તમે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહનું વર્ણન કેવી રીતે કરી શકો? પાઠ "વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ"

13.3 સંખ્યાત્મક અંતરાલો. બિંદુની પડોશ

ચાલો a અને b ને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, અને a

સંખ્યાત્મક અંતરાલો(અંતરાલ) એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સબસેટ છે જેમાં નીચેના સ્વરૂપ છે:

= (x: α ≤ x ≤ b) - સેગમેન્ટ (સેગમેન્ટ, બંધ અંતરાલ);
(a;) = (x: a< х < b} - интервал (открытый промежуток);
= (x:a< х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞; b] = (x: x ≤ b); [α, +∞) = (x: x ≥ α);
(-∞; b) = (x: x એ);
(-∞, ∞) = (x: -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).

સંખ્યાઓ a અને b ને અનુક્રમે આ અંતરાલોના ડાબા અને જમણા છેડા કહેવામાં આવે છે. પ્રતીકો -∞ અને +∞ એ સંખ્યાઓ નથી, તે સંખ્યા અક્ષ પર શરૂઆત 0 થી ડાબે અને જમણે બિંદુઓને અમર્યાદિત દૂર કરવાની પ્રક્રિયાનું પ્રતીકાત્મક હોદ્દો છે.

ચાલો x o કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે (સંખ્યા રેખા પરનો એક બિંદુ). બિંદુ xo ની પડોશ એ બિંદુ x0 ધરાવતું કોઈપણ અંતરાલ (a; b) છે. ખાસ કરીને, અંતરાલ (x o -ε, x o +ε), જ્યાં ε >0, બિંદુ x o ની ε-પડોશી કહેવાય છે. xo નંબરને કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

જો એક્સ Î (x 0 -ε; x 0 +ε), પછી અસમાનતા x 0 -ε સંતોષાય છે<х<х 0 +ε, или, что то же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97).

ત્રીજી લીટી પર દરેક ઘન સમીકરણ માટે અનુક્રમે ત્રણ સંખ્યાઓ છે. ફોર્સ વગેરેનો ઓર્ડર આપ્યો.

તે. અમે એક મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ જે કેન્ટર કર્ણ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને પસાર કરી શકાય છે. જો બીજગણિત સમીકરણના કેટલાક મૂળ જટિલ હોય, તો અમે તેમને નંબર આપતી વખતે ખાલી છોડી દઈએ છીએ. તે. દરેક બીજગણિત નંબરઅનુરૂપ સંખ્યા પ્રાપ્ત કરશે, અને આ હકીકતની પુષ્ટિ કરે છે કે બીજગણિત વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપૂર્વક .

હકીકત કાર્યક્ષમ ગણનાક્ષમતા સેટ A એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ સાથે તત્વોને નંબર આપવાની આપેલ પદ્ધતિથી સીધું અનુસરે છે, કારણ કે તે જ સમયે અનુરૂપ ડિગ્રીના બીજગણિતીય સમીકરણોને વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરતી તર્કસંગત સંખ્યાઓના સેટને નંબર આપવા માટેની અસરકારક પ્રક્રિયા સૂચવવામાં આવે છે. તે મહત્વનું છે કે nth ડિગ્રીના બીજગણિત સમીકરણમાં અસરકારક ઉકેલ અલ્ગોરિધમ છે, એટલે કે. પ્રક્રિયા સંપૂર્ણપણે અસરકારક છે. તેથી, બીજગણિત વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર અને અસરકારક રીતે ગણી શકાય તેવું છે, Q.E.D.

બીજગણિત સંખ્યાઓના તમામ જોડી, ત્રિપુટી વગેરેના બનેલા સમૂહો પણ ગણી શકાય તેવા હશે.

2.3.7. ગણતરીપાત્ર સંખ્યા સમૂહો: સામાન્યીકરણ

T.2 પ્રમેય (સાબિતી વિના)

ગણતરીપાત્ર પ્રતીકોની મર્યાદિત સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય તેવા ઘટકોનો સમૂહ ગણવાયોગ્ય છે.

વાસ્તવિક જીવનમાં, અમે વિવિધ મર્યાદિત સાઇન સિસ્ટમ્સનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે સંખ્યાઓ, અક્ષરો, નોંધો.

ચાલો સંકેતોની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યા સિસ્ટમમાં સંખ્યાઓ, દશાંશ કહો. અમારી પાસે 10 અક્ષરો છે: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, અમે બે પ્રકારના સેટ બનાવી શકીએ છીએ: નિશ્ચિત લંબાઈ અને મનસ્વી લંબાઈ.

પ્રથમ કિસ્સામાં, અમે એક સંપૂર્ણ સંયોજન સમસ્યા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, તમે પાંચ અક્ષરોના 105 વિવિધ ક્રમ બનાવી શકો છો. આ એક જગ્યાએ મોટી સંખ્યા છે, પરંતુ તે એક કુદરતી સંખ્યા છે અને આ પ્રકારના તમામ સંભવિત ક્રમના માનવામાં આવેલા સમૂહની મુખ્યતા કુદરતી સંખ્યા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. બીજા કિસ્સામાં, કુદરતી સંખ્યાઓના સંકુલના સમૂહ સાથે સામ્યતા દ્વારા, આવા ક્રમનો સમૂહ ગણનાપાત્ર રીતે અનંત હશે, અને તેની મુખ્યતા એલેફ-શૂન્ય સંખ્યા છે.

તે સામાન્ય કરી શકાય છે કે પ્રમેય 2.3.(7) લાગુ કરવાના પરિણામે મેળવેલ સમૂહ ગણનાપાત્ર રીતે અનંત હશે જો, ચિહ્નોની મર્યાદિત સિસ્ટમના કિસ્સામાં, ચિહ્નોના મનસ્વી રીતે લાંબા સંકુલને મંજૂરી આપવામાં આવે છે (જ્યાં સુધી ઇચ્છિત હોય, પરંતુ હજુ પણ મર્યાદિત!).

ગણતરીપૂર્વક અનંત છે, ઉદાહરણ તરીકે:

· "શબ્દો" નો સમૂહ જે મર્યાદિત મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે ("એક શબ્દ" અહીં અક્ષરોનું સંકુલ છે, પછી ભલે તેનો અર્થ હોય કે ન હોય),

· કોઈપણ અથવા તો બધી ભાષાઓમાં લખાયેલા તમામ પુસ્તકોનો સમૂહ,

· તમામ સિમ્ફનીનો સમૂહ, વગેરે.

2.4.1. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહની અસંખ્યતા (સતત)

અમે લેટિન અક્ષર આર દ્વારા વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને સૂચિત કરીએ છીએ.

T.2 પ્રમેય

વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ અગણિત છે.

પુરાવો

ચાલો આપણે વિપરીત ધારીએ, વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણી શકાય. પછી ગણતરીપાત્ર સમૂહનો કોઈપણ ઉપગણ પણ ગણી શકાય. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સેટ પર, ચાલો સબસેટ R1 લઈએ - અંતરાલ (0,1) અને આ સેગમેન્ટ નંબરોમાંથી દૂર કરીએ જેમાં ઓછામાં ઓછા એક અંકમાં શૂન્ય અથવા નવ હોય છે (આવા નંબરોના ઉદાહરણો: 0.9, 0.0001, વગેરે. ). બાકીની સંખ્યાઓનો બનેલો સમૂહ R2 એ સમૂહ R1 નો સબસેટ છે. આનો અર્થ એ છે કે R2 ગણવાયોગ્ય છે.

હકીકત એ છે કે R2 ગણતરીપાત્ર છે, તે સીધું જ અનુસરે છે કે તેના તત્વોની ગણતરી કરવાની અમુક રીતથી R2 ના તત્વો અને કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહના તત્વો વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવો શક્ય છે. આ એક સમૂહની મુખ્યતાની ખૂબ જ વ્યાખ્યાથી અનુસરે છે, જે મુજબ એવું માનવામાં આવે છે કે સમાન કાર્ડિનાલિટીના સેટમાં, એક સમૂહના દરેક ઘટકમાં બીજા સમૂહમાંથી જોડી કરેલ તત્વ હોય છે અને તેનાથી ઊલટું. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આ વ્યાખ્યા અને અસરકારક ગણનાની વ્યાખ્યા વચ્ચેનો મૂળભૂત તફાવત એ છે કે આ કિસ્સામાં આપણે કોઈપણ ગણતરી અલ્ગોરિધમની હાજરી વિશે પણ વાત કરી રહ્યા નથી, અમે ફક્ત દાવો કરીએ છીએ કે સમૂહમાંથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સૂચિ આપવી શક્ય છે. R2 અને સેટ N માંથી અનુરૂપ કુદરતી સંખ્યાઓની સૂચિ. આ કિસ્સામાં, અમે જોડાણ N ↔ R2 બનાવવા માટેના અલ્ગોરિધમમાં રસ ધરાવતા નથી, તે પૂરતું છે કે આવા પત્રવ્યવહાર શક્ય છે.

ચાલો સેટ R2 માંથી સંખ્યાઓની નીચેની સૂચિ બનાવીએ અને સંખ્યાઓને અંકોમાં નંબર કરીએ:

હવે ચાલો નંબર બનાવીએ b=0.b1b2…, અને

bi=aii+1, જ્યાં + ઉમેરાની ક્રિયા સૂચવે છે, જેનું પરિણામ 0 અને 9 નંબરો હોઈ શકતું નથી, એટલે કે જો aii=1, તો bi=2; જો aii=2, તો bi=3, ...., જો aii=8, તો bi=1).

આમ, રચાયેલ નંબર b એ સેટ R2 માંના દરેક નંબરોથી ઓછામાં ઓછા એક અંકમાં અલગ હશે, અને તેથી, સંકલિત સૂચિમાં શામેલ કરવામાં આવશે નહીં. જો કે, તેની રચના દ્વારા, નંબર b સમૂહ R2 માં સમાયેલ હોવો આવશ્યક છે. અમને એક વિરોધાભાસ મળે છે, જેનો અર્થ થાય છે કે મૂળ ધારણા ખોટી છે અને સેટ R2 અગણિત છે.

સેટ R2 એ શરત પ્રમાણે સેટ R1 નો સબસેટ હોવાથી, R1 અગણિત છે, અને R1 અગણિત હોવાથી, સેટ R અગણિત છે, Q.E.D.

નોંધ: તમારે 0 અને 9 ધરાવતી સંખ્યાઓ ફેંકવાની જરૂર નથી. આમ, કેટલીક સંખ્યાઓ અમારી શ્રેણીમાં બે વાર દેખાશે. આ એટલા માટે છે કારણ કે મર્યાદિત અપૂર્ણાંકને અનંત અપૂર્ણાંકમાં ફેરવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે ½=0.5=0.5(0)=0.4(9).

સામાન્ય રીતે, આ કારણ હોઈ શકે છે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહની ગણતરી કરવી શક્ય ન હતી. પરંતુ સંખ્યાઓનો સમૂહ જે બે રીતે રજૂ કરી શકાય છે (મર્યાદિત અપૂર્ણાંકો) એ તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ છે. જેમ કે અગાઉ સાબિત થયું હતું, તેમાંની ગણનાપાત્ર સંખ્યા છે. એક એવું પણ બતાવી શકે છે કે આ સમૂહ અસરકારક રીતે ગણી શકાય તેવું છે. તે. આવી સંખ્યાઓના સમૂહની બેવડી રજૂઆત પણ ગણી શકાય તેવા સમૂહ બનાવે છે, તેથી આવા સરળીકરણ વિના પણ સાબિતી સાચી છે.

મૂળભૂત રીતે નવું પરિણામ પ્રાપ્ત થયું - સંખ્યાઓનો અસંખ્ય સમૂહ મળ્યો. તેની શક્તિ, સાબિત પ્રમેય મુજબ, એલેફ-શૂન્ય (À0) ની બરાબર નથી, જેનો અર્થ છે કે ટ્રાન્સફિનિટ સ્કેલમાં નવી સંખ્યાની જરૂર છે.

અલેફ ( À) - બીજી ટ્રાન્સફિનિટ સંખ્યા. વ્યાખ્યા મુજબ, આ સાતત્યની શક્તિ છે (તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓની). આ બીજી સર્વોચ્ચ અનંત શક્તિ છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહની અસંખ્યતા પર હમણાં જ સાબિત થયેલ પ્રમેય 2.4.(1) એ ખાતરીપૂર્વકનો પુરાવો છે કે આ સમૂહની મુખ્યતા એલેફ-શૂન્ય (કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ કરતાં વધુ) કરતાં વધારે છે. અને સંખ્યાઓના વિવિધ સમૂહોની ગણતરીક્ષમતાના પુરાવાઓની શ્રેણી પછી આ એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ પરિણામ છે.

જો આપણે કાર્ડિનલ નંબર (પાવર) ની વિભાવના સાથે કાર્ય કરીએ છીએ, તો આપણે તે મેળવીએ છીએ, કારણ કે સેગમેન્ટની દરેક સંખ્યા (0,1) ફોર્મ 0.a1a2a3 ના દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે... ઓછામાં ઓછું એકવાર અને સૌથી વધુ બે વાર, પછી:

À≤10 À0≤ 2À ,

અને 2À=À થી, આપણને તે 10 À0= À મળે છે. સમાન તર્ક માન્ય છે જો આપણે સંખ્યાઓને દશાંશમાં વિઘટિત કરીએ નહીં, પરંતુ, ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિસંગી અપૂર્ણાંકમાં, 3, 15, 10005 અથવા À0 ના આધાર સાથેના અપૂર્ણાંકમાં (જો તમે તેની કલ્પના કરી શકો છો).

તે. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

જો તમે તેના વિશે વિચારો છો, તો તમે સેટ થિયરીમાંથી અન્ય સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ ન હોય તેવી હકીકત શોધી શકો છો. À2=À À એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના જોડીના સમૂહની શક્તિ છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડી, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, પ્લેન પરના બિંદુને અનુલક્ષે છે. બદલામાં, À3=À À À એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ત્રિપુટીના સમૂહની શક્તિ છે, અને આ અવકાશના બિંદુઓ છે. તર્કને આગળ À0 સુધી ચાલુ રાખી શકાય છે - એક પરિમાણીય જગ્યા અથવા ગણતરી કરી શકાય તેવી લંબાઈની વાસ્તવિક સંખ્યાઓના તમામ ક્રમનો સમૂહ. તે. તમામ મર્યાદિત-પરિમાણીય અથવા ગણતરી-પરિમાણીય જગ્યાઓ સમાન મુખ્યતા ધરાવે છે À (અહીં À એ અવકાશમાં બિંદુઓની સંખ્યા છે).

À0-પરિમાણીય વાસ્તવિક જગ્યા માટે અથવા ગણતરીપાત્ર લંબાઈની વાસ્તવિક સંખ્યાઓના તમામ ક્રમના સમૂહ માટે, મુખ્ય સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓના દૃષ્ટિકોણથી, અમે À0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À મેળવીએ છીએ.

આ બિંદુએ આ ક્ષેત્રમાં પુરાવાઓની શ્રેણી સાથે સંકળાયેલ ઐતિહાસિક ઘટનાઓ તરફ વળવું રસપ્રદ રહેશે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ, જો કે તરત જ નહીં, આખરે એ હકીકત સાથે સમજાયું કે અનંત સીધી રેખા પર એક સેગમેન્ટ પર જેટલા બિંદુઓ હોય છે. પરંતુ કેન્ટોરનું આગળનું પરિણામ પણ વધુ અણધાર્યું હતું. વાસ્તવિક ધરી પરના સેગમેન્ટ કરતાં વધુ તત્વો ધરાવતા સમૂહની શોધમાં, તેણે ચોરસના બિંદુઓના સમૂહ તરફ ધ્યાન દોર્યું. શરૂઆતમાં, પરિણામ વિશે કોઈ શંકા ન હતી: છેવટે, સમગ્ર સેગમેન્ટ ચોરસની એક બાજુ પર સ્થિત છે, અને તમામ સેગમેન્ટ્સનો સમૂહ જેમાં ચોરસનું વિઘટન થઈ શકે છે તે સમાન મુખ્યતા ધરાવે છે જે તે બિંદુઓના સમૂહની સમાન છે. સેગમેન્ટ લગભગ ત્રણ વર્ષ સુધી (1871 થી 1874 સુધી), કેન્ટરે સાબિતી માંગી કે સેગમેન્ટના બિંદુઓ અને ચોરસના બિંદુઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર અશક્ય છે. અને અમુક સમયે, સંપૂર્ણપણે અણધારી રીતે, ચોક્કસ વિપરીત પરિણામ બહાર આવ્યું: તે એક પત્રવ્યવહાર રચવામાં વ્યવસ્થાપિત થયો જેને તે નિષ્ઠાપૂર્વક અશક્ય માનતો હતો. કેન્ટોર પોતે માનતો ન હતો અને તેણે જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી રિચાર્ડ ડેડેકિન્ડને પણ લખ્યું: "હું તે જોઉં છું, પણ હું માનતો નથી." જ્યારે આ હકીકતનો આઘાત પસાર થયો, ત્યારે તે સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ થઈ ગયું અને ટૂંક સમયમાં જ સાબિત થયું કે ક્યુબમાં સેગમેન્ટ જેટલા જ પોઈન્ટ હોય છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, પ્લેન પરની કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિ (અવકાશમાં ભૌમિતિક શરીર) જેમાં ઓછામાં ઓછી એક રેખા હોય છે તેમાં એક સેગમેન્ટ જેટલા જ બિંદુઓ હોય છે. આવા સેટને કોન્ટીનિયમ પાવર સેટ્સ (લેટિન અખંડ - સતત) કહેવામાં આવતા હતા. આગળનું પગલું લગભગ સ્પષ્ટ છે: ચોક્કસ મર્યાદામાં જગ્યાનું પરિમાણ બિનમહત્વપૂર્ણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, 2-પરિમાણીય પ્લેન, 3-પરિમાણીય પરિચિત જગ્યા, 4, 5 અને વધુ n-પરિમાણીય જગ્યાઓ સંબંધિત n-પરિમાણીય શરીરમાં સમાયેલ બિંદુઓની સંખ્યાના સંદર્ભમાં સમાન શક્તિ ધરાવે છે. અસંખ્ય પરિમાણ ધરાવતી જગ્યાના કિસ્સામાં પણ આ સ્થિતિ જોવામાં આવશે, તે માત્ર એટલું જ મહત્વપૂર્ણ છે કે આ સંખ્યા ગણી શકાય તેવી છે.

આ તબક્કે, બે પ્રકારની અનંતતાઓ શોધી કાઢવામાં આવી છે અને તે મુજબ, તેમની શક્તિઓને દર્શાવતી બે પરિવર્તિત સંખ્યાઓ. પ્રથમ પ્રકારના સેટમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની શક્તિ (એલેફ-શૂન્ય) જેટલી શક્તિ હોય છે. બીજા પ્રકારનાં સેટમાં વાસ્તવિક અક્ષ પરના બિંદુઓની સંખ્યાની સમકક્ષ કાર્ડિનલિટી હોય છે (સતત, એલેફની મુખ્યતા). તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે બીજા પ્રકારનાં સેટમાં પ્રથમ પ્રકારનાં સેટ કરતાં વધુ તત્વો હોય છે. સ્વાભાવિક રીતે, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું કુદરતમાં "મધ્યવર્તી" સેટ છે જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની સંખ્યા કરતા વધારે છે, પરંતુ તે જ સમયે એક રેખા પરના બિંદુઓના સમૂહ કરતાં ઓછી છે? આ મુશ્કેલ પ્રશ્ન કહેવામાં આવે છે "સતત સમસ્યા" . તેણી તરીકે પણ ઓળખાય છે "સતત પૂર્વધારણા" અથવા " હિલ્બર્ટની પ્રથમ સમસ્યા". ચોક્કસ શબ્દરચના નીચે મુજબ છે:

https://pandia.ru/text/78/390/images/image023_14.gif" height="10 src="> એક્સDIV_ADBLOCK10">

પરિણામે, નિરંતર પૂર્વધારણા પર ખૂબ સંશોધન કર્યા પછી, 1938 માં જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કર્ટ ગોડેલે સાબિત કર્યું કે મધ્યવર્તી શક્તિનું અસ્તિત્વ સેટ થિયરીના અન્ય સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોનો વિરોધાભાસ કરતું નથી. અને પછીથી, માં લગભગ એક સાથે, પરંતુ એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે, અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી કોહેન અને ચેક ગણિતશાસ્ત્રી વોપેન્કાએ દર્શાવ્યું હતું કે આવી મધ્યવર્તી શક્તિની હાજરી સેટ થિયરીના અન્ય સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાંથી અનુમાનિત કરી શકાતી નથી. માર્ગ દ્વારા, એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે આ પરિણામ સમાંતર રેખાઓ પોસ્ટ્યુલેટ સાથેની વાર્તા સાથે ખૂબ સમાન છે. જેમ જાણીતું છે, બે હજાર વર્ષ સુધી તેઓએ તેને ભૂમિતિના અન્ય સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાંથી અનુમાનિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો, પરંતુ લોબાચેવ્સ્કી, હિલ્બર્ટ અને અન્ય લોકોના કાર્ય પછી જ તેઓ સમાન પરિણામ પ્રાપ્ત કરવામાં સફળ થયા: આ અનુમાન અન્ય સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોનો વિરોધાભાસ કરતું નથી, પરંતુ તે કરી શકતું નથી. તેમની પાસેથી અનુમાનિત થવું.

2.4.2. જટિલ, ગુણાતીત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓનો સમૂહ

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ ઉપરાંત, અમે ઘણા વધુ અગણિત સેટ રજૂ કરીએ છીએ.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76"> T.2.4.(2) પ્રમેય

જટિલ સંખ્યાઓનો સમૂહ અગણિત છે.

પુરાવો

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ R નો સમૂહ, અગાઉ સાબિત થયેલ પ્રમેય 2.4.(1) દ્વારા અગણિત, જટિલ સંખ્યાઓ C ના સમૂહનો સબસેટ છે, તો જટિલ સંખ્યાઓનો સમૂહ પણ અગણિત છે, Q.E.D.

ગુણાતીત સંખ્યા - એક વાસ્તવિક સંખ્યા જે બીજગણિત નથી.

અમે લેટિન અક્ષર T દ્વારા ગુણાતીત સંખ્યાઓના સમૂહને દર્શાવીએ છીએ. દરેક ગુણાતીત વાસ્તવિક સંખ્યા અતાર્કિક છે, પરંતુ વાતચીત સાચી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા અતાર્કિક છે, પરંતુ ગુણાતીત નથી: તે સમીકરણનું મૂળ છે x 2 − 2=0.

T.2 પ્રમેય

ગુણાતીત સંખ્યાઓનો સમૂહ અગણિત છે.

પુરાવો

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એક અગણિત સમૂહ છે, અને બીજગણિત સંખ્યાઓ ગણતરીપાત્ર છે, અને સમૂહ A એ R નો સબસેટ છે, તો R\A (અંતિહાસિક સંખ્યાઓનો સમૂહ) એક અગણિત સમૂહ છે, Q.E.D.

ગુણાતીત સંખ્યાઓના અસ્તિત્વનો આ સાદો પુરાવો કેન્ટોર દ્વારા 1873 માં પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો અને વૈજ્ઞાનિક સમુદાય પર તેની મોટી છાપ પડી હતી, કારણ કે તેણે એક ચોક્કસ ઉદાહરણ બનાવ્યા વિના ઘણી સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ સાબિત કર્યું હતું, પરંતુ માત્ર સામાન્ય વિચારણાઓ પર આધારિત હતું. આ સાબિતીમાંથી ગુણાતીત સંખ્યાનું કોઈ ચોક્કસ ઉદાહરણ કાઢી શકાતું નથી; બિનરચનાત્મક .

એ નોંધવું અગત્યનું છે કે લાંબા સમયથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ માત્ર બીજગણિત સંખ્યાઓ સાથે વ્યવહાર કરતા હતા. કેટલીક અતીન્દ્રિય સંખ્યાઓ પણ શોધવા માટે તેને નોંધપાત્ર પ્રયત્નો કરવા પડ્યા. આ પ્રથમ 1844 માં ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી લિઓવિલે દ્વારા પ્રાપ્ત થયું હતું, જેમણે પ્રમેયનો સમૂહ સાબિત કર્યો હતો જેણે આવી સંખ્યાઓના ચોક્કસ ઉદાહરણોનું નિર્માણ કરવાનું શક્ય બનાવ્યું હતું. ઉદાહરણ તરીકે, અતીન્દ્રિય સંખ્યા એ 0,... છે, જેમાં પ્રથમ એકમ પછી એક શૂન્ય છે, બીજા પછી - બે, ત્રીજા પછી - 6, nમી પછી, અનુક્રમે, n! શૂન્ય

તે સાબિત થયું છે કે 10 સિવાય કોઈપણ પૂર્ણાંકનો દશાંશ લઘુગણક ગુણાતીત છે. n. ઉપરાંત ગુણાતીત સંખ્યાઓના સમૂહમાં પાપનો સમાવેશ થાય છે α, cos α અને tg α કોઈપણ બિન-શૂન્ય બીજગણિત સંખ્યા માટે α . ગુણાતીત સંખ્યાઓના સૌથી આકર્ષક પ્રતિનિધિઓને સામાન્ય રીતે સંખ્યાઓ ગણવામાં આવે છે π અને ઇ.માર્ગ દ્વારા, સંખ્યાના ગુણોત્તરનો પુરાવો π , 1882 માં જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ લિન્ડરમેન દ્વારા હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું, તે એક મહાન વૈજ્ઞાનિક ઘટના હતી, કારણ કે તે વર્તુળને ચોરસ કરવાની અશક્યતાને સૂચિત કરે છે. વર્તુળનું વર્ગીકરણ શોધવાનો ઇતિહાસ ચાર સહસ્ત્રાબ્દી સુધી ચાલ્યો, અને આ શબ્દ પોતે અદ્રાવ્ય સમસ્યાઓનો પર્યાય બની ગયો.

માપનો એકમ" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">વર્તુળના માપન ત્રિજ્યાનો એકમ અને નિયુક્ત xજરૂરી ચોરસની બાજુની લંબાઈ, પછી સમીકરણ હલ કરવામાં સમસ્યા ઘટે છે: x 2 = π, ક્યાંથી: . જેમ તમે જાણો છો, હોકાયંત્ર અને શાસકની મદદથી તમે બધા 4 કરી શકો છો અંકગણિત કામગીરીઅને નિષ્કર્ષણ વર્ગમૂળ. આનો અર્થ એ છે કે વર્તુળનું વર્ગીકરણ શક્ય છે જો અને માત્ર જો, આવી ક્રિયાઓની મર્યાદિત સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, લંબાઈ π ના સેગમેન્ટનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે. આમ, આ સમસ્યાની વણઉકેલ્યતા સંખ્યાની બિન-બીજગણિતીયતા (ઉત્તર) ને અનુસરે છે. π. વાસ્તવમાં, વર્તુળના વર્ગીકરણની સમસ્યા પાયા πr અને ઊંચાઈ r સાથે ત્રિકોણ બાંધવાની સમસ્યામાં ઘટાડો થાય છે. એક સમાન ચોરસ પછી તેના માટે સરળતાથી બનાવી શકાય છે.

અગાઉ જણાવેલ યાદીમાં 23 મુખ્ય સમસ્યાઓગણિત ક્રમાંક 7 એ ચોક્કસ રીતે રચાયેલી સંખ્યાઓની અધિકતા સંબંધિત સમસ્યા હતી.

હિલ્બર્ટની સાતમી સમસ્યા. ચાલો એ --- હકારાત્મકબીજગણિત સંખ્યા 1, b ની બરાબર નથી --- અતાર્કિકબીજગણિત નંબર. સાબિત કરો કે ab એ અતીન્દ્રિય સંખ્યા છે.

1934 માં સોવિયત ગણિતશાસ્ત્રીગેલફોન્ડ અને થોડા સમય પછી જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી સ્નેઇડરે આ નિવેદનની માન્યતા સાબિત કરી, અને આમ આ સમસ્યા હલ થઈ.

સંખ્યાઓને તર્કસંગત અને અતાર્કિકમાં વિભાજીત કરવાના સિદ્ધાંત સાથે વધુ બે સંકળાયેલા છે રસપ્રદ તથ્યો, તરત જ સાચું માનવામાં આવતું નથી.

T.2.4.(5) પ્રમેય

કોઈપણ બે અલગ અલગ તર્કસંગત સંખ્યાઓ વચ્ચે હંમેશા સાતત્ય શક્તિની અતાર્કિક સંખ્યાઓનો સમૂહ હોય છે.

પુરાવો

બે તર્કસંગત સંખ્યાઓ હોવા દો, aઅને b. ચાલો એક રેખીય, અને તેથી એક-થી-એક, ફંક્શન બનાવીએ f(x) = (x - a) / (b - a). કારણ કે f(a) = 0 અને f(b) = 1, પછી f(x) સેગમેન્ટનો નકશો બનાવે છે [ a; b] નંબરોની તર્કસંગતતા જાળવી રાખીને સેગમેન્ટમાં. તેથી, સમૂહોની શક્તિઓ [ a; b] અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સમાન છે, અને, જેમ સાબિત થયું છે, સેગમેન્ટની શક્તિ સાતત્યની શક્તિ જેટલી છે. પરિણામી સમૂહમાંથી માત્ર અતાર્કિક સંખ્યાઓ પસંદ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ કે કોઈપણ બે તર્કસંગત સંખ્યાઓ વચ્ચે હંમેશા અતાર્કિક સંખ્યાઓનો સાતત્ય રહે છે, Q.E.D.

સામાન્ય રીતે આ પ્રમેયસાહજિક રીતે તદ્દન તાર્કિક લાગે છે. નીચેના, પ્રથમ નજરમાં, સંશયવાદ સાથે જોવામાં આવે છે.

T. 2.4.(6) પ્રમેય

કોઈપણ બે અલગ અતાર્કિક સંખ્યાઓ વચ્ચે હંમેશા તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ગણી શકાય એવો સમૂહ હોય છે.

પુરાવો

ત્યાં બે રહેવા દો અતાર્કિક સંખ્યાઓ aઅને b, અમે તેમના અનુરૂપ અંકો તરીકે લખીએ છીએ a 1a 2a 3... અને b 1b 2b 2..., ક્યાં એઆઈ, દ્વિ- દશાંશ સંખ્યાઓ. દો a < b, તો ત્યાં N એવું છે aએન< b N. ચાલો એક નવો નંબર બનાવીએ c, ચાલો શા માટે મૂકીએ ci = એઆઈ = દ્વિમાટે i= 1, …, N-1. દો cN = bN-1. તે સ્પષ્ટ છે કે c < b. સંખ્યાના તમામ અંકો હોવાથી a Nth પછી નવ ન હોઈ શકે (પછી તે હશે સામયિક અપૂર્ણાંક, એટલે કે એક તર્કસંગત સંખ્યા), તો પછી આપણે M >= N દ્વારા સંખ્યાનો એવો અંક દર્શાવીએ છીએ a, શું aએમ< 9. Положим cj = aj, એન ખાતે< j < M, и c M = 9. આ કિસ્સામાં c > a. તેથી અમને એક પરિમેય સંખ્યા મળી c, જેમ કે a < c < b. માં ઉમેરી રહ્યા છે દશાંશ સંકેતસંખ્યાઓ cકોઈપણ અંતિમ સંખ્યાપાછળની સંખ્યાઓ આપણે વચ્ચે જોઈએ તેટલી તર્કસંગત સંખ્યાઓ મેળવી શકીએ છીએ aઅને b. તેના આવા દરેક નંબરને સોંપીને સીરીયલ નંબર, અમે આ સંખ્યાઓના સમૂહ અને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર મેળવીએ છીએ, તેથી પરિણામી સમૂહ ગણતરીપાત્ર હશે, Q.E.D.

આ તબક્કે, નીચેના પ્રમેયનો પુરાવો રસપ્રદ અને મહત્વપૂર્ણ બની જાય છે, જેનો અર્થ ટ્રાન્સફિનિટ નંબરોના સ્કેલની રજૂઆત પહેલાં સામાન્ય રીતે સ્પષ્ટ હતો, અને આવા ચોક્કસ અંકગણિતના દેખાવ સાથે સખત પુરાવાની જરૂર છે.

T.2 કેન્ટરનું પ્રમેય

કોઈપણ કાર્ડિનલ નંબર α, α માટે<2α.

પુરાવો

1. ચાલો ઓછામાં ઓછું તે સાબિત કરીએ α≤2α

જેમ જાણીતું છે, બુલિયન સમૂહ M ની મુખ્યતા 2|M| ની બરાબર છે. ચાલો સેટ M = (m1, m2, m3, ...). બુલિયન સેટ M (તેના તમામ સબસેટ્સનો સમૂહ) પણ દરેક એક તત્વ ધરાવતા સેટનો સમાવેશ કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે (m1), (m2), (m3), .... માત્ર આ પ્રકારનો સબસેટ |M| હશે, અને તે ઉપરાંત, બુલિયનમાં અન્ય સબસેટનો પણ સમાવેશ થાય છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ સંજોગોમાં |M| ≤ 2|M|

2. ચાલો અસમાનતાની કડકતા સાબિત કરીએ α<2α

ફકરા 1 માં શું સાબિત થયું હતું તે ધ્યાનમાં લેવું. તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે જે પરિસ્થિતિમાં છે α=2α.ચાલો વિપરીત ધારીએ, ચાલો α=2α, એટલે કે |M| = 2|M|. આનો અર્થ એ થયો કે M એ P(M) ની સમકક્ષ છે, જેનો અર્થ છે કે સમૂહ M નું તેના બુલિયન P(M) પર મેપિંગ છે. તે. સમૂહ M ના દરેક તત્વ m પાસે P(M) ના કેટલાક સબસેટ Mm સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ તત્વ m કાં તો અનુરૂપ સબસેટ Mm સાથે સંબંધિત છે અથવા તે સંબંધિત નથી. ચાલો બીજા પ્રકારના તમામ ઘટકોમાંથી બનેલ M* સમૂહ બનાવીએ (એટલે ​​​​કે તે m જે તેમના અનુરૂપ સબસેટ્સ Mm સાથે સંબંધિત નથી)

બાંધકામ દ્વારા તે સ્પષ્ટ છે કે જો કોઈપણ તત્વ m M* નું છે, તો તે આપમેળે Mm સાથે સંબંધિત નથી. બદલામાં, આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ m માટે M*=Мm અશક્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે સમૂહ M* એ બધા સમૂહો Mm થી અલગ છે અને તેના માટે સમૂહ M માંથી કોઈ એક-થી-એક તત્વ m નથી. આનો અર્થ એ થાય છે કે સમાનતા |M|= 2|M| ખોટું તે. તે સાબિત થયું છે કે |M| < 2|M| અથવા α<2α , Q.E.D.

જ્યારે અનંત સમૂહોની વિચારણા પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે આ ખાતરીપૂર્વક સાબિત કરે છે કે કુદરતી સંખ્યાઓના તમામ ઉપગણોનો સમૂહ (અને આ, હકીકતમાં, અનંત લંબાઈના સંકુલનો સમૂહ છે) કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહની સમકક્ષ નથી. એટલે કે, À0 ≠ 2À0. અને તેનો અર્થ એ છે કે સાદ્રશ્ય દ્વારા, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના આધારે, ઉદાહરણ તરીકે, વધુ વ્યાપક સમૂહનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અન્ય પ્રકારના અનંત સમૂહોને લગતો પ્રશ્ન એ છે કે: શું વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહની મુખ્યતા કરતાં મોટો કોઈ સમૂહ છે? જો આવા પ્રશ્નનો સકારાત્મક જવાબ આપવામાં આવે છે, તો પછીનો તરત જ ઉદ્ભવે છે: શું આનાથી પણ મોટી શક્તિનો સમૂહ છે? પછી પણ વધુ. અને અંતે, એક તાર્કિક વૈશ્વિક પ્રશ્ન: શું ત્યાં સૌથી મોટી મુખ્યતાનો સમૂહ છે?

T.2 પ્રમેય

કોઈપણ સમૂહ A માટે એક સમૂહ B છે જેની મુખ્યતા A કરતા વધારે છે.

પુરાવો

સમૂહ ધ્યાનમાં લો INસેટ પર નિર્ધારિત તમામ કાર્યો એઅને મૂલ્યો 0 અને 1 લે છે. દરેક બિંદુ એસેટ એચાલો ફંક્શન fa(x) ને સાંકળીએ, જે આ બિંદુએ વેલ્યુ 1 લે છે અને અન્ય બિંદુઓ પર મૂલ્ય 0 લે છે. તે અનુસરે છે કે સમૂહની મુખ્યતા INસમૂહની શક્તિ કરતાં ઓછી નથી એ (|બી|≥|એ|).

ચાલો માની લઈએ કે ઘણી બધી શક્તિઓ છે એઅને INએકબીજાની સમાન. આ કિસ્સામાં, સમૂહોના ઘટકો વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે એઅને IN. ચાલો તત્વને અનુરૂપ કાર્ય સૂચવીએ એઘણા થી એ, fa(x) દ્વારા કુટુંબ fa(x) ના તમામ કાર્યો 0 અથવા 1 મૂલ્ય લે છે. ચાલો એક નવું કાર્ય φ(x)=1- fх(x) બનાવીએ. આમ, અમુક બિંદુએ ફંક્શન φ(x) ની કિંમત શોધવા માટે એ, સેટ સાથે જોડાયેલા એ, આપણે સૌ પ્રથમ અનુરૂપ કાર્ય fa( એ) અને પછી એકતામાંથી બિંદુ પરના આ કાર્યની કિંમત બાદ કરો એ. બાંધકામ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શન φ(x) સેટ પર પણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે એઅને 0 અને 1 મૂલ્યો લે છે. તેથી, φ(x) એ સમૂહનું એક તત્વ છે IN. પછી સમૂહ A માં એક સંખ્યા b છે જેમ કે φ(x) = fb(x). ફંક્શન φ(x)=1- fх(x) ની અગાઉ રજૂ કરેલ વ્યાખ્યાને ધ્યાનમાં લેતા, અમે તે સમૂહ સાથે જોડાયેલા તમામ x માટે મેળવીએ છીએ. એ, સાચું 1 - fх(x)= fb(x). ચાલો x = b. પછી 1 - fb(b) = fb(b) અને તેનો અર્થ છે fb(b)=1/2. આ પરિણામ સ્પષ્ટપણે એ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે ફંક્શન fb(x) ની કિંમતો શૂન્ય અથવા એકની બરાબર છે. પરિણામે, સ્વીકૃત ધારણા ખોટી છે, જેનો અર્થ છે કે સમૂહોના ઘટકો વચ્ચે કોઈ એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર નથી. એઅને IN (| એ| ≠| બી| ). ત્યારથી | એ| ≠|બી| અને તે જ સમયે | બી| ≥| એ| , અર્થ | બી| >|એ| . આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ સેટ માટે એતમે સેટ બનાવી શકો છો INવધુ શક્તિ. આના પરથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે મહાન મુખ્યતાનો કોઈ સમૂહ નથી, Q.E.D.

ફંક્શનના બાંધેલા સેટ અને બુલિયન સેટ વચ્ચે એકદમ ગાઢ જોડાણ છે એ(તમામ સબસેટનો સમૂહ એ). સમૂહ ધ્યાનમાં લો INસમૂહના બધા સબસેટ્સ એ. દો સાથે- માં કેટલાક સબસેટ એ. ચાલો ફંક્શન લઈએ f(x) , જે મૂલ્ય 1 જો લે છે એક્સસંબંધ ધરાવે છે સાથે, અને મૂલ્ય અન્યથા 0 છે. આમ, વિવિધ સબસેટ્સ સાથેવિવિધ કાર્યોને અનુરૂપ. તેનાથી વિપરીત, દરેક કાર્ય f(x) , બે મૂલ્યો 0 અને 1 લેતા, માં સબસેટને અનુરૂપ છે એ, તે ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે એક્સ, જેમાં ફંક્શન મૂલ્ય 1 લે છે. આમ, સેટ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યોના સમૂહ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો છે. એઅને મૂલ્યો 0 અને 1 લે છે, અને તમામ સબસેટ્સનો સમૂહ એ.

§ 2.5. સાતત્યની મુખ્યતા કરતાં વધુ મુખ્યતા સાથે સેટ કરે છે

તેથી, મહાન કાર્ડિનલિટીનો કોઈ સમૂહ નથી. પ્રથમ બે ટ્રાન્સફિનિટ નંબરો પ્રકૃતિમાં સમૂહો ધરાવે છે જે તેમને બનાવે છે (કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ). જો આપણે સાતત્યના સમૂહથી શરૂ કરીએ, તો આપણે સાતત્યના તમામ ઉપગણોનો સમૂહ બનાવી શકીએ, આપણે તેનો બુલિયન મેળવીશું, ચાલો આ સમૂહને BR કહીએ. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, સમૂહ BR ની શક્તિ 2A ની બરાબર છે. કેન્ટરના પ્રમેય 2À≠À અનુસાર. તે સ્પષ્ટ છે કે સમૂહ BR અનંત છે, તેથી, તેની મુખ્ય સંખ્યા એક ટ્રાન્સફિનિટ સંખ્યા છે અને તે અગાઉ ગણવામાં આવતી બે ટ્રાન્સફિનિટ સંખ્યાઓમાંથી કોઈપણ સાથે એકરૂપ થઈ શકતી નથી. આનો અર્થ એ છે કે આપણા સ્કેલમાં ત્રીજી ટ્રાન્સફિનિટ સંખ્યા દાખલ કરવાનો સમય આવી ગયો છે.

એલેફ વન ( À 1 ) - ત્રીજો ટ્રાન્સફિનિટ નંબર. વ્યાખ્યા દ્વારા, આ સાતત્યના તમામ સબસેટ્સના સમૂહની મુખ્યતા છે. સમાન સંખ્યા અન્ય ઘણા સમૂહોની મુખ્યતાને અનુલક્ષે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

· તમામ રેખીય કાર્યોનો સમૂહ જે કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે (રેખીય કાર્ય એ એક અથવા વધુ ચલોનું વાસ્તવિક કાર્ય છે). અનિવાર્યપણે, આ ગણનાપાત્ર-પરિમાણીય અવકાશમાં તમામ સંભવિત વળાંકોના સેટ છે, જ્યાં પરિમાણ n ની સંખ્યા કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યા અથવા તો À0 પણ છે.

· પ્લેન પરના આંકડાઓના સેટ, એટલે કે, પ્લેન પરના તમામ પોઈન્ટના સબસેટના સેટ અથવા વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડીના બધા સબસેટના સેટ.

· સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં શરીરના સમૂહો, અને સામાન્ય રીતે કહીએ તો, કોઈપણ ગણતરીપાત્ર-પરિમાણીય અવકાશમાં, જ્યાં પરિમાણ n ની સંખ્યા કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યા અથવા તો À0 પણ હોય છે.

નંબર À1 એ બુલિયન સમૂહની કાર્ડિનલિટી À સાથેની મુખ્યતા તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યો હોવાથી, અમે વિધાન મેળવીએ છીએ કે À1 =2À.

§ 2.6. સેટ થિયરીના વિરોધાભાસ

એક વાજબી પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: આગળ શું? જો આપણે સમૂહ BR ના તમામ ઉપગણોનો સમૂહ બનાવીએ તો શું થશે. તેની મુખ્ય સંખ્યા શું હશે (અલબત્ત, સમાનતા દ્વારા આપણે ધારી શકીએ કે તે 2À1 છે) અને, સૌથી અગત્યનું, આ વાસ્તવિક જીવનના કયા સમૂહને અનુરૂપ હશે? શું BR કરતા મોટા અનંત સેટ છે અને કેટલા છે?

જો કે અમે બતાવ્યું છે કે સૌથી મોટી ટ્રાન્સફિનિટ સંખ્યા અસ્તિત્વમાં નથી, સંશોધન બતાવે છે તેમ, નવી મોટી કાર્ડિનલ સંખ્યાઓ તરફ આગળ વધવું અસુરક્ષિત છે - આ એન્ટિનોમી (વિરોધાભાસ) તરફ દોરી જાય છે. ખરેખર, કાર્ડિનલ નંબરોનો સમૂહ ગમે તે હોય, આપેલ સેટમાંની તમામ સંખ્યાઓ કરતાં મોટી હોય અને તેથી, તેમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવી મુખ્ય સંખ્યા શોધવાનું હંમેશા શક્ય છે. તે. આવા કોઈ સમૂહમાં તમામ મુખ્ય સંખ્યાઓ હોતી નથી, અને તમામ મુખ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ અકલ્પ્ય છે.

તે એકદમ સ્વાભાવિક છે કે દરેક ગણિતશાસ્ત્રી એક સુસંગત સિદ્ધાંત સાથે વ્યવહાર કરવા માંગે છે, એટલે કે, જેમાં એક સાથે બે પ્રમેય સાબિત કરવું અશક્ય છે જે એકબીજાને સ્પષ્ટપણે નકારે છે. શું કેન્ટરનો સિદ્ધાંત સુસંગત છે? અમે વિચારણા હેઠળના સેટની શ્રેણીને કેટલી હદ સુધી વિસ્તૃત કરી શકીએ? કમનસીબે, બધું એટલું રોઝી નથી. જો આપણે "તમામ સમૂહો U નો સમૂહ" તરીકે આવા મોટે ભાગે હાનિકારક ખ્યાલ રજૂ કરીએ, તો સંખ્યાબંધ રસપ્રદ મુદ્દાઓ ઉદ્ભવે છે.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" width="81" height="75 src="> T.2.6.(2) રસેલનો વિરોધાભાસ

ચાલો B એ બધા સમૂહોનો સમૂહ છે જે પોતાને તેમના પોતાના ઘટકો તરીકે સમાવતા નથી. પછી બે પ્રમેય સાબિત કરી શકાય.

પ્રમેય 2.6.(2).1.

B વીનો છે.

પુરાવો

ચાલો વિપરીત ધારીએ, એટલે કે. INસંબંધ નથી IN. વ્યાખ્યા દ્વારા, આનો અર્થ એ છે કે INસંબંધ ધરાવે છે IN. અમને એક વિરોધાભાસ મળે છે - તેથી, મૂળ ધારણા ખોટી છે અને INસંબંધ ધરાવે છે IN, Q.E.D.

પ્રમેય 2.6.(2).2.

B એ V નો નથી.

પુરાવો

ચાલો વિપરીત ધારીએ, એટલે કે. INસંબંધ ધરાવે છે IN. સમૂહની વ્યાખ્યા દ્વારા INતેમાંના કોઈપણ તત્વ પોતે તેના પોતાના તત્વ તરીકે હોઈ શકતા નથી, તેથી, INસંબંધ નથી IN. એક વિરોધાભાસ - તેથી, મૂળ ધારણા ખોટી છે અને INસંબંધ નથી IN, Q.E.D.

તે જોવાનું સરળ છે કે પ્રમેય 2.6.(2).1. અને 2.6.(2).2. એકબીજાને બાકાત રાખો.

કમનસીબે, વિચારણામાંથી તમામ સુપરએક્સટેન્સિવ સેટને બાકાત રાખવાથી પણ કેન્ટરના સિદ્ધાંતને બચાવી શકાતો નથી. સારમાં, રસેલનો વિરોધાભાસ તર્કને અસર કરે છે, એટલે કે તર્કની પદ્ધતિઓ કે જેના દ્વારા એક સાચા વિધાનમાંથી બીજામાં ખસેડતી વખતે નવી વિભાવનાઓ રચાય છે.

પહેલેથી જ વિરોધાભાસ મેળવતી વખતે, બાકાત મધ્યમના તાર્કિક કાયદાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે શાસ્ત્રીય ગણિતમાં તર્કની અભિન્ન પદ્ધતિઓમાંની એક છે (એટલે ​​​​કે, જો વિધાન not-A સાચું હોય, તો A ખોટું છે). જો તમે વસ્તુઓના સાર વિશે વિચારો છો, તો તમે સામાન્ય રીતે સેટ થિયરી અને સામાન્ય રીતે ગણિતથી દૂર જઈ શકો છો.

shortcodes">

ઐતિહાસિક રીતે, પ્રથમ ઉદભવે છે કુદરતી સંખ્યાઓ$N$, આઇટમ પુનઃ ગણતરીના પરિણામે. આ સંખ્યાઓનો સમૂહ અનંત છે અને કુદરતી શ્રેણી $N=\(1, 2, 3, ..., n, ...\)$ બનાવે છે. આ સમૂહમાં સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ શક્ય છે. બાદબાકીની ક્રિયા કરવા માટે નવી સંખ્યાઓની આવશ્યકતા હતી, પરિણામે પૂર્ણાંકોનો સમૂહ: $Z$. $Z=N_+\cup N_- \cup \(0\)$. આમ, પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં, સરવાળા, ગુણાકાર અને બાદબાકીની ક્રિયાઓ હંમેશા કરવામાં આવે છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓ

ભાગાકાર કરવાની જરૂરિયાતને કારણે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ $Q$ થયો. $Q=\(\frac(m)(n), m\in Z, n\in N\)$.

વ્યાખ્યા.બે તર્કસંગત સંખ્યાઓ સમાન છે: $\frac(m_1)(n_1)=\frac(m_2)(n_2)$ - જો $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. આનો અર્થ એ છે કે દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને અફર અપૂર્ણાંક $\frac(m)(n)$ ના રૂપમાં અનન્ય રીતે રજૂ કરી શકાય છે. $GCD(m, n)=1$.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહના ગુણધર્મો

1. તર્કસંગત સંખ્યાઓ (ઉમેરો, ગુણાકાર, બાદબાકી, ભાગાકાર, શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર સિવાય) પર અંકગણિત કામગીરીના પરિણામે, એક તર્કસંગત સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે.

2. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ ક્રમાંકિત છે, એટલે કે, $a$ અને $b$ અથવા $a ની કોઈપણ જોડી માટે b$.

3. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ ગાઢ હોય છે, એટલે કે, $a$ અને $b$ની કોઈપણ જોડી માટે પરિમેય સંખ્યા $c$ હોય છે જેમ કે $a

કોઈપણ સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યા હંમેશા દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: કાં તો મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક. ઉદાહરણ તરીકે: $\frac(3)(5)=0.6$, $\frac(1)(3)=0.333...=0,(3)$.

$\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$.

$b_1b_2b_3...b_n...$ - દશાંશ અપૂર્ણાંકનો સમયગાળો કહેવાય છે, જ્યાં તમામ $b_i=0$ નથી.

નોંધ કરો કે મર્યાદિત અપૂર્ણાંકને સમયગાળામાં શૂન્ય સાથે અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે. $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$.

જો કે, દશાંશ અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓની બીજી રજૂઆત વધુ સામાન્ય છે: $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$.

ઋણાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓ $-\frac(m)(n)$ એ $\frac(m)(n)$ ફોર્મની તર્કસંગત સંખ્યાના દશાંશ વિસ્તરણ તરીકે લખવામાં આવે છે, જે વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે.

$0$ નંબરને $0,000...$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

આમ, કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા હંમેશા અનંત દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે જેમાં $0$ નો સમાવેશ થતો નથી, સિવાય કે $0$ પોતે. આ એકમાત્ર રજૂઆત છે.

અતાર્કિક સંખ્યાઓ

તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ ચાર અંકગણિત ક્રિયાઓ હેઠળ બંધ છે. જો કે, તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં હંમેશા $x^2-n=0$ ફોર્મના સરળ સમીકરણનો ઉકેલ હોતો નથી. તેથી, નવા નંબરો દાખલ કરવાની જરૂર છે.

ચાલો બતાવીએ કે પરિમેય સંખ્યાઓમાં એવી કોઈ સંખ્યા નથી કે જેનો વર્ગ ત્રણ બરાબર હોય. અમે વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવા હાથ ધરીશું.

ધારો કે એક તર્કસંગત સંખ્યા છે $\frac(m)(n)$ જેમ કે તેનો વર્ગ ત્રણ બરાબર છે: $\left(\frac(m)(n)\right)^2=3\;\;\ ;( 1)$.

$\frac(m^2)(n^2)=3$,

$m^2=3n^2.\;\;\;(2)$

સમાનતાની જમણી બાજુ (2) 3 વડે વિભાજ્ય છે. આનો અર્થ છે કે $m^2$ પણ 3 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી $m$ એ 3 વડે વિભાજ્ય છે, જેનો અર્થ છે કે $m=3k$. સમાનતા (2) માં અવેજી, અમને મળે છે:

$3k^2=n^2.\;\;\;(3)$

સમાનતાની ડાબી બાજુ $(3)$ $3$ વડે વિભાજ્ય છે, જેનો અર્થ છે કે જમણી બાજુ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી $n^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે, જેનો અર્થ $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે, તેથી $n=3p$. પરિણામે, અમે મેળવીએ છીએ: $\frac(m)(n)=\frac(3k)(3p)$, એટલે કે, અપૂર્ણાંક $\frac(m)(n)$ ઘટાડી શકાય તેવું બહાર આવ્યું છે, જે વિરોધાભાસી છે ધારણા. આનો અર્થ એ છે કે પરિમેય સંખ્યાઓમાં એવી કોઈ સંખ્યા નથી કે જેનો વર્ગ ત્રણ બરાબર હોય.

પરંતુ એક સંખ્યા જેનો વર્ગ ત્રણ છે તે અસ્તિત્વમાં છે. તેને અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અને અમને એક નવા પ્રકારનો નંબર મળ્યો. ચાલો તેમને અતાર્કિક કહીએ.

વ્યાખ્યા.અતાર્કિક સંખ્યા એ કોઈપણ અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક છે.

તમામ અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકોના સમૂહને અતાર્કિક સંખ્યાઓનો સમૂહ કહેવામાં આવે છે અને તેને $I$ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

તર્કસંગત સંખ્યાઓ $Q$ અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ $I$ ના સમૂહનું જોડાણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ આપે છે $R$: $Q\cup I=R$.

આમ, દરેક વાસ્તવિક સંખ્યાને અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: તર્કસંગત સંખ્યાના કિસ્સામાં સામયિક અને અતાર્કિક સંખ્યાના કિસ્સામાં બિન-સામયિક.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સરખામણી

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ સરખામણી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:

1) $a$ અને $b$ બંનેને સકારાત્મક રહેવા દો: $a>0$, $b>0$, પછી:

$a=b$, જો કોઈ $k$ $a_k=b_k$;

$a>b$ જો $\અસ્તિત્વમાં હોય s$ $\forall k b_s$.

2) ચાલો $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0

3) $a$ અને $b$ બંને ને નકારાત્મક થવા દો: $a<0$, $b<0$, тогда:

$a=b$, જો $-a=-b$ માટે;