ફંક્શન y sin x નો ગ્રાફ કહેવાય છે. પાઠ "કાર્ય y=sinx, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ"

કાર્યy = પાપx

ફંક્શનનો આલેખ એક સાઇનસૉઇડ છે.

સાઈન વેવના સંપૂર્ણ બિન-પુનરાવર્તિત ભાગને સાઈન વેવ કહેવામાં આવે છે.

અડધા સાઈન વેવને હાફ સાઈન વેવ (અથવા આર્ક) કહેવાય છે.

કાર્ય ગુણધર્મોy = પાપx:

કાર્યનો આલેખ કરવા માટે y= પાપ xનીચેના ભીંગડાઓનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે:

ચોરસ સાથે કાગળની શીટ પર, આપણે સેગમેન્ટના એકમ તરીકે બે ચોરસની લંબાઈ લઈએ છીએ.

ધરી પર xચાલો લંબાઈ π માપીએ. તે જ સમયે, સગવડ માટે, અમે 3 ના સ્વરૂપમાં 3.14 રજૂ કરીએ છીએ - એટલે કે, અપૂર્ણાંક વિના. પછી કોષમાં કાગળની શીટ પર π 6 કોષો (ત્રણ ગુણ્યા 2 કોષો) હશે. અને દરેક કોષને તેનું પોતાનું કુદરતી નામ પ્રાપ્ત થશે (પ્રથમથી છઠ્ઠા સુધી): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. આ અર્થો છે x.

y-અક્ષ પર આપણે 1 ને ચિહ્નિત કરીએ છીએ, જેમાં બે કોષોનો સમાવેશ થાય છે.

ચાલો આપણા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શન વેલ્યુનું ટેબલ બનાવીએ x:

આગળ, ચાલો શેડ્યૂલ બનાવીએ. તે અડધા તરંગ બનશે, સર્વોચ્ચ બિંદુજે (π/2; 1). આ ફંક્શનનો ગ્રાફ છે y= પાપ xસેગમેન્ટ પર. ચાલો બાંધેલા ગ્રાફમાં સપ્રમાણ અર્ધ-તરંગ ઉમેરીએ (મૂળની તુલનામાં સપ્રમાણતા, એટલે કે સેગમેન્ટ -π પર). આ અર્ધ-તરંગની ટોચ કોઓર્ડિનેટ્સ (-1; -1) સાથે x-અક્ષ હેઠળ છે. પરિણામ તરંગ હશે. આ ફંક્શનનો ગ્રાફ છે y= પાપ xસેગમેન્ટ પર [-π; π].

તમે તરંગને સેગમેન્ટ પર બાંધીને ચાલુ રાખી શકો છો [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], વગેરે. આ બધા સેગમેન્ટ પર, ફંક્શનનો ગ્રાફ સેગમેન્ટ [-π; પર જેવો જ દેખાશે. π]. તમને સમાન તરંગો સાથે સતત વેવી લાઇન મળશે.

કાર્યy = cosx.

ફંક્શનનો ગ્રાફ એ સાઈન વેવ છે (કેટલીકવાર કોસાઈન વેવ કહેવાય છે).

કાર્ય ગુણધર્મોy = cosx:

કાર્યy = mf(x).

ચાલો પહેલાનું ફંક્શન લઈએ y=cos x. જેમ તમે પહેલાથી જ જાણો છો, તેનો ગ્રાફ એ સાઈન વેવ છે. જો આપણે આ ફંક્શનના કોસાઈનને વડે ગુણાકાર કરીએ ચોક્કસ સંખ્યા m, પછી તરંગ ધરીથી ખેંચાઈ જશે x(અથવા m ના મૂલ્યના આધારે સંકોચાઈ જશે).
આ નવી તરંગ ફંક્શન y = mf(x) નો ગ્રાફ હશે, જ્યાં m એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

આમ, ફંક્શન y = mf(x) એ પરિચિત ફંક્શન y = f(x) m વડે ગુણાકાર છે.

જોm< 1, то синусоида сжимается к оси xગુણાંક દ્વારાm જોm > 1, પછી સાઇનસૉઇડ ધરીથી ખેંચાય છેxગુણાંક દ્વારાm

સ્ટ્રેચિંગ અથવા કમ્પ્રેશન કરતી વખતે, તમે સૌપ્રથમ સાઈન વેવની માત્ર એક અર્ધ-તરંગને પ્લોટ કરી શકો છો, અને પછી સમગ્ર ગ્રાફને પૂર્ણ કરી શકો છો.

કાર્યy = f(kx).

જો કાર્ય y =mf(x) ધરીથી સાઇનસૉઇડના ખેંચાણ તરફ દોરી જાય છે xઅથવા અક્ષ તરફ સંકોચન x, પછી ફંક્શન y = f(kx) ધરીથી ખેંચાઈ તરફ દોરી જાય છે yઅથવા અક્ષ તરફ સંકોચન y.

વધુમાં, k કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

0 પર< k< 1 синусоида растягивается от оси yગુણાંક દ્વારાk જોk > 1, પછી સાઇનસૉઇડ અક્ષ તરફ સંકુચિત થાય છેyગુણાંક દ્વારાk

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરતી વખતે, તમે પહેલા સાઈન વેવની એક અડધી-તરંગ બનાવી શકો છો, અને પછી સમગ્ર ગ્રાફને પૂર્ણ કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

કાર્યy = tgx.

કાર્ય ગ્રાફ y= tg xસ્પર્શક છે.

0 થી π/2 ના અંતરાલમાં ગ્રાફનો ભાગ બનાવવા માટે તે પૂરતું છે, અને પછી તમે તેને 0 થી 3π/2 ના અંતરાલમાં સમપ્રમાણરીતે ચાલુ રાખી શકો છો.

કાર્ય ગુણધર્મોy = tgx:

કાર્યy = સીટીજીx

કાર્ય ગ્રાફ y=સીટીજી xટેન્જેન્ટોઇડ પણ છે (તેને કેટલીકવાર કોટેન્જેન્ટોઇડ કહેવામાં આવે છે).

કાર્ય ગુણધર્મોy = સીટીજીx:

આ પાઠમાં આપણે ફંક્શન y = sin x, તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને ગ્રાફ પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું. પાઠની શરૂઆતમાં આપણે વ્યાખ્યા આપીશું ત્રિકોણમિતિ કાર્ય y = sin t on સંકલન વર્તુળઅને વર્તુળ અને રેખા પરના કાર્યના ગ્રાફને ધ્યાનમાં લો. ચાલો ગ્રાફ પર આ ફંક્શનની સામયિકતા બતાવીએ અને ફંક્શનના મુખ્ય ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ. પાઠના અંતે, આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ અને તેના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ઘણી સરળ સમસ્યાઓ હલ કરીશું.

વિષય: ત્રિકોણમિતિ કાર્યો

પાઠ: કાર્ય y=sinx, તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને આલેખ

ફંક્શનને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, દરેક દલીલ મૂલ્યને એક ફંક્શન મૂલ્ય સાથે સાંકળવું મહત્વપૂર્ણ છે. આ પત્રવ્યવહારનો કાયદોઅને કાર્ય કહેવાય છે.

ચાલો આપણે માટે પત્રવ્યવહાર કાયદો વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા એક બિંદુને અનુલક્ષે છે એકમ વર્તુળબિંદુમાં એક જ ઓર્ડિનેટ હોય છે, જેને સંખ્યાની સાઈન કહેવાય છે (ફિગ. 1).

દરેક દલીલ મૂલ્ય એક કાર્ય મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલું છે.

સ્પષ્ટ ગુણધર્મો સાઈનની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે.

આકૃતિ બતાવે છે કે કારણ કે એકમ વર્તુળ પરના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ છે.

કાર્યના ગ્રાફને ધ્યાનમાં લો. ચાલો યાદ કરીએ ભૌમિતિક અર્થઘટનદલીલ દલીલ છે કેન્દ્રિય કોણ, રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે. ધરી સાથે અમે કાવતરું કરીશું વાસ્તવિક સંખ્યાઓઅથવા ત્રિજ્યામાં કોણ, અક્ષ સાથે અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યો.

ઉદાહરણ તરીકે, એકમ વર્તુળ પરનો કોણ ગ્રાફ પરના બિંદુને અનુરૂપ છે (ફિગ. 2)

અમે એરિયામાં ફંક્શનનો આલેખ મેળવ્યો છે પરંતુ સાઈનનો સમયગાળો જાણીને, અમે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન (ફિગ. 3) પર ફંક્શનનો ગ્રાફ દર્શાવી શકીએ છીએ.

કાર્યનો મુખ્ય સમયગાળો છે આનો અર્થ એ છે કે આલેખ સેગમેન્ટ પર મેળવી શકાય છે અને પછી વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં ચાલુ રાખી શકાય છે.

કાર્યના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લો:

1) વ્યાખ્યાનો અવકાશ:

2) મૂલ્યોની શ્રેણી:

3) વિચિત્ર કાર્ય:

4) સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો:

5) એબ્સીસા અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ:

6) ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ:

7) અંતરાલો કે જેના પર કાર્ય હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે:

8) અંતરાલો કે જેના પર કાર્ય નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે:

9) અંતરાલોમાં વધારો:

10) અંતરાલો ઘટાડવો:

11) ન્યૂનતમ પોઈન્ટ:

12) ન્યૂનતમ કાર્યો:

13) મહત્તમ પોઈન્ટ:

14) મહત્તમ કાર્યો:

અમે ફંક્શનના ગુણધર્મો અને તેના ગ્રાફને જોયા. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે ગુણધર્મોનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવશે.

સંદર્ભો

1. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). માટે ટ્યુટોરીયલ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ (પ્રોફાઇલ સ્તર) ઇડી. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2009.

2. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ 10મા ધોરણ માટે ( તાલીમ માર્ગદર્શિકાગણિતના ગહન અભ્યાસ સાથે શાળાઓ અને વર્ગોના વિદ્યાર્થીઓ માટે).-એમ.: પ્રોસ્વેશેની, 1996.

4. ગેલિટ્સ્કી એમ.એલ., મોશકોવિચ એમ.એમ., શ્વાર્ટ્સબર્ડ એસ.આઈ. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણનો ઊંડાણપૂર્વકનો અભ્યાસ.-એમ.: શિક્ષણ, 1997.

5. ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે અરજદારો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ (એમ.આઈ. સ્કાનવી દ્વારા સંપાદિત).: ઉચ્ચ શાળા, 1992.

6. મર્ઝલ્યાક એ.જી., પોલોન્સકી વી.બી., યાકીર એમ.એસ. બીજગણિત સિમ્યુલેટર.-કે.: A.S.K., 1997.

7. સહકયાન એસ.એમ., ગોલ્ડમેન એ.એમ., ડેનિસોવ ડી.વી. બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પરની સમસ્યાઓ (સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના ધોરણ 10-11ના વિદ્યાર્થીઓ માટે એક માર્ગદર્શિકા).

8. કાર્પ એ.પી. બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પર સમસ્યાઓનો સંગ્રહ: પાઠયપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે ભથ્થું. ઊંડાઈ સાથે અભ્યાસ કર્યો ગણિત.-એમ.: શિક્ષણ, 2006.

હોમવર્ક

બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી.

એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

વધારાના વેબ સંસાધનો

3. શૈક્ષણિક પોર્ટલપરીક્ષાઓની તૈયારી કરવા માટે ().

અમને જાણવા મળ્યું કે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનું વર્તન, અને કાર્યો y = પાપ x ખાસ કરીને સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર (અથવા દલીલના તમામ મૂલ્યો માટે એક્સ) અંતરાલમાં તેના વર્તન દ્વારા સંપૂર્ણપણે નક્કી થાય છે 0 < એક્સ < π / 2 .

તેથી, સૌ પ્રથમ, આપણે ફંક્શનને પ્લોટ કરીશું y = પાપ x બરાબર આ અંતરાલમાં.

ચાલો આપણા કાર્યના મૂલ્યોનું નીચેનું કોષ્ટક બનાવીએ;

સંકલન પ્લેન પર અનુરૂપ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીને અને તેમને સરળ રેખા સાથે જોડીને, અમે આકૃતિમાં બતાવેલ વળાંક મેળવીએ છીએ.

પરિણામી વળાંક ફંક્શન મૂલ્યોના કોષ્ટકને સંકલિત કર્યા વિના, ભૌમિતિક રીતે પણ બાંધી શકાય છે. y = પાપ x .

1. ત્રિજ્યા 1 ના વર્તુળના પ્રથમ ક્વાર્ટરને 8 સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો વર્તુળના વિભાજન બિંદુઓના ઓર્ડિનેટ્સ અનુરૂપ ખૂણાઓની સાઈન છે.

2.વર્તુળનો પ્રથમ ક્વાર્ટર 0 થી ખૂણાઓને અનુરૂપ છે π / 2 . તેથી, ધરી પર એક્સચાલો એક સેગમેન્ટ લઈએ અને તેને 8 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ.

3. ચાલો અક્ષોની સમાંતર સીધી રેખાઓ દોરીએ એક્સ, અને વિભાજન બિંદુઓથી આપણે કાટખૂણે બાંધીએ છીએ જ્યાં સુધી તેઓ આડી રેખાઓ સાથે છેદે નહીં.

4. એક સરળ રેખા સાથે આંતરછેદ બિંદુઓને જોડો.

હવે ઈન્ટરવલ જોઈએ π / 2 < એક્સ < π .
દરેક દલીલ મૂલ્ય એક્સઆ અંતરાલમાંથી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

x = π / 2 + φ

જ્યાં 0 < φ < π / 2 . ઘટાડો સૂત્રો અનુસાર

પાપ ( π / 2 + φ ) = cos φ = પાપ( π / 2 - φ ).

ધરી બિંદુઓ એક્સ abscissas સાથે π / 2 + φ અને π / 2 - φ અક્ષ બિંદુ વિશે એકબીજા સાથે સપ્રમાણ એક્સ abscissa સાથે π / 2 , અને આ બિંદુઓ પરના સાઈન સમાન છે. આ અમને ફંક્શનનો ગ્રાફ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે y = પાપ x અંતરાલમાં [ π / 2 , π ] સીધી રેખાની સાપેક્ષ અંતરાલમાં આ ફંક્શનના ગ્રાફને સમપ્રમાણરીતે દર્શાવીને એક્સ = π / 2 .

હવે મિલકતનો ઉપયોગ વિચિત્ર સમાનતા કાર્ય y = પાપ x,

પાપ(- એક્સ) = - પાપ એક્સ,

આ ફંક્શનને અંતરાલમાં બનાવવું સરળ છે [- π , 0].

કાર્ય y = sin x 2π ના સમયગાળા સાથે સામયિક છે ;. તેથી, આ ફંક્શનનો આખો ગ્રાફ બનાવવા માટે, આકૃતિમાં બતાવેલ વળાંકને સમયાંતરે ડાબી અને જમણી બાજુએ પીરિયડ સાથે ચાલુ રાખવા માટે તે પૂરતું છે. 2π .

પરિણામી વળાંક કહેવામાં આવે છે સાઇનસૉઇડ . તે ફંક્શનનો ગ્રાફ રજૂ કરે છે y = પાપ x.

આકૃતિ ફંક્શનના તમામ ગુણધર્મોને સારી રીતે સમજાવે છે y = પાપ x , જે આપણે અગાઉ સાબિત કર્યું છે. ચાલો આ ગુણધર્મોને યાદ કરીએ.

1) કાર્ય y = પાપ x બધા મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત એક્સ , તેથી તેનું ડોમેન એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

2) કાર્ય y = પાપ x મર્યાદિત તે સ્વીકારે છે તે તમામ મૂલ્યો -1 અને 1 ની વચ્ચે છે, જેમાં આ બે સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. પરિણામે, આ કાર્યની વિવિધતાની શ્રેણી અસમાનતા -1 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે < ખાતે < 1. ક્યારે એક્સ = π / 2 + 2k π કાર્ય લે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્યો, 1 ની બરાબર અને x = - માટે π / 2 + 2k π - સૌથી નાના મૂલ્યો, બરાબર - 1.

3) કાર્ય y = પાપ x વિચિત્ર છે (સાઇનસૉઇડ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે).

4) કાર્ય y = પાપ x સમયગાળા 2 સાથે સામયિક π .

5) 2n અંતરાલો માં π < x < π + 2n π (n કોઈપણ પૂર્ણાંક છે) તે હકારાત્મક છે, અને અંતરાલોમાં π + 2k π < એક્સ < 2π + 2k π (k કોઈપણ પૂર્ણાંક છે) તે નકારાત્મક છે. x = k પર π કાર્ય શૂન્ય પર જાય છે. તેથી, દલીલ x (0; ±.) ના આ મૂલ્યો π ; ±2 π ; ...) ફંક્શન શૂન્ય કહેવાય છે y = પાપ x

6) અંતરાલો પર - π / 2 + 2n π < એક્સ < π / 2 + 2n π કાર્ય y = પાપ x એકવિધ રીતે અને અંતરાલોમાં વધે છે π / 2 + 2k π < એક્સ < 3π / 2 + 2k π તે એકવિધ રીતે ઘટે છે.

તમારે કાર્યના વર્તન પર વિશેષ ધ્યાન આપવું જોઈએ y = પાપ x બિંદુની નજીક એક્સ = 0 .

ઉદાહરણ તરીકે, પાપ 0.012 ≈ 0.012; પાપ(-0.05) ≈ -0,05;

પાપ 2° = પાપ π 2 / 180 = પાપ π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

તે જ સમયે, એ નોંધવું જોઈએ કે x ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે

| પાપ x| < | x | . (1)

ખરેખર, આકૃતિમાં બતાવેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા 1 ની બરાબર થવા દો,
a / AOB = એક્સ.

પછી પાપ x= એસી. પરંતુ એ.સી< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол એક્સ. આ ચાપની લંબાઈ દેખીતી રીતે સમાન છે એક્સ, કારણ કે વર્તુળની ત્રિજ્યા 1 છે. તેથી, 0 પર< એક્સ < π / 2

પાપ x< х.

આથી, કાર્યની વિચિત્રતાને કારણે y = પાપ x તે બતાવવાનું સરળ છે કે જ્યારે - π / 2 < એક્સ < 0

| પાપ x| < | x | .

છેલ્લે, જ્યારે x = 0

| પાપ x | = | x |.

આમ, માટે | એક્સ | < π / 2 અસમાનતા (1) સાબિત થઈ છે. હકીકતમાં, આ અસમાનતા | માટે પણ સાચી છે x | > π / 2 હકીકત એ છે કે | પાપ એક્સ | < 1, એ π / 2 > 1

કસરતો

1.કાર્યના ગ્રાફ અનુસાર y = પાપ x નક્કી કરો: a) પાપ 2; b) પાપ 4; c) પાપ (-3).

2. કાર્યના ગ્રાફ અનુસાર y = પાપ x અંતરાલમાંથી કઈ સંખ્યા નક્કી કરો
[ - π / 2 , π / 2 ] ની સમાન સાઈન છે: a) 0.6; b) -0.8.

3. કાર્યના ગ્રાફ અનુસાર y = પાપ x નક્કી કરો કે કઈ સંખ્યાઓની સાઈન છે,
1/2 ની બરાબર.

4. આશરે શોધો (કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કર્યા વિના): a) sin 1°; b) પાપ 0.03;
c) પાપ (-0.015); ડી) પાપ (-2°30").

આ પાઠમાં આપણે ફંક્શન y = sin x, તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને ગ્રાફ પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું. પાઠની શરૂઆતમાં, આપણે સંકલન વર્તુળ પર ત્રિકોણમિતિ કાર્ય y = sin t ની વ્યાખ્યા આપીશું અને વર્તુળ અને રેખા પરના કાર્યના ગ્રાફને ધ્યાનમાં લઈશું. ચાલો ગ્રાફ પર આ ફંક્શનની સામયિકતા બતાવીએ અને ફંક્શનના મુખ્ય ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ. પાઠના અંતે, આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ અને તેના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ઘણી સરળ સમસ્યાઓ હલ કરીશું.

વિષય: ત્રિકોણમિતિ કાર્યો

પાઠ: કાર્ય y=sinx, તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને આલેખ

ફંક્શનને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, દરેક દલીલ મૂલ્યને એક ફંક્શન મૂલ્ય સાથે સાંકળવું મહત્વપૂર્ણ છે. આ પત્રવ્યવહારનો કાયદોઅને કાર્ય કહેવાય છે.

ચાલો આપણે માટે પત્રવ્યવહાર કાયદો વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા એકમ વર્તુળ પરના એક બિંદુને અનુરૂપ હોય છે.

દરેક દલીલ મૂલ્ય એક કાર્ય મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલું છે.

સ્પષ્ટ ગુણધર્મો સાઈનની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે.

આકૃતિ બતાવે છે કે કારણ કે એકમ વર્તુળ પરના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ છે.

કાર્યના ગ્રાફને ધ્યાનમાં લો. ચાલો દલીલના ભૌમિતિક અર્થઘટનને યાદ કરીએ. દલીલ એ મધ્ય કોણ છે, જે રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે. અક્ષની સાથે આપણે વિધેયના અનુરૂપ મૂલ્યોને ધરીની સાથે રેડિયનમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અથવા ખૂણાઓનું કાવતરું કરીશું.

ઉદાહરણ તરીકે, એકમ વર્તુળ પરનો કોણ ગ્રાફ પરના બિંદુને અનુરૂપ છે (ફિગ. 2)

અમે એરિયામાં ફંક્શનનો આલેખ મેળવ્યો છે પરંતુ સાઈનનો સમયગાળો જાણીને, અમે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન (ફિગ. 3) પર ફંક્શનનો ગ્રાફ દર્શાવી શકીએ છીએ.

કાર્યનો મુખ્ય સમયગાળો છે આનો અર્થ એ છે કે આલેખ સેગમેન્ટ પર મેળવી શકાય છે અને પછી વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં ચાલુ રાખી શકાય છે.

કાર્યના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લો:

1) વ્યાખ્યાનો અવકાશ:

2) મૂલ્યોની શ્રેણી:

3) વિચિત્ર કાર્ય:

4) સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો:

5) એબ્સીસા અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ:

6) ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ:

7) અંતરાલો કે જેના પર કાર્ય હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે:

8) અંતરાલો કે જેના પર કાર્ય નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે:

9) અંતરાલોમાં વધારો:

10) અંતરાલો ઘટાડવો:

11) ન્યૂનતમ પોઈન્ટ:

12) ન્યૂનતમ કાર્યો:

13) મહત્તમ પોઈન્ટ:

14) મહત્તમ કાર્યો:

અમે ફંક્શનના ગુણધર્મો અને તેના ગ્રાફને જોયા. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે ગુણધર્મોનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવશે.

સંદર્ભો

1. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2009.

2. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. ગ્રેડ 10 માટે બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ (ગણિતના ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ સાથે શાળાઓ અને વર્ગોના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક).

4. ગેલિટ્સ્કી એમ.એલ., મોશકોવિચ એમ.એમ., શ્વાર્ટ્સબર્ડ એસ.આઈ. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણનો ઊંડાણપૂર્વકનો અભ્યાસ.-એમ.: શિક્ષણ, 1997.

5. ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે અરજદારો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ (એમ.આઈ. સ્કાનવી દ્વારા સંપાદિત).: ઉચ્ચ શાળા, 1992.

6. મર્ઝલ્યાક એ.જી., પોલોન્સકી વી.બી., યાકીર એમ.એસ. બીજગણિત સિમ્યુલેટર.-કે.: A.S.K., 1997.

7. સહકયાન એસ.એમ., ગોલ્ડમેન એ.એમ., ડેનિસોવ ડી.વી. બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પરની સમસ્યાઓ (સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના ધોરણ 10-11ના વિદ્યાર્થીઓ માટે એક માર્ગદર્શિકા).

8. કાર્પ એ.પી. બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પર સમસ્યાઓનો સંગ્રહ: પાઠયપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે ભથ્થું. ઊંડાઈ સાથે અભ્યાસ કર્યો ગણિત.-એમ.: શિક્ષણ, 2006.

હોમવર્ક

બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી.

એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

વધારાના વેબ સંસાધનો

3. પરીક્ષાની તૈયારી માટે શૈક્ષણિક પોર્ટલ ().

આ પાઠમાં આપણે ફંક્શન y = sin x, તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને ગ્રાફ પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું. પાઠની શરૂઆતમાં, આપણે સંકલન વર્તુળ પર ત્રિકોણમિતિ કાર્ય y = sin t ની વ્યાખ્યા આપીશું અને વર્તુળ અને રેખા પરના કાર્યના ગ્રાફને ધ્યાનમાં લઈશું. ચાલો ગ્રાફ પર આ ફંક્શનની સામયિકતા બતાવીએ અને ફંક્શનના મુખ્ય ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ. પાઠના અંતે, આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ અને તેના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ઘણી સરળ સમસ્યાઓ હલ કરીશું.

વિષય: ત્રિકોણમિતિ કાર્યો

પાઠ: કાર્ય y=sinx, તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને આલેખ

ફંક્શનને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, દરેક દલીલ મૂલ્યને એક ફંક્શન મૂલ્ય સાથે સાંકળવું મહત્વપૂર્ણ છે. આ પત્રવ્યવહારનો કાયદોઅને કાર્ય કહેવાય છે.

ચાલો આપણે માટે પત્રવ્યવહાર કાયદો વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા એકમ વર્તુળ પરના એક બિંદુને અનુરૂપ હોય છે.

દરેક દલીલ મૂલ્ય એક કાર્ય મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલું છે.

સ્પષ્ટ ગુણધર્મો સાઈનની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે.

આકૃતિ બતાવે છે કે કારણ કે એકમ વર્તુળ પરના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ છે.

કાર્યના ગ્રાફને ધ્યાનમાં લો. ચાલો દલીલના ભૌમિતિક અર્થઘટનને યાદ કરીએ. દલીલ એ મધ્ય કોણ છે, જે રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે. અક્ષની સાથે આપણે વિધેયના અનુરૂપ મૂલ્યોને ધરીની સાથે રેડિયનમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અથવા ખૂણાઓનું કાવતરું કરીશું.

ઉદાહરણ તરીકે, એકમ વર્તુળ પરનો કોણ ગ્રાફ પરના બિંદુને અનુરૂપ છે (ફિગ. 2)

અમે એરિયામાં ફંક્શનનો આલેખ મેળવ્યો છે પરંતુ સાઈનનો સમયગાળો જાણીને, અમે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન (ફિગ. 3) પર ફંક્શનનો ગ્રાફ દર્શાવી શકીએ છીએ.

કાર્યનો મુખ્ય સમયગાળો છે આનો અર્થ એ છે કે આલેખ સેગમેન્ટ પર મેળવી શકાય છે અને પછી વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં ચાલુ રાખી શકાય છે.

કાર્યના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લો:

1) વ્યાખ્યાનો અવકાશ:

2) મૂલ્યોની શ્રેણી:

3) વિચિત્ર કાર્ય:

4) સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો:

5) એબ્સીસા અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ:

6) ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ:

7) અંતરાલો કે જેના પર કાર્ય હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે:

8) અંતરાલો કે જેના પર કાર્ય નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે:

9) અંતરાલોમાં વધારો:

10) અંતરાલો ઘટાડવો:

11) ન્યૂનતમ પોઈન્ટ:

12) ન્યૂનતમ કાર્યો:

13) મહત્તમ પોઈન્ટ:

14) મહત્તમ કાર્યો:

અમે ફંક્શનના ગુણધર્મો અને તેના ગ્રાફને જોયા. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે ગુણધર્મોનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવશે.

સંદર્ભો

1. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2009.

2. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. ગ્રેડ 10 માટે બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ (ગણિતના ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ સાથે શાળાઓ અને વર્ગોના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક).

4. ગેલિટ્સ્કી એમ.એલ., મોશકોવિચ એમ.એમ., શ્વાર્ટ્સબર્ડ એસ.આઈ. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણનો ઊંડાણપૂર્વકનો અભ્યાસ.-એમ.: શિક્ષણ, 1997.

5. ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે અરજદારો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ (એમ.આઈ. સ્કાનવી દ્વારા સંપાદિત).: ઉચ્ચ શાળા, 1992.

6. મર્ઝલ્યાક એ.જી., પોલોન્સકી વી.બી., યાકીર એમ.એસ. બીજગણિત સિમ્યુલેટર.-કે.: A.S.K., 1997.

7. સહકયાન એસ.એમ., ગોલ્ડમેન એ.એમ., ડેનિસોવ ડી.વી. બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પરની સમસ્યાઓ (સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના ધોરણ 10-11ના વિદ્યાર્થીઓ માટે એક માર્ગદર્શિકા).

8. કાર્પ એ.પી. બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પર સમસ્યાઓનો સંગ્રહ: પાઠયપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે ભથ્થું. ઊંડાઈ સાથે અભ્યાસ કર્યો ગણિત.-એમ.: શિક્ષણ, 2006.

હોમવર્ક

બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (બે ભાગમાં). શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર), ઇડી.

એ.જી. મોર્ડકોવિચ. -એમ.: નેમોસીન, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

વધારાના વેબ સંસાધનો

3. પરીક્ષાની તૈયારી માટે શૈક્ષણિક પોર્ટલ ().