આ સેવા સાથે તમે કરી શકો છો ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધોવર્ડમાં ફોર્મેટ કરેલ સોલ્યુશન સાથેનું એક ચલ f(x). જો ફંક્શન f(x,y) આપવામાં આવ્યું હોય, તો બે ચલોના ફંક્શનની સીમા શોધવાનું જરૂરી છે. તમે વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો પણ શોધી શકો છો.
કાર્યો દાખલ કરવા માટેના નિયમો:
એક ચલના કાર્યની સીમા માટે જરૂરી સ્થિતિ
સમીકરણ f" 0 (x *) = 0 છે જરૂરી સ્થિતિએક ચલના કાર્યની સીમા, એટલે કે. બિંદુ x * પર ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અદૃશ્ય થવું જોઈએ. તે હાઇલાઇટ કરે છે સ્થિર બિંદુઓ x s, જેમાં ફંક્શન વધતું કે ઘટતું નથી.એક ચલના કાર્યની સીમા માટે પૂરતી સ્થિતિ
x ના સંદર્ભમાં f 0 (x) ને બે વાર ભિન્ન કરવા દો, સેટ સાથે જોડાયેલાડી. જો બિંદુ x * પર શરત પૂરી થાય છે:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
પછી બિંદુ x * એ કાર્યના લઘુત્તમ સ્થાનિક (વૈશ્વિક) બિંદુ છે.
જો બિંદુ x * પર શરત પૂરી થાય છે:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
પછી બિંદુ x * એ સ્થાનિક (વૈશ્વિક) મહત્તમ છે.
ઉદાહરણ નંબર 1. સૌથી મહાન શોધો અને સૌથી નાનું મૂલ્યકાર્યો: સેગમેન્ટ પર.
ઉકેલ. 
નિર્ણાયક બિંદુ એક x 1 = 2 (f’(x)=0) છે. આ બિંદુ સેગમેન્ટનો છે. (બિંદુ x=0 મહત્વપૂર્ણ નથી, કારણ કે 0∉).
અમે સેગમેન્ટના છેડે અને નિર્ણાયક બિંદુએ ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
જવાબ: f મિનિટ = 5/2 x=2 પર; f મહત્તમ =9 પર x=1
ઉદાહરણ નંબર 2. ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શન y=x-2sin(x) ની સીમા શોધો.
ઉકેલ.
ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો: y’=1-2cos(x) . અમે શોધીશું નિર્ણાયક મુદ્દાઓ: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. આપણે શોધીએ છીએ y’=2sin(x), ગણતરી , જેનો અર્થ છે x= π / 3 +2πk, k∈Z એ ફંક્શનના ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે; 
, જેનો અર્થ થાય છે x=- π / 3 +2πk, k∈Z એ કાર્યના મહત્તમ બિંદુઓ છે.
ઉદાહરણ નંબર 3. બિંદુ x=0 ની નજીકમાં એક્સ્ટ્રીમ ફંક્શનની તપાસ કરો.
ઉકેલ. અહીં ફંક્શનની સીમા શોધવાનું જરૂરી છે. જો એક્સટ્રીમમ x=0, તો તેનો પ્રકાર (ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ) શોધો. જો મળેલા બિંદુઓ વચ્ચે કોઈ x = 0 ન હોય, તો ફંક્શન f(x=0) ની કિંમતની ગણતરી કરો.
એ નોંધવું જોઈએ કે જ્યારે આપેલ બિંદુની દરેક બાજુ પર વ્યુત્પન્ન તેના ચિહ્નને બદલતું નથી, ત્યારે શક્ય પરિસ્થિતિઓવિભેદક કાર્યો માટે પણ: એવું થઈ શકે છે કે બિંદુ x 0 ની એક બાજુએ અથવા બંને બાજુએ મનસ્વી રીતે નાના પડોશી માટે, વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન. આ બિંદુઓ પર ચરમસીમાના કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા માટે અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.
વધારોઅંતરાલ પર \(X\) જો કોઈપણ \(x_1, x_2\in X\) માટે જેમ કે \(x_1 કાર્ય કહેવાય છે બિન-ઘટતું \(\blacktriangleright\) ફંક્શન \(f(x)\) કહેવાય છે ઘટતુંઅંતરાલ પર \(X\) જો કોઈપણ \(x_1, x_2\in X\) માટે જેમ કે \(x_1 કાર્ય કહેવાય છે બિન-વધતુંઅંતરાલ પર \(X\) જો કોઈપણ \(x_1, x_2\in X\) માટે જેમ કે \(x_1 \(\blacktriangleright\) વધતા અને ઘટતા કાર્યો કહેવાય છે સખત એકવિધ, અને બિન-વધતા અને ન ઘટતા સરળ છે એકવિધ. \(\blacktriangleright\) મુખ્ય ગુણધર્મો: આઈ.જો ફંક્શન \(f(x)\) સખત રીતે \(X\) પર એકવિધ હોય, તો સમાનતા \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) થી તે \(f( x_1)= f(x_2)\) , અને ઊલટું. ઉદાહરણ: ફંક્શન \(f(x)=\sqrt x\) બધા \(x\in \) માટે સખત રીતે વધી રહ્યું છે, તેથી સમીકરણ \(x^2=9\) આ અંતરાલ પર વધુમાં વધુ એક ઉકેલ ધરાવે છે, અથવા તેના બદલે એક: \(x=-3\) . ફંક્શન \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) બધા \(x\in (-1;+\infty)\) માટે સખત રીતે વધી રહ્યું છે, તેથી સમીકરણ \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) પાસે આ અંતરાલ પર એક કરતાં વધુ ઉકેલ નથી, અથવા તેના બદલે કોઈ નથી, કારણ કે ડાબી બાજુનો અંશ ક્યારેય શૂન્યની બરાબર ન હોઈ શકે. III.જો કાર્ય \(f(x)\) બિન-ઘટતું (ન-વધતું) અને સેગમેન્ટ પર સતત હોય તો \(\), અને સેગમેન્ટના છેડે તે મૂલ્યો લે છે \(f(a)= A, f(b)=B\), પછી \(C\in \) (\(C\in \) ) સમીકરણ \(f(x)=C\) માટે હંમેશા ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય છે. ઉદાહરણ: ફંક્શન \(f(x)=x^3\) સખત રીતે વધી રહ્યું છે (એટલે કે, સખત રીતે એકવિધ) અને બધા માટે સતત છે \(x\in\mathbb(R)\), તેથી કોઈપણ \(C\) માટે ( -\infty;+\infty)\) સમીકરણ \(x^3=C\) માં બરાબર એક ઉકેલ છે: \(x=\sqrt(C)\) . કાર્ય 1 #3153 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કરતાં વધુ સરળ બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે. ચાલો સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખીએ: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]કાર્ય \(f(t)=t^3+t\) ધ્યાનમાં લો. પછી સમીકરણ ફોર્મમાં ફરીથી લખવામાં આવશે: \ ચાલો ફંક્શનનો અભ્યાસ કરીએ \(f(t)\) . પરિણામે, કાર્ય \(f(t)\) બધા \(t\) માટે વધે છે. આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શનની દરેક કિંમત \(f(t)\) દલીલ \(t\)ના એક મૂલ્યને અનુલક્ષે છે. તેથી, સમીકરણને મૂળ બનાવવા માટે, તે જરૂરી છે: \
પરિણામી સમીકરણના બે મૂળ હોવા માટે, તેનો ભેદભાવ હકારાત્મક હોવો જોઈએ: \
જવાબ: \(\left(-\infty;\dfrac1(12)\જમણે)\) કાર્ય 2 #2653 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન પરિમાણ \(a\) ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે \
બે મૂળ ધરાવે છે. (સબ્સ્ક્રાઇબર્સ તરફથી કાર્ય.) ચાલો બદલીએ: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . પછી સમીકરણ ફોર્મ લેશે: \
કાર્ય \(f(w)=7^w+\sqrtw\) ને ધ્યાનમાં લો. પછી આપણું સમીકરણ ફોર્મ લેશે: \ ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ \
નોંધ કરો કે બધા માટે \(w\ne 0\) વ્યુત્પન્ન \(f"(w)>0\) છે, કારણ કે \(7^w>0\) , \(w^6>0\) પણ નોંધ કરો. કે ફંક્શન \(f(w)\) બધા માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે \(w\) કારણ કે \(f(w)\) પણ સતત છે, અમે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે \(f (w)\) પર વધે છે. સમગ્ર \(\mathbb(R)\) . \
આ સમીકરણ બે મૂળ ધરાવવા માટે, તે ચોરસ હોવું જોઈએ અને તેનો ભેદભાવ હકારાત્મક હોવો જોઈએ: \[\begin(કેસો) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(કેસ) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]
જવાબ: \(-\infty;1)\કપ(1;2)\) કાર્ય 3 #3921 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન પરિમાણ \(a\) ના તમામ હકારાત્મક મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે ઓછામાં ઓછા \(2\) ઉકેલો ધરાવે છે. ચાલો \(ax\) ધરાવતા તમામ શબ્દોને ડાબી બાજુએ અને \(x^2\) ધરાવતા તમામ શબ્દોને જમણી બાજુએ ખસેડીએ અને કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. પછી મૂળ સમીકરણ ફોર્મ લેશે: ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ: કારણ કે \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), પછી \(f"(t)\geqslant 0\) કોઈપણ \(t\in \mathbb(R)\) માટે. વધુમાં, \(f"(t)=0\) જો \(t-2)^2=0\) અને \(1+\cos(2t)=0\) એક જ સમયે, જે સાચું નથી કોઈપણ \(t\) માટે તેથી, \(f"(t)> 0\) કોઈપણ \(t\in \mathbb(R)\) માટે. આમ, ફંક્શન \(f(t)\) બધા \(t\in \mathbb(R)\) માટે સખત રીતે વધી રહ્યું છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ \(f(ax)=f(x^2)\) એ સમીકરણ \(ax=x^2\) ની સમકક્ષ છે. \(a=0\) માટે સમીકરણ \(x^2-ax=0\) એક મૂળ \(x=0\) ધરાવે છે, અને \(a\ne 0\) માટે તે બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે \(x_1 =0 \) અને \(x_2=a\) . જવાબ: \(0;+\infty)\) . કાર્ય 4 #1232 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો \(a\) , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ \
એક અનન્ય ઉકેલ છે. ચાલો સમીકરણની જમણી અને ડાબી બાજુઓને \(2^(\sqrt(x+1))\) (થી \(2^(\sqrt(x+1))>0\) વડે ગુણાકાર કરીએ અને સમીકરણને ફરીથી લખીએ ફોર્મમાં: \
કાર્યને ધ્યાનમાં લો \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))(t+2))\)\(t\geqslant 0\) માટે (\(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) થી ). વ્યુત્પન્ન \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\જમણે)\). કારણ કે \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\)બધા માટે \(t\geqslant 0\), પછી \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. પરિણામે, \(t\geqslant 0\) ફંક્શન \(y\) એકવિધ રીતે ઘટે છે. સમીકરણને \(y(t)=y(z)\) સ્વરૂપમાં ગણી શકાય, જ્યાં \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . કાર્યની એકવિધતા પરથી તે અનુસરે છે કે સમાનતા ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જો \(t=z\) . આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ સમીકરણની સમકક્ષ છે: \(ax=\sqrt(x+1)\), જે બદલામાં સિસ્ટમની સમકક્ષ છે: \[\begin(કેસો) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(કેસ)\] જ્યારે \(a=0\) સિસ્ટમ પાસે એક ઉકેલ \(x=-1\) હોય છે જે સ્થિતિને સંતોષે છે \(ax\geqslant 0\) . કેસનો વિચાર કરો \(a\ne 0\) . સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણનો ભેદભાવ \(D=1+4a^2>0\) બધા માટે \(a\) . પરિણામે, સમીકરણમાં હંમેશા બે મૂળ \(x_1\) અને \(x_2\) હોય છે, અને તે અલગ-અલગ ચિહ્નોના હોય છે (કેમકે વિયેટાના પ્રમેય મુજબ \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\)
). આનો અર્થ એ છે કે \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\) સ્થિતિ હકારાત્મક મૂળ દ્વારા સંતુષ્ટ છે. તેથી, સિસ્ટમ પાસે હંમેશા અનન્ય ઉકેલ છે. તેથી, \(a\in \mathbb(R)\) . જવાબ: \(a\in \mathbb(R)\) . કાર્ય 5 #1234 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો \(a\) , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ \
સેગમેન્ટમાંથી ઓછામાં ઓછું એક રુટ છે \([-1;0]\) . કાર્યને ધ્યાનમાં લો \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)અમુક નિશ્ચિત \(a\) માટે. ચાલો તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\). નોંધ કરો કે \(f"(x)\geqslant 0\) \(x\) અને \(a\) ના તમામ મૂલ્યો માટે, અને માત્ર \(x=a=1 માટે \(0\) ની બરાબર છે. \(a=1\) માટે : આનો અર્થ એ છે કે બધા માટે \(a\ne 1\) ફંક્શન \(f(x)\) સખત રીતે વધી રહ્યું છે, તેથી, સમીકરણ \(f(x)=0\) એક કરતાં વધુ મૂળ ધરાવી શકે નહીં. ક્યુબિક ફંક્શનના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેતા, અમુક નિશ્ચિત \(a\) માટે \(f(x)\) નો ગ્રાફ આના જેવો દેખાશે: આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણને સેગમેન્ટમાંથી મૂળ મેળવવા માટે \([-1;0]\), તે જરૂરી છે: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(કેસ) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\] આમ, \(a\in [-2;0]\) . જવાબ: \(a\in [-2;0]\) . કાર્ય 6 #2949 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો \(a\) , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\] મૂળ ધરાવે છે. (સબ્સ્ક્રાઇબર્સ તરફથી કાર્ય) ODZ સમીકરણો: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). તેથી, સમીકરણને મૂળ બનાવવા માટે, ઓછામાં ઓછું એક સમીકરણ હોવું જરૂરી છે \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] ODZ પર નિર્ણયો લીધા હતા. 1) પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(સંરેખિત) \end(એકત્ર કરેલ)\જમણે. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]આ સમીકરણનું મૂળ \(\) માં હોવું આવશ્યક છે. એક વર્તુળ ધ્યાનમાં લો: આમ, આપણે જોઈએ છીએ કે કોઈપણ \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) માટે સમીકરણનો એક ઉકેલ હશે, અને બીજા બધા માટે તેનો કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી, જ્યારે \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\જમણે]\)સમીકરણમાં ઉકેલો છે. 2) બીજા સમીકરણને ધ્યાનમાં લો \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\] કાર્ય \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) ધ્યાનમાં લો. ચાલો તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: \
ODZ પર, વ્યુત્પન્નમાં એક શૂન્ય છે: \(x=\frac34\) , જે કાર્ય \(f(x)\) નો મહત્તમ બિંદુ પણ છે. તેથી, સમીકરણને ઉકેલો મેળવવા માટે, તે જરૂરી છે કે આલેખ \(f(x)\) સીધી રેખા \(y=-a\) સાથે છેદે છે (આકૃતિ યોગ્ય વિકલ્પોમાંથી એક બતાવે છે). એટલે કે, તે જરૂરી છે \
. આ માટે \(x\): કાર્ય \(y_1=\sqrt(x-1)\) સખત રીતે વધી રહ્યું છે. ફંક્શનનો આલેખ \(y_2=5x^2-9x\) એ પેરાબોલા છે, જેનો શિરોબિંદુ બિંદુ \(x=\dfrac(9)(10)\) પર છે. પરિણામે, બધા માટે \(x\geqslant 1\), કાર્ય \(y_2\) પણ સખત રીતે વધી રહ્યું છે (પેરાબોલાની જમણી શાખા). કારણ કે સખત રીતે વધતા કાર્યોનો સરવાળો સખત રીતે વધી રહ્યો છે, પછી \(f_a(x)\) સખત રીતે વધી રહ્યો છે (સતત \(3a+8\) કાર્યની એકવિધતાને અસર કરતું નથી). ફંક્શન \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) બધા માટે \(x\geqslant 1\) હાયપરબોલાની જમણી શાખાના ભાગને રજૂ કરે છે અને સખત રીતે ઘટી રહ્યું છે. સમીકરણ \(f_a(x)=g_a(x)\) ઉકેલવાનો અર્થ થાય છે ફંક્શન્સ \(f\) અને \(g\) ના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવા. તેમની વિરોધી એકવિધતા પરથી તે અનુસરે છે કે સમીકરણમાં વધુમાં વધુ એક મૂળ હોઈ શકે છે. જ્યારે \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 \\ કપ જવાબ: \(a\in (-\infty;-1]\ કપ . ફંક્શનના મેક્સિમા અને મિનિમા શોધવા માટે, તમે એક્સ્ટ્રીમમના ત્રણ ચિહ્નોમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અલબત્ત, જો ફંક્શન તેમની શરતોને સંતોષે છે. સૌથી સામાન્ય અને અનુકૂળ તેમાંથી પ્રથમ છે. ફંક્શન y=f(x) ને બિંદુના -પડોશમાં ભિન્નતા અને બિંદુ પર જ સતત રહેવા દો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના પ્રથમ સંકેતના આધારે એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ. ત્યાં ઘણા બધા શબ્દો છે, ચાલો ફંક્શનની સીમા માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત શરતનો ઉપયોગ કરીને એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધવાના થોડા ઉદાહરણોને વધુ સારી રીતે જોઈએ. ઉદાહરણ. ફંક્શનની સીમા શોધો. ઉકેલ. ફંક્શનનું ડોમેન એ x=2 સિવાય વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે. વ્યુત્પન્ન શોધવું: અંશના શૂન્ય એ બિંદુઓ x=-1 અને x=5 છે, છેદ x=2 પર શૂન્ય પર જાય છે. સંખ્યા અક્ષ પર આ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો અમે દરેક અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના સંકેતો નક્કી કરીએ છીએ, આ કરવા માટે, અમે દરેક અંતરાલના કોઈપણ બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, x=-2, x=0, x=3 અને x=6. તેથી, અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે (આકૃતિમાં આપણે આ અંતરાલ પર વત્તા ચિહ્ન મૂકીએ છીએ). તેવી જ રીતે તેથી, અમે બીજા અંતરાલની ઉપર માઈનસ, ત્રીજાની ઉપર માઈનસ અને ચોથાની ઉપર વત્તા મૂકીએ છીએ. તે બિંદુઓને પસંદ કરવાનું બાકી છે કે જેના પર કાર્ય સતત છે અને તેના વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન છે. આ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ છે. બિંદુએ x=-1 ફંક્શન સતત છે અને વ્યુત્પન્ન ફેરફારો વત્તાથી માઈનસમાં ચિહ્ન કરે છે, તેથી, એક્સ્ટ્રીમમના પ્રથમ ચિન્હ મુજબ, x=-1 એ મહત્તમ બિંદુ છે, કાર્યની મહત્તમ તેને અનુરૂપ છે બિંદુએ x=5 ફંક્શન સતત છે અને વ્યુત્પન્ન ફેરફારો બાદબાકીથી વત્તા સુધીનું ચિહ્ન છે, તેથી, x=-1 એ લઘુત્તમ બિંદુ છે, કાર્યનું લઘુત્તમ તેને અનુરૂપ છે
ગ્રાફિક ચિત્ર.
જવાબ: મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: એક્સ્ટ્રીમમ માટેના પ્રથમ પૂરતા માપદંડને બિંદુ પર જ કાર્યની ભિન્નતાની જરૂર નથી. ઉદાહરણ. કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ અને અંતિમો શોધો ઉકેલ. ફંક્શનનું ડોમેન એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે. કાર્ય પોતે આ રીતે લખી શકાય છે: ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: બિંદુએ x=0 વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે જ્યારે દલીલ શૂન્ય તરફ વળે છે ત્યારે એકતરફી મર્યાદાના મૂલ્યો એકરૂપ થતા નથી: તે જ સમયે, મૂળ કાર્ય x=0 બિંદુ પર સતત છે (સાતત્ય માટે કાર્યનો અભ્યાસ કરવા પરનો વિભાગ જુઓ): ચાલો દલીલનું મૂલ્ય શોધીએ કે જેના પર વ્યુત્પન્ન શૂન્ય પર જાય છે: ચાલો સંખ્યા રેખા પરના તમામ પ્રાપ્ત બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ અને દરેક અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન નક્કી કરીએ. આ કરવા માટે, અમે દરેક અંતરાલના મનસ્વી બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. એટલે કે, આમ, એક્સ્ટ્રીમમના પ્રથમ સંકેત મુજબ, લઘુત્તમ પોઈન્ટ છે અમે ફંક્શનના અનુરૂપ મિનિમાની ગણતરી કરીએ છીએ અમે ફંક્શનના અનુરૂપ મેક્સિમાની ગણતરી કરીએ છીએ
ગ્રાફિક ચિત્ર.
જવાબ:
જેમ તમે જોઈ શકો છો, ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના આ ચિહ્ન માટે બિંદુ પર ઓછામાં ઓછા બીજા ક્રમમાં વ્યુત્પન્નનું અસ્તિત્વ જરૂરી છે.
આનો અર્થ એ છે કે સમાનતા \(f(t)=f(u)\) શક્ય છે જો અને માત્ર જો \(t=u\) . ચાલો મૂળ ચલ પર પાછા જઈએ અને પરિણામી સમીકરણ હલ કરીએ:
\
\
\
આપણે \(a\) ના મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે જેના માટે સમીકરણમાં ઓછામાં ઓછા બે મૂળ હશે, એ હકીકતને પણ ધ્યાનમાં લેતા કે \(a>0\) .
તેથી, જવાબ છે: \(a\in (0;+\infty)\) .
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)સમીકરણ \(2(x-1)^3=0\) એક જ મૂળ \(x=1\) ધરાવે છે જે સ્થિતિને સંતોષતું નથી. તેથી, \(a\) \(1\) ની બરાબર ન હોઈ શકે.
નોંધ કરો કે \(f(0)=f(1)=0\) . તેથી, યોજનાકીય રીતે ગ્રાફ \(f(x)\) આના જેવો દેખાય છે: 
કાર્યના અંતિમ ભાગ માટે પૂરતી શરતો.
એક્સ્ટ્રીમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત સ્થિતિ.
.
.
.
, મહત્તમ પોઈન્ટ છે 
.
.
કાર્યના અંતિમ ભાગનું બીજું ચિહ્ન.
