સ્થિતિસ્થાપકતાના સિદ્ધાંતમાં છેલ્લો પ્રશ્ન જેની હું ચર્ચા કરીશ તે સ્થિતિસ્થાપકતાની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ છે સામગ્રી સ્થિરાંકો, અણુઓના કેટલાક ગુણધર્મો પર આધારિત છે જે આ સામગ્રી બનાવે છે. અમે એક સરળ કેસ ધ્યાનમાં લઈશું આયનીયક્યુબિક ક્રિસ્ટલ પ્રકાર સોડિયમ ક્લોરાઇડ. વિકૃત સ્ફટિકનું કદ અથવા આકાર બદલાય છે. આવા ફેરફારો વધારો તરફ દોરી જાય છે સંભવિત ઊર્જાસ્ફટિક તાણ ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરવા માટે, તમારે જાણવાની જરૂર છે કે દરેક અણુ ક્યાં જાય છે. કરવું સંપૂર્ણ ઊર્જાશક્ય તેટલું ઓછું, જટિલ સ્ફટિકોની જાળીમાં અણુઓ ખૂબ જ ફરીથી ગોઠવાય છે જટિલ રીતે. આ તાણ ઊર્જાની ગણતરી કરવાનું ખૂબ મુશ્કેલ બનાવે છે. પરંતુ સરળ ક્યુબિક ક્રિસ્ટલના કિસ્સામાં શું થાય છે તે સમજવું હજુ પણ શક્ય છે. ક્રિસ્ટલની અંદરની વિક્ષેપ તેના બાહ્ય ચહેરા પરના વિક્ષેપની જેમ ભૌમિતિક રીતે સમાન હશે.

ક્યુબિક ક્રિસ્ટલના સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકોની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરી શકાય છે. સૌ પ્રથમ, અમે સ્ફટિકમાં અણુઓની દરેક જોડી વચ્ચે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના કેટલાક નિયમોનું અસ્તિત્વ ધારીશું. પછી અમે ફેરફારની ગણતરી કરીએ છીએ આંતરિક ઊર્જાસ્ફટિક જ્યારે તે તેના સંતુલન આકારમાંથી વિચલિત થાય છે. આ આપણને ઊર્જા અને તાણ વચ્ચેનો સંબંધ આપશે, જે તાણમાં ચતુર્થાંશ છે. આ રીતે મેળવેલી ઊર્જાને સમીકરણ (39.13) સાથે સરખાવીને, દરેક પદ માટેના ગુણાંકને સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો સાથે ઓળખી શકાય છે. સી¡jkl .

અમારા ઉદાહરણમાં, અમે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના નીચેના સરળ કાયદાને ધારીશું: પડોશી અણુઓ વચ્ચે છે કેન્દ્રીયદળો, એટલે કે તેઓ બે અડીને આવેલા અણુઓને જોડતી રેખા સાથે કાર્ય કરે છે. અમે અપેક્ષા રાખીએ છીએ કે આયનીય સ્ફટિકોમાંના દળો ચોક્કસપણે આ પ્રકારના હોવા જોઈએ, કારણ કે તે સરળ પર આધારિત છે. કુલોમ્બ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા. (મુ સહસંયોજક બંધનદળો સામાન્ય રીતે વધુ જટિલ હોય છે, કારણ કે તેઓ પડોશી અણુઓ પર બાજુના દબાણ તરફ દોરી જાય છે; પરંતુ અમને આ બધી ગૂંચવણોની જરૂર નથી.) વધુમાં, અમે ફક્ત દરેક અણુની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના બળને ધ્યાનમાં લઈશું. સૌથી નજીકતેને અને આગળનજીકના પડોશીઓ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે એક અંદાજ બનાવીશું જેમાં આપણે દૂરના અણુઓ વચ્ચેના દળોની અવગણના કરીએ છીએ. અંજીરમાં. 39.10, અને પ્લેનમાં દળો બતાવવામાં આવે છે હુ,જે અમે ધ્યાનમાં લઈશું. વિમાનોમાં અનુરૂપ દળોને ધ્યાનમાં લેવું પણ જરૂરી છે yz અને zx.

કારણ કે આપણે માત્ર સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકોમાં જ રસ ધરાવીએ છીએ, જે નાના વિકૃતિઓનું વર્ણન કરે છે, અને તેથી, ઊર્જાની અભિવ્યક્તિમાં આપણને માત્ર એવા શબ્દોની જરૂર છે જે વિકૃતિઓમાં ચતુર્ભુજ હોય, આપણે ધારી શકીએ કે અણુઓની દરેક જોડી વચ્ચેના દળો વિસ્થાપન સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે. તેથી, સ્પષ્ટતા માટે, આપણે કલ્પના કરી શકીએ છીએ કે અણુઓની દરેક જોડી "રેખીય" સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલ છે (ફિગ. 39.10, b). સોડિયમ અને ક્લોરિન અણુઓ વચ્ચેના તમામ ઝરણામાં સમાન સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંક હોવો જોઈએ, કહો k 1 .બે સોડિયમ અણુઓ અને બે ક્લોરિન અણુઓ વચ્ચેના ઝરણામાં અલગ-અલગ સ્થિરાંકો હોઈ શકે છે, પરંતુ હું અમારા તર્કને સરળ બનાવવા માંગુ છું, તેથી હું માનીશ કે આ સ્થિરાંકો સમાન છે. ચાલો તેમને k દ્વારા દર્શાવીએ 2 . (પાછળથી, જ્યારે અમે જોઈશું કે ગણતરીઓ કેવી રીતે ચાલે છે, ત્યારે તમે પાછા જઈ શકો છો અને તેમને અલગ બનાવી શકો છો.)

ચાલો હવે માની લઈએ કે ક્રિસ્ટલ ટેન્સર e¡j દ્વારા વર્ણવવામાં આવેલા એકસમાન વિરૂપતાથી વ્યગ્ર છે. IN સામાન્ય કેસતેમાં ઘટકો હશે x, yઅને z, પરંતુ વધુ સ્પષ્ટતા માટે અમે ફક્ત ત્રણ ઘટકો સાથેના વિકૃતિઓને ધ્યાનમાં લઈશું: e xx, e xyઅને e yy.જો અણુઓમાંથી એકને કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે, તો અન્ય કોઈપણ અણુનું વિસ્થાપન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે જેમ કે (39.9):

ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પરમાણુ કહીએ x=y=0"અણુ 1", અને તેના પડોશીઓની સંખ્યા ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 39.11. દ્વારા જાળી સ્થિરાંક દર્શાવવું એ,અમે મેળવીએ છીએ X-અને વિસ્થાપનના y- ઘટકો u x , u y કોષ્ટકમાં લખેલા છે. 39.1

હવે આપણે ઝરણામાં સંગ્રહિત ઊર્જાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, જે ઉત્પાદનની બરાબર છે k 2/2દરેક વસંતના તાણના ચોરસ દીઠ. આમ, અણુઓ 1 અને વચ્ચેની આડી ઝરણાની ઊર્જા 2 સમાન હશે

નોંધ કરો કે પ્રથમ ક્રમ સુધી (1-પરમાણુ વિસ્થાપન 2 અણુઓ વચ્ચેના સ્પ્રિંગની લંબાઈને બદલતા નથી 1 અને 2. જો કે, કર્ણ વસંતની વિરૂપતા ઊર્જા મેળવવા માટે, જે અણુમાં જાય છે 3, આપણે ઊભી અને આડી વિસ્થાપનને કારણે લંબાઈમાં થતા ફેરફારની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

ક્યુબની ઉત્પત્તિથી નાના વિચલનો માટે, અણુના અંતરમાં ફેરફાર 3 ઘટકોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે તેમનાઅને u y વીકર્ણ દિશા:

જથ્થાઓનો ઉપયોગ કરીને તેમનાઅને u y. આપણે ઉર્જા માટે અભિવ્યક્તિ મેળવી શકીએ છીએ

પ્લેનમાં તમામ ઝરણાની કુલ ઊર્જા માટે xyઆપણને આઠ પ્રકારના શબ્દો (39.43) અને (39.44) ના સરવાળાની જરૂર છે. તરીકે આ ઊર્જા ઉલ્લેખ U 0, અમે મેળવીએ છીએ

અણુ સાથે સંકળાયેલા તમામ ઝરણાઓની કુલ ઊર્જા શોધવા માટે 1, આપણે સમીકરણમાં થોડો ઉમેરો કરવો જોઈએ (39.45). જો કે અમને ફક્ત જરૂર છે X-અને વિરૂપતાના y- ઘટકો, વિમાનની બહારના ત્રાંસા પડોશીઓ સાથે સંકળાયેલ કેટલીક વધારાની ઊર્જા તેમને ફાળો આપે છે huઆ વધારાની ઊર્જા સમાન છે

સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો ઊર્જા ઘનતા સાથે સંબંધિત છે ડબલ્યુ સમીકરણ (39.13). આપણે જે ઊર્જાની ગણતરી કરી છે તે એક અણુ સાથે સંકળાયેલ છે, અથવા તો તે છે બમણુંઅણુ દીઠ ઉર્જા, કારણ કે સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બે અણુઓમાંથી દરેક તેની ઉર્જાનો 1/2 હિસ્સો હોવો જોઈએ. ત્યારથી એકમ વોલ્યુમ દીઠ 1/a 3 અણુઓ છે, તો પછી ડબલ્યુ અને યુઓ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત

સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો શોધવા માટે સાથે¡jkl , તમારે સમીકરણ (39.45) માં કૌંસમાં સરવાળોનો વર્ગ કરવાની જરૂર છે, (39.46) ઉમેરો અને ગુણાંકની તુલના કરો ઇજે ઇસમીકરણમાં અનુરૂપ ગુણાંક સાથે kl (39.13). ઉદાહરણ તરીકે, સાથે શરતો એકત્રિત કરવી e 2 xxઅને e 2 y y,આપણે શોધીએ છીએ કે તેનો ગુણક બરાબર છે

બાકીની શરતોમાં આપણે થોડી જટિલતાનો સામનો કરીશું. કારણ કે આપણે કાર્યોને અલગ પાડી શકતા નથી e xx e yy e yy e xx થી, પછી ઊર્જા માટે અભિવ્યક્તિમાં તેના માટે ગુણાંક સરવાળો સમાનસમીકરણમાં બે પદ (39.13). પર ગુણાંક e xx e yy સમીકરણમાં (39.45) બરાબર છે 2k 2,તેથી અમે મેળવીએ છીએ

જો કે, ઉર્જા માટેની અભિવ્યક્તિની સમપ્રમાણતાને લીધે, જ્યારે પ્રથમ બે મૂલ્યોને છેલ્લા બે સાથે ફરીથી ગોઠવીએ છીએ, ત્યારે આપણે ધારી શકીએ છીએ કે xxyy સાથે - y uhx સાથે,તેથી જ

એ જ રીતે તમે મેળવી શકો છો

નોંધ કરો, છેલ્લે, કોઈપણ સભ્ય જેમાં એક વખત આયકન હોય એક્સઅથવા y,શૂન્ય બરાબર, જેમ કે અગાઉ સમપ્રમાણતાના વિચારણાઓમાંથી જાણવા મળ્યું હતું. ચાલો અમારા પરિણામોનો સારાંશ આપીએ:

તેથી, તે તારણ આપે છે કે આપણે મેક્રોસ્કોપિક સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો સાથે સંબંધ બાંધવામાં સક્ષમ છીએ અણુ ગુણધર્મો, જે સતત પોતાને પ્રગટ કરે છે k 1અને k2.અમારા ચોક્કસ કિસ્સામાં xyxy થી = xxyy થી.ક્યુબિક ક્રિસ્ટલ માટેની આ શરતો, જેમ કે તમે કદાચ ગણતરીઓમાંથી નોંધ્યું હશે, તે બહાર આવ્યું છે હંમેશાસમાન, આપણે જે પણ દળોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, પરંતુ માત્ર આપેલ છે કે,કે દળો અણુઓની દરેક જોડીને જોડતી રેખા સાથે કાર્ય કરે છે, એટલે કે જ્યાં સુધી અણુઓ વચ્ચેના દળો ઝરણા જેવા હોય અને તેની પાસે પાર્શ્વીય ઘટક ન હોય (જે નિઃશંકપણે સહસંયોજક બંધન સાથે અસ્તિત્વમાં છે).

અમારી ગણતરીઓ સાથે સરખાવી શકાય પ્રાયોગિક માપનસ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો. કોષ્ટકમાં આકૃતિ 39.2 કેટલાક ક્યુબિક સ્ફટિકો માટે ત્રણ સ્થિતિસ્થાપક ગુણાંકના અવલોકન કરેલ મૂલ્યો દર્શાવે છે. તમે કદાચ તે નોંધ્યું છે xxyy સાથે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તે સમાન નથી xyxy સાથે . કારણ એ છે કે સોડિયમ અને પોટેશિયમ જેવી ધાતુઓમાં, આંતરપરમાણુ દળો અણુઓને જોડતી રેખા સાથે નિર્દેશિત થતા નથી, જેમ કે અમારા મોડેલમાં ધાર્યું છે. ડાયમંડ પણ આ કાયદાનું પાલન કરતું નથી, કારણ કે હીરામાં રહેલા બળો સહસંયોજક દળો છે ખાસ મિલકતદિશાસૂચકતા: "ઝરણા" ટેટ્રેહેડ્રોનના શિરોબિંદુ પર સ્થિત અણુઓને બાંધવાનું પસંદ કરે છે. આવા આયનીય સ્ફટિકો, જેમ કે લિથિયમ ફ્લોરાઈડ અથવા સોડિયમ ક્લોરાઈડ વગેરે, લગભગ તમામ હોય છે ભૌતિક ગુણધર્મો, અમારા મોડેલમાં ધારવામાં આવે છે; કોષ્ટકમાંના ડેટા અનુસાર. 39.2, સતત xxyy સાથે અને xyxy સાથે તેઓ લગભગ સમાન છે. અમુક કારણોસર માત્ર સિલ્વર ક્લોરાઇડ જ શરતનું પાલન કરવાનો ગેરલાભ ધરાવે છે ખુહુ સાથે - હુહુ સાથે.

સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંતમાં છેલ્લો મુદ્દો કે જેની હું ચર્ચા કરીશ તે તે સામગ્રી બનાવે છે તે અણુઓના કેટલાક ગુણધર્મોના આધારે સામગ્રીના સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકોની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ છે. અમે સોડિયમ ક્લોરાઇડ જેવા આયનીય ક્યુબિક ક્રિસ્ટલના સાદા કિસ્સાને ધ્યાનમાં લઈશું. વિકૃત સ્ફટિકનું કદ અથવા આકાર બદલાય છે. આવા ફેરફારો ક્રિસ્ટલની સંભવિત ઊર્જામાં વધારો તરફ દોરી જાય છે. તાણ ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરવા માટે, તમારે જાણવાની જરૂર છે કે દરેક અણુ ક્યાં જાય છે. કુલ ઉર્જા શક્ય તેટલી ઓછી કરવા માટે, જટિલ સ્ફટિકોની જાળીમાં અણુઓ પોતાને ખૂબ જ જટિલ રીતે ફરીથી ગોઠવે છે. આ તાણ ઊર્જાની ગણતરી કરવાનું ખૂબ મુશ્કેલ બનાવે છે. પરંતુ સરળ ક્યુબિક ક્રિસ્ટલના કિસ્સામાં શું થાય છે તે સમજવું હજુ પણ શક્ય છે. ક્રિસ્ટલની અંદરના વિક્ષેપ તેના બાહ્ય ચહેરા પરના વિક્ષેપ જેવા જ ભૌમિતિક રીતે સમાન હશે.

ક્યુબિક ક્રિસ્ટલના સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકોની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરી શકાય છે. સૌ પ્રથમ, અમે સ્ફટિકમાં અણુઓની દરેક જોડી વચ્ચે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના કેટલાક નિયમોનું અસ્તિત્વ ધારીશું. પછી આપણે ક્રિસ્ટલની આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરીએ છીએ જ્યારે તે સંતુલન આકારથી વિચલિત થાય છે. આ આપણને ઊર્જા અને તાણ વચ્ચેનો સંબંધ આપશે, જે તાણમાં ચતુર્થાંશ છે. આ રીતે મેળવેલી ઊર્જાને સમીકરણ (39.13) સાથે સરખાવીને, દરેક પદ માટેના ગુણાંકને સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો સાથે ઓળખવું શક્ય છે.

અમારા ઉદાહરણમાં, અમે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના નીચેના સરળ કાયદાને ધારીશું: પડોશી અણુઓ વચ્ચે છે કેન્દ્રીય દળો, એટલે કે તેઓ બે અડીને આવેલા અણુઓને જોડતી રેખા સાથે કાર્ય કરે છે. અમે અપેક્ષા રાખીએ છીએ કે આયનીય સ્ફટિકોમાંના દળો ચોક્કસ આ પ્રકારના હોવા જોઈએ, કારણ કે તે એક સરળ કુલોમ્બ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પર આધારિત છે. (સહસંયોજક બંધન સાથે, દળો સામાન્ય રીતે વધુ જટિલ હોય છે, કારણ કે તે પડોશી અણુઓ પર પણ બાજુના દબાણ તરફ દોરી જાય છે; પરંતુ અમને આ બધી ગૂંચવણોની જરૂર નથી.) વધુમાં, અમે ફક્ત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના બળને ધ્યાનમાં લેવા જઈ રહ્યા છીએ. દરેક અણુ તેના નજીકના અને નજીકના નજીકના પડોશીઓ સાથે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે એક અંદાજ બનાવીશું જેમાં આપણે દૂરના અણુઓ વચ્ચેના દળોની અવગણના કરીએ છીએ. અંજીરમાં. 39.10, અને પ્લેનમાં દળો બતાવે છે જેને આપણે ધ્યાનમાં લઈશું. અને વિમાનોમાં અનુરૂપ દળોને ધ્યાનમાં લેવું પણ જરૂરી છે.

ફિગ. 39.10. આંતરપરમાણુ દળોને આપણે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ (a) અને મોડેલ જેમાં અણુઓ ઝરણા (b) દ્વારા જોડાયેલા છે.

કારણ કે આપણે માત્ર સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકોમાં જ રસ ધરાવીએ છીએ, જે નાના વિકૃતિઓનું વર્ણન કરે છે, અને તેથી, ઊર્જાની અભિવ્યક્તિમાં આપણને માત્ર એવા શબ્દોની જરૂર છે જે વિકૃતિઓમાં ચતુર્ભુજ હોય, આપણે ધારી શકીએ કે અણુઓની દરેક જોડી વચ્ચેના દળો વિસ્થાપન સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે. તેથી, સ્પષ્ટતા માટે, અમે કલ્પના કરી શકીએ છીએ કે અણુઓની દરેક જોડી "રેખીય" સ્પ્રિંગ (ફિગ. 39.10b) દ્વારા જોડાયેલ છે. સોડિયમ અને ક્લોરિન અણુઓ વચ્ચેના તમામ ઝરણામાં સમાન સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંક હોવો જોઈએ, કહો. બે સોડિયમ અણુઓ અને બે ક્લોરિન અણુઓ વચ્ચેના ઝરણામાં અલગ-અલગ સ્થિરાંકો હોઈ શકે છે, પરંતુ હું અમારા તર્કને સરળ બનાવવા માંગુ છું, તેથી હું ધારીશ કે આ સ્થિરાંકો સમાન છે. ચાલો તેમને દ્વારા સૂચિત કરીએ. (પાછળથી, જ્યારે અમે જોઈશું કે ગણતરીઓ કેવી રીતે ચાલે છે, ત્યારે તમે પાછા જઈ શકો છો અને તેમને અલગ બનાવી શકો છો.)

ચાલો હવે માની લઈએ કે ક્રિસ્ટલ ટેન્સર દ્વારા વર્ણવવામાં આવેલા એકસમાન વિરૂપતાથી પરેશાન છે. સામાન્ય રીતે, તેમાં સમાવિષ્ટ ઘટકો હશે, અને , પરંતુ વધુ સ્પષ્ટતા માટે, અમે ફક્ત ત્રણ ઘટકો સાથેના વિકૃતિઓને ધ્યાનમાં લઈશું: , અને . જો અણુઓમાંથી એકને કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે, તો અન્ય કોઈપણ અણુનું વિસ્થાપન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે જેમ કે (39.9):

(39.42)

ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે અણુને "અણુ 1" કહીએ, અને તેના પડોશીઓની સંખ્યા ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 39.11. દ્વારા જાળી સ્થિરાંક દર્શાવતા, આપણે કોષ્ટકમાં લખેલા વિસ્થાપનના - અને - ઘટકો મેળવીએ છીએ. 39.1.

કોષ્ટક 39.1 ચળવળના ઘટકો

ફિગ. 39.11. અણુ 1 ના નજીકના અને નજીકના નજીકના પડોશીઓનું વિસ્થાપન. (સ્કેલ અત્યંત વિકૃત છે.)

હવે આપણે ઝરણામાં સંગ્રહિત ઊર્જાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, જે દરેક ઝરણાના પટના ચોરસ જેટલી છે. આમ, પરમાણુ 1 અને 2 વચ્ચેના આડા ઝરણાની ઊર્જા સમાન હશે

નોંધ કરો કે, પ્રથમ ક્રમ સુધી, અણુ 2 ખસેડવાથી અણુ 1 અને 2 વચ્ચેના સ્પ્રિંગની લંબાઈ બદલાતી નથી. જો કે, કર્ણ વસંતની તાણ ઊર્જા મેળવવા માટે, જે અણુ 3 પર જાય છે, આપણે ફેરફારની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. લંબાઇમાં બંને ઊભી, અને આડી હિલચાલને કારણે. ક્યુબના મૂળમાંથી નાના વિચલનો માટે, અણુ 3 ના અંતરમાં ફેરફારને ઘટકોના સરવાળા તરીકે અને ત્રાંસા દિશામાં લખી શકાય છે:

જથ્થાઓનો ઉપયોગ કરીને અને આપણે ઊર્જા માટે અભિવ્યક્તિ મેળવી શકીએ છીએ

. (39.44)

પ્લેનમાં તમામ ઝરણાની કુલ ઉર્જા માટે, આપણને આઠ પ્રકારના (39.43) અને (39.44) શબ્દોના સરવાળાની જરૂર છે. આ ઉર્જા દ્વારા દર્શાવતા, આપણને મળે છે

(39.45)

અણુ 1 સાથે સંકળાયેલા તમામ ઝરણાઓની કુલ ઉર્જા શોધવા માટે, આપણે સમીકરણ (39.45) માં થોડો ઉમેરો કરવો પડશે. જો કે આપણને વિરૂપતાના માત્ર - અને - ઘટકોની જરૂર છે, પ્લેનની બહારના ત્રાંસા પડોશીઓ સાથે સંકળાયેલ કેટલીક વધારાની ઊર્જા પણ તેમાં ફાળો આપે છે. આ વધારાની ઊર્જા સમાન છે

. (39.46)

સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો સમીકરણ દ્વારા ઊર્જા ઘનતા સાથે સંબંધિત છે (39.13). આપણે જે ઊર્જાની ગણતરી કરી છે તે એક અણુ સાથે સંકળાયેલી છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તે અણુ દીઠ ઊર્જા કરતાં બમણી છે, કારણ કે સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બે અણુઓમાંથી પ્રત્યેક તેની ઊર્જાનો 1/2 હિસ્સો હોવો જોઈએ. એકમના જથ્થામાં અણુઓ હોવાથી, તેઓ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો શોધવા માટે, તમારે સમીકરણ (39.45) માં કૌંસમાં માત્ર સરવાળાઓનો વર્ગ કરવાની જરૂર છે, (39.46) ઉમેરો અને સમીકરણ (39.13) માં અનુરૂપ ગુણાંક સાથે ગુણાંકની તુલના કરો. ઉદાહરણ તરીકે, અને સાથેના શબ્દોને એકત્ર કરીએ છીએ, આપણે શોધીએ છીએ કે તેનો ગુણક બરાબર છે

.

બાકીની શરતોમાં આપણે થોડી જટિલતાનો સામનો કરીશું. કારણ કે આપણે ઉત્પાદનને માંથી અલગ કરી શકતા નથી, તેથી ઉર્જા માટેની અભિવ્યક્તિમાં તેનો ગુણાંક સમીકરણ (39.13) માં બે શબ્દોના સરવાળા જેટલો છે. સમીકરણમાં (39.45) માટે ગુણાંક બરાબર છે, તેથી આપણે મેળવીએ છીએ

.

જો કે, ઉર્જા માટેની અભિવ્યક્તિની સમપ્રમાણતાને કારણે, જ્યારે પ્રથમ બે મૂલ્યોને છેલ્લા બે સાથે ફરીથી ગોઠવીએ છીએ, ત્યારે આપણે ધારી શકીએ છીએ કે, તેથી

.

એ જ રીતે તમે મેળવી શકો છો

.

છેલ્લે નોંધ કરો કે કોઈપણ શબ્દ જેમાં એક વખતનું પ્રતીક હોય અથવા શૂન્યની બરાબર હોય, જેમ કે સપ્રમાણતાના કારણોસર અગાઉ જોવા મળ્યું હતું. ચાલો અમારા પરિણામોનો સારાંશ આપીએ:

(39.47)

તેથી, તે બહાર આવ્યું કે અમે મેક્રોસ્કોપિક સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકોને અણુ ગુણધર્મો સાથે જોડવામાં સક્ષમ છીએ, જે પોતાને સ્થિરાંકો અને . અમારા ચોક્કસ કિસ્સામાં. ક્યુબિક ક્રિસ્ટલ માટેની આ શરતો, જેમ કે તમે ગણતરીઓમાંથી કદાચ નોંધ્યું છે, હંમેશા સમાન હોય છે, પછી ભલે આપણે ગમે તે દળોને ધ્યાનમાં લઈએ, પરંતુ માત્ર તે જ શરત હેઠળ કે દળો અણુઓની દરેક જોડીને જોડતી રેખા સાથે કાર્ય કરે છે, એટલે કે. જ્યાં સુધી અણુઓ વચ્ચેના દળો ઝરણા જેવા જ હોય ​​અને તેની પાસે પાર્શ્વીય ઘટક ન હોય (જે નિઃશંકપણે સહસંયોજક બંધન સાથે અસ્તિત્વમાં છે).

અમારી ગણતરીઓની તુલના સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકોના પ્રાયોગિક માપ સાથે કરી શકાય છે. કોષ્ટકમાં આકૃતિ 39.2 કેટલાક ક્યુબિક સ્ફટિકો માટે ત્રણ સ્થિતિસ્થાપક ગુણાંકના અવલોકન કરેલ મૂલ્યો દર્શાવે છે. તમે કદાચ નોંધ્યું છે કે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, સમાન નથી. કારણ એ છે કે સોડિયમ અને પોટેશિયમ જેવી ધાતુઓમાં, આંતરપરમાણુ દળો અણુઓને જોડતી રેખા સાથે નિર્દેશિત થતા નથી, જેમ કે અમારા મોડેલમાં ધાર્યું છે. ડાયમંડ પણ આ કાયદાનું પાલન કરતું નથી, કારણ કે હીરામાંના દળો સહસંયોજક દળો છે જે એક વિશેષ દિશા ધરાવે છે: "ઝરણા" ટેટ્રાહેડ્રોનના શિરોબિંદુ પર સ્થિત અણુઓને બાંધવાનું પસંદ કરે છે. આયોનિક સ્ફટિકો જેમ કે લિથિયમ ફ્લોરાઇડ અથવા સોડિયમ ક્લોરાઇડ, વગેરે, અમારા મોડેલમાં ધારેલા લગભગ તમામ ભૌતિક ગુણધર્મો ધરાવે છે; કોષ્ટકમાંના ડેટા અનુસાર. 39.2, સતત અને લગભગ સમાન. માત્ર સિલ્વર ક્લોરાઇડ અમુક કારણોસર શરતનું પાલન કરવા માંગતા નથી.

કોષ્ટક 39.2 ક્યુબિક ક્રિસ્ટલ્સના સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો. વી (વી )

સ્થિતિસ્થાપકતા સ્થિરતા

સ્થિતિસ્થાપકતા જથ્થાત્મક રીતે દરેક સામગ્રીની લાક્ષણિકતા સ્થિરાંકો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે ઘનતા અને ગરમીની ક્ષમતા સિવાયના મોટા ભાગના ગુણધર્મો, રચનાની એનિસોટ્રોપી સાથે સંકળાયેલા છે. સ્થિતિસ્થાપકતા એ ઉચ્ચારણ એનિસોટ્રોપિક ગુણધર્મ છે. તેથી તે તફાવત જરૂરી છે સ્ફટિકો અને એનિસોપ્રોપિક પદાર્થોની સ્થિતિસ્થાપકતા અને આઇસોટ્રોપિક સંસ્થાઓની સ્થિતિસ્થાપકતા.

પોલીક્રિસ્ટલાઇન બોડીઝ અને સામગ્રી સામાન્ય રીતે આઇસોટ્રોપિક હોય છે; તેમના ગુણધર્મોની એનિસોટ્રોપી માત્ર મોલ્ડિંગ અથવા પ્રોસેસિંગના પરિણામે દેખાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રેસિંગ, સ્ટેમ્પિંગ, રોલિંગ, કોમ્પેક્શન વગેરે. આમ, સિરામિક ટાઇલ્સ, ટાઇલ્સ, સ્ટીલ શીટ વગેરેના ગુણધર્મોમાં એનિસોટ્રોપી રચાય છે. નીચેનામાં, માત્ર આઇસોટ્રોપિક ગુણધર્મોની સ્થિતિસ્થાપકતાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જેના માટે લક્ષી ક્રિસ્ટલોગ્રાફિક અક્ષો વગેરેની વિભાવનાઓ લાગુ પડતી નથી.

ઉપરોક્તને ધ્યાનમાં લેતા, મોટાભાગના કુદરતી અને માટે કૃત્રિમ સામગ્રી (ખડકો, સિરામિક્સ, કોંક્રિટ, ધાતુઓ, વગેરે.) નાના વિકૃતિઓ પર, તણાવ "σ" અને વિરૂપતા "ε" વચ્ચેના સંબંધોને રેખીય ગણી શકાય (ફિગ. 5.2) અને સામાન્યકૃત હૂકના કાયદા દ્વારા વર્ણન કરો:

જ્યાં E એ સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ (યંગ્સ મોડ્યુલસ) છે.

તેવી જ રીતે, શીયર સ્ટ્રેસ "τ" એ સંબંધિત શીયર સ્ટ્રેઈન અથવા શીયર એન્ગલ y (ફિગ. 5.3) માટે સીધો પ્રમાણસર છે:

જ્યાં G એ શીયર મોડ્યુલસ છે.

ચોખા. 5.2. ઉત્તમ તાણ-તાણ સંબંધ:

એ - સિરામિક્સ; બી - ધાતુઓ; સી - પોલિમર

ચોખા. 5.3. શીયર હેઠળ નક્કર શરીરનું સ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિ

તણાવ દરમિયાન નમૂનાનું વિસ્તરણ તેની જાડાઈમાં ઘટાડો (ફિગ. 5.4) સાથે છે. જાડાઈમાં સંબંધિત ફેરફાર Δl/lલંબાઈમાં સંબંધિત ફેરફાર માટે Δd/dપોઈસનનો ગુણોત્તર "μ" અથવા લેટરલ કમ્પ્રેશન રેશિયો કહેવાય છે:

μ = (Δl/l) / (Δd/d).

ચોખા. 5.4. તણાવ હેઠળ નક્કર શરીરનું સ્થિતિસ્થાપક વિરૂપતા

જો, જ્યારે શરીર વિકૃત થાય છે, ત્યારે તેનું પ્રમાણ બદલાતું નથી, અને આ ફક્ત પ્લાસ્ટિક અથવા ચીકણા પ્રવાહ દરમિયાન થઈ શકે છે, તો પછી μ = 0.5. જો કે, વ્યવહારમાં, આ મૂલ્ય માટે સૈદ્ધાંતિક સૂચક કરતાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછું છે વિવિધ સામગ્રીતે અલગ છે. સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રી (કોંક્રિટ, સિરામિક્સ, વગેરે) પોઈસનના ગુણોત્તર (0.15-0.25), પ્લાસ્ટિક ( પોલિમર સામગ્રી) - ઉચ્ચ (0.3-0.4). આ આકર્ષણ અને પ્રતિકૂળ દળો વચ્ચેના સંબંધ અને વિરૂપતા દરમિયાન આંતરપરમાણુ અંતરમાં ફેરફાર દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે.

યંગનું મોડ્યુલસ

યંગ્સ મોડ્યુલસ, અથવા રેખાંશ વિરૂપતા મોડ્યુલસ E, નિર્ણાયક તાણ દર્શાવે છે કે જે ભૌતિક માળખું નિષ્ફળતા પહેલા તેની મહત્તમ વિકૃતિ પર હોઈ શકે છે; તણાવ પરિમાણ (MPa) ધરાવે છે.

ક્યાં: σ р - જટિલ તણાવ.

પોલીક્રિસ્ટલાઇન સામગ્રી સામાન્ય રીતે રેખીયતામાંથી વિચલનો દર્શાવે છે. σ = ƒ(ε,), ઊર્જા સાથે અસંબંધિત સ્ફટિક જાળી, પરંતુ સામગ્રીની રચના પર આધાર રાખીને. આવી સામગ્રીના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, બે સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: સ્પર્શક E = tanα અને સેકન્ટ V = tanβ, જેને વિરૂપતા મોડ્યુલસ (ફિગ. 5.5) કહેવામાં આવે છે.

ચોખા. 5.5. પ્રત્યાવર્તન વિકૃતિની યોજનાકીય રજૂઆત:

a - વિરૂપતા વળાંક; b - વિનાશનું બિંદુ;

σ; - નિષ્ફળતા પર અંતિમ તાણ; ε - વિરૂપતા

બે-તબક્કાની સિસ્ટમના સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસનું મૂલ્ય એ દરેક તબક્કાના સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલીના મૂલ્યો વચ્ચેની સરેરાશ છે, અને વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિઓશોધવા માટે તે જ્યારે વપરાયેલ હોય ત્યારે સમાન હોય છે વિવિધ અર્થોરેખીય KTE.

બ્લોગ કોડ:

સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલ્સ (સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો), સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોને દર્શાવતી માત્રા ઘન(સ્થિતિસ્થાપકતા જુઓ). સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ એ લાગુ યાંત્રિક તાણ (અને ઊલટું) પર વિરૂપતા પર આધાર રાખીને ગુણાંક છે. નાના વિકૃતિઓના સરળ કિસ્સામાં, આ અવલંબન રેખીય છે, અને સ્થિતિસ્થાપકતાનું મોડ્યુલસ પ્રમાણસરતાનું ગુણાંક છે (હૂકનો કાયદો જુઓ).

માટે સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલીની સંખ્યા એનિસોટ્રોપિક સ્ફટિકો 21 સુધી પહોંચે છે અને સ્ફટિકની સમપ્રમાણતા પર આધાર રાખે છે. સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોઆઇસોટ્રોપિક પદાર્થનું વર્ણન યંગના મોડ્યુલસ E = ?/? (? - તાણ તણાવ, ? - સંબંધિત વિસ્તરણ), પોઈસનનો ગુણોત્તર? = ??y?/?х (?y - સંબંધિત ટ્રાંસવર્સ કમ્પ્રેશન, ?х - સંબંધિત રેખાંશ વિસ્તરણ), શીયર મોડ્યુલસ G = ?/? (? - શીયર એન્ગલ, ? - ટેન્જેન્શિયલ સ્ટ્રેસ) અને બલ્ક મોડ્યુલસ K = ?/? (? - વોલ્યુમમાં ઘટાડો).

આપેલ સામગ્રીની સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલી તેના પર આધાર રાખે છે રાસાયણિક રચના, પૂર્વ-સારવાર, તાપમાન, વગેરે.

તે કેવું દેખાશે:

સ્થિતિસ્થાપકતા મોડ્યુલ્સ (સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો), ઘન પદાર્થોના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોને દર્શાવતા જથ્થાઓ (જુઓ સ્થિતિસ્થાપકતા). સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ એ લાગુ યાંત્રિક તાણ (અને ઊલટું) પર વિરૂપતા પર આધાર રાખીને ગુણાંક છે. નાના વિકૃતિઓના સરળ કિસ્સામાં, આ અવલંબન રેખીય છે, અને સ્થિતિસ્થાપકતાનું મોડ્યુલસ પ્રમાણસરતાનું ગુણાંક છે (જુઓ હૂકનો કાયદો).

એનિસોટ્રોપિક સ્ફટિકો માટે સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલીની સંખ્યા 21 સુધી પહોંચે છે અને તે સ્ફટિકની સમપ્રમાણતા પર આધાર રાખે છે. આઇસોટ્રોપિક પદાર્થના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોને યંગના મોડ્યુલસ E = ?/? (? - તાણ તણાવ, ? - સંબંધિત વિસ્તરણ), પોઈસનનો ગુણોત્તર? = ??y?/?х (?y - સંબંધિત ટ્રાંસવર્સ કમ્પ્રેશન, ?х - સંબંધિત રેખાંશ વિસ્તરણ), શીયર મોડ્યુલસ G = ?/? (? - શીયર એન્ગલ, ? - ટેન્જેન્શિયલ સ્ટ્રેસ) અને બલ્ક મોડ્યુલસ K = ?/? (? - વોલ્યુમમાં ઘટાડો).

આપેલ સામગ્રીનું સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ તેની રાસાયણિક રચના, પૂર્વ-સારવાર, તાપમાન વગેરે પર આધાર રાખે છે.