ઓર્થોગોનલ વેક્ટર સિસ્ટમ. ઓર્થોગોનલ ફંક્શન સિસ્ટમ

શૂન્યની બરાબર:

ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમજો તે પૂર્ણ છે, તો તેનો ઉપયોગ જગ્યા માટેના આધાર તરીકે થઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, કોઈપણ તત્વના વિઘટનની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે: , જ્યાં .

કેસ જ્યારે તમામ તત્વોના ધોરણને ઓર્થોનોર્મલ સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે.

ઓર્થોગોનલાઇઝેશન

મર્યાદિત-પરિમાણીય અવકાશમાં કોઈપણ સંપૂર્ણ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ એ એક આધાર છે. એક સરળ આધારથી, તેથી, વ્યક્તિ ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે જઈ શકે છે.

ઓર્થોગોનલ વિઘટન

જ્યારે વેક્ટર સ્પેસના વેક્ટરને ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે વિઘટન કરવામાં આવે છે, ત્યારે ગણતરીને સરળ બનાવવામાં આવે છે. ડોટ ઉત્પાદન: , ક્યાં અને .

પણ જુઓ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ" શું છે તે જુઓ: 1) ઓહ...

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ - (ગ્રીક ઓર્થોગોનિઓસ લંબચોરસ) હિલ્બર્ટ સ્પેસ L2(a,b) (ચતુર્ભુજ રીતે સંકલન કરી શકાય તેવા કાર્યો) અને F tion g(x) કહેવાતી શરતોને સંતોષતી કાર્યોની મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર સિસ્ટમ. ઓ.નું વજન f.,* એટલે... ...

ભૌતિક જ્ઞાનકોશ વિધેયોની સિસ્ટમ??n(x)?, n=1, 2,..., ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન સેગમેન્ટ પર ઉલ્લેખિતરેખીય પરિવર્તન યુક્લિડિયનવેક્ટર જગ્યા , લંબાઈને સ્થિર રાખીને અથવા (સમાન રીતે) વેક્ટરના સ્કેલર પ્રોડક્ટ્સ...

મોટા જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ વિધેયોની સિસ્ટમ (φn(x)), n = 1, 2, ..., અંતરાલ [a, b] પર નિર્દિષ્ટ અને સંતોષકારકઆગામી શરત ઓર્થોગોનાલિટી: k≠l માટે, જ્યાં ρ(x) એ અમુક કાર્ય છે જેને વજન કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણમિતિ પ્રણાલી 1 છે, sin x, cos x, sin 2x,... ...

જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ ફંક્શન્સની સિસ્ટમ ((фn(х)), n=1, 2, ..., અંતરાલ [a, b] પર વ્યાખ્યાયિત અને ટ્રેસને સંતોષતી, k માટે ઓર્થોગોનાલિટી સ્થિતિ l ની બરાબર નથી, જ્યાં p(x) ) એક ચોક્કસ કાર્ય છે, જેને વજન કહેવાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણમિતિ સિસ્ટમ 1, cosх, sin 2x,... O.s.f.

કુદરતી વિજ્ઞાન. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ કાર્યોની સિસ્ટમ ((φn (x)), n = 1, 2,..., અંતરાલ [a, b] પર વજન ρ (x) સાથે ઓર્થોગોનલ, એટલે કે, જેમ કે ઉદાહરણો.ત્રિકોણમિતિ સિસ્ટમ 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., O.s. f સેગમેન્ટ [π, π] પર વજન 1 સાથે. બેસેલ...

ઓર્થોગોનલ કોઓર્ડિનેટ્સ તે છે જેમાં મેટ્રિક ટેન્સર વિકર્ણ સ્વરૂપ ધરાવે છે. જ્યાં d ઓર્થોગોનલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સમાં q = (q1, q², …, qd) કોઓર્ડિનેટ સપાટીઓ એકબીજા સાથે ઓર્થોગોનલ હોય છે. ખાસ કરીને, માં કાર્ટેશિયન સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ... ...વિકિપીડિયા

ઓર્થોગોનલ મલ્ટિચેનલ સિસ્ટમ- - [એલ.જી. સુમેન્કો. માહિતી ટેકનોલોજી પર અંગ્રેજી-રશિયન શબ્દકોશ. એમ.: સ્ટેટ એન્ટરપ્રાઇઝ TsNIIS, 2003.] વિષયો માહિતી ટેકનોલોજીસામાન્ય રીતે EN ઓર્થોગોનલ મલ્ટીપ્લેક્સ...

(ફોટોગ્રામમેટ્રિક) ઇમેજની કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ- જમણી ઓર્થોગોનલ અવકાશી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ, ફિડ્યુશિયલ માર્ક્સની છબીઓ દ્વારા ફોટોગ્રામેટ્રિક ઇમેજ પર નિશ્ચિત. [GOST R 51833 2001] વિષયો: ફોટોગ્રામેટ્રી... ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

સિસ્ટમ- 4.48 સિસ્ટમ: એક અથવા વધુ નિર્દિષ્ટ ધ્યેયો હાંસલ કરવા માટે આયોજિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયા તત્વોનું સંયોજન. નોંધ 1 સિસ્ટમને ઉત્પાદન અથવા તે પ્રદાન કરે છે તે સેવાઓ તરીકે ગણી શકાય. નોંધ 2 વ્યવહારમાં...... પ્રમાણભૂત અને તકનીકી દસ્તાવેજીકરણની શરતોની શબ્દકોશ-સંદર્ભ પુસ્તક

વ્યાખ્યા. વેક્ટર્સa અનેb તેઓ એકબીજાને ઓર્થોગોનલ (લંબ) કહેવાય છે જો તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય સમાન હોય, એટલે કે.a × b = 0.

બિન-શૂન્ય વેક્ટર માટે a અને b સ્કેલર પ્રોડક્ટની શૂન્યની સમાનતાનો અર્થ છે કે cos j= 0, એટલે કે. . શૂન્ય વેક્ટરકોઈપણ વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ છે, કારણ કે a × 0 = 0.

વ્યાયામ. ચાલો અને ઓર્થોગોનલ વેક્ટર બનો. પછી બાજુઓ અને સાથે લંબચોરસના કર્ણને ધ્યાનમાં લેવું સ્વાભાવિક છે. તે સાબિત કરો

,

તે લંબચોરસની કર્ણ લંબાઈનો ચોરસ સરવાળો સમાનતેની બે બિન-સમાંતર બાજુઓની લંબાઈના ચોરસ(પાયથાગોરિયન પ્રમેય).

વ્યાખ્યા. વેક્ટર સિસ્ટમa 1 ,…, a m ને ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે જો આ સિસ્ટમના કોઈપણ બે વેક્ટર ઓર્થોગોનલ હોય.

આમ, વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ માટે a 1 ,…,a mસમાનતા સાચી છે: a i × a j= 0 ખાતે i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

પ્રમેય 1.5. બિનશૂન્ય વેક્ટર્સ ધરાવતી ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. .

□ અમે વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતી આપીએ છીએ. ધારો કે નોનઝીરો વેક્ટરની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ a 1 , …, a mરેખીય રીતે નિર્ભર. પછી

એલ 1 a 1 + …+ l ma m= 0 , તે જ સમયે. (1.15)

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, l 1 ¹ 0. વડે ગુણાકાર કરીએ a 1 સમાનતાની બંને બાજુઓ (1.15):

એલ 1 a 1× a 1 + …+ l m a m × a 1 = 0.

સિસ્ટમની ઓર્થોગોનાલિટીને કારણે પ્રથમ સિવાયના તમામ પદો શૂન્ય સમાન છે a 1 , …, a m. પછી એલ 1 a 1× a 1 =0, જે નીચે મુજબ છે a 1 = 0 , જે શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે. અમારી ધારણા ખોટી નીકળી. આનો અર્થ એ છે કે નોનઝીરો વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ■

નીચેના પ્રમેય ધરાવે છે.

પ્રમેય 1.6. જગ્યા R n માં હંમેશા એક આધાર હોય છે જેમાં સમાવેશ થાય છે ઓર્થોગોનલ વેક્ટર(ઓર્થોગોનલ આધાર)
(કોઈ પુરાવો નથી).

ઓર્થોગોનલ પાયા મુખ્યત્વે અનુકૂળ છે કારણ કે આવા પાયા પર મનસ્વી વેક્ટરના વિસ્તરણ ગુણાંક સરળ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

ધારો કે આપણે મનસ્વી વેક્ટરનું વિઘટન શોધવાની જરૂર છે b ઓર્થોગોનલ ધોરણે ઇ 1 ,…,ઇ n. ચાલો આ આધાર માટે હજુ પણ અજાણ્યા વિસ્તરણ ગુણાંક સાથે આ વેક્ટરનું વિસ્તરણ કંપોઝ કરીએ:

ચાલો આ સમાનતાની બંને બાજુઓને વેક્ટર દ્વારા માપસર રીતે ગુણાકાર કરીએ ઇ 1. વેક્ટર્સના સ્કેલર ઉત્પાદનના 2° અને 3° સ્વત્સર્ગના આધારે, આપણે મેળવીએ છીએ

આધાર વેક્ટર્સ થી ઇ 1 ,…,ઇ nપરસ્પર ઓર્થોગોનલ હોય છે, પછી બેઝ વેક્ટરના તમામ સ્કેલર પ્રોડક્ટ્સ, પ્રથમના અપવાદ સિવાય, શૂન્યની બરાબર હોય છે, એટલે કે. ગુણાંક સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

.

સમાનતા (1.16) નો ગુણાકાર અન્ય આધાર વેક્ટર દ્વારા બદલામાં, આપણે મેળવીએ છીએ સરળ સૂત્રોવેક્ટર વિસ્તરણ ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે b :

. (1.17)

સૂત્રો (1.17) અર્થપૂર્ણ છે કારણ કે .

વ્યાખ્યા. વેક્ટરa જો તેની લંબાઈ બરાબર હોય તો તેને સામાન્ય (અથવા એકમ) કહેવામાં આવે છે 1, એટલે કે (a , a )= 1.

કોઈપણ બિનશૂન્ય વેક્ટર સામાન્ય કરી શકાય છે. દો a ¹ 0 . પછી , અને વેક્ટર સામાન્યકૃત વેક્ટર છે.

વ્યાખ્યા. વેક્ટર સિસ્ટમ ઇ 1 ,…,ઇ n જો તે ઓર્થોગોનલ હોય અને સિસ્ટમના દરેક વેક્ટરની લંબાઈ બરાબર હોય તો તેને ઓર્થોનોર્મલ કહેવામાં આવે છે. 1, એટલે કે.

(1.18)

કારણ કે જગ્યા Rn માં હંમેશા ઓર્થોગોનલ આધાર હોય છે અને આ આધારના વેક્ટરને સામાન્ય કરી શકાય છે, તો Rn માં હંમેશા ઓર્થોગોનલ આધાર હોય છે.

જગ્યા R n ના ઓર્થોનોર્મલ આધારનું ઉદાહરણ વેક્ટરની સિસ્ટમ છે ઇ 1 ,=(1,0,…,0),…, ઇ nસમાનતા (1.9) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સ્કેલર ઉત્પાદન સાથે =(0,0,…,1). ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે ઇ 1 ,=(1,0,…,0),…, ઇ n=(0,0,…,1) સૂત્ર (1.17) વેક્ટર વિઘટનના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા b સૌથી સરળ સ્વરૂપ છે:

દો a અને b – ઓર્થોનોર્મલ આધાર સાથે R n અવકાશના બે મનસ્વી વેક્ટર ઇ 1 ,=(1,0,…,0),…, ઇ n=(0,0,…,1). ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવીએ a અને b આધાર માં ઇ 1 ,…,ઇ nદ્વારા તે મુજબ a 1 ,…,a nઅને b 1 ,…, b nઅને આ વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદન માટે તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા અભિવ્યક્તિ શોધો આ આધારે, એટલે કે ધારો કે

, .

છેલ્લી સમાનતામાંથી, સ્કેલર પ્રોડક્ટ એક્સિઓમ્સ અને રિલેશન્સ (1.18) ના આધારે, અમે મેળવીએ છીએ

આખરે અમારી પાસે છે

. (1.19)

આમ, ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે, કોઈપણ બે વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન આ વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું હોય છે..

ચાલો હવે n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ R n માં સંપૂર્ણપણે મનસ્વી (સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ઓર્થોનોર્મલ નહીં) આધારને ધ્યાનમાં લઈએ અને બે મનસ્વી વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદન માટે અભિવ્યક્તિ શોધીએ. a અને b નિર્દિષ્ટ ધોરણે આ વેક્ટર્સના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા.