રેખીય જગ્યાઓના સબસ્પેસના ઉદાહરણો. વેક્ટર જગ્યા

કોઈપણ માં રેખીય જગ્યા આવા સબસેટને ઓળખવું શક્ય છે વેક્ટર જે, જેમાંથી કામગીરીની તુલનામાં, પોતે એક રેખીય જગ્યા છે. આ કરી શકાય છે અલગ રસ્તાઓ, અને આવા સબસેટ્સનું માળખું રેખીય જગ્યા વિશે જ મહત્વપૂર્ણ માહિતી ધરાવે છે.

વ્યાખ્યા 2.1.સબસેટ રેખીય જગ્યા કહેવાય છે રેખીય સબસ્પેસ, જો નીચેની બે શરતો પૂરી થાય છે:

વ્યાખ્યા 2.1 અનિવાર્યપણે કહે છે કે રેખીય સબસ્પેસ કોઈપણ હોય છે સબસેટ આપેલ રેખીય જગ્યા, પ્રમાણમાં બંધ રેખીય કામગીરી, તે આ સબસેટ સાથે જોડાયેલા વેક્ટર પર રેખીય કામગીરી લાગુ કરવાથી સબસેટની બહાર પરિણામ મળતું નથી. ચાલો બતાવીએ કે રેખીય સબસ્પેસ એન સ્વતંત્ર ઑબ્જેક્ટ તરીકે, તે એમ્બિયન્ટ રેખીય જગ્યામાં ઉલ્લેખિત કામગીરીના સંદર્ભમાં એક રેખીય જગ્યા છે. ખરેખર, આ ક્રિયાઓ સમૂહના કોઈપણ ઘટકો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે, અને તેથી સબસેટના ઘટકો માટે એન. વ્યાખ્યા 2.1 વાસ્તવમાં તેમાંથી તત્વો માટે જરૂરી છે એનકામગીરીનું પરિણામ પણ હતું એચ. તેથી, માં ઉલ્લેખિત કામગીરીને સાંકડા સમૂહ પરની કામગીરી તરીકે ગણી શકાય એચ. સેટ પર આ કામગીરી માટે એનરેખીય જગ્યા axioms a)-b) અને e)-h) એ હકીકતને કારણે સંતુષ્ટ છે કે તેઓ માં માન્ય છે. વધુમાં, બે બાકીના સ્વયંસિદ્ધ પણ સંતુષ્ટ છે, કારણ કે, વ્યાખ્યા 2.1 અનુસાર, જો પછી:

1) અને 0- શૂન્ય વેક્ટર વી એન;

2) .

કોઈપણ રેખીય જગ્યામાં ત્યાં હંમેશા બે રેખીય સબસ્પેસ હોય છે: રેખીય જગ્યા પોતે અને નલ સબસ્પેસ {0}, એક તત્વનો સમાવેશ થાય છે 0. આ રેખીય સબસ્પેસ કહેવાય છે તમારા પોતાના નથી, જ્યારે અન્ય તમામ રેખીય સબસ્પેસ કહેવાય છે પોતાના ચાલો યોગ્ય રેખીય સબસ્પેસના ઉદાહરણો આપીએ.

ઉદાહરણ 2.1.ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના મુક્ત વેક્ટરની રેખીય અવકાશમાં, રેખીય સબસ્પેસ આના દ્વારા રચાય છે:

a) આપેલ પ્લેનની સમાંતર તમામ વેક્ટર;

b) આપેલ રેખાની સમાંતર તમામ વેક્ટર.

આ નીચેના વિચારણાઓ પરથી અનુસરે છે. મુક્ત વેક્ટરના સરવાળાની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે બે વેક્ટર અને તેમનો સરવાળો કોપ્લાનર છે (ફિગ. 2.1, a). તેથી, જો અને આપેલ સમતલની સમાંતર હોય, તો તેમનો સરવાળો સમાન સમતલની સમાંતર હશે. આ સ્થાપિત કરે છે કે પરિભાષા 2.1 ની a) શરત 1 સંતુષ્ટ છે. જો વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તો પરિણામ મૂળ એક સાથે વેક્ટર કોલિનિયર છે (ફિગ. 2.1,6). આ સાબિત કરે છે કે વ્યાખ્યા 2.1 ની શરત 2) સંતુષ્ટ છે. કેસ b) એ જ રીતે ન્યાયી છે.

લીનિયર સ્પેસ રેખીય સબસ્પેસ શું છે તેનું દ્રશ્ય રજૂઆત આપે છે. ખરેખર, અમે અવકાશમાં ચોક્કસ બિંદુને ઠીક કરીએ છીએ. પછી આ બિંદુમાંથી પસાર થતા વિવિધ વિમાનો અને જુદી જુદી સીધી રેખાઓ (ફિગ. 2.2) માંથી વિવિધ રેખીય સબસ્પેસને અનુરૂપ હશે.

તે એટલું સ્પષ્ટ નથી કે અન્ય કોઈ યોગ્ય સબસ્પેસ નથી. જો રેખીય સબસ્પેસમાં હોય એન ત્યાં કોઈ બિન-શૂન્ય વેક્ટર નથી, તો પછી એન - શૂન્ય રેખીય સબસ્પેસ, જે અયોગ્ય છે. જો માં એન બિન-શૂન્ય વેક્ટર છે, અને તેમાંથી કોઈપણ બે વેક્ટર છે એનસમરેખા છે, તો પછી આ રેખીય સબસ્પેસના તમામ વેક્ટર નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થતી કેટલીક રેખાના સમાંતર છે. આથી, એન કેસ b) માં વર્ણવેલ એક રેખીય સબસ્પેસ સાથે એકરુપ છે. જો માં એન ત્યાં બે નોન-કોલિનિયર વેક્ટર છે, અને કોઈપણ ત્રણ વેક્ટર કોપ્લાનર છે, તો આવી રેખીય સબસ્પેસના તમામ વેક્ટર નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થતા કેટલાક પ્લેનની સમાંતર છે. આ કેસ એ છે). લીનિયર સબસ્પેસમાં આવવા દો એનત્યાં ત્રણ નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર છે. પછી તેઓ રચે છે આધાર વી. કોઈપણ મુક્ત વેક્ટર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે રેખીય સંયોજન આ વેક્ટર્સ. આનો અર્થ એ છે કે તમામ મુક્ત વેક્ટર રેખીય સબસ્પેસમાં આવે છે એન, અને તેથી તે સાથે એકરુપ છે. આ કિસ્સામાં આપણે અયોગ્ય રેખીય સબસ્પેસ મેળવીએ છીએ. તેથી, તમામ eigensubspaceઓને પ્લેન અથવા નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 2.2.કોઈપણ ઉકેલ સજાતીય સિસ્ટમરેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLEA) થી પી માં ચલોને વેક્ટર તરીકે ગણી શકાય રેખીય અંકગણિત જગ્યાઓ . આવા તમામ વેક્ટરનો સમૂહ એક રેખીય સબસ્પેસ છે. વાસ્તવમાં, સજાતીય SLAE ના ઉકેલોને ઘટક મુજબ ઉમેરી શકાય છે અને તેનાથી ગુણાકાર કરી શકાય છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, એટલે કે માંથી વેક્ટર ઉમેરવાના નિયમો અનુસાર. ઓપરેશનનું પરિણામ ફરીથી એક સમાન SLAE નો ઉકેલ હશે. આનો અર્થ એ છે કે રેખીય સબસ્પેસને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટેની બંને શરતો સંતુષ્ટ છે.

સમીકરણમાં ઉકેલોનો સમૂહ છે, જે છે રેખીય સબસ્પેસ c. પરંતુ આ જ સમીકરણને અમુક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પ્લેનના સમીકરણ તરીકે ગણી શકાય. પ્લેન મૂળમાંથી પસાર થાય છે, અને પ્લેન પરના તમામ બિંદુઓના ત્રિજ્યા વેક્ટર રેખીય અવકાશમાં દ્વિ-પરિમાણીય સબસ્પેસ બનાવે છે

સજાતીય SLAE ના ઉકેલોનો સમૂહ

માં એક રેખીય સબસ્પેસ પણ બનાવે છે. તે જ સમયે, આ સિસ્ટમ તરીકે ગણી શકાય રેખાના સામાન્ય સમીકરણો અવકાશમાં, અમુક લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં ઉલ્લેખિત છે.. આ રેખા મૂળમાંથી પસાર થાય છે, અને તેના તમામ બિંદુઓના ત્રિજ્યા વેક્ટરનો સમૂહ એક-પરિમાણીય સબસ્પેસ બનાવે છે.

ઉદાહરણ 2.3.ક્રમના ચોરસ મેટ્રિસિસની રેખીય જગ્યામાં પી રેખીય સબસ્પેસ આના દ્વારા રચાય છે:

a) તમામ સપ્રમાણ મેટ્રિસિસ;

b) બધા ત્રાંસી-સપ્રમાણ મેટ્રિસિસ;

c) બધા ઉપલા (નીચલા) ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ.

આવા મેટ્રિક્સ ઉમેરતી વખતે અથવા સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરતી વખતે, આપણે સમાન પ્રકારનું મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ. તેનાથી વિપરીત, એકવચન મેટ્રિક્સનો સબસેટ એ રેખીય સબસ્પેસ નથી, કારણ કે બે એકવચન મેટ્રિક્સનો સરવાળો બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ હોઈ શકે છે:

ઉદાહરણ 2.4.સેગમેન્ટ પર સતત વિધેયોની રેખીય અવકાશમાં, નીચેની રેખીય સબસ્પેસને ઓળખી શકાય છે:

a) ફંક્શનનો સમૂહ જે અંતરાલ પર સતત હોય છે અને અંતરાલ (0,1) માં સતત ભિન્ન હોય છે (આ વિધાન વિભેદક કાર્યોના ગુણધર્મો પર આધારિત છે: વિભેદક કાર્યોનો સરવાળો એક વિભેદક કાર્ય છે, જે વિભેદકનું ઉત્પાદન છે. સંખ્યા દ્વારા કાર્ય એ વિભેદક કાર્ય છે);

b) તમામ બહુપદીઓનો સમૂહ;

c) ઘણા ડિગ્રીના તમામ બહુપદીઓ કરતાં વધારે નથી n.

રેખીય જગ્યા V નો ખાલી ન હોય તેવા સબસેટ L કહેવાય છે રેખીય સબસ્પેસજગ્યા V જો

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(ઉમેરવાની કામગીરીના સંદર્ભમાં સબસ્પેસ બંધ છે);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in Lઅને કોઈપણ સંખ્યા \lambda (વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની કામગીરીના સંદર્ભમાં સબસ્પેસ બંધ છે).

રેખીય સબસ્પેસ સૂચવવા માટે, અમે સંકેત L\triangleleft V નો ઉપયોગ કરીશું અને સંક્ષિપ્તતા માટે "રેખીય" શબ્દ છોડીશું.

નોંધો 8.7

1. વ્યાખ્યામાં શરતો 1, 2 ને એક શરત દ્વારા બદલી શકાય છે: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in Lઅને કોઈપણ સંખ્યાઓ \lambda અને \mu . અલબત્ત, અહીં અને વ્યાખ્યામાં શું છે અમે વાત કરી રહ્યા છીએઓ મનસ્વી સંખ્યાઓનંબર ફીલ્ડમાંથી જેના પર જગ્યા V વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

2. કોઈપણ રેખીય જગ્યા V માં બે રેખીય સબસ્પેસ છે:

એ) જગ્યા V પોતે, એટલે કે. V\ત્રિકોણ ડાબે V ;

b) શૂન્ય સબસ્પેસ \(\mathbf(o)\) જેમાં એક હોય છે શૂન્ય વેક્ટરજગ્યા V, એટલે કે . આ સબસ્પેસને અયોગ્ય કહેવામાં આવે છે, અને બાકીની બધી જગ્યાઓ યોગ્ય કહેવાય છે.

3. રેખીય જગ્યા V ની કોઈપણ સબસ્પેસ L તેનો સબસેટ છે: L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V, પરંતુ દરેક સબસેટ M\subset V એ રેખીય સબસ્પેસ નથી, કારણ કે તે રેખીય કામગીરીના સંદર્ભમાં બિન-બંધ હોઈ શકે છે.

4. રેખીય અવકાશ V ની સબસ્પેસ L એ પોતે જ એક રેખીય જગ્યા છે જેમાં વેક્ટરના ઉમેરા અને વેક્ટરના ગુણાકારની સંખ્યા V માં હોય છે, કારણ કે તેમના માટે 1-8 સ્વયંસિદ્ધ છે. તેથી, આપણે સબસ્પેસના પરિમાણ, તેના આધાર વગેરે વિશે વાત કરી શકીએ છીએ.

5. રેખીય અવકાશ V ના કોઈપણ સબસ્પેસ Lનું પરિમાણ જગ્યાના પરિમાણ કરતાં વધુ નથી V\colon\,\dim(L)\leqslant \dim(V). જો સબસ્પેસ L\triangleft V નું પરિમાણ સીમિત-પરિમાણીય જગ્યા V ના પરિમાણ જેટલું હોય (\dim(L)=\dim(V)), પછી સબસ્પેસ પોતે જ જગ્યા સાથે એકરુપ થાય છે: L=V.

આ પ્રમેય 8.2 થી અનુસરે છે (વેક્ટરની સિસ્ટમને આધાર પર પૂરક બનાવવા પર). ખરેખર, સબસ્પેસ L નો આધાર લઈને, અમે તેને જગ્યા V ના આધાર પર પૂરક બનાવીશું. જો આ શક્ય હોય, તો \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. રેખીય જગ્યા V ના કોઈપણ સબસેટ M માટે, રેખીય હલ એ V અને ની સબસ્પેસ છે M\સબસેટ \operatorname(Lin)(M)\ત્રિકોણ લેફ્ટ V.

ખરેખર, જો M=\varnothing (ખાલી સમૂહ), તો વ્યાખ્યા પ્રમાણે \operatorname(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), એટલે કે શૂન્ય સબસ્પેસ છે અને \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleft V. M\ne\varnothing દો. અમે તે સમૂહ સાબિત કરવાની જરૂર છે \operatorname(લિન)(M)તેના તત્વોને ઉમેરવા અને તેના તત્વોને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની કામગીરીના સંદર્ભમાં બંધ છે. યાદ કરો કે રેખીય શેલના તત્વો \operatorname(લિન)(M) M માંથી વેક્ટરના રેખીય સંયોજનો તરીકે સેવા આપે છે. વેક્ટર્સના રેખીય સંયોજનોનું રેખીય સંયોજન એ તેમનું રેખીય સંયોજન હોવાથી, પછી, બિંદુ 1 ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે \operatorname(લિન)(M) V નું સબસ્પેસ છે, એટલે કે. \operatorname(લિન)(M)\ત્રિકોણ ડાબે V. સમાવેશ M\સબસેટ \operatorname(Lin)(M)- સ્પષ્ટ છે, કારણ કે M માં કોઈપણ વેક્ટર \mathbf(v)\ ને રેખીય સંયોજન 1\cdot\mathbf(v) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, એટલે કે. સમૂહના તત્વ તરીકે \operatorname(લિન)(M).

7. રેખીય શેલ \operatorname(લિન)(L)સબસ્પેસ L\triangleleft V એ સબસ્પેસ L સાથે એકરુપ છે, એટલે કે. .

ખરેખર, કારણ કે રેખીય સબસ્પેસ L તેના વેક્ટર્સના તમામ સંભવિત રેખીય સંયોજનો ધરાવે છે, તો પછી \operatorname(Lin)(L)\સબસેટ L. વિરોધી સમાવેશ (L\સબસેટ \operatorname(Lin)(L))બિંદુ 6 થી અનુસરે છે. આનો અર્થ છે \operatorname(Lin)(L)=L.

રેખીય સબસ્પેસના ઉદાહરણો

ચાલો રેખીય જગ્યાઓના કેટલાક સબસ્પેસ સૂચવીએ, જેના ઉદાહરણો અગાઉ ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા હતા. ક્ષુલ્લક કિસ્સાઓ સિવાય રેખીય અવકાશના તમામ પેટાસ્પેસની યાદી બનાવવી અશક્ય છે.

1. જગ્યા \(\mathbf(o)\) જગ્યા V ના એક શૂન્ય વેક્ટરનો સમાવેશ કરે છે તે સબસ્પેસ છે, એટલે કે. \(\mathbf(o)\)\ટ્રાયેન્ગલ લેફ્ટ V.

2. ચાલો, પહેલાની જેમ, V_1,\,V_2,\,V_3 અનુક્રમે, એક સીધી રેખા પર, પ્લેન પર, અવકાશમાં વેક્ટર્સ (નિર્દેશિત સેગમેન્ટ્સ) ના સેટ હોઈએ. જો લાઇન પ્લેનની છે, તો પછી V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. તેનાથી વિપરિત, એકમ વેક્ટરનો સમૂહ એ રેખીય સબસ્પેસ નથી, કારણ કે જ્યારે વેક્ટરને એકની સમાન ન હોય તેવી સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે એક વેક્ટર મેળવીએ છીએ જે સમૂહ સાથે સંબંધિત નથી.

3. n-પરિમાણીય અંકગણિત જગ્યા \mathbb(R)^n માં, ફોર્મના "અર્ધ-શૂન્ય" કૉલમના સેટ L ને ધ્યાનમાં લો x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^Tશૂન્ય સમાન છેલ્લા (n-m) તત્વો સાથે. "અર્ધ-શૂન્ય" કૉલમનો સરવાળો એ જ પ્રકારની કૉલમ છે, એટલે કે. ઉમેરણ કામગીરી એલ માં બંધ છે. "અર્ધ-શૂન્ય" કૉલમને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાથી "અર્ધ-શૂન્ય" કૉલમ મળે છે, એટલે કે. સંખ્યા દ્વારા ગુણાકારની ક્રિયા L માં બંધ છે. એ કારણે L\ત્રિકોણ ડાબે\mathbb(R)^n, અને \dim(L)=m . તેનાથી વિપરિત, બિનશૂન્ય સ્તંભોનો સબસેટ \mathbb(R)^n એ રેખીય સબસ્પેસ નથી, કારણ કે શૂન્ય વડે ગુણાકાર શૂન્ય કૉલમ બનાવે છે જે પ્રશ્નમાં રહેલા સમૂહ સાથે સંબંધિત નથી. અન્ય સબસ્પેસ \mathbb(R)^n ના ઉદાહરણો આગળના ફકરામાં આપવામાં આવ્યા છે.

4. n અજ્ઞાત સાથેના સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોની જગ્યા \(Ax=o\) એ n-પરિમાણીય અંકગણિત અવકાશ \mathbb(R)^n નો સબસ્પેસ છે. આ સબસ્પેસનું પરિમાણ સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: \dim\(Ax=o\)=n-\operatorname(rg)A.

અસંગત પ્રણાલીના ઉકેલોનો સમૂહ \(Ax=b\) (b\ne o માટે ) એ સબસ્પેસ \mathbb(R)^n નથી, કારણ કે બે ઉકેલોનો સરવાળો અસંગત છે; સિસ્ટમ એ જ સિસ્ટમનો ઉકેલ નહીં હોય.

5. ક્રમ n ના ચોરસ મેટ્રિસિસની જગ્યા M_(n\times n) માં, બે ઉપગણો ધ્યાનમાં લો: સપ્રમાણ મેટ્રિસિસનો સમૂહ અને સમૂહ M_(n\times n)^(\text(kos))ત્રાંસુ-સપ્રમાણ મેટ્રિસિસ. સપ્રમાણ મેટ્રિક્સનો સરવાળો એ સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે. ઉમેરણ કામગીરી માં બંધ છે M_(n\times n)^(\text(sim)). સપ્રમાણ મેટ્રિક્સને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાથી પણ સપ્રમાણતા ભંગ થતી નથી, એટલે કે. મેટ્રિક્સને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની કામગીરી બંધ છે M_(n\times n)^(\text(sim)). પરિણામે, સપ્રમાણ મેટ્રિસિસનો સમૂહ ચોરસ મેટ્રિસિસની જગ્યાની જગ્યા હેઠળ છે, એટલે કે. M_(n\times n)^(\text(sim))\triangleft M_(n\times n). આ સબસ્પેસનું પરિમાણ શોધવું મુશ્કેલ નથી. માનક આધાર આના દ્વારા રચાય છે: l મુખ્ય કર્ણ પર એક જ બિનશૂન્ય (એકની સમાન) તત્વ સાથે મેટ્રિસિસ: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, તેમજ બે બિન-શૂન્ય (એકની સમાન) ઘટકો સાથેના મેટ્રિસેસ, મુખ્ય કર્ણના સંદર્ભમાં સપ્રમાણતા: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i, i+1,\ldots, n. કુલ આધાર હશે (n+(n-1)+\ldots+2+1= frac(n(n+1))(2))મેટ્રિસિસ આથી, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). તેવી જ રીતે આપણે તે મેળવીએ છીએ M_(n\times n)^(\text(kos))\triangleft M_(n\times n)અને \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

nમા ક્રમના એકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સનો સમૂહ એ સબસ્પેસ M_(n\times n) નથી, કારણ કે બે એકવચન મેટ્રિક્સનો સરવાળો બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જગ્યા M_(2\) માં વખત 2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદી P(\mathbb(R)) ની જગ્યામાં, આપણે સબસ્પેસની કુદરતી સાંકળ સૂચવી શકીએ છીએ

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

સમ બહુપદીનો સમૂહ (p(-x)=p(x)) એ P(\mathbb(R)) ની એક રેખીય સબસ્પેસ છે, કારણ કે બેક બહુપદીઓનો સરવાળો અને સંખ્યા દ્વારા એક સમાન બહુપદીનો ગુણાંક સમ હશે. બહુપદી વિષમ બહુપદીનો સમૂહ (p(-x)=-p(x)) પણ એક રેખીય જગ્યા છે. વાસ્તવિક મૂળ ધરાવતા બહુપદીઓનો સમૂહ એ રેખીય સબસ્પેસ નથી, કારણ કે આવા બે બહુપદીના ઉમેરાથી બહુપદીમાં પરિણમી શકે છે જેમાં વાસ્તવિક મૂળ નથી, ઉદાહરણ તરીકે, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. જગ્યા C(\mathbb(R)) માં તમે સબસ્પેસની કુદરતી સાંકળનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

P(\mathbb(R)) માં બહુપદીને \mathbb(R) પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યો તરીકે વિચારી શકાય છે. બહુપદી એ કોઈપણ ક્રમના તેના ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સતત કાર્ય હોવાથી, આપણે લખી શકીએ છીએ: P(\mathbb(R))\triangleft C(\mathbb(R))અને P_n(\mathbb(R))\triangleft C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). ત્રિકોણમિતિ દ્વિપદીઓની જગ્યા T_(\ઓમેગા) (\mathbb(R)) C^m(\mathbb(R)) ની સબસ્પેસ છે, કારણ કે ફંક્શનના કોઈપણ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tસતત છે, એટલે કે T_(\ઓમેગા)(\mathbb(R))\triangleft C^m(\mathbb(R)) \forall m\in \mathbb(N). સતત સામયિક કાર્યોનો સમૂહ C(\mathbb(R)) નો સબસ્પેસ નથી, કારણ કે બે સામયિક કાર્યોનો સરવાળો બિન-સામયિક કાર્ય હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, \sin(t)+\sin(\pi t).

રેખીય જગ્યા V નો ખાલી ન હોય તેવા સબસેટ L કહેવાય છે રેખીય સબસ્પેસજગ્યા V જો

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(ઉમેરવાની કામગીરીના સંદર્ભમાં સબસ્પેસ બંધ છે);

નોંધો 8.7

1. વ્યાખ્યામાં શરતો 1, 2 ને એક શરત દ્વારા બદલી શકાય છે: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in Lઅને કોઈપણ સંખ્યાઓ \lambda અને \mu . અલબત્ત, અહીં અને વ્યાખ્યામાં આપણે નંબર ફીલ્ડમાંથી મનસ્વી સંખ્યાઓ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ જેના પર જગ્યા V વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.

2. કોઈપણ રેખીય જગ્યા V માં બે રેખીય સબસ્પેસ છે:

એ) જગ્યા V પોતે, એટલે કે.

V\ત્રિકોણ ડાબે V ;

b) શૂન્ય સબસ્પેસ \(\mathbf(o)\) જગ્યા V ના એક શૂન્ય વેક્ટરનો સમાવેશ કરે છે, એટલે કે. . આ સબસ્પેસને અયોગ્ય કહેવામાં આવે છે, અને બાકીની બધી જગ્યાઓ યોગ્ય કહેવાય છે. 3. રેખીય જગ્યા V ની કોઈપણ સબસ્પેસ L તેનો સબસેટ છે: L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V

, પરંતુ દરેક સબસેટ M\subset V એ રેખીય સબસ્પેસ નથી, કારણ કે તે રેખીય કામગીરીના સંદર્ભમાં બિન-બંધ હોઈ શકે છે.

5. 4. રેખીય અવકાશ V ની સબસ્પેસ L એ પોતે જ એક રેખીય જગ્યા છે જેમાં વેક્ટરના ઉમેરા અને વેક્ટરના ગુણાકારની સંખ્યા V માં હોય છે, કારણ કે તેમના માટે 1-8 સ્વયંસિદ્ધ છે. તેથી, આપણે સબસ્પેસના પરિમાણ, તેના આધાર વગેરે વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. રેખીય અવકાશ V ના કોઈપણ સબસ્પેસ Lનું પરિમાણ અવકાશના પરિમાણ કરતાં વધુ નથી. જો સબસ્પેસ L\triangleft V નું પરિમાણ સીમિત-પરિમાણીય જગ્યા V (\dim(L)=\dim(V)) ના પરિમાણ જેટલું હોય, તો સબસ્પેસ પોતે જ જગ્યા સાથે મેળ ખાય છે: L=V .

7. રેખીય શેલ \operatorname(લિન)(L)સબસ્પેસ L\triangleleft V એ સબસ્પેસ L સાથે એકરુપ છે, એટલે કે. .

રેખીય સબસ્પેસના ઉદાહરણો

5. ક્રમ n ના ચોરસ મેટ્રિસિસની જગ્યા M_(n\times n) માં, બે સબસેટ્સ ધ્યાનમાં લો: સપ્રમાણ મેટ્રિસિસનો સમૂહ અને સમૂહ M_(n\times n)^(\text(kos))ત્રાંસુ-સપ્રમાણ મેટ્રિસિસ. સપ્રમાણ મેટ્રિક્સનો સરવાળો એ સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે. ઉમેરણ કામગીરી માં બંધ છે M_(n\times n)^(\text(sim)). સપ્રમાણ મેટ્રિક્સને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાથી પણ સપ્રમાણતા ભંગ થતી નથી, એટલે કે. મેટ્રિક્સને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની કામગીરી બંધ છે M_(n\times n)^(\text(sim)). પરિણામે, સપ્રમાણ મેટ્રિસિસનો સમૂહ ચોરસ મેટ્રિસિસની જગ્યાની જગ્યા હેઠળ છે, એટલે કે. M_(n\times n)^(\text(sim))\triangleft M_(n\times n). આ સબસ્પેસનું પરિમાણ શોધવું મુશ્કેલ નથી. માનક આધાર આના દ્વારા રચાય છે: l મુખ્ય કર્ણ પર એક જ બિનશૂન્ય (એકની સમાન) તત્વ સાથે મેટ્રિસિસ: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, તેમજ બે બિન-શૂન્ય (એકની સમાન) ઘટકો સાથેના મેટ્રિસેસ, મુખ્ય કર્ણના સંદર્ભમાં સપ્રમાણતા: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i, i+1,\ldots, n. કુલ આધાર હશે (n+(n-1)+\ldots+2+1= frac(n(n+1))(2))મેટ્રિસિસ આથી, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). તેવી જ રીતે આપણે તે મેળવીએ છીએ M_(n\times n)^(\text(kos))\triangleft M_(n\times n)અને \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

સમ બહુપદીનો સમૂહ (p(-x)=p(x)) એ P(\mathbb(R)) ની એક રેખીય સબસ્પેસ છે, કારણ કે સમાન બહુપદીનો સરવાળો અને સંખ્યા દ્વારા એક સમાન બહુપદીનો ગુણાંક સમ હશે. બહુપદી વિષમ બહુપદીનો સમૂહ (p(-x)=-p(x)) પણ એક રેખીય જગ્યા છે. વાસ્તવિક મૂળ ધરાવતા બહુપદીઓનો સમૂહ એ રેખીય સબસ્પેસ નથી, કારણ કે આવા બે બહુપદીના ઉમેરાથી બહુપદીમાં પરિણમી શકે છે જેમાં વાસ્તવિક મૂળ નથી, ઉદાહરણ તરીકે, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. જગ્યા C(\mathbb(R)) માં તમે સબસ્પેસની કુદરતી સાંકળનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

વ્યાખ્યા 6.1. સબસ્પેસ Ln- પરિમાણીય જગ્યા આરવેક્ટર્સનો સમૂહ છે જે વ્યાખ્યાયિત કરેલ ક્રિયાઓના સંદર્ભમાં રેખીય જગ્યા બનાવે છે આર.

બીજા શબ્દો માં, એલઅવકાશની સબસ્પેસ કહેવાય છે આર, જો થી x, y∈એલતે અનુસરે છે x+y∈એલઅને જો x∈એલ, તે λ x∈એલ, ક્યાં λ - કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા.

સબસ્પેસનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ શૂન્ય સબસ્પેસ છે, એટલે કે. જગ્યાનો સબસેટ આર, એક શૂન્ય તત્વનો સમાવેશ કરે છે. બધી જગ્યા સબસ્પેસ તરીકે સેવા આપી શકે છે આર. આ સબસ્પેસ કહેવાય છે તુચ્છઅથવા તમારા પોતાના નથી.

સબસ્પેસ n-પરિમાણીય જગ્યા મર્યાદિત-પરિમાણીય છે અને તેનું પરિમાણ ઓળંગતું નથી n: મંદ L≤ મંદ R.

સબસ્પેસનો સરવાળો અને આંતરછેદ

દો એલઅને એમ- જગ્યાના બે સબસ્પેસ આર.

રકમ એલ+એમવેક્ટરનો સમૂહ કહેવાય છે x+y, ક્યાં x∈એલઅને y∈એમ. દેખીતી રીતે, માંથી વેક્ટર્સનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન L+Mસંબંધ ધરાવે છે L+M, તેથી L+Mઅવકાશની સબસ્પેસ છે આર(જગ્યા સાથે સુસંગત હોઈ શકે છે આર).

પાર કરીને એલ∩એમસબસ્પેસ એલઅને એમવેક્ટર્સનો સમૂહ છે જે વારાફરતી સબસ્પેસ સાથે સંબંધિત છે એલઅને એમ(માત્ર શૂન્ય વેક્ટરનો સમાવેશ કરી શકે છે).

પ્રમેય 6.1.મનસ્વી સબસ્પેસના પરિમાણોનો સરવાળો એલઅને એમમર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય જગ્યા આરઆ સબસ્પેસના સરવાળાના પરિમાણ અને આ સબસ્પેસના આંતરછેદના પરિમાણની સમાન:

મંદ L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

પુરાવો. ચાલો સૂચિત કરીએ F=L+Mઅને G=L∩M. દો જી જી-પરિમાણીય સબસ્પેસ. ચાલો તેમાં એક આધાર પસંદ કરીએ. કારણ કે જી⊂એલઅને જી⊂એમ, તેથી આધાર જીઆધાર પર ઉમેરી શકાય છે એલઅને આધાર પર એમ. સબસ્પેસનો આધાર દો એલઅને સબસ્પેસનો આધાર દો એમ. ચાલો બતાવીએ કે વેક્ટર

સબસ્પેસથી સંબંધિત છે G=L∩M. બીજી બાજુ, વેક્ટર વિસબસ્પેસના આધાર વેક્ટરના રેખીય સંયોજન દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે જી:

(6.5)

સમીકરણો (6.4) અને (6.5) થી આપણી પાસે છે:

સબસ્પેસના આધારની રેખીય સ્વતંત્રતાને કારણે એલઅમારી પાસે:

રેખીય રીતે સ્વતંત્ર. પરંતુ કોઈપણ વેક્ટર zથી એફ(પેટા સ્થાનોના સરવાળાની વ્યાખ્યા દ્વારા) સરવાળા દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે x+y, ક્યાં x∈ એલ, y∈ એમ. તેના વળાંકમાં xવેક્ટરના રેખીય સંયોજન દ્વારા રજૂ થાય છે a y- વેક્ટર્સનું રેખીય સંયોજન. પરિણામે, વેક્ટર (6.10) સબસ્પેસ જનરેટ કરે છે એફ. અમે જોયું કે વેક્ટર (6.10) એક આધાર બનાવે છે F=L+M.

સબસ્પેસ પાયાનો અભ્યાસ એલઅને એમઅને સબસ્પેસ આધાર F=L+M(6.10), અમારી પાસે છે: મંદ L=g+l, મંદ M=g+m, મંદ (L+M)=g+l+m. આથી:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

સબસ્પેસનો સીધો સરવાળો

વ્યાખ્યા 6.2.અવકાશ એફસબસ્પેસનો સીધો સરવાળો રજૂ કરે છે એલઅને એમ, જો દરેક વેક્ટર xજગ્યા એફમાત્ર રકમ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે x=y+z, ક્યાં y∈ એલ અને z∈એમ.

સીધી રકમ દર્શાવેલ છે એલ⊕એમ. તેઓ કહે છે કે જો F=L⊕એમ, તે એફતેના સબસ્પેસના સીધા સરવાળામાં વિઘટન થાય છે એલઅને એમ.

પ્રમેય 6.2.ના અનુસાર n- પરિમાણીય જગ્યા આરસબસ્પેસનો સીધો સરવાળો હતો એલઅને એમ, તે આંતરછેદ માટે પૂરતું છે એલઅને એમમાત્ર શૂન્ય તત્વ ધરાવે છે અને પરિમાણ R સબસ્પેસીસના પરિમાણોના સરવાળા જેટલું હતું એલઅને એમ.

પુરાવો. ચાલો સબસ્પેસ L માં અમુક આધાર અને સબસ્પેસ M માં અમુક આધાર પસંદ કરીએ. ચાલો તે સાબિત કરીએ

(6.13)

(6.13) ની ડાબી બાજુ સબસ્પેસનો વેક્ટર હોવાથી એલ, અને જમણી બાજુ સબસ્પેસ વેક્ટર છે એમઅને એલ∩એમ=0 , તે

વેક્ટર(અથવા રેખીય) જગ્યા- એક ગાણિતિક માળખું, જે વેક્ટર તરીકે ઓળખાતા તત્વોનો સમૂહ છે, જેના માટે એકબીજા સાથે ઉમેરા અને સંખ્યા દ્વારા ગુણાકારની ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે - એક સ્કેલર. આ ઑપરેશન્સ આઠ સ્વયંસિદ્ધોને આધીન છે. સ્કેલર વાસ્તવિક, જટિલ અથવા કોઈપણ અન્ય નંબર ફીલ્ડના ઘટકો હોઈ શકે છે. આવી અવકાશનો એક ખાસ કિસ્સો એ સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ છે, જેના વેક્ટર્સનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ભૌતિક દળોને રજૂ કરવા માટે. એ નોંધવું જોઈએ કે વેક્ટર, વેક્ટર સ્પેસના તત્વ તરીકે, નિર્દેશિત સેગમેન્ટના રૂપમાં ઉલ્લેખિત હોવું જરૂરી નથી. કોઈપણ પ્રકૃતિના વેક્ટર સ્પેસના તત્વ માટે "વેક્ટર" ની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ માત્ર શબ્દોની મૂંઝવણનું કારણ નથી, પરંતુ મનસ્વી પ્રકૃતિની જગ્યાઓ માટે માન્ય એવા સંખ્યાબંધ પરિણામોને સમજવા અથવા તેની આગાહી કરવાનું પણ શક્ય બનાવે છે.

વેક્ટર સ્પેસ રેખીય બીજગણિતનો વિષય છે. વેક્ટર સ્પેસની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓમાંની એક તેનું પરિમાણ છે. પરિમાણ અવકાશના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઘટકોની મહત્તમ સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, એટલે કે, રફ ભૌમિતિક અર્થઘટનનો આશરો લેવો, માત્ર સ્કેલર દ્વારા ઉમેરા અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ દ્વારા એકબીજા દ્વારા અસ્પષ્ટ દિશાઓની સંખ્યા. વેક્ટર સ્પેસ વધારાની રચનાઓથી સંપન્ન થઈ શકે છે, જેમ કે ધોરણ અથવા આંતરિક ઉત્પાદન. આવી જગ્યાઓ પ્રાકૃતિક રીતે ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં દેખાય છે, મુખ્યત્વે અનંત-પરિમાણીય સ્વરૂપમાં (અંગ્રેજી), જ્યાં કાર્યો વેક્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે. ઘણી પૃથ્થકરણ સમસ્યાઓ માટે વેક્ટરનો ક્રમ આપેલ વેક્ટરમાં કન્વર્જ થાય છે કે કેમ તે શોધવાની જરૂર પડે છે. વધારાના માળખા સાથે વેક્ટર સ્પેસમાં આવા પ્રશ્નોની વિચારણા શક્ય છે, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં યોગ્ય ટોપોલોજી, જે આપણને નિકટતા અને સાતત્યની વિભાવનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. આવી ટોપોલોજીકલ વેક્ટર જગ્યાઓ, ખાસ કરીને બાનાચ અને હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ, ઊંડા અભ્યાસની મંજૂરી આપે છે.

વેક્ટર સ્પેસની વિભાવનાના પરિચયની અપેક્ષિત પ્રથમ કૃતિઓ 17મી સદીની છે. તે પછી જ વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, મેટ્રિસિસનો સિદ્ધાંત, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો અને યુક્લિડિયન વેક્ટર્સ વિકસિત થવા લાગ્યા.

વ્યાખ્યા [ | ]

રેખીય, અથવા વેક્ટર જગ્યા V (F) (\displaystyle V\left(F\જમણે))મેદાનની ઉપર F (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ F)- આ એક ઓર્ડર કરેલ ચાર છે (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), ક્યાં

V (\Displaystyle V)- મનસ્વી પ્રકૃતિના તત્વોનો બિન-ખાલી સમૂહ, જેને કહેવામાં આવે છે વેક્ટર;
F (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ F)- એક ક્ષેત્ર જેના તત્વો કહેવામાં આવે છે સ્કેલર્સ;
કામગીરી વ્યાખ્યાયિત વધુમાંવેક્ટર V × V → V (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ V\ વખત V\ થી V), જે તત્વોની દરેક જોડીને સાંકળે છે x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) )સેટ V (\Displaystyle V) V (\Displaystyle V)તેમને બોલાવ્યા રકમઅને નિયુક્ત x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
કામગીરી વ્યાખ્યાયિત સ્કેલર દ્વારા વેક્ટર્સનો ગુણાકાર F × V → V (\ પ્રદર્શન શૈલી F\ વખત V\ થી V), દરેક ઘટક સાથે મેળ ખાતી λ (\Displaystyle \lambda)ક્ષેત્રો F (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ F)અને દરેક તત્વ x (\displaystyle \mathbf (x) )સેટ V (\Displaystyle V)સમૂહનું એકમાત્ર તત્વ V (\Displaystyle V), સૂચિત λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) )અથવા λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

તત્વોના સમાન સમૂહ પર નિર્ધારિત વેક્ટર સ્પેસ, પરંતુ વિવિધ ક્ષેત્રો પર, વિવિધ વેક્ટર જગ્યાઓ હશે (ઉદાહરણ તરીકે, વાસ્તવિક સંખ્યાના જોડીનો સમૂહ R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2))વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા હોઈ શકે છે અથવા એક-પરિમાણીય - જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર).

સૌથી સરળ ગુણધર્મો[ | ]

વેક્ટર સ્પેસ એ ઉમેરા હેઠળનું એબેલિયન જૂથ છે.
તટસ્થ તત્વ 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) )કોઈપણ માટે.
કોઈપણ માટે x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V)વિરોધી તત્વ − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)એકમાત્ર વસ્તુ છે જે જૂથ ગુણધર્મોમાંથી અનુસરે છે.
1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) )કોઈપણ માટે x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
(− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x)))કોઈપણ માટે અને x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) )કોઈપણ માટે α ∈ F (\Displaystyle \alpha \in F).

સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ અને ગુણધર્મો[ | ]

સબસ્પેસ[ | ]

બીજગણિતીય વ્યાખ્યા: લીનિયર સબસ્પેસઅથવા વેક્ટર સબસ્પેસ- બિન-ખાલી સબસેટ K (\Displaystyle K)રેખીય જગ્યા V (\Displaystyle V)આવા કે K (\Displaystyle K)માં વ્યાખ્યાયિત કરાયેલા સંદર્ભમાં પોતે એક રેખીય જગ્યા છે V (\Displaystyle V)સ્કેલર દ્વારા સરવાળો અને ગુણાકારની કામગીરી. તમામ સબસ્પેસીસનો સમૂહ સામાન્ય રીતે તરીકે સૂચવવામાં આવે છે L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). સબસેટ સબસ્પેસ બનવા માટે તે જરૂરી અને પૂરતું છે

છેલ્લા બે વિધાનો નીચેનાને સમકક્ષ છે:

બધા વેક્ટર માટે x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K)વેક્ટર α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) )પણ સંબંધ ધરાવે છે K (\Displaystyle K)કોઈપણ માટે α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

ખાસ કરીને, માત્ર એક શૂન્ય વેક્ટર ધરાવતી વેક્ટર સ્પેસ એ કોઈપણ જગ્યાની સબસ્પેસ છે; દરેક જગ્યા પોતે એક સબસ્પેસ છે. સબસ્પેસ કે જે આ બે સાથે મેળ ખાતી નથી તે કહેવામાં આવે છે પોતાનાઅથવા બિન-તુચ્છ.

સબસ્પેસના ગુણધર્મો[ | ]

રેખીય સંયોજનો[ | ]

ફોર્મની અંતિમ રકમ

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

રેખીય સંયોજન કહેવામાં આવે છે:

આધાર. પરિમાણ[ | ]

વેક્ટર્સ x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n))ને બોલાવ્યા હતા રેખીય રીતે નિર્ભર, જો ત્યાં શૂન્યની બરાબર તેમની વચ્ચે બિન-તુચ્છ રેખીય સંયોજન છે:

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 , |

α 1 | + |.

, જો કેટલાક રેખીય રીતે આશ્રિત છે

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

રેખીય શેલ[ | ]

રેખીય શેલઉપગણો X (\Displaystyle X)રેખીય જગ્યા V (\Displaystyle V)- તમામ સબસ્પેસનું આંતરછેદ V (\Displaystyle V)સમાવતી X (\Displaystyle X).

રેખીય ગાળો એ સબસ્પેસ છે V (\Displaystyle V).

લીનિયર શેલ પણ કહેવાય છે સબસ્પેસ પેદા X (\Displaystyle X). એવું પણ કહેવાય છે કે રેખીય શેલ V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- જગ્યા, ઉપર ખેંચાય છેએક ટોળું X (\Displaystyle X).

રેખીય શેલ V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))માંથી તત્વોના વિવિધ મર્યાદિત સબસિસ્ટમના તમામ સંભવિત રેખીય સંયોજનોનો સમાવેશ થાય છે X (\Displaystyle X). ખાસ કરીને, જો X (\Displaystyle X)પછી એક મર્યાદિત સમૂહ છે V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))તત્વોના તમામ રેખીય સંયોજનોનો સમાવેશ થાય છે X (\Displaystyle X). આમ, શૂન્ય વેક્ટર હંમેશા રેખીય હલનો હોય છે.

જો X (\Displaystyle X)રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સમૂહ છે, પછી તે એક આધાર છે V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)), 1980. - 454 પૃ.