અમે એક અલગ સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રલ પ્રતિનિધિત્વની વિશેષતાઓનું અન્વેષણ કરીએ છીએ, જે તેના પોતાના વાંચન દ્વારા સેગમેન્ટ પર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. 
, અનુક્રમે સમયે લેવામાં આવે છે 
; નમૂનાઓની કુલ સંખ્યા 
(
- સેમ્પલિંગ અંતરાલ).
આવા અલગ સિગ્નલોનો અભ્યાસ કરવાની તકનીક એ છે કે સંદર્ભ મૂલ્યોના પરિણામી નમૂનાને માનસિક રીતે અસંખ્ય વખત પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે. પરિણામે, સિગ્નલ સામયિક બને છે.
આવા સિગ્નલ સાથે ચોક્કસ ગાણિતિક મોડેલને સાંકળીને, તમે ફ્યુરિયર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરી શકો છો અને અનુરૂપ કંપનવિસ્તાર ગુણાંક શોધી શકો છો. આ ગુણાંકોનું સંયોજન એક અલગ સામયિક સંકેતનું વર્ણપટ બનાવે છે.
ચાલો ડેલ્ટા કઠોળના ક્રમના સ્વરૂપમાં મોડેલનો ઉપયોગ કરીએ. પછી પ્રારંભિક કંપન સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવશે:
(5.1)
જ્યાં 
- એનાલોગ સિગ્નલના નમૂના મૂલ્યો.
- ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (DFT) (5.4)
DFT ના મૂળભૂત ગુણધર્મો
1. DFT - રેખીય પરિવર્તન એટલે કે. સિગ્નલોનો સરવાળો તેમના DFT ના સરવાળાને અનુરૂપ છે
2. વિવિધ ગુણાંકની સંખ્યા 
, સૂત્ર (5.4) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે, તે સમયગાળા દીઠ N સંખ્યાની બરાબર છે; ગુણાંક પર 
3. ગુણાંક 
(સતત ઘટક) એ તમામ રીડિંગ્સનું સરેરાશ મૂલ્ય છે:
5. સંદર્ભ મૂલ્યો દો 
- વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. પછી DFT ગુણાંક, જેની સંખ્યા /2 ના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે, સંયોજક જોડી બનાવે છે:
અલગ સ્પેક્ટ્રલ વિશ્લેષણની સમસ્યાને બીજી રીતે ઘડી શકાય છે. ચાલો ધારીએ કે ગુણાંક 
, DFT ની રચના, આપવામાં આવે છે. ચાલો સૂત્રમાં મૂકીએ (5.2) 
અને ધ્યાનમાં લો કે શ્રેણીની માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં જ શબ્દોનો સરવાળો કરવામાં આવે છે, જે મૂળ સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમમાં સમાવિષ્ટ હાર્મોનિક્સને અનુરૂપ છે.
આમ, અમે સંદર્ભ મૂલ્યોની ગણતરી માટે એક સૂત્ર મેળવીએ છીએ
(5.5)
દેખીતી રીતે, (5.5) ઇન્વર્સ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (IDFT) ફોર્મ્યુલા છે.
11 ફાસ્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ અલ્ગોરિધમ. કોમ્પ્યુટેશનલ કામગીરીની સંખ્યા. અલગ અને ઝડપી ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સની સરખામણી.
=0,
1, 2,…,( /2)-1
(5.7)
ચાલો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે ઇનપુટ એરેના સમાન અને વિષમ ભાગો સાથે સંબંધિત ગુણાંકના ક્રમ N/2 ના સમયગાળા સાથે સામયિક છે:
વધુમાં, સૂત્રમાં સમાયેલ પરિબળ (5.7) ખાતે 
આ રીતે રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:
અહીંથી આપણે DFT ગુણાંકના સમૂહના બીજા ભાગ માટે અભિવ્યક્તિ શોધીએ છીએ
(5.8)
ફોર્મ્યુલા (5.7) અને (5.8) FFT અલ્ગોરિધમનો આધાર બનાવે છે. આગળની ગણતરીઓ પુનરાવર્તિત સિદ્ધાંત અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે: સમાન અને વિષમ સંખ્યાઓ સાથેના નમૂનાઓના ક્રમને ફરીથી બે ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે. જ્યાં સુધી એક તત્વનો સમાવેશ થતો ક્રમ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી પ્રક્રિયા ચાલુ રાખવામાં આવે છે. આ તત્વનો DFT પોતાની સાથે એકરુપ છે.
FFT ની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી કામગીરીની સંખ્યાનો અંદાજ છે 
.
જો ઇનપુટ એરે પૂરતી લંબાઈના હોય તો પરંપરાગત DFTની સરખામણીમાં ગણતરીની ઝડપમાં વધારો સેંકડો અને હજારો સુધી પહોંચે છે.
12.. ઝેડ - પરિવર્તન અને તેના ગુણધર્મો. અરજી ઝેડ - પરિવર્તનો.
સ્વતંત્ર અને ડિજિટલ ઉપકરણોના વિશ્લેષણ અને સંશ્લેષણમાં, Z-ટ્રાન્સફોર્મ એ જ ભૂમિકા ભજવે છે જે રીતે સતત સંકેતોના સંદર્ભમાં ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ રૂપાંતરણ થાય છે.
દો 
- એક સંખ્યાત્મક ક્રમ, મર્યાદિત અથવા અનંત, જેમાં ચોક્કસ સિગ્નલના સંદર્ભ મૂલ્યો હોય છે. ચાલો આપણે તેને શ્રેણીના સરવાળા સાથે અનન્ય પત્રવ્યવહારમાં મૂકીએ નકારાત્મક શક્તિઓજટિલ ચલ Z:
(5.9)
આ સરવાળાને ક્રમનું Z-રૂપાંતરણ કહેવામાં આવે છે 
. ગાણિતિક પૃથ્થકરણની પરંપરાગત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેમના Z-પરિવર્તનનો અભ્યાસ કરીને સંખ્યાઓના અલગ ક્રમના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરી શકાય છે.
આ અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ બને છે જ્યારે |Z|> 
.
વ્યસ્ત Z-રૂપાંતરણ
x(z) એ જટિલ ચલ Z નું કાર્ય છે. Z-ટ્રાન્સફોર્મની એક નોંધપાત્ર મિલકત એ છે કે ફંક્શન x(z) નમૂનાઓના સમગ્ર અનંત સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે ( 
).
ખરેખર, ચાલો શ્રેણીની બંને બાજુઓ (5.9) ને અવયવ વડે ગુણાકાર કરીએ 
:
સંખ્યા m સાથેના શબ્દના અપવાદ સિવાય, જમણી બાજુના તમામ પદોના અભિન્ન ભાગો અદૃશ્ય થઈ જશે, તેથી:
(5.11)
આ અભિવ્યક્તિને ઇન્વર્સ Z-ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છે.
સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો ઝેડ -રૂપાંતરણો:
1. રેખીયતા. જો 
અને 
- કેટલાક અલગ સંકેતો, અને અનુરૂપ Z- રૂપાંતરણ x(z) અને y(z) જાણીતા છે, પછી સિગ્નલ 
કોઈપણ સ્થિરતા માટેના પરિવર્તનને અનુરૂપ હશે 
અને 
. સરવાળાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીને સાબિતી હાથ ધરવામાં આવે છે (5.9).
2.
ઝેડ- શિફ્ટ કરેલ સિગ્નલનું રૂપાંતર. ચાલો વિચાર કરીએ સ્વતંત્ર સંકેત
, એક અલગ સિગ્નલના પરિણામે 
વિલંબ તરફ એક સ્થિતિ બદલીને, એટલે કે. જ્યારે 
. ઝેડ-ટ્રાન્સફોર્મની સીધી ગણતરી કરીને, અમે નીચેના પરિણામ મેળવીએ છીએ:
તેથી પ્રતીક 
Z-ડોમેનમાં યુનિટ વિલંબ ઓપરેટર (સેમ્પલિંગ અંતરાલ દીઠ) તરીકે સેવા આપે છે.
3. ઝેડ- કન્વોલ્યુશન ટ્રાન્સફોર્મેશન. ચાલો x(z) અને y(z) ને સતત સંકેતો હોઈએ જેના માટે કન્વોલ્યુશન વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
(5.13)
સ્વતંત્ર સંકેતોના સંબંધમાં, (5.13) સાથે સામ્યતા દ્વારા, તે રજૂ કરવાનો રિવાજ છે અલગ કન્વ્યુલેશન
- સંખ્યાઓનો ક્રમ જેનો સામાન્ય શબ્દ છે:
આવા અલગ કન્વોલ્યુશનને રેખીય કહેવામાં આવે છે
ચાલો અલગ કન્વોલ્યુશનના Z-ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરીએ:
(5.15)
તેથી, બે અલગ સિગ્નલોનું કન્વોલ્યુશન Z-ટ્રાન્સફોર્મ્સના ઉત્પાદનને અનુરૂપ છે.
લીનિયર ફિલ્ટરિંગછબીઓ અવકાશી અને બંને રીતે હાથ ધરવામાં આવી શકે છે આવર્તન ડોમેન. એવું માનવામાં આવે છે કે "નીચી" અવકાશી ફ્રીક્વન્સીઝ છબીની મુખ્ય સામગ્રીને અનુરૂપ છે - પૃષ્ઠભૂમિ અને મોટા કદના પદાર્થો અને "ઉચ્ચ" અવકાશી આવર્તન - નાના કદના પદાર્થો, મોટા આકારોની નાની વિગતો અને અવાજ ઘટક.
પરંપરાગત રીતે, અવકાશી ફ્રીક્વન્સીઝના ડોમેન પર જવા માટે, $\textit(Fourier transform)$ પર આધારિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. IN તાજેતરના વર્ષોબધા વધુ એપ્લિકેશન$\textit(wavelet-transform)$ પર આધારિત પદ્ધતિઓ પણ જોવા મળે છે.
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ.
ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તમને લગભગ કોઈપણ ફંક્શન અથવા ડેટા સેટને આવા સંયોજન તરીકે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, જેમ કે સાઈન અને કોસાઈન, જે તમને ડેટામાં સામયિક ઘટકોને ઓળખવા અને મૂળ ડેટાની રચના અથવા કાર્યના સ્વરૂપમાં તેમના યોગદાનનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. પરંપરાગત રીતે, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ત્રણ મુખ્ય સ્વરૂપો છે: ઇન્ટિગ્રલ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ, ફ્યુરિયર સિરિઝ અને ડિસ્ક્રીટ ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ.
ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ટ્રાન્સફોર્મ વાસ્તવિક કાર્યને વાસ્તવિક કાર્યોની જોડીમાં અથવા એક જટિલ કાર્યને બીજામાં રૂપાંતરિત કરે છે.
વાસ્તવિક કાર્ય $f(x)$ ને ત્રિકોણમિતિ વિધેયોની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે, એટલે કે ફોર્મમાં રજૂ થાય છે.
$$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega , $$
જ્યાં $A(\omega)$ અને $B(\omega)$ ને ઈન્ટિગ્રલ કોસાઈન અને સાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન કહેવામાં આવે છે:
$$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty) (f\left(x \right)) \cos \left((2\pi \omega x ) \right)dx; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \sin \left(2\pi \omega x )\જમણે)dx. $$
ફ્યુરિયર શ્રેણી સામયિક કાર્ય $f(x)$ રજૂ કરે છે, જે અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે $$, સાઈન અને કોસાઈનમાં અનંત શ્રેણી તરીકે. એટલે કે, સામયિક ફંક્શન $f(x)$ એ ફોરિયર ગુણાંકના અનંત ક્રમ સાથે સંકળાયેલું છે
$$ f\left(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n ) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \right)+\sum\limits_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \right)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \sin \left(\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx . $$
સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એક મર્યાદિત ક્રમનું રૂપાંતર કરે છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓફ્યુરિયર ગુણાંકના મર્યાદિત ક્રમમાં.
ચાલો $\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ - વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ક્રમ - ઉદાહરણ તરીકે, પિક્સેલ બ્રાઇટનેસ ઇમેજ લાઇન સાથે ગણાય. આ ક્રમને સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અંતિમ રકમપ્રકારની
$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)+\sum\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)), $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left(-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right) ), \quad i\le k ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ત્રણ સ્વરૂપો વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે જો ઇન્ટિગ્રલ ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફંક્શન $f(x)$ની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તો શ્રેણી અને સ્વતંત્ર ફૌરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માત્ર એક અલગ સેટ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પોઈન્ટનું, ફોરિયર શ્રેણી માટે અનંત અને અલગ એક પરિવર્તન માટે મર્યાદિત. ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મની વ્યાખ્યાઓ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, ડિસક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ સિસ્ટમ માટે સૌથી વધુ રસ ધરાવે છે. ડિજિટલ મીડિયા અથવા માહિતી સ્ત્રોતોમાંથી પ્રાપ્ત ડેટાને વેક્ટર અથવા મેટ્રિસિસના રૂપમાં લખેલા નંબરોના સેટનો ઓર્ડર આપવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે અલગ રૂપાંતર માટેનો ઇનપુટ ડેટા $\Delta $ ના પગલા સાથેનો એક સમાન નમૂનો છે, અને $T=N\Delta $ મૂલ્યને રેકોર્ડ લંબાઈ અથવા મૂળભૂત અવધિ કહેવામાં આવે છે. મૂળભૂત આવર્તન $1/T$ છે. આમ, અલગ ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ઇનપુટ ડેટાને ફ્રીક્વન્સીઝમાં વિઘટિત કરે છે જે મૂળભૂત આવર્તનનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે. ઇનપુટ ડેટાના પરિમાણ દ્વારા નિર્ધારિત મહત્તમ આવર્તન, $1/2 \Delta $ ની બરાબર છે અને તેને $\it(Nyquist ફ્રિકવન્સી)$ કહેવાય છે. ડિસ્ક્રીટ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરતી વખતે Nyquist ફ્રિકવન્સી ધ્યાનમાં લેવી મહત્વપૂર્ણ છે. જો ઇનપુટ ડેટામાં નાયક્વિસ્ટ આવર્તન કરતાં વધુ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે સામયિક ઘટકો હોય, તો પછી ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ઉચ્ચ-આવર્તન ડેટાને ઓછી આવર્તન સાથે બદલશે, જે ડિસ્ક્રીટ ટ્રાન્સફોર્મના પરિણામોના અર્થઘટનમાં ભૂલો તરફ દોરી શકે છે. ડેટા વિશ્લેષણ માટે $\it(એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ)$ એ પણ એક મહત્વપૂર્ણ સાધન છે. આવર્તન $\omega $ પર સિગ્નલ પાવર નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવે છે: $$ P \left(\omega \right)=\frac(1)(2)\left((A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \right)^2) \right ). $$ આ જથ્થાને વારંવાર $\it(સિગ્નલ એનર્જી)$ કહેવાય છે આવર્તન $\omega $ પર. પાર્સેવલના પ્રમેય મુજબ, ઇનપુટ સિગ્નલની કુલ ઊર્જા તમામ ફ્રીક્વન્સીઝ પર ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે. $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i ) \ અધિકાર)). $$ શક્તિ વિરુદ્ધ આવર્તનના આલેખને ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમ અથવા પાવર સ્પેક્ટ્રમ કહેવામાં આવે છે. એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ ઇનપુટ ડેટામાં છુપાયેલા સામયિકતાઓને ઓળખવા અને ઇનપુટ ડેટાની રચનામાં ચોક્કસ આવર્તન ઘટકોના યોગદાનનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ લખવાના ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ ઉપરાંત, $\it(જટિલ રજૂઆત)$ નો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ રેકોર્ડિંગનું જટિલ સ્વરૂપ બહુપરીમાણીય વિશ્લેષણ અને ખાસ કરીને ઇમેજ પ્રોસેસિંગમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ત્રિકોણમિતિથી જટિલ સ્વરૂપમાં સંક્રમણ યુલરના સૂત્રના આધારે હાથ ધરવામાં આવે છે $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$ જો ઇનપુટ ક્રમ $N$ જટિલ સંખ્યાઓ છે, તો તેનું અલગ ફ્યુરિયર રૂપાંતરણ સ્વરૂપનું હશે $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ અને વ્યસ્ત રૂપાંતર $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$ જો ઇનપુટ ક્રમ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓની શ્રેણી છે, તો તેના માટે જટિલ અને એક અલગ સાઈન-કોસાઈન રૂપાંતરણ બંને છે. આ વિચારો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો છે: $$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k ) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ બાકીના $N/2$ ટ્રાન્સફોર્મેશન મૂલ્યો જટિલ સંયોજકો છે અને વધારાની માહિતી વહન કરતા નથી. તેથી, સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો પાવર સ્પેક્ટ્રમ પ્લોટ $N/2$ ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (ડીએફટી) ની ગણતરી કરવાની સૌથી સરળ રીત એ ડાયરેક્ટ સમેશન છે, જે દરેક ગુણાંક પર $N$ ઓપરેશનમાં પરિણમે છે. કુલ ગુણાંક $N$ છે, તેથી કુલ જટિલતા $O\left((N^2) \right)$ છે. આ અભિગમ વ્યવહારુ રસ ધરાવતો નથી, કારણ કે DFT ની ગણતરી કરવાની ઘણી વધુ કાર્યક્ષમ રીતો છે, જેને ફાસ્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (FFT) કહેવાય છે, જે $O (N\log N)$ ની જટિલતા ધરાવે છે. એફએફટી માત્ર એવા સિક્વન્સને લાગુ પડે છે કે જેની લંબાઈ (તત્વોની સંખ્યા) હોય જેની શક્તિ 2 હોય. FFT અલ્ગોરિધમ પાછળનો સૌથી સામાન્ય સિદ્ધાંત એ છે કે ઇનપુટ સિક્વન્સને બે અર્ધ-લંબાઈના સિક્વન્સમાં વિભાજિત કરવું. પ્રથમ ક્રમ સમ-ક્રમાંકિત ડેટાથી ભરેલો છે, અને બીજો વિષમ-ક્રમાંકિત ડેટા સાથે. આનાથી પરિમાણ $N/2$ના બે પરિવર્તન દ્વારા DFT ગુણાંકની ગણતરી કરવાનું શક્ય બને છે. ચાલો $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$, પછી $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_ (2n ) ) \ઓમેગા _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/ 2) ^(mn)\omega _N^m $. $m માટે< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. $M\times N$ ની સંખ્યાના દ્વિ-પરિમાણીય એરે માટે અલગ ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn) ) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ), $$ અને વ્યસ્ત રૂપાંતર $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2) \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ). $$ ઇમેજ પ્રોસેસિંગના કિસ્સામાં, દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ઘટકોને $\textit(અવકાશી ફ્રીક્વન્સીઝ)$ કહેવામાં આવે છે. દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની એક મહત્વપૂર્ણ મિલકત એ એક-પરિમાણીય FFT પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા છે: $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \right] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ અહીં, ચોરસ કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ એ ડેટા મેટ્રિક્સની પંક્તિનું એક-પરિમાણીય પરિવર્તન છે, જે એક-પરિમાણીય FFT સાથે કરી શકાય છે. આમ, દ્વિ-પરિમાણીય ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ મેળવવા માટે, સૌપ્રથમ એક-પરિમાણીય પંક્તિ રૂપાંતરણોની ગણતરી કરવી જોઈએ, પરિણામોને મૂળ મેટ્રિક્સમાં લખવા જોઈએ અને પરિણામી મેટ્રિક્સના કૉલમ્સ માટે એક-પરિમાણીય પરિવર્તનની ગણતરી કરવી જોઈએ. દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના ખૂણામાં ઓછી આવર્તન કેન્દ્રિત કરવામાં આવશે, જે પ્રાપ્ત માહિતીની વધુ પ્રક્રિયા માટે ખૂબ અનુકૂળ નથી. 2D ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ રજૂઆત મેળવવા માટે અનુવાદ કરવા માટે જેમાં મેટ્રિક્સના કેન્દ્રમાં નીચી ફ્રીક્વન્સીઝ કેન્દ્રિત હોય છે, એક સરળ પ્રક્રિયા જે કરી શકાય છે તે મૂળ ડેટાને $-1^(m+n)$ વડે ગુણાકાર કરવાની છે. ફિગ માં. આકૃતિ 16 મૂળ છબી અને તેનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ બતાવે છે. હાફટોન ઇમેજ અને તેનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (લેબવીવ સિસ્ટમમાં મેળવવામાં આવેલી તસવીરો) $s(t)$ અને $r(t)$ ફંક્શનનું કન્વોલ્યુશન આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$ વ્યવહારમાં, અમારે અલગ કન્વોલ્યુશનનો સામનો કરવો પડે છે, જેમાં એક સમાન ગ્રીડના ગાંઠો પર મૂલ્યોના સેટ દ્વારા સતત કાર્યોને બદલવામાં આવે છે (સામાન્ય રીતે પૂર્ણાંક ગ્રીડ લેવામાં આવે છે): $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$ અહીં $-N$ અને $P$ એ શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે $r(t) = 0$ છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને કન્વોલ્યુશનની ગણતરી કરતી વખતે, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની પ્રોપર્ટીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે મુજબ ફ્રિક્વન્સી ડોમેનમાં ફંક્શનની ઈમેજનું ઉત્પાદન સમય ડોમેનમાં આ ફંક્શન્સના કન્વ્યુલેશનની સમકક્ષ હોય છે. સમાધાનની ગણતરી કરવા માટે, મૂળ ડેટાને ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે, એટલે કે, તેના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરવી, રૂપાંતરણના પરિણામોનો ગુણાકાર કરવો અને મૂળ પ્રતિનિધિત્વને પુનઃસ્થાપિત કરીને ઇનવર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કરવું. અલ્ગોરિધમના સંચાલનમાં એકમાત્ર સૂક્ષ્મતા એ હકીકતને કારણે છે કે એક સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (સતત એકની વિરુદ્ધ) ના કિસ્સામાં, બે સામયિક કાર્યો સંકુચિત છે, એટલે કે, અમારા મૂલ્યોના સેટ બરાબર સ્પષ્ટ કરે છે આ કાર્યોનો સમયગાળો, અને માત્ર અક્ષના અમુક અલગ વિભાગ પરના મૂલ્યો જ નહીં. એટલે કે, અલ્ગોરિધમ માને છે કે બિંદુ $x_(N )$ ને શૂન્ય દ્વારા નહીં, પરંતુ બિંદુ $x_(0)$ દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે, અને તેથી વર્તુળમાં. તેથી, કન્વોલ્યુશનની યોગ્ય ગણતરી કરવા માટે, સિગ્નલને શૂન્યનો પૂરતો લાંબો ક્રમ સોંપવો જરૂરી છે. લીનિયર ફિલ્ટરિંગ પદ્ધતિઓ સારી-સંરચિત પદ્ધતિઓમાંની એક છે જેના માટે ઝડપી કન્વોલ્યુશન અલ્ગોરિધમ્સ અને વર્ણપટ વિશ્લેષણ પર આધારિત કાર્યક્ષમ કોમ્પ્યુટેશનલ સ્કીમ્સ વિકસાવવામાં આવી છે. સામાન્ય રીતે, રેખીય ફિલ્ટરિંગ અલ્ગોરિધમ્સ ફોર્મનું રૂપાંતર કરે છે $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$ જ્યાં $K(\zeta ,\eta)$ એ લીનિયર ટ્રાન્સફોર્મેશનનું કર્નલ છે. સિગ્નલની એક અલગ રજૂઆત સાથે, આ સૂત્રમાં અભિન્ન ચોક્કસ છિદ્રની અંદર મૂળ છબીના નમૂનાઓના ભારિત સરવાળામાં અધોગતિ થાય છે. આ કિસ્સામાં, કર્નલ $K(\zeta ,\eta)$ ને એક અથવા બીજા શ્રેષ્ઠતા માપદંડ અનુસાર પસંદ કરવાથી સંખ્યાબંધ ઉપયોગી ગુણધર્મો થઈ શકે છે. . રેખીય પ્રક્રિયા પદ્ધતિઓ આવર્તન ડોમેનમાં સૌથી અસરકારક રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે. ફિલ્ટરિંગ કામગીરી કરવા માટે ઈમેજના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે આવી કામગીરીના ઉચ્ચ પ્રદર્શનને કારણે થાય છે. સામાન્ય રીતે, ફોરવર્ડ અને ઇન્વર્સ 2D ફોરિયર રૂપાંતરિત કરવામાં અને ફિલ્ટરની ફોરિયર ઇમેજના ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં મૂળ ઇમેજ પર 2D કન્વોલ્યુશન કરવા કરતાં ઓછો સમય લાગે છે. ફ્રીક્વન્સી ડોમેન ફિલ્ટરિંગ અલ્ગોરિધમ્સ કન્વોલ્યુશન પ્રમેય પર આધારિત છે. 2D કિસ્સામાં, કન્વોલ્યુશન ટ્રાન્સફોર્મેશન આના જેવું દેખાય છે: $$ G\left((u,v) \right)=H\left((u,v) \right)F\left((u,v) \right), $$ જ્યાં $G$ એ કન્વોલ્યુશન પરિણામનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે, $H$ એ ફિલ્ટરનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે, અને $F$ એ મૂળ ઈમેજનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે. એટલે કે, ફ્રિક્વન્સી ડોમેનમાં, દ્વિ-પરિમાણીય કન્વોલ્યુશનને મૂળ ઇમેજ અને અનુરૂપ ફિલ્ટરની છબીઓના તત્વ મુજબના ગુણાકાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે. કન્વ્યુલેશન કરવા માટે, તમારે નીચેના કરવાની જરૂર છે: આવર્તન ડોમેન અને અવકાશી ડોમેનમાં ફિલ્ટર કાર્ય વચ્ચેનો સંબંધ કન્વોલ્યુશન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( u,v) \right), $$ $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( u,v)\જમણે). $$ ઇમ્પલ્સ ફંક્શન સાથે ફંક્શનનું કન્વોલ્યુશન નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે: $$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 )\right)=s(x_0 ,y_0). $$ આવેગ કાર્યનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ ડાબે((x,y) \જમણે) ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ frac(1)(MN). $$ ચાલો $f(x,y) = \delta (x,y)$, પછી કન્વોલ્યુશન $$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right). $$ આ અભિવ્યક્તિઓ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે આવર્તન અને અવકાશી ડોમેન્સમાં ફિલ્ટર ફંક્શન્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા એકબીજા સાથે સંકળાયેલા છે. ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં આપેલ ફિલ્ટર ફંક્શન માટે, ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ લાગુ કરીને અવકાશી ડોમેનમાં અનુરૂપ ફિલ્ટર શોધવાનું હંમેશા શક્ય છે. તે જ વિપરીત કેસ માટે સાચું છે. આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, અવકાશી રેખીય ફિલ્ટર્સના સંશ્લેષણ માટેની પ્રક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરવી શક્ય છે. ($\textit(આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટર)$) $H(u,v)$ નું સ્વરૂપ $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v) છે< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(આદર્શ ઉચ્ચ-પાસ ફિલ્ટર)$) આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરને ઊંધું કરીને મેળવવામાં આવે છે: $$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$ અહીં, ઓછી-આવર્તન ઘટકો સંપૂર્ણપણે દબાવવામાં આવે છે જ્યારે ઉચ્ચ-આવર્તન ઘટકો સાચવવામાં આવે છે. જો કે, આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરના કિસ્સામાં, તેનો ઉપયોગ નોંધપાત્ર વિકૃતિના દેખાવથી ભરપૂર છે. ન્યૂનતમ વિકૃતિ સાથે ફિલ્ટર્સને સંશ્લેષણ કરવા માટે વિવિધ અભિગમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તેમાંથી એક ઘાતાંકીય-આધારિત ફિલ્ટર સંશ્લેષણ છે. આવા ફિલ્ટર્સ પરિણામી ઇમેજમાં ન્યૂનતમ વિકૃતિ રજૂ કરે છે અને આવર્તન ડોમેનમાં સંશ્લેષણ માટે અનુકૂળ છે. વાસ્તવિક ગૌસિયન ફંક્શન પર આધારિત ફિલ્ટર્સનું કુટુંબ ઇમેજ પ્રોસેસિંગમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. $\textit(લો-પાસ ગૌસીયન ફિલ્ટર)$ ફોર્મ ધરાવે છે $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( અને ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ ફ્રિક્વન્સી ડોમેનમાં ફિલ્ટર પ્રોફાઇલ જેટલી સાંકડી હોય છે (મોટા $\sigma $), તે અવકાશી ડોમેનમાં વિશાળ હોય છે. ($\textit(High-Pass Gaussian Filter)$) ફોર્મ ધરાવે છે $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2 ), $$ $$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$ દ્વિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં ($\it(લો-પાસ)$), ગૌસીયન ફિલ્ટર આના જેવું દેખાય છે: $$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ ($\it(ઉચ્ચ પાસ)$) ગૌસીયન ફિલ્ટર ફોર્મ ધરાવે છે $$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ ચાલો આવર્તન ડોમેન (ફિગ. 17 - 22) માં ઇમેજ ફિલ્ટરિંગ (ફિગ. 1) ના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ. નોંધ કરો કે ઇમેજના ફ્રીક્વન્સી ફિલ્ટરિંગનો અર્થ બંને સ્મૂથિંગ ($\textit(લો-પાસ ફિલ્ટરિંગ)$) અને રૂપરેખા અને નાના-કદના ઑબ્જેક્ટ્સ ($\textit(હાઈ-પાસ ફિલ્ટરિંગ)$) હોઈ શકે છે. ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 17, 19, ઇમેજના ઓછા-આવર્તન ઘટકમાં ફિલ્ટરિંગ "પાવર" વધે છે, છબીની "સ્પષ્ટ ડિફોકસિંગ" અથવા $\it(બ્લર)$ ની અસર વધુને વધુ સ્પષ્ટ થતી જાય છે. તે જ સમયે, છબીની મોટાભાગની માહિતી સામગ્રી ધીમે ધીમે ઉચ્ચ-આવર્તન ઘટકમાં પસાર થાય છે, જ્યાં શરૂઆતમાં ફક્ત ઑબ્જેક્ટ્સના રૂપરેખા જ જોવામાં આવે છે (ફિગ. 18, 20 - 22). ચાલો હવે ઈમેજમાં એડિટિવ ગૌસિયન અવાજની હાજરીમાં હાઈ-પાસ અને લો-પાસ ફિલ્ટર્સ (ફિગ. 23 - 28) ના વર્તનને ધ્યાનમાં લઈએ (ફિગ. 7). ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 23, 25, એડિટિવ રેન્ડમ અવાજને દબાવવા માટે ઓછી-આવર્તન ફિલ્ટર્સના ગુણધર્મો અગાઉ માનવામાં આવતા રેખીય ફિલ્ટર્સના ગુણધર્મો જેવા જ છે - પર્યાપ્ત ફિલ્ટર પાવર સાથે, અવાજ દબાવવામાં આવે છે, પરંતુ આની કિંમત રૂપરેખાની મજબૂત અસ્પષ્ટતા અને "ડિફોકસિંગ" છે. " સમગ્ર છબીની. ઘોંઘાટવાળી છબીનો ઉચ્ચ-આવર્તન ઘટક માહિતીપ્રદ બનવાનું બંધ કરે છે, કારણ કે કોન્ટૂર અને ઑબ્જેક્ટ માહિતી ઉપરાંત, અવાજ ઘટક પણ ત્યાં સંપૂર્ણપણે હાજર છે (ફિગ. 27, 28). જ્યારે અવાજ પ્રક્રિયાના આંકડાકીય મોડલ અને/અથવા ઇમેજ ટ્રાન્સમિશન ચેનલનું ઓપ્ટિકલ ટ્રાન્સફર કાર્ય જાણીતું હોય ત્યારે આવર્તન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ સૌથી વધુ યોગ્ય છે. પુનઃનિર્માણ ફિલ્ટર તરીકે નીચેના ફોર્મના સામાન્યકૃત નિયંત્રિત ફિલ્ટર ($\sigma$ અને $\mu$ દ્વારા) પસંદ કરીને આવા પ્રાથમિક ડેટાને ધ્યાનમાં લેવાનું અનુકૂળ છે: $$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]. $$ જ્યાં $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. રેખીય ફિલ્ટરિંગ પદ્ધતિઓના ફાયદાઓમાં તેમના સ્પષ્ટ ભૌતિક અર્થ અને પરિણામોના વિશ્લેષણની સરળતા શામેલ છે. જો કે, સિગ્નલ-ટુ-અવાજ ગુણોત્તરમાં તીવ્ર બગાડ સાથે, વિસ્તારના અવાજના સંભવિત પ્રકારો અને ઉચ્ચ-કંપનવિસ્તાર આવેગ અવાજની હાજરી સાથે, રેખીય પ્રીપ્રોસેસિંગ પદ્ધતિઓ અપૂરતી હોઈ શકે છે. આ સ્થિતિમાં, બિનરેખીય પદ્ધતિઓ વધુ શક્તિશાળી છે. પરિચય પ્રયોગશાળાના પાઠ દરમિયાન, નીચેના દૃષ્ટિકોણથી અલગ ત્રિકોણમિતિ પરિવર્તન (DTP) ની શક્યતાઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો: 1. અમે આપેલ અકસ્માતની રિવર્સિબિલિટી પ્રોપર્ટી તપાસી. 2. સૂચિત અકસ્માતની રેખીયતાની તપાસ કરવામાં આવી હતી. 3. અમે પરીક્ષણ કરેલ અકસ્માતના પુનરાવર્તિત સ્પેક્ટ્રમની વિશેષતાઓનો અભ્યાસ કર્યો. 4. અમે અકસ્માતમાં સ્પેક્ટ્રમના સપ્રમાણ પ્રતિબિંબની હાજરી નક્કી કરી છે, એટલે કે 4.1. કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતાની હાજરી, 4.2. અક્ષીય (ઊભી) સપ્રમાણતાની હાજરી. 5. અમે પરિણામી અકસ્માત પર સિગ્નલના તબક્કા શિફ્ટના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લીધો. 6. આપેલ રૂપાંતરણ માટે સમાનતા ગુણધર્મની હાજરી તપાસી. 7. અમે આપેલ અકસ્માતનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલોને ફિલ્ટર કરવાની સંભાવનાની તપાસ કરી. 8. અમે અભ્યાસ હેઠળ માર્ગ અકસ્માતમાં ઊર્જાના સંરક્ષણનું પ્રાયોગિક ધોરણે પરીક્ષણ કર્યું. 9. અમે આ દુર્ઘટના અને અલગ ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ વચ્ચેનું જોડાણ શોધી કાઢ્યું. વધુ પ્રતિનિધિ વિશ્લેષણ માટે વિવિધ ઇનપુટ સંકેતોને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા હતા. ડિસ્ક્રીટ ફંક્શનલ ટ્રાન્સફોર્મેશનમાં સૌથી વધુ પ્રખ્યાત છે ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (DFT) ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સમયના વિવેકિત સામયિક કાર્યના રેખા સ્પેક્ટ્રમને નિર્ધારિત કરે છે. ઇનવર્સ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તમને તેના સ્પેક્ટ્રમમાંથી ટાઇમ ફંક્શનનું પુનઃનિર્માણ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ પરિવર્તનોને સામાન્ય રીતે અનુક્રમે DFT અને ODFT તરીકે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. DFT નો ઉપયોગ સામયિક કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે અને તે ફોરિયર શ્રેણીના સિદ્ધાંતમાંથી મેળવી શકાય છે. ચાલો x0(t) ને પીરિયડ P અને ફ્રીક્વન્સી f0 = 1/P સાથે સતત સામયિક ફંક્શન હોઈએ જેથી કરીને ફંક્શન x0(t) ને ફોરિયર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે: જ્યાં વિસ્તરણ ગુણાંક X0(n) સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે સામાન્ય રીતે x0(t) એ વાસ્તવિક કાર્ય છે, અને પછી X0(n) જટિલ છે (પરંતુ આ પ્રતિબંધ જરૂરી નથી). કારણ કે આપણે x0 ને સમયના કાર્ય તરીકે માનીએ છીએ, X0(n) ને x0(t) નું જટિલ વર્ણપટ કહી શકાય. X0(n) ના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ પણ ઘટકોના કંપનવિસ્તાર અને તબક્કા શોધી શકે છે જે ઓસિલેશન x0(t) બનાવે છે. ચાલો સામયિક કાર્ય x0(t) ના વિવેકીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ. આ ફંક્શનને વિશિષ્ટ રીતે અલગ કરવા માટે, તેના સ્પેક્ટ્રમમાં ચોક્કસ આવર્તન f1 કરતાં વધુ આવર્તન ધરાવતા ઘટકો ન હોવા જોઈએ, એટલે કે. જ્યાં n1 એ n નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય છે જે આવર્તન f1 નો ઉલ્લેખ કરે છે. અંજીરમાં. 1 આવા મર્યાદિત સ્પેક્ટ્રમ અને કંપન કે જેને તે અનુરૂપ છે તે દર્શાવે છે. સેમ્પલિંગ અંતરાલ T બરાબર છે તેથી સમયગાળા દીઠ નમૂનાઓની સંખ્યા હશે ફિગ. 1. મર્યાદિત આવર્તન બેન્ડ અને તેના સ્પેક્ટ્રમ X0(n) સાથે સામયિક કાર્ય x0(t). 1 વિવેકીકરણના પરિણામે, અમે ફોર્મના Tની તુલનામાં સામયિક ઓસિલેશન નોર્મલાઇઝ્ડ મેળવીએ છીએ આ ઓસિલેશન તેના સમયગાળાની સમાન અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. x(t/T) સામયિક કાર્ય હોવાથી, સંબંધ (2) નો ઉપયોગ ફ્યુરિયર શ્રેણીના ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે થાય છે. (વિભાજકમાં P ને /V સાથે બદલવું અને એકીકરણની મર્યાદા સામાન્ય ચલમાં સંક્રમણને અનુરૂપ છે.) અભિવ્યક્તિ (3) ને બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ તે જાણીતું છે છેલ્લે, એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે વ્યાખ્યા દ્વારા x(k) ને X(n) સાથે જોડતો સંબંધ સીધો ફોર્મ્યુલા (1) થી મેળવી શકાય છે, જો આપણે t=kT ને બદલીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ કે x0(t) ફંક્શનના વર્ણપટની મર્યાદિત પહોળાઈ સાથે, સરવાળો મર્યાદિત સંખ્યામાં પદો સમાવે છે. તેથી, એ નોંધવું જોઈએ કે x(k) એ સામયિક કાર્ય છે, એટલે કે. અને તે જ રીતે હકીકત એ છે કે સ્પેક્ટ્રમ સામયિક છે તે કોઈપણ વિવેકિત કાર્યના સ્પેક્ટ્રમની સામયિકતા દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે, અને તેની સ્વતંત્ર પ્રકૃતિ એ હકીકતને કારણે છે કે સ્વતંત્ર કાર્ય પોતે પણ સામયિક છે. તેથી, જ્યારે સામયિક ફંક્શન x0(t) ને અલગ પાડતા હોય, ત્યારે સંબંધ (4) સ્પેક્ટ્રમ X(n) શોધવા માટે નમૂનાઓ x0(t) નો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે અંતરાલ 0 ≤ n ≤ N - 1 સ્પેક્ટ્રમ X0 ની બરાબર બરાબર છે. (n) મૂળ સામયિક કાર્યનું. ફંક્શન x(k) અને તેનું સ્પેક્ટ્રમ ગ્રાફિકલી ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 2. સંબંધ (5.4) નમૂનાના પ્રમેયના આધારે મેળવવામાં આવ્યો હોવાથી, તે મૂળ અભિન્ન સંબંધ (2) ની સમકક્ષ સચોટ અને આર્થિક (ગણતરીમાં) છે અને તેનો ઉપયોગ કમ્પ્યુટર પર વિસ્તરણ ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. અમે સંબંધોને અનુક્રમે (4) અને (5) ડિસ્ક્રીટ ફૌરીયર ટ્રાન્સફોર્મ (DFT) અને ઇન્વર્સ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (IDFT) કહીશું. નોંધ કરો કે ચલ n અહીં શૂન્યથી N-1 સુધી બદલાય છે. પરિણામી સ્પેક્ટ્રમ નીચે પ્રમાણે અર્થઘટન કરી શકાય છે. પ્રથમ (N/2-1) પોઈન્ટ X(n) પોઝીટીવ ફ્રીક્વન્સીઝ પર (N/2 - 1) વર્ણપટ રેખા X0(n) ને અનુરૂપ છે, જેમ કે ફિગમાં બતાવેલ છે. 5.3, અને છેલ્લા (N/2-1) પોઈન્ટ X(n) નકારાત્મક ફ્રીક્વન્સીઝ પર (N/2-1) વર્ણપટ રેખાઓને અનુરૂપ છે. સંબંધો (4) અને (5) દ્વારા આપવામાં આવેલ રૂપાંતરણની જોડી પણ અન્ય સ્વરૂપમાં થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગુણક 1/N અને ઘાતાંકનું બાદબાકીનું ચિહ્ન પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત રૂપાંતરણ બંનેમાં લખી શકાય છે, સામાન્ય અર્થ બદલાતો નથી. સ્વાભાવિક રીતે, આ કિસ્સામાં સ્પેક્ટ્રમને ફોર્મ્યુલા (2) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરેલ એક સાથે સીધી ઓળખી શકાતી નથી. કેટલીકવાર બંને રૂપાંતરણ સમાન પરિબળો (1 / N)1/2 સાથે આપવામાં આવે છે. ફિગ. 2. વિવેકિત સામયિક કાર્ય x(k) અને તેના સામયિક સ્પેક્ટ્રમ X(n). ફિગ. 3. ફોરિયર શ્રેણી અને DFT ના ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ. DFT ના ગુણધર્મો ડીએફટીના કેટલાક ગુણધર્મો સિગ્નલ પ્રોસેસિંગના વ્યવહારિક મુદ્દાઓમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. રેખીયતા જો xp(n) અને ur(n) સામયિક અનુક્રમો છે (દરેક N નમૂનાના સમયગાળા સાથે), અને Xp(k) અને Yp(k) તેમના DFT છે, તો ક્રમ xp(n) + નું ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ + ur(n) એ Хр(k) + Yp(k) ની બરાબર છે. આ મર્યાદિત લંબાઈના સિક્વન્સ માટે પણ સાચું છે. શિફ્ટ જો ક્રમ xp(n) એ N નમૂનાઓના સમયગાળા સાથે સામયિક હોય, અને તેનો DFT Xp(k) ની બરાબર હોય, તો xp(n-n0) ફોર્મના સામયિક અનુક્રમનો DFT સમાન હશે. ફિગ. 4. શિફ્ટ કરેલ ક્રમના DFT ની વ્યાખ્યા તરફ. મર્યાદિત લંબાઈના ક્રમનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, ક્રમના સમયની પાળીની વિશિષ્ટ પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે. તેથી, FIG માં. 4, a લંબાઈ N નમૂનાઓનો મર્યાદિત ક્રમ x(n) દર્શાવે છે. ત્યાં, ક્રોસ સમકક્ષ સામયિક ક્રમ xp(n) ના નમૂનાઓ પણ દર્શાવે છે, જે x(n) જેવો જ DFT ધરાવે છે. શિફ્ટ કરેલ ક્રમ x(n - n0), અને n0 ના DFT શોધવા માટે< N, следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность Хр(n - n0) и в качестве эквивалентной сдвинутой конечной последовательности (имеющей ДПФ j принять отрезок последовательности хр(n - n0) в интервале 0 ≤ n ≤ N - 1. Таким образом, с точки зрения ДПФ последовательность х(n – n0) получается путем кругового сдвига элементов последовательности х(n) на n0 отсчетов સમપ્રમાણતાના ગુણધર્મો જો v/V નમૂનાઓના સમયગાળા સાથેનો સામયિક ક્રમ xp(n) વાસ્તવિક હોય, તો તેનો DFT xp(k) નીચેની સમપ્રમાણતા શરતોને સંતોષે છે: સમાન સમાનતાઓ N-બિંદુ DFT X(k) ધરાવતા મર્યાદિત વાસ્તવિક ક્રમ x(n) માટે માન્ય છે. જો આપણે ક્રમ xp(n) માટે વધારાની સમપ્રમાણતા શરત રજૂ કરીએ, એટલે કે, ધારો કે પછી તે તારણ આપે છે કે Xp(k) માત્ર વાસ્તવિક હોઈ શકે છે. આપણે મોટાભાગે વાસ્તવિક સિક્વન્સનો સામનો કરવો પડતો હોવાથી, એક DFT ની ગણતરી કરીને, અમે સમપ્રમાણતા ગુણધર્મો (6) નો ઉપયોગ કરીને બે સિક્વન્સનો DFT મેળવી શકીએ છીએ. ચાલો અનુક્રમે N નમૂનાઓ અને N-બિંદુ DFTs Хр(k) અને Yp(k) ના સમયગાળા સાથે વાસ્તવિક સામયિક અનુક્રમો xp(n) અને yp(n) ને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો ફોર્મનો જટિલ ક્રમ zp(n) રજૂ કરીએ તેનું DFT બરાબર છે સમાનતાના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરીને (10), અમે મેળવીએ છીએ વાસ્તવિક ભાગો Xp(k) અને Yp(k) સપ્રમાણ છે, અને કાલ્પનિક ભાગો પ્રતિસપ્રમાણ છે, તેથી તેઓ સરવાળા અને બાદબાકીની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી અલગ કરી શકાય છે: તેથી, એક N-બિંદુ DFT ની ગણતરી કરીને, લંબાઈ N નમૂનાઓના બે વાસ્તવિક ક્રમને એક જ સમયે રૂપાંતરિત કરવું શક્ય છે. જો આ સિક્વન્સ પણ સપ્રમાણ હોય, તો તેમના DFT મેળવવા માટે જરૂરી ઑપરેશન્સની સંખ્યા વધુ ઘટાડી શકાય છે. સંબંધિત માહિતી. વર્તમાન ઇમેજની પ્રમાણભૂત સાથે સરખામણી કરવાની પરંપરાગત "એન્ટ્રી લેવલ" ટેકનિક બ્રાઇટનેસના દ્વિ-પરિમાણીય કાર્યો (અલગ દ્વિ-પરિમાણીય તીવ્રતા મેટ્રિસિસ) તરીકે છબીઓને જોવા પર આધારિત છે. આ કિસ્સામાં, ક્યાં તો છબીઓ વચ્ચેનું અંતર અથવા તેમની નિકટતા માપવામાં આવે છે. એક નિયમ તરીકે, છબીઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવા માટે, એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે તીવ્રતાના તફાવતોના મોડ્યુલો અથવા ચોરસનો સરવાળો છે: ગણતરીઓની સંખ્યાને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકે તેવી પદ્ધતિઓમાંની એક એ છે કે તેમની વચ્ચેના જુદા જુદા ઑફસેટ્સ પર બે ઈમેજોના સંયોગના માપની ગણતરી કરવા માટે ફૌરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ અને ડિસક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સનો ઉપયોગ. આ કિસ્સામાં, ગણતરીઓ એકબીજાની તુલનામાં ઇમેજ શિફ્ટના વિવિધ સંયોજનો માટે એકસાથે થાય છે. મોટી સંખ્યામાં લાઇબ્રેરીઓની હાજરી કે જે ફૌરીયર ટ્રાન્સફોર્મ્સને અમલમાં મૂકે છે (તમામ પ્રકારના ઝડપી સંસ્કરણોમાં) ઇમેજ કમ્પેરિઝન અલ્ગોરિધમ્સના અમલીકરણને બહુ મુશ્કેલ પ્રોગ્રામિંગ કાર્ય નથી બનાવે છે. નોંધ: ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (ℱ) એ એક ઓપરેશન છે જે વાસ્તવિક વેરીએબલના એક ફંક્શનને બીજા ફંક્શન સાથે સાંકળે છે, વાસ્તવિક ચલ પણ. આ નવી સુવિધામૂળ ફંક્શનને પ્રાથમિક ઘટકોમાં વિઘટન કરતી વખતે ગુણાંક ("એમ્પ્લીટ્યુડ્સ")નું વર્ણન કરે છે - હાર્મોનિક સ્પંદનોવિવિધ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે. વાસ્તવિક ચલના ફંક્શન fનું ફ્યુરિયર રૂપાંતર અવિભાજ્ય છે અને તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે: વિવિધ સ્ત્રોતો એવી વ્યાખ્યાઓ આપી શકે છે જે અભિન્નની સામે ગુણાંકની પસંદગીમાં ઉપરથી અલગ હોય છે, તેમજ ઘાતાંકમાં “−” ચિહ્ન. પરંતુ તમામ ગુણધર્મો સમાન હશે, જો કે કેટલાક સૂત્રોનો દેખાવ બદલાઈ શકે છે. વધુમાં, આ ખ્યાલના વિવિધ સામાન્યીકરણો છે. આ કિસ્સામાં વ્યસ્ત રૂપાંતરણ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: પહેલાની જેમ, માં વિવિધ સ્ત્રોતોબહુ-પરિમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની વ્યાખ્યાઓ અવિભાજ્ય પહેલા સ્થિરાંકની પસંદગીમાં અલગ હોઈ શકે છે. વિપરીત રૂપાંતરણ: ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ એક રેખીય રૂપાંતર છે જે સમયના નમૂનાના વેક્ટરને સમાન લંબાઈના વર્ણપટના નમૂનાઓના વેક્ટરમાં રૂપાંતરિત કરે છે. આમ રૂપાંતરણને સપ્રમાણ ગુણાકાર તરીકે અમલમાં મૂકી શકાય છે ચોરસ મેટ્રિક્સવેક્ટર માટે: અને તેમ છતાં સમાન ગુણધર્મોઘણામાં સહજ છે રેખીય પરિવર્તનો, વ્યવહારુ ઉપયોગ માટે, કન્વોલ્યુશન ઓપરેશનની ગણતરી કરવા માટે, અમારી વ્યાખ્યા મુજબ, સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે દો સોફ્ટવેર વપરાય છે ટ્યુટોરીયલ . સેન્ટ પીટર્સબર્ગ SPGUITMO 2005. 46 પૃ., પછી સતત સ્પેક્ટ્રમ શોધવા માટે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરો, પછી તેને અલગ કરો. વિપરીત રૂપાંતરણ માટે સમાન પ્રક્રિયાને અનુસરવી આવશ્યક છે. એક અલગ સિગ્નલથી અલગ સ્પેક્ટ્રમમાં સીધું સંક્રમણ અને તેનાથી વિપરિત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને શક્ય છે. ચાલો આપણે મર્યાદિત અવધિના સતત સંકેતને ધ્યાનમાં લઈએ જે સ્વતંત્રતાના સમાન ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે આ સિગ્નલ માટે આપણે કોટેલનિકોવ શ્રેણીમાં વિસ્તરણ લખી શકીએ: ઉપયોગ કરીને સામાન્ય રૂપાંતરચાલો આ સિગ્નલનું ફોરિયર સ્પેક્ટ્રમ શોધીએ: આ સૂત્રમાં ઇન્ટિગ્રલની સીધી ગણતરી એ શ્રમ-સઘન પ્રક્રિયા છે. જો કે, આ બીજી રીતે કરવું મુશ્કેલ નથી. સ્પેક્ટ્રમનો વિચાર કરો જે અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી થાય છે તેના પર ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ લાગુ કરવાથી, આપણે શોધીએ છીએ કે તે સમય કાર્યને અનુરૂપ છે દેખીતી રીતે, વિપરીત સંબંધ પણ સાચો છે વિલંબ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ (3.2) ને (3.1) માં બદલીને, અમે સ્પેક્ટ્રમ માટે અંતિમ અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પર જવા માટે, અભિવ્યક્તિ (3.3) માં સ્પેક્ટ્રમ મૂલ્યોની ગણતરી તમામ આવર્તન મૂલ્યો માટે નહીં, પરંતુ સ્વતંત્ર (નમૂના લીધેલ) મૂલ્યો માટે કરવાની જરૂર છે: પરિણામે, અમે સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટે અંતિમ સૂત્ર મેળવીએ છીએ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ગુણધર્મો ઘણી રીતે પરંપરાગત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ગુણધર્મો જેવા જ છે. ચાલો આપણે ફક્ત એક વિશિષ્ટ મિલકતની નોંધ લઈએ, જે સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની સામયિકતા કહી શકાય. પૂર્ણાંક ક્યાં છે તે માટે સૂત્ર (3.4) દ્વારા નિર્ધારિત મૂલ્યને ધ્યાનમાં લો: આમ, સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે સામયિક કાર્યસમાન સમયગાળા સાથેની આવર્તન આ ગુણધર્મ નમૂનારૂપ સંકેતોના સ્પેક્ટ્રમની સામયિકતાની મિલકત સમાન છે, જેની ચર્ચા પ્રકરણમાં કરવામાં આવી હતી. 2. ચાલો હવે ઇન્વર્સ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની વ્યુત્પત્તિ તરફ આગળ વધીએ, જે આપણને સ્પેક્ટ્રમ સેમ્પલમાંથી સિગ્નલ સેમ્પલ નક્કી કરવા દે છે. આ કરવા માટે, આપણે સામાન્ય ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અમે સિગ્નલની સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા કોટેલનિકોવ શ્રેણીના સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ અને ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ઇન્ટિગ્રલ માં અવેજી કરો અભિવ્યક્તિમાં અવિભાજ્ય અગાઉ ગણતરી કરેલ પૂર્ણાંક (3.2) જેવું જ છે. આ સામ્યતાનો ઉપયોગ કરીને, અમે લખીએ છીએ (3.6) ને (3.5) માં બદલીને, આપણે સમય કાર્ય માટે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ સંબંધમાં ધારીએ છીએ, આપણે એક અલગ સિગ્નલના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે એક સૂત્ર મેળવીએ છીએ, એટલે કે, આપણે ઇન્વર્સ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પર પહોંચીએ છીએ. જ્યાં A 0 થી મૂલ્યો લે છે કેટલીકવાર, નોટેશનની સગવડ માટે, ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની સામયિકતા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અભિવ્યક્તિમાં સમીકરણની મર્યાદા (3.8) બદલવામાં આવે છે અને ઇન્વર્સ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફોર્મમાં લખવામાં આવે છે. સમજાવવા માટે, નમૂનારૂપ ત્રિકોણાકાર પલ્સ પર સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ લાગુ કરો (ફિગમાં પાંચ નમૂના મૂલ્યો દ્વારા વર્ણવેલ છે. ચાલો આ અભિવ્યક્તિને સ્વતંત્ર ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (3.4) માટેના સૂત્રમાં અલગ સિગ્નલ માટે બદલીએ. સરખામણી માટે, ચાલો શોધીએ સ્પેક્ટ્રલ ઘનતાપ્રારંભિક ત્રિકોણાકાર નાડી: તે જોવાનું સરળ છે કે અલગ સ્પેક્ટ્રમ (3.11) ત્રિકોણાકાર પલ્સ (3.12) ની વર્ણપટની ઘનતાનું ચોક્કસ વર્ણન કરતું નથી. મૂલ્યો ત્રિકોણાકાર પલ્સ સ્પેક્ટ્રમ (ફિગ. 3.1, b) ના અનુરૂપ મૂલ્યોથી સહેજ અલગ છે. હવે ચાલો સ્પેક્ટ્રમ (3.11) ના અલગ મૂલ્યોને વ્યસ્ત અલગ ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (3.8) માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ: સ્વતંત્ર સ્પેક્ટ્રમના મૂલ્યો અને સતત સ્પેક્ટ્રમના મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત હોવા છતાં, પ્રાપ્ત પરિણામ મૂળ સ્વતંત્ર સિગ્નલ (3.11) ના સૂત્ર સાથે સંપૂર્ણપણે એકરુપ છે. માનવામાં આવેલું ઉદાહરણ બતાવે છે કે સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ હંમેશા મૂળ સતત સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમનું ચોક્કસ વર્ણન કરતું નથી, જેમ કે ચોખા. 3.1. નમૂનારૂપ ત્રિકોણાકાર પલ્સનું ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ નમૂનારૂપ સિગ્નલ હંમેશા મૂળ સતત સિગ્નલનું ચોક્કસ વર્ણન કરતું નથી. જો કે, એક અલગ સિગ્નલ અને તેના અલગ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ વચ્ચેનો સંબંધ હંમેશા એક-થી-એક હોય છે અને ડાયરેક્ટ અને ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ માટેનું ફોર્મ્યુલા કોઈપણ સંખ્યા માટે કડક હોય છે. અલગ મૂલ્યો. તેથી, સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સનું ઉપકરણ સ્વતંત્ર મહત્વ ધરાવે છે અને તેને કોઈપણ સંખ્યાત્મક ક્રમમાં લાગુ કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, અમૂર્ત માટે સંખ્યા ક્રમસેમ્પલિંગ અંતરાલ અને સિગ્નલ અવધિ માટેના મૂલ્યો અર્થહીન છે. તેથી, સૂત્ર (3.4) માં સરવાળાની સામેના ગુણાંકને અવગણવામાં આવે છે, સિગ્નલ અને સ્પેક્ટ્રમના સંદર્ભ મૂલ્યો દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે અને સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટેનું સૂત્ર ફોર્મમાં લખાયેલું છે. આ કિસ્સામાં, વિપરીત અલગ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું સ્વરૂપ છે સૂત્ર (3.14) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ મૂલ્યો પરિબળ દ્વારા સતત ઓસિલેશન સ્પેક્ટ્રમના નમૂના મૂલ્યોથી અલગ પડે છે. નમૂનાના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે, તમારે સૂત્ર (3.14) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ મૂલ્યોને સમયના નમૂનાના અંતરાલના મૂલ્ય દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે: ચાલો બતાવીએ કે પરિવર્તન (3.14), (3.15) પરસ્પર વિપરિત છે. આ કરવા માટે, ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (3.14) નો ઉપયોગ કરીને મનસ્વી સંખ્યાત્મક ક્રમ લો, ક્રમ શોધો અને તેના પર ઇનવર્સ ડિસ્ક્રીટ ટ્રાન્સફોર્મ લાગુ કરો. ફોરિયર (3.15). અમે પરિણામી ક્રમ સૂચવીએ છીએ ચાલો સમીકરણનો ક્રમ બદલીએ અને આ અભિવ્યક્તિને સહેજ રૂપાંતરિત કરીએ: અભિવ્યક્તિનો આંતરિક સરવાળો (3.16) શૂન્ય જો બરાબર છે અને જો બરાબર છે તેથી, જ્યારે, સંખ્યા ક્રમ એકબીજા સાથે મેળ ખાય છે. આમ, જ્યારે કોઈ પણ સંખ્યાત્મક ક્રમ પર અનુક્રમે લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત અલગ ફ્યુરિયર રૂપાંતરણ સમાન ક્રમમાં પરિણમે છે. ચાલો આ મુદ્દાને સૌથી સરળ ઉદાહરણો સાથે સમજાવીએ. 1. સૌથી સરળ અલગ સિગ્નલને ધ્યાનમાં લો, જેમાં a ની બરાબર એક નમૂના મૂલ્યનો સમાવેશ થાય છે. આ સરળ ક્રમને અલગ ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફોર્મ્યુલા (3.14) માં બદલીને, આપણે આ રીતે, વ્યક્તિનું અલગ ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ મેળવીએ છીએ. સંખ્યાત્મક મૂલ્યસમાન મૂલ્યની સમાન. સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો બીજો મહત્વનો ઉપયોગ એ આપેલ આવર્તન પ્રતિભાવ સાથે ફિલ્ટરના આઉટપુટ પર સિગ્નલની ગણતરી છે. જો ઇનપુટ સિગ્નલ આપવામાં આવે છે, તો તેના માટે એક અલગ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરી શકાય છે. , આપણે ફિલ્ટરના આઉટપુટ પર સિગ્નલ શોધી શકીએ છીએ. જો ઇનપુટ સિગ્નલનો સમયગાળો લાંબો હોય, તો તેને ભાગોમાં સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, ઇનપુટ સિગ્નલના પ્રથમ N નમૂનાઓ લો, તેમના સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરો અને, ફિલ્ટરના ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ દ્વારા ગુણાકાર કર્યા પછી, આઉટપુટ સિગ્નલના પ્રથમ N નમૂનાઓની ગણતરી કરવા માટે ઇન્વર્સ ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરો. આ પછી, ઇનપુટ સિગ્નલના આગળના N નમૂનાઓ સમાન રીતે પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે, વગેરે. સિગ્નલ પ્રક્રિયાની ચોકસાઈ વધારવા માટે, નમૂનાઓની પ્રક્રિયા કરેલ શ્રેણી આંશિક રીતે ઓવરલેપ થઈ શકે છે. સિગ્નલ પ્રોસેસિંગની આ પદ્ધતિનો ફાયદો એ છે કે ફિલ્ટરના આવર્તન પ્રતિભાવના પ્રકાર પરના કોઈપણ નિયંત્રણોની ગેરહાજરી. ઉદાહરણ તરીકે, આવર્તન પ્રતિભાવ એક સંપૂર્ણ લંબચોરસ આકાર હોઈ શકે છે, જે પરંપરાગત ફિલ્ટર્સનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત કરી શકાતો નથી. સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલ પ્રોસેસિંગને ડિજિટલ ફિલ્ટરિંગ ઇન કહી શકાય નહીં દરેક અર્થમાંશબ્દો રીઅલ ટાઇમમાં કાર્યરત પરંપરાગત ડિજિટલ ફિલ્ટર્સ સિગ્નલ આવતાંની સાથે તેની સતત પ્રક્રિયા કરે છે, અને ડિસક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને આઉટપુટ સિગ્નલની ગણતરી સમગ્ર ઇનપુટ સિગ્નલ અથવા ઓછામાં ઓછી N સેમ્પલની પ્રથમ શ્રેણીની જાણ થાય તે પછી જ કરી શકાય છે. તેથી, જ્યારે સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે આઉટપુટ સિગ્નલ માત્ર ચોક્કસ સાથે જ મેળવી શકાય છે. ઇનપુટ સિગ્નલની તુલનામાં વિલંબ. જો કે, સંખ્યાબંધ વ્યવહારુ કાર્યક્રમોઆઉટપુટ સિગ્નલનો આટલો વિલંબ નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવતો નથી, અને પછી સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ યોગ્ય હોવાનું બહાર આવે છે.ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની જટિલ રજૂઆત.
ફાસ્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ.
દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ.
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને કન્વોલ્યુશન.
ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં ફિલ્ટરિંગ છબીઓ.
d(X,Y) = SUM (X - Y)^2
જો, બે ઈમેજોની સાદી સરખામણી ઉપરાંત, એક ઈમેજના ટુકડાની બીજી ઈમેજમાં પોઝિશન શોધવાની સમસ્યાને હલ કરવી જરૂરી છે, તો ક્લાસિકલ "એન્ટ્રી-લેવલ" પદ્ધતિ, જેમાં તમામ કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી અને ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે. સ્પષ્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંતર, નિયમ તરીકે, મોટી સંખ્યામાં જરૂરી ગણતરીઓને કારણે વ્યવહારિક ઉપયોગમાં નિષ્ફળ જાય છે. સમસ્યાનું નિવેદન
ઉદાહરણ તરીકે, શોધો: છબીમાં
છબીઓ વચ્ચેના માપ તરીકે સહસંબંધ
વ્યાખ્યા અનુસાર, સહસંબંધ
સમર્પિત ગણિત અને ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમથી આ જથ્થો જાણીતો છે રેખીય જગ્યાઓ, જ્યાં તેને સ્કેલર ઉત્પાદન કહેવામાં આવે છે. અમે છબીઓ વચ્ચેના માપ તરીકે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું: m(X,Y) = SUM (X * Y) / (SQRT (SUM X ^2) * SQRT (SUM Y ^2))
અથવા m(X,Y) =
આ જથ્થા વેક્ટરના સ્કેલર પ્રોડક્ટના ઑપરેશનમાંથી મેળવવામાં આવે છે (બહુપરિમાણીય જગ્યામાં છબીઓને વેક્ટર તરીકે ધ્યાનમાં લેતા). અને તે પણ વધુ - સમાન સૂત્ર પ્રમાણભૂત છે આંકડાકીય સૂત્રબે સંભાવના વિતરણોના સંયોગની પૂર્વધારણા માટે માપદંડ.
છબીના ટુકડાઓ વચ્ચેના સહસંબંધની ગણતરી કરતી વખતે, જો એક છબી બીજી કરતા નાની હોય, તો આપણે માત્ર છેદતા ભાગોના ધોરણોના મૂલ્ય દ્વારા વિભાજિત કરીશું.બે કાર્યોનું કન્વોલ્યુશન
વ્યાખ્યા મુજબ, બે ફંકશન F અને Gના કન્વોલ્યુશનને ફંક્શન FxG કહેવામાં આવે છે:
ચાલો G’(t) = G(-t) અને F’(t) = F(-t), તો સમાનતાઓની માન્યતા સ્પષ્ટ છે:
તે પણ સ્પષ્ટ છે કે FxG’(t) એ એક વેક્ટરને સ્ટેપ t દ્વારા બીજા સાથે સ્થાનાંતરિત કરવાના પરિણામે મેળવેલા સહસંબંધની બરાબર છે (આ સહસંબંધ સૂત્રમાં મૂલ્યોને સ્પષ્ટપણે બદલીને સરળતાથી ચકાસી શકાય છે). 
બહુપરીમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ
સ્પેસ ℝ^n પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યોનું ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: 
ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ
ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (અંગ્રેજી સાહિત્યમાં ડીએફટી, ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ) એ ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ અલ્ગોરિધમ્સમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતા ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સમાંનું એક છે (તેના ફેરફારો MP3માં ઓડિયો કમ્પ્રેશન, JPEG માં ઈમેજ કમ્પ્રેશન વગેરેમાં વપરાય છે), તેમજ સ્વતંત્ર (ઉદાહરણ તરીકે, ડિજિટાઇઝ્ડ એનાલોગ) સિગ્નલમાં ફ્રીક્વન્સીઝના વિશ્લેષણથી સંબંધિત અન્ય ક્ષેત્રો. ઇનપુટ તરીકે અલગ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની જરૂર છે સ્વતંત્ર કાર્ય. આવા કાર્યો ઘણીવાર સેમ્પલિંગ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે (સેમ્પલિંગ મૂલ્યોમાંથી સતત કાર્યો). ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ ઉકેલવામાં મદદ કરે છે વિભેદક સમીકરણોઆંશિક ડેરિવેટિવ્ઝમાં અને કન્વોલ્યુશન જેવી કામગીરી કરે છે. ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સનો પણ સક્રિયપણે ઉપયોગ આંકડાઓમાં, સમય શ્રેણીના વિશ્લેષણમાં થાય છે. બહુ-પરિમાણીય સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ છે. અલગ રૂપાંતરણ સૂત્રો
પ્રત્યક્ષ રૂપાંતર: 
કન્વોલ્યુશનની ગણતરી કરવા માટે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ
એક નોંધપાત્ર ગુણધર્મોફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ એ વ્યાખ્યાયિત બે કાર્યોના સહસંબંધની ઝડપથી ગણતરી કરવાની ક્ષમતા છે, કાં તો વાસ્તવિક દલીલ પર (ઉપયોગ કરતી વખતે શાસ્ત્રીય સૂત્ર), અથવા મર્યાદિત રિંગ પર (જ્યારે અલગ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે).
જ્યાં
સમાનતાની શુદ્ધતા ચકાસવી ખૂબ જ સરળ છે - સ્પષ્ટપણે ફ્યુરિયર રૂપાંતરણને સૂત્રોમાં બદલીને અને પરિણામી સૂત્રોને ઘટાડીને સહસંબંધની ગણતરી માટે ફોરિયર રૂપાંતરણ કરે છે
પછી, અગાઉ બતાવ્યા પ્રમાણે,
જો ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મેશન અલ્ગોરિધમના અમલીકરણો દ્વારા ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જટિલ સંખ્યાઓ, તો પછી આવા પરિવર્તનોમાં બીજી નોંધપાત્ર મિલકત છે: FFT(G’) = CONJUGATE (FFT(G))
જ્યાં CONJUGATE (FFT(G)) એ મેટ્રિક્સ FFT(G) ના જોડાણ તત્વોથી બનેલું મેટ્રિક્સ છે
આમ, આપણને મળે છે સમસ્યા ઉકેલવા માટે ફોરિયર પરિવર્તન
m(X,Y) (i,j) =
અમે તે મેળવીએ છીએ
જ્યાં સમસ્યાના ઉકેલ માટે સૂત્રોનું સરળીકરણ
એક નમૂનો શોધવાની સમસ્યાને હલ કરતી વખતે, નમૂનાનું વધારાનું સામાન્યકરણ બિનજરૂરી છે, અને સામાન્ય ભાગ માટેના ધોરણની ગણતરી આ સામાન્ય ભાગમાં પિક્સેલ્સની તેજના સરવાળા અથવા ચોરસના સરવાળા દ્વારા બદલી શકાય છે. આ સામાન્ય ભાગમાં તેજ
જ્યારે એકબીજાની સાપેક્ષમાં (i,j) ખસેડવામાં આવે ત્યારે છબીઓ વચ્ચેના અંતરનો અંદાજ કાઢવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરતી વખતે m(X,Y) (i,j) =
અમે તે મેળવીએ છીએ
જ્યાં સંપૂર્ણ છબીમાં ટુકડો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ
નોંધ:
જ્યારે ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે મેટ્રિક્સ M પણ પોતાની વચ્ચેની ઈમેજીસના ચક્રીય શિફ્ટમાંથી તત્વો ધરાવે છે. તેથી, જો તમારે ચક્રીય ફ્રેમ શિફ્ટનું વિશ્લેષણ કરવાની જરૂર નથી, તો પછી શોધો મહત્તમ તત્વમેટ્રિક્સમાં M એ પ્રદેશ (0,0)-(N1-M1, N2-M2) સુધી મર્યાદિત હોવું જોઈએ. અમલીકરણ ઉદાહરણો
અમલમાં મૂકાયેલ અલ્ગોરિધમ્સ ઓપન સોર્સ FFTTools લાઇબ્રેરીનો ભાગ છે. ઇન્ટરનેટ સરનામું: github.com/dprotopopov/FFTTools
///
/// જાહેર મેટ્રિક્સ
સાહિત્ય
