1. મનસ્વી વેક્ટરનો વિચાર કરો. ચાલો પહેલા ધારીએ કે આ વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. આ કિસ્સામાં, આમાંના કોઈપણ વેક્ટર માટે સંકલિત ગ્રામ નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ હશે. પછી, (22) મુજબ ધારી રહ્યા છીએ
(23)
અને આ અસમાનતાઓ અને અસમાનતાનો શબ્દ દ્વારા ગુણાકાર
, (24)
.
આમ, રેખીય માટે ગ્રામ નિર્ધારક સ્વતંત્ર વેક્ટરહકારાત્મક, રેખીય રીતે આશ્રિત લોકો માટે તે શૂન્ય છે. ગ્રામ નિર્ધારક ક્યારેય નકારાત્મક નથી.
ચાલો સંક્ષેપ માટે સૂચિત કરીએ 
. પછી (23) અને (24) થી
સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ ક્યાં છે અને આગળ,
,
વેક્ટર પર બનેલ સમાંતર પાઇપનું વોલ્યુમ ક્યાં છે. આગળ ચાલુ રાખીને, અમે શોધીએ છીએ:
,
અને છેલ્લે
. (25)
તેને ધાર પરની જેમ વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા -પરિમાણીય સમાંતર પાઇપનું વોલ્યુમ કહેવું સ્વાભાવિક છે.
ચાલો , અમુક ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સૂચિત કરીએ અને ચાલો
પછી (14) પર આધારિત
અને તેથી [જુઓ સૂત્ર (25)]
. (26)
આ સમાનતાનો નીચેનો ભૌમિતિક અર્થ છે:
સમાંતર પાઈપનું ચોરસ વોલ્યુમ સરવાળો સમાનતમામ સંકલન-પરિમાણીય સબસ્પેસીસ પર તેના અંદાજોના ચોરસ વોલ્યુમ. ખાસ કરીને, જ્યારે (26) થી તે નીચે મુજબ છે:
. (26)
સૂત્રો (20), (21), (22), (26), (26") નો ઉપયોગ કરીને, પરિમાણીય એકાત્મક અને યુક્લિડિયન વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સંખ્યાબંધ મૂળભૂત મેટ્રિક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવે છે.
2. ચાલો વિસ્તરણ પર પાછા ફરીએ (15). તે આમાંથી સીધું અનુસરે છે:
જે, (22) સાથે સંયોજનમાં, અસમાનતા આપે છે (મનસ્વી વેક્ટર માટે 
)
આ કિસ્સામાં, સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે જો અને માત્ર જો વેક્ટર વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ હોય.
અહીંથી કહેવાતી હદમર્દ અસમાનતા મેળવવાનું સરળ છે
જ્યાં સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે જો અને માત્ર જો વેક્ટર જોડીમાં ઓર્થોગોનલ હોય. અસમાનતા (29) નીચેની ભૌમિતિક રીતે સ્પષ્ટ હકીકતને વ્યક્ત કરે છે:
સમાંતર પાઇપનું પ્રમાણ તેની ધારની લંબાઈના ઉત્પાદન કરતાં વધુ હોતું નથી અને જ્યારે સમાંતર લંબચોરસ હોય ત્યારે જ તે આ ઉત્પાદનની બરાબર હોય છે.
હદમર્દની અસમાનતા તેને આપી શકાય સામાન્ય દેખાવ, (28) માં મૂકવું અને કેટલાક ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટથી બનેલા નિર્ણાયકને ધ્યાનમાં લેવું:
.
પછી (26") અને (28) માંથી તે અનુસરે છે
. (28)
3. ચાલો હવે અસમાનતા (27) અને અસમાનતા (28) બંનેને આવરી લેતી સામાન્યકૃત હદમાર્ડ અસમાનતા સ્થાપિત કરીએ:
અને સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે જો અને માત્ર જો દરેક વેક્ટર કોઈપણ વેક્ટર અથવા નિર્ણાયકોમાંના એક માટે ઓર્થોગોનલ હોય, 
શૂન્ય બરાબર.
અસમાનતા (28") નો નીચેનો ભૌમિતિક અર્થ છે:
સમાંતર પાઇપનું વોલ્યુમ બે વધારાના ચહેરાઓના વોલ્યુમના ઉત્પાદન કરતાં વધુ નથી અને જો અને માત્ર જો આ ચહેરાઓ પરસ્પર ઓર્થોગોનલ હોય અથવા તેમાંના ઓછામાં ઓછા એકમાં શૂન્ય વોલ્યુમ હોય તો જ આ ઉત્પાદનની બરાબર છે.
અમે વેક્ટર્સની સંખ્યાના સંદર્ભમાં અસમાનતા (29) ની માન્યતા પ્રસ્થાપિત કરીશું. જ્યારે આ સંખ્યા 1 હોય ત્યારે અસમાનતા સાચી છે [જુઓ સૂત્ર (27)].
ચાલો બે સબસ્પેસનો પરિચય કરીએ અને અનુક્રમે, બેઝ અને સાથે. દેખીતી રીતે, . ચાલો ઓર્થોગોનલ વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લઈએ
.
સમાંતરના જથ્થાના ચોરસને પાયાના જથ્થાના ચોરસ અને ઊંચાઈના વર્ગના ગુણાંક સાથે બદલીને [જુઓ. સૂત્ર (22)], આપણે શોધીએ છીએ
આ કિસ્સામાં, વેક્ટરના વિઘટનથી તે નીચે મુજબ છે:
, (31)
અને અહીં નિશાની ત્યારે જ થાય છે જ્યારે
હવે સંબંધો (30), (30"), (31) અને ઇન્ડક્શન ધારણાનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:
અમને અસમાનતા મળી (29). જ્યારે આ અસમાનતામાં સંકેત થાય છે ત્યારે સ્પષ્ટતા તરફ આગળ વધીએ છીએ, અમે તે ધારીએ છીએ 
અને 
. પછી (30") અનુસાર પણ 
અને . સંબંધોમાં (32) બધે સમાન ચિહ્ન હોવાથી, વધુમાં, ઇન્ડક્શન ધારણા દ્વારા, દરેક વેક્ટર દરેક વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ છે. દેખીતી રીતે, વેક્ટર પાસે પણ આ ગુણધર્મ છે
આમ, સામાન્યકૃત હદમાર્ડ અસમાનતા સંપૂર્ણપણે સ્થાપિત છે.
4. સામાન્યકૃત હદમાર્ડ અસમાનતા (29) ને પણ વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપ આપી શકાય છે.
ચાલો મનસ્વી હકારાત્મક ચોક્કસ હર્મિટિયન સ્વરૂપ હોઈએ. આધાર સાથે પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, અમે ફોર્મને મૂળભૂત મેટ્રિક સ્વરૂપ તરીકે લઈએ છીએ (પૃષ્ઠ 224 જુઓ). પછી તે એકાત્મક જગ્યા બની જશે. ચાલો આપણે સામાન્યકૃત હદમાર્ડ અસમાનતાને આધારભૂત વેક્ટર પર લાગુ કરીએ: - વેક્ટર વચ્ચેના હકારાત્મક નિશ્ચિત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ગુણાંકનું વાસ્તવિક મેટ્રિક્સ અને તેને સંબંધમાંથી વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ
.
બુન્યાકોવ્સ્કીની અસમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે તેનું વાસ્તવિક મૂલ્ય છે.
તેઓ કહે છે કે વાસ્તવિક રેખીય જગ્યામાં એક્સકામગીરી વ્યાખ્યાયિત સ્કેલર વેક્ટર ગુણાકાર, જો વેક્ટરની કોઈપણ જોડી x અને ખાતેથી એક્સસુસંગત વાસ્તવિક સંખ્યાજે કહેવાય છે સ્કેલર ઉત્પાદનવેક્ટર એક્સઅને ખાતેઅને પ્રતીક દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે (x,y),અને જો કોઈ માટે એક્સ. y, z € એક્સઅને કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા એનીચેના કરવામાં આવે છે ડોટ પ્રોડક્ટ એક્સોમ્સ:
- 1. (x,y) =(y,; એક્સ).
- 2. (.t + y, z)= (x,z) + (y, z).
- 3. (ah, y) = a(x,y).
- 4. (x, x)> 0 ખાતે x એફ 0 અને (x, X)= 0 ખાતે એક્સ = 0.
ઉદાહરણ 8.1. X ને જગ્યા થવા દો ભૌમિતિક વેક્ટર, માં અભ્યાસ કર્યો વેક્ટર બીજગણિત. ડોટ પ્રોડક્ટ, જે બે વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના કોણના કોસાઈનના ઉત્પાદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તે ડોટ પ્રોડક્ટ એક્સિઓમને સંતોષે છે. ?
ઉદાહરણ 8.2. IN અંકગણિત જગ્યા કે પીકૉલમની ઊંચાઈ n ડોટ ઉત્પાદનવેક્ટર
સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે
સ્કેલર પ્રોડક્ટ એક્સિઓમ્સની માન્યતા ચકાસવી મુશ્કેલ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો Axiom 4 ની શક્યતા તપાસીએ. તેની નોંધ લો
પરંતુ વર્ગોનો સરવાળો ધન છે જો ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા હોય ક્ઝીબિન-શૂન્ય (અથવા x f 0). ?
ઉદાહરણ 8.3. કરતાં વધુ ડિગ્રીના વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદીની રેખીય અવકાશમાં n- 1 સ્કેલર ઉત્પાદન ફોર્મ્યુલા દ્વારા દાખલ કરી શકાય છે
સ્કેલર પ્રોડક્ટ એક્સિઓમ્સની ચકાસણી ગુણધર્મો પર આધારિત છે ચોક્કસ અભિન્નઅને મુશ્કેલ નથી. ?
ઉદાહરણ 8.4. રેખીય જગ્યામાં સા, બી]વાસ્તવિક ચલના કાર્યો, અંતરાલ [a, 6] પર સતત, સ્કેલર ઉત્પાદન એ જ રીતે રજૂ કરી શકાય છે જેમ કે બહુપદીની રેખીય જગ્યામાં - ચોક્કસ પૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને: 
સ્કેલર પ્રોડક્ટ એક્સિઓમ્સની ચકાસણી અગાઉના ઉદાહરણની જેમ જ હાથ ધરવામાં આવે છે. ?
સ્વયંસિદ્ધ 2 અને 3 થી તે તેને અનુસરે છે બહુપદીને બહુપદી વડે ગુણાકાર કરવાના નિયમ અનુસાર વેક્ટર્સના કોઈપણ મર્યાદિત રેખીય સંયોજનને વેક્ટરના અન્ય રેખીય સંયોજનમાં સ્કેલર રીતે ગુણાકાર કરી શકાય છે, એટલે કે. સૂત્ર અનુસાર
માન્ય રેખીય જગ્યા, જેમાં વેક્ટરના સ્કેલર ગુણાકારને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેને કહેવામાં આવે છે યુક્લિડિયન અવકાશ.મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય અવકાશને યુક્લિડિયન અવકાશમાં ઘણી રીતે રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. જો n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં હોય એક્સનિશ્ચિત આધાર e, e^,..., e n, પછી કોઈપણ વેક્ટર x અને yતેમાં વિઘટન છે
અને વેક્ટર માટે ફોર્મ્યુલા (8.1). મહેંદીઆપે છે
અથવા માં મેટ્રિક્સ ફોર્મતે ક્યાં હોવું જોઈએ
આમ, યુક્લિડિયન સ્પેસ X માં સ્કેલર ઉત્પાદન સંપૂર્ણપણે મેટ્રિક્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે D. દરેક ચોરસ મેટ્રિક્સ ફોર્મ્યુલામાં દેખાઈ શકતું નથી (8.3). પરંતુ જો આપેલ ધોરણે એક સ્કેલર ઉત્પાદન અમુક મેટ્રિક્સ Г દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, તો તે સમજવું સરળ છે કે તે જ મેટ્રિક્સ, માત્ર એક અલગ ધોરણે, સ્કેલર ઉત્પાદન પણ નક્કી કરે છે. મેટ્રિક્સ Г રાખીને અને પાયા બદલવાથી, આપણને મળે છે અનંત સમૂહઆપેલ π-પરિમાણીય રેખીય જગ્યામાં સ્કેલર ઉત્પાદનો.
સૂત્ર (8.3) માં સામેલ મેટ્રિક્સ Г કહેવાય છે ગ્રામ મેટ્રિક્સઆધાર e = (e x, b2,..., e n). ગ્રામ મેટ્રિક્સ (સ્કેલર પ્રોડક્ટ્સનું મેટ્રિક્સ) માત્ર પાયા માટે જ નહીં, પણ વેક્ટર્સની મનસ્વી રીતે ગોઠવાયેલી મર્યાદિત સિસ્ટમો માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.
ચાલો n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં આધારના ગ્રામ મેટ્રિક્સના કેટલાક ગુણધર્મો નોંધીએ.
1. ગ્રામ મેટ્રિક્સજી સપ્રમાણ અને કોઈપણ n-પરિમાણીય કૉલમ માટેએક્સf 0 સ્થિતિને સંતોષે છેx ટીજીએક્સ > 0, ખાસ કરીને કર્ણ તત્વો(ei, ej) = efજી ઇ* ગ્રામ મેટ્રિસિસ અર્ધ-સમકક્ષ છે.
ગ્રામ મેટ્રિક્સની સમપ્રમાણતા સ્કેલર પ્રોડક્ટના સ્વયંસિદ્ધ 1 થી અનુસરે છે, જે મુજબ (e*, ej)= (e^, e*) કોઈપણ બે આધાર વેક્ટર અને શરત માટે x ટીજી x > 0, x f 0, સ્કેલર ઉત્પાદનના સ્વયંસિદ્ધ 4 ની સમકક્ષ છે.
સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ એ,સ્થિતિ સંતોષે છે x t આહ >> 0, x એફ 0, કહેવાય છે હકારાત્મક ચોક્કસ.આ શબ્દને ધ્યાનમાં લેતા, સાબિત મિલકત આના જેવી લાગે છે: ગ્રામ મેટ્રિક્સ હકારાત્મક ચોક્કસ છે.
2. ગ્રામ મેટ્રિસિસજી અને જી" યુક્લિડિયન અવકાશના બે પાયા e અને e" સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે
જ્યાં T એ આધાર e થી આધાર સુધીનું સંક્રમણ મેટ્રિક્સ છે e"
ખરેખર, જ્યારે આધાર e થી આધાર પર પસાર થાય છે e!સંકલન એક્સઅને ખાતેબે વેક્ટર એક્સઅને ખાતેકોઓર્ડિનેટ્સમાં રૂપાંતરિત X"અને y"સૂત્રો અનુસાર (વિભાગ 4.6 જુઓ)
તેથી, મેટ્રિક્સ ટી ટીજી ટીઆધાર માટે ગ્રામ મેટ્રિક્સ છે e!.
3. કોઈપણ આધારના ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક હકારાત્મક છે.
ખરેખર, સૂત્ર (8.4) પરથી તે અનુસરે છે કે જ્યારે આધાર બદલાય છે, ત્યારે ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક તેની નિશાની જાળવી રાખે છે (અથવા રહે છે. શૂન્ય બરાબર), કારણ કે સંક્રમણ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક બિન-શૂન્ય છે:
તે ધ્યાનમાં લેવાનું બાકી છે કે ગ્રામ મેટ્રિક્સ Г તરીકે આપણે ઓળખ મેટ્રિક્સ લઈ શકીએ છીએ (નીચેની ટિપ્પણી જુઓ), જેનો નિર્ણાયક એક સમાન છે.
4. બધા ખૂણે કર્ણ સગીર
આધાર e lf e ના ગ્રામ મેટ્રિસિસ2 , ... e n હકારાત્મક છે.
ખરેખર, કોઈપણ માટે થીઆપણે સબસ્પેસ Lfc = (ei,...,efc) ને સ્વતંત્ર યુક્લિડિયન જગ્યા તરીકે ગણી શકીએ.
પછી આધાર ei, 62, ... માટે ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક D^ સાથે મેળ ખાશે. અગાઉની મિલકત અનુસાર, આ નિર્ણાયક હકારાત્મક છે.
ટિપ્પણી.સંપ્રદાયમાં. 9.C તે સ્થાપિત થયેલ છે કે મિલકત 4 જરૂરી છે અને પૂરતી સ્થિતિહકારાત્મક નિશ્ચિતતા ચોરસ મેટ્રિક્સ. તેથી, પ્રોપર્ટી 4 એ પ્રોપર્ટી 1 માંથી અનુસરે છે. કોઈપણ સકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ એ આપેલ યુક્લિડિયન જગ્યામાં અમુક આધારનો ગ્રામ મેટ્રિક્સ છે. ખરેખર, સ્કેલર પ્રોડક્ટને ફોર્મ્યુલા (8.3) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમાં કોઈપણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સને Γ તરીકે લઈ શકાય છે. પછી સ્કેલર ઉત્પાદનનો સ્વયંસિદ્ધ 1 એ મેટ્રિક્સ Г, સ્વયંસિદ્ધ 2 અને 3 ની સપ્રમાણતાથી અનુસરશે - વિતરણતા ગુણધર્મમાંથી મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન, અને સ્વયંસિદ્ધ 4 - G ની હકારાત્મક નિશ્ચિતતાની સ્થિતિથી. પરિણામે, ગુણધર્મ 4 સાથેના કોઈપણ મેટ્રિક્સને ગ્રામ મેટ્રિક્સ તરીકે ગણી શકાય. ખાસ કરીને, વ્યક્તિ ઓળખ મેટ્રિક્સને ગ્રામ મેટ્રિક્સ તરીકે પસંદ કરી શકે છે, એટલે કે. આપેલ ધોરણે e, ..., e પીડોટ ઉત્પાદન વ્યાખ્યાયિત કરો
સૂત્ર
પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, ગ્રામ મેટ્રિક્સની વિભાવનાને વેક્ટર્સની મનસ્વી ક્રમબદ્ધ મર્યાદિત સિસ્ટમ માટે રજૂ કરી શકાય છે. તે જ સમયે અને માં સામાન્ય કેસગ્રામ મેટ્રિક્સ સપ્રમાણ રહે છે, પરંતુ અન્ય ગુણધર્મો (સકારાત્મક નિશ્ચિતતા, નિર્ણાયકની હકારાત્મકતા) ખોવાઈ જાય છે. નીચેનું નિવેદન ધરાવે છે.
પ્રમેય 8.1.વેક્ટરની સિસ્ટમનું ગ્રામ મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે જો અને માત્ર જો આ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય. ગ્રામ મેટ્રિક્સ રેખીય નથી આશ્રિત સિસ્ટમવેક્ટર્સ હકારાત્મક ચોક્કસ છે અને ખાસ કરીને, સકારાત્મક નિર્ણાયક ધરાવે છે. વેક્ટર્સની રેખીય રીતે આશ્રિત સિસ્ટમના ગ્રામ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર છે.
> વેક્ટરની કોઈપણ રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમને અમુક યુક્લિડિયન અવકાશમાં આધાર તરીકે ગણી શકાય, એટલે કે તેના રેખીય શેલ. આધારના ગ્રામ મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો અનુસાર, વિચારણા હેઠળના વેક્ટર્સની સિસ્ટમનું ગ્રામ મેટ્રિક્સ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે. તેથી, તેના બધા ખૂણે સગીરો, ખાસ કરીને, તેના નિર્ણાયક, હકારાત્મક છે. આનો અર્થ એ પણ થાય છે કે ગ્રામ મેટ્રિક્સ રેખીય છે સ્વતંત્ર સિસ્ટમવેક્ટર બિન-ડિજનરેટ છે.
આ વેક્ટર સમાનતાને વેક્ટર દ્વારા સ્કેલર રીતે ગુણાકાર કરવો a, a2 , અને માટે,
અમે રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ
એસી ગુણાંકની તુલનામાં, એકરેખીય ગણવામાં આવે છે
સંયોજનો આ સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ વેક્ટર સિસ્ટમનું ગ્રામ મેટ્રિક્સ Г છે a, a,2 , ..., સીએલકેજો મેટ્રિક્સ Г બિન-એકવચન છે, તો પછી સજાતીય સિસ્ટમમાત્ર શૂન્ય ઉકેલ છે. આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટરની સિસ્ટમ વિચારણા હેઠળ છે a, a2 , , a થીરેખીય રીતે સ્વતંત્ર.
જો વેક્ટર્સ સિસ્ટમ એ, ^kરેખીય રીતે આશ્રિત, પછી ગણવામાં આવે છે રેખીય સિસ્ટમબિન-શૂન્ય ઉકેલો ધરાવે છે. તેથી, તેનું નિર્ણાયક, એટલે કે. વિચારણા હેઠળના વેક્ટર્સ સિસ્ટમના ગ્રામ મેટ્રિક્સ Г નો નિર્ધારક શૂન્યની બરાબર છે.
ડેફ: ગ્રામનું નિર્ધારક, વેક્ટર્સ સિસ્ટમ ( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k} નિર્ણાયક કહેવાય છે
જી( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k) = 
.
T° . વેક્ટર સિસ્ટમ માટે ક્રમમાં ( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k) યુક્લિડિયન અવકાશ ઇ એનહતી
રેખીય રીતે આશ્રિત, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે Г( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k) સમાન હતી
◀ આવશ્યકતા. દો ઇ 1 , ઇ 2 , …, e kરેખીય રીતે નિર્ભર. પછી e k= a 1 ઇ 1 + a 2 ઇ 2 +…+ e k-1 એ k-1 અને માં Г( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k) છેલ્લી પંક્તિના તત્વો 1 જેવા દેખાય છે ( ઇ 1 ,e i) + a 2 ( ઇ 2 ,e i) + …+ એ k –1 (e k –1 ,e i), એટલે કે છેલ્લી લીટીબાકીના Þ Г(નું રેખીય સંયોજન છે ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k) = 0.
પર્યાપ્તતા. ચાલો જી( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k) = 0 Þ તેની રેખાઓ રેખીય રીતે આધારિત છે Þ $b 1 , b 2 , …, b k b 1 ( ઇ 1 ,e i) + … + b k(e k, e i) = 0 Þ (b 1 ઇ 1 + … + b k e k= 0 અને બધા b નથી i= 0 Þ ઇ 1 , ઇ 2 , …, e kરેખીય રીતે નિર્ભર. વિરોધાભાસ
પરિણામ. જો ઇ 1 , ઇ 2 , …, e kરેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, પછી Г( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k) ¹ 0. વધુમાં, Г( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k) > 0
◀ ધ્યાનમાં રાખીને ℒ( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k). પછી ( e k, e i) - અમુક સપ્રમાણતાના મેટ્રિક્સના ઘટકો દ્વિરેખીય સ્વરૂપ, જેને અનુરૂપ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપસ્કેલર ઉત્પાદન વ્યાખ્યાયિત કરે છે, એટલે કે. હકારાત્મક નિશ્ચિત છે. તેથી, સિલ્વેસ્ટરના માપદંડ મુજબ D 1 > 0, D 2 > 0, …, D k> 0. પરંતુ ડી k= Г( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e k)
§2. મ્યુચ્યુઅલ પાયા.
વેક્ટરના કોવેરિયન્ટ અને કોન્ટ્રાવેરિઅન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ
દો ઇ એન- યુક્લિડિયન જગ્યા, ચાલો ( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e n)નો આધાર ઇ એનઅને ( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e n)માં અન્ય આધાર ઇ એન. પાયા ( e i) અને ( e i)ને પારસ્પરિક કહેવામાં આવે છે જો ( e i, e જે) = = .
ક્રોનેકર-કેપેલી.
T° . કોઈપણ આધાર ( e i) થી ઇ એનઅનન્ય પારસ્પરિક આધાર ધરાવે છે.
◀ ચાલો e જે= ઇ 1 + ઇ 2 + … + e n. દ્વારા સમાનતાને માપસર રીતે ગુણાકાર કરો e i.
(e i, e જે) = (e i, ઇ 1) + (e i, ઇ 2) + … + (e i, e n) = , i, j = 1, 2, …, n.
અમારી પાસે છે વિજાતીય સિસ્ટમ nસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત, આ સિસ્ટમનો નિર્ણાયક છે Г( ઇ 1 , ઇ 2 , …, e n) ¹ 0, એટલે કે. સિસ્ટમમાં અનન્ય નોન-ઝીરો સોલ્યુશન છે.
તેથી વેક્ટર્સ e જેઅસ્પષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. ચાલો ખાતરી કરીએ કે તેઓ એક આધાર બનાવે છે (એટલે કે, તેઓ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે).
ચાલો એક 1 ઇ 1 + a 1 ઇ 2 + …+ એ n e n= 0. સ્કેલર વડે ગુણાકાર કરો e i.
a 1 ( e i, ઇ 1) + a 2 ( e i, ઇ 2) + … + a n(e i, e n) = 0 Þ એ i= 0, i, j = 1, 2, …, n
ટિપ્પણી : જો આધાર ( e i) ઓર્થોનોર્મલ છે, પછી તેનો પરસ્પર આધાર આપેલ આધાર સાથે મેળ ખાય છે.
ચાલો ( e i) અને ( e જે) માં પરસ્પર પાયા ઇ એન.
પછી "xО ઇ એન 
(1)
(x 1 , x 2 , …, x n) વેક્ટરના સહવર્તી કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવાય છે x.
(x 1 , x 2 , …, x n) વેક્ટરના કોન્ટ્રાવેરિઅન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવાય છે x.
કરાર: સજ્જ છે તેવા પરિબળોની બનેલી અભિવ્યક્તિ થવા દો મર્યાદિત સંખ્યાસૂચકાંકો (ઉપલા અને નીચલા). આ કિસ્સામાં, તે સંમત છે કે તમામ સબસ્ક્રિપ્ટ્સ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે વિવિધ પ્રતીકો(ટોચની જેમ). જો આવી અભિવ્યક્તિમાં બે સરખા સૂચકાંકો હોય, જેમાંથી એક ઉપલા હોય અને બીજું નીચું હોય, તો એવું માનવામાં આવે છે કે સરવાળો આવા સૂચકાંકો પર 1 થી n.) આપણને મળે છે e જે= g ji e i; e જે= g ji e i.
કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા ઉલ્લેખિત વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન.
આધાર માં દો ઇ
વેક્ટર આપવામાં આવે છે એ
= x 1 e 1
+ x 2 e 2
+ … + x n e n
, વી
= 1 પર e 1
+ 2 પર e 2
+ … + y n e n
. પછી ( a, c) =
(x 1 e 1
+ x 2 e 2
+ … + x n e n
)×( 1 પર e 1
+ 2 પર e 2
+ … + y n e n
) = 
= x ટી × જી× ખાતે, ક્યાં x ટી- વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ સ્ટ્રિંગ એ
, y -વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ કૉલમ વી
. તેથી, ( a, c)
= x ટી × જી× ખાતે(42).
ગ્રામ મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો.
1 0 ગ્રામ મેટ્રિક્સ મુખ્ય કર્ણ વિશે સપ્રમાણ છે.
આ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે ( e k, e s ) = (e s, e k ).
2 0 ગ્રામ મેટ્રિક્સના કર્ણ તત્વો સખત હકારાત્મક છે.
આ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે e k ¹ 0 અને તેથી ( e k, e k ) > 0.
3 0 ગ્રામ મેટ્રિક્સ અને કોઈપણ માટે n-પરિમાણીય કૉલમ એક્સશરત પૂરી થાય છે x ટી × જી× એક્સ> 0.
આ સ્કેલર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યાના 4 થી સ્વયંસિદ્ધમાંથી અનુસરે છે.
સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ એ,સ્થિતિ સંતોષે છે x T ×A× એક્સ> કોઈપણ માટે 0
બિન-શૂન્ય કૉલમ X,કહેવાય છે હકારાત્મક ચોક્કસ. તેથી, મેટ્રિક્સ
ગ્રામા હકારાત્મક ચોક્કસ.
4 0 દો ઇ = (e 1 , e 2, ... , e n ) અને e 1 = (e 1 1 , e 2 1, ... , e n 1 ) – માં બે પાયા ઇ એન , જીઅને જી 1- પાયામાં આપેલ સ્કેલર ઉત્પાદનના ગ્રામ મેટ્રિસિસ ઇ અને e 1 અનુક્રમે દો ટી- આધારથી સંક્રમણ મેટ્રિક્સ ઇ આધાર માટે e 1 . પછી ( a, c) = x ટી × જી× y, x = T×x 1, y = T×y 1, x T = (T×x 1)ટી =(x 1)T × T T.તેથી, ( a, c) = ((x 1)T × T T)× જી×(Т×у 1) = (x 1)ટી ×(ટી ટી× G×T)× y 1.પણ ( a, c) = (x 1)T × G 1 × y 1. અહીંથી
G 1 = T T × G × T(43)
ફોર્મ્યુલા (42) વિવિધ પાયામાં ગ્રામ મેટ્રિસિસ વચ્ચે જોડાણ આપે છે.
5 0 તમામ પાયામાં ગ્રામ મેટ્રિસીસના નિર્ધારકો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે.
સૂત્ર (42) થી તે ú ને અનુસરે છે જી 1ú =ú ટી ટીú ×ú જીú ×ú ટીú = ú જીú ×ú ટીú 2. કારણ કે ટીú 2 > 0, પછી ú જી 1ú અને ú જીતમારી પાસે સમાન ચિહ્નો છે.
ઉદાહરણો.
1.
વિપુલ પ્રમાણમાં એમ 2
વાસ્તવિક તત્વો સાથે ચોરસ મેટ્રિસિસ, સ્કેલર ઉત્પાદન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે 
. આધારમાં આ ઉત્પાદનનું ગ્રામ મેટ્રિક્સ શોધો e 1
= , e 2
= , e 3
= , e 4
= .
ઉકેલ.ચાલો બધા પેરવાઈઝ ઉત્પાદનો શોધીએ મૂળભૂત તત્વો: (e 1, e 1 ) = 1, (e 1, e 2 ) = (e 2, e 1 ) = 0, (e 1, e 3 ) = (e 3, e 1 ) = 0, (e 1, e 4 ) = (e 4, e 1 ) = 0, (e 2 , e 2 ) = 1, (e 2, e 3 ) = (e 3, e 2 ) = 0, (e 2, e 4 ) = (e 4, e 2 ) = 0, (e 3 , e 3 ) = 1, (e 3, e 4 ) = (e 4, e 3 ) = 0, (e 4, e 4 ) = 1. તેથી,
2.
અવકાશમાં આર
[એક્સ 3 થી વધુ ન હોય તેવા ડિગ્રીના બહુપદીના ], સ્કેલર ઉત્પાદન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે 
, ક્યાં aઅને b- નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, a< b.
આધારમાં ગ્રામ મેટ્રિક્સ કંપોઝ કરો (1, x, x 2, x 3).
ઉકેલ.ચાલો પાયાના તત્વોના બધા જોડીવાઇઝ ઉત્પાદનો શોધીએ: (1, 1) = = b-a,
(1, એક્સ) = (એક્સ, 1) = = ), (1, x 2) = (x 2, 1) = = ), (1, x 3) = (x 3, 1) = = ), (x, x)= = ), (x, x 2) = (x 2 , x) = = ), (x, x 3) = (x 3, x) = = ), (x 2, x 2) = = ), (x 2, x 3) = (x 3, x 2) = = ), (x 3, x 3) = =). ગ્રામ મેટ્રિક્સ આના જેવો દેખાશે:
જી = 
.
3. આધારે ( e 1, e 2, e 3 ) જગ્યા ઇ 3 સ્કેલર ઉત્પાદન ગ્રામ મેટ્રિક્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે જી= વેક્ટર્સનું બિંદુ ઉત્પાદન શોધો એ = (1, –5, 4) અને વી = (–3, 2, 7).
ઉકેલ.ફોર્મ્યુલા (41) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ ( એ , વી ) = (1, –5, 4) × × = 7.
યુક્લિડિયન અવકાશમાં મેટ્રિક્સનો પરિચય
દો ઇ એન – n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ. ચાલો વેક્ટર અને તેનાં સ્કેલર ઉત્પાદનને કહીએ આ વેક્ટરનો સ્કેલર ચોરસ , એટલે કે ( a, a ) = a 2 . સ્કેલર ઉત્પાદનના 4 થી સ્વયંસિદ્ધ અનુસાર a 2 ³ 0.
વ્યાખ્યા 47. વેક્ટર લંબાઈ કહેવાય છે અંકગણિત મૂલ્ય વર્ગમૂળઆ વેક્ટરના સ્કેલર સ્ક્વેરમાંથી. તે ú એ ú = (44)
વેક્ટર લંબાઈ ગુણધર્મો:
1. કોઈપણ વેક્ટર એ લંબાઈ અને માત્ર એક છે, ú એ ú ³ 0.
2. ú a× એ ú = úaú×ú એ ú કોઈપણ માટે એ Î ઇ એન .
3. કોઈપણ વેક્ટર માટે એ અને વી થી ઇ એન અસમાનતા ú સાચી છે a×b ú £ú એ ú ×ú વી ú.
પુરાવો.(એ -a વી ) 2 = એ 2 - 2a( a, c ) + a 2 × વી કોઈપણ a ઓ માટે 2 ³ 0 આર. કારણ કે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી a ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે બિન-નકારાત્મક છે, તો તેનો ભેદભાવ બિન-ધન છે, એટલે કે. ( a, c ) 2 – એ 2× વી 2 £0, અથવા ( a, c ) 2 £ એ 2× વી 2. આથી ú a×b ú £ú એ ú ×ú વી ú (45). આ સૂત્રમાં સમાન ચિહ્ન હશે જો અને માત્ર જો વેક્ટર પ્રમાણસર હોય.
વ્યાખ્યા 48. એકમ લંબાઈનો વેક્ટર કહેવાય છે એકમ વેક્ટર અથવા ઓર્ટમ .
4 0 . કોઈપણ માટે નહીં શૂન્ય વેક્ટરતેના પ્રમાણમાં એક એકમ એકમ છે.
જો a ¹ 0 , પછી ú એ ú ¹ 0. તેથી, ત્યાં એક વેક્ટર છે a 0 = એ . દેખીતી રીતે, a 0 ú =1.
વ્યાખ્યા 49. બિન-શૂન્ય વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો a અને આવી વાસ્તવિક સંખ્યા કહેવાય છે j, જે (46) છે.
વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો એ અને તે પણ સૂચવી શકાય છે .
ખૂણાના ગુણધર્મો.
1 0 . કોઈપણ બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર માટે, તેમની વચ્ચેનો કોણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
સૂત્ર (44) થી તે અનુસરે છે કે તેથી, jઅસ્તિત્વમાં છે.
2 0 . જો a ¹ 0, b ¹ 0, તો .
વ્યાખ્યા 48.બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર કહેવામાં આવે છે ઓર્થોગોનલ , જો તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર હોય.
ઓર્થોગોનલ વેક્ટર સૂચવવામાં આવે છે એ ^વી.
3 0 . જો એ ^વી , a ¹ 0, b ¹ 0,તે ( a એ )^ (b વી ).
4 0 . જો એ ^વી અને એ ^સાથે , તે એ ^(વી + સાથે ).
વ્યાખ્યા 50. અવકાશમાં તમામ વેક્ટરનો સમૂહ ઇ એન , વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ એ , જેમાં શૂન્ય વેક્ટર ઉમેરવામાં આવે છે તેને કહેવાય છે વેક્ટરનું ઓર્થોગોનલ પૂરક a .
5 0 . ઓર્થોગોનલ વેક્ટર પૂરક એ છે ( n - 1)-પરિમાણીય યુક્લિડિયન સબસ્પેસ ઇ એન .
પુરાવો.
પ્રોપર્ટીઝ 3 0 અને 4 0 થી તે વિચારણા હેઠળ સેટને અનુસરે છે એલ છે રેખીય સબસ્પેસવી ઇ એન . ત્યારથી ઇ એન જો સ્કેલર ઉત્પાદન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તો તે ઓર્થોગોનલ પૂરકમાં પણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તેથી, એલ યુક્લિડિયન સબસ્પેસ છે. ઉપરાંત, સાથે Î એલ Û ( એ , સાથે ) = 0 (*). ચાલો તેને ઠીક કરીએ ઇ એન આધાર દો એ = (a 1, a 2, …, a n), સાથે = (x 1, x 2, …, x n). પછી સાથે Î એલ Û a T ×G×x = 0 (**). સમીકરણ (**) રેખીય છે સજાતીય સમીકરણસાથે nઅજ્ઞાત મૂળભૂત સિસ્ટમતેના ઉકેલો સમાવે છે ( n- 1) ઉકેલો. તેથી, સમીકરણ (**) નું સોલ્યુશન સ્પેસ છે ( n– 1)-પરિમાણીય.
દો ઇ કે - અવકાશની અવકાશ ઇ એન . ચાલો સૂચિત કરીએ ઇ શૂન્ય વેક્ટર અને તમામ વેક્ટર ઓર્થોગોનલ થી કોઈપણ નોનઝીરો વેક્ટરનો સમાવેશ કરે છે ઇ કે .બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો સાથે Î ઇ Û ( સાથે , એ ) = 0 બધા માટે એ Î ઇ કે . અવકાશ ઇ ઓર્થોગોનલ પૂરક જગ્યા માટે ઇ કે .
