પૂર્ણાંકો અને અવશેષોની વિભાજ્યતા. કુદરતી સંખ્યાના કુદરતી વિભાજકોની સંખ્યા અને સરવાળો

હું એકલો છું, પણ હજુ પણ હું છું. હું બધું કરી શકતો નથી, પરંતુ હું હજી પણ કંઈક કરી શકું છું. અને હું કરી શકું તેટલું ઓછું કરવાનો ઇનકાર કરીશ નહીં (c)

સંખ્યા અને રકમ કુદરતી વિભાજકો કુદરતી સંખ્યા
અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય.દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n > 1 કાં તો સરળ છે અથવા તેને રજૂ કરી શકાય છે, અને અનન્ય રીતે - પરિબળના ક્રમ સુધી, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઉત્પાદન તરીકે (આપણે ધારી શકીએ છીએ કે 1 કરતાં મોટી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને એક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન, જો આપણે ધારીએ કે આ ઉત્પાદનમાં માત્ર એક પરિબળ હોઈ શકે છે).
વિસ્તરણમાં હાજર સરળ પરિબળોમાં `n = p1*p2*...*pk`, સમાન પરિબળો હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, `24=2*2*2*3`. ઘાતાંકીય કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને તેઓને જોડી શકાય છે. વધુમાં, મુખ્ય પરિબળોને તીવ્રતા દ્વારા ઓર્ડર કરી શકાય છે. પરિણામ એ વિઘટન છે
`n = p_1^(alpha_1)*p_2^(alpha_2)*.......*p_k^(alpha_k)`, જ્યાં NN`માં `alpha_1, alpha_2, ......, alpha_k
(1)
સંખ્યાની આ રજૂઆતને મુખ્ય પરિબળોમાં તેનું પ્રમાણભૂત વિઘટન કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત રજૂઆતનંબર 2 520 નું સ્વરૂપ 2 520 = 2 3 3 2 5 7 છે.
થી પ્રમાણભૂત વિસ્તરણસંખ્યાઓ, તમે નીચેની લેમ્મા સરળતાથી મેળવી શકો છો: જો n નું સ્વરૂપ (1) હોય, તો આ સંખ્યાના તમામ વિભાજકો ફોર્મ ધરાવે છે:
`d = p_1^(beta_1)*p_2^(beta_2)*......*p_k^(beta^k)`, જ્યાં `0<= beta_m <= alpha_m` (`m = 1,2,..., k`)
(2)
હકીકતમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે ફોર્મ (2) ના દરેક d એ a ને વિભાજિત કરે છે. તેનાથી વિપરિત, ચાલો d ને a, પછી a=cd ને વિભાજિત કરીએ, જ્યાં c અમુક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને તેથી, સંખ્યા d ના તમામ અવિભાજ્ય વિભાજકો સંખ્યા a ના અનુરૂપ ઘાતાંક કરતાં વધુ ન હોય તેવા ઘાતાંક સાથે સંખ્યા a ના પ્રામાણિક વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ છે. .
કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત બે કાર્યોનો વિચાર કરો:
a) τ(n) - n ના તમામ કુદરતી વિભાજકોની સંખ્યા;
2) σ(n) સંખ્યા n ના તમામ કુદરતી વિભાજકોનો સરવાળો.
ચાલો n ને પ્રમાણભૂત વિસ્તરણ (1) હોય. ચાલો સંખ્યા અને તેના કુદરતી વિભાજકોનો સરવાળો માટે સૂત્રો મેળવીએ.
પ્રમેય 1. n ના કુદરતી વિભાજકોની સંખ્યા
`ટૌ(n) = (આલ્ફા_1 + 1)*(આલ્ફા_2 + 1)*.....*(આલ્ફા_કે + 1);`
(3)
પુરાવો.

ઉદાહરણ. સંખ્યા 2 520 = 2 3 3 2 5 7. પાસે (3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48 વિભાજકો છે.
પ્રમેય 2. ચાલો n પાસે પ્રમાણભૂત વિસ્તરણ (1). પછી n ના કુદરતી વિભાજકોનો સરવાળો બરાબર છે
`સિગ્મા(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + ..... + p_1^(alpha_1))*(1 + p_2 + p_2^2 + ..... + p_2^(alpha_2))* ........* (1 + p_k + p_k^2 + ..... p_k^(આલ્ફા_k));`
(4)
પુરાવો.

ઉદાહરણ. સંખ્યા 90 ના તમામ વિભાજકોનો સરવાળો શોધો.
90=2 3 2 5. પછી σ(90)=[(2 2 -1)/(2-1)] [3 3 -1)/(3-1)] [(5 2 -1)/(5 -1)]=234
ફોર્મ્યુલા (4) સંખ્યાના તમામ વિભાજકો શોધવામાં મદદ કરી શકે છે તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, 90 નંબરના તમામ વિભાજકો શોધવા માટે, અમે નીચેના ઉત્પાદનમાં કૌંસ ખોલીએ છીએ (ઉમેરવાની ક્રિયા કર્યા વિના): (1+2) (1+3+3 2)(1+5)=(1+1*3+1*Z 2 +1*2+2*3+2*Z 2)(1+5) = 1+3+Z 2 +2+2*3+2*Z 2 + 5+3*5+Z 2 *5+2*5+2*3*5+2*Z 2 *5 = 1+3+9+2+6 +18+5+15+45+10+ 30+90 - પદો 90 નંબરના વિભાજક છે.
ચાલો "કુદરતી સંખ્યાના કુદરતી વિભાજકોની સંખ્યા અને સરવાળો" વિષય પર ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરીએ.
કાર્ય 1.પ્રાકૃતિક સંખ્યા શોધો, એ જાણીને કે તેમાં માત્ર બે મુખ્ય પરિબળ છે, કે તમામ અવયવોની સંખ્યા 6 છે, અને તમામ અવયવોનો સરવાળો 28 છે.

સંગ્રહમાંથી સોંપણીઓ TTZ - યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2010. ગણિત. લાક્ષણિક પરીક્ષણ કાર્યો
કાર્ય 2. TTZ.С6.2બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ શોધો જે 42 વડે વિભાજ્ય હોય અને બરાબર 42 જુદા જુદા પ્રાકૃતિક વિભાજકો હોય (એક અને પોતાની સંખ્યા સહિત).

કાર્ય 3. TTZ.С6.9એવી બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ શોધો કે જેનો છેલ્લો દશાંશ અંક 0 છે અને જેમાં બરાબર 15 જુદા જુદા કુદરતી પરિબળો છે (એક અને પોતે સંખ્યા સહિત).

કાર્ય 4. SPI.С6.9.કુદરતી સંખ્યા n માં બરાબર 6 વિભાજકો છે. આ વિભાજકોનો સરવાળો 3500 છે. n શોધો.
VEk ઉકેલ:

સ્વતંત્ર કાર્ય માટે સોંપણીઓ
SR1. બરાબર 2 અવિભાજ્ય અવયવો ધરાવતી બધી સંખ્યાઓ શોધો, કુલ 8 અવયવો કે જેનો સરવાળો 60 છે.
SR2. 3 અને 4 વડે ભાગી શકાય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ શોધો અને તેમાં બરાબર 21 કુદરતી અવયવો છે.
SR3.સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા શોધો જેમાં બરાબર 18 કુદરતી વિભાજકો હોય.
SR4.સૌથી નાની સંખ્યા શોધો જે 5 નો ગુણાંક છે અને તેમાં 18 કુદરતી અવયવ છે.
SR5.કેટલીક પ્રાકૃતિક સંખ્યામાં બે મુખ્ય પરિબળો હોય છે. તેના ચોરસમાં માત્ર 15 વિભાજકો છે. આ સંખ્યાના ક્યુબમાં કેટલા વિભાજકો છે?
SR6.કેટલીક પ્રાકૃતિક સંખ્યામાં બે મુખ્ય પરિબળો હોય છે. તેના ચોરસમાં માત્ર 81 વિભાજકો છે. આ સંખ્યાના ક્યુબમાં કેટલા વિભાજકો છે?
SR7. m = 2 x 3 y 5 z ફોર્મની સંખ્યા શોધો, એ જાણીને કે તેના અડધા ભાગમાં 30 વિભાજકો ઓછા છે, ત્રીજા ભાગમાં 35 વિભાજકો છે, અને પાંચમામાં 42 વિભાજકો સંખ્યા કરતા ઓછા છે.

સૂચનાઓ

મોટે ભાગે, તમારે સંખ્યાને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરવાની જરૂર છે. આ એવી સંખ્યાઓ છે જે મૂળ સંખ્યાને શેષ વિના વિભાજિત કરે છે, અને તે જ સમયે પોતાને અને એક (જેમ કે 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, વગેરે) દ્વારા શેષ વિના વિભાજિત કરી શકાય છે. . વધુમાં, શ્રેણીમાં કોઈ પેટર્ન જોવા મળી નથી. તેમને વિશિષ્ટ કોષ્ટકમાંથી લો અથવા "એરાટોસ્થેનિસની ચાળણી" તરીકે ઓળખાતા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને તેમને શોધો.

બે કરતા વધુ વિભાજકો ધરાવતી સંખ્યાઓને સંયુક્ત સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. શું સંખ્યાઓશું તેઓ સંયોજન હોઈ શકે છે?
કારણ કે સંખ્યાઓ 2 વડે વિભાજ્ય છે, પછી બધા સમાન છે સંખ્યાઓ, સિવાય સંખ્યાઓ 2 સંયુક્ત રહેશે. ખરેખર, ભાગાકાર 2:2 માં, બે પોતે જ વિભાજિત થાય છે, એટલે કે તેના માત્ર બે વિભાજકો (1 અને 2) છે અને તે એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

ચાલો જોઈએ કે એક પાસે પણ છે સંખ્યાઓઅન્ય કોઈપણ રીતે વિભાજકો. ચાલો પહેલા તેને 2 વડે ભાગીએ. ગુણાકારની ક્રિયાના વિનિમયાત્મક સ્વભાવ પરથી, તે સ્પષ્ટ છે કે પરિણામી ભાગાકાર પણ એક વિભાજક હશે. સંખ્યાઓ. પછી, જો પરિણામી ભાગાંક પૂર્ણાંક હોય, તો આપણે આ ભાગને ફરીથી 2 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ. પછી પરિણામી નવો ભાગ y = (x:2):2 = x:4 પણ મૂળનો વિભાજક હશે. સંખ્યાઓ. તેવી જ રીતે, 4 મૂળનો વિભાજક હશે સંખ્યાઓ.

આ શૃંખલાને ચાલુ રાખીને, ચાલો નિયમનું સામાન્યીકરણ કરીએ: આપણે અનુક્રમે પ્રથમ અને પછી પરિણામી અવશેષોને 2 વડે વિભાજિત કરીએ જ્યાં સુધી અવશેષ બેકી સંખ્યાની બરાબર ન થાય. આ કિસ્સામાં, તમામ પરિણામી અવશેષો આના વિભાજક હશે સંખ્યાઓ. વધુમાં, આના વિભાજકો સંખ્યાઓત્યાં હશે સંખ્યાઓ 2^k જ્યાં k = 1...n, જ્યાં n એ આ સાંકળમાં પગલાંઓની સંખ્યા છે ઉદાહરણ: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 એક વિષમ સંખ્યા છે. તેથી, 12, 6 અને 3 છે વિભાજકો સંખ્યાઓ 24. આ સાંકળમાં 3 પગલાં છે, તેથી, વિભાજકો સંખ્યાઓ 24 પણ થશે સંખ્યાઓ 2^1 = 2 (પહેલેથી જ સમાનતાથી ઓળખાય છે સંખ્યાઓ 24), 2^2 = 4 અને 2^3 = 8. આમ, સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 અને 24 વિભાજક હશે સંખ્યાઓ 24.

જો કે, બધી સમ સંખ્યાઓ માટે આ બધું આપી શકે તેમ નથી વિભાજકો સંખ્યાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 42. 42:2 = 21 ને ધ્યાનમાં લો. જો કે, જેમ જાણીતું છે, સંખ્યાઓ 3, 6 અને 7 પણ વિભાજક હશે સંખ્યાઓ 42.
માં વિભાજ્યતા છે સંખ્યાઓ. ચાલો તેમાંથી સૌથી મહત્વપૂર્ણ ધ્યાનમાં લઈએ:
3 વડે વિભાજ્યતાની કસોટી: જ્યારે અંકોનો સરવાળો સંખ્યાઓબાકી વગર 3 વડે વિભાજ્ય.
5 દ્વારા વિભાજ્યતા પરીક્ષણ: જ્યારે છેલ્લો અંક સંખ્યાઓ 5 અથવા 0.
7 દ્વારા વિભાજ્યતા માટે પરીક્ષણ કરો: જ્યારે આમાંથી છેલ્લા અંકની બે વાર બાદબાકીનું પરિણામ આવે સંખ્યાઓછેલ્લા અંક વિના તે 7 વડે વિભાજ્ય છે.
9 દ્વારા વિભાજ્યતા પરીક્ષણ: જ્યારે અંકોનો સરવાળો સંખ્યાઓશેષ વિના 9 વડે વિભાજ્ય.
11 વડે વિભાજ્યતાની કસોટી: જ્યારે વિષમ સ્થાનો પર કબજો કરતા અંકોનો સરવાળો કાં તો સમ સ્થાનો પર કબજો કરતા અંકોના સરવાળા સમાન હોય અથવા તેમાંથી 11 વડે વિભાજ્ય સંખ્યા વડે.
13, 17, 19, 23 અને અન્ય દ્વારા વિભાજ્યતાના સંકેતો પણ છે સંખ્યાઓ.

સમાન અને બેકી બંને સંખ્યાઓ માટે, તમારે ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા ભાગાકારના ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. સંખ્યાને વિભાજીત કરીને, તમારે નક્કી કરવું જોઈએ વિભાજકોપરિણામી ભાગ, વગેરે. (ઉપર વર્ણવેલ 2 વડે વિભાજિત કરતી વખતે સાંકળ સમાન સંખ્યાઓની સાંકળ સમાન હોય છે).

સ્ત્રોતો:

• વિભાજ્યતાના ચિહ્નો

ચાર મૂળભૂત ગાણિતિક ક્રિયાઓમાંથી, સૌથી વધુ સંસાધન-સઘન કામગીરી વિભાજન છે. તે મેન્યુઅલી (કૉલમમાં), વિવિધ ડિઝાઇનના કેલ્ક્યુલેટર પર અને સ્લાઇડ નિયમનો ઉપયોગ કરીને પણ કરી શકાય છે.

સૂચનાઓ

કૉલમનો ઉપયોગ કરીને એક સંખ્યાને બીજા વડે ભાગવા માટે, પહેલા ડિવિડન્ડ લખો, પછી વિભાજક. તેમની વચ્ચે ઊભી રેખા મૂકો. વિભાજક હેઠળ આડી રેખા દોરો. સતત, લો-ઓર્ડર અંકોને દૂર કરવાથી, તમને વિભાજક કરતા મોટી સંખ્યા મળશે. 0 થી 9 સુધીની સંખ્યાઓને વિભાજક દ્વારા ક્રમિક રીતે ગુણાકાર કરીને, સૌથી મોટી સંખ્યા શોધો સંખ્યાઓ, અગાઉના તબક્કે મેળવેલા કરતાં ઓછું. આ આંકડો ભાગના પ્રથમ અંક તરીકે લખો. ડિવિડન્ડ હેઠળ આ આંકડો જમણી બાજુએ એક સ્થાને શિફ્ટ કરીને વિભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ લખો. બાદબાકી કરો, અને તેના પરિણામ સાથે, સમાન ક્રિયાઓ કરો જ્યાં સુધી તમને ભાગના બધા અંકો ન મળે. ડિવિડન્ડના ક્રમમાંથી વિભાજકના ક્રમને બાદ કરીને અલ્પવિરામનું સ્થાન નક્કી કરો.

જો સંખ્યાઓ એકબીજા દ્વારા વિભાજ્ય ન હોય તો, બે પરિસ્થિતિઓ શક્ય છે. તેમાંના પ્રથમમાં, એક અંક અથવા અનેક અંકોના સંયોજનને અવિરતપણે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવશે. પછી ગણતરી ચાલુ રાખવાનો કોઈ અર્થ નથી - આ સંખ્યા અથવા સમયગાળામાં સંખ્યાઓની સાંકળ લેવા માટે તે પૂરતું છે. બીજી પરિસ્થિતિમાં, ખાસ કરીને કોઈ નિયમિતતા શક્ય બનશે નહીં. પછી પરિણામની ઇચ્છિત ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, વિભાજન કરવાનું બંધ કરો અને છેલ્લું રાઉન્ડ કરો.

અંકગણિત કેલ્ક્યુલેટર (મૂળભૂત અને એન્જિનિયરિંગ બંને) નો ઉપયોગ કરીને એક સંખ્યાને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, રીસેટ બટન દબાવો, ડિવિડન્ડ દાખલ કરો, વિભાગ બટન દબાવો, વિભાજક દાખલ કરો અને પછી સમાન ચિહ્ન બટન દબાવો. ફોર્મ્યુલા નોટેશન સાથેના કેલ્ક્યુલેટર પર, સમાન ચિહ્ન સાથેની કી હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, Enter અથવા Exe, તે જ રીતે વિભાજીત કરો. આ પ્રકારના આધુનિક ઉપકરણો બે-લાઇન છે: ટોચની લાઇનમાં ટાઇપ કરેલ છે, અને પરિણામ તળિયે મોટી સંખ્યામાં પ્રદર્શિત થાય છે. Ans કીનો ઉપયોગ કરીને, આ પરિણામનો ઉપયોગ આગામી ગણતરીમાં કરી શકાય છે. તમામ કેસોમાં, પરિણામ આપમેળે કેલ્ક્યુલેટરના અંક ગ્રીડમાં ગોળાકાર થઈ જાય છે.

રિવર્સ પોલિશ નોટેશનવાળા કેલ્ક્યુલેટર પર, પહેલા રીસેટ બટન દબાવો, પછી ડિવિડન્ડ દાખલ કરો અને એન્ટર કી દબાવો (આ શિલાલેખને બદલે ઉપરની તરફ તીર હોઈ શકે છે). નંબર સ્ટેક સેલમાં સમાપ્ત થશે. હવે વિભાજક દાખલ કરો અને વિભાગ કી દબાવો. સ્ટેકમાંથી સંખ્યાને તે સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવશે જે અગાઉ સૂચક પર પ્રદર્શિત કરવામાં આવી હતી.

થોડી ચોકસાઈ જરૂરી હોય તેવા કિસ્સામાં સ્લાઈડ નિયમનો ઉપયોગ કરો. બંનેમાંથી કાઢી નાખો સંખ્યાઓ, અને પછી તે દરેકમાંથી બે સૌથી નોંધપાત્ર અંકો લો. સ્કેલ A પર, વિભાજક શોધો, અને પછી તેને સ્કેલ B પરના ડિવિડન્ડ સાથે મેચ કરો. પછી પછીના એકમને શોધો - સ્કેલ A પર તેની બરાબર ઉપર સ્થિત હશે. ખાનગી. કૉલમની જેમ તેમાં અલ્પવિરામનું સ્થાન નક્કી કરો.

સ્ત્રોતો:

• કૉલમ વિભાજન ક્રમ
• ખાનગી નંબરો છે

શાળાના બાળકો ઘણીવાર ગણિતની સોંપણીઓ વચ્ચે નીચેની ફોર્મ્યુલેશનમાં આવે છે: "સંખ્યાઓનો સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક શોધો." અસમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક સાથે વિવિધ કામગીરી કરવા માટે તમારે ચોક્કસપણે આ કેવી રીતે કરવું તે શીખવાની જરૂર છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ શોધવું: મૂળભૂત ખ્યાલો

LCM ની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે સમજવા માટે, તમારે પહેલા "મલ્ટીપલ" શબ્દનો અર્થ નક્કી કરવો આવશ્યક છે.

A નો ગુણાંક એ કુદરતી સંખ્યા છે જે A વડે શેષ વિના વિભાજ્ય છે આમ, 5 ના ગુણાંકની સંખ્યાઓ 15, 20, 25 અને તેથી વધુ ગણી શકાય.

ચોક્કસ સંખ્યાના વિભાજકોની મર્યાદિત સંખ્યા હોઈ શકે છે, પરંતુ ગુણાકારની અનંત સંખ્યા છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સામાન્ય ગુણાંક એ એવી સંખ્યા છે જે તેમના દ્વારા શેષ છોડ્યા વિના ભાગી શકાય છે.

સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) (બે, ત્રણ અથવા વધુ) એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે આ બધી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે.

LOC શોધવા માટે, તમે ઘણી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

નાની સંખ્યાઓ માટે, જ્યાં સુધી તમને તેમની વચ્ચે કંઈક સામાન્ય ન મળે ત્યાં સુધી આ સંખ્યાઓના તમામ ગુણાંકને એક લીટી પર લખવાનું અનુકૂળ છે. ગુણાકારને કેપિટલ અક્ષર K દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 4 ના ગુણાંક આ રીતે લખી શકાય છે:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

આમ, તમે જોઈ શકો છો કે નંબરો 4 અને 6 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 24 નંબર છે. આ સંકેત નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:

LCM(4, 6) = 24

સર્વશ્રેષ્ઠ કુલ વિભાજક- આ મહત્તમ સંખ્યા છે જેના દ્વારા સૂચિત સંખ્યાઓમાંથી દરેકને વિભાજિત કરી શકાય છે. આ શબ્દનો ઉપયોગ ઘણીવાર જટિલ અપૂર્ણાંકોને ઘટાડવા માટે થાય છે જ્યાં અંશ અને છેદ બંને સમાન સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત હોવા જોઈએ. કેટલીકવાર સૌથી સામાન્ય નક્કી કરવાનું શક્ય છે વિભાજકઆંખ દ્વારા, પરંતુ મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, તેને શોધવા માટે તમારે ગાણિતિક ક્રિયાઓની શ્રેણી હાથ ધરવાની જરૂર પડશે.

તમને જરૂર પડશે

• આ કરવા માટે તમારે કાગળના ટુકડા અથવા કેલ્ક્યુલેટરની જરૂર પડશે.

સૂચનાઓ

દરેક જટિલ સંખ્યાને અવિભાજ્ય અથવા અવયવોના ઉત્પાદનમાં વિભાજીત કરો. ઉદાહરણ તરીકે, 60 અને 80, જ્યાં 60 બરાબર છે 2*2*3*5, અને 80 એ 2*2*2*2*5 છે, આને વધુ સરળ રીતે લખી શકાય છે. IN આ કિસ્સામાંપાંચ અને ત્રણ વડે ગુણાકાર કરીને બીજામાં બે જેવો દેખાશે અને બીજો ચોથા અને પાંચમાં બેનો ગુણાંક છે.

હવે બંને માટે સામાન્ય સંખ્યાઓ લખો. અમારા સંસ્કરણમાં તે બે અને પાંચ છે. જો કે, અન્ય કિસ્સાઓમાં આ સંખ્યા એક, બે કે ત્રણ અંક અથવા તો હોઈ શકે છે. આગળ તમારે કામ કરવાની જરૂર છે. દરેક ગુણક માટે સૌથી નાનો પસંદ કરો. ઉદાહરણમાં તે બેથી બીજી શક્તિ અને પાંચની પ્રથમ શક્તિ છે.

અંતે, તમારે ફક્ત પરિણામી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અમારા કિસ્સામાં, બધું ખૂબ જ સરળ છે: બે માં , પાંચ વડે ગુણાકાર, 20 બરાબર છે. આમ, 20 નંબરને 60 અને 80 માટે સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક કહી શકાય.

વિષય પર વિડિઓ

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

યાદ રાખો કે અવિભાજ્ય પરિબળ એવી સંખ્યા છે જેમાં માત્ર 2 વિભાજકો છે: એક અને સંખ્યા પોતે.

ઉપયોગી સલાહ

આ પદ્ધતિ ઉપરાંત, તમે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો. તેનું સંપૂર્ણ વર્ણન, ભૌમિતિક સ્વરૂપમાં પ્રસ્તુત, યુક્લિડના પુસ્તક "એલિમેન્ટ્સ" માં મળી શકે છે.

સંબંધિત લેખ

તમે ઘણીવાર સમીકરણો શોધી શકો છો જેમાં . ઉદાહરણ તરીકે, 350: X = 50, જ્યાં 350 એ ડિવિડન્ડ છે, X એ વિભાજક છે અને 50 એ ભાગાંક છે. આ ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે, જાણીતી સંખ્યાઓ સાથે ક્રિયાઓનો ચોક્કસ સમૂહ કરવો જરૂરી છે.

તમને જરૂર પડશે

• - પેન્સિલ અથવા પેન;
• - કાગળ અથવા નોટબુકની શીટ.

સૂચનાઓ

એક સરળ સમીકરણ બનાવો જ્યાં અજ્ઞાત, એટલે કે. X એ બાળકોની સંખ્યા છે, 5 એ દરેક બાળકને મળેલી મીઠાઈઓની સંખ્યા છે અને 30 એ ખરીદેલી મીઠાઈઓની સંખ્યા છે. આમ તમારે મેળવવું જોઈએ: 30: X = 5. આ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિમાં, 30 ને ડિવિડન્ડ કહેવામાં આવે છે, X એ વિભાજક છે અને પરિણામી ભાગ 5 છે.

હવે ઉકેલવાનું શરૂ કરો. તે જાણીતું છે: વિભાજક શોધવા માટે, તમારે ભાગલાકાર દ્વારા ડિવિડન્ડને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. તે તારણ આપે છે: X = 30: 5; 30: 5 = 6;

પરિણામી સંખ્યાને સમીકરણમાં બદલીને તપાસો. તેથી, 30: X = 5, તમને અજ્ઞાત વિભાજક મળ્યો છે, એટલે કે. X = 6, આમ: 30: 6 = 5. અભિવ્યક્તિ સાચી છે, અને તેમાંથી તે અનુસરે છે કે સમીકરણ ઉકેલાઈ ગયું છે. અલબત્ત, જ્યારે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શામેલ હોય તેવા ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે, ચેક જરૂરી નથી. પરંતુ જ્યારે માંથી સમીકરણો, ત્રણ-અંક, ચાર-અંક, વગેરે. નંબરો, તમારી જાતને તપાસવાની ખાતરી કરો. છેવટે, તે વધુ સમય લેતો નથી, પરંતુ પ્રાપ્ત પરિણામમાં સંપૂર્ણ વિશ્વાસ આપે છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

અંકગણિત

અંકગણિત એ ગણિતની રાણી છે, અને દરેકને અહીં યોગ્ય સમસ્યાઓ મળશે - પ્રથમ-ગ્રેડરથી લઈને શિક્ષણશાસ્ત્રી સુધી.

અદ્ભુત સંખ્યાઓ

ચાલો આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાને "ઉલ્લેખનીય" કહીએ જો તે સમાન અંકોના સરવાળા સાથે તમામ કુદરતી સંખ્યાઓમાં સૌથી નાની હોય. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 1 નોંધપાત્ર છે કારણ કે તે 1, 10, 100, 1000 અને તેથી વધુ સંખ્યામાં સૌથી નાનો છે. 1 એ પ્રથમ નોંધપાત્ર સંખ્યા છે. બીજી નોંધપાત્ર સંખ્યા શોધો. તમામ સંખ્યાઓનું વર્ણન કરો જેના અંકોનો સરવાળો સમાન હોય. 2010 ના ત્રીજા, દસમા, અદ્ભુત નંબર માટે સમાન.

સૌથી મોટી બે-અંકની નોંધપાત્ર સંખ્યા શોધો. તેનો નંબર શું છે?

આપેલ વિસ્તાર સાથે લંબચોરસ

ચેકર્ડ કાગળ પર, બધા લંબચોરસ દોરો જેનું ક્ષેત્રફળ 24 કોષો જેટલું છે. (બાજુઓએ કોષોની સીમાઓને અનુસરવી જોઈએ.) આવા કેટલા લંબચોરસ હશે?

કયા વિસ્તારો માટે માત્ર એક જ લંબચોરસ છે? કયાને બે અલગ અલગ લંબચોરસની જરૂર છે? ત્રણ અલગ અલગ લંબચોરસ? વિકલ્પોની સંખ્યા વિસ્તાર પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે?

સમાન વિસ્તારવાળા તમામ લંબચોરસમાંથી, સૌથી નાની પરિમિતિ ધરાવતો એક શોધો.

સંખ્યા વિસ્તરણ

સંખ્યા 15 ને સળંગ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે ત્રણ રીતે રજૂ કરી શકાય છે: 15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. સંખ્યા 115 માટે આવી કેટલી રીતો છે? મનસ્વી નંબર માટે માર્ગોની સંખ્યા કેવી રીતે શોધવી?

સુપર કોમ્પ્યુટર

સુપર કોમ્પ્યુટર માત્ર એક જ ઓપરેશન કરી શકે છે - બે સંખ્યાઓને મિશ્રિત કરવાની કામગીરી: m, n નંબરોમાંથી, કોમ્પ્યુટર સંખ્યા (m+n) /2 મેળવે છે. જો m+n વિષમ હોય, તો કોમ્પ્યુટર થીજી જાય છે. બધા પ્રાપ્ત નંબરો મેમરીમાં સંગ્રહિત છે. ચાલો આપણે ત્રણ સંખ્યાઓ આપીએ, જેમાંથી એક શૂન્ય છે, અને અન્ય બે કુદરતી છે અને એકબીજાની સમાન નથી. સુપર કોમ્પ્યુટર પર m અને n કઈ સંખ્યાઓ માટે મેળવી શકાય છે?

લંબચોરસના કર્ણ

199 x 991 કોષો માપતો લંબચોરસ કાગળની શીટ પર દર્શાવેલ છે. વિકર્ણ કેટલા ગાંઠો (એટલે ​​​​કે, કોષોના શિરોબિંદુઓ)માંથી પસાર થાય છે? આ લંબચોરસના કર્ણ કેટલા કોષોને છેદે છે? મનસ્વી કદના લંબચોરસ માટે જવાબ આપવાનો પ્રયાસ કરો - કદમાં M x N કોષો.

નોંધ. કર્ણ કોષને છેદે છે જો તે કોષની "અંદર" જાય છે, માત્ર ઉપરથી પસાર થવાને બદલે.

વિનિમય સમસ્યા

3 અને 5 રુબેલ્સના સિક્કાઓમાં કેટલી રકમ ચૂકવી શકાય છે? સામાન્યીકરણ: કોમ્બિનેશન ax+by દ્વારા કઈ સંખ્યાઓ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જ્યાં a અને b ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ આપવામાં આવે છે, x અને y મનસ્વી બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે.

7. Skl એ નીચેના ચોરસ

Skl એ આપેલ સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જેનો વર્ગ સમાન સંખ્યામાં સમાપ્ત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

5 2 =25 ; 6 2 =36 ; 25 2 = 625 .

"પાંચ પાંચ- વીસ પાંચ"," છ છ- ત્રીસ છ».

શક્ય તેટલા ફોલ્ડિંગ નંબરો શોધો; આવી બધી સંખ્યાઓ શોધવાનો માર્ગ શોધો.

આપેલ વિભાજકોની સંખ્યા સાથે સંખ્યાઓ શોધવી

ત્યાં માત્ર એક જ સંખ્યા છે જેમાં બરાબર એક વિભાજક છે - એક. તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં બરાબર બે વિભાજકો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 4 અને 9, જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વર્ગો છે, તેમાં બરાબર ત્રણ વિભાજકો છે. શું બરાબર ત્રણ વિભાજકો ધરાવતી બધી સંખ્યાઓ પાસે આ ગુણધર્મ છે? બરાબર 4 વિભાજકો ધરાવતી સંખ્યાનું સ્વરૂપ શું હોઈ શકે? 5 વિભાજકો? આપેલ કુદરતી સંખ્યા માટે એનતમામ કુદરતી સંખ્યાઓનું બરાબર વર્ણન કરો એનવિભાજકો

અપૂર્ણાંક વિસ્તરણ

, , , …

નંબર 1/7 માટે, દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં વિસ્તરણ સામયિક છે અને તેમાં છ અંકોનો સમાવેશ થાય છે, અને 2/7, 3/7, ..., 6/7 માટે - સમાન છ અંકોથી અલગ ક્રમમાં (ચેક !). પરંતુ નંબર 1/13 અને 2/13 માટે સંખ્યાઓના સેટ અલગ છે. p = 17, 19, 41, 47 અને અન્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે આ સંખ્યાઓ અને 1/p, 2/p, ..., (p-1)/p ફોર્મની સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓના વિસ્તરણનું અન્વેષણ કરો અને આકૃતિ કરો કે શું ચક્રો છે.

વિવિધ પૂર્ણાંક સમસ્યાઓ વિભાજ્યતા સંબંધિત મૂળભૂત ખ્યાલો અને પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે. ચાલો તેમાંથી કેટલાકની યાદી કરીએ.

ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ

1. 1000 કરતા ઓછી કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે જે 5 કે 7 વડે વિભાજ્ય નથી?

1000 થી ઓછી 999 સંખ્યાઓમાંથી, અમે 5 ના ગુણાંકની સંખ્યાઓને વટાવીએ છીએ: તેમાંથી 199 છે. આગળ, આપણે સંખ્યાઓને ક્રોસ કરીએ છીએ જે 7 ના ગુણાંક છે: તેમાંથી 142 છે. પરંતુ જે સંખ્યાઓ 7 ના ગુણાંક છે, ત્યાં = 28 સંખ્યાઓ છે જે 5 ના ગુણાંક પણ છે; તેઓને બે વાર બહાર કાઢવામાં આવશે. કુલ મળીને, આપણે 199+142–28=313 નંબરો પાર કરવા જોઈએ. તે 999–313=686 છોડે છે.

જવાબ: 686 નંબરો.

2. બસ ટિકિટ નંબર – છ-અંકનો નંબર. જો નંબરના પ્રથમ ત્રણ અંકોનો સરવાળો છેલ્લા ત્રણ અંકોના સરવાળા જેટલો હોય તો ટિકિટને નસીબદાર કહેવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે તમામ નસીબદાર ટિકિટ નંબરોનો સરવાળો 13 વડે ભાગી શકાય છે.

જો નસીબદાર ટિકિટમાં નંબર A હોય, તો B = 999999–A નંબરવાળી ટિકિટ પણ નસીબદાર છે, જ્યારે A અને B અલગ-અલગ છે. A+B=999999=1001·999=13·77·99 એ 13 વડે ભાગી શકાય છે, તો બધી લકી ટિકિટોની સંખ્યાનો સરવાળો 13 વડે ભાગી શકાય છે.

3. સાબિત કરો કે ત્રણ પૂર્ણાંકોના વર્ગોનો સરવાળો જ્યારે 8 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે 7 ની બાકી રહેતી નથી.

કોઈપણ પૂર્ણાંકને જ્યારે 8 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે તેમાં નીચેની આઠ સંખ્યાઓમાંથી એક 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7નો શેષ હોય છે, તેથી પૂર્ણાંકના વર્ગમાં ત્રણ સંખ્યાઓમાંથી એક 0, 1 બાકી રહે છે. , 4 જ્યારે 8 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે. ત્રણ સંખ્યાના ચોરસના સરવાળાને 8 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે 7 ની બાકી રહે તે માટે, તે જરૂરી છે કે બેમાંથી એક કેસ સાચો હોય: કાં તો એક ચોરસ અથવા ત્રણેયમાં બેકી હોય જ્યારે 8 વડે વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે શેષ.

પ્રથમ કિસ્સામાં, વિષમ શેષ 1 છે, અને બે સમ શેષનો સરવાળો 0, 2, 4 છે, એટલે કે, તમામ શેષનો સરવાળો 1, 3, 5 છે. આ કિસ્સામાં બાકીની 7 મેળવી શકાતી નથી. બીજા કિસ્સામાં, ત્રણ વિષમ અવશેષો ત્રણ 1 સે છે, અને સમગ્ર સરવાળાનો બાકીનો ભાગ 3 છે. તેથી, જ્યારે ત્રણ પૂર્ણાંકોના વર્ગોના સરવાળાને 8 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે 7 એ શેષ ન હોઈ શકે.

4. સાબિત કરો કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે:

a) સંખ્યા 5 5n+1 + 4 5n+2 + 3 5n એ 11 વડે વિભાજ્ય છે.

b) સંખ્યા 2 5n+3 + 5 n ·3 n+2 17 વડે વિભાજ્ય છે.

a) શરૂઆતમાં, અમે આપેલ અભિવ્યક્તિનું નીચેનું પરિવર્તન કરીએ છીએ:

5 5n+1 +4 5n+2 +3 5n = 5(3125) n + 16(1024) n + (243) n = 5(11 284+1) n + 16(11 93+1) n + (11 ·22+1) n .

nમી ડિગ્રીના ન્યૂટન દ્વિપદીને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે લખી શકીએ છીએ: (x+1) n = Ax+1, જ્યાં A એ પૂર્ણાંક x માટે અમુક પૂર્ણાંક છે. પછી ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિ 11B+5+16+1 = 11C બને છે, દેખીતી રીતે 11 વડે ભાગી શકાય છે, જ્યાં B અને C કેટલાક પૂર્ણાંકો છે.

b) ચાલો નીચેના રૂપાંતરણો કરીએ, જેમાંથી નિવેદન સાબિત થઈ રહ્યું છે તે નીચે મુજબ છે:

2 5n+3 + 5 n 3 n+2 = 8 32 n + 9 15 n = 8(17+15) n + 9 15 n = 17A + 8 15 n + 9 15 n = 17A + 17·15 n = 17V ,

જ્યાં A, B ધન પૂર્ણાંકો છે.

5. સાબિત કરો કે:

a) જો x 2 + y 2 3 વડે વિભાજ્ય છે અને x અને y સંખ્યાઓ પૂર્ણાંકો છે, તો x અને y 3 વડે વિભાજ્ય છે;

b) જો ત્રણ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો 6 વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ સંખ્યાઓના સમઘનનો સરવાળો 6 વડે વિભાજ્ય છે;

c) જો p અને q અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે અને p>3, q>3, તો p 2 –q 2 24 વડે વિભાજ્ય છે;

d) જો a, b, c કોઈપણ પૂર્ણાંકો હોય, તો ત્યાં કોપ્રાઈમ k અને t એવા છે કે ak+bt c વડે વિભાજ્ય છે.

a) ચાલો x = 3a + r 1, y = 3b + r 2, જ્યાં r 1 અને r 2 એ 3 વડે ભાગાકારના શેષ છે, એટલે કે, 0, 1, 2માંથી કેટલીક સંખ્યાઓ. પછી x 2 + y 2 = 3(3a 2 +3b 2 +2аr 1 +2br 2)+(r 1) 2 +(r 2) 2. x 2 +y 2 ને 3 વડે ભાગ્યા હોવાથી, છેલ્લી રકમના પ્રથમ પદને 3 વડે ભાગવામાં આવે છે, પછી (r 1) 2 + (r 2) 2 ને 3 વડે ભાગવામાં આવે છે, જે શક્ય છે, ઉપરોક્ત બાબતોને ધ્યાનમાં લેતા, માત્ર ત્યારે જ જ્યારે r 1 = r 2 = 0.

આમ, x = 3a અને y = 3b, એટલે કે, x અને y 3 વડે વિભાજ્ય છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

b) તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે x 3 +y 3 +z 3 –(x+y+z) 6 વડે વિભાજ્ય છે. આ સાચું છે, કારણ કે દરેક પદ x 3 –x, y 3 –y અને z 3 –z એ 6 વડે વિભાજ્ય છે, કારણ કે 3 –a=a(a–1)(a+1) – ત્રણનું ઉત્પાદનસળંગ પૂર્ણાંકો, જે આવશ્યકપણે 2, 3, અને તેથી, 6 વડે વિભાજ્ય છે.

c) p 2 –q 2 થી નંબર 3 ની ગુણાકાર નીચે પ્રમાણે સાબિત કરી શકાય છે. જ્યારે 3 વડે ભાગવામાં આવે છે, ત્યારે પૂર્ણાંકોના વર્ગો 0 અથવા 1 શેષ આપે છે. કારણ કે p અને q એ 3 કરતા મોટી સંખ્યા છે, પછી p 2 અને q 2 જ્યારે 3 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે સમાન શેષ હોય છે - એક. પછી p 2 –q 2 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે.

બીજી બાજુ, p 2 –q 2 =(p+q)(p–q). p અને q વિષમ હોવાથી અને જ્યારે 4 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે તેમાં 1 અથવા 3 ના શેષ રહે છે, કેટલાક કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ 4 વડે અને અન્યમાં 2 વડે ભાગી શકાય છે અને p અને q ના વર્ગોનો તફાવત 8 વડે વિભાજિત થાય છે.

p 2 –q 2 એ પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 3 અને 8 વડે વિભાજ્ય હોવાથી, પછી p 2 –q 2 એ 3·8=24 વડે વિભાજ્ય છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

d) સૌથી મોટા દો સામાન્ય વિભાજકસંખ્યાઓ b અને c–a d, b=k·d અને c–a=t·d ની બરાબર છે. પછી સંખ્યાઓ k અને t કોપ્રાઈમ છે.

તેથી a·k+b·t ને c વડે ભાગવામાં આવે છે.

6. શોધો:

a) નંબરો 2n+3 અને n+7 નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક;

b) કુદરતી સંખ્યાઓની તમામ જોડી x, y જેમ કે 2x+1 y વડે વિભાજ્ય છે અને 2y+1 x વડે વિભાજ્ય છે;

c) બધા પૂર્ણાંકો k જેના માટે k 5 +3 k 2 +1 વડે વિભાજ્ય છે;

d) ઓછામાં ઓછી એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n એવી કે દરેક સંખ્યા n, n+1, n+2, ..., n+20 ની સંખ્યા 30030=2·3·5·7·11· સાથે સામાન્ય વિભાજક હોય. 13, એક કરતા વધારે.

a) નોંધ કરો કે જો m > n હોય, તો GCD (m; n) = GCD (m – n; n).

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બે કુદરતી સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક તેમના તફાવતના મોડ્યુલસના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક સમાન છે અને નાની સંખ્યા. આ મિલકત સાબિત કરવી સરળ છે.

ચાલો k ને m u n (m > n) નો સામાન્ય વિભાજક ગણીએ. આનો અર્થ એ છે કે m = ak, n = bk, જ્યાં a, b કુદરતી સંખ્યાઓ છે, અને a > b. પછી m – n = k(a – b), જેનો અર્થ છે કે k એ સંખ્યા m – n નો વિભાજક છે. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓ m અને n ના તમામ સામાન્ય વિભાજકો તેમના તફાવત m – n ના વિભાજકો છે, જેમાં સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકનો સમાવેશ થાય છે.

ચાલો ઉપરનો ઉપયોગ કરીએ:

GCD (2n+3; n+7) = GCD (n+7; 2n+3 – (n+7)) = GCD (n+7; n–4) = GCD (n–4; 11).

11 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી, જરૂરી સૌથી સામાન્ય ભાજક 1 અથવા 11 છે. જો n–4 = 11d, એટલે કે, n = 4+11d, તો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક 11 છે, અન્યથા તે 1 છે.

જવાબ: GCD (2n+3; n+7) = 11, n બરાબર 4+11d સાથે; GCD (2n+3; n+7) = 1, જ્યારે n 4+11d ની બરાબર નથી.

b) સંખ્યા 2x+1 વિષમ છે અને y વડે વિભાજ્ય છે, તેથી y પણ વિષમ છે. એ જ રીતે, x વિષમ છે.

સંખ્યાઓ x અને y પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે. ખરેખર, k એ x અને y નો સામાન્ય વિભાજક છે, પછી 2x એ k વડે વિભાજ્ય છે, અને (2x+1) પણ k વડે વિભાજ્ય છે (k એ y નો વિભાજક છે, અને y એ 2x+1 નો વિભાજક છે). આનો અર્થ એ છે કે 1 k વડે વિભાજ્ય છે, એટલે કે, k=1.

સંખ્યા 2x+2y+1 એ x અને y બંને વડે વિભાજ્ય છે, જેનો અર્થ છે કે તે xy વડે વિભાજ્ય છે. પછી 2x+2y+1 એ xy કરતા ઓછું નથી.

જવાબ: (1; 1), (1; 3), (3; 1), (3; 7), (7; 3).

c) k 5 +3 = (k 3 –k)(k 2 +1) + (k+3), તો k 5 +3 k 2 +1 વડે વિભાજ્ય છે જો k+3 k 2 +1 વડે વિભાજ્ય છે . આ ક્યારે શક્ય છે? ચાલો વિકલ્પો ધ્યાનમાં લઈએ:

1) k+3 = 0, જેનો અર્થ k = –3;

2) k+3 = k 2 +1; હલ કરવાથી, આપણે k = –1, k = 2 શોધીએ છીએ;

3) પૂર્ણાંક k ને તપાસો જેના માટે k+3 > k 2 +1; તપાસ કર્યા પછી: k = 0, k = 1.

જવાબ: –3, –1, 0, 1, 2.

d) ચાલો m = 2·3·5·7·k. k પસંદ કરવાથી m–1 11 વડે વિભાજ્ય છે અને m+1 13 વડે વિભાજ્ય છે, આપણે મેળવીએ છીએ કે સંખ્યા n = m–10 સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે.

જવાબ: ઉદાહરણ તરીકે, 9440.

7. શું 11 વડે ભાગી શકાય તેવી દસ-અંકની સંખ્યા છે જેમાં દરેક અંક એકવાર દેખાય છે?

પદ્ધતિ I 11 વડે ભાગી શકાય તેવી ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ લખતી વખતે, તમે તેમની વચ્ચે ત્રણ સંખ્યાઓ શોધી શકો છો, જેનાં રેકોર્ડિંગમાં 0 થી 9 સુધીની તમામ સંખ્યાઓ શામેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, 275, 396,418. તેનો ઉપયોગ કરીને, તમે 11 વડે ભાગી શકાય તેવી દસ-અંકની સંખ્યા બનાવી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે:

2753964180 = 275 10 7 + 396 10 7 + 418 10 = 11 (25 10 7 + 36 10 4 + 38 10).

II પદ્ધતિ. જરૂરી સંખ્યા શોધવા માટે, અમે 11 વડે વિભાજ્યતાના માપદંડનો ઉપયોગ કરીશું, જે મુજબ સંખ્યાઓ n=a 1 a 2 a 3 ...a 10 (આ કિસ્સામાં, a i પરિબળ નથી, પરંતુ અંકોમાં અંકો છે. સંખ્યા n) અને S(n)=a 1 –a 2 +a 3 –…–a 10 એકસાથે 11 વડે વિભાજ્ય છે.

A એ “+” ચિહ્ન સાથે S(n) માં સમાવિષ્ટ અંકોનો સરવાળો છે, B – “–” ચિહ્ન સાથે S(n) માં સમાવિષ્ટ અંકોનો સરવાળો છે. A–B સંખ્યા, સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર, 11 વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ. ચાલો B–A=11 મૂકીએ, વધુમાં, દેખીતી રીતે, A+B=1+2+3+…+9=45. પરિણામી સિસ્ટમ B–A=11, A+B=45 ઉકેલીને, આપણે A=17, B=28 શોધીએ છીએ. ચાલો પાંચનું જૂથ પસંદ કરીએ વિવિધ નંબરો 17 ના સરવાળા સાથે. ઉદાહરણ તરીકે, 1+2+3+5+6=17. ચાલો આ સંખ્યાઓને એકી-સંખ્યાવાળી સંખ્યાઓ તરીકે લઈએ. સમાન-ક્રમાંકિત અંકો તરીકે, અમે બાકીના અંકો લઈશું - 4, 7, 8, 9, 0.

આપણે જોઈએ છીએ કે, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 1427385960 સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે.

8. એક પછી એક લખેલી બે બે-અંકની સંખ્યાઓ ચાર-અંકની સંખ્યા બનાવે છે, જે તેમના ઉત્પાદન દ્વારા વિભાજિત થાય છે. આ નંબરો શોધો.

ચાલો a અને b ને બે બે-અંકની સંખ્યાઓ ગણીએ, તો 100a+b એ ચાર-અંકની સંખ્યા છે. શરત દ્વારા, 100a+b = k·ab, તેથી b = a(kb–100), એટલે કે, b એ a વડે ભાગવામાં આવે છે.

તેથી b = ma, પરંતુ a અને b બે-અંકની સંખ્યા છે, તેથી m એક-અંક છે.

ત્યારથી 100a+b = 100a+ ma = a(100+m) અને 100a+b = kab, પછી a(100+m) = kab,

એટલે કે, 100+m = kb અથવા 100+m = kma, જ્યાંથી 100 = m(ka–1).

આમ, m એ સંખ્યા 100 નો વિભાજક છે, વધુમાં, m છે સિંગલ ડિજિટ નંબર, જેનો અર્થ છે m = 1, 2, 4, 5.

કારણ કે ka = 1+100/m, અને a એ બે-અંકનો છે, તો m માટે મૂલ્યો 1 અને 5 અદૃશ્ય થઈ જાય છે, કારણ કે

જ્યારે m = 1 સંખ્યા 100/1+1 = 101 કોઈપણ વડે વિભાજ્ય નથી બે-અંકની સંખ્યાએ;

m = 5 સાથે સંખ્યા 100/5+1 = 21 છે અને આપણી પાસે a = 21 છે, જેના માટે b = ma = 5·21 એ ત્રણ-અંકની સંખ્યા છે.

m = 2 માટે આપણી પાસે છે, ka = 51, a = 17, b = 17 2 = 34;

m = 4 સાથે આપણી પાસે છે, ka = 26, a = 13, b = 13 4 = 52.

જવાબ: 17 અને 34, 13 અને 52.

9. સાબિત કરો કે કોઈપણ કુદરતી k અને n નંબર 1 2k+1 + 2 2k+1 + માટે. . . + n 2k+1 એ n + 2 વડે વિભાજ્ય નથી.

ચાલો આપણે એ હકીકતનો લાભ લઈએ કે સરવાળો બરાબર છે વિચિત્ર ડિગ્રીબે સંખ્યાઓને આ સંખ્યાઓના સરવાળા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જે માંથી અનુસરે છે. તમે લખી શકો છો:

2 2k+1 + n 2k+1 = (2 + n) A 1,

3 2k+1 + (n – 1) 2k+1 = (3 + (n – 1)) A 2 = (2 + n) A 2,

4 2k+1 + (n – 2) 2k+1 = (4 + (n – 2)) A 3 = (2 + n) A 3 અને તેથી વધુ, જ્યાં A i કેટલાક પૂર્ણાંકો છે.

n ની સમાનતાના આધારે, છેલ્લી જોડી બનાવવા માટે સંખ્યાઓની અછત હોઈ શકે છે, આને 2 વડે ગુણાકાર કરીને ટાળી શકાય છે, સરવાળાની સ્થિતિમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. તેથી,

2(1 2k+1 + 2 2k+1 +... n 2k+1) = 2 1 2k+1 + (2 2k+1 + n 2k+1) + (3 2k+1 + (n – 1) ) 2k+1) +... (n 2k+1 + 2 2k+1) =

2 + (n + 2) A, જ્યાં A અમુક પૂર્ણાંક છે.

છેલ્લા સરવાળાના પદોમાંથી એક n + 2 વડે વિભાજ્ય છે, અન્ય કોઈપણ કુદરતી n માટે વિભાજ્ય નથી. તેથી, શરતમાં ગણવામાં આવેલ સરવાળો કોઈપણ કુદરતી n અને k માટે n વડે ભાગી શકાતો નથી.

10. કોઈપણ માટે તે સાબિત કરો અવિભાજ્ય સંખ્યા p > 2 અંશ m અપૂર્ણાંક

p વડે વિભાજ્ય છે.

નોંધ કરો કે સંખ્યા p–1 સમાન છે, અને અમે m/n અપૂર્ણાંકને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ

પરિણામી અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ પર લાવવું

અમને સંબંધ મળે છે

જેમાંથી સમાનતા m(p–1)!=pqn અનુસરે છે. સંખ્યાઓ 1, 2, 3, ..., p–1માંથી કોઈ પણ અવિભાજ્ય સંખ્યા p વડે વિભાજ્ય ન હોવાથી, છેલ્લી સમાનતા ત્યારે જ શક્ય બને છે જો m p વડે ભાગી શકાય, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ઉકેલો વિના સમસ્યાઓ

1. સાબિત કરો કે કોઈપણ કુદરતી n માટે:

a) સંખ્યા 4n + 15n – 1 9 વડે વિભાજ્ય છે;

b) સંખ્યા 3 2n+3 + 40n – 27 એ 64 વડે વિભાજ્ય છે;

c) સંખ્યા 5 n (5 n + 1) – 6 n (3 n + 2 n) 91 વડે વિભાજ્ય છે.

2. શોધો:

એ) કુદરતી મૂલ્યો n જેમ કે n 5 – n 120 વડે વિભાજ્ય છે;

b) સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા n જેમ કે n એ 19 વડે વિભાજ્ય છે અને n + 2 એ 82 વડે વિભાજ્ય છે.

3. ચાલો m, n ને જુદી જુદી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોઈએ અને m એ બેકી છે. સાબિત કરો કે 2 m –1 અને 2 n +1 પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે.

4. ચાર અલગ-અલગ પૂર્ણાંકો ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ, સમાન અંકથી શરૂ કરીને, તે ગુણધર્મ ધરાવે છે કે તેમનો સરવાળો તેમાંના ત્રણ વડે શેષ વિના વિભાજ્ય છે. આ નંબરો શોધો.

5. સાબિત કરો કે દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n > 1 માટે, સંખ્યા n n – n 2 + n – 1 એ (n – 1) 2 વડે વિભાજ્ય છે.