એક કાર્ય જે દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ ક્યાંય અલગ નથી. વિશ્લેષણમાં વિરોધી ઉદાહરણો

જટિલ કાર્યવીયરસ્ટ્રાસ જેવો દેખાય છે

જ્યાં - કેટલાક વાસ્તવિક સંખ્યા, પરંતુ ક્યાં તો , અથવા તરીકે લખાયેલ છે. ફંક્શનના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અનુક્રમે કોસાઇન અને વેઇઅરસ્ટ્રાસ સિનુસોઇડ્સ કહેવામાં આવે છે.

કાર્ય સતત છે, પરંતુ ક્યાંય અલગ નથી. જો કે, કેસમાં તેનું ઔપચારિક સામાન્યીકરણ સતત અને અલગ-અલગ બંને છે.

કાર્ય ઉપરાંત, આ વિભાગ તેના કેટલાક વિકલ્પોની ચર્ચા કરે છે; તેમની પ્રસ્તુતિની જરૂરિયાત વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનને ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતે આપેલા નવા અર્થને કારણે છે.

કાર્યનું આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ.શબ્દ "સ્પેક્ટ્રમ", મારા મતે, અર્થો સાથે ઓવરલોડ છે. આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ સમૂહનો સંદર્ભ આપે છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોઅનુરૂપ ઘટકોના કંપનવિસ્તારને ધ્યાનમાં લીધા વિના ફ્રીક્વન્સીઝ.

સામયિક કાર્યનું આવર્તન વર્ણપટ એ હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો ક્રમ છે. બ્રાઉનિયન ફંક્શનનું આવર્તન વર્ણપટ છે. વીયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનનું આવર્તન વર્ણપટ એ થી સુધીનો એક અલગ ક્રમ છે.

ફંક્શનનું એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ.સબ-એનર્જી સ્પેક્ટ્રમને અનુરૂપ ઘટકોના ઊર્જા મૂલ્યો (ચોરસ કંપનવિસ્તાર) સાથે મળીને અનુમતિપાત્ર આવર્તન મૂલ્યોના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે. ફંક્શનમાં ફોર્મના દરેક આવર્તન મૂલ્ય માટે ફોર્મની ઊર્જાની વર્ણપટ રેખા હોય છે . પરિણામે, ફ્રીક્વન્સીઝ પર કુલ ઊર્જા મૂલ્ય કન્વર્જ થાય છે અને તેના પ્રમાણસર છે .

અપૂર્ણાંક બ્રાઉનિયન ગતિ સાથે સરખામણી.અમે અગાઉ ધ્યાનમાં લીધેલા અન્ય કેટલાક કેસોમાં કુલ ઉર્જા પ્રમાણસર છે: અપૂર્ણાંક સામયિક રેન્ડમ ફોરિયર-બ્રાઉન-વિનર ફંક્શન્સ, અનુમતિપાત્ર ફ્રીક્વન્સીઝ કે જેના માટે ફોર્મ છે , અને અનુરૂપ ફ્યુરિયર ગુણાંક સમાન છે; રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના પ્રમાણસર વસ્તીની સતત વર્ણપટની ઘનતા સાથે. નવીનતમ પ્રક્રિયાઓપ્રકરણ 27 માં વર્ણવેલ અપૂર્ણાંક બ્રાઉનિયન કાર્યો કરતાં વધુ કંઈ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય બ્રાઉનિયન ગતિમાં વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનના સંચિત સ્પેક્ટ્રમને શોધી શકાય છે, જેની વર્ણપટની ઘનતા પ્રમાણસર છે. નોંધપાત્ર તફાવત: બ્રાઉનિયન સ્પેક્ટ્રમ એકદમ સતત છે, જ્યારે ફ્યુરિયર-બ્રાઉન-વિનર અને વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શન્સનો સ્પેક્ટ્રા અલગ છે.

બિન-ભિન્નતા.એ સાબિત કરવા માટે કે ફંક્શનમાં કોઈપણ મૂલ્ય માટે મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન નથી, વેયરસ્ટ્રાસને બે જોડવા પડ્યા નીચેની શરતો: એક વિષમ પૂર્ણાંક છે, જેના પરિણામે ફંક્શન ફ્યુરિયર શ્રેણી છે, અને . જરૂરી અને પૂરતી શરતો(અને ) અમારા દ્વારા હાર્ડીના લેખમાંથી લેવામાં આવ્યા હતા.

ઊર્જા વપરાશ.સ્પેક્ટ્રા માટે ટેવાયેલા ભૌતિકશાસ્ત્રીને, હાર્ડીની સ્થિતિ સ્પષ્ટ લાગે છે. ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી તેના ફ્યુરિયર ગુણાંકને વડે ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે તેવા પ્રયોગમૂલક નિયમને લાગુ કરીને, ભૌતિકશાસ્ત્રી ફંક્શનના ઔપચારિક વ્યુત્પન્ન માટે શોધે છે કે ફ્યુરિયર ગુણાંક c નું ચોરસ કંપનવિસ્તાર બરાબર છે . θ કરતાં વધુ ફ્રીક્વન્સીઝ પર કુલ ઊર્જા અનંત હોવાથી, તે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માટે સ્પષ્ટ બને છે કે વ્યુત્પન્ન નક્કી કરી શકાતું નથી.

એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે રીમેન, બિન-વિભેદ્યતાના ઉદાહરણની શોધમાં, કાર્ય સાથે આવ્યા હતા , જેની સ્પેક્ટ્રલ ઉર્જા કરતાં વધુ ફ્રીક્વન્સીઝ પર , પ્રમાણસર છે, જ્યાં. આમ, સમાન હ્યુરિસ્ટિક તર્કનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ ધારી શકે છે કે વ્યુત્પન્ન બિન-વિભેદક છે. આ નિષ્કર્ષ માત્ર આંશિક રીતે સાચો છે, કારણ કે ચોક્કસ મૂલ્યો પર વ્યુત્પન્ન હજી પણ અસ્તિત્વમાં છે (જુઓ).

અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિચલન/આપત્તિ."આપત્તિ" શબ્દ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વીસમી સદીના પ્રથમ દાયકામાં દેખાયો, જ્યારે રેલે અને જીન્સે સ્વતંત્ર રીતે બ્લેકબોડી રેડિયેશનનો સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો, જે મુજબ આવર્તનની આસપાસની પહોળાઈની આવર્તન શ્રેણીની ઊર્જા પ્રમાણસર છે. આનો અર્થ એ છે કે સ્પેક્ટ્રમની કુલ ઊર્જા છે ઉચ્ચ આવર્તનઅનંત - જે સિદ્ધાંત માટે ખૂબ જ આપત્તિજનક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. મુશ્કેલીનો સ્ત્રોત સ્પેક્ટ્રમના અલ્ટ્રાવાયોલેટ ભાગની બહારની ફ્રીક્વન્સીઝમાંથી આવતો હોવાથી, ઘટનાને અલ્ટ્રાવાયોલેટ (યુવી) આપત્તિ કહેવામાં આવે છે.

દરેક વ્યક્તિ જાણે છે કે પ્લાન્ક તેનું નિર્માણ કરે છે ક્વોન્ટમ થિયરીખંડેર પર કે જેમાં યુવી આપત્તિએ કિરણોત્સર્ગના સિદ્ધાંતને ફેરવ્યો.

ઐતિહાસિક પીછેહઠ.ચાલો નોંધ લઈએ (જોકે મને એ સમજાતું નથી કે આ પહેલાં કોઈએ આવું કેમ કર્યું નથી; કોઈ પણ સંજોગોમાં, મને ઉપલબ્ધ સ્ત્રોતોમાં સમાન કંઈ મળ્યું નથી) કે જૂના ભૌતિકશાસ્ત્ર અને જૂના ગણિત બંનેના મૃત્યુનું કારણ એક જ છે. ભિન્નતા કે જે તેમની માન્યતાને નબળી પાડે છે કે સતત કાર્યો ફક્ત અલગ જ હોવા જોઈએ. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓએ પ્રતિક્રિયા આપી સરળ ફેરફારરમતના નિયમો, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ બિન-વિભેદક કાર્યો અને તેમના ઔપચારિક ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે જીવવાનું શીખવું પડ્યું. (બાદનું એ સામાન્યકૃત શ્વાર્ઝ ફંક્શનનું એકમાત્ર ઉદાહરણ છે જેનો વારંવાર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉપયોગ થાય છે.)

સ્કેલ-અપરિવર્તનશીલ ડિસ્ક્રીટ સ્પેક્ટ્રમની શોધમાં. ઇન્ફ્રારેડ વિચલન.જોકે આવર્તન સ્પેક્ટ્રમબ્રાઉનિયન ફંક્શન સતત, સ્કેલ-અપરિવર્તનશીલ છે અને પર અસ્તિત્વમાં છે, સમાન મૂલ્યને અનુરૂપ વેઇઅરસ્ટ્રાસ ફંક્શનનું ફ્રીક્વન્સી સ્પેક્ટ્રમ અલગ છે અને મૂલ્ય દ્વારા નીચેથી મર્યાદિત છે. નીચલી મર્યાદાની હાજરી માત્ર એ હકીકતને કારણે છે કે વેયરસ્ટ્રાસની સંખ્યા શરૂઆતમાં પૂર્ણાંક હતી, અને કાર્ય સામયિક હતું. આ સંજોગોને દૂર કરવા માટે, તેને દેખીતી રીતે માંથી કોઈપણ મૂલ્ય લેવાની મંજૂરી આપવી જોઈએ. અને ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમ સ્કેલ-અપરિવર્તક બનવા માટે, દરેક આવર્તન ઘટકને કંપનવિસ્તાર સાથે સાંકળવા માટે તે પૂરતું છે.

કમનસીબે, પરિણામી શ્રેણી અલગ પડે છે, અને ઓછી-આવર્તન ઘટકો જવાબદાર છે. આ ખામીને ઇન્ફ્રારેડ (IR) ડાયવર્જન્સ (અથવા "આપત્તિ") કહેવામાં આવે છે. ભલે તે બની શકે, આપણે આ વિચલનને સહન કરવું પડશે, કારણ કે અન્યથા નીચલી મર્યાદા ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમમાં સહજ સ્વ-સમાનતા સાથે સંઘર્ષમાં આવે છે.

સંશોધિત વેરસ્ટ્રાસ ફંક્શન, ફોકલ સમયના સંદર્ભમાં સ્વ-સંબંધિત.સૌથી સરળ પ્રક્રિયા, જે વ્યક્તિને વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનના ફ્રીક્વન્સી સ્પેક્ટ્રમને મૂલ્ય સુધી ચાલુ રાખવા અને વિનાશક પરિણામોને ટાળવા માટે પરવાનગી આપે છે, તેમાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે: પ્રથમ આપણે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ , અને માત્ર ત્યારે જ તેને માંથી કોઈપણ મૂલ્ય લેવાની મંજૂરી આપો. મૂલ્યોને અનુરૂપ વધારાના શબ્દો એકરૂપ થાય છે, અને તેમનો સરવાળો સતત અને ભિન્ન હોય છે. કાર્ય આ રીતે સુધારેલ છે

હજુ પણ સતત છે, પરંતુ ક્યાંય અલગ નથી.

વધુમાં, તે અર્થમાં સ્કેલ-અપરિવર્તક છે

.

તેથી કાર્ય પર આધાર રાખતો નથી. આપણે તેને અલગ રીતે કહી શકીએ: કાર્ય સાથે પર આધાર રાખતો નથી. એટલે કે, કાર્ય , તેના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો ફોર્મ અને ફોકલ સમયના મૂલ્યોના સંદર્ભમાં સ્વ-સંબંધિત છે.

ગૌસીયન રેન્ડમ કાર્યોસામાન્યકૃત વેરસ્ટ્રાસ સ્પેક્ટ્રમ સાથે.વાસ્તવવાદ અને વ્યાપક પ્રયોજ્યતા તરફ આગળનું પગલું એ સામાન્યકૃત વેરસ્ટ્રાસ ફંક્શનનું રેન્ડમાઇઝેશન છે. સૌથી સરળ અને સૌથી વધુ કુદરતી પદ્ધતિસ્વતંત્ર સંકુલ ગૌસીયન દ્વારા તેના ફ્યુરીયર ગુણાંકનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે રેન્ડમ ચલોશૂન્ય ગાણિતિક અપેક્ષા અને એકમ તફાવત સાથે. પરિણામી ફંક્શનના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને યોગ્ય રીતે વેરસ્ટ્રાસ-ગૌસ (સુધારેલા) ફંક્શન કહી શકાય. કેટલાક અર્થમાં, આ કાર્યોને અંદાજિત અપૂર્ણાંક બ્રાઉનિયન કાર્યો ગણી શકાય. જ્યારે મૂલ્યો એકરૂપ થાય છે, ત્યારે તેમનો સ્પેક્ટ્રા એ હકીકત જેટલો જ સમાન હોય છે કે આમાંના એક સ્પેક્ટ્રા સતત છે અને અન્ય અલગ પરવાનગી આપે છે. વધુમાં, ઓરે અને માર્કસના પરિણામો (જુઓ. પાનું 490) વેયરસ્ટ્રાસ-ગૉસ ફંક્શનને લાગુ પડે છે, અને તેમના લેવલ સેટના ફ્રેક્ટલ પરિમાણો અપૂર્ણાંક બ્રાઉનિયન ફંક્શનના લેવલ સેટના ફ્રેક્ટલ પરિમાણો સાથે મેળ ખાય છે.

અપૂર્ણાંક દ્વારા રજૂ કરાયેલ પૂર્વવર્તીને ધ્યાનમાં લેતા બ્રાઉનિયન ગતિ, આપણે ધારી શકીએ છીએ કે વેયરસ્ટ્રાસ-રેડેમેકર ફંક્શનના શૂન્ય-સેટ્સનું પરિમાણ બરાબર હશે. આ ધારણામાં પુષ્ટિ થયેલ છે, પરંતુ માત્ર પૂર્ણાંકો માટે.

સિંઘે વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનની અન્ય ઘણી વિવિધતાઓનો ઉલ્લેખ કર્યો છે. તેમાંના કેટલાકના સેટનું પરિમાણ શૂન્ય અંદાજવામાં સરળ છે. સામાન્ય રીતે, આધુનિક સૈદ્ધાંતિક વિચારની સિદ્ધિઓને ધ્યાનમાં લેતા, આ વિષય સ્પષ્ટપણે વધુ વિગતવાર અભ્યાસને પાત્ર છે.

"શું વિધાન S સાચું છે?" ગણિતમાં કદાચ સૌથી સામાન્ય પ્રશ્ન છે, જ્યારે વિધાન સ્વરૂપનું છે: "વર્ગ A નું દરેક તત્વ પણ વર્ગ B: A B નો છે." એવું નિવેદન સાચું છે તે સાબિત કરવાનો અર્થ એ છે કે B માં A ના સમાવેશને સાબિત કરવું. તે ખોટું છે તે સાબિત કરવાનો અર્થ વર્ગ A ના એવા તત્વને શોધવાનો છે જે વર્ગ B સાથે સંબંધિત નથી, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કાઉન્ટર ઉદાહરણ આપવું. ઉદાહરણ તરીકે, જો વિધાન S છે: "દરેક સતત કાર્ય અમુક બિંદુએ અલગ છે," તો સેટ A અને B અનુક્રમે તમામ સતત કાર્યો અને તમામ કાર્યોનો સમાવેશ કરે છે જે અમુક બિંદુઓ પર વિભેદક હોય છે, પરંતુ કોઈ જગ્યાએ વિભેદક કાર્યનું વિખ્યાત ઉદાહરણ છે f એ B માં A ના સમાવેશ માટે પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ છે, કારણ કે f એ A નું એક તત્વ છે જે B નું નથી. અતિસરળીકરણમાં પડવાના જોખમે, આપણે કહી શકીએ કે ગણિતમાં (વ્યાખ્યાઓ, નિવેદનો અને ગણતરીઓ સિવાય) બેનો સમાવેશ થાય છે. ભાગો - પુરાવા અને પ્રતિઉદાહરણ, અને ગાણિતિક શોધોપુરાવા શોધવા અને પ્રતિઉદાહરણ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે.

આ ગણિતની રચના અને વિકાસ દરમિયાન પ્રતિઉદાહરણોની સુસંગતતા નક્કી કરે છે.

સૌથી વધુ ગણિત પુસ્તકોસાચા નિવેદનોને સાબિત કરવા માટે સમર્પિત છે.

સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ગણિતમાં ઉદાહરણો બે પ્રકારના હોય છે - ઉદાહરણરૂપ ઉદાહરણો અને પ્રતિઉદાહરણ. પહેલા દર્શાવે છે કે આ અથવા તે નિવેદન શા માટે અર્થહીન છે, અને બાદમાં દર્શાવે છે કે આ અથવા તે નિવેદન શા માટે અર્થહીન છે. એવી દલીલ કરી શકાય છે કે કોઈપણ ઉદાહરણ તે જ સમયે કેટલાક નિવેદનનું પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ છે, એટલે કે નિવેદન કે આવા ઉદાહરણ અશક્ય છે. અમે પ્રતિઉદાહરણ શબ્દનો આવો સાર્વત્રિક અર્થ આપવા ઈચ્છતા નથી, પરંતુ અમે સ્વીકારીએ છીએ કે તેનો અર્થ એટલો વ્યાપક છે કે તે તમામ ઉદાહરણોનો સમાવેશ કરી શકે કે જેની ભૂમિકા માત્ર સાચા પ્રમેયને દર્શાવવા સુધી મર્યાદિત નથી. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, સતત કાર્યના ઉદાહરણ તરીકે બહુપદી એ પ્રતિઉદાહરણ નથી, પરંતુ અનબાઉન્ડેડ અથવા બિન-સામયિક કાર્યના ઉદાહરણ તરીકે બહુપદી એ પ્રતિઉદાહરણ છે. એ જ રીતે, એકીકૃત વિધેયોના વર્ગ તરીકે બાઉન્ડેડ બંધ અંતરાલ પરના તમામ મોનોટોન ફંક્શનનો વર્ગ પ્રતિઉદાહરણ નથી, પરંતુ કાર્યાત્મકના ઉદાહરણ તરીકે આ જ વર્ગ, પરંતુ વેક્ટર નહીં, અવકાશ એક પ્રતિઉદાહરણ છે.

આ કાર્યનો હેતુ વિશ્લેષણમાં કાર્યની એકવિધતા માટે પ્રતિઉદાહરણો અને શરતોને ધ્યાનમાં લેવાનો છે.

ધ્યેય હાંસલ કરવા માટે, નીચેના કાર્યો સેટ કરવામાં આવ્યા હતા:

1. વિશ્લેષણમાં પ્રતિઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લો

2. પ્રતિઉદાહરણની વિભાવના વ્યાખ્યાયિત કરો

3. ભિન્નતામાં પ્રતિઉદાહરણોના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લો

4. કાર્યોની એકવિધતાના ખ્યાલને વ્યાખ્યાયિત કરો

5. ફંક્શનની એકવિધતા માટેની શરતોને દર્શાવો

6. સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી સ્થિતિને ધ્યાનમાં લો

7. સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી શરતો ધ્યાનમાં લો

1. વિશ્લેષણમાં પ્રતિઉદાહરણો

1.1. પ્રતિઉદાહરણનો ખ્યાલ

લોકપ્રિય અભિવ્યક્તિઓ: "ઉદાહરણમાંથી શીખો", "ઉદાહરણની શક્તિ" નો માત્ર રોજિંદા અર્થ નથી. "ઉદાહરણ" શબ્દનું મૂળ "માપ", "માપવું", "માપવું" શબ્દો જેવું જ છે, પરંતુ આ એકમાત્ર કારણ નથી કે તે તેની શરૂઆતથી જ ગણિતમાં હાજર છે. એક ઉદાહરણ ખ્યાલને સમજાવે છે, તેનો અર્થ સમજવામાં મદદ કરે છે, તેના ચોક્કસ અભિવ્યક્તિમાં નિવેદનની સત્યતાની પુષ્ટિ કરે છે; એક પ્રતિઉદાહરણ, ખોટા નિવેદનનું ખંડન કરે છે, તેમાં પુરાવારૂપ બળ હોય છે.

પ્રતિઉદાહરણ એ એક ઉદાહરણ છે જે ચોક્કસ નિવેદનના સત્યને રદિયો આપે છે.

પૂર્વધારણાઓનું ખંડન કરવા માટે પ્રતિઉદાહરણ બનાવવું એ એક સામાન્ય રીત છે. જો "સેટ M માંથી કોઈપણ X માટે, પ્રોપર્ટી A ધરાવે છે" જેવું વિધાન હોય, તો આ વિધાનનું કાઉન્ટર ઉદાહરણ એ સેટ Mમાંથી કોઈપણ ઑબ્જેક્ટ X 0 હશે જેના માટે A ધરાવતું નથી.

કેલ્ક્યુલસના ઈતિહાસમાં ઉત્તમ પ્રતિઉદાહરણ એ બર્નાર્ડ બોલઝાનો દ્વારા રચવામાં આવેલ કાર્ય છે, જે સમગ્ર વાસ્તવિક અક્ષ પર સતત રહે છે અને કોઈપણ બિંદુએ અલગ નથી. આ કાર્ય એ પૂર્વધારણાના પ્રતિઉદાહરણ તરીકે સેવા આપે છે કે કાર્યની ભિન્નતા એ તેની સાતત્યનું કુદરતી પરિણામ છે.

2.2. ભિન્નતામાં પ્રતિઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરવો

આ વિભાગ એ હકીકતને કારણે પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો કે તફાવત એ ગાણિતિક વિશ્લેષણનું મૂળભૂત તત્વ છે.

આ પ્રકરણના કેટલાક ઉદાહરણોમાં, વ્યુત્પન્ન શબ્દ અનંત મર્યાદાઓને પણ લાગુ પડશે.

જો કે, ડિફરન્સિએબલ ફંક્શન શબ્દનો ઉપયોગ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં દરેક બિંદુએ મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન હોય. ફંક્શનને અનંત ભિન્નતા કહેવાય છે જો તે તેના ડોમેનમાં દરેક બિંદુએ કોઈપણ ઓર્ડરનું (મર્યાદિત) વ્યુત્પન્ન હોય.

આધાર e સાથેનું ઘાતાંકીય કાર્ય e x અથવા exp(x) ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવશે.

એવું માનવામાં આવે છે કે ડોમેન્સ અને કાર્યોના મૂલ્ય સમૂહો સહિત તમામ સેટ R ના સબસેટ છે. અન્યથા, યોગ્ય સ્પષ્ટતા કરવામાં આવશે.

1. બિન-વ્યુત્પન્ન કાર્ય

ફંક્શન sgnA: અને સામાન્ય રીતે, જમ્પના રૂપમાં અસંતુલિતતા સાથેના કોઈપણ કાર્યમાં આદિમ હોતું નથી, એટલે કે, કોઈપણ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન નથી, કારણ કે તેની પાસે તમામ મધ્યવર્તી મૂલ્યોને સ્વીકારવાની કૌચી ગુણધર્મ નથી, અને આ મિલકત માત્ર સતત કાર્યોમાં જ નહીં, પણ ડેરિવેટિવ્ઝમાં પણ સહજ છે (જુઓ, પૃષ્ઠ 84, ભૂતપૂર્વ. 40, અને એ પણ, વોલ્યુમ I, પૃષ્ઠ 224). નીચે એક અવ્યવસ્થિત વ્યુત્પન્નનું ઉદાહરણ છે.

2. અખંડ વ્યુત્પન્ન સાથે વિભેદક કાર્ય

કાર્યને ધ્યાનમાં લો

તેનું વ્યુત્પન્ન

બિંદુ x = 0 પર અવ્યવસ્થિત.

3. એક અવ્યવસ્થિત કાર્ય કે જેમાં દરેક જગ્યાએ વ્યુત્પન્ન હોય (જરૂરી નથી કે મર્યાદિત હોય)

આવા ઉદાહરણ શક્ય બને તે માટે, વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાને ± મૂલ્યો સમાવવા માટે વિસ્તૃત કરવી આવશ્યક છે. પછી અવ્યવસ્થિત કાર્ય sgn x (ઉદાહરણ 1) નું વ્યુત્પન્ન છે

4. ડિફરન્ટિએબલ ફંક્શન કે જેના વ્યુત્પન્ન એક્સ્ટ્રીમલ પોઈન્ટના કોઈપણ એકતરફી પડોશમાં સાઈન સાચવતા નથી

બિંદુ x = 0 પર ચોક્કસ લઘુત્તમ છે. અને તેનું વ્યુત્પન્ન

શૂન્યના કોઈપણ એકતરફી પડોશમાં હકારાત્મક અને નકારાત્મક મૂલ્યો. બિંદુ x = 0 ના કોઈપણ એકતરફી પડોશમાં ફંક્શન f એકવિધ નથી.

5. એક વિભેદક કાર્ય કે જેનું વ્યુત્પન્ન અમુક બિંદુએ હકારાત્મક હોય છે, પરંતુ કાર્ય પોતે આ બિંદુના કોઈપણ પડોશમાં એકવિધ નથી

ની સમાન વ્યુત્પન્ન છે

શૂન્યના કોઈપણ પડોશમાં, વ્યુત્પન્ન f/(x) બંને હકારાત્મક અને નકારાત્મક મૂલ્યો ધરાવે છે.

6. એક ફંક્શન જેનું વ્યુત્પન્ન મર્યાદિત છે, પરંતુ બંધ અંતરાલ પર મર્યાદિત નથી

કાર્યને ધ્યાનમાં લો

તેનું વ્યુત્પન્ન

[-1, 1] સુધી મર્યાદિત નથી.

7. એક ફંક્શન કે જેનું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે અને મર્યાદિત છે, પરંતુ બંધ અંતરાલ પર (સંપૂર્ણ) અંતિમ નથી

વ્યુત્પન્ન છે

શૂન્યના કોઈપણ પડોશમાં, આ વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો મનસ્વી રીતે 24 અને -24 ની નજીક છે. બીજી બાજુ, 0 માટે

તેથી, અસમાનતા 0 થી< h 1 следует, что

8. દરેક જગ્યાએ સતત, પરંતુ ક્યાંય અલગ કરી શકાય તેવું કાર્ય

કાર્ય | x | દરેક જગ્યાએ સતત હોય છે, પરંતુ બિંદુ x - 0 પર ભિન્નતાપાત્ર નથી. આ ફંક્શનને સ્થાનાંતરિત કરીને, તમે દરેક જગ્યાએ સતત ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો જે મનસ્વી રીતે આપવામાં આવેલા મર્યાદિત સમૂહના દરેક બિંદુએ અલગ કરી શકાય તેવું નથી. આ વિભાગમાં આપણે ફંક્શનની અનંત સંખ્યામાં શિફ્ટનો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણ આપીશું | x |.

ચાલો તે કાર્ય બતાવીએ

ક્યાંય અલગ નથી. એક મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા બનવા દો, અને દરેક કુદરતી સંખ્યા n માટે 4 -n અથવા –4 -n ની સમાન સંખ્યા h n પસંદ કરવા દો જેથી કરીને જથ્થાની સમાન કિંમત હોય | h n | બધા m n ​​માટે અને m > n માટે શૂન્ય બરાબર. પછી તફાવત ગુણોત્તર એ પૂર્ણાંક છે જે જ્યારે n બેકી હોય ત્યારે પણ હોય છે અને જ્યારે n બેકી હોય ત્યારે વિષમ હોય છે.

તે મર્યાદાને અનુસરે છે

અસ્તિત્વમાં નથી, અને તેથી અસ્તિત્વમાં નથી અને

આપેલ ઉદાહરણ એ 1930માં બી.એલ. વેન ડેર વેર્ડન દ્વારા બાંધવામાં આવેલા ઉદાહરણમાં ફેરફાર છે (જુઓ, પૃષ્ઠ 394). કે.ડબલ્યુ.ટી. વેયરસ્ટ્રાસ (જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી, 1815-1897) દ્વારા સતત, ક્યાંય પણ અલગ ન કરી શકાય તેવા કાર્યનું પ્રથમ ઉદાહરણ બનાવવામાં આવ્યું હતું:

જ્યાં a પૂર્ણાંક છે વિષમ સંખ્યા, અને સંખ્યા b એવી છે કે

ઉદાહરણો હાલમાં જાણીતા છે સતત કાર્યો, જે કોઈ પણ બિંદુએ એકતરફી મર્યાદિત અથવા અનંત વ્યુત્પન્ન નથી. આ ઉદાહરણો અને વધુ સંદર્ભો (pp. 392-394), (pp. 61 - 62, 115, 126), અને (Vol. II, pp. 401-412) માં મળી શકે છે.

પ્રસ્તુત ઉદાહરણનું કાર્ય કોઈપણ અંતરાલ પર મોનોટોનિક નથી. તદુપરાંત, ત્યાં એક કાર્યનું ઉદાહરણ છે જે દરેક જગ્યાએ અલગ કરી શકાય તેવું છે અને તે ક્યાંય એકવિધ નથી (જુઓ, વોલ્યુમ II, પૃષ્ઠ. 412-421). આ ઉદાહરણનું બાંધકામ ખૂબ જટિલ છે અને તે કાર્ય તરફ દોરી જાય છે જે દરેક જગ્યાએ અલગ કરી શકાય તેવું છે અને ધરાવે છે ગાઢ સમૂહસંબંધિત મેક્સિમા અને સંબંધિત મિનિમાનો ગાઢ સમૂહ.

9. વિભેદક કાર્ય કે જેના માટે સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય ધરાવતું નથી

આ ઉદાહરણમાં, અમને ફરીથી જટિલ-મૂલ્યવાન કાર્યનો આશરો લેવાની ફરજ પડી છે. કાર્ય

વાસ્તવિક ચલનું x દરેક જગ્યાએ સતત અને ભિન્નતાપાત્ર છે (જુઓ, પૃષ્ઠ 509-513). જો કે, એવું કોઈ અંતરાલ નથી કે જેના માટે, અમુક મૂલ્ય પર, સમાનતા

જો આપણે ધારીએ કે આ સમાનતા શક્ય છે, તો તેના બંને ભાગોના મોડ્યુલો (સંપૂર્ણ મૂલ્યો) ના વર્ગોને સમાન કરીને, આપણે સમાનતા મેળવીએ છીએ.

જે પ્રાથમિક રૂપાંતરણ પછી સ્વરૂપ ધારણ કરે છે

પરંતુ sin h = h (જુઓ, પૃષ્ઠ 78) જેવી કોઈ સકારાત્મક સંખ્યા h ન હોવાથી, આપણને વિરોધાભાસ મળે છે.

13. એક અનંત રીતે અલગ કરી શકાય તેવું મોનોટોન ફંક્શન f જેમ કે

જો એકવિધતા જરૂરી ન હોય, તો આવા કાર્યનું એક તુચ્છ ઉદાહરણ હશે, ઉદાહરણ તરીકે, (sinx 2)/x. ચાલો એક મોનોટોન ફંક્શનનું ઉદાહરણ બનાવીએ જેમાં દર્શાવેલ ગુણધર્મ હોય. ચાલો f(x) ને 1 for ની બરાબર અને બંધ અંતરાલો પર સમાન કરીએ

ફોર્મના બાકીના મધ્યવર્તી અંતરાલ પર, અમે ફંકશનનો ઉપયોગ કરીને f(x) નક્કી કરીએ છીએ

આડી અને ઊભી શિફ્ટ લાગુ કરવી અને યોગ્ય નકારાત્મક પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર.

2. મોનોટોનિક કાર્યો

2.1. કાર્યોની એકવિધતા

એક ફંકશન f (x) એ અંતરાલ D પર વધતું હોવાનું કહેવાય છે જો અંતરાલ Dમાંથી x 1 અને x 2 ની કોઈપણ સંખ્યા માટે જેમ કે x 1< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

એક ફંકશન f (x) અંતરાલ D પર ઘટતું હોવાનું કહેવાય છે જો અંતરાલ D માંથી કોઈપણ સંખ્યા x 1 અને x 2 માટે જેમ કે x 1< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2).

આકૃતિ 1.

આકૃતિમાં દર્શાવેલ આલેખમાં, કાર્ય y = f (x) દરેક અંતરાલમાં વધે છે [ a ; x 1) અને (x 2 ; b ] અને અંતરાલ (x 1 ; x 2) પર ઘટે છે. નોંધ કરો કે કાર્ય દરેક અંતરાલ [ a ; x 1) અને (x 2 ; b ] પર વધે છે, પરંતુ ચાલુ નથી યુનિયન ગાબડા

જો કોઈ કાર્ય ચોક્કસ અંતરાલ પર વધે અથવા ઘટે, તો તેને આ અંતરાલ પર મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે જો f એ અંતરાલ D (f (x)) પર એક મોનોટોન ફંક્શન છે, તો સમીકરણ f (x) = const આ અંતરાલ પર એક કરતાં વધુ મૂળ ધરાવી શકે નહીં.

ખરેખર, જો x 1< x 2 – корни этого уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

ચાલો ગુણધર્મોની યાદી કરીએ એકવિધ કાર્યો(એવું માનવામાં આવે છે કે તમામ કાર્યો અમુક અંતરાલ D પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે).

• અનેક વધતા વિધેયોનો સરવાળો એ વધતા કાર્ય છે.
• બિન-નકારાત્મક વધતા કાર્યોનું ઉત્પાદન એ વધતું કાર્ય છે.
• જો ફંક્શન f વધે છે, તો ફંક્શન cf (c > 0) અને f + c પણ વધે છે, અને ફંક્શન cf (c< 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
• જો ફંક્શન f વધે છે અને તેની નિશાની જાળવી રાખે છે, તો ફંક્શન 1/ f ઘટે છે.
• જો ફંકશન f વધી રહ્યું છે અને બિન-નકારાત્મક છે, તો તે પણ ક્યાં વધી રહ્યું છે.
• જો ફંકશન f વધી રહ્યું છે અને n એ બેકી સંખ્યા છે, તો f n પણ વધી રહ્યું છે.
• f અને g વધતા કાર્યોની રચના g(f(x)) પણ વધે છે.

ઘટતા કાર્ય માટે સમાન નિવેદનો ઘડી શકાય છે.

ચોખા. 2. કાર્યના ગુણધર્મો.

બિંદુ aને ફંક્શન fનો મહત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો બિંદુની ε-પડોશી હોય જેમ કે આ પડોશમાં કોઈપણ x માટે અસમાનતા f (a) ≥ f (x) ધરાવે છે.

બિંદુ a એ ફંક્શન f નો લઘુત્તમ બિંદુ કહેવાય છે જો બિંદુની ε-પડોશી હોય કે જે આ પડોશમાં કોઈપણ x માટે અસમાનતા f (a) ≤ f (x) ધરાવે છે.

જે બિંદુઓ પર ફંક્શનની મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ પહોંચી છે તેને એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે.

આત્યંતિક બિંદુએ, કાર્યની એકવિધતાની પ્રકૃતિ બદલાય છે. આમ, અંતિમ બિંદુની ડાબી બાજુએ કાર્ય વધી શકે છે, અને જમણી બાજુએ તે ઘટી શકે છે. વ્યાખ્યા મુજબ, એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ હોવો જોઈએ આંતરિક બિંદુવ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર.

જો કોઈપણ (x ≠ a) માટે અસમાનતા f (x) ≤ f (a) ધરાવે છે, તો બિંદુ a એ સમૂહ D પરના કાર્યના સૌથી મોટા મૂલ્યનો બિંદુ કહેવાય છે:

જો કોઈપણ (x ≠ b) માટે અસમાનતા f (x) > f (b) સંતુષ્ટ હોય, તો બિંદુ b એ સમૂહ D પરના કાર્યના લઘુત્તમ મૂલ્યનો બિંદુ કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા 1. ફંક્શન કહેવાય છે વિભેદક બિંદુ પર , જો આ બિંદુએ તેની વૃદ્ધિ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

, (2.1)

જ્યાં
અને તેના પર નિર્ભર નથી
, એ
ખાતે
.

પ્રમેય 1. કાર્ય
, બિંદુ પર અલગ જો અને માત્ર જો તે આ બિંદુએ મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન હોય
.

પુરાવો.આવશ્યકતા. કાર્ય કરવા દો
બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું , એટલે કે સમાનતા (2.1) ધરાવે છે. માં વિભાજન કરવું
, અમને મળે છે
. ખાતે મર્યાદામાં જવું
, આપણે તે જોઈએ છીએ
, એટલે કે જમણી બાજુની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને તેની બરાબર છે એ, જેનો અર્થ છે કે ડાબી બાજુએ પણ મર્યાદા છે, એટલે કે.
, અને
.

પર્યાપ્તતા. તેને અસ્તિત્વમાં રહેવા દો
. પછી, પ્રકરણ 1 ના § 16 ના પ્રમેય 1 દ્વારા
, ક્યાં - અવિરતપણે નાનું કાર્યખાતે
. આથી, એટલે કે. કાર્ય બિંદુ પર અલગ છે .

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી. પ્રમેય 1 થી તે અનુસરે છે કે મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન અને વિભેદક કાર્ય ધરાવતા કાર્યની વિભાવનાઓ સમાન છે. તેથી, મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન ધરાવતા કાર્યને વિભેદક કહી શકાય, જે અમુક પાઠ્યપુસ્તકોના લેખકો કરે છે.

કાર્યોની સાતત્યતા અને ભિન્નતાના ગુણધર્મો એકબીજા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? થાય છે

પ્રમેય 2. જો કાર્ય
બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું , પછી તે આ બિંદુએ સતત છે.

પુરાવો. કારણ કે બિંદુ પર
, આપણી પાસે છે, જેનો અર્થ બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય છે .

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વાતચીત સાચી નથી, એટલે કે, ત્યાં સતત કાર્યો છે જે અલગ નથી.

ઉદાહરણ 1. ચાલો બતાવીએ કે ફંક્શન
સતત પરંતુ એક બિંદુ પર અલગ નથી
.

ઉકેલ. ચાલો બિંદુ પર ફંક્શનનો વધારો શોધીએ
, ઇન્ક્રીમેન્ટને અનુરૂપ
દલીલ અમારી પાસે છે. તેથી જ
, એટલે કે, કાર્ય
એક બિંદુ પર સતત
. બીજી બાજુ,,

, એટલે કે બિંદુ પર એકતરફી ડેરિવેટિવ્ઝ
સમાન નથી, તેથી, આ બિંદુએ આ કાર્ય અલગ નથી.

ગાણિતિક પૃથ્થકરણમાં એવા કાર્યોના ઉદાહરણો છે જે સંખ્યા રેખા પરના દરેક બિંદુ પર સતત હોય છે, પરંતુ વિભેદક નથી. તેમની પાસે એક જટિલ ડિઝાઇન છે.

પ્રમેય 3. કાર્ય કરવા દો
બિંદુ પર છે વ્યુત્પન્ન
, કાર્ય
અનુરૂપ બિંદુ પર છે
વ્યુત્પન્ન
. પછી જટિલ કાર્ય
બિંદુ પર છે વ્યુત્પન્ન

અથવા, ટૂંકમાં,
.

પુરાવો. ચાલો મૂલ્ય આપીએ વધારો
. પછી આપણને અનુરૂપ વધારો મળે છે
કાર્યો
અને વધારો
કાર્યો
. પ્રમેય 1 દ્વારા આપણી પાસે છે

, ક્યાં
ખાતે
.

.

નોંધ કરો કે જો
, પછી
પ્રમેય 2 દ્વારા, તેથી
. આથી,.

સમાનતાની જમણી બાજુએ મર્યાદા હોવાથી, ડાબી બાજુએ પણ મર્યાદા છે અને

.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી. પ્રમેય 3 કેસ માટે સાબિત થયું છે જ્યારે જટિલ કાર્ય
એક મધ્યવર્તી ચલ છે
. જો ત્યાં ઘણા મધ્યવર્તી ચલો છે, તો વ્યુત્પન્નની ગણતરી સમાન રીતે કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો
,
,
, તે.

§ 3. ભિન્નતાના નિયમો. મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન

પ્રમેય 1. કાર્ય કરવા દો
, સતત, સેગમેન્ટ પર સખત રીતે એકવિધ
અને આંતરિક બિંદુ પર અલગ આ સેગમેન્ટ, અને
. પછી વ્યસ્ત કાર્ય
બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું
, અને
.

પુરાવો. નોંધ કરો કે પ્રમેયની શરતો હેઠળ વ્યસ્ત કાર્ય
અસ્તિત્વમાં છે, અંતરાલ પર સતત અને સખત રીતે એકવિધ છે
પ્રકરણ 1 ના § 19 થી પ્રમેયના આધારે.

ચાલો તેનો અર્થ આપીએ વધારો
. પછી
ઇન્ક્રીમેન્ટ મળશે

(કાર્ય થી
સખત રીતે એકવિધ). તેથી આપણે લખી શકીએ છીએ
. ક્યારથી
વ્યસ્ત કાર્યની સાતત્યને કારણે અને
અને, ધારણા દ્વારા, ત્યાં અસ્તિત્વમાં છે
, અમારી પાસે છે
. આ અસ્તિત્વ સૂચવે છે અને સમાનતા
.

ઉદાહરણપ્રમેય સાબિત થયો છે. 1. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો આર્ક્સીન,x આર્ક્સીન,આર્કોસ આર્ક્સીન,arctg આર્ક્સીન/

ઉકેલ arcctg
, અમારી પાસે છે
. પ્રમેય 1 દ્વારા આપણી પાસે છે (ત્યારથી

અને વત્તા ચિહ્ન સાથે રુટ લો).

પ્રમેયતેવી જ રીતે,
2. જો કાર્યો
અને બિંદુ પર ડેરિવેટિવ્ઝ છે , પછી બિંદુ પર
ડેરિવેટિવ્ઝ અને કાર્યો છે
(જો

) અને સૂત્રો માન્ય છે)
;એ)
;b)
.

પુરાવો.) અને સૂત્રો માન્ય છેવી
) દો વધારો
. ચાલો આપીએ . પછી કાર્યો,u,વિ y
, અને

ઇન્ક્રીમેન્ટ મળશે
. ) અને સૂત્રો માન્ય છેઅહીંથી

એવી
અને સમાનતા ) અને સૂત્રો માન્ય છે) સાબિત થયું છે.

,
. બિંદુ સમાન એ).

bવી
) અમારી પાસે છે
,
,
,, એટલે કે સૂત્ર ધરાવે છે b).

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

. અમારી પાસે છે, એટલે કે સૂત્ર ધરાવે છે
પરિણામો
.

. 1) જો ) અને સૂત્રો માન્ય છે, તે 2) ફોર્મ્યુલા) કોઈપણ માટે ધરાવે છે

પુરાવોમર્યાદિત સંખ્યા
શરતો

. 1) કારણ કે , અમારી પાસે છે. IN

સામાન્ય કેસ
, ક્યાં . પછી કાર્યો 2. જો કાર્યો uકોરોલરીઝ 2) અને 3) ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ દ્વારા સાબિત થાય છે. ઘાતાંકીય કાર્યને ધ્યાનમાં લો- માંથી કેટલાક કાર્યો એક્સ. ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ . પછી કાર્યો 2. જો કાર્યો uખાતે એક્સબિંદુ કે જ્યાં કાર્યો અલગ છે
.આ કરવા માટે, કાર્યની કલ્પના કરો

ફોર્મમાં

જટિલ કાર્યના ભિન્નતાના નિયમ દ્વારા, પ્રમેય 2 અને § 1 ના ઉદાહરણ 1 ના આધારે આપણી પાસે આમ, ઘાતાંકીય કાર્ય, અને બીજું - જેમ પાવર કાર્ય. ઉપયોગમાં લેવાતી વિભેદક તકનીક કહેવામાં આવે છે લઘુગણક તફાવત . જ્યારે ફંક્શનને અલગ પાડવામાં આવે છે તે ઘણા પરિબળોનું ઉત્પાદન હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરવો પણ અનુકૂળ હોઈ શકે છે.

ચાલો હવે ફંક્શનના પેરામેટ્રિક સ્પષ્ટીકરણ તરફ આગળ વધીએ. જો કાર્ય નિર્ભરતા એક્સદલીલ થી ઘાતાંકીય કાર્યને ધ્યાનમાં લોસીધા સેટ નથી, પરંતુ કેટલાક ત્રીજા ચલનો ઉપયોગ કરીને t, પરિમાણ કહેવાય છે, સૂત્રો

, (3.1)

પછી તેઓ કહે છે કે કાર્ય એક્સથી ઘાતાંકીય કાર્યને ધ્યાનમાં લોપેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત.

જો ઘાતાંકીય કાર્યને ધ્યાનમાં લો 2. જો કાર્યો ખાતેપ્લેન પરના બિંદુના લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે ગણવામાં આવે છે, પછી સમીકરણો (3.1) દરેક મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલા છે
બિંદુ
વિમાનમાં. પરિવર્તન સાથે tબિંદુ
પ્લેન પરના કેટલાક વળાંકનું વર્ણન કરે છે. સમીકરણો (3.1) ને આ વળાંકના પેરામેટ્રિક સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણો

(3.2)

અર્ધ-અક્ષો સાથે લંબગોળના પેરામેટ્રિક સમીકરણો છે ) અને સૂત્રો માન્ય છે 2. જો કાર્યો b.

જો (3.1) માં સમીકરણ
પ્રમાણમાં પરવાનગી છે t,
, તે પેરામેટ્રિક સ્પષ્ટીકરણકાર્યોને સ્પષ્ટ રીતે ઘટાડી શકાય છે:

.

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ ફંક્શન પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત છે. આ કરવા માટે, ધારો કે કાર્યો
2. જો કાર્યો
વિભેદક, અને
અમુક અંતરાલ પર, અને કાર્ય માટે
ત્યાં એક વ્યસ્ત કાર્ય છે
, મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન કર્યા
. પછી, જટિલ અને ભિન્નતાના નિયમ અનુસાર વ્યસ્ત કાર્યોઅમે શોધીએ છીએ:
. આમ,

. (3.3)

ઉદાહરણ તરીકે, વ્યુત્પન્ન સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય (3.2) ફોર્મ ધરાવે છે

.

એક બિંદુ પર પરિમાણિત રીતે વ્યાખ્યાયિત વળાંક માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ
પરિમાણ મૂલ્યને અનુરૂપ , સમીકરણ (1.4) માંથી મેળવવામાં આવે છે, જો તેના બદલે
અવેજી :

,

અહીંથી
અમારી પાસે છે

. (3.4)

એ જ રીતે, સમીકરણ (1.5) થી આપણે સામાન્ય સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

અથવા (3.5)

ચાલો હવે મૂળભૂતના ડેરિવેટિવ્ઝના સારાંશ કોષ્ટકો લખીએ પ્રાથમિક કાર્યોઅને અગાઉ મેળવેલ ભિન્નતાના નિયમો.

ભિન્નતાના નિયમો

1.
. 2.
. 3.
. 4.
.

5. જો
પરિણામો
.
6. જો
.

તે
7. જો
. 8..

તે પછી, વ્યસ્ત કાર્ય છે

1.
, ક્યાં
. 2.
મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક

3.
. 4.
.
.

5.
. 6.
.

7.
. 8.
.

9.
. 10.
.

11.
મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
. 12.
મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
.

, ખાસ કરીને,

ચાલો એક સેગમેન્ટ પર સ્ટેપ બાય સ્ટેપ પર સહાયક ફંક્શન બનાવીએ. શૂન્ય સ્ટેપ પર આપણે બે પોઈન્ટ સેટ કરીશું: .

અને આગળ આપણે પરિમાણને ઠીક કરીએ છીએ. પ્રથમ અને પછીના પગલાઓ પર આપણે તે મુજબ પોઈન્ટ સેટ કરીશુંઆગામી નિયમ : x-અક્ષને અડીને દરેક બે અગાઉ બાંધવામાં આવેલા બિંદુઓ માટે અને અમે બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબચોરસના કેન્દ્રના સંદર્ભમાં અને ગુણાંક સાથે બે નવા બિંદુઓ અને કેન્દ્રીય રીતે સમપ્રમાણરીતે બાંધીશું. k

ચાલો એક સેગમેન્ટ પર સ્ટેપ બાય સ્ટેપ પર સહાયક ફંક્શન બનાવીએ. શૂન્ય સ્ટેપ પર આપણે બે પોઈન્ટ સેટ કરીશું: . એટલે કે, પ્રથમ પગલા પર બે નવા મુદ્દા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યા છે:

, વગેરે ચાલુ(m+1)-

,

નજીકના પહેલાથી બાંધેલા બિંદુઓ વચ્ચે x-અક્ષ સાથે તમામ જગ્યાઓમાં બે બિંદુઓ બાંધવામાં આવે છે. આ બાંધકામ નીચે પ્રમાણે હાથ ધરવામાં આવે છે: અડીને આવેલા બિંદુઓ (બાજુઓ સાથે લંબચોરસ) વચ્ચેના એબ્સીસા અક્ષ સાથેની જગ્યાઓ aચાલો એક સેગમેન્ટ પર સ્ટેપ બાય સ્ટેપ પર સહાયક ફંક્શન બનાવીએ. શૂન્ય સ્ટેપ પર આપણે બે પોઈન્ટ સેટ કરીશું: b) દરેકને 3 સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે. પછી નીચેની યોજનાઓમાંથી એક અનુસાર બે નવા બિંદુઓ બનાવવામાં આવે છે:

પડોશી બિંદુઓમાંથી કયો ઉચ્ચ અથવા વધુ છે તેના આધારે, અમે ડાબી અથવા જમણી યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ પગલા પર, ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે, અમે સ્વીકારીએ છીએ a = b = 1.

અમે m = 1, 2, 3, …. માટે ગણનાપાત્ર સંખ્યામાં બાંધકામનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ. પરિણામે, અમે એક ફ્રેકટલ મેળવીશું જે ચોક્કસ સુધી સમાન હશે સંલગ્ન રૂપાંતરદરેક સ્ટ્રીપમાં સમાયેલ તેના કોઈપણ ભાગોનું (સ્ટ્રેચિંગ, કમ્પ્રેશન, રોટેશન)

;

ફ્રેક્ટલ બનાવવાના પરિણામે, આપણે પોઈન્ટના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય મેળવીએ છીએ

જે સેગમેન્ટમાં દરેક જગ્યાએ ગાઢ છે.

બાંધવામાં આવેલ કાર્યમાં કયા ગુણધર્મો છે?

· ફોર્મ (*) ના દરેક બિંદુ પર ક્યાં તો કડક મહત્તમ અથવા કડક લઘુત્તમ છે, એટલે કે. કાર્ય g(x)ક્યાંય મોનોટોનિક નથી, અને સેગમેન્ટ પર કડક આત્યંતિક બિંદુઓના ગાઢ સેટ છે;

· ફંક્શન g(x) સતત છે, અને પોઈન્ટ (*) ના સમૂહ પર પણ એકસરખી રીતે ચાલુ છે;

· સેગમેન્ટ પર સતત બાંધવામાં આવેલ ફંક્શન કોઈપણ બિંદુ પર નથી આ સેગમેન્ટનાએકતરફી ડેરિવેટિવ્ઝ પણ;

ઉપરોક્ત ગુણધર્મો "ગાણિતિક વિશ્લેષણના પસંદ કરેલા પ્રકરણો" કોર્સમાં સાબિત થયા હતા.

ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણમાં, અમે પરિમાણ ધારણ કર્યું છે. આ પરિમાણના મૂલ્યને બદલીને, તમે ફંક્શનના પરિવારોને તેમના પોતાના વિશિષ્ટ ગુણધર્મો સાથે મેળવી શકો છો.

· આ કાર્યો સતત અને સખત રીતે એકવિધ રીતે વધી રહ્યા છે. તેમની પાસે પોઈન્ટના સેટ પર શૂન્ય અને અનંત ડેરિવેટિવ્ઝ (અનુક્રમે, ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ) છે જે સેગમેન્ટમાં દરેક જગ્યાએ ગાઢ છે.

· પ્રાપ્ત રેખીય કાર્ય y = x

· ફંક્શનના પરિવારના ગુણધર્મો પ્રથમ શ્રેણીમાંથી k ના મૂલ્યો જેવા જ છે.

· અમે Cantor ફંક્શન મેળવ્યું છે, જેનો અમારા દ્વારા અગાઉ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

· આ ફંક્શન્સ સતત છે, ક્યાંય એકવિધ નથી, કડક મિનિમા અને મેક્સિમા, શૂન્ય અને અનંત (બંને ચિહ્નોના) એકતરફી વ્યુત્પન્ન બિંદુઓના સેટ પર છે જે સેગમેન્ટમાં દરેક જગ્યાએ ગાઢ છે.

· . આ કાર્યઉપર અમારા દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

· આ શ્રેણીમાંથી ફંક્શનમાં ફંક્શન પરના સમાન ગુણધર્મો છે.

નિષ્કર્ષ.

મારા કાર્યમાં, મેં "ગાણિતિક વિશ્લેષણના પસંદ કરેલા પ્રકરણો" કોર્સમાંથી કેટલાક ઉદાહરણોનો અમલ કર્યો. IN આ કામમેં વિઝ્યુલાઇઝ કરેલા પ્રોગ્રામ્સના સ્ક્રીનશોટ દાખલ કરવામાં આવ્યા હતા. હકીકતમાં, તેઓ બધા ઇન્ટરેક્ટિવ છે; ચોક્કસ પગલું, તેને પુનરાવર્તિત રીતે જાતે બનાવો અને સ્કેલને નજીક લાવો. બાંધકામ અલ્ગોરિધમ્સ, તેમજ કેટલાક પુસ્તકાલય કાર્યો હાડપિંજરમાટે ખાસ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા અને સુધારેલ હતા આ પ્રકારસમસ્યાઓ (મુખ્યત્વે ફ્રેકટલ્સ ગણવામાં આવતા હતા).

આ સામગ્રી નિઃશંકપણે શિક્ષકો અને વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થશે અને "ગાણિતિક વિશ્લેષણના પસંદ કરેલા પ્રકરણો" કોર્સના પ્રવચનો માટે સારો સાથ છે. આ વિઝ્યુલાઇઝેશનની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ બાંધવામાં આવેલા સેટની પ્રકૃતિને વધુ સારી રીતે સમજવામાં અને વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા સામગ્રીને સમજવાની પ્રક્રિયાને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

વર્ણવેલ પ્રોગ્રામ્સ www.visualmath.ru પ્રોજેક્ટના વિઝ્યુઅલ મોડ્યુલોની લાઇબ્રેરીમાં શામેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, અહીં કેન્ટર ફંક્શન છે જે આપણે પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લીધું છે:

ભવિષ્યમાં, વિઝ્યુલાઇઝ્ડ કાર્યોની સૂચિને વિસ્તૃત કરવાની અને વધુ માટે બાંધકામ એલ્ગોરિધમ્સમાં સુધારો કરવાની યોજના છે. કાર્યક્ષમ કાર્યકાર્યક્રમો www.visualmath.ru પ્રોજેક્ટમાં કામ કરવાથી નિઃશંકપણે ઘણો લાભ અને અનુભવ, ટીમ વર્ક કૌશલ્યો, શક્ય તેટલી સ્પષ્ટ રીતે શૈક્ષણિક સામગ્રીનું મૂલ્યાંકન કરવાની અને પ્રસ્તુત કરવાની ક્ષમતા મળી છે.

સાહિત્ય.

1. બી. ગેલ્બૌમ, જે. ઓલ્મસ્ટેડ, વિશ્લેષણમાં પ્રતિઉદાહરણ. એમ.: મીર.1967.

2. બી.એમ. મકારોવ એટ અલ વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં પસંદ કરેલી સમસ્યાઓ. નેવસ્કી બોલી, 2004.

3. બી. મેન્ડેલબ્રોટ. પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ. ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર કોમ્પ્યુટર સ્ટડીઝ, 2002.

4. યુ.એસ. ઓચન, TFDP પર સમસ્યાઓ અને પ્રમેયનો સંગ્રહ. એમ.: જ્ઞાન. 1963.

5. વી.એમ. ગાણિતિક વિશ્લેષણ દરમિયાન શિબિન્સકી ઉદાહરણો અને પ્રતિઉદાહરણ. એમ.: સ્નાતક શાળા, 2007.

6. આર.એમ ગતિશીલ સિસ્ટમો, એમ.: પોસ્ટમાર્કેટ, 2000.

7. એ. એ. નિકિટિન, ગાણિતિક વિશ્લેષણના પસંદ કરેલા પ્રકરણો // મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, 2011 / એડ. એસ.એ. લોઝકિન. એમ.: મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીના કોમ્પ્યુટેશનલ મેથેમેટિક્સ અને મેથેમેટિક્સ ફેકલ્ટીનો પ્રકાશન વિભાગ. એમ.વી. લોમોનોસોવા, 2011. પૃષ્ઠ 71-73.

8. આર.એમ. ક્રોનોવર, ફ્રેક્ટલ્સ એન્ડ ચેઓસ ઇન ડાયનેમિક સિસ્ટમ્સ, એમ.: પોસ્ટમાર્કેટ, 2000.

9. દરેક જગ્યાએ સતત, પરંતુ ક્યાંય બિન-વિભેદક કાર્ય // XVI ઇન્ટરનેશનલ લોમોનોસોવ રીડિંગ્સ: કલેક્શન વૈજ્ઞાનિક કાર્યો. – અર્ખાંગેલ્સ્ક: પોમેરેનિયન સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, 2004. P.266-273.

ખુલ્લા સમૂહોની ગણતરીપાત્ર સંખ્યા (સંલગ્ન અંતરાલો)નું જોડાણ ખુલ્લું છે, અને ખુલ્લા સમૂહનું પૂરક બંધ છે.

બિંદુનો કોઈપણ પડોશી ) અને સૂત્રો માન્ય છેકેન્ટર સેટ, માંથી ઓછામાં ઓછો એક બિંદુ છે, તેનાથી અલગ છે એ.

બંધ અને સમાવતું નથી અલગ બિંદુઓ(દરેક બિંદુ એક મર્યાદા છે).

ત્યાં વધુમાં વધુ એક ગણી શકાય એવો સમૂહ છે જે દરેક જગ્યાએ ગાઢ છે.

A સમૂહ A જગ્યા R માં ક્યાંય ગીચ નથી જો કોઈ હોય તો ઓપન સેટઆ જગ્યામાં બીજો ખુલ્લો સમૂહ છે, જે સમૂહ A ના બિંદુઓથી સંપૂર્ણપણે મુક્ત છે.

એક બિંદુ, જેમાંથી કોઈપણ પડોશમાં આપેલ સમૂહના પોઈન્ટનો અગણિત સમૂહ હોય છે.

અમે કહીશું કે પ્લેનમાં સેટ ક્યાંય ગાઢ નથી મેટ્રિક જગ્યા R, જો આ જગ્યાના કોઈપણ ખુલ્લા વર્તુળમાં બીજું ખુલ્લું વર્તુળ હોય, તો આ સમૂહના બિંદુઓથી સંપૂર્ણપણે મુક્ત.