આ લેખમાં હું તેના વિશે વાત કરીશ સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે અલ્ગોરિધમકાર્યો, લઘુત્તમ અને મહત્તમ પોઈન્ટ.
સિદ્ધાંતથી તે ચોક્કસપણે આપણા માટે ઉપયોગી થશે વ્યુત્પન્ન કોષ્ટકઅને તફાવત નિયમો. તે બધું આ પ્લેટ પર છે:
સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ.
મારા માટે સમજાવવું વધુ અનુકૂળ છે ચોક્કસ ઉદાહરણ. ધ્યાનમાં લો:
ઉદાહરણ:શોધો ઉચ્ચતમ મૂલ્યફંક્શન્સ y=x^5+20x^3–65x અંતરાલ [–4;0] પર.
પગલું 1.અમે વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
પગલું 2.એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ શોધવી.
આત્યંતિક બિંદુઅમે તે બિંદુઓને કહીએ છીએ કે જેના પર ફંક્શન તેના સૌથી મોટા અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ શોધવા માટે, તમારે ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને શૂન્ય (y" = 0) સાથે સરખાવવું પડશે.
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
હવે આનો ઉકેલ લાવીએ દ્વિપક્ષીય સમીકરણઅને જે મૂળ મળે છે તે આપણા આત્યંતિક બિંદુઓ છે.
હું આવા સમીકરણોને t = x^2, પછી 5t^2 + 60t - 65 = 0 બદલીને હલ કરું છું.
ચાલો સમીકરણ 5 થી ઘટાડીએ, આપણને મળે છે: t^2 + 12t - 13 = 0
ડી = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
અમે વિપરીત ફેરફાર x^2 = t કરીએ છીએ:
X_(1 અને 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 અને 4) = ±sqrt(-13) (અમે બાકાત રાખીએ છીએ, ત્યાં હોઈ શકતું નથી નકારાત્મક સંખ્યાઓ, સિવાય કે અલબત્ત આપણે જટિલ સંખ્યાઓ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ)
કુલ: x_(1) = 1 અને x_(2) = -1 - આ અમારા અંતિમ બિંદુઓ છે.
પગલું 3.સૌથી મહાન અને સૌથી વધુ નક્કી કરો ઓછી કિંમત.
અવેજી પદ્ધતિ.
સ્થિતિમાં, અમને સેગમેન્ટ [b][–4;0] આપવામાં આવ્યો હતો. બિંદુ x=1 આ સેગમેન્ટમાં સમાવેલ નથી. તેથી અમે તેને ધ્યાનમાં લેતા નથી. પરંતુ બિંદુ x=-1 ઉપરાંત, આપણે આપણા સેગમેન્ટની ડાબી અને જમણી સીમાઓને પણ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે, એટલે કે પોઈન્ટ -4 અને 0. આ કરવા માટે, આપણે આ ત્રણેય બિંદુઓને મૂળ કાર્યમાં બદલીએ છીએ. નોંધ કરો કે મૂળ શરતમાં આપેલ છે (y=x^5+20x^3–65x), કેટલાક લોકો તેને વ્યુત્પન્નમાં બદલવાનું શરૂ કરે છે...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય [b]44 છે અને તે બિંદુ [b]-1 પર પ્રાપ્ત થાય છે, જેને સેગમેન્ટ [-4] પર ફંક્શનનો મહત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે; 0].
અમે નિર્ણય લીધો અને જવાબ મળ્યો, અમે મહાન છીએ, તમે આરામ કરી શકો છો. પણ રોકો! શું તમને નથી લાગતું કે y(-4) ની ગણતરી કરવી કોઈક રીતે ખૂબ મુશ્કેલ છે? મર્યાદિત સમયની પરિસ્થિતિઓમાં, બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે, હું તેને આ કહું છું:
ચિહ્ન સ્થિરતાના અંતરાલો દ્વારા.
આ અંતરાલો ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટે જોવા મળે છે, એટલે કે, આપણા દ્વિપક્ષીય સમીકરણ માટે.
હું આ રીતે કરું છું. હું નિર્દેશિત સેગમેન્ટ દોરું છું. હું પોઈન્ટ્સ મૂકું છું: -4, -1, 0, 1. આપેલ સેગમેન્ટમાં 1 નો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો નથી તે છતાં, ચિહ્નની સ્થિરતાના અંતરાલોને યોગ્ય રીતે નક્કી કરવા માટે તે હજુ પણ નોંધવું જોઈએ. ચાલો 1 કરતા ઘણી ગણી મોટી સંખ્યા લઈએ, 100 કહો, અને માનસિક રીતે તેને આપણા દ્વિવિધ સમીકરણ 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 માં બદલીએ. કંઈપણ ગણ્યા વિના પણ, તે સ્પષ્ટ બને છે કે બિંદુ 100 પર ફંક્શનમાં વત્તા ચિહ્ન છે. આનો અર્થ એ છે કે 1 થી 100 સુધીના અંતરાલ માટે તેમાં વત્તાનું ચિહ્ન છે. જ્યારે 1માંથી પસાર થઈએ (આપણે જમણેથી ડાબે જઈએ છીએ), ત્યારે ફંક્શન ચિહ્નને માઈનસમાં બદલશે. બિંદુ 0માંથી પસાર થવા પર, ફંક્શન તેની નિશાની જાળવી રાખશે, કારણ કે આ માત્ર સેગમેન્ટની સીમા છે, અને સમીકરણનું મૂળ નથી. -1માંથી પસાર થવા પર, ફંક્શન ફરીથી ચિહ્નને પ્લસમાં બદલશે.
સિદ્ધાંતથી આપણે જાણીએ છીએ કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન ક્યાં છે (અને અમે તેના માટે આ ચોક્કસપણે દોર્યું છે) વત્તાથી માઈનસમાં ચિહ્ન બદલો (અમારા કિસ્સામાં બિંદુ -1)કાર્ય પહોંચે છે તેની સ્થાનિક મહત્તમ (y(-1)=44, અગાઉની ગણતરી મુજબ)પર આ સેગમેન્ટ(આ તાર્કિક રીતે ખૂબ જ સમજી શકાય તેવું છે, કાર્ય વધતું બંધ થઈ ગયું કારણ કે તે તેની મહત્તમ પહોંચ્યું અને ઘટવાનું શરૂ કર્યું).
તદનુસાર, જ્યાં કાર્યનું વ્યુત્પન્ન માઈનસથી પ્લસમાં ચિહ્ન બદલો, પ્રાપ્ત થાય છે કાર્યનું સ્થાનિક લઘુત્તમ. હા, હા, અમને પણ મુદ્દો મળ્યો સ્થાનિક લઘુત્તમ 1 છે અને y(1) છે ન્યૂનતમ મૂલ્યસેગમેન્ટ પરનાં કાર્યો, ચાલો કહીએ -1 થી +∞. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આ માત્ર એક સ્થાનિક લઘુત્તમ છે, એટલે કે, ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર ન્યૂનતમ. કારણ કે વાસ્તવિક (વૈશ્વિક) ન્યૂનતમ ફંક્શન ત્યાં ક્યાંક પહોંચશે, -∞ પર.
મારા મતે, પ્રથમ પદ્ધતિ સૈદ્ધાંતિક રીતે સરળ છે, અને બીજી દૃષ્ટિકોણથી સરળ છે અંકગણિત કામગીરી, પરંતુ સૈદ્ધાંતિક દૃષ્ટિકોણથી વધુ જટિલ. છેવટે, કેટલીકવાર એવા કિસ્સાઓ હોય છે કે જ્યારે સમીકરણના મૂળમાંથી પસાર થતી વખતે ફંક્શન સાઇન બદલતું નથી, અને સામાન્ય રીતે તમે આ સ્થાનિક, વૈશ્વિક મેક્સિમા અને મિનિમા સાથે મૂંઝવણમાં પડી શકો છો, જો કે તમારે આમાં સારી રીતે નિપુણતા મેળવવી પડશે જો તમે દાખલ કરવાની યોજના તકનીકી યુનિવર્સિટી(બીજું તમે શા માટે લેશો? પ્રોફાઇલ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાઅને આ સમસ્યા હલ કરો). પરંતુ પ્રેક્ટિસ અને માત્ર પ્રેક્ટિસ તમને આવી સમસ્યાઓ એકવાર અને બધા માટે હલ કરવાનું શીખવશે. અને તમે અમારી વેબસાઇટ પર તાલીમ આપી શકો છો. અહીં .
જો તમારી પાસે કોઈ પ્રશ્નો હોય અથવા કંઈક અસ્પષ્ટ હોય, તો પૂછવાની ખાતરી કરો. હું તમને જવાબ આપવા અને લેખમાં ફેરફારો અને ઉમેરાઓ કરવા માટે ખુશ થઈશ. યાદ રાખો કે અમે આ સાઇટ એકસાથે બનાવી રહ્યા છીએ!
કાર્ય કરવા દો y =f(X)અંતરાલ પર સતત છે [ a, b]. જેમ જાણીતું છે, આવા કાર્ય આ સેગમેન્ટમાં તેના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે. ફંક્શન આ મૂલ્યો લઈ શકે છે આંતરિક બિંદુસેગમેન્ટ [ a, b], અથવા સેગમેન્ટની સીમા પર.
સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધવા માટે [ a, b] જરૂરી:
1) શોધો નિર્ણાયક મુદ્દાઓઅંતરાલમાં કાર્યો ( a, b);
2) મળેલા નિર્ણાયક બિંદુઓ પર કાર્યના મૂલ્યોની ગણતરી કરો;
3) સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરો, એટલે કે જ્યારે x=એઅને x = b;
4) ફંક્શનના તમામ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોમાંથી, સૌથી મોટું અને નાનું પસંદ કરો.
ઉદાહરણ.ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો
સેગમેન્ટ પર.
નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધવી:
આ બિંદુઓ સેગમેન્ટની અંદર આવેલા છે; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
બિંદુ પર x= 3 અને બિંદુ પર x= 0.
બહિર્મુખતા અને વળાંક બિંદુ માટે કાર્યનો અભ્યાસ.
કાર્ય y = f (x) કહેવાય છે બહિર્મુખવચ્ચે (a, b) , જો તેનો ગ્રાફ આ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકની નીચે રહેલો હોય, અને તેને કહેવામાં આવે છે બહિર્મુખ નીચે (અંતર્મુખ), જો તેનો ગ્રાફ સ્પર્શકની ઉપર આવેલો છે.
બિંદુ કે જેના દ્વારા બહિર્મુખતાને અવતરણ દ્વારા બદલવામાં આવે છે અથવા તેનાથી વિપરીત કહેવામાં આવે છે વળાંક બિંદુ.
બહિર્મુખતા અને વળાંક બિંદુની તપાસ માટે અલ્ગોરિધમ:
1. બીજા પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો, એટલે કે એવા બિંદુઓ કે જેના પર બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.
2. સંખ્યા રેખા પર નિર્ણાયક બિંદુઓનું પ્લોટ કરો, તેને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરો. દરેક અંતરાલ પર બીજા વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન શોધો; જો , તો ફંક્શન બહિર્મુખ ઉપરની તરફ છે, જો, તો ફંક્શન બહિર્મુખ નીચે તરફ છે.
3. જો, જ્યારે બીજા પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે ચિહ્ન બદલાય છે અને આ બિંદુએ બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, તો આ બિંદુ એ ઇન્ફ્લેક્શન બિંદુનો એબ્સીસા છે. તેનું ઓર્ડિનેટ શોધો.
ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ. એસિમ્પ્ટોટ્સ માટે કાર્યનો અભ્યાસ.
વ્યાખ્યા.ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટને કહેવામાં આવે છે સીધા, જેમાં ગુણધર્મ છે કે આલેખ પરના કોઈપણ બિંદુથી આ રેખા સુધીનું અંતર શૂન્ય થઈ જાય છે કારણ કે ગ્રાફ પરનો બિંદુ મૂળથી અનિશ્ચિત સમય સુધી ખસે છે.
ત્રણ પ્રકારના એસિમ્પ્ટોટ્સ છે: વર્ટિકલ, હોરીઝોન્ટલ અને વળેલું.
વ્યાખ્યા.સીધી રેખા કહેવાય છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફિક્સ y = f(x), જો આ બિંદુએ ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક અનંત સમાન હોય, તો તે છે
ફંક્શનનું વિરામ બિંદુ ક્યાં છે, એટલે કે, તે વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત નથી.
ઉદાહરણ.
ડી ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 - વિરામ બિંદુ.
વ્યાખ્યા.સીધું y =એકહેવાય છે આડી એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફિક્સ y = f(x)ખાતે, જો
ઉદાહરણ.
|
x | |||
|
y |
વ્યાખ્યા.સીધું y =kx +b (k≠ 0) કહેવાય છે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફિક્સ y = f(x)ક્યાં
કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા અને ગ્રાફ બનાવવા માટેની સામાન્ય યોજના.
કાર્ય સંશોધન અલ્ગોરિધમy = f(x) :
1. ફંક્શનનું ડોમેન શોધો ડી (y).
2. સંકલન અક્ષો સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ (જો શક્ય હોય તો) શોધો (જો x= 0 અને ખાતે y = 0).
3. કાર્યની સમાનતા અને વિચિત્રતાની તપાસ કરો ( y (‒ x) = y (x) ‒ સમાનતા y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ એકી).
4. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો.
5. ફંક્શનની એકવિધતાના અંતરાલો શોધો.
6. ફંક્શનની સીમા શોધો.
7. ફંક્શન ગ્રાફના બહિર્મુખતા (અંતર્તત્વ) અને ઇન્ફ્લેક્શન બિંદુઓના અંતરાલ શોધો.
8. હાથ ધરાયેલા સંશોધનના આધારે, કાર્યનો ગ્રાફ બનાવો.
ઉદાહરણ.કાર્યનું અન્વેષણ કરો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો.
1) ડી (y) =
x= 4 - વિરામ બિંદુ.
2) ક્યારે x = 0,
(0; ‒ 5) – સાથે છેદન બિંદુ ઓહ.
મુ y = 0,
3)
y(‒
x)=
કાર્ય સામાન્ય દૃશ્ય(એક પણ કે વિષમ પણ નહીં).
4) અમે એસિમ્પ્ટોટ્સ માટે તપાસ કરીએ છીએ.
a) ઊભી
b) આડી
c) ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો જ્યાં
- ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ સમીકરણ
5) બી આપેલ સમીકરણકાર્યની એકવિધતાના અંતરાલો શોધવાની જરૂર નથી.
6)
આ નિર્ણાયક બિંદુઓ કાર્યની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનને અંતરાલ (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) અને (10; +∞) માં વિભાજિત કરે છે. નીચેના કોષ્ટકના રૂપમાં પ્રાપ્ત પરિણામો રજૂ કરવા માટે તે અનુકૂળ છે.
સમસ્યા નિવેદન 2:
એક કાર્ય આપેલ છે જે ચોક્કસ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે. તમારે આ અંતરાલ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે.
સૈદ્ધાંતિક આધાર.
પ્રમેય (બીજો વેયરસ્ટ્રાસ પ્રમેય):
જો કોઈ ફંક્શન બંધ અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત અને સતત હોય, તો તે આ અંતરાલમાં તેના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે.
કાર્ય અંતરાલના આંતરિક બિંદુઓ અથવા તેની સીમાઓ પર તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો સુધી પહોંચી શકે છે. ચાલો બધા સંભવિત વિકલ્પો સમજાવીએ. 
સમજૂતી:
1) ફંક્શન બિંદુ પર અંતરાલની ડાબી સીમા પર તેના સૌથી મોટા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે, અને બિંદુ પર અંતરાલની જમણી સીમા પર તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય.
2) કાર્ય બિંદુ પર તેના સૌથી મોટા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે (આ મહત્તમ બિંદુ છે), અને બિંદુ પર અંતરાલની જમણી સીમા પર તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય.
3) ફંક્શન બિંદુ પર અંતરાલની ડાબી સીમા પર તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને બિંદુ પર તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય (આ લઘુત્તમ બિંદુ છે).
4) કાર્ય અંતરાલ પર સ્થિર છે, એટલે કે. તે અંતરાલમાં કોઈપણ સમયે તેના લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે, અને લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો એકબીજાની સમાન હોય છે.
5) ફંક્શન પોઈન્ટ પર તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને પોઈન્ટ પર તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય (આ અંતરાલ પર ફંક્શનમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બંને હોય છે તે હકીકત હોવા છતાં).
6) ફંક્શન એક બિંદુ પર તેના સૌથી મોટા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે (આ મહત્તમ બિંદુ છે), અને બિંદુ પર તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય (આ લઘુત્તમ બિંદુ છે).
ટિપ્પણી:
"મહત્તમ" અને " મહત્તમ મૂલ્ય"- જુદી જુદી વસ્તુઓ. આ મહત્તમની વ્યાખ્યા અને "મહત્તમ મૂલ્ય" શબ્દસમૂહની સાહજિક સમજને અનુસરે છે.
સમસ્યા હલ કરવા માટે અલ્ગોરિધમ 2.
4) પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાંથી સૌથી મોટું (નાનું) પસંદ કરો અને જવાબ લખો.
ઉદાહરણ 4:
ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરો 
સેગમેન્ટ પર.
ઉકેલ:
1) ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો. 
2) સમીકરણને હલ કરીને સ્થિર બિંદુઓ (અને અતિશય શંકાસ્પદ બિંદુઓ) શોધો. એવા બિંદુઓ પર ધ્યાન આપો કે જેના પર કોઈ બે બાજુવાળા મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન નથી. 
3) માં કાર્ય મૂલ્યોની ગણતરી કરો સ્થિર બિંદુઓઅને અંતરાલની સીમાઓ પર.
4) પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાંથી સૌથી મોટું (નાનું) પસંદ કરો અને જવાબ લખો.
આ સેગમેન્ટ પરનું કાર્ય કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુ પર તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
આ સેગમેન્ટ પરનું કાર્ય કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુ પર તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
તમે અભ્યાસ હેઠળના કાર્યના ગ્રાફને જોઈને ગણતરીઓની સાચીતા ચકાસી શકો છો. 
ટિપ્પણી:ફંક્શન મહત્તમ બિંદુએ તેના સૌથી મોટા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે, અને સેગમેન્ટની સીમા પર તે ન્યૂનતમ.
એક ખાસ કેસ.
ધારો કે તમારે સેગમેન્ટ પર અમુક ફંક્શનના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે. અલ્ગોરિધમનો પ્રથમ બિંદુ પૂર્ણ કર્યા પછી, એટલે કે. વ્યુત્પન્ન ગણતરી, તે સ્પષ્ટ બને છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, તે માત્ર લે છે નકારાત્મક મૂલ્યોસમગ્ર ગણવામાં આવેલ સેગમેન્ટ પર. યાદ રાખો કે જો વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હોય, તો કાર્ય ઘટે છે. અમને જાણવા મળ્યું છે કે કાર્ય સમગ્ર સેગમેન્ટમાં ઘટે છે. આ પરિસ્થિતિ લેખની શરૂઆતમાં ગ્રાફ નંબર 1 માં બતાવવામાં આવી છે.
કાર્ય સેગમેન્ટ પર ઘટે છે, એટલે કે. તેમાં કોઈ એક્સ્ટ્રીમા પોઈન્ટ નથી. ચિત્રમાંથી તમે જોઈ શકો છો કે ફંક્શન સેગમેન્ટની જમણી સીમા પર સૌથી નાનું મૂલ્ય અને ડાબી બાજુનું સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે. જો સેગમેન્ટ પર વ્યુત્પન્ન દરેક જગ્યાએ હકારાત્મક હોય, તો કાર્ય વધે છે. સૌથી નાનું મૂલ્ય સેગમેન્ટની ડાબી સરહદ પર છે, સૌથી મોટું જમણી બાજુએ છે.
સેગમેન્ટ પર
. આગળ, આપણે આ x મૂલ્યને ફંક્શન સમીકરણમાં બદલીએ છીએ 
