જો અમુક ક્રમ મર્યાદિત સંખ્યા a માં કન્વર્જ થાય, તો લખો
.
અગાઉ, અમે વિચારણામાં અનંત મોટા સિક્વન્સ રજૂ કર્યા હતા. અમે ધારીએ છીએ કે તેઓ કન્વર્જન્ટ હતા અને તેમની મર્યાદા પ્રતીકો અને . આ પ્રતીકો રજૂ કરે છે અવિરતપણે દૂરસ્થ બિંદુઓ

. તેઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ સાથે સંબંધિત નથી. પરંતુ મર્યાદાની વિભાવના આપણને આવા બિંદુઓને રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને તેમની મિલકતોનો અભ્યાસ કરવા માટે એક સાધન પ્રદાન કરે છે.
વ્યાખ્યાઅનંત પર બિંદુ
, અથવા સહી વિનાની અનંતતા, એ મર્યાદા છે જેના તરફ અનંત મોટા ક્રમનું વલણ હોય છે.અનંત વત્તા અનંત પર બિંદુ
, એ મર્યાદા છે કે જેમાં સકારાત્મક શબ્દો સાથેનો અનંત મોટો ક્રમ વલણ ધરાવે છે.અનંત ઓછા અનંત પર બિંદુ

, એ મર્યાદા છે જેમાં નકારાત્મક પદો સાથેનો અનંત મોટો ક્રમ વલણ ધરાવે છે. કોઈપણ માટેવાસ્તવિક સંખ્યા
;
.

નીચેની અસમાનતાઓ ધરાવે છે: વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે ખ્યાલ રજૂ કર્યો.
અનંત પર એક બિંદુની પડોશી
બિંદુની પડોશ એ સમૂહ છે.
છેલ્લે, બિંદુની પડોશ એ સમૂહ છે.

અહીં M એક મનસ્વી, મનસ્વી રીતે મોટી વાસ્તવિક સંખ્યા છે. આમ, અમે તેમાં નવા તત્વો દાખલ કરીને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને વિસ્તૃત કર્યો છે. આ સંદર્ભે, ત્યાં છે:

નીચેની વ્યાખ્યાવિસ્તૃત નંબર લાઇન અથવાવાસ્તવિક સંખ્યાઓનો વિસ્તૃત સમૂહ
.

તત્વો દ્વારા પૂરક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે અને : પ્રથમ, આપણે તે ગુણધર્મો લખીશું જે પોઈન્ટ કરે છે અને.આગળ આપણે કડકના મુદ્દાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ

ગાણિતિક વ્યાખ્યા

આ મુદ્દાઓ અને આ ગુણધર્મોના પુરાવાઓ માટે કામગીરી..
; ;
; ;

અનંત પર બિંદુઓના ગુણધર્મો.
; ; ;
;
;
; ; .

સરવાળો અને તફાવત.
ઉત્પાદન અને ગુણાંક
; ;
; ; ; .
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે સંબંધ > 0 ચાલો મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા બનીએ. પછી
; ; .
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે સંબંધ < 0 ચાલો મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા બનીએ. પછી
; .

ચાલો એ.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

.

પછી

અવ્યાખ્યાયિત કામગીરી

અનંત પરના બિંદુઓના ગુણધર્મોના પુરાવા બે પોઈન્ટનો સરવાળો
c = a + b,
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વિસ્તૃત સમૂહ સાથે સંબંધિત,
,
અમે મર્યાદા કહીશું
,
જ્યાં અને મર્યાદા ધરાવતા મનસ્વી ક્રમ છે
અને .

બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓ સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. માત્ર, વિભાજનના કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંકના છેદમાં તત્વો શૂન્યની બરાબર ન હોવા જોઈએ.
પછી બે બિંદુઓનો તફાવત:
- આ મર્યાદા છે: .
પોઈન્ટનું ઉત્પાદન:
- આ મર્યાદા છે: .
ખાનગી:
- આ મર્યાદા છે: .
અહીં અને મનસ્વી ક્રમ છે જેની મર્યાદા અનુક્રમે a અને b છે. IN બાદમાં કેસ, .

મિલકતોના પુરાવા

અનંત પરના બિંદુઓના ગુણધર્મોને સાબિત કરવા માટે, આપણે અનંત મોટા સિક્વન્સના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

મિલકત ધ્યાનમાં લો:
.
તે સાબિત કરવા માટે, આપણે તે બતાવવું જોઈએ
,

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે એ સાબિત કરવાની જરૂર છે કે વત્તા અનંતમાં કન્વર્જ થતા બે સિક્વન્સનો સરવાળો વત્તા અનંતમાં કન્વર્જ થાય છે.

1 નીચેની અસમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે:
;
.
પછી માટે અને અમારી પાસે છે:
.
ચાલો મૂકીએ.
પછી
ખાતે,
ક્યાં.

આનો અર્થ એ છે કે.

અન્ય ગુણધર્મો સમાન રીતે સાબિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે વધુ એક સાબિતી આપીએ છીએ.
.
ચાલો તે સાબિત કરીએ:
,
આ કરવા માટે આપણે તે બતાવવું જોઈએ

જ્યાં અને મર્યાદાઓ સાથે અને મનસ્વી અનુક્રમો છે.

એટલે કે, આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે બે અનંત મોટા ક્રમનું ઉત્પાદન એ અનંત વિશાળ ક્રમ છે. 1 નીચેની અસમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે:
;
.
પછી માટે અને અમારી પાસે છે:
.
ચાલો મૂકીએ.
પછી
ખાતે,
ક્યાં.

ચાલો તે સાબિત કરીએ. ત્યારથી અને , પછી કેટલાક કાર્યો છે અને , તેથી કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા માટે M

અવ્યાખ્યાયિત કામગીરી ભાગગાણિતિક ક્રિયાઓ

અનંત બિંદુઓ સાથે વ્યાખ્યાયિત નથી. તેમની અનિશ્ચિતતા દર્શાવવા માટે, જ્યારે ઓપરેશનનું પરિણામ તેમાં સમાવિષ્ટ સિક્વન્સની પસંદગી પર આધારિત હોય ત્યારે કેટલાક ખાસ કિસ્સાઓ આપવા જરૂરી છે.
.
આ કામગીરી ધ્યાનમાં લો:

તે બતાવવાનું સરળ છે કે જો અને , તો ક્રમના સરવાળાની મર્યાદા ક્રમની પસંદગી પર આધારિત છે અને .

ખરેખર, ચાલો તેને લઈએ.

આ સિક્વન્સની મર્યાદા છે.

રકમ મર્યાદા.

અનંત સમાન છે. હવે લઈએ.આ સિક્વન્સની મર્યાદાઓ પણ સમાન છે.

પરંતુ તેમની રકમની મર્યાદા

. તેઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ સાથે સંબંધિત નથી. પરંતુ મર્યાદાની વિભાવના આપણને આવા બિંદુઓને રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને તેમની મિલકતોનો અભ્યાસ કરવા માટે એક સાધન પ્રદાન કરે છે.
શૂન્ય બરાબર 0 એટલે કે, જો કે અને , રકમની મર્યાદાનું મૂલ્ય લઈ શકે
.
વિવિધ અર્થો 1 . તેથી ઓપરેશન વ્યાખ્યાયિત નથી. 2 એ જ રીતે, તમે ઉપર પ્રસ્તુત બાકીની કામગીરીની અનિશ્ચિતતા બતાવી શકો છો.

વાસ્તવિક બિંદુ x ની પડોશ 0 આ બિંદુ ધરાવતા કોઈપણ ખુલ્લા અંતરાલને કહેવામાં આવે છે: 0 અહીં ε
.

અને ε 0 આ બિંદુની પડોશ છે જેમાંથી બિંદુ x પોતે જ બાકાત છે 0 :
.

અંતિમ બિંદુઓની પડોશ

ખૂબ જ શરૂઆતમાં, બિંદુના પડોશની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી હતી. તે તરીકે નિયુક્ત થયેલ છે.
(1) .
પરંતુ તમે સ્પષ્ટપણે સૂચવી શકો છો કે પડોશી યોગ્ય દલીલોનો ઉપયોગ કરીને બે સંખ્યાઓ પર આધારિત છે:

એટલે કે, પડોશી એ ખુલ્લા અંતરાલ સાથે જોડાયેલા બિંદુઓનો સમૂહ છે. 1 સમીકરણ ε 2 થી ε
(2) .
, અમને એપ્સીલોન મળે છે - પડોશી:
એપ્સીલોન પડોશી એ સમાન અંતર સાથેના ખુલ્લા અંતરાલ સાથે જોડાયેલા બિંદુઓનો સમૂહ છે.

અલબત્ત, અક્ષર એપ્સીલોન અન્ય કોઈપણ દ્વારા બદલી શકાય છે અને δ - પડોશી, σ - પડોશી, વગેરેને ધ્યાનમાં લો.

મર્યાદા સિદ્ધાંતમાં, સમૂહ (1) અને સમૂહ (2) બંનેના આધારે પડોશીની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આમાંથી કોઈપણ પડોશનો ઉપયોગ કરવાથી સમાન પરિણામો મળે છે (જુઓ). પરંતુ વ્યાખ્યા (2) સરળ છે, તેથી એપ્સીલોનનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે - (2) થી નિર્ધારિત બિંદુની પડોશી. ડાબી બાજુની, જમણી બાજુની અને પંચર પડોશની વિભાવનાઓ પણ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.અંતિમ બિંદુઓ

. અહીં તેમની વ્યાખ્યાઓ છે. 0 વાસ્તવિક બિંદુ xનો ડાબો પડોશી પર સ્થિત અર્ધ-ખુલ્લું અંતરાલ છેવાસ્તવિક ધરી 0 બિંદુ x ની ડાબી બાજુએ
;
.

, બિંદુ પોતે સહિત: 0 વાસ્તવિક બિંદુ xની જમણી બાજુનો પડોશી 0 બિંદુ x ની ડાબી બાજુએ
;
.

બિંદુ x ની જમણી બાજુએ સ્થિત અર્ધ-ખુલ્લો અંતરાલ છે

અંતિમ બિંદુઓના પડોશી વિસ્તારો 0 બિંદુ x ના પંચર થયેલ પડોશ

- આ એ જ પડોશીઓ છે જેમાંથી બિંદુ પોતે જ બાકાત છે. તેઓ અક્ષરની ઉપરના વર્તુળ સાથે સૂચવવામાં આવે છે. અહીં તેમની વ્યાખ્યાઓ છે. 0 :
.

બિંદુ x નું પંચર પડોશી 0 :
;
.

પંચર થયેલ એપ્સીલોન - બિંદુ xની પડોશ:
;
.

વીંધેલ ડાબી બાજુની નજીકમાં:
;
.

પંચર જમણી બાજુ નજીકમાં

અનંત પર બિંદુઓની પડોશ અંતિમ બિંદુઓ સાથે, અનંત પરના બિંદુઓના પડોશીઓ પણ રજૂ કરવામાં આવે છે. તે બધા પંચર થયેલ છે કારણ કે અનંત પર કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી (અનંત પરના બિંદુને અનંત પરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.).

.
;
;
.

મોટો ક્રમ
.
આ રીતે અનંત પર બિંદુઓના પડોશીઓ નક્કી કરવાનું શક્ય હતું:

પરંતુ M ને બદલે, અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ, જેથી નાના ε સાથે પડોશી એ મોટા ε સાથે પડોશીનો સબસેટ છે, જેમ કે એન્ડપોઇન્ટ પડોશીઓ માટે.

પડોશની મિલકત આગળ, આપણે બિંદુના પડોશની સ્પષ્ટ મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (મર્યાદિત અથવા અનંત પર). તે હકીકતમાં આવેલું છે કે પોઈન્ટની પડોશીઓ સાથેનાના મૂલ્યો

ત્યાં એક અંતિમ અથવા અનંત દૂર બિંદુ દો. જવા દે ને .
પછી
;
;
;
;
;
;
;
.

વાતચીત પણ સાચી છે.

કોચી અનુસાર કાર્યની મર્યાદાની વ્યાખ્યાઓની સમાનતા

હવે આપણે બતાવીશું કે Cauchy અનુસાર ફંક્શનની મર્યાદા નક્કી કરવા માટે, તમે મનસ્વી પડોશી અને સમાન છેડાવાળા પડોશી બંનેનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

પ્રમેય
વિધેયની મર્યાદાની કોચી વ્યાખ્યાઓ કે જે મનસ્વી પડોશીઓ અને સમાન અંતર સાથેના પડોશીઓનો ઉપયોગ કરે છે તે સમાન છે.

પુરાવો

ચાલો ઘડીએ કાર્યની મર્યાદાની પ્રથમ વ્યાખ્યા.
સંખ્યા a એ બિંદુ પરના કાર્યની મર્યાદા છે (મર્યાદિત અથવા અનંત દૂર), જો કોઈ હોય તો હકારાત્મક સંખ્યાઓતેના આધારે સંખ્યાઓ છે અને તે બધા માટે , બિંદુ a ના અનુરૂપ પડોશની છે:
.

ચાલો ઘડીએ કાર્યની મર્યાદાની બીજી વ્યાખ્યા.
સંખ્યા a એ બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદા છે જો કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા માટે બધા માટે તેના આધારે સંખ્યા હોય તો:
.

પુરાવો 1 ⇒ 2

ચાલો સાબિત કરીએ કે જો સંખ્યા a એ 1લી વ્યાખ્યા દ્વારા કાર્યની મર્યાદા છે, તો તે 2જી વ્યાખ્યા દ્વારા પણ મર્યાદા છે.

પ્રથમ વ્યાખ્યાને સંતોષવા દો. આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં કાર્યો છે અને , તેથી કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે નીચેના ધરાવે છે:
ક્યાં .

સંખ્યાઓ મનસ્વી હોવાથી, અમે તેમને સમાન કરીએ છીએ:
.
પછી આવા કાર્યો છે અને , તેથી નીચેના કોઈપણ હોલ્ડ્સ માટે:
ક્યાં .

આ ધ્યાન માં રાખો .
સકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી સૌથી નાની હોવા દો અને .
.
પછી, ઉપર જે નોંધ્યું હતું તે મુજબ,

તો પછી.
ક્યાં .
એટલે કે, અમને આ પ્રકારનું કાર્ય મળ્યું છે, તેથી નીચેના કોઈપણ હોલ્ડ્સ માટે:

આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા a એ બીજી વ્યાખ્યા દ્વારા કાર્યની મર્યાદા છે.

પુરાવો 2 ⇒ 1

ચાલો સાબિત કરીએ કે જો સંખ્યા a એ 2જી વ્યાખ્યા દ્વારા કાર્યની મર્યાદા છે, તો તે 1લી વ્યાખ્યા દ્વારા પણ મર્યાદા છે.
.

બીજી વ્યાખ્યાને સંતોષવા દો. ચાલો બે હકારાત્મક સંખ્યાઓ લઈએ અને .
.

અને તે તેમને ઓછામાં ઓછું થવા દો. પછી, બીજી વ્યાખ્યા મુજબ, એવું કાર્ય છે, જેથી કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા માટે અને બધા માટે, તે અનુસરે છે
.

પરંતુ અનુસાર, .

તેથી, તે અનુસરે છે તેમાંથી

પછી કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે અને , અમને બે સંખ્યાઓ મળી, તેથી બધા માટે:
આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા a એ પ્રથમ વ્યાખ્યા દ્વારા મર્યાદા છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.સંદર્ભ:

એલ.ડી. કુદ્ર્યાવત્સેવ. વેલ

ગાણિતિક વિશ્લેષણદૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ, ધ્રુવ અથવા આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુપર આધાર રાખીને કાર્યોમર્યાદિત, અનંત અથવા અવિદ્યમાન .

ચાલો મૂકીએ અને, પછી તે બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક હશે. લોરેન્ટ પડોશી વિસ્તરણ લોરેન્ટ પડોશી વિસ્તરણમાં એક સરળ અવેજી દ્વારા મેળવી શકાય છે. પરંતુ આવા રિપ્લેસમેન્ટ સાથે, સાચો ભાગ મુખ્ય એક દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને ઊલટું. આમ, તે ન્યાયી છે

પ્રમેય 1. અનંતમાં દૂર કરી શકાય તેવી એકલતાના કિસ્સામાં દૂરસ્થ બિંદુ, આ બિંદુની પડોશમાં ફંક્શનના લોરેન્ટ વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ નથી હકારાત્મક ડિગ્રી, ધ્રુવના કિસ્સામાંતેમાંની મર્યાદિત સંખ્યા છે, અને કિસ્સામાંઆવશ્યક લક્ષણ - અનંત.

જો તે બિંદુ પર હોયદૂર કરી શકાય તેવું લક્ષણ, તે સામાન્ય રીતે કહેવાય છે કે તેઅનંત પર વિશ્લેષણાત્મક, અને સ્વીકારો. આ કિસ્સામાં, કાર્ય દેખીતી રીતે બિંદુના અમુક પડોશમાં બંધાયેલું છે.

કાર્યને સંપૂર્ણ સમતલમાં વિશ્લેષણાત્મક થવા દો. અનંત પરના બિંદુ પર કાર્યના વિશ્લેષણથી, તે અનુસરે છે કે તે આ બિંદુની પડોશમાં બંધાયેલ છે; ખાતે દો. બીજી બાજુ, વિશ્લેષણથી લઈને દુષ્ટ વર્તુળઆ વર્તુળમાં તેની મર્યાદાને અનુસરે છે; તેને તેમાં રહેવા દો. પરંતુ તે પછી ફંક્શન સમગ્ર પ્લેન પર મર્યાદિત છે: અમારી પાસે દરેક માટે છે. આમ, લિઓવિલેનું પ્રમેયનીચેના ફોર્મ આપી શકાય છે.

પ્રમેય 2. જો ફંક્શન સંપૂર્ણ પ્લેનમાં વિશ્લેષણાત્મક હોય, તો તે સ્થિર છે.

ચાલો હવે ખ્યાલ રજૂ કરીએઅનંત પર અવશેષ. કાર્યને બિંદુના કેટલાક પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક થવા દો (સિવાય કે, કદાચ, આ બિંદુ પોતે); હેઠળઅનંત પર કાર્ય બાદબાકીસમજવું

જ્યાં એક પર્યાપ્ત મોટું વર્તુળ ઘડિયાળની દિશામાં વળેલું છે (જેથી બિંદુનું વર્તુળ ડાબી બાજુએ રહે).

આ વ્યાખ્યા પરથી તે તરત જ અનુસરે છે કે અનંત પરના કાર્યના અવશેષો એક બિંદુની પડોશમાં તેના લોરેન્ટ વિસ્તરણમાં ગુણાંક સમાન છે, જે વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે:

પ્રમેય 3. જો કોઈ ફંક્શનમાં સંપૂર્ણ સમતલમાં મર્યાદિત સંખ્યામાં એકવચન બિંદુઓ હોય, તો અનંત પરના અવશેષો સહિત તેના તમામ અવશેષોનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર છે.

પુરાવો. હકીકતમાં, દો a 1 , …a n ફંક્શનના અંતિમ એકવચન બિંદુઓ અને - તે બધાને અંદર ધરાવતું વર્તુળ. ઇન્ટિગ્રલ્સના ગુણધર્મ દ્વારા, અવશેષ પ્રમેય અને અનંતના બિંદુ પર અવશેષોની વ્યાખ્યા, આપણી પાસે છે:

વગેરે.

ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી માટે અવશેષ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ.

ના અવિભાજ્યની ગણતરી કરવી જરૂરી છે વાસ્તવિક કાર્યઅમુક (મર્યાદિત અથવા અનંત) સેગમેન્ટ સાથે ( a,b) x અક્ષ. ચાલો ઉમેરીએ (a, b ) કેટલાક વળાંક ( a, b ) પ્રદેશ, અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે ચાલુ રાખો.

અમે બનાવેલ વિશ્લેષણાત્મક ચાલુ રાખવા માટે અવશેષ પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ:

(1)

જો ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરી શકાય અથવા ઇચ્છિત ઇન્ટિગ્રલના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય, તો ગણતરીની સમસ્યા હલ થાય છે.

અનંત વિભાગોના કિસ્સામાં ( a, b ( a, b ). આ કિસ્સામાં, સંબંધમાં અભિન્ન ઓવર (1) ની ગણતરી કરી શકાતી નથી, પરંતુ ફક્ત તેની મર્યાદા શોધી શકાય છે, જે ઘણી વખત શૂન્ય થાય છે.

નીચેના ખૂબ જ ઉપયોગી છે:

લેમ્મા (જોર્ડન). જો ગોળાકાર ચાપના અમુક ક્રમ પર,(,એ નિશ્ચિત) ફંક્શન એકસરખી રીતે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી માટે

. (2)

પુરાવો. ચાલો સૂચિત કરીએ

લેમ્માની શરતો દ્વારા, જ્યારે શૂન્ય તરફ પણ વલણ ધરાવે છે, અને Let a >0; આર્ક્સ AB અને CD પર આપણી પાસે છે.

પરિણામે, ચાપ અભિન્નએ બી સી ડી ખાતે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે.

અસમાનતા માટે માન્ય હોવાથી, પછી ચાપ પર BE

તેથી, અને આમ પણ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. જો ચાપ પર SE જો ધ્રુવીય ખૂણો ઘડિયાળની દિશામાં ગણવામાં આવે, તો તે જ અંદાજ પ્રાપ્ત થશે. કિસ્સામાં જ્યારે સાબિતી સરળ કરવામાં આવે છે, કારણ કે ચાપ પરના અભિન્નતાનો અંદાજ કાઢવો બિનજરૂરી હશેએબી અને સીડી. લેમ્મા સાબિત થાય છે.

નોંધ 1. લેમ્મામાં ગોળાકાર ચાપનો ક્રમ બદલી શકાય છેઆર્ક્સનું કુટુંબ

પછી, જો પર ફંક્શન શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે તો પછી માટે

. (3)

સાબિતી હજુ પણ ઊભી છે.

રીમાર્ક 2. ચાલો વેરીએબલને બદલીએ: iz=p , તો પછી લેમ્માના વર્તુળોના ચાપ ચાપ દ્વારા બદલવામાં આવશે, અને અમે તે કોઈપણ કાર્ય માટે મેળવીએ છીએ F(p ), સમાનરૂપે સંબંધિત અને કોઈપણ હકારાત્મક માટે શૂન્ય તરફ વલણ t

. (4)

(4) માં p ને (-p ) અમે તે માટે સમાન શરતો હેઠળ મેળવીએ છીએ

, (5)

વર્તુળની ચાપ ક્યાં છે (આકૃતિ જુઓ).

ચાલો ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરીના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1..

ચાલો એક સહાયક કાર્ય પસંદ કરીએ. કારણ કે કાર્ય અસમાનતાને સંતોષે છે, પછી તે સમાનરૂપે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને જોર્ડનના લેમ્મા દ્વારા,

કારણ કે આપણી પાસે અવશેષ પ્રમેય દ્વારા છે

અમને મળેલી મર્યાદામાં:

વાસ્તવિક ભાગોને અલગ કરીને અને કાર્યની સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ

ઉદાહરણ 2. ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે

ચાલો એક સહાયક કાર્ય લઈએ. એકીકરણ સમોચ્ચ એકવચન બિંદુને બાયપાસ કરે છે z =0. કોચીના પ્રમેય દ્વારા

જોર્ડનના લેમ્મા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે. અંદાજ લગાવવા માટે, બિંદુના પડોશમાં લોરેન્ટ વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો z =0

જ્યાં એક બિંદુ પર નિયમિત છે z =0 કાર્ય. આના પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે

આમ, કોચીના પ્રમેયને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે

પ્રથમ અભિન્ન માં બદલીને x દ્વારા x , અમને લાગે છે કે તે સમાન છે, તેથી અમારી પાસે છે

મર્યાદામાં અને અંતે:

. (7)

ઉદાહરણ 3. ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

ચાલો એક સહાયક કાર્ય રજૂ કરીએ અને અગાઉના ઉદાહરણની જેમ જ એકીકરણ સમોચ્ચ પસંદ કરીએ. આ સમોચ્ચમાં, લઘુગણક સિંગલ-વેલ્યુડ બ્રાન્ચને ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે. અસમાનતા દ્વારા નિર્ધારિત શાખાને સૂચવવા દો. કાર્ય બિંદુ પર છે z=i અવશેષો સાથેનો બીજો ક્રમ ધ્રુવ

અવશેષ પ્રમેય દ્વારા.

જ્યારે, કેટલાક પૂરતા પ્રમાણમાં મોટાથી શરૂ થાય છેઆર , તેથી, .

એ જ રીતે, કેટલાક પૂરતા પ્રમાણમાં નાનાથી શરૂ કરીને r, તેથી

રિપ્લેસમેન્ટ પછીના પ્રથમ અભિન્નમાં z=-x આપણને મળે છે:

અને તેથી અમારી પાસે મર્યાદામાં છે:

વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરવાથી મળે છે:

, .

ઉદાહરણ 4. ઇન્ટિગ્રલ માટે

ચાલો આકૃતિમાં દર્શાવેલ સહાયક કાર્ય અને સમોચ્ચ પસંદ કરીએ. જો આપણે ધારીએ તો સમોચ્ચની અંદર અસંદિગ્ધ છે.

કટના ઉપલા અને નીચલા કાંઠે, આ સમોચ્ચમાં સમાવિષ્ટ, મૂલ્યો લે છે અને તેથી, ઇન્ટિગ્રલ એકબીજાને રદ કરે છે, જે જરૂરી ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. સમોચ્ચની અંદર અનુક્રમે સમાન અવશેષો સાથે પ્રથમ ક્રમના કાર્યના બે ધ્રુવો છે:

જ્યાં. અવશેષ પ્રમેય લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે:

ઉપરોક્ત અનુસાર અમારી પાસે છે:

અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, આપણે તે સાબિત કરીએ છીએ, અને પછી મર્યાદામાં, આપણી પાસે હશે:

અહીંથી, કાલ્પનિક ભાગોની તુલના કરીને, અમને મળે છે:

ઉદાહરણ 5. વિશિષ્ટ પૂર્ણાંકના મુખ્ય મૂલ્યની ગણતરી કરો

ચાલો આકૃતિમાં દર્શાવેલ સહાયક કાર્ય અને સમોચ્ચ પસંદ કરીએ. સમોચ્ચની અંદર કાર્ય નિયમિત છે. સકારાત્મક અર્ધ-અક્ષ સાથે કટના નીચલા કાંઠે. આમ, કોચીના પ્રમેય મુજબ:

(8).

દેખીતી રીતે, ક્યારે અને ક્યારે. સાથે, અમે અનુક્રમે, અને, જ્યાં 0 થી અને માંથી અનુક્રમે બદલાય છે. આથી,

ની મર્યાદામાં (8) પસાર કરવાથી, આપણે આમ મેળવીએ છીએ

જ્યાંથી જરૂરી ઇન્ટિગ્રલ બરાબર છે

ઉદાહરણ 6. ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

ચાલો કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો એક કટ બનાવીએ*) .

ચાલો મૂકીએ. જ્યારે બંધ પાથની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં જાઓ (આકૃતિ, ડોટેડ લાઇન જુઓ) અને ઇન્ક્રીમેન્ટ મેળવો,

તેથી, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3માં પણ વધારો કરવામાં આવ્યો છે. આમ, કટના દેખાવમાં, ફંક્શન 3 નિયમિત શાખાઓમાં વિભાજિત થાય છે, જે ફંક્શનના પ્રારંભિક તત્વની પસંદગીમાં એકબીજાથી અલગ પડે છે, એટલે કે. અમુક સમયે મૂલ્ય.

અમે ફંક્શનની શાખાને ધ્યાનમાં લઈશું જે કટની ઉપરની બાજુએ (-1,1) લે છે હકારાત્મક મૂલ્યો, અને સમોચ્ચ લો,

___________________

*) હકીકતમાં, બે કટ કરવામાં આવ્યા હતા: અને, જો કે, ધરી પર x બિંદુ x ની જમણી બાજુએ =1 કાર્ય સતત છે: કટની ઉપર, કટની નીચે.

આકૃતિમાં બતાવેલ છે. બેંક પર મારી પાસે છે, એટલે કે. , કિનારા II પર (બિંદુની આસપાસ ગયા પછી z =1 ઘડિયાળની દિશામાં) (એટલે ​​​​કે), એટલે કે , વર્તુળો પરના પૂર્ણાંકો અને, દેખીતી રીતે, શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે**) ખાતે તેથી, મલ્ટીપ્લાય કનેક્ટેડ ડોમેન્સ માટે કોચીના પ્રમેય દ્વારા

ગણતરી માટે, આપણે અનંત પર બિંદુની પડોશમાં 1/ શાખાના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો તેને રુટ ચિહ્નની નીચેથી બહાર કાઢીએ, પછી આપણે આ ફંક્શનની શાખાઓ ક્યાં અને છે તે જાણીએ, વાસ્તવિક ધરીના સેગમેન્ટ (1,) પર હકારાત્મક.

વાસ્તવિક ધરીના સેગમેન્ટ પર. દ્વિપદી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાદમાં વિસ્તરણ:

આપણે પસંદ કરેલ શાખાના અવશેષો શોધીએ છીએ 1/ અનંતના બિંદુ પર: (1/ પર ગુણાંક z વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે). પરંતુ અવિભાજ્ય આ અવશેષ દ્વારા ગુણાકાર સમાન છે, એટલે કે. અમારી પાસે આખરે છે

ઉદાહરણ 7. અવિભાજ્યને ધ્યાનમાં લો.

__________________

**) ઉદાહરણ તરીકે, અભિન્ન ઓવરને ધ્યાનમાં લો. અમારી પાસે છે, એટલે કે.

ચાલો, આમ મૂકીએ,

વર્તુળની અંદર, ઇન્ટિગ્રેન્ડમાં એક ધ્રુવ હોય છે II કપાત સાથે ઓર્ડર

અવશેષ પ્રમેય દ્વારા અમારી પાસે છે

ઉદાહરણ 8. ચાલો એ જ રીતે ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરીએ

અવેજી પછી અમારી પાસે છે:

ઇન્ટિગ્રેન્ડનો એક ધ્રુવ અંદર આવેલો છે એકમ વર્તુળ, અને બીજું તેની બહાર છે, કારણ કે મૂળના ગુણધર્મો દ્વારા ચતુર્ભુજ સમીકરણ, અને સ્થિતિના આધારે, આ મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે. આમ, અવશેષ પ્રમેય દ્વારા

(9)

વર્તુળની અંદર ધ્રુવ ક્યાં પડેલો છે. કારણ કે જમણો ભાગ(9) માન્ય છે, પછી તે જરૂરી ઇન્ટિગ્રલ આપે છે

વ્યાખ્યા.અનંત પર બિંદુ જટિલ વિમાનકહેવાય છે અલગ એકવચન બિંદુઅસ્પષ્ટ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યf(z), જો બહારઅમુક ત્રિજ્યાનું વર્તુળ આર,

તે માટે , ફંક્શનનો કોઈ સીમિત એકવચન બિંદુ નથી f(z).

અનંત પરના બિંદુ પર કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટે, અમે અવેજી બનાવીએ છીએ
કાર્ય

બિંદુ પર એકલતા હશે ζ = 0, અને આ બિંદુને અલગ કરવામાં આવશે, ત્યારથી

વર્તુળની અંદર
શરત મુજબ અન્ય કોઈ એકવચન બિંદુઓ નથી. આમાં વિશ્લેષણાત્મક બનવું

વર્તુળ (કહેવાતા સિવાય ζ = 0), કાર્ય
સત્તામાં લોરેન્ટ શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે ζ . અગાઉના ફકરામાં વર્ણવેલ વર્ગીકરણ સંપૂર્ણપણે યથાવત છે.

જો કે, જો આપણે મૂળ ચલ પર પાછા આવીએ z, પછી સકારાત્મક અને નકારાત્મક શક્તિઓમાં શ્રેણી zસ્થાનો 'સ્વિચ' કરો. તે. અનંત પરના બિંદુઓનું વર્ગીકરણ આના જેવું દેખાશે:

ઉદાહરણો. 1.
. z = ડોટ i

2.
- ત્રીજા ક્રમનો ધ્રુવ. z = ∞ . ડોટ - નોંધપાત્ર રીતે.

એકવચન બિંદુ

§18. એક અલગ એકવચન બિંદુ પર વિશ્લેષણાત્મક કાર્યના અવશેષો. zબિંદુ દો

f(z 0 એ સિંગલ-વેલ્યુડ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યનો એક અલગ એકવચન બિંદુ છે f(z). અગાઉના મુજબ, આ બિંદુની નજીકમાં
) લોરેન્ટ શ્રેણી દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

વ્યાખ્યા.જ્યાંકપાત f(zવિશ્લેષણાત્મક કાર્ય z 0

) એક અલગ એકવચન બિંદુ પર જટિલ સંખ્યા, ઇન્ટિગ્રલના મૂલ્યની બરાબર
, કાર્યની વિશ્લેષણાત્મકતાના ક્ષેત્રમાં આવેલા કોઈપણ બંધ સમોચ્ચ સાથે હકારાત્મક દિશામાં લેવામાં આવે છે અને તેની અંદર એક એકવચન બિંદુ ધરાવે છે. z 0 .

કપાત પ્રતિક Res દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે [f(z),z 0 ].

તે જોવાનું સરળ છે કે નિયમિત અથવા દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુ પર અવશેષ શૂન્ય બરાબર છે.

ધ્રુવ અથવા અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુ પર, અવશેષ ગુણાંક સમાન હોય છે સાથે-1 પંક્તિ લોરેન્ટ:

.

ઉદાહરણ.ફંક્શનના અવશેષો શોધો
.

(તે જોવાનું સરળ થવા દો

ગુણાંક સાથે-1 સાથે શરતોનો ગુણાકાર કરતી વખતે પ્રાપ્ત થાય છે n= 0: Res[ f(z),ડોટ ] =
}

ઉપરના કાર્યોના અવશેષોની ગણતરી કરવી ઘણીવાર શક્ય છે સરળ રીતે. કાર્ય કરવા દો f(z) સમાવેશ થાય છે. zપ્રથમ ઓર્ડરનો 0 ધ્રુવ. આ કિસ્સામાં, લોરેન્ટ શ્રેણીમાં કાર્યના વિસ્તરણનું સ્વરૂપ (§16): છે. ચાલો આ સમાનતાને (z−z 0) વડે ગુણાકાર કરીએ અને પરની મર્યાદા પર જઈએ
. પરિણામે આપણને મળે છે: Res[ f(z),z 0 ] =
તેથી, માં

છેલ્લા ઉદાહરણમાં આપણી પાસે Res[ f(z),ડોટ ] =
.

ઉચ્ચ ક્રમના ધ્રુવો પર અવશેષોની ગણતરી કરવા માટે, કાર્યનો ગુણાકાર કરો

પર
(m- ધ્રુવ ક્રમ) અને પરિણામી શ્રેણીને અલગ પાડો ( m − 1 વખત.

આ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે: Res[ f(z),z 0 ]

ઉદાહરણ.ફંક્શનના અવશેષો શોધો
z= −1 પર.

{Res[ f(z), −1] }

અમે આ બિંદુના પડોશને મૂળ પર કેન્દ્રિત વર્તુળોના બાહ્ય ભાગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યા છે: યુ (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). ડોટ z = ∞ એ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યનો એક અલગ એકવચન બિંદુ છે ડબલ્યુ = f (z ), જો આ બિંદુના અમુક પડોશમાં આ કાર્યના અન્ય એકવચન બિંદુઓ નથી. આ એકવચન બિંદુનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે, અમે ચલ અને બિંદુમાં ફેરફાર કરીએ છીએ z = ∞ બિંદુ પર જાય છે z 1 = 0, કાર્ય ડબલ્યુ = f (z ) ફોર્મ લેશે . એકવચન બિંદુનો પ્રકાર z = ∞ કાર્યો ડબલ્યુ = f (z ) આપણે એકવચન બિંદુનો પ્રકાર કહીશું z 1 = 0 કાર્યો ડબલ્યુ = φ (z 1). જો કાર્યનું વિસ્તરણ ડબલ્યુ = f (z ) ડિગ્રી દ્વારા z બિંદુની નજીકમાં z = ∞, એટલે કે. પર્યાપ્ત મોટા મોડ્યુલસ મૂલ્યો પર z , ફોર્મ ધરાવે છે, પછી, બદલીને z પર , અમે પ્રાપ્ત કરીશું. આમ, ચલના આવા ફેરફાર સાથે, લોરેન્ટ શ્રેણીના મુખ્ય અને નિયમિત ભાગો સ્થાનો અને એકવચન બિંદુના પ્રકારમાં ફેરફાર કરે છે. z = ∞ સત્તામાં લોરેન્ટ શ્રેણીમાં કાર્યના વિસ્તરણના સાચા ભાગમાં પદોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે z બિંદુની નજીકમાં z = 0. તેથી
1. બિંદુ z = ∞ એ દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુ છે જો આ વિસ્તરણમાં સાચો ભાગ ન હોય (સિવાય, કદાચ, શબ્દ માટે એ 0);
2. બિંદુ z = ∞ - ધ્રુવ n -જો જમણો ભાગ શબ્દ સાથે સમાપ્ત થાય તો ક્રમ એ એન · z n ;
3. બિંદુ z = ∞ એ અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુ છે જો નિયમિત ભાગમાં અસંખ્ય પદો હોય.

આ કિસ્સામાં, મૂલ્ય દ્વારા એકવચન બિંદુઓના પ્રકારો માટે માપદંડ માન્ય રહે છે: જો z= ∞ એ દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ છે, તો પછી આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને જો મર્યાદિત છે z= ∞ એક ધ્રુવ છે, તો આ મર્યાદા અનંત છે જો z= ∞ એ આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ છે, તો પછી આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી (ન તો મર્યાદિત કે અનંત નથી).

ઉદાહરણો: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. ફંક્શન પહેલેથી જ સત્તાઓમાં બહુપદી છે z , ઉચ્ચતમ ડિગ્રી છઠ્ઠી છે, તેથી z
સમાન પરિણામ બીજી રીતે મેળવી શકાય છે. અમે બદલીશું z પર, પછી . કાર્ય માટે φ (z 1) બિંદુ z 1 = 0 એ છઠ્ઠા ક્રમનો ધ્રુવ છે, તેથી માટે f (z ) ડોટ z = ∞ - છઠ્ઠા ક્રમનો ધ્રુવ.
2. આ કાર્ય માટે, પાવર વિસ્તરણ મેળવો z મુશ્કેલ, તો ચાલો શોધીએ: ; મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને મર્યાદિત છે, તેથી બિંદુ z
3. પાવર વિસ્તરણનો યોગ્ય ભાગ z અનંત ઘણા શબ્દો સમાવે છે, તેથી z = ∞ એ આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ છે. નહિંતર, આ હકીકત એ હકીકતને આધારે સ્થાપિત કરી શકાય છે કે તે અસ્તિત્વમાં નથી.

અનંત દૂરના એકવચન બિંદુ પર કાર્યના અવશેષ.

અંતિમ એકવચન બિંદુ માટે a , ક્યાં γ - એક સર્કિટ જેમાં અન્ય કોઈ સિવાય નથી a , એકવચન બિંદુઓ, એવી રીતે પસાર થાય છે કે તેના દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર અને એકવચન બિંદુ ધરાવતો ડાબી બાજુએ રહે છે (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં).

ચાલો સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ: , જ્યાં Γ − એ આવા પડોશને મર્યાદિત કરતું સમોચ્ચ છે યુ (∞, આર ) પોઈન્ટ z = ∞, જેમાં અન્ય એકવચન બિંદુઓ શામેલ નથી, અને પસાર કરી શકાય તેવું છે જેથી આ પડોશી ડાબી બાજુએ રહે (એટલે ​​​​કે, ઘડિયાળની દિશામાં). આમ, ફંક્શનના અન્ય તમામ (અંતિમ) એકવચન બિંદુઓ સમોચ્ચ Γ − ની અંદર સ્થિત હોવા જોઈએ. ચાલો સમોચ્ચ પાર કરવાની દિશા બદલીએ Γ - : . અવશેષો પરના મુખ્ય પ્રમેય દ્વારા , જ્યાં સમીકરણ તમામ મર્યાદિત એકવચન બિંદુઓ પર હાથ ધરવામાં આવે છે. તેથી, છેવટે

,

તે અનંત દૂરના એકવચન બિંદુ પર અવશેષ સરવાળો સમાનબધા મર્યાદિત એકવચન બિંદુઓ પરના અવશેષો, વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે.

પરિણામે, ત્યાં છે કુલ સરવાળા પ્રમેય: જો કાર્ય ડબલ્યુ = f (z ) પ્લેનમાં દરેક જગ્યાએ વિશ્લેષણાત્મક છે સાથે , અપવાદ સાથે મર્યાદિત સંખ્યાએકવચન બિંદુઓ z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , પછી તમામ મર્યાદિત એકવચન બિંદુઓ પરના અવશેષોનો સરવાળો અને અનંત પરના અવશેષો શૂન્યના બરાબર છે.

નોંધ કરો કે જો z = ∞ એ દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ છે, પછી તેના પરના અવશેષો શૂન્યથી અલગ હોઈ શકે છે. તેથી કાર્ય માટે, દેખીતી રીતે, ; z = 0 આ ફંક્શનનો એકમાત્ર સીમિત એકવચન બિંદુ છે, તેથી , એ હકીકત હોવા છતાં કે, i.e. z = ∞ દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુ છે.