તર્કસંગત સંખ્યાઓ અને માપન. તર્કસંગત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા

કુદરતી સંખ્યાઓ

કુદરતી સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા હકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે. કુદરતી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ વસ્તુઓની ગણતરી કરવા અને અન્ય ઘણા હેતુઓ માટે થાય છે. આ નંબરો છે:

આ સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણી છે.
શું શૂન્ય કુદરતી સંખ્યા છે? ના, શૂન્ય એ કુદરતી સંખ્યા નથી.
કેટલા કુદરતી સંખ્યાઓઅસ્તિત્વમાં છે? અસ્તિત્વમાં છે અનંત સમૂહકુદરતી સંખ્યાઓ.
સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા કઈ છે? એક સૌથી નાની કુદરતી સંખ્યા છે.
સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા કઈ છે? તેને સ્પષ્ટ કરવું અશક્ય છે, કારણ કે ત્યાં કુદરતી સંખ્યાઓની અનંત સંખ્યા છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો એ કુદરતી સંખ્યા છે. તેથી, કુદરતી સંખ્યાઓ a અને b ઉમેરી રહ્યા છીએ:

કુદરતી સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન એ કુદરતી સંખ્યા છે. તેથી, કુદરતી સંખ્યાઓ a અને b નું ઉત્પાદન:

c હંમેશા કુદરતી સંખ્યા છે.

કુદરતી સંખ્યાઓનો તફાવત હંમેશા કુદરતી સંખ્યા હોતી નથી. જો મીન્યુએન્ડ સબટ્રાહેન્ડ કરતા મોટો હોય, તો કુદરતી સંખ્યાઓનો તફાવત એ કુદરતી સંખ્યા છે, અન્યથા તે નથી.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ભાગ હંમેશા કુદરતી સંખ્યા હોતી નથી. જો કુદરતી સંખ્યાઓ a અને b માટે

જ્યાં c એ કુદરતી સંખ્યા છે, તેનો અર્થ એ છે કે a એ b વડે વિભાજ્ય છે. આ ઉદાહરણમાં, a એ ડિવિડન્ડ છે, b એ વિભાજક છે, c એ ભાગાંક છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો વિભાજક એ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેના દ્વારા પ્રથમ સંખ્યાને પૂર્ણ વડે ભાગી શકાય છે.

દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એક અને તેના દ્વારા વિભાજ્ય છે.

અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ફક્ત એક અને પોતાના દ્વારા વિભાજ્ય છે. અહીં અમારો અર્થ સંપૂર્ણપણે વિભાજિત છે. ઉદાહરણ, નંબર 2; 3; 5; 7 એ ફક્ત એક અને પોતે જ વિભાજ્ય છે. આ સરળ કુદરતી સંખ્યાઓ છે.

એકને અવિભાજ્ય સંખ્યા ગણવામાં આવતી નથી.

જે સંખ્યાઓ એક કરતા મોટી હોય અને જે અવિભાજ્ય ન હોય તેને સંયુક્ત સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણો સંયુક્ત સંખ્યાઓ:

એકને સંયુક્ત સંખ્યા ગણવામાં આવતી નથી.

કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ એક છે, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓઅને સંયુક્ત સંખ્યાઓ.

કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ સૂચવવામાં આવે છે લેટિન અક્ષરએન.

કુદરતી સંખ્યાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારના ગુણધર્મો:

વધારાની વિનિમયાત્મક મિલકત

સહયોગી મિલકતવધુમાં

(a + b) + c = a + (b + c);

ગુણાકારની વિનિમયાત્મક મિલકત

ગુણાકારની સહયોગી મિલકત

(ab) c = a (bc);

વિતરણ મિલકતગુણાકાર

A (b + c) = ab + ac;

પૂર્ણાંક

પૂર્ણાંક એ કુદરતી સંખ્યાઓ, શૂન્ય અને કુદરતી સંખ્યાઓના વિરોધી છે.

કુદરતી સંખ્યાઓની વિરુદ્ધ નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે, ઉદાહરણ તરીકે:

1; -2; -3; -4;...

પૂર્ણાંકોનો સમૂહ લેટિન અક્ષર Z દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓ

તર્કસંગત સંખ્યાઓઆ પૂર્ણ સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકો છે.

કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને સામયિક અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણો:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

ઉદાહરણો પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ પૂર્ણાંક છે સામયિક અપૂર્ણાંકપીરિયડ શૂન્ય સાથે.

કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને m/n અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે સંખ્યા, એન કુદરતીસંખ્યા ચાલો અગાઉના ઉદાહરણમાંથી નંબર 3,(6) ને આવા અપૂર્ણાંક તરીકે કલ્પીએ.

) એ સકારાત્મક અથવા સાથેની સંખ્યાઓ છે નકારાત્મક સંકેત(પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક) અને શૂન્ય. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો વધુ ચોક્કસ ખ્યાલ આના જેવો લાગે છે:

તર્કસંગત સંખ્યા- દર્શાવેલ સંખ્યા સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n, જ્યાં અંશ mપૂર્ણાંકો છે, અને છેદ n- કુદરતી સંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 2/3.

અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકતર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં શામેલ નથી.

a/b, ક્યાં a∈ ઝેડ (aપૂર્ણાંક સાથે સંબંધિત છે), b∈ એન (bકુદરતી સંખ્યાઓથી સંબંધિત છે).

વાસ્તવિક જીવનમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉપયોગ.

IN વાસ્તવિક જીવનતર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ અમુક પૂર્ણાંક વિભાજ્ય પદાર્થોના ભાગોને ગણવા માટે વપરાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, કેક અથવા અન્ય ખાદ્યપદાર્થો કે જે વપરાશ પહેલાં ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે, અથવા વિસ્તૃત વસ્તુઓના અવકાશી સંબંધોનો અંદાજ કાઢવા માટે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના ગુણધર્મો.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

1. સુવ્યવસ્થિતતા aઅને bત્યાં એક નિયમ છે જે તમને અસ્પષ્ટપણે 1 અને તેમની વચ્ચેના 3 સંબંધોમાંથી ફક્ત એકને ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે: “<», «>" અથવા "=". આ છે નિયમ - ઓર્ડર કરવાનો નિયમઅને તેને આ પ્રમાણે બનાવો:

2 હકારાત્મક સંખ્યાઓ a=m a /n aઅને b=m b /n b 2 પૂર્ણાંકો જેવા જ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે m a⋅ n bઅને m b⋅ n એ;
2 નકારાત્મક સંખ્યાઓ aઅને b 2 હકારાત્મક સંખ્યાઓના સમાન ગુણોત્તરથી સંબંધિત છે |b|અને |a|;
જ્યારે aહકારાત્મક અને b- પછી નકારાત્મક a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. એડિશન ઓપરેશન. તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે aઅને bછે સરવાળો નિયમ, જે તેમને ચોક્કસ તર્કસંગત સંખ્યા અસાઇન કરે છે c. વધુમાં, નંબર પોતે c- આ સરવાળોસંખ્યાઓ aઅને bઅને તે તરીકે સૂચવવામાં આવે છે (a+b) સમીકરણ.

સમીકરણ નિયમઆના જેવો દેખાય છે:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n એ)/(એન એ⋅ n b).

∀ a,b∈ પ્ર∃ !(a+b)∈ પ્ર

3. ગુણાકાર કામગીરી. તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે aઅને bછે ગુણાકારનો નિયમ, તે તેમને ચોક્કસ તર્કસંગત સંખ્યા સાથે સાંકળે છે c. નંબર c કહેવાય છે કામસંખ્યાઓ aઅને bઅને સૂચવો (a⋅b), અને આ નંબર શોધવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ગુણાકાર.

ગુણાકારનો નિયમઆના જેવો દેખાય છે: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. ઓર્ડર સંબંધની સંક્રમણાત્મકતા.કોઈપણ ત્રણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે a, bઅને cજો aઓછું bઅને bઓછું c, તે aઓછું c, અને જો aબરાબર bઅને bબરાબર c, તે aબરાબર c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. ઉમેરાની કોમ્યુટેટીવીટી. તર્કસંગત શબ્દોના સ્થાનો બદલવાથી સરવાળો બદલાતો નથી.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. એસોસિએટિવિટી ઉમેરો. જે ક્રમમાં 3 તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉમેરવામાં આવે છે તે પરિણામને અસર કરતું નથી.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. શૂન્યની હાજરી. ત્યાં એક તર્કસંગત સંખ્યા 0 છે, જ્યારે ઉમેરવામાં આવે ત્યારે તે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.

∃ 0 ∈ પ્ર∀ a∈ Q a+0=a

8. વિરોધી સંખ્યાઓની હાજરી. કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાની વિપરિત તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, અને જ્યારે તે ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામ 0 આવે છે.

∀ a∈ પ્ર∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. ગુણાકારની કોમ્યુટેટીવીટી. તર્કસંગત પરિબળોના સ્થાનો બદલવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી.

∀ a,b∈ સ એ⋅ b=b⋅ a

10. ગુણાકારની સહયોગીતા. જે ક્રમમાં 3 તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તેની પરિણામ પર કોઈ અસર થતી નથી.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. એકમની ઉપલબ્ધતા. એક તર્કસંગત સંખ્યા 1 છે, તે ગુણાકારની પ્રક્રિયામાં દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.

∃ 1 ∈ પ્ર∀ a∈ સ એ⋅ 1=a

12. ઉપલબ્ધતા પારસ્પરિક સંખ્યાઓ . શૂન્ય સિવાયની દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને વ્યસ્ત તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, જેનાથી ગુણાકાર કરવાથી આપણને 1 મળે છે. .

∀ a∈ પ્ર∃ a−1∈ સ એ⋅ a−1=1

13. સરવાળાની તુલનામાં ગુણાકારની વિતરણતા. ગુણાકારની ક્રિયા વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને ઉમેરા સાથે સંબંધિત છે:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. ઓર્ડર સંબંધ અને ઉમેરણ કામગીરી વચ્ચેનો સંબંધ. ડાબી બાજુએ અને જમણી બાજુ તર્કસંગત અસમાનતાસમાન તર્કસંગત સંખ્યા ઉમેરો.

∀ a,b,c∈ સ એ ⇒ a+c

15. ક્રમ સંબંધ અને ગુણાકારની ક્રિયા વચ્ચેનો સંબંધ. તર્કસંગત અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓને સમાન બિન-નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. આર્કિમિડીઝનું સ્વયંસિદ્ધ. તર્કસંગત સંખ્યા ગમે તે હોય a, એટલા બધા એકમો લેવાનું સરળ છે કે તેમનો સરવાળો વધારે હશે a.

) એ સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક ચિહ્ન (પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંક) અને શૂન્ય સાથેની સંખ્યાઓ છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો વધુ ચોક્કસ ખ્યાલ આના જેવો લાગે છે:

તર્કસંગત સંખ્યા- એક સંખ્યા જે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ થાય છે m/n, જ્યાં અંશ mપૂર્ણાંકો છે, અને છેદ n- કુદરતી સંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 2/3.

અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકો તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં સમાવિષ્ટ નથી.

વાસ્તવિક જીવનમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉપયોગ.

વાસ્તવિક જીવનમાં, કેટલાક પૂર્ણાંક વિભાજ્ય પદાર્થોના ભાગોની ગણતરી કરવા માટે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ વપરાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, કેક અથવા અન્ય ખાદ્યપદાર્થો કે જે વપરાશ પહેલાં ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે, અથવા વિસ્તૃત વસ્તુઓના અવકાશી સંબંધોનો અંદાજ કાઢવા માટે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના ગુણધર્મો.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

2 હકારાત્મક સંખ્યાઓ a=m a /n aઅને b=m b /n b 2 પૂર્ણાંકો જેવા જ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે m a⋅ n bઅને m b⋅ n એ;
2 નકારાત્મક સંખ્યાઓ aઅને b 2 હકારાત્મક સંખ્યાઓના સમાન ગુણોત્તરથી સંબંધિત છે |b|અને |a|;
જ્યારે aહકારાત્મક અને b- પછી નકારાત્મક a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

સમીકરણ નિયમઆના જેવો દેખાય છે:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n એ)/(એન એ⋅ n b).

∀ a,b∈ પ્ર∃ !(a+b)∈ પ્ર

ગુણાકારનો નિયમઆના જેવો દેખાય છે: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

∃ 0 ∈ પ્ર∀ a∈ Q a+0=a

∀ a∈ પ્ર∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

∀ a,b∈ સ એ⋅ b=b⋅ a

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

∃ 1 ∈ પ્ર∀ a∈ સ એ⋅ 1=a

12. પારસ્પરિક સંખ્યાઓની હાજરી. શૂન્ય સિવાયની દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને વ્યસ્ત તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, જેનાથી ગુણાકાર કરવાથી આપણને 1 મળે છે. .

∀ a∈ પ્ર∃ a−1∈ સ એ⋅ a−1=1

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. ઓર્ડર સંબંધ અને ઉમેરણ કામગીરી વચ્ચેનો સંબંધ. તર્કસંગત અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન તર્કસંગત સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે છે.

∀ a,b,c∈ સ એ ⇒ a+c

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

તર્કસંગત સંખ્યાઓનો વિષય ખૂબ વ્યાપક છે. તમે તેના વિશે અવિરતપણે વાત કરી શકો છો અને આખી કૃતિઓ લખી શકો છો, દરેક વખતે નવી સુવિધાઓથી આશ્ચર્ય પામી શકો છો.

ભવિષ્યમાં ભૂલો ટાળવા માટે, આ પાઠઆપણે તર્કસંગત સંખ્યાઓના વિષયમાં થોડા ઊંડા જઈશું અને તેમાંથી દોરીશું જરૂરી માહિતીઅને ચાલો આગળ વધીએ.

પાઠ સામગ્રી

તર્કસંગત સંખ્યા શું છે

તર્કસંગત સંખ્યા એવી સંખ્યા છે જેને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં a-આ અપૂર્ણાંકનો અંશ છે, bઅપૂર્ણાંકનો છેદ છે. તદુપરાંત bશૂન્ય ન હોવું જોઈએ કારણ કે શૂન્ય વડે ભાગાકારની મંજૂરી નથી.

તર્કસંગત સંખ્યાઓમાં સંખ્યાઓની નીચેની શ્રેણીઓનો સમાવેશ થાય છે:

પૂર્ણાંકો (ઉદાહરણ તરીકે −2, −1, 0 1, 2, વગેરે)

દશાંશ અપૂર્ણાંક (ઉદાહરણ તરીકે 0.2, વગેરે)

અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક (ઉદાહરણ તરીકે 0, (3), વગેરે.)

આ શ્રેણીની દરેક સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 1.પૂર્ણાંક 2 અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા 2 માત્ર પૂર્ણાંકોને જ નહીં, પણ તર્કસંગત રાશિઓને પણ લાગુ પડે છે.

ઉદાહરણ 2.મિશ્ર સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ અપૂર્ણાંકમિશ્ર સંખ્યાને માં રૂપાંતરિત કરીને મેળવી અયોગ્ય અપૂર્ણાંક

અર્થ મિશ્ર સંખ્યાતર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉલ્લેખ કરે છે.

ઉદાહરણ 3.દશાંશ 0.2 અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ અપૂર્ણાંક દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.2 ને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીને મેળવવામાં આવ્યો હતો. જો તમને આ બિંદુએ મુશ્કેલી હોય, તો વિષયનું પુનરાવર્તન કરો.

કારણ કે દશાંશ 0.2 ને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેનો અર્થ છે કે તે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો પણ છે.

ઉદાહરણ 4.અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક 0, (3) અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ અપૂર્ણાંક શુદ્ધ સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીને મેળવવામાં આવે છે. જો તમને આ સમયે મુશ્કેલી હોય, તો વિષયનું પુનરાવર્તન કરો.

અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક 0, (3) અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, તેનો અર્થ એ છે કે તે પરિમેય સંખ્યાઓનો પણ છે.

ભવિષ્યમાં, અમે એક વાક્ય દ્વારા અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય તેવા તમામ નંબરોને વધુને વધુ કૉલ કરીશું - તર્કસંગત સંખ્યાઓ.

સંકલન રેખા પર પરિમેય સંખ્યાઓ

જ્યારે અમે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો અભ્યાસ કર્યો ત્યારે અમે સંકલન રેખા તરફ જોયું. યાદ કરો કે આ એક સીધી રેખા છે જેના પર ઘણા બધા બિંદુઓ આવેલા છે. આના જેવો દેખાય છે:

આ આંકડો −5 થી 5 સુધીની સંકલન રેખાનો એક નાનો ટુકડો દર્શાવે છે.

સંકલન રેખા પર ફોર્મ 2, 0, −3 ના પૂર્ણાંકોને ચિહ્નિત કરવું મુશ્કેલ નથી.

અન્ય સંખ્યાઓ સાથે વસ્તુઓ વધુ રસપ્રદ છે: સામાન્ય અપૂર્ણાંક, મિશ્ર સંખ્યાઓ, દશાંશ વગેરે સાથે. આ સંખ્યાઓ પૂર્ણાંકોની વચ્ચે આવેલી છે અને આમાંની સંખ્યાઓ અનંતપણે ઘણી છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સંકલન રેખા પર તર્કસંગત સંખ્યાને ચિહ્નિત કરીએ. આ નંબરશૂન્ય અને એક વચ્ચે બરાબર આવેલું છે

ચાલો સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ કે શા માટે અપૂર્ણાંક અચાનક શૂન્ય અને એક વચ્ચે સ્થિત છે.

ઉપર જણાવ્યા મુજબ, પૂર્ણાંકો વચ્ચે અન્ય સંખ્યાઓ છે - સામાન્ય અપૂર્ણાંક, દશાંશ, મિશ્ર સંખ્યાઓ, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે સંકલન રેખાના વિભાગને 0 થી 1 સુધી વધારશો, તો તમે નીચેનું ચિત્ર જોઈ શકો છો

તે જોઈ શકાય છે કે પૂર્ણાંક 0 અને 1 વચ્ચે અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે, જે પરિચિત દશાંશ અપૂર્ણાંક છે. અહીં તમે અમારા અપૂર્ણાંકને જોઈ શકો છો, જે દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.5 ની સમાન જગ્યાએ સ્થિત છે. આ આંકડોની કાળજીપૂર્વક તપાસ કરવાથી અપૂર્ણાંક બરાબર ત્યાં શા માટે સ્થિત છે તે પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે.

અપૂર્ણાંક એટલે 1 ને 2 વડે ભાગવું. અને જો આપણે 1 ને 2 વડે ભાગીએ તો આપણને 0.5 મળે છે.

દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.5 અન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે છૂપી શકાય છે. અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મ પરથી, આપણે જાણીએ છીએ કે જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરવામાં આવે તો અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.

જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, ઉદાહરણ તરીકે નંબર 4 દ્વારા, તો આપણને એક નવો અપૂર્ણાંક મળે છે, અને આ અપૂર્ણાંક પણ 0.5 ની બરાબર છે.

આનો અર્થ એ છે કે સંકલન રેખા પર અપૂર્ણાંક તે જ જગ્યાએ મૂકી શકાય છે જ્યાં અપૂર્ણાંક સ્થિત હતો

ઉદાહરણ 2.ચાલો કોઓર્ડિનેટ પર તર્કસંગત સંખ્યાને ચિહ્નિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ નંબર બરાબર 1 અને 2 નંબરની વચ્ચે સ્થિત છે

અપૂર્ણાંક મૂલ્ય 1.5 છે

જો આપણે સંકલન રેખાના વિભાગને 1 થી 2 સુધી વધારીએ, તો આપણે નીચેનું ચિત્ર જોશું:

તે જોઈ શકાય છે કે પૂર્ણાંક 1 અને 2 વચ્ચે અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે, જે પરિચિત દશાંશ અપૂર્ણાંક છે. અહીં તમે અમારા અપૂર્ણાંકને જોઈ શકો છો, જે દશાંશ અપૂર્ણાંક 1.5 ની સમાન જગ્યાએ સ્થિત છે.

આ સેગમેન્ટ પર પડેલી બાકીની સંખ્યાઓ જોવા માટે અમે કોઓર્ડિનેટ લાઇન પર અમુક સેગમેન્ટ્સને વિસ્તૃત કર્યા છે. પરિણામે, અમે દશાંશ અપૂર્ણાંકો શોધી કાઢ્યા જે દશાંશ બિંદુ પછી એક અંક ધરાવે છે.

પરંતુ તેઓ ન હતા એકવચન સંખ્યાઓ, આ ભાગો પર પડેલો. કોઓર્ડિનેટ લાઇન પર અસંખ્ય સંખ્યાઓ પડેલી છે.

તે અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી કે દશાંશ અપૂર્ણાંકો વચ્ચે કે જે દશાંશ બિંદુ પછી એક અંક ધરાવે છે, ત્યાં અન્ય દશાંશ અપૂર્ણાંકો છે જે દશાંશ બિંદુ પછી બે અંકો ધરાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સેગમેન્ટનો સોમો ભાગ.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.1 અને 0.2 વચ્ચે આવેલી સંખ્યાઓ જોવાનો પ્રયાસ કરીએ.

બીજું ઉદાહરણ. દશાંશ અપૂર્ણાંક કે જે દશાંશ બિંદુ પછી બે અંકો ધરાવે છે અને શૂન્ય અને તર્કસંગત સંખ્યા 0.1 ની વચ્ચે આવેલા છે તે આના જેવો દેખાય છે:

ઉદાહરણ 3.ચાલો સંકલન રેખા પર એક તર્કસંગત સંખ્યાને ચિહ્નિત કરીએ. આ તર્કસંગત સંખ્યા શૂન્યની ખૂબ નજીક હશે

અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય 0.02 છે

જો આપણે સેગમેન્ટને 0 થી 0.1 સુધી વધારીએ, તો આપણે જોઈશું કે તર્કસંગત સંખ્યા ક્યાં સ્થિત છે.

તે જોઈ શકાય છે કે આપણી તર્કસંગત સંખ્યા દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.02 જેવી જ જગ્યાએ સ્થિત છે.

ઉદાહરણ 4.ચાલો સંકલન રેખા પર તર્કસંગત સંખ્યા 0 ને ચિહ્નિત કરીએ, (3)

તર્કસંગત સંખ્યા 0, (3) એ અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક છે. તેમના અપૂર્ણાંક ભાગક્યારેય સમાપ્ત થતું નથી, તે અનંત છે

અને નંબર 0,(3) માં અનંત અપૂર્ણાંક ભાગ હોવાથી, આનો અર્થ એ છે કે આ સંખ્યા જ્યાં સ્થિત છે તે સંકલન રેખા પર આપણે ચોક્કસ સ્થાન શોધી શકીશું નહીં. અમે ફક્ત આ સ્થાનને આશરે સૂચવી શકીએ છીએ.

તર્કસંગત સંખ્યા 0.33333... સામાન્ય દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.3 ની ખૂબ નજીક સ્થિત હશે

આ આંકડો નંબર 0,(3) નું ચોક્કસ સ્થાન બતાવતું નથી. સામયિક અપૂર્ણાંક 0.(3) નિયમિત દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.3 ની કેટલી નજીક હોઈ શકે તે બતાવવા માટે આ માત્ર એક ઉદાહરણ છે.

ઉદાહરણ 5.ચાલો સંકલન રેખા પર તર્કસંગત સંખ્યાને ચિહ્નિત કરીએ. આ તર્કસંગત સંખ્યા 2 અને 3 ની વચ્ચે મધ્યમાં સ્થિત હશે

આ 2 (બે પૂર્ણાંક) અને (એક સેકન્ડ) છે. અપૂર્ણાંકને "અડધો" પણ કહેવામાં આવે છે. તેથી, અમે સંકલન રેખા પર બે સંપૂર્ણ સેગમેન્ટ અને બીજા અડધા સેગમેન્ટને ચિહ્નિત કર્યા છે.

જો આપણે મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ, તો આપણને એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક મળે છે. સંકલન રેખા પરનો આ અપૂર્ણાંક અપૂર્ણાંકની સમાન જગ્યાએ સ્થિત હશે

અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય 2.5 છે

જો આપણે સંકલન રેખાના વિભાગને 2 થી 3 સુધી વધારીએ, તો આપણે નીચેનું ચિત્ર જોશું:

તે જોઈ શકાય છે કે આપણી તર્કસંગત સંખ્યા દશાંશ અપૂર્ણાંક 2.5 જેવી જ જગ્યાએ સ્થિત છે.

તર્કસંગત સંખ્યા પહેલા માઈનસ

અગાઉના પાઠમાં, જેને કહેવામાં આવ્યું હતું, આપણે પૂર્ણાંકોને કેવી રીતે વિભાજિત કરવું તે શીખ્યા. ધન અને નકારાત્મક બંને સંખ્યાઓ ડિવિડન્ડ અને વિભાજક તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

ચાલો સૌથી સરળ અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લઈએ

(−6) : 2 = −3

IN આ અભિવ્યક્તિડિવિડન્ડ (−6) એ નકારાત્મક સંખ્યા છે.

હવે બીજી અભિવ્યક્તિનો વિચાર કરો

6: (−2) = −3

અહીં વિભાજક (−2) પહેલેથી જ નકારાત્મક સંખ્યા છે. પરંતુ બંને કિસ્સામાં આપણને એક જ જવાબ મળે છે -3.

કોઈપણ વિભાજનને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય તે ધ્યાનમાં રાખીને, આપણે ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણોને અપૂર્ણાંક તરીકે પણ લખી શકીએ છીએ:

અને બંને કિસ્સાઓમાં અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય સમાન હોવાથી, અંશ અથવા છેદમાંના બાદબાકીને અપૂર્ણાંકની આગળ મૂકીને સામાન્ય બનાવી શકાય છે.

તેથી, તમે અભિવ્યક્તિઓ વચ્ચે સમાન ચિહ્ન મૂકી શકો છો અને અને કારણ કે તેઓ સમાન અર્થ ધરાવે છે

ભવિષ્યમાં, અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરતી વખતે, જો આપણને અંશ અથવા છેદમાં ઓછાનો સામનો કરવો પડે, તો અમે તેને અપૂર્ણાંકની સામે મૂકીને આ ઓછાને સામાન્ય બનાવીશું.

વિપરિત તર્કસંગત સંખ્યાઓ

પૂર્ણાંકની જેમ, તર્કસંગત સંખ્યા તેની વિરુદ્ધ સંખ્યા ધરાવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તર્કસંગત સંખ્યા માટે વિરોધી સંખ્યાછે . તે સંકલન રેખા પર સમપ્રમાણરીતે કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સંબંધિત સ્થાન પર સ્થિત છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ બંને સંખ્યાઓ મૂળથી સમાન છે

મિશ્ર સંખ્યાઓને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવી

આપણે જાણીએ છીએ કે મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આપણે આખા ભાગને અપૂર્ણાંકના ભાગના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને તેને અપૂર્ણાંક ભાગના અંશમાં ઉમેરવાની જરૂર છે. પરિણામી સંખ્યા નવા અપૂર્ણાંકનો અંશ હશે, પરંતુ છેદ એક જ રહેશે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ

અપૂર્ણાંક ભાગના છેદ દ્વારા સમગ્ર ભાગનો ગુણાકાર કરો અને અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ ઉમેરો:

ચાલો આ અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

પરિણામી સંખ્યા 5 એ નવા અપૂર્ણાંકનો અંશ હશે, પરંતુ છેદ એ જ રહેશે:

આ પ્રક્રિયા નીચે પ્રમાણે સંપૂર્ણ રીતે લખાયેલ છે:

મૂળ મિશ્રિત સંખ્યા પરત કરવા માટે, અપૂર્ણાંકમાં સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરવા માટે તે પૂરતું છે

પરંતુ મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની આ પદ્ધતિ માત્ર ત્યારે જ લાગુ પડે છે જો મિશ્ર સંખ્યા હકારાત્મક હોય. નકારાત્મક સંખ્યા માટે આ પદ્ધતિકામ કરશે નહીં.

ચાલો અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો આ અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરીએ. અમને મળે છે

મૂળ અપૂર્ણાંક પરત કરવા માટે, તમારે મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. પરંતુ જો આપણે જૂના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, એટલે કે, આખા ભાગને અપૂર્ણાંક ભાગના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને પરિણામી સંખ્યામાં અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ ઉમેરીએ છીએ, તો આપણને નીચેનો વિરોધાભાસ મળે છે:

અમને અપૂર્ણાંક મળ્યો છે, પરંતુ અમને અપૂર્ણાંક મળવો જોઈએ.

અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે મિશ્રિત સંખ્યા ખોટી રીતે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવી હતી

નકારાત્મક મિશ્રિત સંખ્યાને યોગ્ય રીતે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે આખા ભાગને અપૂર્ણાંક ભાગના છેદ દ્વારા અને પરિણામી સંખ્યામાંથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. બાદબાકીઅપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ. આ કિસ્સામાં, બધું આપણા માટે સ્થાને આવશે

નકારાત્મક મિશ્ર સંખ્યા એ મિશ્ર સંખ્યાની વિરુદ્ધ છે. જો ધન મિશ્રિત સંખ્યા જમણી બાજુએ સ્થિત હોય અને આના જેવી દેખાય

તર્કસંગત સંખ્યાઓ

ક્વાર્ટર્સ

સુવ્યવસ્થિતતા. aઅને bત્યાં એક નિયમ છે જે વ્યક્તિને તેમની વચ્ચેના ત્રણ સંબંધોમાંથી એક અને માત્ર એકને અનન્ય રીતે ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે: “< », « >" અથવા " = ". આ નિયમ કહેવાય છે ઓર્ડર કરવાનો નિયમઅને નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: બે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓઅને બે પૂર્ણાંકો અને ; બે બિન-ધન સંખ્યા aઅને bબે બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાઓ જેવા જ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે અને ; જો અચાનક aબિન-નકારાત્મક, પરંતુ b- પછી નકારાત્મક a > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છેએડિશન ઓપરેશન. aઅને bકોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે સરવાળો નિયમ cત્યાં એક કહેવાતા છે c. વધુમાં, નંબર પોતે કહેવાય છેસંખ્યાઓ aઅને bરકમ અને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને આવી સંખ્યા શોધવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છેસમીકરણ .
. સરવાળો નિયમ નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:એડિશન ઓપરેશન. aઅને bકોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે ગુણાકારનો નિયમગુણાકાર કામગીરી. cત્યાં એક કહેવાતા છે c. વધુમાં, નંબર પોતે કામસંખ્યાઓ aઅને b, જે તેમને અમુક તર્કસંગત સંખ્યા અસાઇન કરે છે અને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને આવી સંખ્યા શોધવાની પ્રક્રિયાને પણ કહેવામાં આવે છેગુણાકાર .
ઓર્ડર સંબંધની સંક્રમણાત્મકતા.. ગુણાકારનો નિયમ આના જેવો દેખાય છે: a , bઅને cતર્કસંગત સંખ્યાઓના કોઈપણ ત્રિવિધ માટે aજો bઅને bજો cઓછું aજો c, તે a, અને જો bઅને b, અને જો cઓછું a, અને જો cબરાબર
. 6435">ઉમેરાની કોમ્યુટેટીવીટી. તર્કસંગત શબ્દોના સ્થાનો બદલવાથી સરવાળો બદલાતો નથી. ઉમેરાની સહયોગીતા.ઓર્ડર
ત્રણ ઉમેરી રહ્યા છેતર્કસંગત સંખ્યાઓ પરિણામને અસર કરતી નથી.
શૂન્યની હાજરી.ત્યાં એક તર્કસંગત સંખ્યા 0 છે જે ઉમેરવામાં આવે ત્યારે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.
વિરોધી સંખ્યાઓની હાજરી.કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાની વિરુદ્ધ તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, જે ઉમેરવાથી 0 મળે છે.
ગુણાકારની કોમ્યુટેટીવીટી.તર્કસંગત પરિબળોના સ્થાનો બદલવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી.
ગુણાકારની સહયોગીતા.જે ક્રમમાં ત્રણ તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તે પરિણામને અસર કરતું નથી.
એકમની ઉપલબ્ધતા.એક તર્કસંગત સંખ્યા 1 છે જે જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.
પારસ્પરિક સંખ્યાઓની હાજરી.કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યામાં વ્યસ્ત પરિમેય સંખ્યા હોય છે, જેનો ગુણાકાર કરવાથી 1 મળે છે.
સરવાળાની તુલનામાં ગુણાકારની વિતરણતા.ગુણાકારની કામગીરી વિતરણ કાયદા દ્વારા ઉમેરણ કામગીરી સાથે સંકલિત છે:
ઉમેરાની કામગીરી સાથે ઓર્ડર સંબંધનું જોડાણ.તર્કસંગત અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન તર્કસંગત સંખ્યા ઉમેરી શકાય છે. a/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> aઆર્કિમિડીઝનું સ્વયંસિદ્ધ.

તર્કસંગત સંખ્યા ગમે તે હોય

, તમે એટલા બધા એકમો લઈ શકો છો કે તેમનો સરવાળો વધી જાય

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

સમૂહની ગણતરી

તર્કસંગત સંખ્યાઓની સંખ્યા

તર્કસંગત સંખ્યાઓની સંખ્યાનો અંદાજ કાઢવા માટે, તમારે તેમના સમૂહની મુખ્યતા શોધવાની જરૂર છે. તે સાબિત કરવું સરળ છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે. આ કરવા માટે, એક અલ્ગોરિધમ આપવા માટે તે પૂરતું છે જે તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરે છે, એટલે કે, તર્કસંગત અને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહો વચ્ચે દ્વિભાજન સ્થાપિત કરે છે.

આ અલ્ગોરિધમનો સૌથી સરળ આના જેવો દેખાય છે. એક અનંત ટેબલ બનાવવામાં આવે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક, દરેક પર i-દરેકમાં મી લીટી jમી સ્તંભ કે જેમાં અપૂર્ણાંક સ્થિત છે. નિશ્ચિતતા માટે, એવું માનવામાં આવે છે કે આ કોષ્ટકની પંક્તિઓ અને કૉલમ એકથી શરૂ કરીને ક્રમાંકિત છે. કોષ્ટક કોષો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં i- કોષ્ટક પંક્તિની સંખ્યા જેમાં કોષ સ્થિત છે, અને j- કૉલમ નંબર.

પરિણામી કોષ્ટક નીચેના ઔપચારિક અલ્ગોરિધમ અનુસાર "સાપ" નો ઉપયોગ કરીને પસાર થાય છે.

આ નિયમો ઉપરથી નીચે સુધી શોધવામાં આવે છે અને પ્રથમ મેચના આધારે આગળની સ્થિતિ પસંદ કરવામાં આવે છે.

આવા ટ્રાવર્સલની પ્રક્રિયામાં, દરેક નવી તર્કસંગત સંખ્યા બીજી કુદરતી સંખ્યા સાથે સંકળાયેલી હોય છે. એટલે કે, અપૂર્ણાંક 1/1 નંબર 1 ને, અપૂર્ણાંક 2/1 ને નંબર 2, વગેરેને સોંપવામાં આવે છે. એ નોંધવું જોઈએ કે માત્ર અફર અપૂર્ણાંક. અપૂર્ણતાની ઔપચારિક નિશાની એ છે કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક એક સમાન છે.

આ અલ્ગોરિધમને અનુસરીને, આપણે બધી હકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે. ધન અને નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહો વચ્ચે દ્વિભાજન સ્થાપિત કરવું સરળ છે અને દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેની વિરુદ્ધમાં સોંપી શકાય છે. તે. નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ પણ ગણતરીપાત્ર છે. તેમનું યુનિયન ગણી શકાય તેવા સેટની મિલકત દ્વારા પણ ગણનાપાત્ર છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ પણ ગણતરીપાત્ર હોય છે, કારણ કે તે મર્યાદિત સંખ્યા સાથે ગણી શકાય તેવા સમૂહના જોડાણ તરીકે ગણાય છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહની ગણતરીક્ષમતા વિશેનું નિવેદન કેટલીક મૂંઝવણનું કારણ બની શકે છે, કારણ કે પ્રથમ નજરમાં એવું લાગે છે કે તે કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ કરતાં વધુ વ્યાપક છે. વાસ્તવમાં, આવું નથી અને તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓની ગણતરી કરવા માટે પૂરતી કુદરતી સંખ્યાઓ છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓનો અભાવ

આવા ત્રિકોણના કર્ણને કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાતા નથી

ફોર્મ 1 / ની તર્કસંગત સંખ્યાઓ nમોટા પ્રમાણમાં nમનસ્વી રીતે નાની માત્રામાં માપી શકાય છે. આ હકીકત બનાવે છે ભ્રામક છાપકે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કોઈપણ ભૌમિતિક અંતર માપવા માટે થઈ શકે છે. તે બતાવવાનું સરળ છે કે આ સાચું નથી.

નોંધો

સાહિત્ય

I. કુશનિર. શાળાના બાળકો માટે ગણિતની હેન્ડબુક. - કિવ: ASTARTA, 1998. - 520 પૃષ્ઠ.
પી.એસ. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ. સેટ થિયરી અને સામાન્ય ટોપોલોજીનો પરિચય. - એમ.: પ્રકરણ. સંપાદન ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત પ્રકાશિત સંપાદન "વિજ્ઞાન", 1977
આઇ.એલ. ખ્મેલનીત્સ્કી. બીજગણિત પ્રણાલીના સિદ્ધાંતનો પરિચય

લિંક્સ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.