વર્ગો, સમૂહો, જૂથો, સિસ્ટમો. એક જ ઑબ્જેક્ટમાં ઘણા મૉડલ હોઈ શકે છે, અને એક મૉડલ દ્વારા વિવિધ ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન કરી શકાય છે

ગાણિતિક વિશ્લેષણ એ ગણિતની શાખા છે જે અનંત કાર્યના વિચાર પર આધારિત કાર્યોના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો ગાણિતિક વિશ્લેષણછે તીવ્રતા, સમૂહ, કાર્ય, અનંત નાનું કાર્ય, મર્યાદા, વ્યુત્પન્ન, અભિન્ન.

કદસંખ્યા દ્વારા માપી અને વ્યક્ત કરી શકાય તેવી કોઈપણ વસ્તુ કહેવાય છે.

ઘણાકેટલાક દ્વારા સંયુક્ત કેટલાક તત્વોનો સંગ્રહ છે સામાન્ય લક્ષણ. સમૂહના તત્વો સંખ્યાઓ, આકૃતિઓ, વસ્તુઓ, ખ્યાલો વગેરે હોઈ શકે છે.

સમૂહો સૂચવવામાં આવે છે મોટા અક્ષરોમાં, અને ઘણા તત્વો છે નાના અક્ષરો. સેટના તત્વો સર્પાકાર કૌંસમાં બંધ છે.

જો તત્વ xઘણાની છે એક્સ, પછી લખો x∈એક્સ (∈ - સંબંધ ધરાવે છે).
જો સમૂહ A સમૂહ B નો ભાગ છે, તો લખો A ⊂ B (⊂ - સમાયેલ છે).

સમૂહને બેમાંથી એક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: ગણતરી દ્વારા અને વ્યાખ્યાયિત ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને.

• A=(1,2,3,5,7) - સંખ્યાઓનો સમૂહ
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - કેટલાક તત્વોનો સમૂહ x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — પૂર્ણાંકોનો સમૂહ

સમૂહ (-∞;+∞) કહેવાય છે સંખ્યા રેખા, અને કોઈપણ સંખ્યા આ રેખા પર એક બિંદુ છે. ચાલો એક - મનસ્વી બિંદુસંખ્યા રેખા અનેδ - હકારાત્મક સંખ્યા. અંતરાલ (a-δ; a+δ) કહેવાય છે δ-બિંદુ a ની પડોશ.

સમૂહ X ઉપરથી (નીચેથી) બંધાયેલ છે જો ત્યાં કોઈ સંખ્યા c હોય કે જે કોઈપણ x ∈ X માટે અસમાનતા x≤с (x≥c) ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં સી નંબર કહેવાય છે ટોચ (નીચે) ધારસેટ X. ઉપર અને નીચે બંનેને બંધાયેલ સમૂહ કહેવાય છે મર્યાદિત. સમૂહના ઉપલા (નીચલા) ચહેરાઓમાંથી સૌથી નાનો (સૌથી મોટો) કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ ટોચ (નીચે) ધારઆ ટોળામાંથી.

મૂળભૂત સંખ્યા સમૂહો

જો સમૂહમાં એક પણ તત્વ નથી, તો તેને કહેવામાં આવે છે ખાલી સેટઅને નોંધાયેલ છે Ø .

તાર્કિક પ્રતીકવાદના તત્વો

નોટેશન ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

ગાણિતિક સમીકરણો લખતી વખતે ક્વોન્ટિફાયરનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.

ક્વોન્ટિફાયરએક તાર્કિક પ્રતીક કહેવાય છે જે તેને અનુસરતા તત્વોને જથ્થાત્મક દ્રષ્ટિએ દર્શાવે છે.

• ∀- સામાન્ય પરિમાણકર્તા, "દરેક માટે", "કોઈપણ માટે" શબ્દોને બદલે વપરાય છે.
• ∃- અસ્તિત્વ પરિમાણકર્તા, "અસ્તિત્વમાં છે", "ઉપલબ્ધ છે" શબ્દોને બદલે વપરાય છે. પ્રતીક સંયોજન ∃ પણ વપરાય છે, જે ફક્ત એક જ હોય ​​તેમ વાંચવામાં આવે છે.

સેટ ઓપરેશન્સ

બે સેટ A અને B સમાન છે(A=B) જો તેઓ સમાન તત્વો ધરાવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, જો A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) તો A=B.

સંઘ દ્વારા (સરવાળા)સેટ A અને B એ સમૂહ A ∪ B છે જેના તત્વો આ સમૂહોમાંથી ઓછામાં ઓછા એકના છે.
ઉદાહરણ તરીકે, જો A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), તો A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

આંતરછેદ દ્વારા (ઉત્પાદન)સમૂહ A અને Bને સમૂહ A ∩ B કહેવામાં આવે છે, જેનાં તત્વો A અને B સમૂહ બંનેનાં છે.
ઉદાહરણ તરીકે, જો A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), તો A ∩ B = (2,4)

તફાવત દ્વારા A અને B સેટને સેટ AB કહેવામાં આવે છે, જેનાં તત્વો A સમૂહના છે, પરંતુ B સેટ સાથે જોડાયેલા નથી.
ઉદાહરણ તરીકે, જો A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), તો AB = (1,2)

સપ્રમાણ તફાવતસમૂહો A અને Bને સમૂહ A Δ B કહેવામાં આવે છે, જે AB અને BA સમૂહોના તફાવતોનું જોડાણ છે, એટલે કે, A Δ B = (AB) ∪ (BA).
ઉદાહરણ તરીકે, જો A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), તો A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

સેટ કામગીરીના ગુણધર્મો

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

ગણી શકાય તેવા અને અગણિત સેટ

કોઈપણ બે સેટ A અને B ની સરખામણી કરવા માટે, તેમના તત્વો વચ્ચે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે.

જો આ પત્રવ્યવહાર એક-થી-એક હોય, તો સેટને સમકક્ષ અથવા સમાન શક્તિશાળી, A B અથવા B A કહેવામાં આવે છે.

લેગ BC પરના બિંદુઓનો સમૂહ અને ત્રિકોણ ABC નો કર્ણ AC સમાન શક્તિનો છે.

ફકરા શિક્ષણ તત્વો:

મોડેલની વિભાવનાના વિકાસમાં ઇતિહાસવાદ.

સિસ્ટમ

ગુણધર્મો

સંબંધતત્વો વચ્ચે.

કન્સેપ્ટ મોડલની વ્યાખ્યા.

વિજ્ઞાનના વિકાસમાં મોડેલની વિભાવનામાં નોંધપાત્ર ફેરફારો થયા છે.

શરૂઆતમાં, મોડેલને કેટલાક સહાયક ઉપકરણ કહેવામાં આવતું હતું, એક ઑબ્જેક્ટ જે ચોક્કસ પરિસ્થિતિમાં અન્ય ઑબ્જેક્ટને બદલે છે. તે જ સમયે, પ્રકૃતિના નિયમોની સાર્વત્રિકતા અને મોડેલિંગની સાર્વત્રિકતા, એટલે કે, તરત જ સમજી શક્યા ન હતા. માત્ર એક તક જ નહીં, પણ મોડેલના રૂપમાં અમારા કોઈપણ જ્ઞાનનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાની આવશ્યકતા પણ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાચીન ફિલસૂફો કુદરતી પ્રક્રિયાઓને મોડેલ બનાવવાનું અશક્ય માનતા હતા, કારણ કે, તેમના વિચારો અનુસાર, કુદરતી અને કૃત્રિમ પ્રક્રિયાઓ વિવિધ કાયદાઓનું પાલન કરે છે. તેઓ માનતા હતા કે પ્રકૃતિનું નિરૂપણ ફક્ત તર્ક, ચર્ચા, તર્કની મદદથી કરી શકાય છે, એટલે કે. આધુનિક પરિભાષા અનુસાર, ભાષાના નમૂનાઓ.

ઘણી સદીઓ પછી, ઇંગ્લિશ રોયલ સાયન્ટિફિક સોસાયટીનું સૂત્ર "શબ્દોમાં કંઈ નથી" એવું સૂત્ર બની ગયું. માત્ર પ્રાયોગિક અથવા ગાણિતિક ગણતરીઓ દ્વારા સમર્થિત તારણો સ્વીકારવામાં આવ્યા હતા. પરિણામે, ખૂબ લાંબા સમય સુધી "મોડેલ" ની વિભાવના ફક્ત ભૌતિક વસ્તુઓ પર લાગુ થઈ.

માત્ર પછીથી જ રેખાંકનો, રેખાંકનો, નકશા - કૃત્રિમ મૂળના વાસ્તવિક પદાર્થો, એકદમ ઉચ્ચ સ્તરના અમૂર્તતાઓને મૂર્ત સ્વરૂપ આપતી મોડેલ ગુણધર્મો - અનુભૂતિ થઈ. આગળનું પગલું એ ઓળખવાનું હતું કે માત્ર વાસ્તવિક વસ્તુઓ જ નહીં, પણ આદર્શ, અમૂર્ત રચનાઓ, ઉદાહરણ તરીકે, ગાણિતિક મોડેલો, મોડેલ તરીકે સેવા આપી શકે છે.

તે યાદ રાખવું જોઈએ કે કોઈપણ પદાર્થ (મૂળ) એ એક સિસ્ટમ છે. ઔપચારિક રીતે, સિસ્ટમને નીચેના સંબંધ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે:

S= (E, P, R)→ C

સિસ્ટમ ઘણા તત્વોથી બનેલી છે ઇ, ચોક્કસ પ્રોપર્ટીઝ સાથે આરઅને ચોક્કસ સંબંધો દ્વારા જોડાયેલ છે આર. સિસ્ટમ ચોક્કસ ધ્યેયની અનુભૂતિ કરે છે સાથે.

ચોક્કસ અર્થમાં, મોડેલ પણ એક સિસ્ટમ છે:

s=(e , p , r )→ s

સંબંધ દ્વારા, R આપણે બે અથવા વધુ સામગ્રી અથવા અમૂર્ત વસ્તુઓ અથવા ઘટનાઓની પરસ્પર નિર્ભરતા અથવા ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને સમજીશું. ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સંબંધો ભૌતિક, ઊર્જા અથવા માહિતીપ્રદ હોઈ શકે છે. પરસ્પર નિર્ભરતાના નીચેના સંબંધોને અલગ પાડવામાં આવે છે: સમાનતા, ઓળખ, સામ્યતા, હોમોમોર્ફિઝમ, આઇસોમોર્ફિઝમ, કારણ - અસર, ધ્યેય - અર્થ, જોડાણ (ક્રમિક, સમાંતર, વિપરીત, સંયુક્ત).

પરસ્પર નિર્ભરતા કાર્યાત્મક, તાર્કિક, અવકાશી અને ટેમ્પોરલ પણ હોઈ શકે છે. વધુમાં, પદાર્થો A, B, C વચ્ચે સંબંધો હોઈ શકે છે:

રીફ્લેક્સિવિટી - A=A

સમપ્રમાણતા – A=B, અને B=A

સંક્રમણ – A=B, B=C, A=C

સમાનતા - જો પ્રથમ ત્રણ સંબંધો મળ્યા હોય.

પ્રોપર્ટી પી એ સંકુચિત (એક સ્થાને) સંબંધ છે.

વિભાવના "સિસ્ટમ" ની જેમ, "મોડેલ" ખ્યાલની ઘણી વ્યાખ્યાઓ છે. અમે નીચેનાને વળગી રહીશું: મોડલ

સામાન્ય અર્થમાં, માનસિક ઇમેજના સ્વરૂપમાં માહિતી મેળવવા અને (અથવા) સંગ્રહિત કરવાના હેતુ માટે બનાવવામાં આવેલ ચોક્કસ ઑબ્જેક્ટ છે, સાંકેતિક માધ્યમ દ્વારા વર્ણન (સૂત્રો, ગ્રાફિક્સ, વગેરે), અથવા ભૌતિક ઑબ્જેક્ટ, જે પ્રતિબિંબિત કરે છે. મનસ્વી પ્રકૃતિના મૂળ પદાર્થના ગુણધર્મો, લાક્ષણિકતાઓ અને જોડાણો, વ્યક્તિ દ્વારા હલ કરવામાં આવેલી સમસ્યા માટે જરૂરી છે.

આ વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે મોડેલની વિભાવનાને ફક્ત મોડેલ તરીકે જ સીમિત કરી શકાતી નથી.

આકૃતિ 1.1 માંનો આકૃતિ મોડેલને "વિષય" - મોડેલિંગનો આરંભ કરનાર અને (અથવા) તેના પરિણામોના વપરાશકર્તા વચ્ચેના મલ્ટિ-પ્લેસ સંબંધ તરીકે દર્શાવે છે; "મૂળ પદાર્થ" એ મોડેલિંગનો વિષય છે; "મોડેલ" - ઑબ્જેક્ટનું પ્રદર્શન; "પર્યાવરણ" જેમાં આ સમૂહના તમામ ઘટકો સ્થિત છે અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. અમે સંક્ષિપ્તમાં કહી શકીએ કે મોડેલ મૂળનું પ્રણાલીગત પ્રતિબિંબ છે.

દરેક ભૌતિક પદાર્થ વિવિધ કાર્યો સાથે સંકળાયેલા અસંખ્ય વિવિધ મોડેલોને અનુરૂપ છે. તેથી, મોડેલો વર્ગીકૃત કરવા માટે ઘણા માપદંડો છે. પ્રશ્નો

સ્વ-નિયંત્રણ અને એમકે માટેની તૈયારી માટે:

વિજ્ઞાનના વિકાસ સાથે મોડેલનો ખ્યાલ કેવી રીતે બદલાયો છે?

સિસ્ટમમાં તત્વો વચ્ચે શું સંબંધ છે?

મોડેલનો ખ્યાલ હાલમાં કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે?

શું મૂળ ઑબ્જેક્ટમાં ઘણા મોડેલ હોઈ શકે છે?

પરસ્પર નિર્ભરતા સંબંધોના પ્રકારો અને પ્રકારો માટેની વિભાવનાઓની જ્ઞાનકોશમાં વ્યાખ્યાઓ શોધો.

ભૌતિકશાસ્ત્ર, ગણિત અને કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં અભ્યાસ કરાયેલ સિસ્ટમ્સમાં કયા સંબંધોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા હતા?

ત્રણ કેન્ટર ધૂળના અંતિમ બિંદુઓનો સમૂહ સ્વ-સમાન છે અને સમાન મૂલ્યો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે અને તમામ કેન્ટર ધૂળની જેમ, એટલે કે. તેનું સમાનતા પરિમાણ કેન્ટરની ધૂળના સમાનતા પરિમાણ સાથે એકરુપ છે. જો કે, તે ગણતરીપાત્ર છે, જેનો અર્થ છે કે તેનું Hausdorff-Besicovitch પરિમાણ શૂન્ય છે. જો આપણે અહીં ધૂળના મર્યાદિત બિંદુઓ ઉમેરીએ, તો પછી આપણને કેન્ટરની ધૂળ પોતે જ મળે છે, અને સમાનતાના પરિમાણની "તરફેણમાં" વિસંગતતા અદૃશ્ય થઈ જશે, જે આ સમૂહ માટે વધુ મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા છે.

બીજું એક સરળ ઉદાહરણ, જેને હું બેસીકોવિચ સમૂહ કહું છું, તેની ચર્ચા બિન-લેક્યુનરી ફ્રેકટલ્સ પરના વિભાગમાં કરવામાં આવી છે, 3.

ફોરિયર ડાયમેન્શન અને હ્યુરિસ્ટિક્સ

નું અમુક બિન-ઘટતું કાર્ય હોવા દો. જો મહત્તમ ખુલ્લા અંતરાલો કે જેમાં મૂલ્ય સતત હોય છે તે બંધ સમૂહના પૂરકમાં ઉમેરાય છે, તો અમે કહીએ છીએ કે સમૂહ માટે આધાર છે. ફંક્શનના ફ્યુરિયર-સ્ટીલ્ટજેસ ટ્રાન્સફોર્મનું સ્વરૂપ છે

સરળ કાર્યો સૌથી વધુ શક્ય ઘટાડો દર આપે છે. ચાલો સૌથી મોટી વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા સૂચિત કરીએ કે જેના માટે સમર્થન સાથે ઓછામાં ઓછું એક કાર્ય સમાનતાને સંતોષે છે

દરેક માટે,

પરંતુ તેમાંથી કોઈ સંતોષતું નથી

કેટલાક માટે.

અભિવ્યક્તિ "at" નો અર્થ અહીં થાય છે . જ્યારે સમૂહ સમગ્ર અંતરાલને ભરે છે, ત્યારે તેની તીવ્રતા અનંત છે. અને ઊલટું, જ્યારે ત્યાં એક છે - એકમાત્ર બિંદુ, . રસપ્રદ રીતે, જ્યારે શૂન્ય લેબેસગ્યુ માપના સમૂહનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, ત્યારે જથ્થો મર્યાદિત હોય છે અને આ સમૂહના હૌસડોર્ફ-બેસીકોવિચ પરિમાણ કરતાં વધી જતો નથી. અસમાનતા દર્શાવે છે કે ખંડિત સમૂહના ખંડિત અને હાર્મોનિક ગુણધર્મો એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય છે, પરંતુ જરૂરી નથી કે તે એકરૂપ હોય.

આ પરિમાણ અલગ હોઈ શકે છે તે સાબિત કરવા માટે, ધારો કે તે રેખા પરનો સમૂહ છે અને તેનું પરિમાણ બરાબર છે. જો આપણે તેને પ્લેન પરના સમૂહ તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, તો પરિમાણ બદલાશે નહીં, પરંતુ શૂન્ય થઈ જશે.

વ્યાખ્યા.કેટલાક હાર્મોનિક ગુણધર્મોને સામાન્ય બનાવવાની અનુકૂળ રીત તરીકે, હું જથ્થાને સમૂહનું ફ્યુરિયર પરિમાણ કહેવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું.

સાલેમના સેટ.સમાનતા સમૂહોની સંપૂર્ણ શ્રેણીનું વર્ણન કરે છે જેને વિશિષ્ટતા સમૂહો અથવા સેલમ સમૂહો (જુઓ).

અંગૂઠો અને હ્યુરિસ્ટિક્સનો નિયમ.પૂર્વવર્તી અભ્યાસોમાં આપણને રસ હોય તેવા ફ્રેકટલ્સ, નિયમ તરીકે, સાલેમ સેટ તરીકે બહાર આવે છે. મૂલ્ય ઘણા કિસ્સાઓમાં પ્રાયોગિક ડેટામાંથી સરળતાથી નક્કી કરવામાં આવતું હોવાથી, તેનો અંદાજ કાઢવા માટે ઉપયોગ કરી શકાય છે.

સાલેમના બિન-રેન્ડમ સેટ.બિન-રેન્ડમ કેન્ટર ધૂળ એ સેલમ સમૂહ છે જો ગુણાંક ચોક્કસ સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક ગુણધર્મોને સંતોષે.

સાલેમ રેન્ડમ સેટ.રેન્ડમ કેન્ટર ડસ્ટ એ સેલમ સેટ છે જ્યારે તેની રેન્ડમનેસ કોઈપણ અંકગણિત નિયમિતતાનું ઉલ્લંઘન કરવા માટે પૂરતી મોટી હોય છે.

મૂળ ઉદાહરણ, આર. સાલેમે પોતે પ્રસ્તાવિત કર્યું છે, તે ખૂબ જટિલ છે. વૈકલ્પિક ઉદાહરણ તરીકે, લેવી ધૂળ ટાંકી શકાય છે: એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે સ્પેક્ટ્રમ (અહીં - લેવી સીડી, ફિગ. 399 જુઓ) સરેરાશ લગભગ અપૂર્ણાંક બ્રાઉનિયન ફંક્શનના સ્પેક્ટ્રમ સાથે સીધી રેખાથી સીધી રેખા સુધી એકરુપ છે અને તે એક છે. ગૌસ-વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનના સ્પેક્ટ્રમનું સ્મૂથ વર્ઝન.

મોનોગ્રાફમાં (પ્રમેય 1, પૃષ્ઠ. 165, અને 5, પૃષ્ઠ. 173) દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ઘાતાંક સાથે રેખાથી રેખા સુધીના અપૂર્ણાંક બ્રાઉનીયન કાર્યને સંબંધિત પરિમાણ સાથેના કોમ્પેક્ટ સમૂહની છબી એ પરિમાણ સાથેનો સેલમ સમૂહ છે. .

કેન્ટર ડસ્ટ એ સેલમ સેટ નથી.ટ્રિનિટી કેન્ટરની ધૂળનો જન્મ એક સમયે જ્યોર્જ કેન્ટરની વિશિષ્ટતાના સમૂહની શોધના પરિણામે થયો હતો (જુઓ, I, પૃષ્ઠ 196), એક શોધ જે સફળતાનો તાજ પહેરાવી ન હતી. (પછી કેન્ટરે હાર્મોનિક પૃથ્થકરણ છોડી દીધું અને - કંઈપણ વધુ સારી ન હોવાને કારણે - સેટ થિયરી બનાવી.) ચાલો કેન્ટરની સીડીને દ્વારા દર્શાવીએ. સ્પેક્ટ્રમ સ્પેક્ટ્રમ જેવો જ સામાન્ય આકાર ધરાવે છે, પરંતુ, પછીનાથી વિપરીત, સંખ્યાબંધ અવ્યવસ્થિત રીતે સ્થિત ન ઘટતા કદના તીક્ષ્ણ શિખરો ધરાવે છે, જેમાંથી આપણે તે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ. સેમી.

વિશિષ્ટતા સેટના સિદ્ધાંત માટે, આ શિખરોની હાજરી નિર્ણાયક ભૂમિકા ભજવે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં તે એટલા નોંધપાત્ર નથી. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, જ્યારે વર્ણપટની ઘનતાનો અંદાજ લગાવવામાં આવે છે, ત્યારે શિખરોને અવગણવામાં આવે છે અને માત્ર પરિમાણ દ્વારા નિર્ધારિત સ્પેક્ટ્રમના એકંદર આકારને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

મધ્યબિંદુ અને તૂટક તૂટક બહુકોણ

આ વિષય પરની સામગ્રી (પિયાનો વળાંકોથી સંબંધિત) 1977ના ફ્રેકટલ્સના XII પ્રકરણમાં મળી શકે છે.

સામાન્ય શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને આંકડાકીય વિશ્લેષણ

તાજેતરમાં સુધી, લાગુ કરાયેલા આંકડાઓએ સમય શ્રેણી વિશેની નીચેની બે ધારણાઓને મંજૂર કરી હતી: એવું માનવામાં આવતું હતું કે અને રેન્ડમ વેરીએબલ ટૂંકા ગાળાની અવલંબન ધરાવે છે. મેં બતાવ્યું છે, જો કે (જુઓ પ્રકરણ 37), કે પ્રયોગમૂલક લાંબા-પૂંછડીવાળા ડેટા સિક્વન્સને ધારણાના પ્રકાશમાં વધુ સારી રીતે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. જ્યારે મેં હર્સ્ટની ઘટનાનું અર્થઘટન કરવા માટે લાંબા ગાળાની અવલંબન રજૂ કરી ત્યારે ડેટાનો આ અથવા તે ક્રમ નબળો (ટૂંકા ગાળાના) અથવા મજબૂત (લાંબા ગાળાના) આધારિત છે કે કેમ તે પ્રશ્નનો અમને પ્રથમ સામનો કરવો પડ્યો (જુઓ પ્રકરણ 27).

લાંબી પૂંછડીઓ અને ખૂબ લાંબા ગાળાની અવલંબનનું આ મિશ્રણ આંકડાશાસ્ત્રીઓને મૃત અંત તરફ દોરી શકે છે, કારણ કે સતત અવલંબન (સંબંધ, સ્પેક્ટ્રા) માટે રચાયેલ પ્રમાણભૂત સેકન્ડ-ઓર્ડર પદ્ધતિઓ, ધારણા દ્વારા માર્ગદર્શન આપે છે. ખાય છે. જો કે, ત્યાં એક વિકલ્પ છે.

તમે જથ્થાના વિતરણની અવગણના કરી શકો છો અને સામાન્ય શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને તેની લાંબા ગાળાની અવલંબનનું વિશ્લેષણ કરી શકો છો; નહિંતર, આ પ્રક્રિયાને વિશ્લેષણ કહેવામાં આવે છે. આ આંકડાકીય પદ્ધતિ, જેમાં પ્રસ્તાવિત અને ગાણિતિક રીતે વાજબી છે, તે ટૂંકા ગાળાની અને ખૂબ લાંબા ગાળાની અવલંબન વચ્ચેના તફાવત પર આધારિત છે. આ પદ્ધતિમાં, એક સ્થિરાંક રજૂ કરવામાં આવે છે, જેને હર્સ્ટ ગુણાંક, અથવા - ઘાતાંક કહેવામાં આવે છે, અને તે 0 થી 1 ની શ્રેણીમાં કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે.

અચલનું મહત્વ વ્યાખ્યાયિત કરતા પહેલા જ વર્ણવી શકાય છે. વિશિષ્ટ મહત્વ એ સ્વતંત્ર, માર્કોવ અને ટૂંકા ગાળાની અવલંબન સાથેના અન્ય રેન્ડમ કાર્યોની લાક્ષણિકતા છે. આમ, પ્રયોગમૂલક ડેટામાં અથવા નમૂનાના કાર્યોમાં ખૂબ લાંબા ગાળાની બિન-સામયિક આંકડાકીય અવલંબન હાજર છે કે કેમ તે જાણવા માટે, ધારણા આંકડાકીય રીતે સ્વીકાર્ય છે કે કેમ તે તપાસવું પૂરતું છે. જો નહીં, તો આવી અવલંબન હાજર છે, અને તેની તીવ્રતાનું માપ તફાવત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જેનું મૂલ્ય ઉપલબ્ધ ડેટાના આધારે અંદાજિત કરી શકાય છે.

આ અભિગમનો મુખ્ય ફાયદો એ છે કે સીમાંત વિતરણના સંદર્ભમાં સૂચક સ્થિર છે. એટલે કે, તે માત્ર એવા કિસ્સાઓમાં જ અસરકારક નથી કે જ્યાં ડેટા સિક્વન્સ અથવા રેન્ડમ ફંક્શન લગભગ ગૌસીયન હોય, પણ જ્યારે વિતરણ ગૌસીયનથી એટલું દૂર હોય કે તે અલગ થઈ જાય, ત્યારે તે કિસ્સામાં પણ બીજી-ક્રમની કોઈપણ પદ્ધતિ કામ કરતી નથી.

આંકડાકીય વ્યાખ્યા - અવકાશ. સતત સમયમાં આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ , અને . સ્વતંત્ર સમયમાં આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને ; અહીં આખો ભાગ છે. દરેક માટે (ચાલો મૂલ્ય વિલંબ કહીએ) અમે 0 થી ફોર્મમાં સમય અંતરાલ પર સરવાળાની સમાયોજિત શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ

તીવ્રતા તેને આંકડાકીય શ્રેણી અથવા સરવાળાની સ્વ-સામાન્ય સ્વ-સુધારેલી શ્રેણી કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા - સૂચકધારો કે અમુક વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેમ કે જ્યારે મૂલ્ય કેટલાક બિન-અધોગતિ મર્યાદિત રેન્ડમ ચલમાં વિતરણમાં કન્વર્જ થાય છે. માં સાબિત થયા મુજબ, તે આ ધારણા પરથી અનુસરે છે કે. આ કિસ્સામાં, તેઓ કહે છે કે ફંક્શનમાં ઘાતાંક અને સતત પ્રીફેક્ટર છે.

ચાલો આપણે વધુ સામાન્ય ધારણા કરીએ: સંબંધને વિતરણમાં અમુક બિન-અધોગતિ મર્યાદિત રેન્ડમ ચલ સાથે કન્વર્જ થવા દો. , જ્યાં અમુક કાર્ય ધીમે ધીમે અનંત પર બદલાય છે, એટલે કે. કાર્ય જે સ્થિતિને સંતોષે છે દરેક માટે. આવા કાર્યનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ છે. આ કિસ્સામાં, કાર્યને - ઘાતાંક અને - પ્રિફેક્ટર હોવાનું કહેવાય છે.

મુખ્ય પરિણામો.જ્યારે - સફેદ ગૌસિયન અવાજ, અમારી પાસે સતત પ્રિફેક્ટર પણ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, વલણ નું સ્થિર રેન્ડમ કાર્ય છે.

વધુ સામાન્ય રીતે, સમાનતા તમામ કિસ્સાઓમાં સાચી છે જ્યારે , અને નોર્મલાઇઝ્ડ સરવાળો એ નબળો રીતે કન્વર્જ થાય છે.

સ્વતંત્ર અપૂર્ણાંક ગૌસીયન અવાજ ક્યારે હોય છે (એટલે ​​​​કે કાર્ય વૃદ્ધિનો ક્રમ, જુઓ પૃષ્ઠ 488), આપણી પાસે છે, ક્યાં .

વધુ સામાન્ય રીતે, સતત પ્રિફેક્ટર મેળવવા માટે તે પૂરતું છે અને જેથી સરવાળો કાર્યની નજીક આવે જેથી કરીને .

વધુ સામાન્ય રીતે, અર્થ અને પ્રિફેક્ટર જો પ્રબળ હોય છે , અને કાર્યનો સંપર્ક કરે છે અને સંબંધને સંતોષે છે .

અને છેવટે, જો , પરંતુ ઘાતાંક સાથે કેટલાક બિન-ગૌસિયન સ્કેલ-અન્યવર્તી રેન્ડમ ફંક્શનનો સંપર્ક કરે છે. માં ઉદાહરણો મળી શકે છે.

બીજી બાજુ, જો સફેદ લેવી-સ્થિર અવાજ (એટલે ​​કે), તો .

જ્યારે ભેદભાવના પરિણામે ફંક્શન સ્થિર બને છે, ત્યારે .

સ્થિરતા. સ્થિરતાની ડિગ્રી

વૈજ્ઞાનિક ગ્રંથોમાં "સામાન્ય" શબ્દોનો ઉપયોગ કરતી વખતે, અમે કાં તો તેમના સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા, "દુનિયાદાર" અર્થો (જેની પસંદગી લેખક પર આધારિત છે) નો અર્થ કરીએ છીએ અથવા અમે તેમને ઔપચારિક વ્યાખ્યાઓનો દરજ્જો આપીએ છીએ (જેના માટે અમે કેટલાક વિશિષ્ટ અર્થ પ્રકાશિત કરીએ છીએ અને તેને દાખલ કરો - આ કિસ્સામાં - ગાણિતિક "ગોળીઓ"). સ્થિર અને એર્ગોડિક શબ્દો નસીબદાર છે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેમના અર્થ પર સંમત થયા છે. જો કે, મને મારા પોતાના અનુભવ પરથી જોવાની તક મળી કે ઘણા એન્જિનિયરો, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ અને અભ્યાસ કરતા આંકડાશાસ્ત્રીઓ, ગાણિતિક વ્યાખ્યાને શબ્દોમાં સ્વીકારતી વખતે, હકીકતમાં સંકુચિત મંતવ્યોનું પાલન કરે છે. તેનાથી વિપરીત, હું ગાણિતિક વ્યાખ્યાને વિસ્તૃત કરવા માંગુ છું. નીચે હું આ શબ્દોનો ઉપયોગ કરતી વખતે ઉદ્દભવતી મુખ્ય ગેરસમજણોની યાદી આપીશ અને ગાણિતિક વ્યાખ્યાને શા માટે વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે તે સમજાવવાનો પ્રયાસ કરીશ.

ગાણિતિક વ્યાખ્યા.પ્રક્રિયા સ્થિર છે જો જથ્થાનું વિતરણ તેના પર નિર્ભર ન હોય અને સંયુક્ત વિતરણ તેના પર નિર્ભર ન હોય; અને તે જ સંયુક્ત વિતરણ માટે સાચું છે દરેકની સામે.

પ્રથમ ગેરસમજ (ફિલસૂફી).લોકપ્રિય માન્યતા અનુસાર, વૈજ્ઞાનિક પ્રવૃત્તિને તે પ્રવૃત્તિ ગણી શકાય કે જેનો ઉદ્દેશ્ય અસાધારણ નિયમોનું પાલન કરે છે. સ્થિરતાની ગેરસમજ એ મોટાભાગે વસ્તુઓના ચોક્કસ આ દૃષ્ટિકોણનું પરિણામ છે: ઘણા માને છે કે સ્થિરતાનો અર્થ ફક્ત પ્રક્રિયાને સંચાલિત કરતા નિયમોની સમયની અવ્યવસ્થા છે. આ સત્યથી દૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, બ્રાઉનિયન ગતિમાં વધારો ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ છે જેનો સરેરાશ અને ભિન્નતા પર આધાર રાખતા નથી. બ્રાઉનિયન ગતિના શૂન્યના સમૂહને બાંધવાનો નિયમ બંને પર આધાર રાખતો નથી. જો કે, ફક્ત તે નિયમો કે જે પ્રક્રિયાના મૂલ્યોને સંચાલિત કરે છે તે સ્થિરતા સાથે સંબંધિત છે. બ્રાઉનિયન ગતિના કિસ્સામાં, આ નિયમો સમયને બદલતા નથી.

બીજી ગેરસમજ (લાગુ આંકડા).આંકડાશાસ્ત્રીઓ અમને "સમય શ્રેણી વિશ્લેષણ" ની ઘણી પદ્ધતિઓ (ક્યારેક કમ્પ્યુટર સોફ્ટવેરના સ્વરૂપમાં પણ) ઓફર કરે છે; વાસ્તવમાં, આ પદ્ધતિઓની ક્ષમતાઓની શ્રેણી લેબલ દ્વારા નક્કી કરીને, અપેક્ષા કરતા ઘણી સાંકડી હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આ અનિવાર્ય છે, કારણ કે ગાણિતિક સ્થિરતા એ તમામ સંભવિત કેસોને લાગુ કરવા માટે કોઈપણ એક પદ્ધતિ માટે ખૂબ સામાન્ય ખ્યાલ છે. જો કે, આમ કરવાથી, આંકડાશાસ્ત્રીઓ અજાણતાં તેમના ગ્રાહકોમાં એવી માન્યતા પ્રસ્થાપિત કરે છે કે "સ્થિર સમય શ્રેણી" ની વિભાવના એક અથવા બીજી પદ્ધતિ દ્વારા આવરી લેવામાં આવતી અન્ય, સાંકડી વિભાવનાઓ જેવી જ છે. તે કિસ્સાઓમાં પણ જ્યારે પદ્ધતિઓના લેખકો "સ્થિરતા" માટે તેમની રચનાઓ તપાસવામાં મુશ્કેલી લે છે, ત્યારે તેઓ અત્યંત આમૂલ વિચલનોને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સરળ રાજ્યમાંથી માત્ર ન્યૂનતમ વિચલનોને ધ્યાનમાં લે છે જે ઓછામાં ઓછા સ્થિરતાનો વિરોધાભાસ કરતા નથી.

ત્રીજી ગેરસમજ (એન્જિનિયરો અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ).ઘણા સંશોધકો (અંશતઃ અગાઉની ગેરસમજણોને કારણે) માને છે કે જો નમૂના લેવાની પ્રક્રિયા સ્થિર હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે તે "ઉપર અને નીચે ખસી શકે છે, પરંતુ આંકડાકીય રીતે અમુક રીતે સમાન રહે છે." આ અર્થઘટન પ્રારંભિક, "અનૌપચારિક" તબક્કે તદ્દન યોગ્ય હતું, પરંતુ આ ક્ષણે તે અસ્વીકાર્ય છે. ગાણિતિક વ્યાખ્યા માત્ર પેઢીના નિયમોનું વર્ણન કરે છે, પરંતુ તે કોઈપણ રીતે જનરેટ કરેલા પદાર્થોને અસર કરતી નથી. જ્યારે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ અત્યંત અવ્યવસ્થિત નમૂનાઓ સાથે પ્રથમ વખત સ્થિર પ્રક્રિયાઓનો સામનો કર્યો, ત્યારે તેઓ આશ્ચર્યચકિત થઈ ગયા કે સ્થિરતાની વિભાવનામાં વર્તનના ખૂબ જ અલગ અને અણધાર્યા સ્વરૂપોની આટલી સંપત્તિનો સમાવેશ થઈ શકે છે. કમનસીબે, તે ચોક્કસપણે વર્તનના આ સ્વરૂપો છે જેને ઘણા પ્રેક્ટિશનરો સ્થિર તરીકે ઓળખવાનો સ્પષ્ટપણે ઇનકાર કરે છે.

ગ્રે વિસ્તાર.તેમાં કોઈ શંકા નથી કે સ્થિર અને બિનસ્થિર પ્રક્રિયાઓ વચ્ચેની સીમા સફેદ ગૌસિયન અવાજ અને બ્રાઉનિયન ગતિ વચ્ચે ક્યાંક રહેલી છે; માત્ર તેનું ચોક્કસ સ્થાન વિવાદાસ્પદ છે.

સ્કેલ-અપરિવર્તક અવાજનો ઉપયોગ કરીને સીમાનું શુદ્ધિકરણ.વિવાદાસ્પદ સીમાને શુદ્ધ કરવા માટે ગૌસિયન સ્કેલ-અપરિવર્તનશીલ અવાજ (પ્રકરણ 27 જુઓ) ખૂબ જ અનુકૂળ માધ્યમ તરીકે સેવા આપી શકે છે, કારણ કે તેમની વર્ણપટની ઘનતાનું સ્વરૂપ છે, જ્યાં. સફેદ ઘોંઘાટ માટે, બ્રાઉનિયન ગતિ માટે, સ્થિર અને બિન-સ્થિર પ્રક્રિયાઓ વચ્ચેની સીમા "સર્વેયર" ને કઈ બાબતો દ્વારા માર્ગદર્શન આપવામાં આવે છે તેના આધારે વિવિધ મૂલ્યો પર પડે છે.

મને, બદલામાં, વિચારણામાંથી મૂલ્યોને બાકાત રાખીને, સ્થિરતાની વ્યાખ્યા ઘણા કેસ અભ્યાસો માટે પૂરતી સામાન્ય નથી.

શરતી સ્થિર છૂટાછવાયા પ્રક્રિયાઓ.ઉદાહરણ તરીકે, ખંડિત અવાજનો સિદ્ધાંત (જુઓ પ્રકરણ 9) સૂચવે છે કે બ્રાઉનિયન શૂન્યનો સમાવેશ કરતી પ્રક્રિયા નબળા સ્વરૂપમાં સ્થિર છે. હકીકતમાં, ધારો કે ક્યાંક અને વચ્ચે ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય છે. આવી ધારણાનું પરિણામ વધારાના બાહ્ય પરિમાણના આધારે રેન્ડમ પ્રક્રિયા હશે. મેં નોંધ્યું છે કે મૂલ્યોનું સંયુક્ત વિતરણ તેના પર નિર્ભર નથી. રેનીએ રેન્ડમ ચલો માટેના અનંત માપ વિશે પણ લખ્યું છે. આપત્તિ તરફ દોરી ન જાય તે માટે, સામાન્યકૃત રેન્ડમ ચલોના સિદ્ધાંતમાં એવી ધારણા કરવામાં આવે છે કે આ જથ્થાઓ માત્ર ત્યારે જ જોવામાં આવે છે જ્યારે કોઈ ઘટના દ્વારા કન્ડિશન્ડ હોય, જેમ કે .

જો કે રેની રેન્ડમ ચલોની લાગુ પડવાની ક્ષમતા ખૂબ જ મર્યાદિત છે, છૂટાછવાયા કાર્યો ક્યારેક ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થાય છે: ખાસ કરીને, તેમની સહાયથી હું ઘણા કિસ્સાઓમાં ઇન્ફ્રારેડ આપત્તિને ટાળવામાં સક્ષમ હતો, જેનાથી કેટલાક સ્કેલ-અન્યવર્તી અવાજના અસ્તિત્વને સમજાવ્યું. .

એર્ગોડિસિટી. મિશ્રણ.એર્ગોડિસિટીની વિભાવના પણ વિવિધ અર્થઘટનને આધીન છે. ગાણિતિક સાહિત્યમાં, એર્ગોડિસિટીની વિભાવનામાં મિશ્રણના વિવિધ સ્વરૂપોનો સમાવેશ થાય છે. મજબૂત મિશ્રણ સાથે પ્રક્રિયાઓ અને નબળા મિશ્રણ સાથે પ્રક્રિયાઓ છે. આ સ્વરૂપો વચ્ચેનો તફાવત (ગાણિતિક કાર્યો દ્વારા નક્કી કરવું) ખૂબ જ નજીવા અને વાસ્તવિક કુદરતી ઘટનાથી દૂર લાગે છે. મૂર્ખ બનો નહીં - આ સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સ્કેલ-અપરિવર્તનશીલ અવાજ c, અથવા જોસેફ અસર (અનંત અવલંબન, જેમ કે - અવાજ c). તેમ છતાં, એવું કહેવું જોઈએ કે મારા લગભગ તમામ પૂર્વવર્તી અભ્યાસોને અમુક તબક્કે અમુક "નિષ્ણાત" દ્વારા પ્રાથમિકતાની ટીકા કરવામાં આવી હતી, જેમણે દલીલ કરી હતી કે અભ્યાસ હેઠળની ઘટના સ્પષ્ટપણે બિન-સ્થિર હતી, અને તેથી, મારા સ્થિર મોડેલો નિષ્ફળ થવા માટે વિનાશકારી હતા. શરૂઆતથી જ. તર્ક ભૂલભર્યો છે, પરંતુ મનોવૈજ્ઞાનિક રીતે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

નિષ્કર્ષ.હિંસક સિમેન્ટીક વિવાદો ગાણિતિક રીતે સ્થિર અને બિનસ્થિર પ્રક્રિયાઓ વચ્ચેની સીમાની આસપાસ ચાલુ રહે છે. વ્યવહારમાં, સરહદ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા કબજે કરવામાં આવે છે, જો કે તે સ્થિર પ્રક્રિયાઓ વિશેના અમારા સાહજિક વિચારોને અનુરૂપ નથી, તેમ છતાં તે વૈજ્ઞાનિક સંશોધનના પદાર્થો તરીકે કાર્ય કરવા સક્ષમ છે. આ પ્રક્રિયાઓ મારા માટે આ નિબંધમાં અને મારા બાકીના સંશોધન કાર્ય બંનેમાં ખૂબ જ ઉપયોગી હતી.

લેક્સિકલ સમસ્યાઓ.અને ફરીથી નવી શરતોની જરૂર છે. હું ગણિતશાસ્ત્રીઓ જેને "સ્થિર અને સરવાળો રૂપાંતરિત થાય છે" કહે છે તેના પર્યાય તરીકે સ્થાપિત શબ્દની ભલામણ કરવાની સ્વતંત્રતા લઈશ અને તે સાહજિક ખ્યાલ માટેનો શબ્દ જેને વ્યવહારુ સંશોધકો "સ્થિરતા" કહે છે. વિપરીત ખ્યાલને અસ્થિર અથવા ભટકતા શબ્દો દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે.

મારા પ્રારંભિક કાર્યોમાંના એકમાં (જેમ કે: માં) મેં સ્થિર પ્રક્રિયાઓને લેપ્લાસિયન અને નરમ કહેવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. છેલ્લો શબ્દ "સુરક્ષિત, સરળતાથી નિયંત્રિત" ના અર્થમાં વપરાય છે; આ મૂલ્ય મને એકદમ યોગ્ય લાગ્યું, કારણ કે આવી રેન્ડમ પ્રક્રિયા સાથે કામ કરતી વખતે, વ્યક્તિએ તેના તરફથી કોઈ આશ્ચર્યથી ડરવાની જરૂર નથી - વ્યક્તિએ તેમાંથી તે તીવ્ર વિચલનો અને વિવિધ રૂપરેખાંકનોની અપેક્ષા રાખવી જોઈએ નહીં, જેના કારણે રેન્ડમ ભટકવાનું વિશ્લેષણ. પ્રક્રિયાઓ વધુ જટિલ છે, પરંતુ વધુ રસપ્રદ પ્રવૃત્તિ પણ છે.

ગાણિતિક સમૂહ

ઘણા- ગણિતના મુખ્ય પદાર્થોમાંથી એક, ખાસ કરીને, સેટ થિયરી. "બહુવચન દ્વારા અમારો અર્થ એ છે કે આપણા અંતર્જ્ઞાન અથવા આપણા વિચારોના ચોક્કસ, સંપૂર્ણપણે અલગ પાડી શકાય તેવા પદાર્થોમાં એકીકરણ" (જી. કેન્ટોર). આ, સંપૂર્ણ અર્થમાં, ખ્યાલ સમૂહની તાર્કિક વ્યાખ્યા નથી, પરંતુ માત્ર એક સમજૂતી છે (કોઈ ખ્યાલને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો અર્થ એ છે કે સામાન્ય ખ્યાલ શોધવાનો છે જેમાં આ ખ્યાલને એક પ્રજાતિ તરીકે સમાવવામાં આવ્યો છે, પરંતુ સમૂહ, કદાચ, ગણિત અને તર્કનો વ્યાપક ખ્યાલ).

સિદ્ધાંતો

સમૂહની વિભાવના માટે બે મુખ્ય અભિગમો છે - નિષ્કપટઅને સ્વયંસિદ્ધસેટ થિયરી.

સ્વયંસિદ્ધ સમૂહ સિદ્ધાંત

આજે, સમૂહને એક મોડેલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે ZFC સ્વયંસિદ્ધિઓ (પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ સાથે ઝર્મેલો-ફ્રેન્કેલ સ્વયંસિદ્ધ) ને સંતોષે છે. આ અભિગમ સાથે, કેટલાક ગાણિતિક સિદ્ધાંતોમાં, પદાર્થોનો સંગ્રહ ઉત્પન્ન થાય છે જે સેટ નથી. આવા સંગ્રહોને વર્ગો (વિવિધ ઓર્ડરના) કહેવામાં આવે છે.

તત્વ સેટ કરો

જે પદાર્થો સમૂહ બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સમૂહના તત્વોઅથવા સમૂહના પોઈન્ટ. સેટ્સ મોટાભાગે લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તેના તત્વો - નાના દ્વારા. જો a એ સમૂહ Aનું તત્વ છે, તો પછી ∈ A (a A નું છે) લખો. જો a એ સમૂહ A નું તત્વ નથી, તો પછી a∉A લખો (a એ A નું નથી).

અમુક પ્રકારના સેટ

• ઓર્ડર કરેલ સેટ એ સમૂહ છે જેના પર ઓર્ડર સંબંધ નિર્દિષ્ટ થયેલ છે.
• સમૂહ (ખાસ કરીને ઓર્ડર કરેલ જોડી). સરળ સેટથી વિપરીત, તે કૌંસની અંદર લખાયેલું છે: ( x 1 , x 2 , x 3 , …), અને તત્વોનું પુનરાવર્તન કરી શકાય છે.

વંશવેલો દ્વારા:

સેટનો સેટ સબસેટ સુપરસેટ

મર્યાદા દ્વારા:

સેટ ઓપરેશન્સ

સાહિત્ય

• સ્ટોલ આર.આર.બહુવિધ. તર્કશાસ્ત્ર. સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો. - એમ.: શિક્ષણ, 1968. - 232 પૃષ્ઠ.

પણ જુઓ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ગાણિતિક સમૂહ" શું છે તે જુઓ:

વિટાલી સમૂહ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહનું પ્રથમ ઉદાહરણ છે જેમાં લેબેસગ્યુ માપ નથી. આ ઉદાહરણ, જે ક્લાસિક બની ગયું છે, તે 1905 માં ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી જી. વિટાલી દ્વારા તેમના લેખ “સુલ પ્રોબ્લેમ ડેલા મિસુરા દેઈ ગ્રુપી ડી પુન્ટી... માં પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું... વિકિપીડિયા - રેન્ડમ ચલનું (સરેરાશ મૂલ્ય) એ રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે. જો કોઈ રેન્ડમ ચલ સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (જુઓ સંભાવના સિદ્ધાંત), તો તેનો M. o. MX (અથવા EX) ને લેબેસ્ગ્યુ ઇન્ટિગ્રલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: જ્યાં...

ભૌતિક જ્ઞાનકોશ રેન્ડમ ચલ એ તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે. જો રેન્ડમ ચલ X પાસે વિતરણ કાર્ય F(x) હોય, તો તેનો M. o. કરશે:. જો વિતરણ X અલગ હોય, તો M.o.: , જ્યાં x1, x2, ... અલગ રેન્ડમ ચલ Xના સંભવિત મૂલ્યો; p1...

ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય જ્ઞાનકોશ ACS સોફ્ટવેર - , સૉફ્ટવેર, સૉફ્ટવેર, ગાણિતિક પ્રોગ્રામ્સ અને એલ્ગોરિધમ્સનું સંકુલ, સહાયક સબસિસ્ટમ્સમાંનું એક. સામાન્ય રીતે તેમાં કમ્પ્યુટર પર ચોક્કસ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેના ઘણા પ્રોગ્રામ્સનો સમાવેશ થાય છે, જે મુખ્ય પ્રોગ્રામ દ્વારા સંયુક્ત હોય છે... ...

આર્થિક-ગાણિતિક શબ્દકોશ ACS સોફ્ટવેર - સૉફ્ટવેર, સૉફ્ટવેર, ગાણિતિક પ્રોગ્રામ્સ અને અલ્ગોરિધમ્સનું સંકુલ, સહાયક સબસિસ્ટમ્સમાંની એક સમાન. સામાન્ય રીતે તેમાં કમ્પ્યુટર પર ચોક્કસ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેના ઘણા પ્રોગ્રામ્સનો સમાવેશ થાય છે, જે ડિસ્પેચર દ્વારા મુખ્ય પ્રોગ્રામ દ્વારા એકીકૃત થાય છે.

ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

ગાણિતિક મોડેલ વાસ્તવિકતાનું ગાણિતિક પ્રતિનિધિત્વ છે. ગાણિતિક મોડેલિંગ એ ગાણિતિક મોડેલો બનાવવા અને અભ્યાસ કરવાની પ્રક્રિયા છે. તમામ કુદરતી અને સામાજિક વિજ્ઞાન કે જે ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરે છે, સારમાં... ... વિકિપીડિયા

રેખીય અને બિનરેખીય અવરોધો (સમાનતાઓ અને અસમાનતાઓ) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસના સેટ પર ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધવાની સમસ્યાઓને ઉકેલવાની સિદ્ધાંત અને પદ્ધતિઓને સમર્પિત ગાણિતિક શિસ્ત. એમ.પી....... ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

રેખીય અને બિનરેખીય અવરોધો (સમાનતાઓ અને અસમાનતાઓ) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સેટ પર ફંક્શનની સીમા શોધવાની સમસ્યાઓને ઉકેલવાની સિદ્ધાંત અને પદ્ધતિઓને સમર્પિત ગાણિતિક શિસ્ત. વિજ્ઞાનનો M.p વિભાગ... ... ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, જુઓ સાબિતી. ગણિતમાં, સાબિતી એ તાર્કિક નિષ્કર્ષોની સાંકળ છે જે દર્શાવે છે કે, અનુમાનના ચોક્કસ સેટ અને અનુમાનના નિયમોને જોતાં, ચોક્કસ નિવેદન સાચું છે. પર આધાર રાખીને... વિકિપીડિયા

પુસ્તકો

• અર્થતંત્રનું ગાણિતિક મોડેલિંગ, માલિખિન V.I.. પુસ્તક અર્થતંત્રના મુખ્ય ગાણિતિક મોડલ્સની ચર્ચા કરે છે: વ્યક્તિગત ઉપભોક્તાનું મોડેલ (ઉપયોગિતા કાર્ય પર આધારિત), મેન્યુફેક્ચરિંગ કંપનીનું મોડેલ (ઉત્પાદન કાર્ય પર આધારિત), .. .

વિષય વિસ્તારનું વર્ણન (તેના ઓન્ટોલોજીની રચના) વસ્તુઓની ઓળખ અને તેમના વર્ગીકરણથી શરૂ થાય છે, જેમાં પરંપરાગત રીતે વર્ગો-પેટા વર્ગોના વૃક્ષનું સંકલન અને તેમને વ્યક્તિઓ સોંપવાનો સમાવેશ થાય છે. આ કિસ્સામાં, "વર્ગ" શબ્દનો ઉપયોગ આવશ્યકપણે "સેટ" ના અર્થમાં થાય છે: વર્ગને ઑબ્જેક્ટ સોંપવું એ તેને અનુરૂપ સમૂહમાં એક તત્વ તરીકે શામેલ કરવાનું માનવામાં આવે છે. આ લખાણનો હેતુ એ બતાવવાનો છે કે વિષય વિસ્તારની રચનાનું વર્ણન કરવા માટેનો આવો એકીકૃત અભિગમ એક મજબૂત સરળીકરણ છે અને તે આપણને પદાર્થોના સિમેન્ટીક સંબંધોની વિવિધતાને કેપ્ચર કરવાની મંજૂરી આપતું નથી.

ચાલો બગ વ્યક્તિગત વર્ગીકરણ માટે ત્રણ વિકલ્પો જોઈએ:

1. પ્રાણી - કૂતરો - હસ્કી - બગ.
2. સેવા - સવારી - બગ.
3. કેનલ - કૂતરાઓની ટીમ - ઝુચકા.

ગૌણ સંસ્થાઓનો પ્રથમ ક્રમ વર્ગો અને પેટા વર્ગોની વ્યાખ્યા દ્વારા અસ્પષ્ટ રીતે વર્ણવવામાં આવ્યો છે: ભૂલ એ "લીકા" વર્ગની વ્યક્તિ છે, "લીકા" વર્ગ કૂતરાઓનો પેટા વર્ગ છે, અને તે "પ્રાણી" નો પેટા વર્ગ છે. વર્ગ આ કિસ્સામાં, વર્ગ "પ્રાણીઓ" ને બધા પ્રાણીઓના સમૂહ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, અને વર્ગ "પસંદ" સમૂહ "શ્વાન" ના સબસેટ તરીકે. જો કે, આ પ્રકારનું વર્ણન, તે તદ્દન દ્રશ્ય હોવા છતાં, અર્થપૂર્ણ રીતે ટૉટોલોજિકલ, સ્વ-સંદર્ભાત્મક છે: અમે વ્યક્તિગત બગને હસ્કી કહીએ છીએ જો તે હસ્કીના સમૂહમાં શામેલ હોય, અને અમે હસ્કીના સમૂહને જ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. હસ્કીની તમામ વ્યક્તિઓની સંપૂર્ણતા - એટલે કે, સમૂહમાં સમાવેશ અર્થપૂર્ણ નામની નકલ કરે છે. વધુમાં, વર્ગ-સમૂહનું વર્ણન વર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરતી વિભાવના હેઠળ આવતા વ્યક્તિના વર્ણન દ્વારા સંપૂર્ણપણે સમાપ્ત થઈ જાય છે. એ પણ નોંધવું જોઈએ કે આવા સમૂહ વર્ગોનું સંચાલન તેમાંના તત્વોની સંખ્યા પર આધારિત નથી: હસ્કી બગ એ હસ્કી હશે, ભલે તે પૃથ્વી પર એકમાત્ર, છેલ્લી હસ્કી રહે. તદુપરાંત, અમે આવા વર્ગો-સેટ્સ સાથે કામ કરી શકીએ છીએ તેમાં વ્યક્તિઓની ગેરહાજરીમાં પણ: અમે પહેલેથી જ લુપ્ત થઈ ગયેલા ડાયનાસોરનું ઓન્ટોલોજી બનાવી શકીએ છીએ, એક વર્ગની કલ્પના કરી શકીએ છીએ જેમાં ફક્ત ભવિષ્યમાં ડિઝાઇન કરવામાં આવતા અનન્ય ઉપકરણનો સમાવેશ થાય છે, અથવા તેનું મોડેલ બનાવી શકીએ છીએ. પૌરાણિક પ્રાણીઓ, પરીકથાના નાયકોનો વિષય વિસ્તાર, જો કે તે જ સમયે તમામ વર્ગ-સેટ્સની મુખ્યતા શૂન્ય સમાન હશે.

તેથી, જો આપણે વિશ્લેષિત વર્ગીકરણ (પ્રાણી - કૂતરો - હસ્કી - બગ) ની સામગ્રી બાજુ વિશે વાત કરીએ, તો તે (સામગ્રી બાજુ) કોઈપણ રીતે સેટ અને સબસેટના સંબંધ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાતી નથી. આ કિસ્સામાં, અમે વિભાવના સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ - વિભાવનાઓને અલગ કરી રહ્યા છીએ અને જીનસ-પ્રજાતિ સંબંધોની સ્થાપનાતેમની વચ્ચે. તદુપરાંત, વૈચારિક વર્ગના ઘટકોની વાસ્તવિક સંખ્યા, એટલે કે, ખ્યાલનો અવકાશ, તેની વ્યાખ્યામાં દેખાતો નથી અને તેનો ઉલ્લેખ (અને તે પછી પણ અર્થપૂર્ણ નથી) ત્યારે જ થાય છે જ્યારે એક ખ્યાલ ("જેમ") બીજા હેઠળ આવે છે. "કૂતરો"), એટલે કે જ્યારે તે જીનસની પ્રજાતિ તરીકે કાર્ય કરે છે. હા, આપણે કહી શકીએ કે "કૂતરો" ખ્યાલનો અવકાશ "જેમ" ખ્યાલના અવકાશ કરતાં મોટો છે, પરંતુ આ સમૂહોના વાસ્તવિક સંખ્યાત્મક સંબંધનો કોઈ ઓન્ટોલોજીકલ અર્થ નથી. જ્યારે વર્ગનું પ્રમાણ જીનસ-વિશિષ્ટ સંબંધોમાં સબક્લાસના વોલ્યુમ કરતાં વધી જાય છે, ત્યારે તે માત્ર એ હકીકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે કે, જીનસની વ્યાખ્યા દ્વારા, તેમાં ઘણી પ્રજાતિઓનો સમાવેશ થવો જોઈએ - અન્યથા આ વર્ગીકરણ અર્થહીન બની જાય છે. એટલે કે, જીનસ-પ્રજાતિના વૈચારિક વર્ગીકરણમાં, અમને ખ્યાલોની સામગ્રીમાં ચોક્કસ રસ છે - "કૂતરો" પ્રજાતિઓ "બિલાડી" (જે તેમના માટે સામાન્ય ખ્યાલ "પ્રાણી" હેઠળ પણ આવે છે) થી કેવી રીતે અલગ પડે છે. અને નહીં કે જીનસ અને પ્રજાતિઓના સમૂહના વોલ્યુમો કેવી રીતે સંબંધિત છે અને તેથી પણ વધુ પ્રજાતિઓના વિભાવનાઓ ("કૂતરો" અને "બિલાડી"). અને ખરેખર ગણી શકાય તેવા સમૂહોમાંથી વૈચારિક વર્ગોને અલગ પાડવા માટે, તેની વાત કરવી વધુ યોગ્ય રહેશે શું વ્યક્તિ ખ્યાલ હેઠળ આવે છેવિશે નહીં ચાલુ કરી રહ્યા છીએતેને વર્ગ/સેટમાં ફેરવો. તે સ્પષ્ટ છે કે ઔપચારિક સંકેતોમાં વિધાન "વિભાવના X હેઠળ આવે છે" અને "વર્ગ X નું એક તત્વ છે" સમાન દેખાઈ શકે છે, પરંતુ આ બે વર્ણનો વચ્ચેના આવશ્યક તફાવતને સમજવામાં નિષ્ફળતાના નિર્માણમાં ગંભીર ભૂલો થઈ શકે છે. ઓન્ટોલોજી.

બીજા વિકલ્પમાં (સેવા - સવારી - ઝુચકા) અમને કોઈપણ સમૂહની "સવારી" વિભાવનાની તુલના કરવામાં પણ રસ નથી: "ઝુચકા - સવારી" વિધાનની અર્થપૂર્ણ સામગ્રી તેના પર નિર્ભર નથી કે તે એકમાત્ર છે કે ત્યાં છે. તેમાંથી ઘણા છે. એવું લાગે છે કે અહીં આપણે સામાન્ય-વિશિષ્ટ સંબંધો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ: "સવારી" ની વિભાવનાને "સેવા" ની સામાન્ય વિભાવનાની તુલનામાં વિશિષ્ટ ગણી શકાય. પરંતુ "સવારી" ની વિભાવના સાથે વ્યક્તિગત "બગ" નું જોડાણ "લાઇક" ની વિભાવના સાથેના જોડાણથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે: બીજો, વૈચારિક, ખ્યાલ વ્યક્તિમાં અવિશ્વસનીય અને અચૂક સહજ છે, અને પ્રથમ પ્રતિબિંબિત કરે છે. સમયસર સ્થાનિક વિશેષતા. બગ સ્લેજ કૂતરો જન્મ્યો ન હતો અને કદાચ વય સાથે તે એક બનવાનું બંધ કરી શકે છે અને વોચડોગની શ્રેણીમાં જાય છે, અને વૃદ્ધાવસ્થામાં તે એકસાથે તમામ "વ્યવસાય" ગુમાવી શકે છે. એટલે કે, વિશેષતા વિશે વાત કરતી વખતે, અમે હંમેશા કોઈ ચોક્કસ ખ્યાલ સાથે જોડાણ અને જોડાણ ગુમાવવાની ઘટનાઓને પ્રકાશિત કરી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, ઝુચકાને જાતિના સંપૂર્ણ ચેમ્પિયન તરીકે ઓળખી શકાય છે, અને પછી આ શીર્ષક ગુમાવી શકાય છે, જે વૈચારિક ખ્યાલો સાથે મૂળભૂત રીતે અશક્ય છે: ઝુચકા જન્મથી મૃત્યુ સુધી, એટલે કે, એક વ્યક્તિ તરીકે તેના અસ્તિત્વના સમગ્ર સમયગાળા દરમિયાન, એક કૂતરો અને હસ્કી છે. તેવી જ રીતે, વ્યક્તિ આખી જીંદગી "વ્યક્તિ" ની વિભાવના રહે છે, પરંતુ પરિસ્થિતિગત રીતે (ઘટનાથી ઘટના સુધી) તે "સ્કૂલબોય", "વિદ્યાર્થી", "ડૉક્ટર", "પતિ", વગેરેના વિશિષ્ટ ખ્યાલો હેઠળ આવી શકે છે. પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, આ વિભાવનાઓ સાથેના જોડાણનો અર્થ ચોક્કસ સમૂહમાં સમાવેશ થતો નથી (જોકે તે આના જેવું લાગે છે) - વિશિષ્ટ ખ્યાલનું એટ્રિબ્યુશન હંમેશા અન્ય વ્યક્તિઓ સાથે વ્યક્તિના ચોક્કસ સંબંધનું પરિણામ છે: શાળામાં પ્રવેશ કરવો, યુનિવર્સિટી, ડિપ્લોમા મેળવવો, લગ્નની નોંધણી વગેરે. તેથી, વિશિષ્ટ ખ્યાલો પણ કહી શકાય. સંબંધી. ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાંથી, વૈચારિક વર્ગીકરણ અને વિશેષતા વચ્ચેનો બીજો નોંધપાત્ર તફાવત નીચે મુજબ છે: વ્યક્તિ પાસે ઘણી વિશેષતાઓ હોઈ શકે છે (ઝુચકા સ્લેજ ડોગ અને બ્રીડ ચેમ્પિયન હોઈ શકે છે, વ્યક્તિ એક વિદ્યાર્થી અને પતિ હોઈ શકે છે), પરંતુ એક સાથે તેને વધુમાં સમાવી શકાતું નથી. એક વૈચારિક વંશવેલો કરતાં (ઝુચકા કૂતરો અને બિલાડી ન હોઈ શકે).

અને માત્ર ઝુચકાના વર્ણનના ત્રીજા સંસ્કરણમાં - ચોક્કસ કેનલ સાથે સંકળાયેલા અને ટુંડ્રમાં સ્લેજ ખેંચતી ચોક્કસ ટીમના સભ્ય તરીકે - શું તે ભીડનો ઉલ્લેખ કરવો જરૂરી છે. ફક્ત આ કિસ્સામાં જ આપણને એ કહેવાનો અધિકાર છે કે વ્યક્તિ ગણી શકાય તેવા તત્વો સાથેના કોંક્રિટ સમૂહનું એક તત્વ છે, અને તે એવા ખ્યાલ હેઠળ આવતી નથી કે જેને અમૂર્ત સમૂહ તરીકે રજૂ કરી શકાય જે પરંપરાગત રીતે આના અવકાશને ઠીક કરે છે. ખ્યાલ અને અહીં તે મૂળભૂત છે કે વ્યક્તિ એ અન્ય વ્યક્તિનો ભાગ છે, શરૂઆતમાં સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: કેનલ અને ટીમ આવશ્યકપણે શ્વાનનો બિન-ખાલી સમૂહ છે, અને આ સમૂહના ઘટકોની સંખ્યા ચોક્કસપણે તેમની વ્યાખ્યાઓમાં શામેલ છે. વ્યક્તિઓ એટલે કે, આ કિસ્સામાં આપણે સંબંધ વિશે વાત કરવી જોઈએ આંશિક-સંપૂર્ણ: બગ કેનલનો ભાગ છે અને ટીમનો ભાગ છે. તદુપરાંત, ચોક્કસ ટીમમાં બગનો સમાવેશ અથવા બિન-પ્રવેશ તેની (ટીમની) સામગ્રીમાં ફેરફાર કરે છે: જો અમારી પાસે ડબલ ટીમ હોય, તો બગને દૂર કર્યા પછી, ટીમ એક ટીમમાં ફેરવાય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, અમે ફક્ત ગણતરીપાત્ર સમૂહ (કેનલમાં કૂતરાઓ) સાથે નહીં, પરંતુ એક વ્યક્તિ સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ, જ્યારે તેના ઘટકોની રચના બદલાય ત્યારે તેનો સાર બદલાય છે અને આ રચના દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે, એટલે કે, સિસ્ટમ. જો કેનલ એ ફક્ત એક વ્યક્તિગત-જૂથ છે, જે તેમાં સમાવિષ્ટ ઘણા ઘટકો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, તો પછી એક ટીમ એ એક સિસ્ટમ છે, જેનો સાર તેના ભાગોની સંખ્યા અને વિશિષ્ટતા પર આધારિત છે.

પરિણામે, વિષય વિસ્તારની ઓન્ટોલોજીનું નિર્માણ કરતી વખતે, ચોક્કસ સંખ્યાના વ્યક્તિઓના સંગ્રહ તરીકે ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરાયેલ વાસ્તવિક વસ્તુઓ-સેટ્સને ઓળખવાનું શક્ય છે. આ છે: શાળામાં એક વર્ગ, વેરહાઉસમાં એક બોક્સમાંનો માલ, ઈલેક્ટ્રોનિક ઉપકરણ એકમના ભાગો વગેરે. અને આ સેટ અન્ય વાસ્તવિક ગણી શકાય તેવા સેટના સબસેટ હોઈ શકે છે: શાળાના તમામ વિદ્યાર્થીઓ, વેરહાઉસમાંનો તમામ સામાન, તમામ ઉપકરણના ભાગો. આ સમૂહોને ઓળખતી વખતે, તે આવશ્યક છે કે તેઓ (આ સમૂહો) સ્વતંત્ર વ્યક્તિઓ (એક ટીમ, માલસામાનનો સમૂહ, ભાગોનો સમૂહ) તરીકે કાર્ય કરે, જેનું મુખ્ય લક્ષણ એમાં સમાવિષ્ટ તત્વોની સંખ્યા છે. તદુપરાંત, આ લક્ષણને બદલવાથી ઑબ્જેક્ટની સ્થિતિમાં ફેરફાર થઈ શકે છે, કહો, તત્વોની સંખ્યામાં વધારો, ચોકડીને પંચકમાં અથવા રેજિમેન્ટને બ્રિગેડમાં ફેરવી શકાય છે. તે પણ મહત્વનું છે કે આ ઑબ્જેક્ટ-સેટ્સ, જટિલ ઑબ્જેક્ટ્સનું વર્ણન તેમાં સમાવિષ્ટ વ્યક્તિઓના વર્ણનમાં ઘટાડવામાં આવતું નથી, જો કે તેમાં બાદમાંના અનુમતિપાત્ર પ્રકારનો સંકેત શામેલ હોઈ શકે છે (સ્ટ્રિંગ ચોકડી, ઘોડાઓની ટીમ) . અને આવા સંબંધો - અમૂર્ત સમૂહો વચ્ચે નહીં, પરંતુ સમૂહો વચ્ચે જે વ્યક્તિઓ છે, જટિલ વસ્તુઓ છે - વર્ગ-પેટાવર્ગને બદલે અંશ-સંપૂર્ણ સંબંધો તરીકે વધુ ચોક્કસ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે.

તેથી, વ્યક્તિઓને એક અથવા બીજા વર્ગ-સમૂહને સોંપીને પરંપરાગત વર્ગીકરણને સજાતીય ગણી શકાય નહીં. (1) જટિલ ઑબ્જેક્ટ (સંપૂર્ણ) માં ભાગો તરીકે વ્યક્તિઓના સમાવેશ વચ્ચે તફાવત કરવો જરૂરી છે, જેની સિમેન્ટીક વિશિષ્ટતા તેના તત્વોના વર્ણન સુધી મર્યાદિત નથી. આ કિસ્સામાં (1.1.) ઑબ્જેક્ટ-સમગ્ર વ્યક્તિઓના નામના સમૂહ તરીકે જ ગણી શકાય (પેકેજમાંના ભાગો, પેઇન્ટિંગ્સનો સંગ્રહ), જેના માટે, હકીકતમાં, ફક્ત ભાગોની સંખ્યા જ મહત્વપૂર્ણ છે. આવા પદાર્થો કહી શકાય જૂથો (અથવા સંગ્રહો)). આ ઉપરાંત (1.2.) એક ઑબ્જેક્ટ-સમગ્ર અર્થપૂર્ણ રીતે (અને માત્ર માત્રાત્મક રીતે નહીં) તેના ભાગો દ્વારા નિર્ધારિત કરી શકાય છે અને પરિણામે, એવા લક્ષણો ધરાવે છે જે ભાગો પાસે નથી. આવી અખંડિતતાને પરંપરાગત રીતે કહેવામાં આવે છે સિસ્ટમો, અને સિસ્ટમોના ભાગો - તત્વો. ઑબ્જેક્ટ્સને વર્ગો-પેટા વર્ગોમાં સોંપીને તેનું વર્ણન કરવાનો બીજો વિકલ્પ છે (2) એક ખ્યાલ હેઠળ વ્યક્તિઓને સબમ કરવા, જે ફક્ત ઔપચારિક રીતે, ટૉટોલોજિકલ રીતે એવા સમૂહમાં વ્યક્તિઓના સમાવેશ તરીકે વર્ણવી શકાય છે જેની શક્તિ તેની શક્તિ જેટલી હોય છે. ખ્યાલ વ્યક્તિઓના વૈચારિક વર્ણનને બદલામાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે (2.1) વૈચારિક, વૈશ્વિક સ્તરે વ્યક્તિના પ્રકારને ઠીક કરવા અને (2.2) વિશેષતા (સંબંધિત), સમય અને અવકાશમાં સ્થાનિક રીતે (આખરે) વ્યક્તિને અન્ય વસ્તુઓ સાથે જોડે છે.

ઉપરોક્ત વિચારણાઓ, સૌ પ્રથમ, સેટ થિયરીના આધારે વર્ગીકરણનો ઉપયોગ કરીને વિષય વિસ્તારનું વર્ણન કરવા માટેના પરંપરાગત અભિગમની પર્યાપ્તતા અને પર્યાપ્તતાનો પ્રશ્ન ઊભો કરે છે. અને નિષ્કર્ષ પ્રસ્તાવિત છે: ઑન્ટોલોજીમાં ઑબ્જેક્ટ કનેક્શન્સની સમગ્ર વિવિધતાને મેળવવા માટે, વધુ વિભિન્ન વર્ગીકરણ સાધનો (જૂથો, સિસ્ટમો, વૈચારિક અને વિશિષ્ટ ખ્યાલો) ની જરૂર છે. સમૂહ સિદ્ધાંતની ઔપચારિકતાનો ઉપયોગ ફક્ત તાર્કિક અનુમાનની જરૂરિયાતો માટે સ્થાનિક સરળીકરણ તરીકે થઈ શકે છે, અને વર્ણનની મુખ્ય પદ્ધતિ તરીકે નહીં.