામાં દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.

∃ 1 ∈ પ્ર∀ a∈ સ એ⋅ 1=a

12. ઉપલબ્ધતા પારસ્પરિક સંખ્યાઓ . શૂન્ય સિવાયની દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને વ્યસ્ત તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, જેનાથી ગુણાકાર કરવાથી આપણને 1 મળે છે. .

∀ a∈ પ્ર∃ a−1∈ સ એ⋅ a−1=1

13. સરવાળાની તુલનામાં ગુણાકારની વિતરણતા. ગુણાકારની ક્રિયા વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને ઉમેરા સાથે સંબંધિત છે:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. ઓર્ડર સંબંધ અને ઉમેરણ કામગીરી વચ્ચેનો સંબંધ. ડાબી બાજુએ અને જમણી બાજુ તર્કસંગત અસમાનતાસમાન તર્કસંગત સંખ્યા ઉમેરો.

∀ a,b,c∈ સ એ ⇒ a+c

15. ક્રમ સંબંધ અને ગુણાકારની ક્રિયા વચ્ચેનો સંબંધ. તર્કસંગત અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓને સમાન બિન-નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. આર્કિમિડીઝનું સ્વયંસિદ્ધ. તર્કસંગત સંખ્યા ગમે તે હોય a, એટલા બધા એકમો લેવાનું સરળ છે કે તેમનો સરવાળો વધારે હશે a.

આ પાઠમાં આપણે સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મોને યાદ કરીશું. અમે માત્ર મૂળભૂત ગુણધર્મની જ સમીક્ષા કરીશું નહીં, પણ તેમને પરિમેય સંખ્યાઓમાં કેવી રીતે લાગુ કરવું તે પણ શીખીશું. અમે ઉદાહરણો ઉકેલીને મેળવેલા તમામ જ્ઞાનને એકીકૃત કરીશું.

સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મો:

પ્રથમ બે ગુણધર્મો ઉમેરાના ગુણધર્મો છે, પછીના બે ગુણાકારના ગુણધર્મો છે. પાંચમી મિલકત બંને કામગીરીને લાગુ પડે છે.

આ મિલકતોમાં કંઈ નવું નથી. તેઓ પ્રાકૃતિક અને પૂર્ણાંક સંખ્યા બંને માટે માન્ય હતા. તેઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે પણ સાચા છે અને આપણે આગળ અભ્યાસ કરીશું તે સંખ્યાઓ માટે સાચા હશે (ઉદાહરણ તરીકે, અતાર્કિક સંખ્યાઓ).

ક્રમચય ગુણધર્મો:

શરતો અથવા પરિબળોને ફરીથી ગોઠવવાથી પરિણામ બદલાતું નથી.

સંયોજન ગુણધર્મો:, .

બહુવિધ સંખ્યાઓ ઉમેરવા અથવા ગુણાકાર કોઈપણ ક્રમમાં કરી શકાય છે.

વિતરણ મિલકત:.

મિલકત બંને કામગીરીને જોડે છે - ઉમેરણ અને ગુણાકાર. ઉપરાંત, જો તેને ડાબેથી જમણે વાંચવામાં આવે, તો તેને કૌંસ ખોલવાનો નિયમ કહેવામાં આવે છે, અને જો વિપરીત બાજુ- નિર્ણયનો નિયમ સામાન્ય ગુણકકૌંસની બહાર.

નીચેના બે ગુણધર્મો વર્ણવે છે તટસ્થ તત્વોસરવાળો અને ગુણાકાર માટે: શૂન્ય ઉમેરવા અને એક વડે ગુણાકાર કરવાથી મૂળ સંખ્યા બદલાતી નથી.

વધુ બે ગુણધર્મો જે વર્ણવે છે સપ્રમાણ તત્વોઉમેરા અને ગુણાકાર માટે, વિરોધી સંખ્યાઓનો સરવાળો શૂન્ય છે; પારસ્પરિક સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન એક સમાન છે.

આગામી મિલકત: . જો કોઈ સંખ્યાને શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો પરિણામ હંમેશા શૂન્ય જ આવશે.

છેલ્લી મિલકત આપણે જોઈશું: .

સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણને મળે છે વિરોધી સંખ્યા. આ પ્રોપર્ટીમાં ખાસ વિશેષતા છે. ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી અન્ય તમામ મિલકતો અન્યનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાતી નથી. અગાઉના રાશિઓનો ઉપયોગ કરીને સમાન મિલકત સાબિત કરી શકાય છે.

વડે ગુણાકાર

ચાલો સાબિત કરીએ કે જો આપણે કોઈ સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરીએ તો સામેની સંખ્યા મળશે. આ માટે અમે વિતરણ મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: .

આ કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે સાચું છે. ચાલો નંબરને બદલે અને બદલે:

કૌંસમાં ડાબી બાજુ પરસ્પર વિરોધી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. તેમનો સરવાળો શૂન્ય છે (અમારી પાસે આવી મિલકત છે). હવે ડાબી બાજુએ. જમણી બાજુએ, અમને મળે છે: .

હવે આપણી પાસે ડાબી બાજુ શૂન્ય છે, અને જમણી બાજુએ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. પરંતુ જો બે સંખ્યાઓનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો આ સંખ્યાઓ પરસ્પર વિરોધી છે. પરંતુ સંખ્યાની માત્ર એક વિરોધી સંખ્યા છે: . તેથી, આ તે છે: .

મિલકત સાબિત થઈ છે.

આવી મિલકત, જે અગાઉના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે, કહેવામાં આવે છે પ્રમેય

શા માટે અહીં કોઈ બાદબાકી અને ભાગાકાર ગુણધર્મો નથી? ઉદાહરણ તરીકે, બાદબાકી માટે કોઈ વિતરક ગુણધર્મ લખી શકે છે: .

પરંતુ ત્યારથી:

કોઈપણ સંખ્યાને બાદ કરવાથી તેની વિરુદ્ધ સંખ્યાને બદલીને સમકક્ષ વધારા તરીકે લખી શકાય છે:

ભાગાકારને તેના પરસ્પર દ્વારા ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે:

આનો અર્થ એ છે કે સરવાળા અને ગુણાકારના ગુણધર્મો બાદબાકી અને ભાગાકાર પર લાગુ કરી શકાય છે. પરિણામે, યાદ રાખવાની જરૂર હોય તેવા ગુણધર્મોની સૂચિ ટૂંકી છે.

અમે ધ્યાનમાં લીધેલ તમામ ગુણધર્મો ફક્ત તર્કસંગત સંખ્યાઓના ગુણધર્મો નથી. અન્ય સંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે, અતાર્કિક રાશિઓ, પણ આ બધા નિયમોનું પાલન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેની વિરુદ્ધ સંખ્યાનો સરવાળો શૂન્ય છે: .

હવે આપણે ઘણા ઉદાહરણો હલ કરીને વ્યવહારુ ભાગ તરફ આગળ વધીશું.

જીવનમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓ

ઑબ્જેક્ટના તે ગુણધર્મો કે જેને આપણે માત્રાત્મક રીતે વર્ણવી શકીએ છીએ, અમુક સંખ્યા સાથે નિયુક્ત કરી શકીએ છીએ, તેને કહેવામાં આવે છે મૂલ્યો: લંબાઈ, વજન, તાપમાન, જથ્થો.

સમાન જથ્થાને પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક સંખ્યા, હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક બંને દ્વારા સૂચવી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમારી ઊંચાઈ મીટર છે - અપૂર્ણાંક સંખ્યા. પરંતુ આપણે કહી શકીએ કે તે સે.મી.ની બરાબર છે - આ પહેલેથી જ પૂર્ણાંક છે (ફિગ. 1).

ચોખા. 1. ઉદાહરણ તરીકે ચિત્ર

બીજું ઉદાહરણ. સેલ્સિયસ સ્કેલ પર નકારાત્મક તાપમાન કેલ્વિન સ્કેલ (ફિગ. 2) પર હકારાત્મક હશે.

ચોખા. 2. ઉદાહરણ તરીકે ચિત્ર

ઘરની દિવાલ બનાવતી વખતે, એક વ્યક્તિ પહોળાઈ અને ઊંચાઈને મીટરમાં માપી શકે છે. તે આંશિક માત્રામાં ઉત્પાદન કરે છે. તે અપૂર્ણાંક (તર્કસંગત) સંખ્યાઓ સાથે આગળની બધી ગણતરીઓ હાથ ધરશે. અન્ય વ્યક્તિ પહોળાઈ અને ઊંચાઈમાં ઈંટોની સંખ્યામાં બધું માપી શકે છે. માત્ર પૂર્ણાંક મૂલ્યો પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તે પૂર્ણાંકો સાથે ગણતરીઓ હાથ ધરશે.

જથ્થાઓ પોતે ન તો પૂર્ણાંક છે કે ન તો અપૂર્ણાંક, ન તો નકારાત્મક કે હકારાત્મક. પરંતુ સંખ્યા કે જેની સાથે આપણે જથ્થાના મૂલ્યનું વર્ણન કરીએ છીએ તે પહેલેથી જ એકદમ ચોક્કસ છે (ઉદાહરણ તરીકે, નકારાત્મક અને અપૂર્ણાંક). તે માપન સ્કેલ પર આધાર રાખે છે. અને જ્યારે આપણે વાસ્તવિક મૂલ્યોથી આગળ વધીએ છીએ ગાણિતિક મોડેલ, પછી અમે ચોક્કસ પ્રકારની સંખ્યાઓ સાથે કામ કરીએ છીએ

ચાલો ઉમેરા સાથે પ્રારંભ કરીએ. શરતોને આપણા માટે અનુકૂળ હોય તેવી કોઈપણ રીતે ફરીથી ગોઠવી શકાય છે અને ક્રિયાઓ કોઈપણ ક્રમમાં કરી શકાય છે. જો વિવિધ ચિહ્નોની શરતો સમાન અંકમાં સમાપ્ત થાય છે, તો પછી તેમની સાથે પ્રથમ કામગીરી કરવી અનુકૂળ છે. આ કરવા માટે, ચાલો શરતોને સ્વેપ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:

સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંક સમાન છેદફોલ્ડ કરવા માટે સરળ.

વિરોધી સંખ્યાઓ શૂન્ય સુધી ઉમેરે છે. સમાન દશાંશ પૂંછડીઓ સાથેની સંખ્યાઓ બાદબાકી કરવી સરળ છે. આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, તેમજ વધારાના વિનિમયાત્મક કાયદાનો ઉપયોગ કરીને, તમે મૂલ્યની ગણતરી કરવાનું સરળ બનાવી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની અભિવ્યક્તિ:

પૂરક દશાંશ પૂંછડીઓ સાથેની સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે સરળ છે. સંપૂર્ણ અને સાથે અપૂર્ણાંક ભાગોમાં મિશ્ર સંખ્યાઓઅલગથી કામ કરવા માટે અનુકૂળ. નીચેના અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે અમે આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ચાલો ગુણાકાર તરફ આગળ વધીએ. સંખ્યાઓની જોડી છે જેનો ગુણાકાર કરવો સરળ છે. વિનિમયાત્મક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, તમે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવી શકો છો જેથી કરીને તેઓ અડીને હોય. ઉત્પાદનમાં ઓછાની સંખ્યા તરત જ ગણી શકાય છે અને પરિણામની નિશાની વિશે નિષ્કર્ષ દોરી શકાય છે.

આ ઉદાહરણનો વિચાર કરો:

જો પરિબળોમાંથી શૂન્ય બરાબર, પછી ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે, ઉદાહરણ તરીકે: .

પારસ્પરિક સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન એક સમાન છે, અને એક વડે ગુણાકાર કરવાથી ઉત્પાદનના મૂલ્યમાં ફેરફાર થતો નથી. આ ઉદાહરણનો વિચાર કરો:

ચાલો ઉપયોગ કરીને એક ઉદાહરણ જોઈએ વિતરણ ગુણધર્મો. જો તમે કૌંસ ખોલો છો, તો દરેક ગુણાકાર સરળ છે.

વાસ્તવિક નંબરો II

§ 36 ઉપરની ક્રિયાઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ

જેમ તમે જાણો છો, બે અપૂર્ણાંક m / n અને k / l સમાન હોય છે, એટલે કે, તેઓ સમાન તર્કસંગત સંખ્યાને રજૂ કરે છે, જો અને માત્ર જો ml = nk .

ઉદાહરણ તરીકે, 1/3 = 2/6, ત્યારથી 1 6 = 3 2; -5/7 = 10/- 14 થી (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5, ત્યારથી 0 5 = 1 0, વગેરે.

દેખીતી રીતે, કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે આર , 0 ની બરાબર નથી,

: m / n = m આર / n આર

આ સ્પષ્ટ સમાનતામાંથી અનુસરે છે ટી (n આર ) = n (ટી આર ). તેથી, કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને બે સંખ્યાના ગુણોત્તર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અનંત સંખ્યામાર્ગો ઉદાહરણ તરીકે,

5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15/3 વગેરે,

1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 વગેરે.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 વગેરે.

તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં, સરવાળા, ગુણાકાર, બાદબાકી અને ભાગાકાર (શૂન્ય વડે ભાગાકાર સિવાય)ની ક્રિયાઓ શક્ય છે. ચાલો યાદ કરીએ કે આ ક્રિયાઓ કેવી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

બે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સરવાળો m / n અને k / l સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

બે તર્કસંગત સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન m / n અને k / l સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

m / n k / l = mk / nl (2)

કારણ કે સમાન તર્કસંગત સંખ્યા ઘણી રીતે લખી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, 1/3 = 2/6 = 3/9 = ...), તે દર્શાવવું જરૂરી છે કે પરિમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો અને ઉત્પાદન તેના પર નિર્ભર નથી. શરતો અથવા પરિબળો કેવી રીતે લખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

વગેરે. જો કે, આ મુદ્દાઓની વિચારણા અમારા કાર્યક્રમના અવકાશની બહાર છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉમેરતી વખતે અને ગુણાકાર કરતી વખતે, નીચેના મૂળભૂત કાયદાઓ અવલોકન કરવામાં આવે છે:

1) વિનિમયાત્મક(અથવા વિનિમયાત્મક) ઉમેરાનો કાયદો

m / n + k / l = k / l + m / n

2) સહયોગી(અથવા સહયોગી) ઉમેરાનો કાયદો:

( m / n + k / l ) + પી / q = m / n + ( k / l + પી / q )

3) વિનિમયાત્મક(અથવા વિનિમયાત્મક) ગુણાકારનો કાયદો:

m / n k / l = k / l m / n

4) સહયોગી(અથવા સહયોગી) ગુણાકારનો કાયદો:

( m / n k / l ) પી / q = m / n ( k / l પી / q )

5) વિતરણકારી(અથવા વિતરક) ઉમેરાને સંબંધિત ગુણાકારનો કાયદો:

( m / n + k / l ) પી / q = m / n પી / q + k / l પી / q

ઉમેરણ અને ગુણાકાર મૂળભૂત છે બીજગણિત કામગીરી. બાદબાકી અને ભાગાકાર માટે, આ ક્રિયાઓને સરવાળા અને ગુણાકારના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

બે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો તફાવત m / n અને k / l આ નંબર કહેવાય છે એક્સ , જે કુલ સાથે છે k / l આપે છે m / n . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તફાવત m / n - k / l

k / l + x = m / n

તે સાબિત કરી શકાય છે કે આવા સમીકરણમાં હંમેશા મૂળ હોય છે, અને ફક્ત એક જ:

આમ, બે સંખ્યાઓનો તફાવત m / n અને k / l સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

જો નંબરો m / n અને k / l એકબીજાની સમાન હોય છે, પછી તેમનો તફાવત શૂન્ય થઈ જાય છે; જો આ સંખ્યાઓ એકબીજાની સમાન નથી, તો પછી તેમનો તફાવત કાં તો હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક છે. મુ m / n - k / l > 0 એ સંખ્યા કહેવાય છે m / n વધુ સંખ્યા k / l ; જો m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n ઓછી સંખ્યા k / l .

તર્કસંગત સંખ્યાનો ભાગ m/ nતર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા k/ lઆ નંબર કહેવાય છે એક્સ, જેની સાથે ઉત્પાદનમાં k/ lઆપે છે m/ n . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ખાનગી m/ n : k/ l સમીકરણના મૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

k/ l એક્સ = m/ n .

જો k/ l =/= 0, પછી આપેલ સમીકરણએક જ મૂળ ધરાવે છે

એક્સ = મિલી/ એનકે

જો k/ l = 0, તો પછી આ સમીકરણમાં કાં તો કોઈ મૂળ નથી (માટે m/ n =/= 0), અથવા અનંત ઘણા મૂળ ધરાવે છે (સાથે m/ n = 0). વિભાજનની કામગીરીને અનન્ય રીતે શક્ય બનાવવા માટે, અમે શૂન્યથી વિભાજનને બિલકુલ ધ્યાનમાં ન લેવા સંમત છીએ. આમ, તર્કસંગત સંખ્યાને વિભાજીત કરવી m/ n તર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા k/ l હંમેશા વ્યાખ્યાયિત સિવાય k/ l =/= 0. તે જ સમયે

m/ n : k/ l = મિલી/ એનકે

કસરતો

295. સૌથી વધુ ગણતરી કરો તર્કસંગત રીતેઅને સૂચવે છે કે ક્રિયાના કયા કાયદાઓનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ;

a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16) .

b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10

સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મો:

ક્રમચય ગુણધર્મો:

શરતો અથવા પરિબળોને ફરીથી ગોઠવવાથી પરિણામ બદલાતું નથી.

સંયોજન ગુણધર્મો:, .

બહુવિધ સંખ્યાઓ ઉમેરવા અથવા ગુણાકાર કોઈપણ ક્રમમાં કરી શકાય છે.

વિતરણ મિલકત:.

મિલકત બંને કામગીરીને જોડે છે - ઉમેરણ અને ગુણાકાર. ઉપરાંત, જો તમે તેને ડાબેથી જમણે વાંચો છો, તો તેને કૌંસ ખોલવાનો નિયમ કહેવામાં આવે છે, અને જો તેની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો તેને સામાન્ય અવયવને કૌંસની બહાર મૂકવાનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.

છેલ્લી મિલકત આપણે જોઈશું: .

સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણને વિરુદ્ધ સંખ્યા મળે છે. આ પ્રોપર્ટીમાં ખાસ વિશેષતા છે. ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી અન્ય તમામ મિલકતો અન્યનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાતી નથી. અગાઉના રાશિઓનો ઉપયોગ કરીને સમાન મિલકત સાબિત કરી શકાય છે.

વડે ગુણાકાર

આ કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે સાચું છે. ચાલો નંબરને બદલે અને બદલે:

મિલકત સાબિત થઈ છે.

પરંતુ ત્યારથી:

કોઈપણ સંખ્યાને બાદ કરવાથી તેની વિરુદ્ધ સંખ્યાને બદલીને સમકક્ષ વધારા તરીકે લખી શકાય છે:

ભાગાકારને તેના પરસ્પર દ્વારા ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે:

હવે આપણે ઘણા ઉદાહરણો હલ કરીને વ્યવહારુ ભાગ તરફ આગળ વધીશું.

જીવનમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓ

ઉદાહરણ તરીકે, તમારી ઊંચાઈ m એ અપૂર્ણાંક સંખ્યા છે. પરંતુ આપણે કહી શકીએ કે તે સે.મી.ની બરાબર છે - આ પહેલેથી જ પૂર્ણાંક છે (ફિગ. 1).

ચોખા. 1. ઉદાહરણ તરીકે ચિત્ર

ચોખા. 2. ઉદાહરણ તરીકે ચિત્ર

જથ્થાઓ પોતે ન તો પૂર્ણાંક છે કે ન તો અપૂર્ણાંક, ન તો નકારાત્મક કે હકારાત્મક. પરંતુ સંખ્યા કે જેની સાથે આપણે જથ્થાના મૂલ્યનું વર્ણન કરીએ છીએ તે પહેલેથી જ એકદમ ચોક્કસ છે (ઉદાહરણ તરીકે, નકારાત્મક અને અપૂર્ણાંક). તે માપન સ્કેલ પર આધાર રાખે છે. અને જ્યારે આપણે વાસ્તવિક જથ્થામાંથી ગાણિતિક મોડેલ તરફ જઈએ છીએ, ત્યારે આપણે ચોક્કસ પ્રકારની સંખ્યાઓ સાથે કામ કરીએ છીએ

સમાન છેદ સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે સરળ છે.

પૂરક દશાંશ પૂંછડીઓ સાથેની સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે સરળ છે. મિશ્ર સંખ્યાઓના પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગો સાથે અલગથી કામ કરવું અનુકૂળ છે. નીચેના અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે અમે આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

આ ઉદાહરણનો વિચાર કરો:

જો એક પરિબળ શૂન્યની બરાબર છે, તો પછી ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે, ઉદાહરણ તરીકે: .

ચાલો વિતરણ મિલકતનો ઉપયોગ કરીને એક ઉદાહરણ જોઈએ. જો તમે કૌંસ ખોલો છો, તો દરેક ગુણાકાર સરળ છે.