સૌથી સામાન્ય વિભાજકની વ્યાખ્યા. "કુદરતી સંખ્યાઓ

ચાલો સમસ્યા હલ કરીએ. અમારી પાસે બે પ્રકારની કૂકીઝ છે. કેટલાક ચોકલેટ છે અને અન્ય સાદા છે. ત્યાં 48 ચોકલેટ કૂકીઝ છે, અને 36 સાદા છે તમારે આમાંથી શક્ય તેટલી વધુ કૂકીઝ બનાવવાની જરૂર છે. શક્ય સંખ્યાભેટ, પરંતુ તમારે તે બધાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

પ્રથમ, ચાલો આ બે સંખ્યાઓમાંથી દરેકના તમામ વિભાજકો લખીએ, કારણ કે આ બંને સંખ્યાઓ ભેટની સંખ્યા દ્વારા ભાગી શકાય તેવી હોવી જોઈએ.

આપણને મળે છે,

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

ચાલો આપણે સામાન્ય વિભાજકોમાં શોધીએ કે જે બંને પ્રથમ અને બીજી સંખ્યા ધરાવે છે.

સામાન્ય પરિબળો હશે: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

બધામાં સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ નંબર 12 છે. આ સંખ્યાને 36 અને 48 નંબરોનો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ કહેવામાં આવે છે.

પ્રાપ્ત પરિણામોના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે બધી કૂકીઝમાંથી 12 ભેટો બનાવી શકાય છે. આવી એક ભેટમાં 4 ચોકલેટ કૂકીઝ અને 3 નિયમિત કૂકીઝ હશે.

મહાન સામાન્ય વિભાજક શોધવી

• સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા કે જે બે સંખ્યાઓ a અને b ને કોઈ શેષ વિના વિભાજિત કરે છે તેને આ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક કહેવામાં આવે છે.

કેટલીકવાર સંક્ષેપ GCD નો ઉપયોગ એન્ટ્રીને ટૂંકો કરવા માટે થાય છે.

સંખ્યાઓની કેટલીક જોડીમાં તેમના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક તરીકે એક હોય છે. આવા નંબરો કહેવામાં આવે છે પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ.ઉદાહરણ તરીકે, 24 અને 35 નંબરોમાં GCD =1 છે.

સૌથી સામાન્ય વિભાજક કેવી રીતે શોધવું

સૌથી મોટું શોધવા માટે સામાન્ય વિભાજકઆ સંખ્યાઓના તમામ વિભાજકો લખવા જરૂરી નથી.

તમે તેને અલગ રીતે કરી શકો છો. પ્રથમ, બંને સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળમાં પરિબળ કરો.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

હવે, પ્રથમ નંબરના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અમે બીજા નંબરના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા તમામ પરિબળોને પાર કરીશું. અમારા કિસ્સામાં, આ બે ડ્યુસ છે.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

બાકીના અવયવો 2, 2 અને 3 છે. તેમનો ગુણાંક 12 છે. આ સંખ્યા 48 અને 36 સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક હશે.

આ નિયમ ત્રણ, ચાર, વગેરેના કેસ સુધી લંબાવી શકાય છે. સંખ્યાઓ

સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટેની સામાન્ય યોજના

• 1. સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં વિભાજીત કરો.
• 2. આમાંની એક સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અન્ય સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા પરિબળોને પાર કરો.
• 3. બાકીના પરિબળોના ઉત્પાદનની ગણતરી કરો.

બે કે તેથી વધુ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક કેવી રીતે શોધવો તે શીખવા માટે, તમારે કુદરતી, અવિભાજ્ય અને જટિલ સંખ્યાઓ શું છે તે સમજવાની જરૂર છે.

કુદરતી સંખ્યા એ કોઈપણ સંખ્યા છે જેનો ઉપયોગ સંપૂર્ણ વસ્તુઓની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

જો પ્રાકૃતિક સંખ્યાને ફક્ત પોતાના અને એકમાં જ વિભાજિત કરી શકાય, તો તેને અવિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે.

બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને પોતાના અને એક વડે વિભાજિત કરી શકાય છે, પરંતુ એકમાત્ર સમાન અવિભાજ્ય સંખ્યા 2 છે, અન્ય તમામને બે વડે ભાગી શકાય છે. તેથી, માત્ર બેકી સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય હોઈ શકે છે.

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ઘણી છે સંપૂર્ણ યાદીતેઓ અસ્તિત્વમાં નથી. GCD શોધવા માટે આવા નંબરો સાથે વિશિષ્ટ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે.

મોટાભાગની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને માત્ર એક દ્વારા જ નહીં, પણ અન્ય સંખ્યાઓ દ્વારા પણ વિભાજિત કરી શકાય છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, 15 નંબરને 3 અને 5 વડે ભાગી શકાય છે. તે બધાને 15 નંબરના વિભાજક કહેવામાં આવે છે.

આમ, કોઈપણ A નો વિભાજક એ સંખ્યા છે જેના દ્વારા તેને શેષ વિના ભાગી શકાય છે. જો સંખ્યા બે કરતા વધારે હોય કુદરતી વિભાજકો, તેને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે.

30 નંબરમાં 1, 3, 5, 6, 15, 30 જેવા વિભાજકો હોઈ શકે છે.

તમે જોશો કે 15 અને 30 ના સમાન વિભાજકો 1, 3, 5, 15 છે. આ બે સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક 15 છે.

આમ, સંખ્યાઓ A અને B નો સામાન્ય વિભાજક એ સંખ્યા છે જેના દ્વારા તેમને સંપૂર્ણ રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે. સૌથી મોટાને મહત્તમ ગણી શકાય કુલ સંખ્યા, જેમાં તેમને વિભાજિત કરી શકાય છે.

સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે, નીચેના સંક્ષિપ્ત શિલાલેખનો ઉપયોગ થાય છે:

GCD (A; B).

ઉદાહરણ તરીકે, gcd (15; 30) = 30.

કુદરતી સંખ્યાના તમામ વિભાજકો લખવા માટે, સંકેતનો ઉપયોગ કરો:

D (15) = (1, 3, 5, 15)

GCD (9; 15) = 1

IN આ ઉદાહરણમાંકુદરતી સંખ્યાઓમાં માત્ર એક સામાન્ય પરિબળ હોય છે. તેમને પ્રમાણમાં પ્રાઇમ કહેવામાં આવે છે, તેથી એકતા તેમના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક છે.

સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક કેવી રીતે શોધવો

અનેક સંખ્યાઓની જીસીડી શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાના તમામ વિભાજકોને અલગથી શોધો, એટલે કે, તેમને અવયવ (અવિભાજ્ય સંખ્યા) માં પરિબળ કરો;

આપેલ સંખ્યાઓના બધા સમાન પરિબળો પસંદ કરો;

તેમને એકસાથે ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ તરીકે, 30 અને 56 નંબરોના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકની ગણતરી કરવા માટે, તમે નીચે મુજબ લખશો:

મૂંઝવણ ટાળવા માટે, ઊભી કૉલમનો ઉપયોગ કરીને પરિબળોને લખવાનું અનુકૂળ છે. લાઇનની ડાબી બાજુએ તમારે ડિવિડન્ડ મૂકવાની જરૂર છે, અને જમણી બાજુએ - વિભાજક. ડિવિડન્ડ હેઠળ, તમારે પરિણામી ભાગ સૂચવવો જોઈએ.

તેથી, જમણી સ્તંભમાં ઉકેલ માટે જરૂરી તમામ પરિબળો હશે.

સમાન વિભાજકો (મળેલા પરિબળો) સુવિધા માટે રેખાંકિત કરી શકાય છે. તેઓ ફરીથી લખવા જોઈએ અને ગુણાકાર કરવા જોઈએ અને સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક લખવા જોઈએ.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

સંખ્યાઓના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકને શોધવાનું આ ખરેખર કેટલું સરળ છે. જો તમે થોડી પ્રેક્ટિસ કરો છો, તો તમે આ લગભગ આપમેળે કરી શકો છો.

સારાંશના મુખ્ય શબ્દો:કુદરતી સંખ્યાઓ. અંકગણિત કામગીરીકુદરતી સંખ્યાઓ પર. કુદરતી સંખ્યાઓની વિભાજ્યતા. અવિભાજ્ય અને સંયુક્ત સંખ્યાઓ. પ્રાકૃતિક સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવોમાં ફેક્ટરિંગ. 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11 દ્વારા વિભાજ્યતાના ચિહ્નો. ગ્રેટેસ્ટ કોમન ડિવાઈઝર (GCD), તેમજ લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCD). શેષ સાથે વિભાજન.

કુદરતી સંખ્યાઓ- આ સંખ્યાઓ છે જેનો ઉપયોગ વસ્તુઓની ગણતરી કરવા માટે થાય છે - 1, 2, 3, 4 , ... પરંતુ નંબર 0 કુદરતી નથી!

કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે એન. રેકોર્ડ "3 ∈ N"મતલબ કે નંબર ત્રણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહ અને સંકેતનો છે "0 ∉ N"મતલબ કે શૂન્ય નંબર આ સમૂહનો નથી.

દશાંશ નંબર સિસ્ટમ - પોઝિશનિંગ સિસ્ટમમૂલાંક 10 .

કુદરતી સંખ્યાઓ પર અંકગણિત કામગીરી

કુદરતી સંખ્યાઓ માટે નીચેની ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે: સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર,ઘાતીકરણ, મૂળ નિષ્કર્ષણ. પ્રથમ ચાર ક્રિયાઓ છે અંકગણિત.

ચાલો a, b અને c ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ગણીએ

1. ઉમેરો. ટર્મ + ટર્મ = સરવાળો

ઉમેરાના ગુણધર્મો
1. કોમ્યુનિકેટિવ a + b = b + a.
2. સંયોજક a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0 = 0 + a = a.

2. બાદ કરો. Minuend - Subtrahend = તફાવત

બાદબાકીના ગુણધર્મો
1. સંખ્યા a - (b + c) = a - b - c માંથી સરવાળો બાદ કરવો.
2. રકમમાંથી સંખ્યા બાદ કરવી (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.

3. ગુણાકાર. ગુણક * ગુણક = ઉત્પાદન

ગુણાકારના ગુણધર્મો
1. કોમ્યુનિકેટિવ a*b = b*a.
2. સંયોજક a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. વિતરણ (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. ડિવિઝન. ડિવિડન્ડ: વિભાજક = ભાગાકાર

વિભાજનના ગુણધર્મો
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી!
3. 0: a = 0.

પ્રક્રિયા

1. સૌ પ્રથમ, કૌંસમાંની ક્રિયાઓ.
2. પછી ગુણાકાર, ભાગાકાર.
3. અને માત્ર અંતે ઉમેરા અને બાદબાકી.

કુદરતી સંખ્યાઓની વિભાજ્યતા. અવિભાજ્ય અને સંયુક્ત સંખ્યાઓ.

કુદરતી સંખ્યાનો વિભાજક એજેની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે એબાકી વગર વિભાજિત. નંબર 1 કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાનો વિભાજક છે.

કુદરતી સંખ્યા કહેવાય છે સરળ, જો તે માત્ર હોય બેવિભાજક: એક અને સંખ્યા પોતે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 2, 3, 11, 23 અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.

બે કરતા વધુ વિભાજકો ધરાવતી સંખ્યા કહેવાય છે સંયુક્ત. ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 4, 8, 15, 27 એ સંયુક્ત સંખ્યાઓ છે.

વિભાજ્યતા પરીક્ષણ કામ કરે છેઅનેક સંખ્યાઓ: જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ ચોક્કસ સંખ્યા વડે વિભાજ્ય હોય, તો ઉત્પાદન પણ આ સંખ્યા વડે વિભાજ્ય છે. કામ 24 15 77 દ્વારા વિભાજિત 12 , આ સંખ્યાના ગુણકથી 24 દ્વારા વિભાજિત 12 .

રકમ (તફાવત) માટે વિભાજ્યતા પરીક્ષણસંખ્યાઓ: જો દરેક પદ ચોક્કસ સંખ્યા વડે વિભાજ્ય હોય, તો સમગ્ર સરવાળો આ સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે છે. જો a: bઅને c: b, તે (a + c): b. શું જો a: b, એ cદ્વારા વિભાજ્ય નથી b, તે a+cસંખ્યા વડે વિભાજ્ય નથી b.

જો a: cઅને c: b, તે a: b. હકીકત એ છે કે 72:24 અને 24:12 ના આધારે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે 72:12.

સત્તાના ઉત્પાદન તરીકે સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓકહેવાય છે સંખ્યાને મુખ્ય પરિબળમાં ફેક્ટરિંગ.

અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય: કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા (સિવાય 1 ) અથવા છે સરળ, અથવા તે માત્ર એક રીતે પરિબળ કરી શકાય છે.

જ્યારે સંખ્યાને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે વિભાજ્યતાના ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે અને "સ્તંભ" સંકેતનો ઉપયોગ થાય છે આ કિસ્સામાં, વિભાજક ઊભી રેખાની જમણી બાજુએ સ્થિત છે, અને ભાગલાકાર ડિવિડન્ડ હેઠળ લખવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય: સંખ્યાને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરો 330 . ઉકેલ:

માં વિભાજનના ચિહ્નો 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 અને 11.

માં વિભાજનના સંકેતો છે 6, 15, 45 વગેરે, એટલે કે સંખ્યાઓમાં કે જેના ઉત્પાદનને ફેક્ટરાઇઝ કરી શકાય 2, 3, 5, 9 અને 10 .

મહાન સામાન્ય વિભાજક

સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા કે જેના વડે આપેલ બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી દરેક વિભાજ્ય હોય તેને કહેવાય છે સૌથી સામાન્ય વિભાજકઆ સંખ્યાઓ ( જીસીડી). ઉદાહરણ તરીકે, GCD (10; 25) = 5; અને GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

જો બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક બરાબર હોય 1 , પછી આ નંબરો કહેવામાં આવે છે પરસ્પર મુખ્ય.

સૌથી સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ(NOD)

GCD નો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક વર્ગના વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે 155 નોટબુક અને 62 પેન સમાન રીતે વહેંચવામાં આવી હતી. આ વર્ગમાં કેટલા વિદ્યાર્થીઓ છે?

ઉકેલ: આ વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવી એ 155 અને 62 નંબરોના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકને શોધવા માટે નીચે આવે છે, કારણ કે નોટબુક અને પેન સમાન રીતે વિભાજિત કરવામાં આવ્યા હતા. 155 = 5 31; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.

જવાબ: વર્ગમાં 31 વિદ્યાર્થીઓ.

ન્યૂનતમ સામાન્ય બહુવિધ

કુદરતી સંખ્યાના ગુણાકાર એએક કુદરતી સંખ્યા છે જે વડે ભાગી શકાય છે એટ્રેસ વિના. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 8 ગુણાંક ધરાવે છે: 8, 16, 24, 32 , ... કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા ધરાવે છે અનંત ઘણા ગુણાંક.

ન્યૂનતમ સામાન્ય બહુવિધ(LCM) એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે આ સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ ( એનઓસી):

એલસીએમનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં પણ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે સાઇકલ સવારો એક સાથે એક જ દિશામાં સાઇકલ ટ્રેક સાથે શરૂ થયા. એક 1 મિનિટમાં વર્તુળ બનાવે છે અને બીજો 45 સેકન્ડમાં. ચળવળ શરૂ થયા પછી ઓછામાં ઓછી કેટલી મિનિટોમાં તેઓ શરૂઆતમાં મળશે?

ઉકેલ: મિનિટની સંખ્યા કે જેના પછી તેઓ શરૂઆતમાં ફરીથી મળશે તે દ્વારા વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે 1 મિનિટ, તેમજ ચાલુ 45 સે. 1 મિનિટ = 60 સેકન્ડમાં. એટલે કે, એલસીએમ (45; 60) શોધવાનું જરૂરી છે. 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. LCM (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. પરિણામ એ છે કે સાયકલ સવારો 180 સે = 3 મિનિટમાં શરૂઆતમાં મળશે.

જવાબ: 3 મિનિટ

શેષ સાથે વિભાજન

જો કુદરતી સંખ્યા એકુદરતી સંખ્યા વડે વિભાજ્ય નથી b, પછી તમે કરી શકો છો શેષ સાથે વિભાજન. આ કિસ્સામાં, પરિણામી ભાગ કહેવાય છે અપૂર્ણ. સમાનતા વાજબી છે:

a = b n + r,

જ્યાં એ- વિભાજ્ય, b- વિભાજક, n- અપૂર્ણ ભાગ, આર- બાકી. ઉદાહરણ તરીકે, ડિવિડન્ડ સમાન થવા દો 243 , વિભાજક - 4 , પછી 243: 4 = 60 (બાકી 3). એટલે કે, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, પછી 243 = 60 4 + 3 .

સંખ્યાઓ જે વડે ભાગી શકાય છે 2 બાકી વગર, કહેવાય છે સમ: a = 2n, એન ∈ એન.

બાકીના નંબરો બોલાવવામાં આવે છે વિચિત્ર: b = 2n + 1, એન ∈ એન.

આ વિષયનો સારાંશ છે "કુદરતી સંખ્યાઓ. વિભાજનના ચિહ્નો". ચાલુ રાખવા માટે, આગળનાં પગલાં પસંદ કરો:

• આગલા સારાંશ પર જાઓ:

આ લેખ વિશે છે સૌથી સામાન્ય વિભાજક (GCD) શોધવુંબે અને વધુસંખ્યાઓ પ્રથમ, ચાલો યુક્લિડ અલ્ગોરિધમ જોઈએ; તે તમને બે સંખ્યાઓની જીસીડી શોધવાની મંજૂરી આપે છે. આ પછી, અમે એક પદ્ધતિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું જે અમને તેમના સામાન્ય અવિભાજ્ય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે સંખ્યાઓની gcd ની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. આગળ, આપણે ત્રણ કે તેથી વધુ સંખ્યાઓના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજકને શોધીશું અને નકારાત્મક સંખ્યાઓની gcd ની ગણતરી કરવાના ઉદાહરણો પણ આપીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

GCD શોધવા માટે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ

નોંધ કરો કે જો આપણે શરૂઆતથી જ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના કોષ્ટક તરફ વળ્યા હોત, તો અમને જાણવા મળ્યું હોત કે 661 અને 113 સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, જેના પરથી આપણે તરત જ કહી શકીએ કે તેમનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક 1 છે.

જવાબ:

GCD(661, 113)=1 .

સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળમાં ફેક્ટર કરીને GCD શોધવી

ચાલો GCD શોધવાની બીજી રીત પર વિચાર કરીએ. સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકને અવિભાજ્ય અવયવોમાં સંખ્યાઓના અવયવીકરણ દ્વારા શોધી શકાય છે. ચાલો એક નિયમ બનાવીએ: બે પૂર્ણાંકોની GCD હકારાત્મક સંખ્યાઓ a અને b ઉત્પાદન સમાનસંખ્યાઓ a અને b ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણોમાં જોવા મળતા તમામ સામાન્ય અવિભાજ્ય પરિબળો.

ચાલો GCD શોધવાનો નિયમ સમજાવવા માટે એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો આપણે જાણીએ કે 220 અને 600 નંબરોના વિઘટનને અવિભાજ્ય અવયવમાં, તેઓનું સ્વરૂપ 220=2·2·5·11 અને 600=2·2·2·3·5·5 છે. જનરલ સરળ પરિબળો 220 અને 600 નંબરોના વિસ્તરણમાં સામેલ સંખ્યાઓ 2, 2 અને 5 છે. તેથી, GCD(220, 600)=2·2·5=20.

આમ, જો આપણે સંખ્યાઓ a અને b ને અવિભાજ્ય અવયવમાં અવયવિત કરીએ અને તે બધાનું ઉત્પાદન શોધીએ સામાન્ય પરિબળો, પછી આ a અને b સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક મેળવશે.

ચાલો જણાવેલ નિયમ અનુસાર GCD શોધવાનું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

72 અને 96 નંબરોના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક શોધો.

ઉકેલ.

ચાલો 72 અને 96 નંબરોને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ:

એટલે કે, 72=2·2·2·3·3 અને 96=2·2·2·2·2·3. સામાન્ય મુખ્ય પરિબળો 2, 2, 2 અને 3 છે. આમ, GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

જવાબ:

GCD(72, 96)=24 .

આ ફકરાના નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે GCD શોધવા માટે ઉપરોક્ત નિયમની માન્યતા સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકની મિલકતમાંથી અનુસરે છે, જે જણાવે છે કે GCD(m a 1 , m b 1) =m GCD(a 1 , b 1), જ્યાં m કોઈપણ સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે.

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓની gcd શોધવી

ત્રણ કે તેથી વધુ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવાથી ઘટાડી શકાય છે ક્રમિક શોધબે સંખ્યાઓની GCD. GCD ના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરતી વખતે અમે આનો ઉલ્લેખ કર્યો છે. ત્યાં આપણે પ્રમેય ઘડ્યો અને સાબિત કર્યો: અનેક સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક a 1, a 2, …, a k સંખ્યા જેટલી d k , જે અનુક્રમે GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k - 1 , a k) = d k .

ઉદાહરણનો ઉકેલ જોઈને ચાલો જોઈએ કે અનેક સંખ્યાઓની gcd શોધવાની પ્રક્રિયા કેવી દેખાય છે.

ઉદાહરણ.

ચાર સંખ્યાઓ 78, 294, 570 અને 36 નો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ શોધો.

ઉકેલ.

આ ઉદાહરણમાં, a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

પ્રથમ, યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, અમે પ્રથમ બે સંખ્યાઓ 78 અને 294 ના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક d 2 નક્કી કરીએ છીએ. ભાગાકાર કરતી વખતે, આપણે સમાનતા મેળવીએ છીએ 294=78·3+60; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 અને 18=6·3. આમ, d 2 =GCD(78, 294)=6.

હવે ગણતરી કરીએ d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). ચાલો યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ ફરીથી લાગુ કરીએ: 570=6·95, તેથી, d 3 = GCD(6, 570)=6.

તે ગણતરી માટે રહે છે d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). 36 એ 6 વડે વિભાજ્ય હોવાથી d 4 = GCD(6, 36) = 6.

આમ, આપેલ ચાર સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક d 4 =6 છે, એટલે કે, gcd(78, 294, 570, 36)=6.

જવાબ:

GCD(78, 294, 570, 36)=6 .

સંખ્યાઓને પ્રાઇમ ફેક્ટરમાં ફેક્ટરિંગ કરવાથી તમે ત્રણ કે તેથી વધુ સંખ્યાઓની gcd ની ગણતરી કરી શકો છો. આ કિસ્સામાં, આપેલ સંખ્યાઓના તમામ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોના ઉત્પાદન તરીકે સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ.

પાછલા ઉદાહરણમાંથી સંખ્યાઓની જીસીડી તેમના મુખ્ય અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

ચાલો 78, 294, 570 અને 36 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવમાં પરિબળ કરીએ, આપણને 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 મળે છે. ·3·3. આ ચારેય સંખ્યાઓના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો સંખ્યાઓ 2 અને 3 છે. આથી, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

વ્યાખ્યા.સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા કે જેને શેષ વગરની સંખ્યાઓ a અને b દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે તેને કહેવામાં આવે છે સૌથી સામાન્ય વિભાજક (GCD)આ નંબરો.

ચાલો 24 અને 35 નંબરોના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક શોધીએ.
24 ના વિભાજકો સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 છે અને 35 ના વિભાજક સંખ્યાઓ 1, 5, 7, 35 છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે 24 અને 35 નંબરોમાં માત્ર એક જ સામાન્ય વિભાજક છે - નંબર 1. આવી સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. પરસ્પર મુખ્ય.

વ્યાખ્યા.કુદરતી નંબરો કહેવામાં આવે છે પરસ્પર મુખ્ય, જો તેમનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક (GCD) 1 છે.

ગ્રેટેસ્ટ કોમન ડિવાઈઝર (GCD)આપેલ સંખ્યાઓના તમામ વિભાજકો લખ્યા વિના શોધી શકાય છે.

ચાલો નંબર 48 અને 36 ને ફેક્ટર કરીએ અને મેળવો:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
આમાંના પ્રથમ નંબરના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અમે બીજા નંબર (એટલે ​​​​કે, બે બે) ના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા પરિબળોને પાર કરીએ છીએ.
બાકીના અવયવો 2 * 2 * 3 છે. તેમનો ગુણાંક 12 છે. આ સંખ્યા 48 અને 36 સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક છે. ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક પણ જોવા મળે છે.

શોધવા માટે સૌથી સામાન્ય વિભાજક

2) આમાંની એક સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અન્ય સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં શામેલ ન હોય તેવા પરિબળોને પાર કરો;
3) બાકીના પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

જો બધી આપેલ સંખ્યાઓ તેમાંથી એક વડે ભાગી શકાય છે, તો આ સંખ્યા છે સૌથી સામાન્ય વિભાજકઆપેલ નંબરો.
ઉદાહરણ તરીકે, 15, 45, 75 અને 180 નંબરોનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક એ 15 નંબર છે, કારણ કે અન્ય તમામ સંખ્યાઓ તેના દ્વારા વિભાજ્ય છે: 45, 75 અને 180.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM)

વ્યાખ્યા. લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM)કુદરતી સંખ્યાઓ a અને b એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે a અને b બંનેનો ગુણાંક છે. 75 અને 60 નંબરોના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક (LCM) આ સંખ્યાઓના ગુણાંકને એક પંક્તિમાં લખ્યા વિના શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે, ચાલો 75 અને 60 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરીએ: 75 = 3 * 5 * 5, અને 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
ચાલો આમાંની પ્રથમ સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોને લખીએ, અને તેમાં બીજી સંખ્યાના વિસ્તરણથી ગુમ થયેલ પરિબળ 2 અને 2 ઉમેરીએ (એટલે ​​​​કે, આપણે પરિબળોને જોડીએ છીએ).
આપણને પાંચ અવયવ 2 * 2 * 3 * 5 * 5 મળે છે, જેનું ઉત્પાદન 300 છે. આ સંખ્યા 75 અને 60 સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.

તેઓ ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક પણ શોધે છે.

થી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ શોધોઘણી કુદરતી સંખ્યાઓ, તમારે જરૂર છે:
1) તેમને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરો;
2) સંખ્યાઓમાંથી એકના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળો લખો;
3) બાકીની સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળોને તેમાં ઉમેરો;
4) પરિણામી પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

નોંધ કરો કે જો આમાંની એક સંખ્યા અન્ય તમામ સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ સંખ્યા આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 12, 15, 20 અને 60 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 60 છે કારણ કે તે બધી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે.

પાયથાગોરસ (છઠ્ઠી સદી બીસી) અને તેના વિદ્યાર્થીઓએ સંખ્યાઓની વિભાજ્યતાના પ્રશ્નનો અભ્યાસ કર્યો. નંબર, સરવાળો સમાનતેઓએ તેના તમામ વિભાજકોને (સંખ્યા વિના) એક સંપૂર્ણ સંખ્યા કહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) સંપૂર્ણ છે. પછીની સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે 496, 8128, 33,550,336 પાયથાગોરિયનો ફક્ત પ્રથમ ત્રણ સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ જાણતા હતા. ચોથું - 8128 - 1 લી સદીમાં જાણીતું બન્યું. n ઇ. પાંચમી - 33,550,336 - 15મી સદીમાં મળી આવી હતી. 1983 સુધીમાં, 27 સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ પહેલેથી જ જાણીતી હતી. પરંતુ વૈજ્ઞાનિકો હજુ પણ જાણતા નથી કે વિચિત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે કે શું સૌથી મોટી સંપૂર્ણ સંખ્યા છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓની રુચિ એ હકીકતને કારણે છે કે કોઈપણ સંખ્યા કાં તો અવિભાજ્ય છે અથવા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, એટલે કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ઇંટો જેવી છે જેમાંથી બાકીની કુદરતી સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવી છે.
તમે કદાચ નોંધ્યું છે કે કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અસમાન રીતે થાય છે - શ્રેણીના કેટલાક ભાગોમાં તેમાંથી વધુ છે, અન્યમાં - ઓછા. પરંતુ આપણે આગળ વધીએ છીએ સંખ્યા શ્રેણી, ઓછા સામાન્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું છેલ્લી (સૌથી મોટી) અવિભાજ્ય સંખ્યા છે? પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી યુક્લિડ (3જી સદી પૂર્વે), તેમના પુસ્તક "એલિમેન્ટ્સ" માં, જે બે હજાર વર્ષ સુધી ગણિતનું મુખ્ય પાઠ્યપુસ્તક હતું, તેણે સાબિત કર્યું કે અનંતપણે અનેક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, એટલે કે દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યાની પાછળ એક તેનાથી પણ મોટો અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. સંખ્યા
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે, તે જ સમયના અન્ય ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી, એરાટોસ્થેનિસ, આ પદ્ધતિ સાથે આવ્યા. તેણે 1 થી અમુક સંખ્યા સુધીની તમામ સંખ્યાઓ લખી, અને પછી એકમને પાર કર્યો, જે ન તો અવિભાજ્ય છે કે ન તો સંયુક્ત સંખ્યા, પછી 2 પછી આવતી તમામ સંખ્યાઓ (સંખ્યાઓ કે જે 2 ના ગુણાંક છે, એટલે કે 4, 6, 8, વગેરે). 2 પછી પ્રથમ બાકી રહેલી સંખ્યા 3 હતી. પછી, બે પછી, 3 પછી આવતી તમામ સંખ્યાઓ (સંખ્યાઓ કે જે 3 ના ગુણાંક છે, એટલે કે 6, 9, 12, વગેરે) વટાવી દેવામાં આવી હતી. અંતે માત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ જ અનક્રોસ્ડ રહી.